2019年河南省洛阳市高考一模数学试卷含参考答案(理科)

2019年河南省洛阳市高考数学模拟试卷（理科）（一）（4月份） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有符合题目要求的1．（5分）已知x ，y ∈R ，集合A ＝{2，log 3x }，集合B ＝{x ，y }，若A ∩B ＝{0}，则x +y ＝（ ）A ．B ．0C ．1D ．32．（5分）若复数z 1＝1+i ，z 2＝1﹣i ，则下列结论错误的是（ ）A ．z 1•z 2是实数B ．是纯虚数C ．|z|＝2|z 2|2D ．z ＝4i3．（5分）已知＝（﹣1，3），＝（m ，m ﹣4），＝（2m ，3），若，则（ ）A ．﹣7B ．﹣2C ．5D ．84．（5分）如图，是以正方形的边AD 为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．5．（5分）已知双曲线C ：（a ＞0，b ＞0）的一个焦点坐标为（4，0），且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（ ）A ．＝1B ．C ．＝1D ．＝1或＝16．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．8π+6B ．6π+6C ．8π+12D ．6π+127．（5分）设x ，y 满足约束条件，则z ＝2x +y 的取值范围是（ ） A ．[﹣2，2]B ．[﹣4，4]C ．[0，4]D ．[0，2]8．（5分）已知△ABC 中，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（5分）在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人﹣﹣宰相宰相西萨•班•达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（ ）A．B．C．D．10．（5分）若过点P（a，a）与曲线f（x）＝xlnx相切的直线有两条，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，e）B．（e，+∞）C．（0，）D．（1，+∞）11．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，沿对角线BD将菱形ABCD折起，使得二面角A﹣BD﹣C的余弦值为，则该四面体ABCD外接球的体积为（）A．B．8πC．D．36π12．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+3），则下面对函数f（x）的描述正确的是（）A．∀x∈（﹣3，+∞），f（x）≥B．∀x∈（﹣3，+∞），f（x）C．∃x0∈（﹣3，+∞），f（x0）＝﹣1D．f（x）min∈（0，1）二、填空題（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）将函数f（x）＝2sin（2x+φ）（φ＜0）的图象向左平移个单位长度，得到偶函数g（x）的图象，则φ的最大值是．14．（5分）已知a＞0，b＞0，（ax+）6展开式的常数项为，则a+2b的最小值为．15．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x）﹣（m+2）x≥0，则实数m 的取值范围是．16．（5分）设过抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点P（异于原点O）的直线与抛物线y2＝8px（p＞0）交于A，B两点，直线OP与抛物线y2＝8px（p＞0）的另一个交点为Q，则＝三、解答題：本大题共6个小題，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）若数列{a n}是公差为2的等差数列，数列{b n}满足b1＝1，b2＝2，且a n b n+b n ＝nb n+1．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}满足c n＝，数列{c n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）nλ＜T n+对一切n∈N*，求实数λ的取值范围．18．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD＝DE，∠ADE＝90°，∠ADC＝∠DCB＝120°．（1）证明：平面ABCD⊥平面EDCF；（2）求直线AF与平面BDF所成角的正弦值．19．（12分）经销商第一年购买某工厂商品的单价为a（单位：元），在下一年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如表：为了研究该商品购买单价的情况，为此调查并整理了50个经销商一年的销售额，得到下面的柱状图．已知某经销商下一年购买该商品的单价为X （单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率．（1）求X 的平均估计值．（2）该工厂针对此次的调查制定了如下奖励方案：经销商购买单价不高于平均估计单价的获得两次抽奖活动，高于平均估计单价的获得一次抽奖活动．每次获奖的金额和对应的概率为记Y （单位：元）表示某经销商参加这次活动获得的奖金，求Y 的分布列及数学期望.. 20．（12分）如图，已知椭圆的离心率为，E 的左顶点为A 、上顶点为B，点P在椭圆上，且△PF1F2的周长为．（I）求椭圆的方程；（II）设C，D是椭圆E上两不同点，CD∥AB，直线CD与x轴、y轴分别交于M，N两点，且的取值范围．21．（12分）已知f′（x）为函数f（x）的导函数，f（x）＝e2x+2f（0）e x﹣f′（0）x．（1）求f（x）的单调区间；（2）当x＞0时，af（x）＜e x﹣x恒成立，求a的取值范围．请考生在第22、23题中任选多做则按所做第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。

河南省洛阳市2019届高三上学期第一次统一考试（12月）数学试卷(理)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{}2log 1A x x =≤，{}220B x x x =+-≥，则U A C B =（ ）A ．(0,1]B ．(2,2]-C ．(0,1)D ．[2,2]-2.若()12m i i ni +=+⋅（,,m n R i ∈是虚数单位），则n m -等于（ ） A ．3 B ．2 C ．0 D ．-13.若函数同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美丽数”： （1）对x R ∀∈，都有()()0f x f x -+=； （2）对12,x x R ∀∈，且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-．①()sin f x x =；②()32f x x =-；③()1f x x =-；④())f x x =以上四个函数中，“优美函数”的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34.已知向量(),2a m =，()3,6b =-，若||||a b a b +=-，则实数m 的值是（ ） A ．-4 B ．-1 C. 1 D ．45.已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（ ）A ．求首项为1，公差为2 的等差数列前2017项和B ．求首项为1，公差为2 的等差数列前2019项和 C. 求首项为1，公差为4 的等差数列前1009项和 D ．求首项为1，公差为4 的等差数列前1010项和6.设,x y 满足约束条件30103x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最小值与最大值的和为（ ）A ．7B ．8 C. 13 D ．147.已知函数()()sin f x x x x R =∈，先将()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平移()0θθ>个单位长度，得到的图象关于y 轴对称，则θ的最小值为（ ） A ．9π B ．3πC. 518π D ．23π8.一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为（ ）A ．283π-B ．43π- C. 83π- D ．243π- 9.若0sin a xdx π=⎰，则二项式61()x的展开式中的常数项为（ ）A ．-15B ．15 C. -240 D ．24010.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,,a b c 成等比数列，且22a c ac bc =+-，则sin cb B=（ ）A11.已知F 是抛物线()21:20C y px p =>的焦点，曲线2C 是以F 为圆心，以2p为半径的圆，直线4320x y p --=与曲线12,C C 从上到下依次相交于点,,,A B C D ，则||ABCD=（ ） A ．16 B ．4 C.83 D ．5312.已知函数()f x 满足()()()()111f x f x f x x R -=+=-∈，且当01x ≤≤时，()21x f x =-，则方程|cos()|()0x f x π-=在[]1,3-上的所有根之和为（ ）A ．8B ．9 C. 10 D ．11第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知sin cos 2αα+=，则cos4α= ． 14.某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法数有 种（用数字作答）．15.在半径为4的球面上有不同的四点,,,A B C D ，若4AB AC AD ===，则平面BCD 被球所截得图形的面积为 ．16.已知12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，00(,)P x y 是双曲线C 右支上的一点，连接1PF 并过1F 作垂直于1PF 的直线交双曲线左支于,R Q ，其中00(,)R x y --，1QF P 为等腰三角形．则双曲线C 的离心率为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意n N *∈，满足11(1)3n n S a a =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足2log n n n a b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：89n T <． 18.甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表： 甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表（1）现从甲公司记录的50天中随机抽取3天，求这3天送餐单数都不小于40的概率； （2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，,E F 分别是,PC PD 的中点，底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA PD ==，且平面PAD ⊥平面ABCD ．