2012年5月福州市高中毕业班数学综合质检试卷(理科)（带答案）2012年福州市高中毕业班综合练习理科数学试卷参考答案及评分参考一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.B2.A3.C4.D5.B6.D7.C8.B9.D10.D二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)11.212.1213.14.15.①④三、解答题(本大题共6小题，共80分)16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记事件“小强试用的3个岗位中恰有2个在甲部门的概率”为，则．6分（Ⅱ）（元），7分（元）．8分，9分．10分选择甲部门：因为，说明甲部门各岗位的工资待遇波动比乙部门小，竞争压力没有乙部门大，比较安稳．13分选择乙部门：因为，说明乙部门各岗位的工资待遇波动比甲部门大，岗位工资拉的比较开，工作比较有挑战性，能更好地体现工作价值．13分17．（本小题满分13分）解：依题意，可建立如图所示的空间直角坐标系，设，则．2分（Ⅰ）证明：由平面可知为平面的一个法向量．∴．3分∴直线与平面不平行．4分（Ⅱ）设平面的法向量为，则，5分取，则，故．6分∴，7分解得．∴．8分（Ⅲ）在平面内，分别延长，交于点，连结，则直线为平面与平面的交线．9分∵，，∴．∴，∴．11分由（Ⅱ）知，，故，∴．12分∴直线与所成的角的余弦值为．13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设圆的半径为（），依题意，圆心坐标为．1分∵∴，解得．3分∴圆的方程为．5分（Ⅱ）把代入方程，解得，或，即点，．6分（1）当轴时，由椭圆对称性可知．7分（2）当与轴不垂直时，可设直线的方程为．联立方程，消去得，．8分设直线交椭圆于两点，则，．9分∵，∴．10分∵，11分∴，．12分综上所述，．13分19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当时，，∴，1分∴，所以所求的切线的斜率为3.2分又∵，所以切点为.3分故所求的切线方程为：.4分（Ⅱ）∵，∴．5分①当时，∵，∴；6分②当时，由，得；由，得；7分综上，当时，函数在单调递增；当时，函数在单调递减，在上单调递增．8分（Ⅲ）方法一：由（Ⅱ）可知，当时，在上单调递增．9分∴当时，，即．10分令（），则．11分另一方面，∵，即,∴．12分∴（）．13分方法二：构造函数，9分∴，10分∴当时,；∴函数在单调递增．11分∴函数，即∴，，即12分令（），则有．13分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）已知是锐角，根据三角函数的定义，得1分又，且是锐角，所以．2分所以．4分（Ⅱ）证明：依题意得，，，因为，所以，，于是有，①6分又∵，，②7分同理，，③由①，②，③可得，线段MA、NB、PC能构成一个三角形.8分（III）第（Ⅱ）小题中的三角形的外接圆面积是定值，且定值为.不妨设的边长分别为，其中角、、的对边分别为.则由余弦定理，得：9分11分因为，所以，所以，12分设的外接圆半径为R，由正弦定理，得，∴，13分所以的外接圆的面积为.14分21．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换解：（Ⅰ）由条件得矩阵．2分（Ⅱ）因为矩阵的特征多项式为，令，解得特征值为，，4分设属于特征值的矩阵M的一个特征向量为，则，解得，取，得，5分同理，对于特征值，解得，取，得，6分所以是矩阵M属于特征值的一个特征向量，是矩阵M属于特征值的一个特征向量．7分（2）（本小题满分7分)选修4—4：极坐标与参数方程解：（Ⅰ）∵点、的极坐标分别为、，∴点、的直角坐标分别为、，2分∴直线的直角坐标方程为．4分（Ⅱ）由曲线的参数方程化为普通方程为，5分∵直线和曲线C只有一个交点，∴半径．7分（3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲解：（Ⅰ）∵关于的不等式对于任意的恒成立1分根据柯西不等式，有所以，当且仅当时等号成立，故．3分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，则∴5分当且仅当，即时取等号，6分所以函数的最小值为．7分。
2012年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的．===≤的充要条件是，但是4．（5分）（2012•福建）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不sinx+≥（x∈R）时，不等式两边相等；sinx+6．（5分）（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）By=（（﹣=取自阴影部分的概率为=7．（5分）（2012•福建）设函数，则下列结论错误的是（）=（8．（5分）（2012•福建）已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则B∵双曲线的右焦点与抛物线∴双曲线的一条渐近线方程为∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于9．（5分）（2012•福建）若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，B10．（5分）（2012•福建）函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；②f（x2）在[1，]上具有性质P；③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；④对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]其中真命题的序号是（）在]（≤=[f二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．11．（4分）（2012•福建）（a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=2．×12．（4分）（2012•福建）阅读图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于﹣3．