2018年成实外数学真卷(二)+答案详解

2018年四川省成都实验外国语学校高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合，N={﹣3，﹣1，1，3，5}，则M∩N=（）A．{﹣3，﹣1，1，3，5} B．{﹣1，1，3，5} C．{1，3，5} D．{﹣3，﹣1，1，3，}2．设z=1+i（i是虚数单位），O为坐标原点，若复数在复平面内对应的向量为，则向量的模是（）A．1 B．2 C．D．3．以下四个命题中，其中真命题的个数为（）①在回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模拟的拟合效果越好；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越接近于1；③若数据x1，x2，x3…，xn的方差为1，则3x1，3x2，3x3…，3xn的方差为3；④对分类变量x与y的随机变量的观测值k2来说，k越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大．A．1 B．2 C．3 D．44．展开式中，各项系数之和为3，则展开式中的常数项为（）A．﹣120 B．﹣80 C．80 D．1205．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金杖，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”其大意是：“现有一根长五尺的金杖，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺重4斤．在细的一端截下1尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？”根据上面的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，则金杖的质量为（）A．12斤B．15斤C．15.5斤 D．18斤6．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若=， =，则=（）A．+B．+C．+D．+7．已知函数，若将其图象向左平移φ（φ＞0）个单位后所得的图象关于原点对称，则φ的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知0＜a 1＜a 2＜a 3，则使得都成立的x 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．9．若函数f （x ）=ln （x 2+1）的值域为{0，1，2}，从满足条件的所有定义域集合中选出2个集合，则取出的2个集合中各有三个元素的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图所示，图中粗线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．411．在△ABC 中，M 是BC 的中点，BM=2，AM=AB ﹣AC ，则△ABC 的面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数f （x ）=ax+lnx ﹣有三个不同的零点x 1，x 2，x 3（其中x 1＜x 2＜x 3），则（1﹣）2（1﹣）（1﹣）的值为（ ）A ．1﹣aB ．a ﹣1C ．﹣1D ．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若抛物线y=2px 2（p ＞0）的准线经过双曲线y 2﹣x 2=1的一个焦点，则p= ． 14．下列命题中正确的是 ．（将正确结论的序号全填上） ①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；③一个三棱锥四个面可以都为直角三角形．15．设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值等于2，则m= ．16．设数列{an }（n≥1，n∈N）满足a1=2，a2=6，且sn+2+an=sn+1+2an+1+2，若[x]表示不超过x的最大整数，则= ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．为了调查每天人们使用手机的时间，我校某课外兴趣小组在天府广场随机采访男性、女性用户各50 名，其中每天玩手机超过6小时的用户列为“手机控”，否则称其为“非手机控”，调查结果如下：（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“手机控”与“性别”有关？（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取5人中“手机控”和“非手机控”的人数；（3）从（2）中抽取的5人中再随机抽取3人，记这3人中“手机控”的人数为X，试求X的分布列与数学期望．参考公式：．参考数据：18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．（1）证明：PB⊥CD；（2）求二面角A﹣PD﹣B的余弦值．19．设a，b，c分别是△ABC三个内角∠A，∠B，∠C的对边，若向量，，且．（1）求tanA•tanB的值；（2）求的最大值．20．已知椭圆的离心率是，过点的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行与x轴时，直线l被椭圆截得的线段长为．（F1，F2分别为左，右焦点）（1）求椭圆的标准方程；（2）过F2的直线l′交椭圆于不同的两点M，N，则△F1MN内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线l′方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数：f（x）=﹣x3﹣3x2+（1+a）x+b（a＜0，b∈R）．（1）令h（x）=f（x﹣1）﹣b+a+3，判断h（x）的奇偶性，并讨论h（x）的单调性；（2）若g（x）=|f（x）|，设M（a，b）为g（x）在[﹣2，0]的最大值，求M（a，b）的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1=0，直线l的参数方程为（t为参数），点A的极坐标为，设直线l与曲线C相交于P，Q两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）求|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）已知实数a，b，c满足a+b+c=1，求a2+b2+c2的最小值；（2）已知正数a，b，c满足a+b+c=1，求证：．2018年四川省成都实验外国语学校高考数学二诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合，N={﹣3，﹣1，1，3，5}，则M∩N=（）A．{﹣3，﹣1，1，3，5} B．{﹣1，1，3，5} C．{1，3，5} D．{﹣3，﹣1，1，3，}【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合M，根据交集的定义写出M∩N．【解答】解：集合={x|﹣1＜x≤5}，N={﹣3，﹣1，1，3，5}，则M∩N={1，3，5}．故选：C．2．设z=1+i（i是虚数单位），O为坐标原点，若复数在复平面内对应的向量为，则向量的模是（）A．1 B．2 C．D．【考点】复数求模．【分析】利用复数的除法的运算法则化简复数，然后求解向量的模．【解答】解：z=1+i（i是虚数单位），复数=+（1+i ）2=+2i=1+i ．向量的模是，故选：D ．3．以下四个命题中，其中真命题的个数为（ ）①在回归分析中，可用相关指数R 2的值判断模型的拟合效果，R 2越大，模拟的拟合效果越好；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越接近于1；③若数据x 1，x 2，x 3…，x n 的方差为1，则3x 1，3x 2，3x 3…，3x n 的方差为3；④对分类变量x 与y 的随机变量的观测值k 2来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大． A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】相关系数．【分析】（1）根据相关指数R 2的值的性质进行判断， （2）根据线性相关性与r 的关系进行判断， （3）根据方差关系进行判断，（4）根据分类变量x 与y 的随机变量k 2的观察值的关系进行判断．【解答】解：（1）用相关指数R 2的值判断模型的拟合效果，R 2越大，模型的拟合效果越好，故（1）正确；（2）若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，故（2）错误； （3）若统计数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的方差为1，则3x 1，3x 2，3x 3…，3x n 的方差为9，故（3）错误；（4）对分类变量x 与y 的随机变量k 2的观察值k 2来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大．错误； 故选：A ．4．展开式中，各项系数之和为3，则展开式中的常数项为（ ）A ．﹣120B ．﹣80C ．80D ．120【考点】二项式系数的性质．【分析】展开式中，各项系数之和为3，令x=1，求出a ．再求出展开式中x 的一次项及x 的﹣1次项即可．【解答】解：展开式中，各项系数之和为3，展开式中各项系数和为3∴x=1时，1+a=3，∴a=2．=5∵展开式中x 的一次项为80x ，x 的﹣1次项为﹣40x ﹣1，展开式中的常数项为 160﹣40=120 故选：D ，5．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金杖，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”其大意是：“现有一根长五尺的金杖，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺重4斤．在细的一端截下1尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？”