空间向量的应用教学设计

空间向量在立体几何中的应用教学设计一、教学目标1.知识目标：了解空间向量的概念和性质，掌握空间向量的基本运算法则。

2.能力目标：能够应用空间向量的知识解决立体几何中的问题，如线段长度、向量共线、线段垂直等。

3.情感目标：培养学生的观察力和分析问题的能力，增强解决问题的自信心。

二、教学重点与难点1.教学重点：空间向量的概念和运算法则。

2.教学难点：将空间向量的知识应用到立体几何问题中。

三、教学准备白板、黑板笔、投影仪、屏幕、计算器等。

四、教学过程Step 1 引入1.教师出示两个立方体模型并提问：你们能用线段表示两个立方体顶点之间的距离吗？2.引出空间向量的概念，并与平面向量进行比较，说明二者的区别。

Step 2 理论讲解1.教师通过投影仪将空间向量的定义、表示和性质呈现给学生，学生做好笔记。

2.教师讲解空间向量的基本运算法则，例如加法、数乘和点乘，并通过具体的例题演示计算过程。

Step 3 实例分析1. 教师出示一道题目：“已知直线l: $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$，过直线l上一点A(2,3,4)，作与直线垂直的平面，并找出平面与原点O(0,0,0)的距离。

”2.请学生先思考如何解决这个问题，然后汇报自己的解题思路。

3.教师引导学生运用空间向量的知识来解答问题，并逐步给予提示。

4.学生进行计算，分组讨论和交流思路。

Step 4 拓展应用1.教师设计一道拓展题：“已知线段AB与线段CD的中点E重合，向量BD的坐标为(1,2,3)，向量CE的坐标为(4,5,6)，求向量AD的坐标。

”2.学生尝试解答，提出自己的解题思路。

3.教师引导学生应用向量共线的性质来解答问题，并逐步给予提示。

4.学生进行计算，分组讨论和交流思路。

Step 5 总结与归纳1.教师引导学生回顾本节课的学习内容，总结空间向量的基本性质和运算法则。

2.学生通过小组合作的方式归纳学习过程中的思考和解题方法。

1.4 空间向量的应用（教案）-2022-2023学年高二数学教材配套教案（人教A版2019选择性必修第一册）【教学目标】1.理解空间向量的加、减、数乘及点积的定义和运算法则；2.掌握使用坐标法求解空间向量的相关问题；3.能够应用空间向量解决立体几何中的实际问题。

【教学内容分析和设计】一、概念和性质1.向量的基本概念及向量的相等和共线2.向量的加、减、数乘及点积的定义和运算法则；3.向量的模长、单位向量、方向余弦、共面、垂直、夹角等相关概念。

二、坐标法1.空间直角坐标系及三维空间中向量的坐标表示；2.向量的加、减、数乘及点积的坐标表示；3.坐标法求解向量的模长、方向余弦、共面、垂直、夹角等相关问题。

三、应用实例1.以向量为工具，解决平面或空间几何中的相关问题；2.以向量为工具，解决机器人运动的问题；3.以向量为工具，理解矢量力在立体图形中的应用。

【课时安排】本次教学安排5课时。

【教学步骤设计】一、由图至式，引入空间向量的定义及基本概念。

1.结合实际，引导学生发现向量的概念，并介绍向量的基本性质；2.引导学生掌握向量的相等、共线的判定方法。

二、向量的表示及运算法则3.引导学生理解向量的加、减、数乘及点积，并讲解相应的运算法则；4.以包括网格点的三维空间相互平移, 介绍向量的模长、单位向量、方向余弦及夹角等相关概念；5.练习向量的加、减、数乘及点积的计算。

三、空间向量的坐标表示6.介绍空间直角坐标系，并讲解向量的坐标表示及相应的运算法则；7.练习空间向量的坐标表示及计算。

四、应用实例8.引导学生理解向量的应用，解决平面或空间几何中的相关问题；9.引导学生掌握向量在机器人运动中的应用；10.以矢量力为例，引导学生理解其在立体图形中的应用。

五、课后作业11.引导学生进一步练习空间向量相关知识的应用，并完成相关课后作业题目。

【教学重点和难点】教学重点：掌握向量加、减、数乘、点积的定义和运算法则，掌握向量的坐标表示及应用。

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时 用空间向量研究距离问题本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节课主要学习运用空间向量解决计算空间距离问题。

在向量坐标化的基础上，将空间中点到线、点到面、两条平行线及二平行平面角的距离问题，首先转化为向量语言，进而运用向量的坐标表示，从而实现运用空间向量解决空间距离问题，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间。

1.教学重点：理解运用向量方法求空间距离的原理2.教学难点：掌握运用空间向量求空间距离的方法多媒体一、情境导学如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路,某人要在点A 处，修建一个蔬菜存储库。

