高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asinωx+φ的图象一训练含解析新人教A版必修4

高一数学(必修一)《第五章 函数y=Asin （ωx φ）》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、解答题1．已知函数()2sin(2)16f x x a π=+++，且当[0,]2x π∈时()f x 的最小值为2.（1）求a 的值；（2）先将函数()y f x =的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再将所得的图像向右平移12π个单位，得到函数()y g x =的图像，求方程()4g x =在区间[0,]2π上所有根之和.2．写出将sin y x =的图像变换后得到2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像的过程，并在同一个直角坐标平面内画出每一步变换对应的函数一个周期的图像（保留痕迹）． 3．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π)的部分图象如图所示．（1）求函数f (x )的解析式；（2）如何由函数y ＝sin x 的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f (x )的图象，写出变换过程． 4．用“五点法”画出函数2sin y x =在区间[]0,2π上的图象． 5．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω与2πϕ<)，在同一个周期内，当4x π=时，则y 取最大值1，当712x π=时，则y 取最小值-1． (1)求函数()f x 的解析式．(2)函数sin y x =的图象经过怎样的变换可得到()y f x =的图象 (3)求方程()()01f x a a =<<在[]0,2π内的所有实数根之和． 6．已知函数()2cos 44f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 图象的对称轴；(2)将函数()f x 图象上所有的点向左平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()y g x k =+在()2,4-上有两个零点，求实数k 的取值范围.7．2021年12月9日15时40分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受“天宫课堂”的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，则火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地 球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式： 0lnkm v m ω=，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中ω为发动机的喷射速度，0m 和k m 分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完 ）时的质量．0km m 被称为火箭的质量比．(1)某单级火箭的初始质量为160吨，发动机的喷射速度为2千米/秒，发动机熄火时的质量为40吨，求该单级火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；(2)根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10．如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由．（参考数据：ln20.69≈，无理数e 2.71828=）二、单选题8．为了得到函数3sin 2y x =的图象，只要将函数3sin(21)y x =-的图象（ ） A ．向左平移1个单位长度 B ．向左平移12个单位长度C ．向右平移1个单位长度D ．向右平移12个单位长度9．函数sin3y x =的图象可以由函数cos3y x =的图象（ ） A ．向右平移6π个单位得到 B ．向左平移6π个单位得到 C ．向右平移3π个单位得到 D ．向左平移3π个单位得到 10．要得到函数()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需将cos2y x =的图像（ ）A ．向左平移3π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移23π个单位长度 D ．向右平移23π个单位长度 11．为了得到函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需把函数3sin y x =图像上所有点（ ）A ．向左平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12B ．向左平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 C ．向左平行移动6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12D ．向右平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12 12．要得到函数π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，需（ ）A ．将函数3sin π5y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）B ．将函数π3sin 10y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）C ．将函数3sin 2y x =图像上所有点向左平移π5个单位长度D ．将函数3sin 2y x =图像上所有点向左平移π10个单位长度13．为了得到函数2cos2y x =的图象，只需把函数2cos 2y x x =+的图象（ ） A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度三、填空题14．将函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度后得到()()sin y g x A x ωϕ==+（0A >，0>ω与π2ϕ≤）的图象如图，则()f x 的解析式为_____．15．彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动所形成的轨迹．这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2，若2OA =，则AOB ∠所对应的弧长为______．参考答案与解析1．（1）2a =；（2）3π. 