13．（4分）（2012•福建）已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为．据三角形三边长成公比为，aaa﹣14．（4分）（2012•福建）数列{a n}的通项公式a n=ncos+1，前n项和为S n，则S2012= 3018．cos ncos的规律，即可求出数列的规律即可求出结ncos=0ncos的每四项和为15．（4分）（2012•福建）对于实数a和b，定义运算“*”：a*b=设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是．=）轴的左边，得到，），又在，）上成立，y=（，即故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共80分，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（13分）（2012•福建）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为（Ⅰ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；（Ⅱ）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；（Ⅲ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由．××+3×=2.86×+2.9×××+3×=2.86××=2.7917．（13分）（2012•福建）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°（4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin2（﹣18°）cos48°（5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin2（﹣25°）cos55°（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．﹣，可得这个常数的=++sin2，化简可得结果．sin30．．++sin sin﹣sin=++（）﹣﹣+cos2﹣=1﹣+．18．（13分）（2012•福建）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点．（Ⅰ）求证：B1E⊥AD1；（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．（Ⅲ）若二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°，求AB的长．为原点，，，为原点，，，的方向为，，，==（•．此时的法向量=⊥平面⊥，⊥=，﹣，﹣，只要⊥，即有•，有此得t=，AP=的一个法向量，此时与==|，解得19．（13分）（2012•福建）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．，；，，∴的方程为．（Ⅱ）由===，），此时，，，，﹣），交20．（14分）（2012•福建）已知函数f（x）=e x+ax2﹣ex，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．==，则c=，使得四、选考题（题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。
2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）第I 卷（选择题 共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分·在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的·1.若复数z 满足i zi -=1，则z 等于（ ）A ．i --1B ．i -1C ．i +-1D ．i +1 考点：复数的运算· 难度：易·分析：本题考查的知识点为复数的计算，直接套用复数运算公式即可·解答：iiz -=1 111)())(1(--=--=---=i i i i i i ·2.等差数列}{n a 中，7,10451==+a a a ，则数列}{n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 考点：等差数列的定义· 难度：易·分析：本题考查的知识点为复等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=·解答：273104211=⇒⎩⎨⎧=+=+d d a d a · 3.下列命题中，真命题是（ ） A ．0,00≤∈∃x eR x B ．22,x R x x >∈∀C ．0=+b a 的充要条件是1-=baD ．1,1>>b a 是1>ab 的充分条件 考点：逻辑· 难度：易·分析：本题考查的知识点为复逻辑中的充要条件的判定· 解答：A 中，,R x ∈∀0>xe·B 中，22,4,2x x x x===∃，22,x x x<∃·C 中，⎩⎨⎧≠=+00b b a 的充要条件是1-=b a·D 中，1,1>>b a 可以得到1>ab ，当1>ab 时，不一定可以得到1,1>>b a · 4.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱 考点：空间几何体的三视图· 难度：易·分析：本题考查的知识点为空间几何体的三视图，直接画出即可· 解答：圆的正视图（主视图）.侧视图（左视图）和俯视图均为圆；三棱锥的正视图（主视图）.侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形； 正方体的正视图（主视图）.侧视图（左视图）和俯视图均为正方形； 圆柱的正视图（主视图）.侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆· 5.下列不等式一定成立的是（ ）A ．)0(lg )41lg(2>>+x x x B ．),(2sin 1sin Z k k x xx ∈≠≥+π C ．)(||212R x x x ∈≥+ D ．)