如何在公路上选择一个点,修一条公路到达A 点,要想使这个路线长度理论上最短,应该如何设计？问题：空间中包括哪些距离?求解空间距离常用的方法有哪些? 答案：点到直线、点到平面、两条平行线及两个平行平面的距离; 传统方法和向量法. 二、探究新知一、点到直线的距离、两条平行直线之间的距离 1.点到直线的距离已知直线l 的单位方向向量为μ,A 是直线l 上的定点,P 是直线l 外一点.设AP⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,则向量AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在直线l 上的投影向量AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ·μ)μ.点P 到直线l 的距离为PQ=√a 2−(a ·μ)2. 2.两条平行直线之间的距离求两条平行直线l ,m 之间的距离,可在其中一条直线l 上任取一点P ,则两条平行直线间的距离就等于点P 到直线m 的距离.点睛：点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,由于直线与直线外一点确定一个平面,所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题.1.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2,E ,F 分别是C 1C ,D 1A 1的中点,则点A 到直线EF 的距离为 .答案:√1746解析:如图,以点D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系,则A (2,0,0),E (0,2,1),F (1,0,2),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2,1), FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),∴|EF⃗⃗⃗⃗⃗ |=√12+(−2)2+12=√6, ∴直线EF 的单位方向向量μ=√66(1,-2,1),∴点A 到直线EF 的距离d=√|FA⃗⃗⃗⃗⃗ |2−(−√66)2=√296=√1746.二、点到平面的距离、两个平行平面之间的距离 点到平面的距离已知平面α的法向量为n ,A 是平面α内的定点,P 是平面α外一点.过点P 作平面α的垂线l ,交平面α于点Q ,则点P 到平面α的距离为PQ=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n||n|.点睛：1.实质上,n 是直线l 的方向向量,点P 到平面α的距离就是AP⃗⃗⃗⃗⃗ 在直线l 上的投影向量QP⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度. 2.如果一条直线l 与一个平面α平行,可在直线l 上任取一点P ,将线面距离转化为点P 到平面α的距离求解. 3.两个平行平面之间的距离如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一点P ,可将两个平行平面的距离转化为点P 到平面β的距离求解.2.在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面边长为2,侧棱长为4,则点B1到平面AD 1C 的距离为 .答案: 83 解析:以D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y轴,z 轴,建立空间直角坐标系,则A (2,0,0),C (0,2,0),D 1(0,0,4),B 1(2,2,4),则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,0),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,4),B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,0), 设平面AD 1C 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则{n ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{−2x +2y =0,−2x +4z =0.取z=1,则x=y=2,所以n =(2,2,1). 所以点B 1到平面AD 1C 的距离d=|n·B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|=83.三、典例解析例1.已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求点B 到直线A 1C 1的距离.解:以B 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A 1(4,0,1),C 1(0,3,1),所以直线A 1C 1的方向向量A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,3,0),BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,1),所以点B 到直线A 1C 1的距离d=√|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||2=√10−(95)2=135.用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点: (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段;(2)在直线上可以任意选点,但一般选较易求得坐标的特殊点; (3)直线的方向向量可以任取,但必须保证计算正确.延伸探究1 例1中的条件不变,若M ,N 分别是A 1B 1,AC 的中点,试求点C 1到直线MN 的距离.解:如例1解中建立空间直角坐标系(图略). 则M (2,0,1),N (2,32,0),C 1(0,3,1),所以直线MN 的方向向量为MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,32,−1)，MC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,3,0), 所以点C 1到MN 的距离d=√|MC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|MC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||2=2√28613. 延伸探究2 将条件中直三棱柱改为所有棱长均为2的直三棱柱,求点B 到A 1C 1的距离.解:以B 为坐标原点,分别以BA ,过B 垂直于BA 的直线,BB 1为x 轴,y轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则B (0,0,0),A 1(2,0,2),C 1(1,√3,2),所以A 1C 1的方向向量A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,0),BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,2), 所以点B 到直线A 1C 1的距离d=√|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||2=√8−(−1+3+02)2=√8−1=√7.例2 在三棱锥S-ABC 中,△ABC 是边长为4的正三角形,平面SAC ⊥平面ABC ,SA=SC=2√3M ,N 分别为AB ,SB 的中点,如图所示.求点B 到平面CMN 的距离.思路分析 借助平面SAC ⊥平面ABC 的性质,建立空间直角坐标系,先求平面CMN 的法向量,再求距离. 解:取AC 的中点O ,连接OS ,OB.∵SA=SC ,AB=BC ,∴AC ⊥SO ,AC ⊥BO.∵平面SAC ⊥平面ABC ,平面SAC ∩平面ABC=AC , ∴SO ⊥平面ABC.又BO ⊂平面ABC ,∴SO ⊥BO.如图所示,分别以OA ,OB ,OS 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系Oxyz ,则B (0,2√3,0),C (-2,0,0),S (0,0,2√2),M (1,√3,0),N (0,√3,√2). ∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,√3,0),MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,√2),MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,0). 设n =(x ,y ,z )为平面CMN 的一个法向量, 则{CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =3x +√3y =0,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =−x +√2z =0,取z=1, 则x=√2,y=-√6,∴n =(√2,-√6,1).∴点B 到平面CMN 的距离d=|n·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|=4√23.求点到平面的距离的主要方法 (1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离. (2)在三棱锥中用等体积法求解. (3)向量法:d=|n·MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|(n 为平面的法向量,A 为平面上一点,MA 为过点A的斜线段)跟踪训练1 在直三棱柱中,AA 1=AB=BC=3,AC=2,D 是AC 的中点.(1)求证:B 1C ∥平面A 1BD ;(2)求直线B 1C 到平面A 1BD 的距离.(1)证明:连接AB 1交A 1B 于点E ,连接DE. DE ∥B 1C,DE ⊂平面A 1BD}⇒B 1C ∥平面A 1BD.(2)解:因为B 1C ∥平面A 1BD ,所以B 1C 到平面A 1BD 的距离就等于点B 1到平面A 1BD 的距离.如图建立坐标系,则B 1(0,2√2,3),B (0,2√2,0),A 1(-1,0,3), DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√2,3), DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√2,0), DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,3).设平面A 1BD 的法向量为n =(x ,y ,z ),所以{2√2y =0,−x +3z =0,所以n =(3,0,1). 所求距离为d=|n·DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|=3√1010.金题典例 如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠ABC=90°,BC=2,CC 1=4,点E 在棱BB 1上,EB 1=1,D ,F ,G 分别为CC 1,B 1C 1,A 1C 1的中点,EF 与B 1D 相交于点H.(1)求证:B 1D ⊥平面ABD ;(2)求证:平面EGF ∥平面ABD ; (3)求平面EGF 与平面ABD 的距离.思路分析： 根据两个平行平面间距离的定义,可将平面与平面间的距离转化为一个平面内一点到另一个平面的距离,即点面距. (1)证明:如图所示建立空间直角坐标系, 设AB=a ,则A 1(a ,0,0),B 1(0,0,0),C 1(0,2,0),F (0,1,0),E (0,0,1),A (a ,0,4),B (0,0,4),D (0,2,2), G (a2,1,0).所以B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,0,0),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-2). 所以B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0+0+0=0,B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+4-4=0. 所以B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以B 1D ⊥AB ,B 1D ⊥BD.又AB ∩BD=B ,所以B 1D ⊥平面ABD.(2)证明:由(1)可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ==(-a ,0,0),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ==(0,2,-2),GF⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a2,0,0),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ==(0,1,-1),所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ==2GF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ==2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以GF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以GF ∥AB ,EF ∥BD.A.12B.√24C.√22D.√32答案:B解析:建立坐标系如图,则A (1,0,0),B (1,1,0),D 1(0,0,1),O (12,12,1).∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1).设n =(1,y ,z )是平面ABC 1D 1的一个法向量, 则{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =y =0,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =−1+z =0,解得y=0,z=1,∴n =(1,0,1).又OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−12,−1),∴点O 到平面ABC 1D 1的距离为|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n||n|=12√2=√24.4.Rt △ABC 的两条直角边BC=3,AC=4,PC ⊥平面ABC ,PC=95,则点P 到斜边AB 的距离是 . 答案:3解析:以点C 为坐标原点,CA ,CB ,CP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则A (4,0,0),B (0,3,0),P (0,0,95),所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,3,0), AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,0,95), 所以点P 到AB 的距离d=√|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−(|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |)2=√16+8125−25625=3.5.棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是线段BB 1,B 1C 1的中点,则直线MN 到平面ACD 1的距离为 . 答案:√32解析:如图,以点D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.则D (0,0,0),C (0,1,0),D 1(0,0,1),M (1,1,12),A (1,0,0),∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,12),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1). 设平面ACD 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{−x +y =0,−x +z =0.令x=1,则y=z=1,∴n =(1,1,1).∴点M 到平面ACD 1的距离d=|AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n||n|=√32.故直线MN 到平面ACD 1的距离为√32.四、小结教学中主要突出了几个方面：一是进一步突出运用向量法解决立体几何问题的基本程序，发展学生的数学建模思想和逻辑推理能力。