根据上面的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，则金杖的质量为（ ） A ．12斤 B ．15斤C ．15.5斤D ．18斤【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意可知等差数列的首项和第5项，再由通项公式求得公差，依次可得每一尺的重量；再由由等差数列的前n 项和求得金杖的质量为． 【解答】解：由题意可知等差数列中a 1=4，a 5=2，则d=，∴，，．∴每一尺依次重4斤，3.5斤，3斤，2.5斤，2斤；S 5=，∴金杖重15斤． 故选：B ．6．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若=，=，则=（ ）A ． +B ． +C ． +D ． +【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到DF与DC的比，再利用平面向量的线性运算与表示，即可求出要求的向量．【解答】解：如图所示▱ABCD中，△DEF∽△BEA，∴==，再由AB=CD可得=，∴=；又=， =，∴=﹣=﹣=﹣，∴=﹣；又=﹣=﹣=+，∴=+=（+）+（﹣）=+．故选：C．7．已知函数，若将其图象向左平移φ（φ＞0）个单位后所得的图象关于原点对称，则φ的最小值为（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得平移后所得函数的图象对应的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得φ的最小值．【解答】解：函数=sin2x+cos2x=sin（2x+），将其图象向左平移φ（φ＞0）个单位后，可得y=sin （2x+2φ+）的图象，若所得的图象关于原点对称，则2φ+=k π，k ∈Z ，故φ的最小值为，故选：C ．8．已知0＜a 1＜a 2＜a 3，则使得都成立的x 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】其他不等式的解法．【分析】先解出不等式（1﹣a i x ）2＜1的解集，再由0＜a 1＜a 2＜a 3确定x 的范围【解答】解：因为不等式（1﹣a i x ）2＜1的解集解集为（0，），又0＜a 1＜a 2＜a 3，则，所以使得都成立的x 的取值范围是（0，）；故选B9．若函数f （x ）=ln （x 2+1）的值域为{0，1，2}，从满足条件的所有定义域集合中选出2个集合，则取出的2个集合中各有三个元素的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由ln （x 2+1）等于0，1，2求解对数方程分别得到x 的值，然后利用列举法得到值域为{0，1，2}的所有定义域情况，则满足条件的函数个数可求，由此利用等可能事件概率计算公式能求出取出的2个集合中各有三个元素的概率． 【解答】解：令ln （x 2+1）=0，得x=0，令ln （x 2+1）=1，得x 2+1=e ，x=±，令ln （x 2+1）=2，得x 2+1=e 2，x=．则满足值域为{0，1，2}的定义域有：{0，﹣，﹣}，{0，﹣，}，{0，，﹣}，{0，， }，{0，﹣，，﹣}，{0，﹣，，}，{0，﹣，﹣， }，{0，，﹣， }，{0，﹣，，﹣， }．则满足这样条件的函数的个数为9．从满足条件的所有定义域集合中选出2个集合，基本事件总数n=，取出的2个集合中各有三个元素的函数个数为m=，∴取出的2个集合中各有三个元素的概率是p=．故选：A．10．如图所示，图中粗线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积是（）A．B．C．D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥P﹣ABCD，其体积V=VB﹣PAD +VB﹣PCD．【解答】解：如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥P﹣ABCD．连接BD．其体积V=VB﹣PAD +VB﹣PCD==．故选：B．11．在△ABC中，M是BC的中点，BM=2，AM=AB﹣AC，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．C．D．【考点】三角形中的几何计算．【分析】在△ABM和△ABC中分别使用余弦定理得出bc的关系，求出cosA，sinA，代入面积公式求出最大值．【解答】解：在△ABM中，由余弦定理得：cosB=．在△ABC中，由余弦定理得：cosB=．∴=．即b2+c2=4bc﹣8．∴cosA=，∴sinA=．∴S=bcsinA=．∴当bc=8时，S取得最大值2．故选B．12．已知函数f（x）=ax+lnx﹣有三个不同的零点x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3），则（1﹣）2（1﹣）（1﹣）的值为（）A．1﹣a B．a﹣1 C．﹣1 D．1【考点】函数零点的判定定理．【分析】先分离参数得到a=﹣，令h（x）=﹣．求导后得其极值点，h（x）在（0，1），（e ，+∞）上为减函数，在（1，e ）上为增函数．再令a=﹣μ，转化为关于μ的方程后由根与系数关系得到μ1+μ2=1﹣a ＜0，μ1μ2=1﹣a ＜0，再结合μ=的图象可得到（1﹣）2（1﹣）（1﹣）的值．【解答】解：令f （x ）=0，分离参数得a=﹣，令h （x ）=﹣，由h′（x ）==0，得x=1或x=e ．当x ∈（0，1）时，h′（x ）＜0；当x ∈（1，e ）时，h′（x ）＞0；当x ∈（e ，+∞）时，h′（x ）＜0．即h （x ）在（0，1），（e ，+∞）上为减函数，在（1，e ）上为增函数． ∴0＜x 1＜1＜x 2＜e ＜x 3，a=﹣=﹣，令μ=，则a=﹣μ，即μ2+（a ﹣1）μ+1﹣a=0，μ1+μ2=1﹣a ＜0，μ1μ2=1﹣a ＜0，对于μ=，μ′=则当0＜x ＜e 时，μ′＞0；当x ＞e 时，μ′＜0．而当x ＞e 时，μ恒大于0． 画其简图，不妨设μ1＜μ2，则μ1=，μ2===μ3，∴（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=（1﹣μ1）2（1﹣μ2）（1﹣μ3）=[（1﹣μ1）（1﹣μ2）]2=[1﹣（1﹣a ）+（1﹣a ）]2=1． 故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若抛物线y=2px2（p＞0）的准线经过双曲线y2﹣x2=1的一个焦点，则p= ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的焦点坐标，对于抛物线y=2px2，先将其方程变形为标准方程x2=y，用p表示其准线方程，结合题意可得﹣=﹣，解可得p的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：y2﹣x2=1，则其焦点在y轴上，且c==，则其焦点坐标为（0，±），抛物线y=2px2的标准方程为：x2=y，若p＞0，则其焦点在y轴正半轴上，则其准线方程为y=﹣，又由抛物线y=2px2（p＞0）的准线经过双曲线y2﹣x2=1的一个焦点，则有﹣=﹣，解可得p=；故答案为：．14．下列命题中正确的是③．（将正确结论的序号全填上）①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；③一个三棱锥四个面可以都为直角三角形．【考点】构成空间几何体的基本元素．【分析】①举例说明有两个侧面是矩形的棱柱不一定是直棱柱；②举例说明各侧面都是正方形的棱柱不一定是正棱柱；③画图说明三棱锥的四个面都是直角三角形．【解答】解：对于①，有两个侧面是矩形的棱柱不一定是直棱柱，如斜放的一摞书，∴①错误；对于②，各侧面都是正方形的棱柱不一定是正棱柱，如底面是菱形时，且各侧面都是正方形，也是正棱柱，∴②错误；对于③，如图所示，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，则三棱锥P﹣ABC的四个面都是直角三角形，∴③正确．综上，正确的命题是③．故答案为：③．15．设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值等于2，则m= ．【考点】简单线性规划．【分析】根据m＞1，可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（）上，由此判断出满足约束条件件的平面区域的形状，再根据目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此可得关于m的方程，从而求得m值．【解答】解：∵m＞1，由约束条件作出可行域如图，直线y=mx与直线x+y=1交于（），目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在（）处取得最大值，由题意可知，又∵m＞1，解得m=1+．故答案为：1+．16．设数列{an }（n≥1，n∈N）满足a1=2，a2=6，且sn+2+an=sn+1+2an+1+2，若[x]表示不超过x的最大整数，则= 2017 ．【考点】数列递推式．【分析】构造bn =an+1﹣an，可判数列{bn}是4为首项2为公差的等差数列，累加法可得an=n（n+1），裂项相消法可得答案．【解答】解：构造bn =an+1﹣an，则b1=a2﹣a1=4，由题意可得（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）=bn+1﹣bn=2，故数列{bn}是4为首项2为公差的等差数列，故bn =an+1﹣an=4+2（n﹣1）=2n+2，故a2﹣a1=4，a3﹣a2=6，a4﹣a3=8，…，an﹣an﹣1=2n，以上n﹣1个式子相加可得an ﹣a1=（n﹣1）（4+2n），解得an=n（n+1），∴=﹣∴++…+=2108（1﹣++…+﹣）=2018（1﹣）=2018﹣，∴=2017，故答案为：2017三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．为了调查每天人们使用手机的时间，我校某课外兴趣小组在天府广场随机采访男性、女性用户各50 名，其中每天玩手机超过6小时的用户列为“手机控”，否则称其为“非手机控”，调查结果如下：（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“手机控”与“性别”有关？