(1112R x x ∈>+ 考点：不等式及基本不等式· 难度：中·分析：本题考查的知识点为不等式的性质及基本不等式的性质· 解答：A 中，)410(4122x x x x x =+=≥+时，当· B 中，])1,0((sin 2sin 1sin ∈≥+x x x ；))0,1[(sin 2sin 1sin -∈-≤+x xx · C 中，)(0)1|(|1||222R x x x x ∈≥-=+-·D 中，)](1,0(112R x x ∈∈+· 6.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A ．41B ．51C ．61D ．71考点：积分的计算和几何概型·难度：中·分析：本题考查的知识点为公式法计算积分和面型的几何概型· 解答：111)(=⨯=ΩS ，⎰-=10)()(dx x x A S 61|)2132(10223=-=x x · 所以61)()()(=Ω=A S S A P ·7.设函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x D ,0,1)(，则下列结论错误的是（ ）A ．)(x D 的值域为}1,0{B ．)(x D 是偶函数C ．)(xD 不是周期函数 D ．)(x D 不是单调函数考点：分段函数的解析式及其图像的作法· 难度：中·分析：本题考查的知识点为分段函数的定义，单调性.奇偶性和周期性的定义和判定· 解答：A 中，)(x D 由定义直接可得，)(x D 的值域为}1,0{·B 中，)(x D 定义域为R ，)(,0,1)(x D x x x D =⎩⎨⎧=-为无理数为有理数，所以)(x D 为偶函数·C 中，)(,0,1)1(xD x x x D =⎩⎨⎧=+为无理数为有理数，所以可以找到1为)(x D 的一个周期· D 中，......1)2(,0)2(,1)1(===D D D ，所以不是单调函数·8.双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）A ．5B ．24C ．3D ．5考点：双曲线的定义· 难度：中·分析：本题考查的知识点为双曲线的定义，焦点，渐近线，抛物线的定义· 解答：抛物线x y 122=的焦点为)0,3(· 双曲线中，5492=-=b · 双曲线渐近线方程为x y 25±=· 所以焦点到渐近线的距离5)25(12532=+=d ·9.若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为（ ）A ．21 B ．1 C ．23D ．2 考点：线性规划· 难度：中·分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像·所以，若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则mm 23≥-，即1≤m ·10.函数)(x f 在],[b a 上有定义，若对任意],[,21b a x x ∈，有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≤+，则称)(x f 在],[b a 上具有性质P ·设)(x f 在[1,3]上具有性质P ，现给出如下命题： ①)(x f 在]3,1[上的图像时连续不断的； ②)(2x f 在]3,1[上具有性质P ；③若)(x f 在2=x 处取得最大值1，则1)(=x f ，]3,1[∈x ； ④对任意]3,1[,,,4321∈x x x x ，有)]()()()([41)2(43214321x f x f x f x f x x x x f +++≤+++·其中真命题的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④考点：演绎推理和函数· 难度：难·分析：本题考查的知识点为函数定义的理解，说明一个结论错误只需举出反例即可，说明一个结论正确要证明对所有的情况都成立· 解答：A 中，反例：如图所示的函数)(x f 的是满足性质P 的，但)(x f 不是连续不断的·B 中，反例：x x f -=)(在]3,1[上具有性质P ，22)(x x f -=在]3,1[上不具有性质P ·C 中，在]3,1[上，)]4()([21)2)4(()2(x f x f x x f f -+≤-+=， 1)(1)2()()4(1)2()()(2)4()(max max =⇒⎪⎩⎪⎨⎧==≤-==≤≥-+x f f x f x f f x f x f x f x f ， 所以，对于任意1)(],3,1[,21=∈x f x x ·D 中，=+++)2(4321x x x x f )2)()((4321x x x x f +++)]()()()([41))]()((21))()((21[21)]2()2([21432121214321x f x f x f x f x f x f x f x f x x f x x f +++≤+++≤+++≤· 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分·把答案填在答题卡的相应位置·11.4)(x a +的展开式中3x 的系数等于8，则实数=a _________·【2】 考点：二项式定理· 难度：易·分析：本题考查的知识点为二项式定理的展开式，直接应用即可· 解答：4)(x a +中含3x 的一项为r rr r x aC T -+=441，令3=r ，则83434=-a C ，即2=a ·12.阅读右图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s 值等于_____________________·【3-】考点：算法初步· 难度：易·分析：本题考查的知识点为算法中流程图的读法，直接根据箭头的指向运算即可· 解答： 1,1==s k ；2,1112==-⨯=k s ； 3,0212==-⨯=k s ； 4,3302=-=-⨯=k s ；结束·13.已知ABC ∆_________·【42-】 考点：等比数列和余弦定理· 难度：易·分析：本题考查的知识点为等比数列的定义和余弦定理的应用· 解答：设ABC ∆三边为m c m b m a 2,2,===， 则可得C ∠所对的边最大，且22cos 222=-+=abc b a C · 14.