（1）求证：平面AEF ⊥平面PCD ；（2）求平面AEF 与平面ACE 所成锐二面角的余弦值．20.已知短轴长为2的椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，直线n 的横、纵截距分别为,1a -，且原点到直线n 的距离为2． （1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 经过椭圆的右焦点2F 且与椭圆E 交于,A B 两点，若椭圆E 上存在一点C 满足320OA OB OC +-=，求直线l 的方程．21.已知函数()ln m x f x n x =+，21()(())2ag x x f x x =--（,,m n a R ∈），且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-．（1）求实数,m n 的值及函数()f x 的最大值；（2）当1(,)a e e∈-时，记函数()g x 的最小值为b ，求b 的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为x ty m t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，m R ∈），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()223032cos ρθπθ=≤≤-．（1）写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点P 是曲线2C 上一点，若点P 到曲线1C 的最小距离为m 的值． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()()1||3f x x a a R =-∈. （1）当2a =时，解不等式()1||13x f x -+≥；（2）设不等式()1||3x f x x -+≤的解集为M ，若11[,]32M ⊆，求实数a 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5: CABDC 6-10: DCADB 11、12：AD 二、填空题 13.7814. 36 15. 12π16. 2三、解答题17.（1）当1n =时，2111111111(1)333a S a a a a ==-=-， ∵10a ≠，∴14a =. ∵4(1)3n n S a =-，∴当2n ≥时，114(a 1)3n n S --=-，两式相减得1a 4a n n -=， ∴数列{}a n 是首项为4，公比为4的等比数列，∴a 4nn =.（2）∵2a log a 2n n n b n ==，∴24n nn b =， ∴12324624444n n nT =++++， 234112462+++44444n n n T +=+， 两式相减得234132222224444444n n n n T +=+++++-23411111122()444444n n n+=+++++-111(1)2244214314n n n +-=-=--1122268344334n n n n n +++-=-. ∴86889949n n n T +=-<.18.（1）记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M ，则32535023()196C P M C ==.（2）①设乙公司送餐员送餐单数为a ，则当38a =时，386228X =⨯=，当39a =时，396234X =⨯=，当40a =时，406240X =⨯=，当41a =时，40617247X =⨯+⨯=，当42a =时，40627254X =⨯+⨯=.所以X 的所有可能取值为228，234，240，247，254.故X 的分布列为：∴()228234105E X =⨯+⨯+240247254241.85510⨯+⨯+⨯=.②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为380.2390.3400.2410.2420.139.7⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.所以甲公司送餐员日平均工资为80439.7238.8+⨯=元. 由①得乙公司送餐员日平均工资为241.8元. 因为238.8241.8<，故推荐小王去乙公司应聘.19.（1）由题PA PD AD ==，F 为PD 的中点，可得AF PD ⊥， ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，CD AD ⊥， ∴CD ⊥平面PAD . 又∵AF ⊂平面PAD ， ∴CD AF ⊥.CDPD D =∴AF ⊥平面PCD . ∴平面AEF ⊥平面PCD .（2）取AD 的中点O ，BC 的中点F ，连接,OP OF ， ∵PA PD AD ==，∴OP AD ⊥.∵平面PAD ⊥平面,ABCD OP ⊂平面PAD ， ∴OP ⊥平面ABCD .分别以,,OA OF OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0)A ，(1,2,0)C -，1(2E -，1(2F -，3(2AF =-，(0,1,0)FE =设平面AEF 的法向量为(,,)m x y z =，则0m AF m FE ⎧=⎪⎨=⎪⎩.即3020x z y ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩.可取=1,0,m （. 同理，可得平面ACE 的法向量(3,3,1)n =.cos ,||||m n m n m n <>==7=. 所以平面AEF 与平面ACE 所成锐二面角余弦值为7.20.（1）因为椭圆E 的短轴长为2，故1b =. 依题意设直线n 的方程为：1xy a-==.解得a = 故椭圆的方程为2213x y +=. （2）设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y当直线l 的斜率为0时，显示不符合题意.当直线l的斜率不为0时，2F ，设其方程为x ty =由2213x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(3)10t y ++-=，所以1223y y t +=-+，1221,3y y t =-+，① 因为320OA OB OC +-=，所以31212x x x=+，31212y y y = 又点C 在椭圆E 上，∴222331211()332x y xx +=+2121()2y y + 2222121213()()4343x xy y =+++12121)123x x y y ++= 又∵221113x y +=，22213xy += ∴1212103x x y y+=，② 将11x ty =22x ty =21t =，即1t =或1t =-. 故直线l 的方程为0x y +=或0x y -=. 21.（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()21ln m x f x x -'=，因不()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-，所以(1)1ln1(1)01f m m f n '==⎧⎪⎨=+=⎪⎩.解得1,0m n ==. 所以()ln x f x x =．故()21ln xf x x-'=． 令()0f x '=，得x e =，当0x e <<时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当x e >时，()0f x '<，()f x 单调递减．所以当x e =时，()f x 取得最大值()1f e e=． （2）∵()221(())ln 22a ax g x x f x x x x x =--=--， ∴()ln ln ()xg x x ax x a x'=-=-， ∵1e a e-<<， ∴1()f e a e=-<，()1f e a e=>， 所以存在()1(,),0t e g t e'∈=即ln t at =，当()0,x t ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当(,]x t e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以()g x 的最小值为2ln ln 22a t tb t t t t t =--=-， 令()ln 2t tb t h t =-=， 因为()ln 102t h t -'=<，所以()h t 在1(,)e e 单调递减，从而3()(,)22e h t e ∈--，即b 的取值范围是3(,)22e e--22.（1）由曲线1C 的参数方程，消去参数t ，可得1C 的普通方程为：0x y m -+=． 由曲线2C 的极坐标方程得22232cos 3ρρθ-=，[]0,θπ∈，∴曲线2C 的直角坐标方程为()221013x y y +=≤≤ （2）设曲线2C 上任意一点P为[],sin ),0,αααπ∈，则点P 到曲线1C的距离为d=|2cos()|m πα++=∵[]0,απ∈∴cos()[1,62πα+∈-，2cos()[6πα+∈-，当0m <时，4m =-，即4m =-； 当20m ->时，24m -=，即6m =．∴4m =-6m =．中小学最新教育资料中小学最新教育资料 23.（1）当2a =时，原不等式可化为|31||2|3x x -+-≥． ①当13x ≤时，原不等式可化为3123x x -++-≥，解得0x ≤，所以0x ≤； ②当123x <<时，原不等式可化为3123x x -+-≥，解得1x ≥，所以12x ≤<； ③当2x ≥时，原不等式可化为3123x x --+≥，解得32x ≥，所以2x ≥． 综上所述，当2a =时，不等式的解集为{|01}x x x ≤≥或．（2）不等式()1||3x f x x -+≤可化为|31|||3x x a x -+-≤， 依题意不等式|31|||3x x a x -+-≤在11[,]32恒成立， 所以31||3x x a x -+-≤，即||1x a -≤，即11a x a -≤≤+，所以113112a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩． 解得1423a -≤≤，故所求实数a 的取值范围是14[,]23-．。