（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取5人中“手机控”和“非手机控”的人数；（3）从（2）中抽取的5人中再随机抽取3人，记这3人中“手机控”的人数为X，试求X的分布列与数学期望．参考公式：．参考数据：【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）计算K2的值，与临界值比较，可得结论；（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，可得结论．（3）X的取值为1，2，3，再求出X取每一个值的概率，即可求得X的分布列和数学期望．【解答】解：∴没有60%的把握认为“手机控”与“性别”有关；（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，所抽取的5人中“手机”有3人，“非手机控”的人数有2人；（3）X=1，2，3，则．X的分布列为：X的数学期望为E（X）=1×0.3+2×0.6+3×0.1=1.8．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．（1）证明：PB⊥CD；（2）求二面角A﹣PD﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）取BC的中点E，连接DE，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OE，OD，推出OE⊥PB，证明OE∥CD，得到PB⊥CD．（2）由OE，OB，OP两两垂直．以O为原点，OE方向为x轴正方向，OB方向为y轴正方向，OP方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出相关点的坐标，求出平面PAD的法向量，平面PBD的法向量为，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（1）证明：取BC的中点E，连接DE，则ADEB为正方形，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OE，OD，…由△PAB和△PAD都是等边三角形可知PA=PB=PD，所以OA=OB=OD，即点O为正方形ADEB对角线的交点…故OE⊥BD，从而OE⊥平面PBD，所以OE⊥PB，因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE∥CD，因此PB⊥CD…（2）由（1）可知，OE，OB，OP两两垂直．以O为原点，OE方向为x轴正方向，OB方向为y轴正方向，OP方向为z轴正方向，建立如图所示的直角坐标系O﹣xyz，…设|AB|=2，则，，，，，…设平面PAD的法向量，，，取x=1，得y=1，z=﹣1，即，…因为OE⊥平面PBD，设平面PBD的法向量为，取，由图象可知二面角A﹣PD﹣B的大小为锐角，…所以二面角A﹣PD﹣B的余弦值为…19．设a，b，c分别是△ABC三个内角∠A，∠B，∠C的对边，若向量，，且．（1）求tanA•tanB的值；（2）求的最大值．【考点】二倍角的正切；平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用两个向量的数量积公式、两角和差的三角公式，求得tanA•tanB的值．（2）利用诱导公式、余弦定理、基本不等式求得tan（A+B）的最小值，可得=tanC 的最大值．【解答】解：（1）由得，，即4cos（A﹣B）=5cos（A+B），解得，．（2）因为=，又=，所以，tan（A+B）有最小值，当且仅当时，取得最小值．又tanC=﹣tan（A+B），则tanC有最大值，故的最大值为．20．已知椭圆的离心率是，过点的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行与x轴时，直线l被椭圆截得的线段长为．（F1，F2分别为左，右焦点）（1）求椭圆的标准方程；（2）过F2的直线l′交椭圆于不同的两点M，N，则△F1MN内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线l′方程；若不存在，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题可得：，解出即可得出．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0，设△F1MN的内切圆半径是R，则△F1MN的周长是4a=8，，因此最大，R就最大，．由题知，直线的斜率不为0，可设直线的方程为x=my+1，与椭圆方程联立得，（3m2+4）y2+6my﹣9=0，解出可得面积，通过换元再利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）由题知椭圆过点．由题可得：，解得：．所以，椭圆方程为：．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0，设△F1MN的内切圆半径是R，则△F1MN的周长是4a=8，，因此最大，R就最大，．由题知，直线的斜率不为0，可设直线的方程为x=my+1，由得，（3m2+4）y2+6my﹣9=0，解得，则，令，则t≥1，=，设，f（t）在[1，+∞）上单调递增，所以，f（t）≥f（1）=4，，因为，所以，此时所求内切圆的面积最大值是，MN内切圆面积最大值是．故直线方程为x=1时，△F121．已知函数：f（x）=﹣x3﹣3x2+（1+a）x+b（a＜0，b∈R）．（1）令h（x）=f（x﹣1）﹣b+a+3，判断h（x）的奇偶性，并讨论h（x）的单调性；（2）若g（x）=|f（x）|，设M（a，b）为g（x）在[﹣2，0]的最大值，求M（a，b）的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）根据已知求也函数h（x）的解析式，结合函数奇偶性的定义，可判断函数的奇偶性，求导，可分析出h（x）的单调性；（2）若g（x）=|f（x）|，则f（t﹣1）=t3﹣（a+4）t+a﹣b+3，t∈[﹣1，1]，令h（t）=t3﹣（a+4）t+a﹣b+3，t∈[﹣1，1]，结合导数法分类讨论，可得M（a，b）的最小值．【解答】解：（1）h（x）=﹣（x﹣1）3﹣3（x﹣1）2+（1+a）x+2，h（﹣x）=（x+1）3﹣3（x+1）2﹣x（a+1）+2，故h（x）是非奇非偶函数；h′（x）=﹣3x2+a+4，a+4≤0即a≤﹣4时，h′（x）≤0，h（x）在R递减；a+4＞0即a＞﹣4时，令h′（x）＞0，解得：﹣＜x＜，令h′（x）＜0，解得：x＜﹣或x＞，故h（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，）递增，在（，+∞）递减；（2）g（x）=|f（x）|=|x3+3x2﹣（1+a）x﹣b|，（a＜0），则f（t﹣1）=t3﹣（a+4）t+a﹣b+3，t∈[﹣1，1]，令h（t）=t3﹣（a+4）t+a﹣b+3，t∈[﹣1，1]，则h′（t ）=3t 2﹣（a+4），t ∈[﹣1，1]， ①当a ≤﹣4时，h′（t ）≥0恒成立， 此时函数为增函数，则M （a ，b ）=max{|h （﹣1）|，|h （1）|}=max{|2a ﹣b+6|，|b|} ②当﹣4＜a ＜0时，h （t ）有两个极值点t 1，t 2，不妨设t 1＜t 2，（i ）当﹣1≤a ＜0时，t 1=﹣≤﹣1，t 2=≥1，此时函数为减函数，则M （a ，b ）=max{|h （﹣1）|，|h （1）|}=max{|2a ﹣b+6|，|b|}（ii ）当﹣4＜a ＜﹣1时，t 1=﹣＞﹣1，t 2=＜1，此时函数在[﹣1，t 1]上递增，在[t 1，t 2]上递减，在[t 2，1]上递增，则M （a ，b ）=max{|2a ﹣b+6|，|b|，|2（）3+a ﹣b+3|，|﹣2（）3+a ﹣b+3|}则M （a ，b ）≥min{|a+3|，2（）3}，由|a+3|=2（）3得：a=﹣1，或a=﹣，当a=﹣1时，M （a ，b ）≥2，当a=﹣时，M （a ，b ）≥，故当a=﹣，b=﹣时，M （a ，b ）的最小值为．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos θ+1=0，直线l 的参数方程为（t 为参数），点A 的极坐标为，设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）求|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）将参数方程标准式与（x ﹣2）2+y 2=3联立得，由韦达定理得：t 1t 2=1，|AP||AQ|=1；将直线的极坐标方程与圆的极坐标方程ρ2﹣4ρcos θ+1=0，联立得：，由韦达定理得：ρ1ρ2=1，即|OP||OQ|=1，即可求|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．【解答】解：（1）曲线C 的直角坐标方程为：x 2+y 2﹣4x+1=0，即（x ﹣2）2+y 2=3…2分直线的普通方程为…4分（2）点A 的直角坐标为，设点P ，Q 对应的参数为t 1，t 2，点P ，Q 的极坐标方程为，将参数方程标准式与（x ﹣2）2+y 2=3联立得，由韦达定理得：t 1t 2=1，|AP||AQ|=1…6分，将直线的极坐标方程与圆的极坐标方程ρ2﹣4ρcos θ+1=0联立得：，由韦达定理得：ρ1ρ2=1，即|OP||OQ|=1…8分，所以，|AQ||AP||OP||OQ|=1…10分．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）已知实数a ，b ，c 满足a+b+c=1，求a 2+b 2+c 2的最小值；（2）已知正数a ，b ，c 满足a+b+c=1，求证：．【考点】基本不等式．【分析】（1）根据柯西不等式即可得出3（a 2+b 2+c 2）≥1，并且可确定a=b=c=时取等号，这便求出了a 2+b 2+c 2的最小值；（2）左边展开由不等式即可得出左边，然后可构造函数（），通过求导判断单调性，从而求出该函数的最小值，进而得出，从而该题得证．【解答】解：（1）由柯西不等式，（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2=1，当且仅当时等号成立；∴a2+b2+c2的最小值为；（2）证明：左边=≥=，构造函数，则：，函数f（x）在上单调递减，最小值为=；∴的最小值为；∴．。