数列}{n a 的通项公式12cos+=πn n a n ，前n 项和为n S ，则=2012S ___________·【3018】 考点：数列和三角函数的周期性· 难度：中·分析：本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和，所以先要找出周期，然后分组计算和· 解答： 1012cos )14(12)14(cos )14(14+=+⨯+=++⨯+=+ππn n n a n ， 1)24(1cos )24(12)24(cos )24(24++-=+⨯+=++⨯+=+n n n n a n ππ，10123cos )34(12)34(cos )34(34+=+⨯+=++⨯+=+ππn n n a n ，14412cos )44(12)44(cos)44(44++=+⨯+=++⨯+=+n n n n a n ππ， 所以++14n a ++24n a ++34n a 644=+n a · 即30186420122012=⨯=S · 15.对于实数b a ,，定义运算“*”：⎩⎨⎧>-≤-=*ba ab b ba ab a b a ,,22，设)1()12()(-*-=x x x f ，且关于x 的方程为)()(R m m x f ∈=恰有三个互不相等的实数根321,,x x x ，则321x x x 的取值范围是_____·【)0,1631(-】 考点：演绎推理和函数· 难度：难·分析：本题考查的知识点为新定义的理解，函数与方程中根的个数·解答：由题可得，⎩⎨⎧>--≤-=0),1(0),12()(x x x x x x x f可得0,21),41,0(132<=+∈x x x m ， 且↑↑→||,,41132x x x m 所以41=m 时，=max 321||x x x 1631-， 所以∈m )0,1631(-·三.解答题：本大题共6小题，共84分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤·16.（本小题满分13分）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲.乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车my =中随机抽取50辆，统计书数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：（I ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率； （II ）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ，生产一辆乙品牌轿车的利润为2X ，分别求1X ，2X 的分布列；（III ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由· 考点：统计概率及随机变量·难度：易· 分析： 解答：（I ）首次出现故障发生在保修期内的概率为2315010P +== （II ）随机变量1X 的分布列为 随机变量2X 的分布列为（III ）1139123 2.86255010EX =⨯+⨯+⨯=(万元) 2191.82.9 2.791010EX =⨯+⨯=(万元) 12EX EX > 所以应该生产甲品牌汽车·17.（本小题满分13分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数· （1）02217cos 13sin 17cos 13sin -+； （2）02215cos 15sin 15cos 15sin -+；（3）02212cos 18sin 12cos 18sin -+； （4）00020248cos )18sin(48cos )13(sin --+-； （5）00020255cos )25sin(55cos )25(sin --+-·（I ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（II ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论· 考点：三角恒等变换· 难度：中· 分析： 解答：（I ）选择（2）：22013sin 15cos 15sin15cos151sin 3024+-=-= （II ）三角恒等式为：22003sin cos (30)sin cos(30)4αααα+---=22002222sin cos (30)sin cos(30)11sin sin )sin sin )22333sin cos 444αααααααααααα+---=++-+=+=（lby lfx ）18.（本小题满分13分）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA ，E 为CD 中点· （Ⅰ）求证：11AD E B ⊥；（Ⅱ）在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面AE B 1？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由·（Ⅲ）若二面角11A E B A --的大小为030，求AB 的长·考点：立体几何· 难度：中· 分析： 解答：（Ⅰ）长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA得：1111111111,,AD A D AD A B A D A B A A D ⊥⊥=⇔⊥ 面11A B CD1B E ⊂面11A B CD 11B E AD ⇒⊥（Ⅱ）取1AA 的中点为P ，1AB 中点为Q ，连接PQ 在11AA B ∆中，111111//,////////22PQ A B DE A B PQ DE PD QE PD ⇒⇒⇒面AE B 1 此时11122AP AA == （Ⅲ）设11A D AD O = ，连接AO ，过点O 作1OH B E ⊥于点H ，连接AH 1AO ⊥面11A B CD ，1O H B E ⊥1A H B E⇒⊥ 得：AHO ∠是二面角11A E B A --的平面角30AHO ο⇒∠=在Rt AOH ∆中，30,90,2AHO AOH AH OH οο∠=∠==⇒=在矩形11A B CD 中，1,CD x AD ==11112222222228B OE x xS x ∆=--⨯-⨯=1222x =⇔=得：2AB =19.