洛阳市2019--2020学年高中三年级第一次统一考试数学试卷(理)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}20|M x x x =-<，{}2,1,0,1,2N =--，则MN =（ ）A. {}0,1B. {}2,1--C. {}1D. {}0,1,2【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合M ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由()20x x -<，解得{}|02M x x =<<，所以M N ={}1.故选：C【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2.已知复数z 在复平面中对应的点(),x y 满足()2211x y -+=，则1z -=（ ）A. 0B. 1C.D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，判断出正确选项. 【详解】由于复数z 在复平面中对应点(),x y 满足()2211x y -+=，即复数z 对应点在圆心为()1,0，半径为1的圆上，1z -表示复数对应的点到()1,0的距离，也即圆上的点到圆心的距离，所以11z -=. 故选：B【点睛】本小题主要考查复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，考查圆的方程，属于基础题.3.为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展.下面的图表反映了该产业发展的相关信息:根据上述图表信息，下列结论错误的是（）A. 2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆B. 2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆C. 2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D. 2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆【答案】D【解析】【分析】根据图表对选项逐一分析，由此确定结论错误的选项.【详解】对于A选项，2017年3月份我国新能源汽车的产量6.8 6.83.32 3.41 1.05 2.05=≈<+，故A选项结论正确.对于B选项，2017年我国新能源汽车总销量125.6125.677.677010.617 1.617=≈>+，故B选项结论正确.对于C选项，2018年8月份我国新能源汽车的销量10.1万量，高于产量9.9万量，故C选项结论正确.对于D 选项，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量9.60.25 2.42⨯=>，故D 选项结论错误. 故选：D【点睛】本小题主要考查图表数据分析，考查阅读与理解能力，属于基础题.4.已知正项等比数列{}n a 中，354a a =，且467,1,a a a +成等差数列，则该数列公比q 为（ ） A.14B.12C. 2D. 4【答案】C 【解析】 【分析】结合等差中项的性质，将已知条件转化为1,a q 的形式，由此求得q 的值.【详解】由于467,1,a a a +成等差数列，所以()64721a a a +=+，所以()64735214a a a a a ⎧+=+⎨=⎩，即()5361112411214a q a q a q a q a q ⎧+=+⎪⎨⋅=⎪⎩，解得11,24a q ==. 故选：C【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查等差中项的性质，属于基础题.5.我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就.哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”(注:如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数)，如40337=+.在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是（ ） A.126B.122C.117D.115【答案】B 【解析】 【分析】先求得40以内的素数的个数，然后根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】40以内的素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37共12个，任选两个的方法数有21212116621C ⨯==⨯种，和为40的有33740,112940,172340+=+=+=共3种，所以不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是316622=. 故选：B【点睛】选本小题主要考查古典概型的计算，考查组合数的计算，考查素数的知识，属于基础题. 6.圆222410x y x y +-++=关于直线()300,0ax by a b --=>>对称，则12a b+的最小值是（ ） A. 1 B. 3 C. 5D. 9【答案】B 【解析】 【分析】求得圆心，代入直线30ax by --=，利用基本不等式求得12a b+的最小值. 【详解】圆222410x y x y +-++=的圆心为()1,2-，由于圆关于直线30ax by --=对称，圆心坐标满足直线方程，所以23a b +=，所以12a b +()1122123253b a a b b b a a +⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11554333⎛≥+=+= ⎝，当且仅当22,1b aa b a b===时等号成立. 故选：B【点睛】本小题主要考查圆的几何性质，考查基本不等式求最小值.7.函数()()23xx e e cos x f x x-⋅-=（e 为自然对数的底数）的大致图象为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和特殊值，排除错误选项，由此得出正确选项.【详解】由于()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，图像关于原点对称，由此排除B,D 两个选项. 当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x >，由此排除A 选项. 故选：C【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性，属于基础题. 8.正三棱锥的三视图如下图所示，则该正三棱锥的表面积为（ ）A. B. 9 C. D.92【答案】A 【解析】 【分析】通过三视图还原出立体图，通过条件可求得底面正三角形边长为则可求侧面积为.【详解】如图所示，底面正三角的高AD=3，所以223AH AD==，AB=AC=BC=ABCS =又SH为侧视图中的高，所以SH=3，则AS=,则在等腰SAB中12SABS=⨯=所以侧面积为A.【点睛】本题考查已知三视图求几何体的表面积，准确的还原出立体图是解题的关键，属中档题.9.已知点12,F F分别是双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的左，右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足12212,4F F OP tan PF F=∠=，则双曲线C的离心率为（）B. 5D.179【答案】C【解析】【分析】根据122F F OP=判断出三角形12F F P是直角三角形，利用214tan PF F∠=、双曲线的定义和勾股定理列方程组，化简后求得离心率.【详解】由于1222F F OP c==，所以三角形12F F P是直角三角形.所以12121222221212424PFtan PF FPFPF PF aPF PF F F c⎧∠==⎪⎪⎪-=⎨⎪+==⎪⎪⎩，化简得22179ca=，即cea==故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查双曲线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10.设()f x 是定义在R 上函数，满足条件()()11f x f x +=-+，且当1x ≤时，()3xf x e-=-，则()27a f log =，()2 1.533,3b f c f --⎛⎫⎪⎝⎭==的大小关系是（ ）A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. c b a >>【答案】B 【解析】 【分析】利用已知条件将()27a f log =转换为247a f log ⎛=⎫⎪⎝⎭，根据1x ≤时()f x 的单调性，比较出,,a b c 的大小关系.【详解】依题意()()11f x f x +=-+，所以()22277log 1log 1227a f log f f ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭24l o g 7f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.因为21.5324log 03317--<<<<，且当(],1x ∈-∞时，()3x f x e -=-为减函数，所以a cb >>.故选：B【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 为棱1CC 的中点.下列结论:①线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ；②线段BD 上存在点F ，使CF ⊥得平面1AD E ；③平面1AD E 把正方体分成两部分，较小部分的体积为724，其中所有正确的序号是（ ） A. ① B. ③C. ①③D. ①②③【答案】C 【解析】的【分析】利用线面平行的判定定理，作出F 点的位置，判断①正确.利用面面垂直的判定定理，判断②错误.计算较小部分的体积，判断③正确.【详解】设1A D 交1AD 于P ，过P 作PQ AD ⊥，交AD 于Q ，连接CQ 交BD 于F ，由于//,PQ CE PQ CE =，所以四边形PQCE 为平行四边形，所以//CQ EP ，所以//CQ 平面1AED .故线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ，即①正确.若CF ⊥平面1AD E ，CF ⊂平面ABCD ，则平面1AD E ⊥平面ABCD ，这不成立，所以②错误. 延展平面1AD E 为1AMED 如图所示，其中M 是BC 的中点.根据正方体的几何性质可知，1,,D E AM DC 相交于一点， 1CEMDD A ∆∆,所以多面体1CEM DD A -是棱台.且体积为(113CEM DD A S S CD ∆∆⋅+⋅1117138224⎛=⋅++⋅= ⎝.故③正确. 综上所述，正确的序号为①③. 故选：C【点睛】本小题主要考查空间线面平行、线面垂直有关定理，考查台体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.12.已知正项数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a >，且2632n n n S a a =++.若对于任意实数[]2,2a ∈-.不等式2*1()211n a t at n N n +<+-∈+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A. ][(),22,⋃∞-+∞- B. ,21,(][)∞⋃+∞--C. ,12[),(]-∞⋃+∞-D. []22-,【答案】A 【解析】 【分析】 求得11n a n ++的范围，转化主参变量列不等式组，解不等式组求得t 的取值范围. 