2018年四川省成都实验外国语学校自主招生数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的）1．（4分）下列四个实数中，为有理数的是（）A．B．3.14C．sin20°D．2．（4分）已知代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＞2B．0≤x≤2C．0＜x≤2D．0＜x＜23．（4分）用一个平面去截正方体，截面的形状不可能是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形4．（4分）（﹣2）101+（﹣4）50+833等于（）A．450B．﹣5•299C．﹣299D．8325．（4分）已知甲、乙两车由同一起点同时出发并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙（如图所示），那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（）A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．t1时刻后，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面6．（4分）满足一元二次不等式ax2+bx+2＞0的x范围是﹣＜x＜，则a+b的值为（）A．﹣14B．﹣10C．﹣7D．77．（4分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数“．如图，一位母亲在从右到左排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）A．1035B．75C．369D．3658．（4分）不等式|2x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，则a的取值范围是（）A．a≤B．a≤5C．a≤2D．a≤39．（4分）设P1，P2，…P n为直角坐标系平面xOy内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…P n的距离之和最小，则称点P为P1，P2，…P n的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，则有下列命题：①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（4分）对于函数y＝ax|x|+bx+c（其中，a、b为任意实数，c为整数），选取a、b、c的一组值计算：当x＝1时对应的函数值y1和当x＝﹣1时对应的函数值y2，所得出的正确结果一定不可能是（）A．4和6B．3和1C．2和4D．3和2二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，将答案直接填在答题卷对应的横线上）11．（4分）计算：（﹣）×+|3﹣2|+（）﹣2＝．12．（4分）小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为．13．（4分）如图，图中小正方形的边长为1，现随机地向该矩形EFGH框内掷一枚小针，针尖落在梯形ABCD内的概率为．14．（4分）若i2＝﹣1，则1+i+i2+i3…+i7＝．15．（4分）一个盒子中装有两个红球，一个白球和两个蓝球，这些球除颜色外都相同．现从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中摸出一个球，则两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率是．16．（4分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥最长棱的棱长为．17．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若一次函数y＝kx+b对应的直线与反比例函数y═对应的曲线相切，一次函数y＝kx+b对应的直线分别与x轴和y轴相交于A、B两点，则S△AOB＝．18．（4分）圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周顺时针滚动，经过k次滚动（注：如图所示，实线正方形到虚线正方形．为滚动一次），点A第一次回到点P的位置且此时的正方形与初始位置重合，则k＝；若正方形滚动四次就停止，则点A走过的路径的长度为．19．（4分）若4sin318°﹣2sin218°﹣3sin18°+1＝0，则sin18°＝．20．（4分）如图，AC⊥CB，AC＝CB，在BC上取一点D连接AD，∠ACB的平分线交AD于E点，连接BE．若S△ACE＝4，S△EBD＝1，则CD＝．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或推演步骤）21．（10分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°、30°，此时气球的高是60m．（1）利用公式tan＝，求tan15°的值；（2）求河流的宽度BC．22．（12分）已知二次函数y＝4x2﹣4ax+a2﹣2a+2，当﹣1≤x≤3时，函数有最小值5，求a的值．23．（12分）如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象为曲线C，一次函数y＝﹣x的图象为直线l．（1）求平行于直线l且与曲线C相切的直线对应的一次函数解析式；（2）求直线与曲线相切的切点到直线l的距离．24．（12分）如图，已知⊙O的直径AB＝10，C、D为上半圆上两点，AC＝CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E（点E在线段AO上），CE＝4．（1）求四边形ACDB的面积；（2）取CB的中点F，连接DF并延长交⊙O于点G，求DG的长．25．（12分）已知抛物线方程y＝ax2+bx，其顶点坐标为（3，﹣9）．（1）求抛物线的解析式；（2）直线y＝k（x﹣3）﹣与抛物线交于P，Q两点，点B（3，﹣），求证：+为定值（参考公式，已知A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则A，B两点间的距离|AB|＝．26．（12分）勾股定理是数学史上非常重要的定理之一，两千多年来，人们对它进行了大量的研究，给出了多达数百种证明方法．请你叙述勾股定理，并用欧几里德在《几何原本》中的证明方法进行构图并证明．叙述勾股定理：已知：求证：证明：图形：参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的）1．选：B．2．选：C．3．选：D．4．选：C．5．选：A．6．选：B．7．选：C．8．选：A．9．选：B．10．选：D．二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，将答案直接填在答题卷对应的横线上）11．（4分）计算：（﹣）×+|3﹣2|+（）﹣2＝1．12．（4分）小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%．13．（4分）如图，图中小正方形的边长为1，现随机地向该矩形EFGH框内掷一枚小针，针尖落在梯形ABCD 内的概率为．14．（4分）若i2＝﹣1，则1+i+i2+i3…+i7＝0．15．（4分）一个盒子中装有两个红球，一个白球和两个蓝球，这些球除颜色外都相同．