【分析】（1）由于当[0,]2x π∈时()f x 的最小值为2，所以min ()112f x a =-++=，从而可求出a 的值；（2）由图像变化可得()2sin(4)36g x x π=-+，由()4g x =得1sin(4)62x π-=，从而可求出x 的值【详解】（1）()2sin(2)16f x x a π=+++，∵[0,]2x π∈，∴72[,]666x πππ+∈∴min ()112f x a =-++=，∴2a =；（2）依题意得()2sin(4)36g x x π=-+，由()4g x =得1sin(4)62x π-=∴4266x k πππ-=+(k Z ∈)或54266x k πππ-=+(k Z ∈) ∴212k x ππ=+或24k x =+ππ，解得12x π=或4x π= ∴所有根的和为1243πππ+=.【点睛】此题考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的图像的变换，考查转化能力和计算能力，属于基础题2．答案见解析．图像见解析【分析】由三角函数图像中的相位变换、周期变换、振幅变换叙述变换过程，然后作出图像变换的过程即可.【详解】先将sin y x =的图像上各点向右平移4π个单位得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像再将函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上的每一个点保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，得到函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像.再将函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上的每一个点保持横坐标不变，纵坐标扩大到原来的2倍，得到函数2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像.3．（1）f (x )＝sin (2)6x π+ ；（2） 答案见解析.【分析】（1）由图像可得A ＝1，51264Tππ-=结合2T πω=可求出ω的值，然后将点(,1)6π代入解析式可求出ϕ的值，从而可求出函数f (x )的解析式； （2）利用三角函数图像变换规律求解【详解】(1)由图像知A ＝1.f (x )的最小正周期T ＝4×5()126ππ-＝π，故ω＝2Tπ＝2 将点(,1)6π代入f (x )的解析式得sin ()3πϕ+＝1又|φ|＜2π，∴φ＝6π.故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin (2)6x π+.(2)变换过程如下：y ＝sin x 图像上的所有点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标不变，得到y ＝sin 2x 的图像，再把y ＝sin 2x 的图像,向左平移12π个单位y ＝sin (2)6x π+的图像． 4．答案见解析【分析】利用五点作图法，列表、描点、连线可作出函数sin y x =在区间[]0,2π上的图象. 【详解】解：按五个关键点列表如下：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．5．(1)()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)答案见解析 (3)112π【分析】(1)结合已知条件可求出A ，最小正周期T ，然后利用最小正周期公式求ω，通过代值求出ϕ即可；(2)利用平移变换和伸缩变换求解即可；(3)利用正弦型函数的对称性求解即可. (1)设()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期为T 由题意可知，1A =，1721243T πππ=-=即223T ππω== ∴3ω=，即()()sin 3f x x φ=+∵3sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴3242k ππϕπ+=+ k Z ∈ 又2πϕ<，∴4πϕ=-∴()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(2)利用平移变换和伸缩变换可知，sin y x =的图象向右平移4π个单位长度，得到sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象再将sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，得到sin 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．(3)∵()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为23π∴()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,2π内恰有3个周期故所有实数根之和为1119112662ππππ++=． 6．(1)14x k =+ k ∈Z (2)()2,0-.【分析】（1）求出()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解方程442x k ππππ+=+，k ∈Z 即得解；（2）求出()2cos 4g x x π=，即函数()y g x =的图象与直线y k =-在()2,4-上有两个交点，再利用数形结合分析求解. （1）解：因为()2cos 44f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.令442x k ππππ+=+，k ∈Z ，解得14x k =+ k ∈Z 所以函数()f x 图象的对称轴为直线14x k =+ k ∈Z . （2）解：依题意，将函数()f x 的图象向左平移1个单位长度后，得到的图象对应函数的解析式为()()2sin 12cos 444g x x x πππ⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦.函数()y g x k=+在()2,4-上有两个零点即函数()y g x =的图象与直线y k =-在()2,4-上有两个交点，如图所示所以02k <-<，即20k -<< 所以实数k 的取值范围为()2,0-. 7．(1)2.8千米/秒(2)该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度7.9千米/秒，理由见解析【分析】（1）明确0k m m ω、、各个量的值，代入即可;（2）求出最大理想速度max v ，利用放缩法比较max 2ln10v =与7.9的大小即可. （1）2ω=，0160m =和40k m =0lnk m v m ω∴=21602ln 2ln 42ln 24ln 2 2.7640=⨯===≈ ∴该单级火箭的最大理想速度为2.76千米/秒.（2）10km M ≤ 2ω= 0max ln km v m ω∴=2ln10= 7.97.97128e22>>=7.97.9ln ln128ln1002ln10e ∴=>>=max v ∴2ln107.9=<.