【详解】由2632n n n S a a =++①.当1n =时，2111632a a a =++，解得12a =.当2n ≥时，2111632n n n S a a ---=++②，①-②得2211633n n n n n a a a a a --=-+-，()()1130n n n n a a a a --+--=，所以13n n a a --=，所以数列{}n a 是首项为12a =，公差为3d =的等差数列，所以31n a n =-，所以()1311133111n n a n n n ++-==-<+++，所以2213t at +-≥恒成立，即2240t at +-≥，转换为2240ta t +-≥，在[]2,2a ∈-恒成立，所以2222402240t t t t ⎧-+-≥⎨+-≥⎩，解得][,2()2,t ∈⋃∞-+∞-. 故选：A【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.平面向量a 与b 的夹角为60，且()3,0a =，1b =，则2a b += __________．【解析】 【分析】利用()222a b a b +=+来求得2a b +.【详解】依题意()222a b a b+=+224494a ab b =+⋅+=+=【点睛】本小题主要考查平面向量模的运算，考查平面向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14.若实数,x y 满足约束条件,4, 3,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最小值是__________．【答案】9- 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界位置，由此求得z 的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，平移基准直线20x y +=到可行域边界点()3,3A --位置，此时z 取得最小值为()2339⨯--=-. 故答案为：9-【点睛】本小题主要考查线性规划求最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15.已知椭圆()2222:10,x y C a b A a b+=>>为右顶点.过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，直线QM 交x 轴于()2,0N ，椭圆C 的离心率为23，则椭圆C 的标准方程为__________． 【答案】2213620x y += 【解析】【分析】设出,P Q 两点的坐标，求得M 点坐标，由,,Q M N 三点共线列方程，结合椭圆的离心率求得,a b 的值，进而求得椭圆的标准方程.【详解】设()()0000,,,P x y Q x y --，(),0A a ，所以00,22a x y M +⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于,,Q M N 三点共线，所以00002222y y a x x =++-，解得6a =.由于椭圆离心率23c a =，所以4c =，所以22220,b a c b =-==.所以椭圆方程为2213620x y +=. 故答案为：2213620x y += 【点睛】本小题主要考查根据椭圆的离心率求椭圆标准方程，考查运算求解能力，属于基础题. 16.已知函数()()12,f lnx ax a x g x x=+=-，且()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭【解析】分析】 先求得()()f x g x 的定义域，然后对()f x 和()g x 的符合进行分类讨论，由此求得实数a 的取值范围.【详解】依题意()()()1ln 2f x g x x ax a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，定义域为()0,∞+. 由于()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则 ①，1ln 20,0x ax a x +≤-≥恒成立，即ln 12,x a a x x ≤-≤在()0,∞+恒成立.令()ln x h x x=-，()'ln 1x h x x -=，故()h x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增，故()()1h x h e e≥=-.所以，由ln 12,x a a x x ≤-≤可得12,0a a e ≤-≤，即12a e≤-. ②，1ln 20,0x ax a x +≥-≤恒成立，即ln 12,x a a x x≥-≥在()0,∞+恒成立，不存在这样的a . ③，当0a >时，由于()f x 在()0,∞+上递增，()g x 在()0,∞+上递减，要使()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则需()f x 和()g x 有相同的零点.由ln 2010x ax a x+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得22,a e x e -==. 综上所述，实数a 的取值范围是{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭. 【故答案为：{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的求解策略，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC 中，角,,A B C 对应边分别为,,a b c .(1)若ABC 的面积S 满足222,4c a b c a +=+==且b c >，求b 的值；(2)若3a A π==且ABC 为锐角三角形.求ABC 周长的范围.【答案】（1）b =（2）3(+【解析】【分析】（1）结合三角形面积公式和余弦定理，求得tan C 的值，由此求得C 的大小，利用余弦定理列方程求得b 的值.（2）利用正弦定理表示出,b c ，用三角形内角和定理和三角恒等变换求得b c +的取值范围，由此求得a b c ++即三角形ABC 周长的取值范围.【详解】(1)由条件和三角形的面积公式得2222c c a b +=+=+，即222a b c =+-.将余弦定理2222a b c abcosC +-=.cosC =，即tanC =，因为(0,)C π∈，所以6C π=将4,6c a C π===，代入2222c a b abcosC =+-，得290b -+=结合条件b c >得b =(2)由正弦定理得2sin sin sin a b c A B C=== 所以()2b c sinB sinC +=+()22233sinB sin B sinB sin B πππ⎡⎡⎤⎛⎫=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎤=⎢⎥⎣⎦⎦+322(6)2sinB cosB B π⎛⎫ ⎪ ⎪⎭==+⎝+ 因为A B C π++=，且3A π=及锐角三角形得0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且20,32B ππ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以62B ππ<<，所以2363B πππ<+<，即sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以(3,b c +∈所以周长a b c ++范围是3(+.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于中档题.18.如图，已知四边形ABCD 为等腰梯形，BDEF 为正方形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，//,1AD BC AD AB ==，60ABC ∠=︒.(1)求证:平面CDE ⊥平面BDEF ；(2)点M 为线段EF 上一动点，求BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）12⎤⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）利用等腰梯形的性质证得BD CD ⊥，由面面垂直的性质定理证得CD ⊥平面BDEF ，由此证得平面CDE ⊥平面BDEF .（2）建立空间直角坐标系，设出EM 的长，利用直线BD 的方向向量和平面BCM 的法向量，求得BD 与平面BCM 所成角正弦值的表达式，进而求得BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围.【详解】在等腰梯形ABCD 中，// ,1AD BC AD AB ==， 60ABC ∠=︒，120,30BAD CDA ADB ∴∠=∠=︒∠=︒，90CDB ∠=︒. 即.BD CD⊥BD =2BC =. 又平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ⋂平面,ABCD BD CD =⊂平面ABCD ，∴CD ⊥平面BDEFCD ⊂平面CDE ，∴平面CDE ⊥平面BDEF（2）解:由(1)知，分别以直线,,DB DC DE 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设0(EM m m =≤≤，则()(),0,1,0,000),,B C D，((),3,1,0M m BC =-，()3,0,3,3,0,()0BM m DB =-=设平面BMC 的法向量为(),,n x y x = 00n BC n BM ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩，即(10y m x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩令3x =，则3,y z m ==，平面BMC 的一个法向量为3,3,()n m =.设BD 与平面BCM 所成角为θ，,sin cos n BD θ∴=<>(,n BDn BD m ==∴当0m =m 时取最大值12故BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围为12⎤⎥⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查向量法计算线面角正弦值的取值范围，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =相交于,A B 两点. (1)若2AP PB =，且点A 在第一象限，求直线AB 的方程；(2)若,A B 在直线2y =-上的射影分别为11,A B ，线段11A B 的中点为Q ， 求证1//BQ PA .【答案】（1）240x y -+=.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设出直线AB 的方程，联立直线AB 的方程和抛物线方程，化简后写出韦达定理，利用2AP PB =，结合平面向量相等的坐标运算、韦达定理，求得直线AB 的斜率，进而求得直线AB 的方程.