现从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中摸出一个球，则两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率是．16．（4分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥最长棱的棱长为2．17．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若一次函数y＝kx+b对应的直线与反比例函数y═对应的曲线相切，一次函数y＝kx+b对应的直线分别与x轴和y轴相交于A、B两点，则S△AOB＝8．18．（4分）圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周顺时针滚动，经过k次滚动（注：如图所示，实线正方形到虚线正方形．为滚动一次），点A第一次回到点P的位置且此时的正方形与初始位置重合，则k＝12；若正方形滚动四次就停止，则点A走过的路径的长度为π．19．（4分）若4sin318°﹣2sin218°﹣3sin18°+1＝0，则sin18°＝．20．（4分）如图，AC⊥CB，AC＝CB，在BC上取一点D连接AD，∠ACB的平分线交AD于E点，连接BE．若S△ACE＝4，S△EBD＝1，则CD＝．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或推演步骤）21．（10分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°、30°，此时气球的高是60m．（1）利用公式tan＝，求tan15°的值；（2）求河流的宽度BC．【解答】解：（1）由公式tan＝可得：tan15°＝＝＝＝2﹣；（2）由题意得：AD为气球的高，∴AD＝60m，AD⊥BC，在Rt△ABD中，∵∠BAD＝90°﹣75°＝15°，tan∠BAD＝，∴BD＝AD×tan15°＝60（2﹣）m，在Rt△ACD中，∵∠CAD＝90°﹣30°＝60°，tan∠CAD＝，∴CD＝AD×tan60°＝60m，∴BC＝CD﹣BD＝60﹣60（2﹣）＝120﹣120（m），即河流的宽度BC为（120﹣120）m．22．（12分）已知二次函数y＝4x2﹣4ax+a2﹣2a+2，当﹣1≤x≤3时，函数有最小值5，求a的值．【解答】解：∵y＝4x2﹣4ax+a2﹣2a+2＝4（x﹣）2+（2﹣2a），∴函数对称轴为直线x＝a，∵当﹣1≤x≤3时，函数有最小值5，∴①＜﹣1时，x＝﹣1函数取得最小值，4+4a+a2﹣2a+2＝5，即（a+1）2＝0，解得a＝﹣1，不合理，舍去；②﹣1≤≤3时，x＝函数取得最小值，2﹣2a＝5，解得a＝﹣，合理；③＞3时，x＝3函数取得最小值，36﹣12a+a2﹣2a+2＝5，即a2﹣14a+33＝0，解得a1＝11，a2＝3（舍去），综上所述，a的值为﹣或11．23．（12分）如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象为曲线C，一次函数y＝﹣x的图象为直线l．（1）求平行于直线l且与曲线C相切的直线对应的一次函数解析式；（2）求直线与曲线相切的切点到直线l的距离．【解答】解：（1）∵所求直线平行于直线l：y＝﹣x，∴设所求直线解析式为y＝﹣x+b．又∵所求直线与曲线C：y＝相切，∴，即﹣x+b＝有两个相等实数根．整理，得：x2﹣bx+2＝0，∴△＝（﹣b）2﹣4××2＝0，解得：b＝±2．又∵反比例函数图象在第一象限，结合图形1可知b＝2，∴平行于直线l且与曲线C相切的直线对应的一次函数解析式为y＝﹣x+2．（2）由得：，∴切点P的坐标为（，）．如图2，过点P作PM∥y轴交直线l于点M，则点M的坐标为（，﹣），PM＝2；过点P作PN∥x轴交直线l于点N，则点N的坐标为（﹣，），PN＝2，∠MPN＝90°．在Rt△PMN中，∠MPN＝90°，PM＝2，PN＝2，∴MN＝＝4．过点P作P A⊥直线l于点A，则MN•P A＝PM•PN，即×4•P A＝×2×2，∴P A＝，∴线与曲线相切的切点到直线l的距离为．24．（12分）如图，已知⊙O的直径AB＝10，C、D为上半圆上两点，AC＝CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E（点E在线段AO上），CE＝4．（1）求四边形ACDB的面积；（2）取CB的中点F，连接DF并延长交⊙O于点G，求DG的长．【解答】（1）解：过点C作CI⊥BD于I，连接OC．∵AB＝10，CE⊥AB，CE＝4，∴OE＝＝＝3，∴BE＝OE+OB＝8，AE＝OA﹣OE＝2，∵AC＝＝2，BC＝＝＝4，∴S△ACB＝•AC•BC＝20，∵AC＝CD，∴＝，∴∠CBE＝∠CBI，∵∠CEB＝∠CIB＝90°，BC＝BC，∴△BCE≌△BCI（AAS），∴CI＝CE＝4，BE＝BI＝8，∵∠AEC＝∠CID＝90°，AD＝CD，CE＝CI，∴Rt△CEA≌Rt△CID（HL），∴AE＝ID＝2，∴BD＝BI﹣DI＝6，∴S△BCD＝•BD•CI＝12，∴S四边形ABDC＝S△ABC+S△CBD＝20+12＝32．（2）过点D作DH⊥BC于H．∵S△BCD＝•BC•DH＝12，BC＝4，∴DH＝，在Rt△CDH中，CH＝＝＝，∵CF＝BC＝2，∴FH＝CF﹣CH＝，在Rt△DFH中，DF＝＝＝2，∵DF•FG＝CF•FB，∴FG＝＝5，∴DG＝DF+FG＝7．25．（12分）已知抛物线方程y＝ax2+bx，其顶点坐标为（3，﹣9）．（1）求抛物线的解析式；（2）直线y＝k（x﹣3）﹣与抛物线交于P，Q两点，点B（3，﹣），求证：+为定值（参考公式，已知A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则A，B两点间的距离|AB|＝．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为（3，﹣9），∴抛物线的表达式为y＝a（x﹣3）2﹣9＝ax2﹣6ax+9a﹣9＝ax2+bx，故9a﹣9＝0，解得：a＝1，故抛物线的表达式为y＝x2﹣6x；（2）证明：设点P、Q的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），x1＞3，x2＜3，由题意得，联立方程组并整理得：x2﹣（6+k）x+3k+，则x1+x2＝6+k，x1•x2＝3k+，∴＝+＝+＝＝＝＝＝4为定值．26．（12分）勾股定理是数学史上非常重要的定理之一，两千多年来，人们对它进行了大量的研究，给出了多达数百种证明方法．请你叙述勾股定理，并用欧几里德在《几何原本》中的证明方法进行构图并证明．叙述勾股定理：已知：求证：证明：图形：【解答】已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，求证a2+b2＝c2证明：分别以Rt△ABC的三边为边长作正方形ABFE、正方形AJKC、正方形BCIH，过点C作AB的垂线，交AB于点D，交FE于点G，连接HA、CF．∵四边形ABFE和四边形CBHI是正方形，∴AB＝FB，HB＝CB，∠ABF＝∠CBH＝90°，∴∠CBF＝∠HBA，∴△ABH≌△FBC（SAS），∵AI∥BH，∴S△ABH＝S正方形BCIH，∵CG∥BF，∴S△CBF＝S矩形BDGF，又∵△ABH≌△FBC，∴S△ABH＝S△CBF，∴S正方形BCIH＝S矩形BDGF，即正方形BCIH的面积与四边形BFGD的面积相等，同理可得，正方形ACKJ的面积与四边形ADGE的面积相等；∴S正方形ACKJ+S正方形BCIH＝S矩形ADEG+S矩形BDGF＝S正方形ABFE，即AC2+BC2＝AB2，又∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，∴a2+b2＝c2．。