高中数学备课教案向量的空间几何应用一、授课目标本课程的目标是要使学生掌握向量的空间几何应用，包括向量的数量积、向量的叉积及其在空间几何上的应用。

学生通过本节课程的学习，能够在解决空间几何问题时灵活运用向量的方法。

二、教材分析本节课程主要参考教材是高中数学课程标准实验教科书。

通过教材分析，可以看出使用向量的方法来解决空间几何问题，是高中数学课程中比较重要的一环。

本课程将着重于引导学生掌握向量的空间几何应用，认真贯彻数学课程标准，有利于学生的数学素养的提高。

三、教学过程本节课程的全过程分为导入、讲解、练习、总结等几个环节。

1.导入向学生介绍向量的概念及相关术语，例如向量的起点、终点、方向、大小等，以及向量的基本运算法则。

同时，引导学生思考一下向量的应用场景，如何运用向量解决空间几何问题。

2.讲解本节课程的重点是向量的空间几何应用。

首先讲解向量的数量积及其几何意义，例如向量的数量积可以用来计算向量夹角、判断两个向量的方向关系等问题。

接着讲解向量的叉积及其几何意义，例如向量的叉积可以用来计算向量所在平面的法向量、计算向量的面积等问题。

通过以上内容的讲解，学生应掌握向量的数量积和叉积的相关概念、运算法则及其几何意义。

3.练习在讲解完毕后，教师应引导学生进行一些练习，以便巩固所学知识。

这些练习可以是选择题、填空题、计算题等，还可以加入实际应用题，让学生更好地理解向量的空间几何应用。

4.总结在讲解和练习之后，教师应对所有学生的练习结果进行点评，帮助学生找出自己的不足和需要改进的地方。

同时，教师还应对本节课程进行总结，概括本节课程所涉及的知识点和思考题，加深学生对向量的空间几何应用的理解。

四、教学反思本节课程通过向学生介绍向量的概念及相关术语，如何运用向量解决空间几何问题，讲解向量的数量积及其几何意义，向量的叉积及其几何意义等几个环节，使学生更好地掌握向量的空间几何应用。

在后续的教学中，可以进一步引导学生深入理解向量的空间几何应用，在实际应用场景中熟练运用向量的方法，提升学生的数学水平和综合素质。

空间向量的运算与应用教学设计和教学方法在数学与物理学领域中，空间向量的运算与应用是一项重要的课程内容。

本文将介绍一种针对空间向量的教学设计和教学方法，旨在帮助学生更好地理解和应用空间向量的运算。

1. 引言这个部分可以简要介绍空间向量的概念和重要性，为读者提供背景信息。

2. 教学目标在这一节中，可以列举几个学习目标，比如：(1) 理解空间向量的定义和性质；(2) 能够进行空间向量的加法、减法和数乘运算；(3) 掌握空间向量的模、方向和夹角的计算方法；(4) 了解空间向量在物理学等实际问题中的应用。