（2）由（1）求得11,,A B Q 的坐标，通过计算10BQ PA k k -=，证得1//BQ PA .【详解】(1)设AB 方程为()20y kx k =+>，()()11221,,,,0A x y B x y x > ，联立方程24 2.x y y kx ⎧=⎨=+⎩，，消去y 得:2480x kx --=，216320k =+>，121248x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩① 又()1122(),2,,2AP x y PB x y =--=- 由2AP PB =得:122x x =-代人①解得12k = ∴直线AB 的方程为:122y x =+，即240x y -+=.(2)由(1)得，()111122,2,,2(()2),,2x A x B x Q x +--- 114PA k x =-， ()22221221228422BQ x x k x x x x x ++==+-- ()()()122121212211121888422BQ PA x x x x x x k k x x x x x x ++-+-=+=-- ()()()221212************x x x x x x x x x x x x ++===-- 1BQ PA k k ∴=1//PA BQ ∴【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.20.设函数()()3211232x f x e x kx kx =--+. (1)若1k =，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 存在三个极值点123,,x x x ，且123x x x <<，求k 的取值范围，并证明:1 3 22x x x >+.【答案】（1）单调减区间为(,1)-∞，单调增区间为(1,)+∞.（2）k e >，证明见解析【解析】【分析】（1）当1k =时，利用导数求得()f x 的单调区间.（2）先求得()f x 的导函数()()()'1x e x f x kx --=，则()x g x e kx =-有两个不同的零点，且都不是1.对k 分成0,0k k ≤>两种情况分类讨论，利用导数研究()g x 的单调性和零点，由此求得k 的取值范围. 由上述分析可得12301x x x <<=<，利用导数证得312313131ln ln 221x x x x x x x x x -=>=-++，从而证得1 3 22x x x >+.【详解】(1)()32()11232x f x e x x x =--+()()() 1x f x e x x '∴=--.令()(),'1x x h x e x h x e =-=-，()'0h x >得0x >，()'0h x <得0x <，()h x 在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增.()()010h x h ∴≥=>即0x e x ->，∴解()'0f x >得1x >，解()'0f x <得1x <，()f x ∴的单调减区间为(,1)-∞，单调增区间为(1,)+∞.(2)()()()()2'21x x x f x e x e kx kx e kx x =-+-+=--，()f x 有三个极值点，∴方程0-=x e kx 有两个不等根，且都不是1，令()x g x e kx =-，0k ≤时，()g x 单调递增，()0g x =至多有一根，0k ∴>解()'0g x >得x lnk >，解()'0g x <得x lnk <.()g x ∴在(n ),l k -∞上递减，在(ln ,)k +∞上递增，()()ln 10,k g lnk e klnk k lnk k e =-=-<>∴此时，()010g =>，()1,10lnk g e k >=-<，x →+∞时()g x →+∞.k e ∴>时，()'0f x =有三个根123,,x x x ，且12301x x x <<=<，由11x e kx =得11x lnk lnx =+，由33xe kx =得33x lnk lnx =+，3131ln ln 1x x x x -∴=-下面证明:313131ln ln 2x x x x x x ->-+，可变形为331311121x x x ln x x x ->+ 令311x t x =>，()()21ln 1t x t t ϕ-=-+ ()()()()222114011t x t t t t ϕ-'=-=>++，()x ϕ∴在(1)+∞，上递增， ()()10t ϕϕ∴>= ∴313131ln ln 21x x x x x x -=>-+，3122.x x x ∴+> 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求解函数极值有关问题，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.21.“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.每次考试过后，考生最关心的问题是:自己的考试名次是多少?自已能否被录取?能获得什么样的职位? 某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布. )考试后考试成绩的部分统计结果如下:考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名.(1)最低录取分数是多少?(结果保留为整数)(2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位?若不能被录取，请说明理由.参考资料:(1)当2~(,)X N μσ时，令X Y μσ-=，则()~0,1Y N .(2)当()~0,1Y N 时， 2.17()0.985P Y ≤≈， 1.280.900, 1.()09()0.863P Y P Y ≤≈≤≈，1.04()0.85P Y ≤≈.【答案】（1）266分或267分.（2）能获得高薪职位.见解析【解析】【分析】（1）利用考试的平均成绩、高分考生的人数，以及题目所给正态分布的参考资料，求得考生成绩X 的分布()~180,832X N ，利用录取率3002000列方程，由此求得最低录取分数线. （2）计算出不低于考生甲的成绩的人数约为200，由此判断出甲能获得高薪职位.【详解】(1)设考生成绩为X ，则依题意X 应服从正态分布，即()2~180,X N σ. 令180X Y σ-=，则()~0,1Y N .由360分及其以上的高分考生30名可得()303602000P X ≥=即()3036010.9852000P X <=-≈，亦即3601800.985P Y σ-⎛⎫<≈ ⎪⎝⎭. 则3601802.17σ-=，解得()83180,832N σ≈∴，， 设最低录取分数线为o x ，则0180300832(0)00o x P X x P Y -⎛⎫≥=≥= ⎪⎝⎭ 则018030010.85832000x P Y -⎛⎫<=-≈ ⎪⎝⎭，0180 1.0483x -∴= 266.32o x ∴≈.即最低录取分数线为266分或267分.(2)考生甲的成绩286267>，所以能被录取.()()286180()286 1.280.9083P X P Y P Y -<=<=<≈， 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的10.900.10,20000.1200-=⨯≈，即考生甲大约排在第200名，排在275名之前，所以他能获得高薪职位.【点睛】本小题主要考查正态分布在实际生活中的应用，考查化归与转化的数学思想方法，考查阅读理解能力，属于中档题.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡.上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22.在极坐标系中，已知圆的圆心6,3C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径3r =，Q 点在圆C 上运动.以极点为直角坐标系原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系.（1）求圆C 参数方程；（2）若P 点在线段OQ 上，且:2:3OP PQ =，求动点P 轨迹的极坐标方程.【答案】（1）33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）；（2）225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭【解析】分析】（1）已知得，圆心6,3C π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为(C ，3r =，则可求得圆的标准方程；（2）结合（1）得，圆C 的极坐标方程为212sin 276πρρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再设(),P ρθ，()1,Q ρθ，则1:2:5ρρ=，将152ρρ=代入C 的极坐标方程即可得解.【详解】（1）由已知得，圆心6,3C π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为(C ，3r =，所以C 的直角坐标方程为()(2239x y -+-=，所以圆C 的参数方程为33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（2）由（1）得，圆C的极坐标方程为()26cos 270ρρθθ-+=， 即212sin 276πρρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．设(),P ρθ，()1,Q ρθ，根据:2:3OP PQ =，可得1:2:5ρρ=， 将152ρρ=代入C 的极坐标方程，得225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，即动点p 轨迹的极坐标方程为225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了直角坐标方程、极坐标方程及参数方程的互化，重点考查了运算能力，属基础题. 23.设函数()211f x x x =-++.【(1)画出()y f x =的图象；(2)若不等式()1f x a x >-+对x ∈R 成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）见解析（2）(,3)-∞【解析】【分析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此画出()f x 的图形.（2）将不等式() 1f x a x >-+转化为21 22a x x -++>.利用绝对值不等式求得21 22x x -++的最小值，由此求得a 的取值范围.【详解】(1)根据绝对值的定义，可得()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩所以() y f x =的图象如图所示:(2)() 1f x a x >-+，即21 22a x x -++>|21 2 2 2122|3x x x x -++≥---=，3a ∴<，即实数a 的取值范围是(,3)-∞.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像，考查含有绝对值的不等式恒成立问题的求解，属于基础题.。