（本小题满分13分）如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e ·过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为8· （Ⅰ）求椭圆E 的方程·（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相交于点Q ·试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由·考点：三角恒等变换·难度：难·分析：解答：（Ⅰ）设c 则2212342c e a c a b a ==⇔=⇔= 2ABF ∆的周长为22121288482,1AB AF BF AF AF BF BF a a b c ++=⇔+++=⇔=⇔===椭圆E 的方程为22143x y += （Ⅱ）由对称性可知设000(,)(0)P x y y >与(,0)M x220031434x x y y y k y '+=⇒==⇒=- 直线00000033(1):()(4,)4x x l y y x x Q y y --=--⇒ 000003(1)0()(4)0(1)(1)(3)x M P M Q x x x y x x x x y -=⇔--+⨯=⇔-=-- （*） （*）对0(2,2)x ∈-恒成立1x ⇔=， 得(1,0)M20.（本小题满分14分）已知函数R a ex ax e x f x ∈-+=,)(2（Ⅰ）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线平行于x 轴，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）试确定a 的取值范围，使得曲线)(x f y =上存在唯一的点P ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P ·考点：导数·难度：难·分析：解答：（Ⅰ）2()()2x x f x e ax ex f x e ax e '=+-⇒=+-由题意得：(1)200f e a e a '=+-=⇔=()01,()0x f x e e x f x x ''=->⇔><⇔<得：函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(,1)-∞（Ⅱ）设00(,())P x f x ； 则过切点P 的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+令000()()()()()g x f x f x x x f x '=---；则0()0g x =切线与曲线只有一个公共点P ()0g x ⇔=只有一个根0x000()()()2()xx g x f x f x e e a x x '''=-=-+-，且0()0g x '=（1）当0a ≥时，00()0,()0g x x x g x x x ''>⇔><⇔<得：当且仅当0x x =时，min 0()()0g x g x ==由0x 的任意性，0a ≥不符合条件（lby lfx ）（2）当0a <时，令00()2()()20ln(2)x x x h x e e a x x h x e a x x a ''=-+-⇒=+=⇔==- ①当0x x '=时，00()0,()0h x x x h x x x ''>⇔><⇔<当且仅当0x x =时，0()()0()g x g x g x ''≥=⇒在x R ∈上单调递增()0g x ⇔=只有一个根0x②当0x x '>时，()0,()0h x x x h x x x ''''>⇔><⇔<得：0()()0g x g x '''<=，又,(),,()x g x x g x ''→+∞→+∞→-∞→+∞存在两个数0x x ''<使，0()()0g x g x ''''==得：00()0()()0g x x x x g x g x '''''<⇔<<⇒<=又,()x g x '→+∞→+∞存在1x x ''>使()0g x ''=，与条件不符·③当0x x '<时，同理可证，与条件不符从上得：当0a <时，存在唯一的点(ln(2),(ln(2))P a f a --使该点处的切线与曲线只有一个公共点P21.本题设有（1）.（2）.（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分·如果多做，则按所做的前两题计分·作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑，并将所选题号填入括号中·（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换设曲线12222=++y xy x 在矩阵 ⎝⎛=b a A 0(0)1a ⎫>⎪⎭对应的变换作用下得到的曲线为122=+y x ·（Ⅰ）求实数b a ,的值· （Ⅱ）求2A 的逆矩阵·解：（Ⅰ）设曲线12222=++y xy x 上任一点(,)P x y 在矩阵A 对应变换下的像是(,)P x y ''' 则220()()11x a x ax x ax ax bx y y b y bx y y bx y''=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎧==⇔⇒++=⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎪''+=+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩ 得：222222()212,221,1a b x bxy y a b b a b +++=⇒+==⇔==（Ⅱ）由（Ⅰ）得：21010101011111121A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21101()21A A -⎛⎫=⇒= ⎪-⎝⎭【考点定位】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查转化化归思想.