3. 教学内容本节可以详细介绍空间向量的基本概念和定义，包括向量的表示方法、加法、减法和数乘运算的规则等。

同时，可以举例说明空间向量的性质和具体计算步骤。

4. 教学方法(1) 理论讲解：通过讲解空间向量相关的概念和性质，帮助学生建立起对空间向量的认知框架。

(2) 示范演示：通过示范和解题实例，引导学生掌握具体的运算方法和计算技巧。

(3) 练习巩固：设计一些练习题，使学生能够独立完成空间向量的运算练习，并提供及时的反馈和指导。

(4) 实践应用：通过实际问题、案例分析等方式，让学生将所学的空间向量知识应用到解决实际问题中，培养学生的应用能力。

5. 教学资源这一节可以列举一些教学资源的参考，如教材、课件、练习册、模拟软件等，供学生参考和使用。

6. 教学评估在学习过程中，通过小测验、课堂参与度、作业和考试等方式进行教学评估，以评判学生的理解、应用和分析能力。

7. 教学延伸针对对空间向量感兴趣的学生，可以推荐一些拓展阅读资源，如相关数学和物理学的教材、文献资料等，以帮助他们进一步探索空间向量的运用领域。

结语空间向量的运算与应用是一门理论与实践相结合的学科，通过合适的教学设计和教学方法，可以帮助学生更好地理解和应用空间向量。

同时，教师的角色也十分重要，需要起到引导和激发学生兴趣的作用。

希望本文提供的教学设计和教学方法能够为相关教育工作者提供一些参考，提高空间向量课程的教学质量。

高中数学空间向量应用教案
教学目标：
1. 了解空间向量的定义和性质。

2. 能够应用空间向量进行问题的解答。

3. 培养学生的空间思维能力和数学解决问题的能力。

教学重点：
1. 理解空间向量的概念和性质。

2. 掌握空间向量的加法、减法和数乘运算。

3. 能够应用空间向量解决相关问题。

教学步骤：
一、导入（5分钟）
1. 引入空间向量的概念，让学生了解空间向量在数学中的重要性和应用。

2. 导入空间向量的概念并展示一些实际问题，引起学生的兴趣和好奇心。

二、讲解（20分钟）
1. 空间向量的定义和性质。

2. 空间向量的加法、减法和数乘运算。

3. 解决一些简单的空间向量问题，让学生加深对空间向量的理解。

三、练习（15分钟）
1. 给学生一些空间向量的练习题，让他们独立完成并互相交流讨论。

2. 老师在一边指导学生解题思路和方法。

四、应用（10分钟）
1. 设计一些实际问题让学生应用空间向量进行解答，培养学生的空间思维。

2. 学生展示解题过程和答案，进行讨论和总结。

五、作业布置（5分钟）
1. 布置相应的空间向量练习题作业，巩固学生的学习成果。

2. 鼓励学生积极思考和总结今天的学习内容。

教学反思：
通过本节课的教学，学生能够对空间向量有了更深入的理解，能够熟练应用空间向量解决相关问题。

同时，通过实际问题的应用，培养学生的空间思维和解决问题的能力。

在以后的学习和生活中，学生能够更好地运用空间向量解决实际问题。

1第八讲 空间向量的应用一、考情分析在高考的立体几何试题中，平行或垂直的证明、空间角与空间距的求解是常考查的问题，其传统的“三步曲”解法：“作图、证明、解三角形”，作辅助线多、技巧性强，是复习的难点．空间向量的引入有利于解决这些问题，为立体几何增添了活力，新思想、新方法与时俱进，很多较难的空间的证明或计算问题，就有了解决的通法，减少学生学习度量问题的困难．本讲主要帮助考生理解并领悟向量工具的威力，运用向量方法简捷地解决这些问题．二、知识归纳及例析 （一）平行的证明（1）两条直线平行的证明思路：a b a b a b λ⇔⇔=（a b 、　分别是a b 、的方向向量）． （2）直线与平面平行的证明思路： 法1：0a a n a n α⇔⊥⇔⋅=（a n 、　分别是a α、的方向向量、法向量）； 法2：12aa xe ye α⇔=+（a 分别是a 的方向向量，12e e 、　是平面α的一个基底）． （3）两个平面平行的证明思路：1212n n n n αβλ⇔⇔=（12n n 、　分别是平面αβ、的法向量）． 例1：（04年湖南卷）在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，ABC PA AC a π∠===，，21PB PD E PD PE ED ==∈=，，：：．（1）证明：PA ⊥平面ABCD ．（2）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF 平面AEC ？ 解析：（1）∵底面ABCD 是菱形，3ABC π∠=，∴PA AD AC a ===，在PAB ∆中，222PA AB PB +=，∴PA AB ⊥，同理，PA AD ⊥，故PA ⊥平面ABCD ．（2）建立直角坐标系，如图，设点F 是棱PC 上()01PF PC λλ=<<，则：2033a a AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，322a AC ⎛= ⎝，)()()31112aBF BP PF BP PC a λλλλ⎛⎫=+=+=-+- ⎪⎪⎝⎭，，，2ABCDOP令BF xAC yAE =+，解之得：113222x y λ==-=，， ∴当点F 是棱PC 的中点时，BF AC AE 、　、　共面，又∵BF ⊄平面AEC ，∴当点F 是棱PC 的中点时，BF 平面AEC ． （二）垂直的证明（1）两条直线垂直的证明思路0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=（a b 、　分别是a b 、的方向向量）． （2）直线与平面垂直的证明思路法1：a a n a n αλ⊥⇔⇔=（a n 、　分别是a α、的方向向量、法向量）； 法2：11220a e a e a a e a e α⎧⎧⊥⋅=⎪⎪⊥⇔⇔⎨⎨⊥⋅=⎪⎪⎩⎩（a 分别是a 的方向向量，12e e 、　是平面α的一个基底）． （3）两个平面垂直的证明思路12120n n n n αβ⊥⇔⊥⇔⋅=（12n n 、　分别是平面αβ、的法向量）． 例2：（05年湖北卷）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面12ABCD AB BC PA E===，，，是PD 的中点． （Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥平面PAC ，并求出N 点到AB 和PA 的距离．解析：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，设AC PB 、　的夹角为θ，则：(310)(302)AC PB ==-，，， ，，，∴cos 2AC PB AC PBθ⋅===． 故AC 与PB 所成角的余弦值为1473． （Ⅱ）由于N 点在侧面PAB 内，故可设()0N x z ，，，则：1(1)2NE xz =--，，， ∵NE ⊥平面PAC ，∴0601NE AP x NE AC z ⎧⎧⋅==⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩=⎩，即01)N ，； 从而N 点到AB 和PA 的距离分别为1．例3：（05年浙江卷）如图，在三棱锥P ABC -中，A B B C A B B C⊥==，，点O D 、分别是AC PC 、的中点，OP ⊥底面C ABC．（1）当12k=时，求直线PA与平面PCB 所成角的大小；（2）当k取何值时，O在平面PCB内的射影恰好为PCB∆的重心？解析：∵OP ABC⊥平面，OA OC AB BC==，，∴OA OB OA OP OBOP⊥⊥⊥，，；建立如图所示的空间直角坐标系，设AB a=，则：000000222Aa B C a⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，设OP h=，则：()00P h，，；（1）当12k=时，2PA a h==，，22PA a⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，，，可求得平面PBC的法向量1,1,n⎛=-⎝∴210cosPA nPA nPA n⋅〈〉==， ，设直线PA与平面PCB所成角为θ，则：sin cos PA nθ=<>=，　故直线PA 与平面PCB所成角为arcsin30．（2）PBC∆的重心11663663G h OG a a h⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，∵OG PBC⊥平面，∴OG PB⊥，又∵02PB a h⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，，，∴2211632OG PB a h h a⋅=-=⇒=，此时，PA a=，即1k=；反之，当1k=时，三棱锥O PBC-为正三棱锥，∴O在平面PCB内的射影恰好为PCB∆的重心．（三）求空间距离问题构成空间的点、线、面之间有六种距离，这里着重研究点面之距的求法，异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求．（1）求点面距离设n是平面α的法向量，在α内取一点B，则A到α的距离为n34cos AB n d AB nθ==．（2）求异面直线的距离在a 上取一点A , 在b 上取一点B , 设a b 、　分别为异面直线a b 、的方向向量，设异面直线a b 、的公共的垂直向量为n()n a n b ⊥⊥，　，则异面直线a b 、的距离为：cos AB n d AB nθ⋅==（此方法移植于点面距离的求法）．例4：正方体1AC 的棱长为a ，求异面直线1AC BC 、的距离． 解析：建立直角坐标系，如图，设异面直线1AC BC 、的公共的垂直向量为()1n x y =，，，则：()101110n AC n n BC ⎧⋅=⎪⇒=-⎨⋅=⎪⎩，，　， ∵AB 在()111n =-，，上的投影长为：3AB n an⋅= ∴异面直线1AC BC 、的距离为3． （四）求空间角问题空间的角主要有：异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角． （１）求异面直线所成的角设a b 、　分别为异面直线a b 、的方向向量，异面直线成角的范围是02πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，而向量的夹角的范围是[]0θπ∈，，则：cos cos arccosa b a b a ba bαθα==⇒=．例5：三棱柱111OAB O A B -中，平面1OB ⊥平面132OAB O OB AOB ππ∠=∠=，，，12OB O O ==，OA =求异面直线11A B AO 、所成的角．解析：本题宜于运用向量法解决．法1：设1OA a OB b OO c ===，　，　，则： ∵11AO a c A B a b c =-+=-+-，　，5∴()()22112431A B AO a ca b c b c c a b a ⋅=-+-+-=⋅--⋅+=-+=，()22211277AO a c a c A B a b c =+-⋅==-+-=，　∴11111cos 7A B AO A B AO α⋅==，1arccos 7α=．故异面直线11A B AO 、所成的角1arccos7． 法2：建立直角坐标系，如图所示，则：()(1131331AO A B =-=-，，，　，， ∴11111cos 7A B AO A B AO α⋅==，1arccos 7α=．故异面直线11A B AO 、所成的角1arccos 7． （2）求线面角问题设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量，则斜线l 与平面α所成的角arcsinl n l nα=．例6：如图，正三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB a ==，， 求直线1AC 与平面11AA B 所成的角．解析：本题运用向量法有以下两种解法：法1：建立直角坐标系，如图所示，则1C AM ∠即为所求；13222a a AC a a AM ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，　0， ，∴13cos 2AC AM <>=，　． 故直线1AC 与平面11AA B 所成的角6π． 法2：显然平面11AA B 的法向量为()00n λ=，，，则： 11111cos sin cos 2AC n AC n AC n AC nθ⋅<>==-⇒=<>=　，　， ． 故直线1AC 与平面11AA B 所成的角6π． （3）求二面角问题 nba法一：设l αβ=，在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图，则二面角l αβ--的平面角arccosa b a bα=．法二：设12n n 、　是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l αβ--的平面角1212arccosn n n n α⋅=．例7：（05年江西卷）如图，在长方体1AC 中，112AD AA AB ===，，点E 在棱AD 上移动． （1）证明：11D E A D ⊥；（2）AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为4π． 解析：建立直角坐标系，如图所示，（1）∵11(101)(11)0DA D E x ⋅=-=，，，，，∴11DA D⊥（2）设平面1D EC 的法向量(1)n a c =，，，则：11(120)(021)(001)CE x D C DD =-=-=，，， ，，， ，，，∴()102120n D C n x n CE ⎧⋅=⎪⇒=-⎨⋅=⎪⎩，，． ∴112cos422n DD n DD π⋅===， ∴321+=x （不合，舍去），322-=x ． 故当2AE =1D EC D --的大小为4π． 例8：（05年北京卷）如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，2AB AD ==，DC =1AA AD DC AC BD ⊥⊥，，垂足为E .（Ⅰ）求证：1BD AC ⊥；（Ⅱ）求二面角11A BD C --的大小； （Ⅲ）求异面直线AD 与1BC 所成角的大小．2nn7解析：（I ）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中， ∵1A A ⊥底面ABCD ，∴AC 是1AC 在平面ABCD 上的射影，∵BD AC ⊥，∴1BD AC ⊥； （II ）连结1111A E C E AC 、、，∵1BD AC ⊥，BD AC ⊥，∴BD ⊥平面11ACC A ； ∴11A EC ∠为二面角11A BD C --的平面角．在底面ABCD 中，AD DC ⊥，111112A D AD DC DC AA =====，AC BD ⊥，∴11114132AC AE EC A E C E =====，，，， 在11A EC ∆中,2221111AC A E C E =+ ，112A EC π∠=，故二面角11A BD C --的大小为2π． （III ）如图，建立空间直角坐标，坐标原点为E1(010)(0)0)(03A D B C -，，，，，，，，∴1(310)(3AD BC =-=-，，，　，，∴11336215AD BC AD BC ⋅=+===，，， ∴1116cos 2AD BC AD BC AD BC ⋅<>===，　故异面直线AD 与1BC 所成角的大小为arccos5． 三、课后反思．。