洛阳市2019届高三上学期第一次统一考试数学（理）试卷本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)商部分。

第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至 4页.共150分.考试时间120分钟。

第I 卷（选择题，共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2.考试结束，将答题卡交回。

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={02|2≤--∈*x x N x }，B={2,3}，则=B A =A. {-1,0,1,2,3}B. {1,2,3}C. [-1,2]D.[-1,3]2.若复数z 为纯虚数，且i a z i -=+)1( (其中R a ∈)，则=+||z a A. 2 B. 3 C. 2 D. 53.函数||ln sin x x y =的图象大致为4.在区间[-1,1]内随机取两个实数y x ,,则满足12-≥x y 的概率是 A. 92 B. 97 C. 61 D. 65 5.4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有A. 24种B. 36种C. 48种D. 60种6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. π939+B. π636+ C.π633+ D. π6312+ 7.已知双曲线C: 12222=-by a x （a>0,b>0)，过左焦点F 1的直线切圆222a y x =+于点P,交双曲线C 右支于点Q ，若PQ P F =1，则双曲线 C 的渐近线方程为 A. x y 21= B. x y ±= C. x y 2±= D. x y 23±= 8.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式3916V d ≈,人们还用过一些类似的近似公式，根据14159.3=π… 判断下列近似公式中最精确的一个是 A. 33160V d ≈ B. 32V d ≈ C. 3818V d ≈ D. 31121V d ≈ 9.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+-≤020222y x y x x ，则5-=x y z 的取值范围为 A. ]34,32[- B. ]32,34[- C. ),43[]32,(+∞--∞ D. ),23[]43,(+∞--∞ 10.设A ，B 是半径为2的圆0上的两个动点，点C 为AO 中点，则CB CO ⋅筋的取值范围是A. [-1,3] B, [1,3] C.[-3，-1] D.[-3，1]11.已知函数)(x f y =对任意的)2,2(ππ-∈x 满足0>sin )(cos )('x x f x x f +(其中)('x f 是函数)(x f y =的导函数），则下列不等式成立的是。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，B ＝{x |y ＝ln （2﹣x ）}，则A ∩B ＝（ ） A ．[﹣3，2）B ．（2，3]C ．[﹣1，2）D ．（﹣1，2）【解答】解：∵集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}＝{x |﹣1≤x ≤3}＝[﹣1，3]， B ＝{x |y ＝ln （2﹣x ）}＝{x |2﹣x ＞0}＝{x |x ＜2}＝（﹣∞，2）； ∴A ∩B ＝[﹣1，2）． 故选：C ．2．（5分）设复数z ＝1+i ，则5z +z 2＝（ ）A ．−52+i2B ．−52−i2C ．52+i2D ．52−i2【解答】解：∵z ＝1+i ，∴5z +z 2=51+i +(1+i)2=5(1−i)(1+i)(1−i)+2i=52−52i +2i =52−12i ． 故选：D ．3．（5分）cos70°sin50°﹣cos200°sin40°的值为（ ） A ．−√32B ．−12C ．12D ．√32【解答】解：cos70°sin50°﹣cos200°sin40° ＝cos70°sin50°+cos20°sin40° ＝cos70°sin50°+sin70°cos50° ＝sin （50°+70°） ＝sin120° =√32． 故选：D ．4．（5分）我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、…、《辑古算经》等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为（ ）A ．1415B ．1315C ．29D ．79【解答】解：从10部名著中选择2部名著的方法数为C 102＝45（种）， 2部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数为C 32＝3（种）， 由对立事件的概率计算公式得P ＝1−345=1415． 故选：A ．5．（5分）已知函数f （x ）＝3ln （x +√x 2+1）+a （7x +7﹣x ），x ∈R ，则“a ＝0”是“函数f（x ）为奇函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：若a ＝0，则f （x ）＝3ln （x +√x 2+1），则f （﹣x ）+f （x ）＝3ln （﹣x +√x 2+1）+3ln （x +√x 2+1）＝3（ln （﹣x +√x 2+1）（x +√x 2+1） ＝3ln （x 2+1﹣x 2）＝3ln 1＝0，则f （﹣x ）＝﹣f （x ），即f （x ）是奇函数，即充分性成立， 若函数f （x ）是奇函数，则满足f （0）＝0，即f （0）＝0，即f （0）＝3ln 1+a （1+1）＝2a ＝0，则a ＝0，即必要性成立，则“a ＝0”是“函数f （x ）为奇函数”的充要条件， 故选：C ．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的表面积为（ ）A ．64﹣2πB ．64+2πC ．80﹣2πD ．80+2π【解答】解：根据三视图知，该几何体是棱长为4的正方体，截去一个14圆柱体，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的表面积为S ＝2×42+2×4×2+（2×42−12π×22）+14×2π×2×4＝80+2π． 故选：D ．7．（5分）若x ∈（e ﹣1，1），a ＝lnx ，b =(12)lnx ，c ＝e lnx ，则（ ）A ．b ＞c ＞aB ．c ＞b ＞aC ．b ＞a ＞cD ．a ＞b ＞c【解答】解：∵x ∈（e ﹣1，1） ∴a ＝lnx ＜ln 1＝0 即a ＜0考察幂函数f （t ）＝t lnx ∵lnx ＜0∴当t ＞0时，f （t ）是减函数 ∵12＜e∴b =(12)lnx ＞c =e lnx ＞0 所以有b ＞c ＞a 故选：A ．8．（5分）若将函数f （x ）＝sin （2x +φ）+√3cos （2x +φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点（π2，0）对称，则函数g （x ）＝cos （x +φ）在[−π2，π6]上的最小值是（ ） A ．−12B ．−√32C ．√22D ．12【解答】解：∵f （x ）＝sin （2x +φ）+√3cos （2x +φ）＝2sin （2x +φ+π3），∴将函数f （x ）图象向左平移π4个单位后，得到函数解析式为：y ＝2sin[2（x +π4）+φ+π3]＝2cos （2x +φ+π3），∵函数的图象关于点（π2，0）对称，∴对称中心在函数图象上，可得：2cos （2×π2+φ+π3）＝2cos （π+φ+π3）＝0，解得：π+φ+π3=k π+π2，k ∈Z ，解得：φ＝k π−5π6，k ∈Z ， ∵0＜φ＜π， ∴解得：φ=π6， ∴g （x ）＝cos （x +π6）， ∵x ∈[−π2，π6]，x +π6∈[−π3，π3]，∴cos （x +π6）∈[12，1]，则函数g （x ）＝cos （x +φ）在[−π2，π6]上的最小值是12．故选：D ．9．（5分）已知变量x 、t 满足约束条件{x +2y ≥22x +y ≤44x −y ≥−1，则目标函数z ＝3x ﹣y 的最大值是（ ）A ．﹣4B ．−32C ．﹣1D ．6【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z ＝3x ﹣y 得y ＝3x ﹣z ， 显然直线过（2，0）时z 最大， z 的最大值是6， 故选：D ．10．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a−c b=cosC cosB，b ＝4，则△ABC 的面积的最大值为（ ） A ．4√3B ．2√3C ．2D ．√3【解答】解：∵在△ABC 中2a−c b=cosC cosB，∴（2a ﹣c ）cos B ＝b cos C ，∴（2sin A ﹣sin C ）cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin C cos B +sin B cos C ＝sin （B +C ）＝sin A ， 约掉sin A 可得cos B =12，即B =π3，由余弦定理可得16＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝a 2+c 2﹣ac ≥2ac ﹣ac ， ∴ac ≤16，当且仅当a ＝c 时取等号， ∴△ABC 的面积S =12ac sin B =√34ac ≤4√3 故选：A ．11．（5分）抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是抛物线上的两个动点，若x 1+x 2+4=2√33|AB |， 则∠AFB 的最大值为（ ） A ．π3B ．3π4C ．5π6D ．2π3【解答】解：因为x 1+x 2+4=2√33|AB|，|AF |+|BF |＝x 1+x 2+4，所以|AF|+|BF|=2√33|AB|． 在△AFB中，由余弦定理得：cos∠AFB =|AF|2+|BF|2−|AB|22|AF|⋅|BF|=(|AF|+|BF|)2−2|AF|⋅|BF|−|AB|22|AF|⋅|BF|=43|AB|2−|AB|22|AF|⋅|BF|−1=13|AB|22|AF|⋅|BF|−1． 又|AF|+|BF|=2√33|AB|≥2√|AF|⋅|BF|⇒|AF|⋅|BF|≤13|AB|2． 所以cos∠AFB ≥13|AB|22×13|AB|2−1=−12，∴∠AFB 的最大值为2π3，故选：D ．12．（5分）函数f （x ）是定义在（1，+∞）上的可导函数，f ′（x ）为其导函数，若f （x ）+（x ﹣1）f ′（x ）＝x 2（x ﹣2），且f （e 2）＝0，则不等式f （e x ）＜0的解集为（ ） A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（1，2）D ．