（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为几点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系·已知直线l上两点N M ,的极坐标分别为)2,332(),0,2(π，圆C 的参数方程θθθ(sin 23cos 22⎩⎨⎧+-=+=y x 为参数）·（Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系·【解析】（Ⅰ）由题意知(2,0),M N ，因为P 是线段MN中点，则P因此OP 直角坐标方程为：.y x =（Ⅱ）因为直线l 上两点(2,0),(0,3M N∴l 30y -=，圆心(2,，半径2r =.32d ∴==<r ,故直线l 和圆C 相交. 【考点定位】本题主要考查极坐标与参数方程的互化.圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查转化化归思想·（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数R m x m x f ∈--=|,2|)(，且0)2(≥+x f 的解集为]1,1[-·（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若R c b a ∈,,，且m cb a =++31211，求证：932≥++c b a · 【解析】（1）∵(2)f x m x x +=-≥0,≤∴m ，∴0m m x m >⇒-<< (2)0111f x x m +≥⇔-≤≤⇒= （2）由（1）知1111,,,23a b c R a b c++=∈,由柯西不等式得（lby lfx ） 11123(23)()23a b c a b c a b c +++++++29≥= 【考点定位】本题主要考查绝对值不等式.柯西不等式等基本知识，考查运算求解能力，考查化归转化思想。
福建省福州市2012届高三3月质量检查数学试题(理)（完卷时间：120分钟；满分：150分）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题【本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．抛物线y2=4x的准线方程为A．x=－1 B．x=1C．y=－1 D．y=12．命题“x∈R，e x 〉0"的否定是A．x∈R，e x ≤0B．x∈R，e x ≤0C．x∈R，e x〉0D．x∈R，e x < 03．如果执行如图所示的框图，输入如下四个复数：①z=12i；②z=－14+34i；③z=22+12i; ④z=12－32i．那么输出的复数是A．① B．②C．③D．④4．用m 、n 表示两条不同的直线，仪表示平面，则下列命题正确的是A ．若m ∥n ,n α，则m ∥αB ．若m ∥α，n α，则m ∥nC ．若m ⊥n ，n α，则m ⊥αD ．若m ⊥α，n α，则m⊥n5．设随机变量ξ服从正态分布N （1，σ 2 ）,则函数f （x ）=x 2+2x +ξ不存在零点的概率为A ．14B ．13C ．12D ．236．在△ABC 中．点O 在线段BC 的延长线上。
且与点C 不重合,若AO =x AB +（1－x ）AC ，则实数x 的取值范围是A ．(－∞，0)B ．（0，+∞）C ．（－1，0）D ．（0，1)7．如图所示2×2方格,在每一个方格中填人一个数字,数字可以是l 、2、3、4中的任何一个,允许重复．若填入A 方格的数字大于B 方格的数字，则不同的填法共有 A ．192种B ．128种C ．96种D ．12种8．函数f （x ）=2cos （ωx +φ)（ω〉0，0<φ<π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A 、B 分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为42,则函数f （x ）图象的一条对称轴的A BC D方程为A ．x =4B ．x = 2C ．x =4D ．x =29．过双曲线2222x y ab =1（a 〉0,b 〉0）的左焦点F 引圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ,若T 为线段FP 的中点，则该双曲线的渐近线方程为A ．x ±y =0B ．2x ±y =0C ．4x ±y =0D ．x ±2y =010．若将有理数集Q 分成两个非空的子集M 与N ,且满足M ∪N =Q ，M ∩N =，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称（M ，N ）为有理数集的一个分割．试判断，对于有理数集的任一分割（M ，N ） ，下列选项中，不可能．．．成立的是A ．M 没有最大元素,N 有一个最小元素B ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 有一个最大元素,N 没有最小元素第Ⅱ卷（非选择题 共100分)二、填空题（本大题共5小题,每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．)11．sin47°cosl3°+sinl3°sin43°的值等于__________l2．函数f （x ）=x 3+ax （x ∈R ）在x =l 处有极值，则曲线y = f （x )在原点处的切线方程是_____13．在约束条件1,2,10,x y x y ，下，目标函数z=ax+by （a 〉0，b 〉0）的最大值为1，则ab 的最大值等于_______14．设函数f （x ）=1(1)2x(x ∈Z ）．给出以下三个判断:①f （x )为偶函数；②f （x ）为周期函数；③f （x +1）+ f （x ）=1．其中正确判断的序号是________(填写所有正确判断的序号)．15．一个平面图由若干顶点与边组成，各顶点用一串从1开始的连续自然数进行编号，记各边的编号为它的两个端点的编号差的绝对值，若各条边的编号正好也是一串从1开始的连续自然数，则称这样的图形为“优美图”．已知图15是“优美图”，则点A 、B 与边a 所对应的三个数分别为___________三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)16．（本小题满分13分）在数列{a n ｝中，a 1=2，点（a n ,a n +1）（n ∈N ＊）在直线y =2x 上． （Ⅰ)求数列｛ a n ｝的通项公式；（Ⅱ）若b n =log 2 a n ,求数列11n n b b 的前n 项和T n ．l7．