∴该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度7.9千米/秒.8．B【分析】根据已知条件，结合平移“左加右减”准则，即可求解．【详解】解：()13sin 213sin 22y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝=⎭∴把函数13sin 22x y ⎛⎫- ⎝=⎪⎭的图形向左平移12个单位可得到函数3sin 2y x =．故选：B ． 9．A【分析】化简函数sin 3cos[3()]6y x x π==-，结合三角函数的图象变换，即可求解.【详解】由于函数3sin 3cos(3)cos(3)cos[3()]226y x x x x πππ==+=-=- 故把函数cos3y x =的图象向右平移6π个单位，即可得到cos3sin 36y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭的图象.故选：A. 10．B【分析】直接由三角函数图象的平移变换求解即可. 【详解】将cos2y x =的图像向右平移3π个单位长度可得2cos2cos 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B. 11．A【分析】利用三角函数图象变换规律求解即可【详解】将3sin y x =向左平移3π长度单位，得到3sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把所得的各点的横坐标缩短到原来的12，可得3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象 故选：A 12．D【分析】根据三角函数的图像变换逐项判断即可.【详解】解：对于A ，将3sin π5y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到1π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；对于B ，将π3sin 10y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到1π3sin 210y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；对于C ，将3sin 2y x =图像上所有点向左平移π5个单位长度后，得到2π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；对于D ，将3sin 2y x =图像上所有点向左平移π10个单位长度后，得到π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，正确.故选:D. 13．C【分析】化简2cos 2y x x =+，再根据三角函数图象平移的方法求解即可【详解】12cos 22cos 222cos 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移6π个单位长度得到2cos 22cos263ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦y x x故选：C14．()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【分析】由图像可知，函数的最值、最小正周期，可得,A ω的值，代入点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，进而解得ϕ的值，根据函数的图像变换规律，可得答案.【详解】由题图可知()max 2A g x ==，函数()g x 的最小正周期为45πππ3123T ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以2π2T ω==，所以()()2sin 2g x x ϕ=+．又5π5π2sin 2126g ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以5ππ2π62k ϕ+=+（k ∈Z ），解得π2π3k ϕ=-（k ∈Z ）． 因为π2ϕ≤，所以π3ϕ=-，所以()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．将函数()g x 的图象向右平移π6个单位长度后可得到函数()f x 的图象故()ππ2π2sin 22sin 2633f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为：()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭15．4π9【分析】根据题意得到圆心角2π9AOB α=∠=，结合弧长公式，即可求解.第 11 页 共 11 页 【详解】由题意，可知圆心角2π9AOB α=∠=，半径2r OA == 所以AOB ∠所对应的弧长为2π4π299l r α==⨯=． 故答案为：4π9.。

1.5 函数y=Asin （ωx+ψ）的图象主动成长夯基达标1.若函数f(x)=sin(kx+5π)的最小正周期为32π,则正常数k 的值为( ) A.2B.3C.4D.5解析:kππ232=,∴k=3. 答案:B 2.已知函数y=2sin ωx(ω＞0)的图象与直线y+2=0的相邻的两个公共点之间的距离为32π,则ω的值为( ) A.3B.23C.32D.31 解析:ωππ232=,∴ω=3. 答案:A3.图1-5-4是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象,那么f(x)可以写成( )图1-5-4A.sin(1+x)B.sin(-1-x)C.sin(x-1)D.sin(1-x)解析:函数y=f(x)的图象过点(1,0),即f(1)=0,可排除A,B ，又因为y=f(x)的图象过点(0,b),b ＞0,即f(0)＞0,可排除C,故选D.答案:D4.若函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象(部分)如图1-5-5所示,则ω和φ的取值是( )图1-5-5A.ω=1,φ=3πB.ω=1,φ=-3πC.ω=21,φ=6πD.ω=21,φ=-6π 解析:相邻关键点相差四分之一个周期,即324π=T -(-3π)=π,T=4π,ω=T π2 =21. 又21×32π+φ=2π+2k π,∴φ=6π. 答案:C5.下列四个函数中,最小正周期是π且图象关于x=3π对称的是( )A.y=sin(2x +6π)B.y=sin(2x+6π) C.y=sin(2x-3π)D.y=sin(2x-6π)解析:对于A,T=212π=4π,舍去.对于B,T=22π=π,令2x+6π=k π+2π,∴2x=k π+3π. ∴x=2πk +6π(k∈Z ),舍去.对于C,T=22π=π,令2x-3π=k π+2π,∴2x=k π+65π. ∴x=2πk +125π(k∈Z ),不合题意,舍去.