2018年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|y=}，B={x||x|≤2}，则A∪B=（）A．[﹣2，2] B．[﹣2，4] C．[0，2]D．[0，4]2．函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在区间是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣l，0）C．（0，1）D．（1，2）3．复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．2i D．24．已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能为（）A． B．C．D．5．将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个减区间是（）A．[﹣，] B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]6．某校高三（1）班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间[100，128]内，将该班所有同学的考试分数分为七组：[100，118），[118，118），[118，112），[112，116），[116，120），[120，124），[124，128]，绘制出频率分布直方图如图所示，已知分数低于112分的有18人，则分数不低于120分的人数为（）A．10 B．12 C．20 D．407．某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有（）A．35种B．24种C．18种D．9种8．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点．则下列说法错误的是（）A．当AE⊥PB时，△AEF﹣定为直角三角形B．当AF⊥PC时，△AEF﹣定为直角三角形C．当EF∥平面ABC时，△AEF﹣定为直角三角形D．当PC⊥平面AEF时，△AEF﹣定为直角三角形9．已知函数f（x）=，则不等式f（f（x））＜4f（x）+1的解集是（）A．（﹣3，0）B．（﹣，1）C．（0，2）D．（﹣，log32）10．已知抛物线y=x2的焦点为F，经过y轴正半轴上一点N作直线l与抛物线交于A，B两点，且=2（O为坐标原点），点F关于直线OA的对称点为C，则四边形OCAB面积的最小值为（）A．3 B．C．2D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知双曲线=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于______．12．的展开式中，x2项的系数为______．（用数字作答）13．已知实数x，y满足，则x2+y2﹣2x的取值范围是______．14．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为______15．已知函数f（x）=x+sin2x．给出以下四个命题：①∀x＞0，不等式f（x）＜2x恒成立；②∃k∈R，使方程f（x）=k有四个不相等的实数根；③函数f（x）的图象存在无数个对称中心；④若数列{a n}为等差数列，且f（a l）+f（a2）+f（a3）=3π，则a2=π．其中的正确命题有______．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=，且b2+c2=3+bc．（I）求角A的大小；（Ⅱ）求bsinC的最大值．17．已知数列{a n}满足a1=1，（n+1）a n=（n﹣1）a n，（n≥2，n∈N*）．﹣1（I）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n．证明：S n＜2．18．某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这20个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为l的奇数，则为一等奖，奖金100元；若抽取的小球编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立．（I）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；（Ⅱ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．19．如图．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB=90°，且AC=1，AB=2，E为BB1的中点，M为AC上一点，=．（I）证明：CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）若二面角C1﹣A1E﹣M的余弦值为，求AA1的长度．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且|PF1|=．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）与抛物线相切于第一象限的直线l，与椭圆交于A，B两点，与x轴交于M点，线段AB的垂直平分线与y轴交于N点，求直线MN斜率的最小值．21．设函数f（x）=lnx．（I）求函数g（x）=x﹣1﹣f（x）的极小值；（Ⅱ）若关于x的不等式mf（x）≥在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）已知a∈（0，），试比较f（tana）与﹣cos2a的大小，并说明理由．2018年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|y=}，B={x||x|≤2}，则A∪B=（）A．[﹣2，2] B．[﹣2，4] C．[0，2]D．[0，4]【考点】并集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|y=}={x|4x﹣x2≥0}={x|0≤x≤4}，B={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}，则A∪B={x|﹣2≤x≤4}，故选：B．2．函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在区间是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣l，0）C．（0，1）D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【分析】据函数零点的判定定理，判断f（﹣1），f（0），f（1），f（2）的符号，即可求得结论．【解答】解：f（﹣1）=2﹣1+1﹣2=﹣＜0，f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，f（2）=4＞0，故有f（0）•f（1）＜0，由零点的存在性定理可知：函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在的区间是（0，1）故选：C．3．复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．2i D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的化数形式的乘除运算法则求解．【解答】解：∵z=====1+2i，∴复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是2．故选：D．4．已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能为（）A． B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】几何体为椎体与柱体的组合体，分四种情况进行判断．【解答】解：由主视图和侧视图可知几何体为椎体与柱体的组合体，（1）若几何体为圆柱与圆锥的组合体，则俯视图为A，（2）若几何体为棱柱与圆锥的组合体，则俯视图为B，（3）若几何体为棱柱与棱锥的组合体，则俯视图为C，（4）若几何体为圆柱与棱锥的组合体，则俯视图为故选：D．5．将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个减区间是（）A．[﹣，] B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据三角函数的图象变换关系求出g（x）的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可．【解答】解：将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，则y=cos（2x+），即g（x）=cos（2x+），由2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，当k=0时，单调递减区间为[﹣，]，故选：D．6．某校高三（1）班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间[100，128]内，将该班所有同学的考试分数分为七组：[100，118），[118，118），[118，112），[112，116），[116，120），[120，124），[124，128]，绘制出频率分布直方图如图所示，已知分数低于112分的有18人，则分数不低于120分的人数为（）A．10 B．12 C．20 D．40【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图求出得分数低于112分的频率，从而求出高三（1）班总人数，再求出分数不低于120分的频率，由此能求出分数不低于120分的人数．【解答】解：由频率分布直方图得分数低于112分的频率为：（0.01+0.18+0.18）×4=0.36，∵分数低于112分的有18人，∴高三（1）班总人数为：n==50，∵分数不低于120分的频率为：（0.18+0.18）×4=0.2，∴分数不低于120分的人数为：50×0.2=10人．故选：A．7．某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有（）A．35种B．24种C．18种D．9种【考点】计数原理的应用．【分析】根据红包的性质进行分类，若甲乙抢的是一个2和一个3元的，若两个和2元或两个3元，根据分类计数原理可得．【解答】解：若甲乙抢的是一个2和一个3元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A32=12种，若甲乙抢的是两个和2元或两个3元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22C32=6种，根据分类计数原理可得，共有12+6=18种，故选：C．8．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点．则下列说法错误的是（）A．当AE⊥PB时，△AEF﹣定为直角三角形B．当AF⊥PC时，△AEF﹣定为直角三角形C．当EF∥平面ABC时，△AEF﹣定为直角三角形D．当PC⊥平面AEF时，△AEF﹣定为直角三角形【考点】棱锥的结构特征．【分析】A．当AE⊥PB时，又PA⊥底面ABC，AB⊥BC，可得AE⊥BC，利用线面垂直的判定与性质定理可得AE⊥EF，即可判断出正误．B．当AF⊥PC时，无法得出△AEF﹣定为直角三角形，即可判断出正误；C．当EF∥平面ABC时，可得EF∥BC，利用线面垂直的判定与性质定理可得：BC⊥AE，EF⊥AE，即可判断出正误；D．当PC⊥平面AEF时，可得PC⊥AE，由C可知：BC⊥AE利用线面垂直的判定与性质定理即可判断出正误．【解答】解：A．当AE⊥PB时，又PA⊥底面ABC，AB⊥BC，∴AE⊥BC，可得：AE⊥平面PBC，∴AE⊥EF，∴△AEF﹣定为直角三角形，正确．B．当AF⊥PC时，无法得出△AEF﹣定为直角三角形，因此不正确；C．当EF∥平面ABC时，平面PBC∩ABC=BC，可得EF∥BC，∵PA⊥底面ABC，AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AE，因此EF⊥AE，则△AEF﹣定为直角三角形，正确；D．当PC⊥平面AEF时，可得PC⊥AE，由C可知：BC⊥AE，∴AE⊥平面PBC，∴AE ⊥EF，因此△AEF﹣定为直角三角形，正确．故选：B．9．已知函数f（x）=，则不等式f（f（x））＜4f（x）+1的解集是（）A．（﹣3，0）B．（﹣，1）C．（0，2）D．（﹣，log32）【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的表达式，讨论f（x）的符号，将不等式进行转化求解即可．【解答】解：由3x+1=0得x=﹣，当x＜﹣时，3x+1＜0，则由f（f（x））＜4f（x）+1得f（3x+1））＜4（3x+1）+1，即3（3x+1）+1＜12x+4+1，即9x+4＜12x+5，得x＞﹣，此时不等式无解，当x≥﹣时，当x≥0时，f（x）=3x≥1，则由f（f（x））＜4f（x）+1得＜4•3x+1，设t=3x，则不等式等价为3t＜4t+1，设g（t）=3t﹣4t﹣1，则g（0）=0，g（2）=9﹣8﹣1=0，即g（t）＜0的解为0＜t＜2，即0＜3x＜2，得0≤x＜log32，当﹣≤x＜0时，f（x）=3x+1≥0，则f（f（x））=33x+1，则由f（f（x））＜4f（x）+1得33x+1＜4（3x+1）+1，设t=3x+1，则不等式等价为3t＜4t+1，设g（t）=3t﹣4t﹣1，则g（0）=0，g（2）=9﹣8﹣1=0，即g（t）＜0的解为0＜t＜2，即0＜3x+1＜2，即﹣1＜3x＜1，得﹣＜x＜，此时﹣＜x＜0，综上所述，﹣＜x＜log32．