空间向量在立体几何中的应用（教案）（平行、垂直问题的研究）一、教学目标：知识技能目标：1、进一步理解空间向量在立体几何中的运用。

解决平行和垂直两个问题。

2、利用向量解决立体几何问题培养学生数形结合的思想方法；方法过程：通过学生对空间几何图形的认识，建立恰当的空间直角坐标系，利用向量的坐标运算将几何问题代数化，提高学生应用知识的能力。

情感价值目标：通过空间向量在立体几何中的的运用，让学生感受空间向量作为工具解决几何问题的乐趣和意义，从而激发学数学、用数学的热情。

二、教学重点、难点、关键：重点：用空间向量解决平行和垂直问题的向量表现形式。

难点：向量运算的结果与几何问题的转化。

关键：正确建立空间直角坐标系，写出空间向量的坐标，以及平面法向量的求解。

三、教具准备：实物投影设备、多媒体设备、三角板。

四、教材分析：本节课的内容是安排在选修2-1第3章的知识基本结束之后的一节课，本节课的核心内容就是利用空间向量来解决立体几何中平行和垂直两个问题。

其一般方法是：先建立立体图形与空间向量的联系;进行空间向量运算;由向量运算的代数结果解释几何结论。

也就是整个教学过程中所涉及到的“三步曲”。

（1）、建立立体图形与空间向量的联系。

（2）、进行向量的运算，从而研究平行或者垂直的问题。

（3）、根据运算的结果来解释几何结论。

五、学情分析：高二、3班是一个理科普通班，很多学生立体几何的学习存在较大的困难，通过这节课的学习，要想提高学生的学习能力，增强学生对本章节学习的信心，从而对数学的学习也有一定的促进作用，要在学生的动手方面下功夫，同时在程序化完成这类题目方面进行强调，当然对于向量的运算与立体几何的结论的翻译也要反复巩固。

让学生体会数形结合的数学思想和运用向量运算的结果来解释几何问题的一些基本思路。

六、教学过程：（一）、课前练习：1、与向量=()2,3-1平行的一个向量是 （ ）A. 11,13⎛⎫ ⎪⎝⎭， B.()-1-3,2，C. 13--122⎛⎫ ⎪⎝⎭，， D .2、已知A ()1,1,1、B ()2,2,2、C ()32,4，，求平面ABC 的一个法向量___________。

全国名校高中数学优质学案汇编（附详解）《空间向量的应用—距离》教学设计一、教学内容解析本节课是参照新课标高中数学人教B版数学选修2-1第三章空间量与立体几何3.2.5距离一节．它是空间向量及其运算之后，将其方法在立体几何中的应用，属于概念性知识和程序性知识．本课虽篇幅不长，但从学生的角度讲仍占有较高的地位，是对以往所学知识的梳理、归纳和提升，使学生从另一个视角认识空间向量的应用．通过观察，思考，动手操作可使其深刻理解数学源于生活，应用于生活，进而产生浓厚的数学学习兴趣，体会综合几何法和向量方法各自的优势，在学习的过程中深刻体会类比思想、化归思想等数学思想方法，让学生初步形成数学抽象，逻辑推理，数学建模，直观想象，数学运算等学科核心素养．这部分知识的学习，不仅对学生核心素养的形成起到巨大的促进作用，更让学生深刻体会程序化思想，以及寻找一些问题的通性通法。

教学重点：四种距离的概念，点到平面距离的求法．二、教学目标设置课程目标：在必修课程学习的基础上，本主题将学习空间向量，并运用空间向量研究立体几何图形中图形的位置关系和度量关系。

单元目标：本单元的学习，可以帮助学生在学习平面向量的基础上，利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量的共性和差异；运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系，体会向量方法和综合几何法的共性和差异；运用向量方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具。

课堂目标：通过本小节的教学，是学生达到以下要求：（1）理解图形F1与图形F2的距离的概念；（2）掌握四种距离的概念，会解决一些简单的距离问题．（3）学生能够独立用向量方法解决四类距离问题（4）学生能够利用数学抽象的方法发现生活中的距离问题；利用类比的方法总结并推广向量基本定理；利用化归的方法由点到平面的距离的向量解法推广到求直线与它平行平面、两平行平面的距离．三、学生学情分析教学主体——学生是普通高中二年级学生，已经掌握了立体几何初步以及空间向量与立体几何的基本内容．学生已经具有一定的观察、类比、化归、直观想象和逻辑推理的能力，具有初步的抽象思维和科学探究能力．学生在学习生活中可能已经遇到过求图形距离的相关事例，但对于空间向量求距离仍是比较陌生的．通过教师引导可以将学生已学过的空间向量知识应用到求解几何图形的距离上来，这是学生在老师的帮助下搭建图形距离与空间向量体系的桥梁。