对于D,T=22π=π,令2x-6π=k π+2π,∴2x=k π+32π. ∴x=2πk +3π(k∈Z ).令k=0,得x=3π.∴选D.答案:D6.ω是正实数,函数f(x)=2sin ωx 在［-3π,3π］上是增函数,那么( )A.0＜ω≤23B.0＜ω≤2C.0＜ω≤724D.ω≥2解析:函数的单调增区间是2k π-2π≤ωx≤2k π+2π,∵ω＞0,∴ωπωπ22-k ≤x≤ωπωπ22+k (k∈Z ). 由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤-,32,32πωππωπ∴0＜ω≤23.答案:A7.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0),在一个周期内,当x=12π时,取得最大值2,当x=127π时,取得最小值-2,那么( ) A.y=21sin(x+3π)B.y=2sin(2x+3π) C.y=2sin(2x+6π)D.y=sin(2x +6π) 解析:由已知得A=2, T=2(12127ππ-)=π,∴ω=2. 又点(12π,2)在图象上,可验证y=2sin(2x+3π). 答案:B8.函数y=3sin(2x+3π)的图象,可由函数y=sinx 的图象经过下述_________变换而得到.( ) A.向右平移3π个单位,横坐标缩小到原来的21,纵坐标扩大到原来的3倍 B.向左平移3π个单位,横坐标缩小到原来的21,纵坐标扩大到原来的3倍 C.向右平移6π个单位,横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标缩小到原来的31 D.向左平移6π个单位,横坐标缩小到原来的21,纵坐标缩小到原来的31 解析:y=sinx y=sin(x+3π)y=sin(2x+3π) y=3sin(2x+3π). 答案:B 9.函数y=2sin(4π-x)的单调递增区间为______________;单调递减区间为______________. 解析:y=2sin(4π-x)=-2sin(x-4π). ∵y=sinu(u∈R )的递增,递减区间分别为［2k π-2π,2k π+2π］(k∈Z ),［2k π+2π,2k π+23π］(k∈Z ).∴函数y=-2sin(x-4π)的递增,递减区间分别由下面的不等式确定: 2k π+2π≤x -4π≤2k π+23π(k∈Z ),2k π-2π≤x -4π≤2k π+2π (k∈Z ),得2k π+43π≤x≤2k π+47π(k∈Z ), 2k π-4π≤x≤2k π+43π(k∈Z ). ∴函数y=2sin(4π-x)的单调递增区间,单调递减区间分别为［2k π+43π,2k π+47π］(k∈Z ),［2k π-4π,2k π+43π］(k∈Z ). 答案:［2k π+43π,2k π+47π］(k∈Z ) ［2k π-4π,2k π+43π］(k∈Z ) 10.关于函数f(x)=4sin(2x+3π)(x∈R )有以下命题: ①由f(x 1)=f(x 2)=0有x 1-x 2必是π的整数倍;②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-6π);③y=f(x)的图象关于点(-6π,0)对称;④y=f(x)的图象关于直线x=-6π对称.其中正确的命题是___________.解析:对于①,f(x 1)=4sin(2x 1+3π)=0, f(x 2)=4sin(2x 2+3π)=0, ∴2x 1+3π=k 1π,2x 2+3π=k 2π. ∴x 1=231ππ-k ,x 2=232ππ-k . ∴x 1-x 2=21(k 1π-3π-k 2π+3π)=2)(21πk k -. k 1-k 2不一定为偶数,∴x 1-x 2不一定为π的整数倍.∴①错误. 对于②,y=4sin(2x+3π)=4cos(2π-2x-3π)=4cos(6π-2x)=4cos(2x-6π), ∴②正确.对于③,令2x+3π=k π,∴2x=k π-3π. ∴x=2πk -6π. 令k=0,∴一个对称中心为(-6π,0),③正确. 对于④,令2x+3π=k π+2π, ∴2x=k π+6π.∴x=122ππ+k ,故④错误. 故选②③.答案:②③11.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0,|φ|＜2π)的图象的一个最高点为(2,22),由这个最高点到相邻最低点,图象与x 轴交于点(6,0),试求这个函数的解析式.解:已知函数最高点为(2,22),所以A=22.又由题意知从最高点到相邻最低点时与x 轴相交于点(6,0),而最高点与此交点沿横轴方向的距离正好为41个周期长度, 所以4T =6-2=4,即T=16. 所以ω=82ππ=T . 所以y=22sin(8πx+φ). 将点(6,0)的坐标代入,有22sin(8π×6+φ)=0. 所以sin(43π+φ)=0. 又因为|φ|＜2π,所以φ=4π. 所以函数的解析式为y=22sin(8πx+4π). 12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数,其图象关于点M(43π,0)对称,且在区间［0,2π］上是单调函数,求φ和ω的值. 解:由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ),所以-cos φsin ωx=cos φsin ωx,对任意x 都成立,且ω＞0,所以得cos φ=0.依题设0≤φ≤π,所以解得φ=2π. 由f(x)的图象关于点M 对称得f(43π-x)=-f(43π+x),取x=0,得f(43π)=sin(43ωπ+2π)=cos 43ωπ, ∴cos 43ωπ=0. 又ω＞0,得43ωπ=2π+k π,k=1,2,3,…,∴ω=32(2k+1),k=0,1,2,… 当k=0时,ω=32,f(x)=sin(32x+2π)在［0,2π］上是减函数; 当k=1时,ω=2,f(x)=sin(2x+2π)在［0,2π］上是减函数; 当k≥0时,ω=310,f(x)=sin(ωx+2π)在［0, 2π］上不是单调函数. 所以综合得ω=32或ω=2. 走近高考13.(2006江苏高考,4)为了得到函数y=2sin(3x +6π),x∈R 的图象,只需把函数y=2sinx,x∈R 的图象上所有的点( ) A.向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变) B.向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变) C.向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) D.向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) 解析:将y=2sinx 的图象向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),可得y=2sin(3x +6π)的图象. 答案:C14.(2006四川高考,5)下列函数中,图象的一部分如图1-5-6所示的是( )图1-5-6 A.y=sin(x+6π)B.y=sin(2x-6π) C.y=cos(4x-3π)D.y=cos(2x-6π) 解析:T=4(12π+6π)=π,则ω=2,否定A,C;又过(12π,1),则否定B. 答案:D15.(2006福建高考,9)已知函数f(x)=2sin ωx(ω＞0)在区间［-3π,4π］上的最小值是-2,则ω的最小值等于( )A.32B.23C.2D.3 解析:y=2sin ωx 包含原点的一个单调区间为［ωπ2-,ωπ2］, 根据题意和y=2sin ωx 的图象可知ωπ2-≥-3π. ∴ω≥23. ∴ωmin =23. 答案:B。