（2，+∞）【解答】解：函数f （x ）是定义在（1，+∞）上的可导函数，f '（x ）为其导函数， 令φ（x ）＝（x ﹣1）f （x ），则φ′（x ）＝（x ﹣1）•f '（x ）+f （x ）＝x 2（x ﹣2）， ∴当x ∈（1，2）时，φ（x ）是单调减函数，x ∈（2，+∞）时，函数是单调增函数， ∵f （e 2）＝0，∴φ（e 2）＝（e 2﹣1）f （e 2）＝0，又φ（1）＝φ（e 0）＝0， ∴不等式f （e x ）＜0的解集就是（e x ﹣1）f （e x ）＜0的解集， 即φ（e x ）＜0，∴e 0＜e x ＜e 2，∴0＜x ＜2， 故不等式的解集为{x |0＜x ＜2}． 故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量a →=（1，0），|b →|＝2，a →与b →的夹角为60°，若c →=a →+b ，d →=a →−b →，则c →在d →方向上的投影为 −√3 ．【解答】解：|a →|=1，|b →|=2，a →，b →的夹角为60°； ∴a →⋅b →=1；∴d →2=(a →−b →)2=a →2−2a →⋅b →+b →2=1−2+4=3； ∴|d →|=√3，且c →⋅d →=a →2−b →2=1−4=−3； ∴c →在d →方向上的投影为：|c →|cos ＜c →，d →＞=|c →|⋅c →⋅d→|c →||d →|=−3√3=−√3． 故答案为：−√3．14．（5分）在(x −1x −1)4的展开式中，常数项为 ﹣5 ．【解答】解：(x −1x −1)4的展开式中的通项公式：T r +1=∁4r （﹣1）4﹣r (x −1x)r （r ＝0，1，2，3，4）．∵(x −1x )r 的通项公式：T k +1=∁r k x r−k (−1x )k =（﹣1）k ∁r k xr ﹣2k，令r ﹣2k ＝0，即r ＝2k ．r ＝0，k ＝0；r ＝2，k ＝1；r ＝4，k ＝2．∴常数项＝1−∁21×∁42+∁42×1＝﹣5．故答案为：﹣5．15．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（b ＞a ＞0），焦距为2c ，直线l 经过点（a ，0）和（0，b ），若（﹣a ，0）到直线l 的距离为2√23c ，则离心率为 √3 ．【解答】解：直线l 的方程为xa +y b=1，即为bx +ay ﹣ab ＝0，c 2＝a 2+b 2，（﹣a ，0）到直线l 的距离为2√23c ， 可得：√a 2+b 2=2√23c ，即有3ab =√2c 2，即9a 2b 2＝2c 4，即9a 2（c 2﹣a 2）＝2c 4， 9a 2c 2﹣9a 4﹣2c 4＝0，由于e =ca ，则2e 4﹣9e 2+9＝0， 解得，e 2＝3或e 2=32．由于0＜a ＜b ，即a 2＜b 2，即有c 2＞2a 2，即有e 2＞2， 则e =√3或e =√62舍去．故答案为：√3．16．（5分）如图，△ABC 是等腰直角三角形，斜边AB ＝2，D 为直角边BC 上一点（不含端点），将△ACD 沿直线AD 折叠至△AC 1D 的位置，使得C 1在平面ABD 外，若C 1在平面ABD 上的射影H 恰好在线段AB 上，则AH 的取值范围是 （1，√2） ．【解答】解：∵在等腰Rt △ABC 中，斜边AB ＝2，D 为直角边BC 上的一点， ∴AC ＝BC =√2，∠ACB ＝90°，将△ACD 沿直AD 折叠至△AC 1D 的位置，使得点C 1在平面ABD 外， 且点C 1在平面ABD 上的射影H 在线段AB 上，设AH ＝x ， ∴AC 1＝AC =√2，CD ＝C 1D ∈（0，√2），∠AC 1D ＝90°， C 1H ⊥平面ABC ，∴AH ＜AC 1=√2，当CD =√2时，B 与D 重合，AH ＝1，当CD ＜√2时，AH ＞12AB ＝1， ∵D 为直角边BC 上的一点， ∴CD ∈（0，√2），∴AH 的取值范围是（1，√2）． 故答案为：（1，√2）．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）设数列{a n }前n 项和为S n ，且满足a 1＝r ，S n ＝a n +1−132(n ∈N ∗)． （Ⅰ）试确定r 的值，使{a n }为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设b n ＝log 2a n ，求数列{|b n |}的前n 项和T n ． 【解答】解：（Ⅰ）当n ＝1时，S 1=a 2−132，a 2=a 1+132， 当n ≥2时，S n−1=a n −132，与已知式作差得a n ＝a n +1﹣a n ，即a n +1＝2a n （n ≥2）， 欲使{a n }为等比数列，则a 2＝2a 1＝2r ， 又a 2=a 1+132，∴r =132， 故数列{a n }是以132为首项，2为公比的等比数列，所以a n =2n−6；（Ⅱ）由（I ）知b n ＝n ﹣6，∴|b n |={6−n ，n ＜6n −6，n ≥6，若n ＜6，T n =−b 1−⋯−b n =11n−n 22， 若n ≥6，T n =−b 1−⋯−b 5+b 6+⋯+b n =n 2−11n2+30，∴T n ={11n−n 22，n ＜6n 2−11n2+30，n ≥6． 18．（12分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为32，48，32．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的数学期望和方差；（i）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．【解答】解：（Ⅰ）某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为32，48，32．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．应从甲部门的员工中抽取：7×3232+48+32=2人，乙部门的员工中抽取：7×4832+48+32=3人，丙部门的员工中抽取：7×3232+48+32=2人．（Ⅱ）（i）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）=C43C73=435，P（X＝1）=C31C42C73=1835，P（X＝2）=C32C41C73=1235，P（X＝3）=C33C73=135，∴随机变量X的分布列为：X0123P43518351235135E（X）=0×435+1×1835+2×1235+3×135=97，D（X）＝（0−97）2×435+（1−97）2×1835+（2−97）2×1235+（3−97）2×135=198343．（ii）抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．基本事件总数n=C73=35，A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，则事件A包含的基本事件个数m=C73−C33−C43=30，∴事件A 发生的概率P （A ）=m n =3035=67． 19．（12分）已知五边形ABECD 有一个直角梯形ABCD 与一个等边三角形BCE 构成，如图1所示，AB ⊥BC ，且AB ＝BC ＝2CD ，将梯形ABCD 沿着BC 折起，形成如图2所示的几何体，且AB ⊥平面BEC ． （1）求证：平面ABE ⊥平面ADE ；（2）求二面角A ﹣DE ﹣B 的平面角的余弦值．【解答】证明：（1）：取BE 的中点F ，AE 的中点G ，连接FG 、GD 、CF ，则GF ∥=12AB ．∵DC =∥12AB ，：．CD ∥GF 且CD ＝GF ，：．四边形CFGD 为平行四边形， ：．CF ∥DG ．∵AB ⊥平面BEC ，∴AB ⊥CF ． ∵CF ⊥BE ，AB ∩BE ＝B ， ∴CF ⊥平面ABE ， ∵CF ∥DG ， ∴DG ⊥平面ABE ，∵DG ⊂平面ADE ，∴平面ABE ⊥平面ADE ．以O 为坐标原点，OE 、BC 所在的直线分别为x 轴、y 轴，过O 且平行于AB 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝4，则A （0，﹣2.4），B （0，﹣2，0），D （0，2，2），E （2√3，0，0）， ∴ED →=（﹣2√3，2，2），EA →=（﹣2√3，﹣2，4），EB →=（﹣2√3，﹣2，0）， 设平面EAD 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则有{n →⋅ED →=0n →⋅EA →=0，即{−√3x +y +z =0−√3x −y +2z =0． 取z ＝2，得x =√3，y ＝1，则n →=（√3，1，2），设平面BDE 的法向量为m →=（x ，y ，z ），则有{m →⋅ED →=0m →⋅EB →=0， 即{−√3x +y +z =0√3x +y =0，取x ＝1，得y =−√3，z ＝2√3，则m →=（1，−√3，2√3）．cos ＜m →，n →＞=m →⋅n→|m →||n →|=√64，又由图可知，二面角A ﹣DE ﹣B 的平面角为锐角， 即二面角A ﹣DE ﹣B 的平面角的余弦值是√64．20．（12分）已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 是椭圆上的任意一点，且|PF 1|•|PF 2|的最大值为4，椭圆C 的离心率与双曲线x 24−y 212=1的离心率互为倒数．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P （﹣1，32），过点P 作两条直线l 1，l 2与圆（x +1）2+y 2＝r 2（0＜r ＜32）相切且分别交椭圆于M ，N ，求证：直线MN 的斜率为定值． 【解答】解：（Ⅰ）双曲线x 24−y 212=1的离心率为42=2，可得椭圆C 的离心率为12，设椭圆的半焦距为c ，∴a ＝2c ， ∵|PF 1|•|PF 2|≤（|PF 1|+|PF 2|2）2＝a 2，∴a 2＝4， ∴c ＝1，又b 2＝a 2﹣c 2＝4﹣1＝3 ∴椭圆方程为x 24+y 23=1；（Ⅱ）证明：显然两直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由于直线l 1，l 2与圆（x +1）2+y 2＝r 2（0＜r ＜32）相切，则有k 1＝﹣k 2， 直线l 1的方程为y −32=k 1（x +1）， 联立椭圆方程3x 2+4y 2＝12，消去y ，得x 2（3+4k 12）+k 1（12+8k 1）x +（3+2k 1）2﹣12＝0， ∵P ，M 为直线与椭圆的交点，所以x 1﹣1=−k 1(12+8k 1)3+4k 12，同理，当l 2与椭圆相交时，x 2﹣1=k 1(12−8k 1)3+4k 12，∴x 1﹣x 2=−k 1(12+8k 1)3+4k 12−k 1(12−8k 1)3+4k 12=−24k 13+4k 12，而y 1﹣y 2＝k 1（x 1+x 2）+2k 1=12k 13+4k 12， ∴直线MN 的斜率k =y 1−y2x 1−x 2=−12．21．