4《空间向量的应用》课时3 一等奖创新教学设计《空间向量的应用》教学设计课时3 用空间向量研究直线、平面的垂直关系必备知识学科能力学科素养高考考向空间中点、直线、平面的向量表示学习理解能力观察记忆概括理解说明论证应用实践能力分析计算推测解释简单问题解决迁移创新能力综合问题解决猜想探究发现创新直观想象逻辑推理【考查内容】运用空间向量研究立体几何中图形的位置关系和度量关系,主要是用空间向量描述空间直线、平面间的平行、垂直关系,用空间向量解决空间距离、夹角问题等,同时结合数形结合的数学思想、函数与方程的数学思想分析解决问题【考查题型】选择题、填空题、解答题用空间向量研究直线、平面的平行关系直观想象数学建模用空间向量研究直线、平面的垂直关系直观想象逻辑推理数学建模用空间向量研究距离问题直观想象逻辑推理数学建模数学运算用空间向量研究夹角问题直观想象逻辑推理数学运算数学建模用空间向量解决实际问题、综合问题直观想象逻辑推理数学建模数学运算一、本节内容分析本节主要学习空间向量的应用,在空间中点、直线、平面的坐标表示的基础之上,运用空间向量解决线线、线面、面面的位置关系问题,解决计算空间距离、空间角问题等.在位置关系部分主要是平行和垂直关系,将空间中线线、线面、面面的位置关系,转化为向量语言,进而运用向量的坐标表示,实现运用空间向量解决立体几何问题;在求距离、求空间角部分,主要是解决空间中点到线、点到面、两条平行线及两平行平面的距离问题,以及用空间向量解决空间中线线角、线面角及二面角问题,首先转化为向量语言,进而运用向量的坐标表示.本节学习内容为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点,为培养学生思维提供了更广阔的空间.侧重提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养.本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:核心知识1.空间中点、直线、平面的向量表示2.用空间向量研究直线、平面的平行关系3.用空间向量研究直线、平面的垂直关系4.用空间向量研究距离问题5.用空间向量研究夹角问题6.用空间向量解决实际问题、综合问题直观想象逻辑推理数学运算数学建模核心素养二、学情整体分析学生普遍具有立体几何相关证明定理的基础,也具备一定的空间想象能力,对于向量的理解基础也是有的,但是对于利用空间向量证明、求解立体几何问题的掌握还是有一定的难度,需要较强的分析计算能力以及综合问题解决能力.要引导学生在具体的立体几何问题中,体会向量方法在解决立体几何中的作用,并引导学生自己总结利用空间向量解题步骤.学情补充:______ _________________ _________三、教学活动准备【任务专题设计】1.空间中点、直线、平面的向量表示2.用空间向量研究直线、平面的平行关系3.用空间向量研究直线、平面的垂直关系4.用空间向量研究距离问题5.用空间向量研究夹角问题6.用空间向量解决实际问题、综合问题【教学目标设计】1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系;能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理;能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.3.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系;能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理;能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系.4.能用向量语言表示并解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题.5.理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系,会用向量方法求两异面直线所成角;理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求直线与平面所成角;理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求二面角的大小.6.熟悉用向量方法解决立体几何问题的步骤;会用综合法、向量法、坐标法解决立体几何题.【教学策略设计】本节主要是利用向量方法解决简单的立体几何问题,为了使学生掌握向量方法,要注意以典型的立体几何问题为例,让学生体会向量方法在解决立体几何问题中的作用,并引导学生自己归纳用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”,同时,要注意引导学生归纳向量法、综合法与坐标法的特点,根据具体问题的特点选择合适的方法,注意关注空间向量与立体几何知识间的联系,突出用向量方法解决立体几何问题,少教精教、先学后教,做到以学生的理解为中心,重点发展直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养.【教学方法建议】情境教学法、问题教学法,还有___ ______【教学重点难点】重点1.用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系.2.理解运用向量方法求空间距离的原理.3.理解运用向量方法求空间角的原理.难点1.用向量方法证明空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系.2.掌握运用空间向量求空间距离的方法.3.掌握运用空间向量求空间角的方法.【教学材料准备】1.常规材料:多媒体课件、______2.其他材料:______ _四、教学活动设计教学导入师:同学们,类似于空间中直线、平面平行的向量表示,在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中,直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系【学生阅读教材,积极思考,教师多媒体展示】【少教精教】教师引导学生回顾学过的立体几何垂直关系相关知识,让学生自主查看阅读教材,少教精教,由学生自主体会空间向量在垂直关系证明中的应用.教学精讲【要点知识】用空间向量研究直线、平面的垂直关系线线垂直:设直线的方向向量分别为,则,如图(1).线面垂直:设直线的方向向量为,平面的法向量为,则,使如图(2).面面垂直:设平面的法向量分别为,则,如图(3).师:上述概念就是我们利用空间向量证明直线、平面的垂直关系的方法,接下来我们练习用空间向量证明直线与平面垂直的方法.【典型例题】利用空间向量证明直线与平面垂直例4 如图,在平行六面体中,,,求证:直线平面.【情境学习】通过证明线面垂直的具体问题情境,启发学生独立思考问题,有助于加深学生对空间向量的应用的认识.师分析:根据条件,可以为基底,并用基向量表示和平面,再通过向量运算证明是平面的法向量即可.【整体设计分步落实】教师降低题目难度,逐级深入,由浅入深,通过问题引导学生不断深入思考,通过分析计算,最终证得线面垂直的结果.我们可以设空间中这组基底向量为,则为空间的一个基底,那么可以用基向量来表示,怎么表示生:.师:正确,非常好！要想证明直线平面,即证明平面内任意一条直线,所以我们可以用共面向量定理,表示出平面内任意一条直线的向量: 在平面上,取为基向量,则对于平面上任意一点,存在唯一的有序实数对,使得.所以利用向量的数量积公式:.同学们具体计算一下,看看得到的结果是多少生:等于0,因为,所以.所以,.所以是平面的法向量.所以平面.【分析计算能力】学生通过向量的数量积公式,分析计算,由计算得到的结果判定线面垂直的结论,加深学生的理解,培养分析计算能力.师:正确!其实这道题目解法很多,还可以用基向量表示出平面的法向量,通过向量的数量积运算,得出与法向量平行,从而证明出直线与平面垂直的结论.同学们可以思考一下怎样证明.【学生积极思考,独立练习证明,教师巡视检查学生完成情况,并进行讲解】【猜想探究能力】教师提供另一种思路,启发学生独立思考,猜想探究,加深对法向量的应用和理解,培养猜想探究能力.师:还是设空间中这组基底向量为,则为空间的一个基底,则,怎样用基底向量设出平面的法向量呢生:可以设为平面的一个法向量.∴.师:又因为.所以可列得:又由题意可得,∴取,,∴平面.同学们,大家看这样我们也可以证得所证,所以要熟练掌握相关定理证明,用好空间向量.因为这道例题是研究线面垂直,接下来,我们利用空间向量试着证明一下这个定理:“线面垂直的判定定理”:若一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直.【深度学习】学生通过“向量法”,对问题进行多角度思考,得到多种解法,扩宽思路,有助于学生对空间向量的应用形成更全面、深入的认识.【巩固练习】利用空间向量证明线面垂直判定定理已知:.求证:.【学生积极思考,独立完成练习,教师巡视查看学生完成情况,并展示证明过程】【巩固练习】证明:如图,取直线的方向向量.∵.设为平面内任意一点,∵,∴是平面的法向量,∴.【推测解释能力】利用空间向量对之前学过的立体几何判定定理进行证明,使学生形成系统的认识,在证明过程中,强化提高推测解释能力.师:好了,同学们,刚刚的练习是证明线面垂直,那怎样证明面面垂直呢【典型例题】利用空间向量证明面面垂直例5 证明“平面与平面垂直的判定定理”:若一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.已知:如图,,求证:.【少教精教】教师指定学生回答问题,培养学生独立思考题目的习惯,通过学生的回答,也充分锻炼了自己的推理分析能力,教师少教达到精教的目的.【学生独立完成,教师指定学生回答问题】生证明:取直线的方向向量,平面的法向量.因为,所以是平面的法向量.因为,而是平面的法向量,所以.所以.师:也就是说,要想证明两个平面垂直,只需证明两个平面的法向量互相垂直即可.通过以上学习,大家要注意到我们利用空间向量证明直线、平面与平面的垂直关系,依据还是直线、平面垂直那一部分的判定定理,所以我们现在总结回顾一下相关定理:【要点知识】立体几何中垂直位置的判定定理1.直线与平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.2.两个平面互相垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.3.两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个方法).【深度学习】在学习空间向量证明垂直的位置关系的同时,补充复习相关立体几何相关判定定理的知识,学生会加深对概念的理解,加强对向量方法和几何方法的区别与应用.师:好的,同学们,熟记定理,熟练运用,接下来,关于空间向量解决垂直关系的证明问题,我们再多来练习几道题目.【巩固练习】用空间向量研究直线、平面的垂直关系1.已知是直线的方向向量,是平面的法向量.(1)若,求的关系式;(2)若,求的值.2.已知正方体的棱长为1,以为原点,为单位正交基底建立空间直角坐标系.求证:.3.如图,在长方体中,是的中点,是的中点.求证:平面平面.【学生积极练习,独立完成,教师指定学生回答问题】生1:1.(1)∵,∴的关系式为.(2)∵,.生.如图,由题意建立空间直角坐标系,则.又.生.建立如图所示的空间直角坐标系.则,设是平面的法向量,∴,取.设是平面的法向量,取.又∴平面平面.【自主学习】学生独立思考题目,根据利用空间向量解决垂直位置关系的方法,结合具体题目条件分析计算,增强自主探究意识.【分析计算能力】运用空间向量解决直线、平行的垂直关系问题,是证明问题,也是计算问题,利用空间向量解题需要大量的计算,从中也培养了学生的分析计算能力.【设计意图】通过对用空间向量研究直线、平面的垂直关系的学习,利用了少教精教、整体设计分布落实的教学策略和深度学习、自主学习、情境学习的学习策略,培养了学生推测解释能力、分析计算能力、猜想探究能力,提升了学生的直观想象、数学建模、逻辑推理等核心素养.师:一起总结一下本节课所学内容.【课堂小结】用空间向量研究直线、平面的垂直关系【设计意图】教师引导学生思考,使学生体会用空间向量解决立体几何问题相关知识方法的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,锻炼学生学科能力,提高素养.教学评价本节课主要学习空间向量的应用,主要是利用向量方法解决简单的立体几何问题,包括用空间向量描述空间直线、平面间的平行、垂直关系,证明直线、平面位置关系的判定定理,用空间向量解决空间距离、夹角问题等,学会用综合法、向量法、坐标法解决立体几何中的问题.应用所学知识,完成下面各题:1.在直三棱柱中,为的中点,为的中点.(1)求点到直线的距离;(2)求点到平面的距离.解析:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则,直线的一个单位方向向量为,故点到直线的距离.(2)设平面的法向量为,则即取,得,故为平面的一个法向量,因为,所以,故到平面的距离.【意义学习】本题主要考查学生对距离公式的运用程度,在理解的基础上记忆点到直线的距离公式、点到平面的距离公式,正确代入数值并计算,培养学生的分析计算能力.体现意义学习.【简单问题解决能力】在求点到平面距离过程中,需要用到平面的法向量,利用已知的直线向量的坐标表示,求解出平面法向量,培养学生的简单问题解决能力.2.在四棱锥中,底面,点为棱的中点.(1)证明:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值;(3)若为棱上一点,满足,求二面角的余弦值.解析:(1)如图,取中点,连接分别为的中点,∴,且,又由已知,可得,且,∴四边形为平行四边形,∴平面平面,∴平面.(2)∵底面,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,∵,点为棱的中点.∴.∵,设平面的法向量,由得令,则,则直线与平面所成角满足:,故直线与平面所成角的正弦值为.【分析计算能力】求空间中直线与平面所成角,如果用坐标法解决问题,需要首先建立合适的空间直角坐标系,正确表示出直线的方向向量和平面的法向量,套用公式分析计算求解,培养学生的分析计算能力.(3)∵,由点在棱上,设,故,由,得,解得,即,设平面的法向量为,由得令,则,取平面的法向量,则二面角的平面角满足:,故二面角的余弦值为.【发现创新能力】本题求解二面角的余弦值,根据题意,求解出两个平面的法向量,再由求夹角余弦值公式求出数值,但是注意求解二面角时,还需回到图形,观察所求角是锐角还是钝角,从而确定最终得数,这个观察判断的过程培养学生的发现创新能力.【以学定教】教师要让学生理解并掌握立体几何问题中的空间向量解法及解题思路,会根据题目条件选定合适的方法,如空间向量中的基向量法、坐标法或是立体几何方法,并能在不同的具体情境中合理应用.教学反思本节课内容分为6课时,是空间向量的核心应用部分,教学中主要突出了几个方面:一是创设问题情景,通过现实情境提出问题,让学生初步体会运用向量解决立体几何问题的基本方法,并以此来激发学生的探究心理.二是突出类比学习,让学生类比向量解决平行问题,进而学习运用空间向量解决垂直问题,发展学生的类比思想和逻辑推理核心素养.三是进一步突出运用向量法解决立体几何问题的基本程序,发展学生的数学建模思想.四是典例解析,通过对典型问题的分析解决,帮助学生建立运用空间向量解决立体几何问题的基本思路.教学设计尽量做到注意学生的心理特点和认知规律,触发学生的思维,使教学过程真正成为学生的学习过程,以思维教学代替单纯的记忆教学.注意在探究问题时留给学生充分的时间,使数学教学成为数学活动的教学.【以学论教】根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中要培养学生的空间想象力以及对公式的理解能力,要与前者学过的平面向量、立体几何相关知识做类比学习,在比较中加深对向量方法解决立体几何问题的理解与认识,还需加强学生的自主思考意识以及公式运用能力.1 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空间向量教学设计（共8份）人教课标版3（优秀教案）3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示上课时间：班级：教学内容分析：本节首先介绍了空间向量的正交分解，接下来，类比平面向量基本定理，给出空间向量基本定理，在此基础上，通过空间向量的单位正交分解，完成了从单位正交分解到空间直角坐标系的转换，最后举例说明用空间三个不共面向量表示给定向量的方法学情分析：学生已学习平面向量的正交分解，能准确表示平面向量，具有一定的知识基础和学习方法教学目标１、知识与技能：）、掌握空间向量基本定理；）、掌握空间向量的正交分解；２、过程与方法：经历用向量解决某些问题，体会向量是一种处理几何问题的工具；３、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，体验创造的激情，培养学生发现、提出、解决问题的能力教学重点与难点重点：空间数量积的正交分解及空间向量基本定理难点：理解空间向量基本定理．教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