3/2 解析
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像 刷能力
(0,3/2) 解析
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像 刷能力
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像 刷能力
①③
解析
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像 刷能力
解
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像 刷能力
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像 刷能力
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像 刷基础
题型4 综合变换
解析
归纳总结
在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也 经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握．无论是对x的哪种变换，切记每一个变 换总是对x而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．

1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像 刷基础
25．函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移π/8个单位长度后，得到一个偶函数的
图像，则φ的一个可能的值为( C )
A．－π/4
B．0
C.π/4
D.3π/4
解析
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像 刷能力
A
解析
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像 刷能力
A
解析
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像 刷能力
题型2 平移变换
7．[云南玉溪一中2019高二期中]将函数f(x)＝sin(－2x)的图像向左平移π/6个单位长度， 得到函数 g(x)的图像，则函数g(x)的单调递减区间是________________．

【创新设计】（浙江专用）2016-2017高中数学 第一章 三角函数 1.5 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象（一）课时作业 新人教版必修41.将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π2个单位，所得图象对应的函数是( )A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数解析 y ＝sin 2x ―――――→向右平移π2个单位y ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin 2x ，所得函数为y ＝－sin 2x ，是奇函数. 答案 A2.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A.向左平移π8个单位长度B.向右平移π8个单位长度C.向左平移π4个单位长度D.向右平移π4个单位长度解析 ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，∴2πω＝π.∴ω＝2.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.又∵g (x )＝cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π4，∴只要将y ＝f (x )的图象向左平移π8个单位即可得到g (x )＝cos ωx 的图象.答案 A3.将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，则φ的值可以是( ) A.5π3B.5π6C.π2D.π6解析 先求出解析式中的字母的取值，再利用代入法确定答案.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32在f (x )的图象上， ∴f (0)＝sin θ＝32. ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴θ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －φ）＋π3.∵g (0)＝32，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2φ＝32.验证，φ＝56π时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－53π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π＝32成立.故选B. 答案 B4.将函数y ＝sin x 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的14倍(纵坐标不变)得____的图象.答案 y ＝sin 4x5.函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位(φ＞0)得到的图象恰好关于x ＝π6对称，则φ的最小值是_______.解析 函数y ＝sin 2x 的图象向右平移后得到y ＝sin [2(x －φ)]的图象，而x ＝π6是对称轴，即2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝－k π2－π12(k ∈Z ).当k ＝－1时，φ＝512π.答案512π 6.把函数y ＝f (x )的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，求f (x )的解析式.y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝3cos x .∴f (x )＝3cos x .7.