即不等式的解集为（﹣，log32），故选：D10．已知抛物线y=x2的焦点为F，经过y轴正半轴上一点N作直线l与抛物线交于A，B两点，且=2（O为坐标原点），点F关于直线OA的对称点为C，则四边形OCAB面积的最小值为（）A．3 B．C．2D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设直线AB方程为y=kx+b（b＞0），联立y=x2求解利用=2，求出b，可得直线AB方程为y=kx+2，设d1、d2分别为F到OA、O到AB的距离，利用四边形OCAB的面积S=S△OAC+S△OAB=（OA•d1+AB•d2），可得S关于k的函数，利用导数知识即可求解．【解答】解：不妨设位于第一象限的交点为A（x1，y1）、第二象限的交点为B（x2，y2），则x1＞0，x2＜0．OA的直线方程为y=x=x1x，F点的坐标为（0，）．设直线AB方程为y=kx+b（b＞0），联立y=x2求解，有x2﹣kx﹣b=0∴x1+x2=k，x1x2=﹣b，∴y1y2=b2，∵=2，∴x1x2+y1y2=﹣b+b2=2∵b＞0，∴b=2∴△=k2+8，x1=（k+）①；线段AB=②．设d1、d2分别为F到OA、O到AB的距离．∵C是F关于OA的对称点，∴C到OA的距离=d1．∴四边形OCAB的面积S=S△OAC+S△OAB=（OA•d1+AB•d2）．根据点到直线距离公式，d1=③，d2=④．又线段OA=⑤，∴将①～⑤代入S，有S=（k+17）．由S对k求导，令导函数=0，可得1+=0，解得k=﹣时，S最小，其值为3．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知双曲线=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线=1的右焦点为（3，0），求出|a|，再利用双曲线的定义，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线=1的右焦点为（3，0），∴a2+5=9，∴|a|=2，∵c=3，∴双曲线的离心率等于．故答案为：．12．的展开式中，x2项的系数为﹣20．（用数字作答）【考点】二项式定理的应用．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的x2项的系数．【解答】解：在的展开式中，它的通项公式为T r+1=•x5﹣r•（﹣1）r，令5﹣r=2，求得r=3，可得x2项的系数为﹣=﹣20，故答案为：﹣20．13．已知实数x，y满足，则x2+y2﹣2x的取值范围是[﹣1，19] ．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，而（x﹣1）2+y2的几何意义表示平面区域内的点与（1，0）的点距离的平方，求出（x﹣1）2+y2的范围，从而求出x2+y2﹣2x的范围即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由，解得A（3，4），x2+y2﹣2x=（x﹣1）2+y2﹣1，而（x﹣1）2+y2的几何意义表示平面区域内的点与（1，0）的点距离的平方，0≤（x﹣1）2+y2≤20，∴﹣1≤（x﹣1）2+y2≤19，故答案为：[﹣1，19]．14．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=•tan•tan…tan的值．由于：S=•tan•tan…tan tan=•tan•tan…cot•cot=tan=．故答案为：．15．已知函数f（x）=x+sin2x．给出以下四个命题：①∀x＞0，不等式f（x）＜2x恒成立；②∃k∈R，使方程f（x）=k有四个不相等的实数根；③函数f（x）的图象存在无数个对称中心；④若数列{a n}为等差数列，且f（a l）+f（a2）+f（a3）=3π，则a2=π．其中的正确命题有③④．（写出所有正确命题的序号）【考点】函数的图象．【分析】①用特殊值的方法即可；②③根据函数图象判断；④可用反代的方法判断成立．【解答】解：①当x=时，显然f（x）＞2x，故错误；②根据函的图象易知，方程f（x）=k最多有三个不相等的实数根，故错误；③根据函数的图象易知函数f（x）的图象存在无数个对称中心，故正确；④f（a l）+f（a2）+f（a3）=3π，∴a l+a2+a3=3π，sina l+sina2+sina3=0，解得a2=π，故正确．故答案为：③④．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=，且b2+c2=3+bc．（I）求角A的大小；（Ⅱ）求bsinC的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由余弦定理可得：cosA===，即可得出．（II）由正弦定理可得：可得b=，可得bsinC=2sinBsin=+，根据B∈即可得出．【解答】解：（I）由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=．（II）由正弦定理可得：，可得b=，bsinC=•sinC=2sinBsin=2sinB=sin2B+=+，∵B∈，∴∈．∴∈．∴bsinC∈．17．已知数列{a n}满足a1=1，（n+1）a n=（n﹣1）a n，（n≥2，n∈N*）．﹣1（I）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n．证明：S n＜2．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）依题意，可得a n=••…×××a1=，再验证n=1时是否符合该式即可得到答案，（Ⅱ）先裂项求和，再放缩法证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵a1=1，（n+1）a n=（n﹣1）a n，﹣1∴=，∴=，…，==，==，∴a n=••…×××a1=，又n=1时a1=1，满足上式，∴数列{a n}的通项公式a n=，（Ⅱ）∵a n==2（﹣），∴S n=a1+a2+…+a n=2（1﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣）＜2，问题得以证明．18．某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这20个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为l的奇数，则为一等奖，奖金100元；若抽取的小球编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立．（I）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；（Ⅱ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设一次抽奖抽中i等奖的概率为P i（i=1，2），没有中奖的概率为P0，由此能求出该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率．（Ⅱ）X的可能取值为0，50，100，150，200，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）设一次抽奖抽中i等奖的概率为P i（i=1，2），没有中奖的概率为P0，则P1+P2==，即中奖的概率为，∴该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率为：P==．（Ⅱ）X的可能取值为0，50，100，150，200，P（X=0）=，P（X=50）==，P（X=100）==，P（X=150）==，P（X=200）==，X∴EX==55（元）．19．如图．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB=90°，且AC=1，AB=2，E为BB1的中点，M为AC上一点，=．（I）证明：CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）若二面角C1﹣A1E﹣M的余弦值为，求AA1的长度．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）建立空间直角坐标系，利用向量关系求出F的坐标，根据线面平行的判定定理即可证明证明：CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】（I）如图，连接AB1，交A1E于F，连接MF，∵E为BB1的中点，∴建立以A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：设AA1=h，则A（0，0，0），C1（0，1，h），A1（0，0，h），E（2，0，），M（0，，0），B1（2，0，h），设F（x，0，z），则∥，∥，∵=（x，0，z），=（2，0，h），∴①∵=（x，0，z﹣h），=（2，0，﹣），∴=②，由①②得z=h，x=，或F作FT⊥AB，则==，则∴AF=AB1，∵=．∴MF∥CB1，∵MF⊂平面平面A1EM，CB1⊄平面A1EM，∴CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）设平面C1A1E的法向量为=（x，y，z），平面MA1E的法向量为=（x，y，z），则，则，令z=1，则x=，y=0，则=（，0，1），由得，令z=1，则x=，y=，即=（，，1）|cos＜，＞|==，得h2=2，即h=，则AA1的长度为．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且|PF1|=．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）与抛物线相切于第一象限的直线l，与椭圆交于A，B两点，与x轴交于M点，线段AB的垂直平分线与y轴交于N点，求直线MN斜率的最小值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）求得抛物线的焦点，可得c=1，设P为（，m），由椭圆的焦半径公式可得，|PF1|=a+•=，由椭圆和抛物线的定义可得，2a=++1，解方程可得a=2，由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b（k＞0），代入抛物线的方程，由判别式为0，可得kb=1，再由椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，以及基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：（I）抛物线y2=4x的焦点为（1，0），可得椭圆的c=1，设P为（，m），由椭圆的焦半径公式可得，|PF1|=a+•=，由椭圆和抛物线的定义可得，2a=++1，解得a=2，b==，即有椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b（k＞0），代入抛物线的方程，可得k2x2+（2kb﹣4）x+b2=0，由相切的条件可得，△=（2kb﹣4）2﹣4k2b2=0，化简可得kb=1，由y=kx+和椭圆方程3x2+4y2=12，可得（3+4k2）x2+8x+﹣12=0，由64﹣4（3+4k2）（﹣12）＞0，可得k＞，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=﹣，即有中点坐标为（﹣，），设N（0，n），由=﹣，可得n=﹣，由y=kx+，设y=0，则x=﹣，M（﹣，0），可得直线MN的斜率为k MN==﹣=﹣≥﹣=﹣．当且仅当k=＞时，取得最小值﹣．21．设函数f（x）=lnx．（I）求函数g（x）=x﹣1﹣f（x）的极小值；（Ⅱ）若关于x的不等式mf（x）≥在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）已知a∈（0，），试比较f（tana）与﹣cos2a的大小，并说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）求导数，确定函数的单调性，即可求函数g（x）=x﹣1﹣f（x）的极小值；（Ⅱ）mf（x）≥可化为mlnx﹣≥0，构造函数，得出m（x+1）2﹣2x≥0在[1，x0]上恒成立，即可求实数m的取值范围；（Ⅲ）已知a∈（0，），证明＜，分类讨论，即可比较f（tana）与﹣cos2a的大小．【解答】解：（I）函数g（x）=x﹣1﹣f（x）=x﹣1﹣lnx，g′（x）=（x＞0），∴g（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，∴x=1时，g（x）的极小值为0；（Ⅱ）mf（x）≥可化为mlnx﹣≥0，令h（x）=mlnx﹣（x≥1），则h′（x）=，∵h（1）=0，∴∃x0＞1，h（x）在[1，x0]上单调递增，∴m（x+1）2﹣2x≥0在[1，x0]上恒成立，∴m≥；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知x＞1，＞．∵0＜x＜1，∴＞1∴＞，∴＜，令x=t2，可得t＞1，lnt＞，0＜t＜1，lnt＜，∵f（tana）=lntana，﹣cos2a=，∴0＜a＜，0＜tana＜1，f（tana）＜﹣cos2aa=，tana﹣1，f（tana）=﹣cos2a，＜a＜，tana＞1，f（tana）＞﹣cos2a．2018年9月20日。