教学方法：分析法，讨论法，归纳法教学过程：一.复习引入．共线向量定理：对空间任意两个向量,(0),//a b b a b ≠的充要条件是存在实数λ，使a b λ=推论：如果l 为经过已知点A ，且平行于已知向量a 的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式OP OA t AB =+①，其中向量a 叫做直线l 的方向向量、共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+共面向量定理推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA y MB =+或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++①上面①式叫做平面MAB 的向量表达式、平面向量基本定理：有向量的一组基底。

）叫做表示这一平面内所、。

（＋＝，使，一对实数，有且只有一平面内的任一向量共线向量，那么对于这是同一平面内的两个不，如果2122112121e e e e a a e e λλλλ、平面向量的正交分解： j y i x a += x yo a ij其中)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=二、新课探究：. 类比：由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量a ，均可分解为不共线的两个向量11a λ和22a λ，使1122a a a λλ=+. 如果12a a ⊥时，这种分解就是平面向量的正交分解. 如果取12,a a 为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量,i j ，则存在一对实数、，使得a xi y j =+，即得到平面向量的坐标表示(,)a x y =.推广到空间向量，结论会如何呢？()空间向量的正交分解：对空间的任意向量a ，均可分解为不共面的三个向量11a λ、22a λ、33a λ，使112233a a a a λλλ=++. 如果123,,a a a 两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解.()空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p xa yb zc =++. 把{,,}a b c 叫做空间的一个基底（），,,a b c 都叫做基向量.. 单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛｝表示．单位——三个基向量的长度都为；正交——三个基向量互相垂直．选取空间一点和一个单位正交基底｛｝，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条坐标轴：轴、轴、轴，得到空间直角坐标系，. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量，且设、、为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使＝1a ＋2a ＋3a ．、例题赏析：例：已知空间四边形，其对角线为，，，，分别是对边，的中点，点，是线段三等分点，用基向量OA ，OB ，OC 表示向量OP ,OQ .（学生独立思考，然后讲解，板演解题过程）练习：、在四边形中，，分别是△，△的重心，设a OA =c OC b OB ==, 试用表示向量GH OG ,、已知向量{，，}是空间的一个基底．求证：向量，，能构成空间的一个基底．、在空间坐标系中，32132e e e AB --= (321,,e e e 分别是与轴、轴、轴的正方向相同的单位向量)则AB 的坐标为，点的坐标为。