函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ≤π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象重合，求φ的值.解 函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π2个单位得到函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π2个单位，得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π＋π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，即φ＝5π6.8.使函数y ＝f (x )图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的12倍，然后再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位得到的曲线与y ＝sin 2x 的图象相同，求f (x )的表达式.解 法一 正向变换y ＝f (x )―――――――→横坐标缩小到原来的12y ＝f (2x )―――――――――→沿x 轴向左平移π6个单位y ＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin 2x .令2x ＋π3＝t ，则2x ＝t －π3，∴f (t )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.法二 逆向变换据题意，y ＝sin 2x ――――――――→沿x 轴向右平移π6个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3―――――――――――――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.能 力 提 升9.设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( ) A.13B.3C.6D.9解析 由题π3＝2πω·k (k ∈Z )，解得ω＝6k ，令k ＝1，即得ωmin ＝6.答案 C10.把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )解析 由题意，y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)为y ＝cos x ＋1，向左平移一个单位为y ＝cos(x ＋1)＋1，再向下平移一个单位为y ＝cos(x ＋1)，利用特殊点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0变为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，0，知选A. 答案 A11.某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图象；②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象； ③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象； ④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的.其中正确的结论是_____(将所有正确结论的序号都填上). 答案 ①③12.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(x ∈R ，ω＞0)的最小正周期是π，要得到函数g (x )＝sin ωx 的图象，需将f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图象_______.解析 由T ＝2πω＝π得ω＝2，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，g (x )＝sin 2x ，只需将f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4向右平移π8个单位长度即可得到函数g (x )＝sin 2x 的图象.答案 向右平移π8个单位长度13.已知函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，其图象向左平移π6个单位长度后，关于y轴对称.(1)求函数f (x )的解析式；(2)说明其图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到的.解 (1)将函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)图象上的所有点向左平移π6个单位长度后，所得图象的函数解析式为y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ.因为图象平移后关于y 轴对称， 所以2×0＋π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π＋π6(k ∈Z ).因为φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以φ＝π6.所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)将函数y ＝sin x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，即得函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象.探 究 创 新14. 已知函数f (x )＝2sin ωx ，其中常数ω>0.(1)若y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围；(2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a <b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值.解 (1)因为ω>0，根据题意有ππ,3420.2ππ432ωωω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩ (2)f (x )＝2sin 2x ，g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋π6）＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1，g (x )＝0⇒sin(2x ＋π3)＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ，即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点， 则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.。