2018年成都实验外国语学校数学真卷 时间：90分钟 满分：120分姓名：____________ 分数：___________一、选择题：（每小题2分，共20分）1、从东城到西城，甲需要10小时，乙需要15小时，甲的速度比乙的速度快（ ）。

A 、33.3% B 、3.3% C 、50% D 、5%2、一个边长10厘米的正方形，相邻的两边中，一边增加2厘米，另一边减少2厘米，那么它的周长和面积的变化情况是（ ）。

A ．周长和面积都不变B. 周长增加，面积相等C ．周长不变，面积缩小D. 周长缩短，面积相等3、用一根52厘米长的铁丝，恰好可以焊成一个长6厘米，宽4厘米，高（ ）厘米的长方体。

A 、2B 、3C 、4D 、54、甲仓库存货量比乙仓库多10%，乙仓库存货量比丙仓库少10%，那么（ ）。

A 、甲仓与乙仓相等。

B 、 甲仓最多 C 、 丙仓最多 D 、无法比较5、若01>>>b a ，则下面4个式子中，不正确的是（ ） A 、b a ÷<÷11 B 、 22b a < C 、 5252÷>÷b a D 、3311b a -<- 6、修一条水渠，计划每天修80米，20天可以完成，如果要提前4天完成，那么，每天要比计划多修（ ）米。

A 、20B 、60C 、64D 、1007、在一块边长为4厘米的正方形的铁皮上，剪出直径为2厘米的小圆片，最多可剪（ ）片。

A ．3B ．4C ．5D ．68、甲乙二人从底楼（第一层）开始比赛爬楼梯（每两层之间楼梯的级数相同），甲跑到第4层时，乙恰好到第3层，照这样的速度，甲跑到第16层时，乙跑到（ ）层。

A ．9B ．10C ．11D ．129、360的因数共有（ ）个。

A 、26B 、25C 、24D 、2310、甲步行每分钟行80米，乙骑自行车每分钟行200米，二人同时同地相背而行3分钟后，乙立即掉回头来追甲，再经过（ ）分钟乙可追上甲。

222018年成都某实验外国语学校招生数学真卷(二)(满分:120分时间:70分钟)一、选择题(共8题，每小题2分，共计16分)1.(长方体的特征)用一根长48厘米的铁丝，恰好可以焊成一个长4cm、宽3cm、高（）厘米的长方体。

A.2B.3C.4D.52.(和倍问题)甲数是a+2，乙数是2a，则甲数的2倍（）。

A.比乙数大4B.比乙数大2C.和乙数一样大D.和乙数的大小关系由a的值确定3.(A.B.C.D4.(A.3a1.(6.(A.07.(8.(；B.1:1:2C.1:2:2D.1:2:5分，共计16分)9.(互为倒数，则5-2ab=_。

10.(最小公倍数)若a=4x3x5，b=2x9，则a、b的最小公倍数是。

11.(分段收费)某地出租车的收费标准是:起步价10元；3千米后，每增加500米，车费就增加0.9元。

王老师从学校打的去名人广场，共花了31.6元车费。

问:学校距离名人广场千米。

12.(概率问题)有一个三位数8口2，口中的数字由小欣投掷的骰子决定，投出点数为1，则8口2就为812。

小欣打算投掷一颗骰子，骰子上标有1~6的点数，若骰子上的每个点数出现的机会相等，则三位数8口2是3的倍数的几率为。

13.(得分问题）为了迎接十九大，我校某班举行党的知识竞赛，试题共20道，答对一道得10分，答错或不答倒扣5分，晨晨最终得了110分，则她答对了。

14.(逻辑运算)小昱和阿帆均从同一本书的第1页开始，逐页依顺序在每一页上写一个数。

小昱在第1页写1，且之后每一页写的数均为他在前一页写的数加2；阿帆在第1页写1，且之后每一页写的数均为他在前一页写的数加7。

若小昱在某页写的数为101，则阿帆在该页写的数为。

15.(立方体体积)如右图，将一个正方体切成8个小正方体后，表面积增加了216平方厘米，原来正方体的体积是立方厘米。

16.(数论)一个自然数，如果去掉它的百位数字，就得到一个新的自然数:如果去掉它的十位数字，又得到另一个新的自然数，若这3个自然数之和为2008，则原来的自然数是。

2018年某成外、成实外、成实外西区三校联考招生数学真卷 (满分：120分 时间：90分钟)一、填空题(每空1分，共16分)1.【年龄问题】李老师a 岁，笑笑(a-18)岁，再过n 年后，他们相差()岁。

2.【比较大小】设6229=A ，626160293031=B ，比较大小：A( )B 3.【分数应用】40吨增加51后是( )吨，( )千米减少51后是40千米。

4.【数论】在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得的三位数比原数大8倍，那么这个两位数是()。

5.【植树问题】把一根6米长的小棒锯成相等的几段，共锯了4次，每段长()米，每段占全长的()。

6.【时钟问题】现在是4点整，再过()分，时针与分针第一次重合。

7.【长方形面积】一个长方形的周长是160分米，长与宽的比是5:3，这个长方形的面积是()平方米。

8.【定义新运算】定义新运算※：a※b=3a -2b ，已知4※x=2，则x=()。

9.【年龄问题】叔叔对淘气说：“到21世纪的2x 年，我刚好x 岁。

”，那么叔叔生于()年。

10.【工程问题】有一项工程，甲单独做16天完成，乙单独做12天完成。

现在甲先做了几天，乙接着又做几天，共用14天完成。

甲做了()天。

11.【圆的面积】已知一个圆的面积为50.24平方厘米，那么这个圆的直径为( )厘米。

12.【数论】有一个整数除300、262、205，得到相同的余数，这个整数是()。

13.【圆环面积】一个圆环外直径是36厘米，环宽6厘米，这个圆环的面积是( )平方厘米。

14.【平面图形面积】如图所示，四边形的总面积为72，已知两个小三角形的面积分别是11和13，那么图中四个小三角形中面积最大的一个面积是()。

二、判断题，正确的打“√"，错误的打“×”(共12分) 15.【倒数应用】假分数的倒数一定小于1。

()16.【比的应用】72:1:=B A ，当A 增加2倍，B 乘以3后，这时A 与B 的比值还是72:1。

2018年成都某外国语学校招生数学真卷(二)(满分：100分 时间：90分钟)一、判断题。

(每题1分，共6分)1.【圆的面积】圆的面积与半径成正比例。

( )2.【周期问题】一年最多有53个星期日。

( )3.【位置关系】A 、B 相距300米，B 、C 相距200米，则A 、C 一定相距500米。

( )4.【立体图形】从高12厘米的圆锥顶端截去一个高为4厘米的小圆锥，则小圆锥与余下部分体积的比是1:26。

( )5.【立体图形的体积】把一个正方体的木块削成一个最大的圆柱，正方体和圆柱的体积比是4:π。

( )6.【分数的性质】一个真分数的分子和分母同时加上同一个非0自然数，所得的新分数一定大于原数。

( )二、选择题(每题1分，共5分)7.【量率对应】一项工程，单独完成甲要10天，乙要8天，丙要12天，甲、乙、丙工作效率的比是( )。

A.10:8:12B.5:4:6C.12:15:10D.81:121:101 8.【方阵问题】六年级120人排成一个三层的空心方阵，这个空心方阵最外层 每边有( )人。

A.12B.13C.40D.309.【设数法】有甲、乙两根绳子，从甲绳上先剪去全长的43，再接上43米，从乙绳上先剪去43米，再剪去余下绳子的43，这时两根绳子所剩下的长度相等，原来这两根绳子比较( )。

A.甲长B.乙长C.同样长D.无法确定10.【归一问题】小明从A 地到B 地的平均速度为3米/秒，然后又从B 地按原路以7米/秒的速度返回A 地，那么，小明在A 地与B 地之间一个来回的平均速度应为( )米/秒。

A.4.2B.4.8C.5D.5.411.【方中圆】如果一个圆的直径与正方形的边长相等，那么圆的面积( )正方形的面积。

A.大于B.等于C.小于三、填空题(每题2分，共24分)12.【周期问题】把111140化成小数时，连同整数部分第2019位上的数字是____。

13.【分解质因数】一个正整数A 与1080的乘积是一个完全平方数，A 的最小值是__________。