空间向量的概念与运算教学设计一、引言空间向量是线性代数中重要的概念之一，广泛应用于物理学、工程学等领域。

本教学设计旨在通过生动有趣的教学方法和实践活动，帮助学生理解和掌握空间向量的概念与运算。

二、教学目标1. 理解空间向量的概念，并能准确描述其特征和性质。

2. 掌握空间向量的基本运算法则，包括加法、减法、数量乘法和点积运算。

3. 能够应用空间向量解决实际问题。

三、教学内容1. 空间向量的概念引入通过展示现实生活中的向量概念，如力、速度等，引导学生理解向量的基本概念和作用。

然后将概念引入到三维空间，介绍空间向量的定义和表示方法。

2. 空间向量的性质和特征分析空间向量的特征，如大小、方向等，并与平面向量进行对比。

引导学生发现空间向量的独特性质，如共线性、共面性等。

3. 空间向量的基本运算法则a. 加法与减法：引导学生理解向量加法和减法的几何意义，然后介绍向量的坐标表示法和分量表示法，通过实例演示向量相加和相减的步骤和计算方法。

b. 数量乘法：解释向量的数量乘法的几何意义，并介绍数量乘法的计算规则。

c. 点积运算：引导学生理解点积运算的几何意义和重要性，介绍点积的计算公式和性质。

4. 应用实例分析通过实际问题的解决，让学生应用空间向量的概念和运算法则。

例如，通过模拟飞行器的导航过程，引导学生利用向量的知识计算方向和距离。

四、教学方法与活动设计1. 探究式学习法引导学生通过观察和实践，自主探索空间向量的概念和特征。

提供具体的实物模型或图形，让学生通过测量和观察来推测向量的性质。

2. 合作学习活动将学生分成小组，给予每个小组一些具体的问题，要求他们合作解答，并通过展示和讨论来分享结果和思考过程。

3. 视频演示和讨论使用教育视频或动画资源，呈现空间向量的概念和运算法则，并引导学生观看后进行讨论和互动。

4. 实践活动安排实践活动，如制作纸板模型，模拟投射物的运动轨迹等，让学生亲自操作和观察，并运用空间向量知识进行分析和计算。

空间向量教学设计引言空间向量是线性代数中的重要概念，在多个学科中都有着广泛的应用。

它不仅在物理学、机械工程和计算机图形学等领域起着重要作用，还是线性代数学习中的重要内容。

本文将设计一堂关于空间向量的教学课程，旨在帮助学生全面理解和应用空间向量的概念和性质。

一、教学目标1. 理解空间向量的定义和性质；2. 掌握空间向量的加法和减法运算；3. 理解向量的线性组合和线性相关的概念；4. 熟练应用空间向量解决几何和物理问题。

二、教学内容1. 空间向量的定义和性质（理论知识）a. 向量的概念及其表示方法；b. 向量的模、方向和单位向量；c. 向量的数量积和向量积；d. 向量的共线性和垂直性；e. 坐标系和向量的坐标表示。

2. 空间向量的加法和减法运算（操作技能）a. 向量的加法和减法定义及其几何解释；b. 向量的加法和减法的性质；c. 向量的加法和减法应用于问题的解决。

3. 线性组合和线性相关（理论知识）a. 线性组合的概念和性质；b. 线性相关和线性无关的判定；c. 向量空间的定义和维度。

4. 空间向量在几何和物理问题中的应用（应用实践）a. 向量表示几何图形的性质；b. 使用向量解决几何问题的方法；c. 使用向量解决力学问题的方法。

三、教学方法1. 讲授理论知识通过板书、讲解和示意图等方式，向学生介绍空间向量的定义和性质，并进行相关定理的证明。

通过具体的例题和练习，帮助学生巩固概念和性质。

2. 操作实践引导学生进行空间向量的加法和减法运算的实践操作，通过具体的问题情境，让学生感受向量运算的实际应用场景。

3. 问题解答鼓励学生在课程中提出问题，并进行及时解答，增强学生对知识的理解和应用能力。

4. 小组合作在课堂上组织学生进行小组讨论，解决复杂的几何和物理问题，培养学生的团队合作和沟通能力。

四、课堂评价1. 课堂练习设计一些课堂练习题，考察学生对空间向量定义、性质和运算的理解能力。

2. 个人作业布置个人作业，要求学生独立解决一些较复杂的空间向量问题。

教学设计空间向量引言：空间向量是线性代数中的一个重要概念，也是应用广泛的数学工具之一。

它在物理学、计算机图形学、机器学习等领域都有广泛的应用。

在教学中，通过引入空间向量的概念，可以帮助学生更好地理解和应用线性代数的知识。

本文将以教学设计的角度，探讨如何在课堂中有效地教授空间向量的相关内容。

一、目标设定与知识结构在进行教学设计之前，我们首先需要确定教学目标以及学生的先修知识。

在讲解空间向量的概念之前，学生应该已经掌握了平面向量的相关知识，并且了解了向量的基本运算和性质。

教学目标可以分为两个方面，一是学生能够理解空间向量的概念和性质，二是学生能够应用空间向量解决实际问题。

二、教学内容与方法1. 空间向量的定义与表示首先，我们需要向学生引入空间向量的概念。

可以通过举例说明，在三维空间中，一个向量可以用其起点和终点之间的位移来表示。

同时，我们可以引入向量的坐标表示方法，即向量的三个分量表示。

通过具体的例子和图示，让学生理解空间向量的定义和表示方法。

2. 空间向量的运算接下来，我们将介绍空间向量的运算规则。

与平面向量类似，空间向量的加法、减法和数乘运算可以通过对应的分量进行计算。

通过具体的计算例子和练习，让学生掌握空间向量的运算规则，并且理解运算规则背后的几何意义。

3. 空间向量的共线与共面性质在学习了空间向量的运算之后，学生需要了解空间向量的共线与共面性质。

通过几何方法和代数方法的结合，可以帮助学生理解共线与共面的含义，并且能够应用这些性质解决实际问题。

在讲解时，可以通过实际物体的例子，如平行的铁轨、共面的点等，让学生更好地理解这些性质。

4. 空间向量的数量积与向量积最后，我们将介绍空间向量的数量积和向量积两个重要的运算。

数量积在物理学中有着重要的应用，向量积则在计算机图形学等领域有广泛的应用。

通过具体的计算例子和实际应用，让学生掌握数量积和向量积的计算方法，并且能够应用这两个运算解决实际问题。

三、教学评价与反馈在教学过程中，我们需要进行及时的评价和反馈，以帮助学生巩固和提高他们的学习成果。