(本小题满分13分）假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时,每扇窗户或被敞开或被关闭,且概率均为0．5，记此时教室里敞开的窗户个数为X ．（Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭,班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为y ,求y 的数学期望．18．（本小题满分13分)如图，椭圆22221x y ab(a>b 〉0）的上、下顶点分别为A 、B ，已知点B 在直线l ：y =－1上，且椭圆的离心率e =32． （Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ中点，直线AM交直线l于点C，N为线段BC的中点，求证:OM⊥MN．19．（本小题满分l 4分）如图，在边长为4的菱形ABCD中,∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合,EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置,使平面PEF⊥平面ABFE D．（Ⅰ）求证：BD⊥平面POA；(Ⅱ)当PB取得最小值时,请解答以下问题：（i）求四棱锥P—BDEF的体积;（ii)若点Q满足AQ=λQP(λ >0)，试探究:直线OQ与平面PBD所?并说明理由．成角的大小是否一定大于4第19题图20．（本小题满分1 3分）如图①，一条宽为l km的两平行河岸有村庄A和供电站C，村庄B与A、C的直线距离都是2km，BC与河岸垂直，垂足为D．现要修建电缆，从供电站C向村庄A、B供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元／km、4万元／km．（Ⅰ)已知村庄A与B原来铺设有旧电缆仰，需要改造,旧电缆的改造费用是0．5万元／km．现决定利用旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值．（Ⅱ)如图②，点E在线段AD上，且铺设电缆的线路为CE、EA、E B．若∠DCE=θ（0≤θ≤）,试用θ表示出总施工3费用y（万元）的解析式，并求y的最小值．第20题图21．本题有(1）、(2)、（3）三个选做题，每题7分，请考生任选2题作答，满分l4分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填人括号中．(1）（本小题满分7分)选修4—2：矩阵与变换 利用矩阵解二元一次方程组32,423x y x y ．（2）(本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρ（cos θ+sin θ)=1．圆的参数方程为1cos ,1sinx r y r (θ为参数，r 〉0）,若直线l 与圆C 相切，求r 的值．（3）（本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲已知a 2+b 2+c 2=1（a ，b ，c ∈R ）,求a +b +c 的最大值．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1．A 2．B 3．D 4．D 5．C 6．A 7．C 8．D 9．B10．C二、填空题(本大题共5小题，每小题4分,共20分．） 11．212．30x y += 13．1814．①②③ 15．3、6、3三、解答题(本大题共6小题,共80分．) 16．（本小题满分13分）解:（Ⅰ）由已知得12n naa +=,所以12n na a+= 又12a=,所以数列{}na 是首项为2，公比为2的等比数列, 3分所以1*122()n n naa n -=⋅=∈N ．5分(Ⅱ）由(Ⅰ）知，2nna =，所以2log ,nn ba n == 7分所以11111(1)1nn b bn n n n +==-⋅⋅++, 10分所以111111111223341nTn n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n n n =-=++． 13分17．（本小题满分13分）解:（Ⅰ）∵X 的所有可能取值为0，1，2，3,4,(4,0.5)X B ，1分∴40411(0)216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，41411(1)24P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，42413(2)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，43411(3)24P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 44411(4)216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，6分X∴的分布列为7分 (Ⅱ)Y 的所有可能取值为3,4，则8分1(3)(3)4P Y P X ====，9分 3(4)1(3)4P Y P Y ==-==， 11分Y ∴的期望值1315()34444E Y =⨯+⨯=．答：Y 的期望值()E Y 等于154．13分 18．(本小题满分13分)解：(Ⅰ）依题意，得1b =．1分 ∵c e a==，2221ac b -==,∴24a =．3分 ∴椭圆的标准方程为2214x y +=．4分（Ⅱ）(法一） 证明：设()0,P x y ，0x≠，则0(0,)Q y ，且220014x y +=．∵M 为线段PQ 中点, ∴0,2x M y ⎛⎫⎪⎝⎭．5分又()0,1A ，∴直线AM 的方程为002(1)1y y x x -=+．000,1,x y ≠∴≠令1y =-，得00,11xC y⎛⎫-⎪-⎝⎭． 8分又()0,1B -，N 为线段BC 的中点,∴0,12(1)xN y ⎛⎫-⎪-⎝⎭． 9分∴0,122(1)x xNM y y ⎛⎫=-+⎪-⎝⎭． 10分∴22200000000000(1)222(1)44(1)x x x x x OM NM y y y y y y ⎛⎫⋅=-+⋅+=-++ ⎪--⎝⎭ =2220000000()1(1)044(1)x x y y y y y +-+=-++=-． 12分∴OM MN ⊥． 13分 （法二)同（法一）得: 00,2x M y ⎛⎫⎪⎝⎭，0,12(1)xN y ⎛⎫-⎪-⎝⎭． 9分当0y =时，02x=，此时()()()2,0,1,0,1,1P M N -，∴0OMk =，MNk 不存在，∴OM MN ⊥．10分当00y≠时,000022OMy y kx x ==，()()()200000000000002111221221MNy y y x k x x x y x y y y y -------====---，∵1OMMN kk ⋅=-，∴OM MN ⊥ 12分 综上得OM MN ⊥． 13分19．(本小题满分14分）（Ⅰ）证明：∵ 菱形ABCD 的对角线互相垂直， ∴BD AC ⊥，∴BD AO ⊥，1分∵EF AC⊥,∴PO EF ⊥．∵ 平面PEF ⊥平面ABFED ，平面PEF 平面ABFED EF =， 且PO ⊂平面PEF ， ∴ PO ⊥平面ABFED ， 2分∵ BD ⊂平面ABFED ,∴ PO BD⊥． 3分∵ AO PO O=，∴BD ⊥平面POA ．4分（Ⅱ）如图，以O 为原点,建立空间直角坐标系O xyz -． 5分 （ⅰ）设.AOBD H =因为60DAB ∠=︒，所以BDC ∆为等边三角形， 故4BD =，2,23HB HC ==． 又设PO x =，则23OH x =-,43OA x=-．所以(0,0,0)O ，(0,0,)P x ，(23,2,0)B x -,故(23,2,)PB OB OP x x =-=--， 6分所以2222(23)22(3)10PB x x x =-++=-+,当3x =时，min10PB =．此时3PO =, 3.OH =7分 由（Ⅰ)知，PO ⊥平面,BFED所以221133(42)333344P BFEDBFED VS PO -=⋅⋅=⋅⨯-⨯⨯=四棱锥梯形．8分（ⅱ)设点Q 的坐标为(),0,a c ，由（i)知，3OP =，则(33,0,0)A ，(3,2,0)B ，(3,2,0)D -，(0,0,3)P ．所以()AQ a c=-,()QP a c=-， 9分∵AQ=QP λ，∴,a a c cλλ⎧--⎪⎨-⎪⎩⇒a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴Q , ∴3(OQ λ=+． 10分设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0n PB n BD ⋅=⋅=．∵(3,2,PB =，()0,4,0BD =-，∴20,40y y +=-=⎪⎩ ， 取1x =，解得：0,y =1z =， 所以(1,0,1)n =． 11分设直线OQ 与平面PBD 所成的角θ，∴sin cos ,2OQ n OQ n OQ nθ⋅=<>===⋅= 12分 又∵0λ>∴sin θ>．13分∵[0,]2πθ∈，∴4πθ>．因此直线OQ 与平面PBD 所成的角大于4π，即结论成立． 14分20．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由已知可得ABC △为等边三角形． 因为CD AD ⊥，所以水下电缆的最短线路为CD ．过D 作DE AB ⊥于E ，可知地下电缆的最短线路为DE 、AB ． 3分又31,,22CD DE AB ===，故该方案的总费用为314220.52⨯+⨯+⨯53=+（万元) …………6分（Ⅱ）因为0,3DCE πθθ⎛⎫∠=≤≤ ⎪⎝⎭所以1,tan ,3tan cos CE EB ED AE θθθ====-．7分 则()113sin 423tan 2223cos cos cos y θθθθθ-=⨯+⨯+-⨯=⨯+,9分 令()3sin ,cos g θθθ-=则()()()222cos 3sin sin 3sin 1cos cos g θθθθθθθ-----'==,10分因为03πθ≤≤，所以30sin 2θ≤≤，记001sin ,(0,),33πθθ=∈ 当10sin 3θ≤<，即0≤0θθ<时,()0g θ'<， 当13sin 32θ<≤，即0θ〈θ≤3π时， ()0g θ'>，所以()0min133()22223g g θθ-===，从而4223y ≥+， 12分此时02tan 4ED θ==,因此施工总费用的最小值为（4223+)万元，其中24ED =． 13分21．（本小题满分7分) 选修4—2，矩阵与变换解:方程组可写为312423x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2分系数行列式为32412⨯-⨯=，方程组有唯一解． 利用矩阵求逆公式得11131242322-⎛⎫- ⎪⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭， 5分因此原方程组的解为111222331222x y ⎛⎫⎛⎫-⎪⎪⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1,21.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 7分（2）（本小题满分7分） 选修4—4:坐标系与参数方程 解：∵直线l 的极坐标方程为(cos sin )1ρθθ+=, ∴直线l 的直角坐标方程为10x y +-=， 2分又圆C 的普通方程为222(1)(1)x y r -+-=,所以圆心为(1,1),半径为r ． 4分因为圆心到直线l的距离d ==， 6分 又因为直线l 与圆C相切，所以r =． 7分（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲（法一）解：∵ a ，b ，R c ∈,2221a b c ++=，∴22222222()(111)()(111)3a b c a b c a b c ++=⋅+⋅+⋅≤++++=． 5分当且仅当a b c ===时，a b c ++7分（法二)解:∵222a b ab +≥，222bc bc+≥，222ac ac+≥ ∴ 2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++222222222()()()a b c a b b c a c ≤+++++++++3分∵2221a b c ++=,∴2()3a b c ++≤，当且仅当a b c ===时等号成立， 6分∴a b c ++7分。