（12分）已知函数f （x ）＝x 3﹣x −√x ． （Ⅰ）判断f(x)x的单调性；（Ⅱ）求函数y ＝f （x ）的零点的个数；（Ⅲ）令g （x ）=2f(x)+√x +lnx ，若函数y ＝g （x ）在（0，1e）内有极值，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设φ（x ）=f(x)x =x 2﹣1x（x ＞0）， 则φ'（x ）＝2x 12√x 0，∴φ（x ）在（0，+∞）上单调递增； （Ⅱ）∵φ（1）＝﹣1＜0，φ（2）＝320，且φ（x ）在（0，+∞）上单调递增， ∴φ（x ）在（1，2）内有零点，又f （x ）＝x 3﹣x −√x =x •φ（x ），显然x ＝0为f （x ）的一个零点， ∴f （x ）在（0，+∞）上有且只有两个零点；（Ⅲ）g （x ）=ax 2+ax x 3−x +lnx ＝lnx +ax−1，则g '（x ）=1x −a (x−1)2=x 2−(2+a)x+1x(x−1)2， 设h （x ）＝x 2﹣（2+a ）x +1，则h （x ）＝0有两个不同的根x 1，x 2，且有一根在（0，1e）内，不妨设0＜x 1＜1e，由于x 1x 2＝1，即x 2＞e ， 由于h （0）＝1，故只需h （1e ）＜0即可，即1e 2−（2+a ）⋅1e +1＜0，解得a ＞e +1e−2，∴实数a 的取值范围是（e +1e−2，+∞）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C 1：x 2﹣y 2＝2，曲线C 2的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ（θ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 1，C 2的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，射线θ=π6与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点（异于极点O ），定点M （3，0），求△MAB 的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C 1：x 2﹣y 2＝2，∴曲线C 1的极坐标方程为：ρ2cos 2θ﹣ρ2sin 2θ＝2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分） ∵曲线C 2的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ（θ为参数）．∴曲线C 2的普通方程为：（x ﹣2）2+y 2＝4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分） ∴x 2+y 2﹣4x ＝0，∴曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）得：点A 的极坐标为（2，π6），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）点B 的极坐标为（2√3，π6），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴|AB |＝|2﹣2√3|＝2√3−2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分） M （3，0）点到射线θ=π6（ρ≥0）的距离为d ＝3sin π6=32，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分） ∴△MAB 的面积为：S △MAB =12|AB |d =12×(2√3−2)×32=3√3−32．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分） [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|2x +2|﹣5．（Ⅰ）解不等式：f （x ）≥|x ﹣1|；（Ⅱ）当时x ≥﹣1时，函数g （x ）＝f （x ）+|x ﹣m |恒为正值，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）|2x +2|﹣5≥|x ﹣1|等价于{x ≤−1−2x −2−5≥1−x 或{−1＜x ≤12x +2−5≥1−x 或{x ＞12x +2−5≥x −1， 解得x ≤﹣8或x ∈∅或x ≥2，综上所述，不等式f （x ）≥|x ﹣1|的解集为（﹣∞，﹣8]∪[2，+∞）； （Ⅱ）当m ＝﹣1时，则g （x ）＝|2x +2|﹣5+|x ＝1|＝3|x +1|﹣5＝3x ﹣2＞0， 只需g （﹣1）＝﹣3﹣2＞0，不可能！当m ＞﹣1时，g （x ）＝|2x +2|+|x ﹣m |﹣5＝|x ﹣m |+2x ﹣3={3x −m −3，x ≥m x +m −3，x ＜m ，要使函数g （x ）＝f （x ）+|x ﹣m |恒为正值，则g （x ）min ＝g （﹣1）＝﹣1+m ﹣3＞0，可得m ＞4，当m ＜﹣1时，g （x ）＝|2x +2|+|x ﹣m |﹣5＝3x ﹣m ﹣3＞0恒成立， 只需要g （x ）min ＝﹣3﹣m ﹣3＞0，可得m ＜﹣6，综上所述，实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（4，+∞）．。

2019年河南省洛阳市一模数学试卷（满分120分，考试时间100分钟）一、选择题（每小题3分，共30分）1.下面几个数中，最小的数是（）A．-3 B．-πC．D．02.目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是5纳米，国产芯片的最小工艺水平理论上是12纳米，已知1纳米=10-9米，用科学记数法将12纳米表示为（）A．12×10-9米B．1.2×10-10米C．1.2×10-8米D．0.12×10-8米3.如图的几何体是由五个小正方体组合而成的，则这个几何体的主视图是（）A B C D4.下列运算正确的是（）A．(x+y)2=x2+y2B．3236 1128xy x y ⎛⎫-=-⎪⎝⎭C．x6÷x3=x2D2 =±5.如图是洛阳市某周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法正确的是（）A．众数是28 B．中位数是24C．平均数是26 D．方差是86.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A．606030(125%)x x-=+B．606030(125%)x x-=+C．60(125%)6030x x⨯+-=D．6060(125%)30x x⨯+-=7.关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k＜-4 B．k≤-4 C．k＜4 D．k≤48.不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是（）A．29B．13C．49D．59星期129. 如图，点B 是直线l 外一点，在l 的另一侧任取一点K ，以B 为圆心，BK 为半径作弧，交直线l于点M ，N ；再分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 为半径作弧，两弧相交于点P ；连接BP 交直线l 于点A ；点C 是直线l 上一点，点D ，E 分别是线段AB ，BC 的中点；F 在CA 的延长线上，∠FDA =∠B ，AC =8，AB =6，则四边形AEDF 的周长为（ ） A ．8B ．10C ．16D ．18l10. □ABCD 周长为8厘米，点Q 是边AB 上一点，且AQ =1厘米，动点P 从点A 出发，沿折线A -D -C 运动．设动点P 运动的长度为x 厘米，线段AP ，AQ ，PQ 所围成图形的面积为y 平方厘米，作出y 与x 之间的函数图象如图所示．根据图象可以判定点P 运动所在的图形是（ ）A ．A BC D QP31B ．30°CP D2BQAC ．A Q B2DPC45° D ．PD C2BQA二、填空题（每小题3分，共15分）11. 0( 3.14)π-=____________． 12. 如图，矩形ABCD ，半圆O 与直角三角形EOF 分别是学生常用的直尺、量角器与三角板的示意图．已知图中点M 处的读数是145°，则∠FND 的度数为__________．A BCD EFM N13.点P1(-1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y=ax2-2ax+c（a＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是__________________．14.如图，边长为2的正方形ABCD以A为中心顺时针旋转45°，到图中正方形AB′C′D′的位置，则图中阴影部分的面积为________．15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是_________．A′ABC P三、解答题（本大题共8小题，满分75分）16.（8分）先化简，再求值：2443(1)11x xxx x-+÷+---，其中x的值是不等式组3215xx-<⎧⎨+⎩≤的一个整数解．3417. （9分）某城市响应“绿水青山就是金山银山的号召”，准备在全市宣传开展“垃圾分类”活动，先对随机抽取的1 000名公民的年龄段分布情况和对“垃圾分类”所持态度进行调查，并将调查结果分别绘成条形图（图1）、扇形图（图2）．图2图133%18%39%以上以下一般赞同很赞同不赞同年龄段（岁）（1）补全条形图；（2）扇形图中态度为“一般”所对应的扇形的圆心角的度数是________；（3）这次随机调查中，年龄段是“25岁以下”的公民中“不赞成”的有5名，它占“25岁以下”人数的百分数是____________；（4）如果把所持态度中的“很赞同”和“赞同”统称为“支持”，这个城市总人口大约500万人，则对开展“垃圾分类”持“支持”态度的估计有多少万人？518. （9分）如图，一次函数y =2x -1与反比例函数ky x在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点B ，与y 轴相交于点C ，且AB =3BC ． （1）求点A 的坐标及反比例函数的解析式．（2）现以点A 为中心，把线段AC 逆时针旋转90°得到AC′． ①请在图中作出线段AC′；②请直接写出C′的坐标，并判断C′是否在已知的双曲线上．19. （9分）如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，过A 作AB 的垂线，交BC 的延长线于点D ，⊙O 的切线CE 交AD 于点E ．（1）求证：CE =12AD ；（2）若AB =2，连接EO 并延长，交⊙O 于点F ．填空： ①当EF =________时，四边形AOCE 为正方形； ②当EF =________时，四边形AECF 为菱形；ABE620. （9分）如图1，我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图2中的线段BC 就是悬挂在墙壁AM 上的某块匾额的截面示意图．已知BC =1米，∠MBC =37°．从水平地面点D 处看点C ，仰角∠ADC =45°，从点E 处看点B ，仰角∠AEB =53°，且DE =2.2米，求匾额悬挂的高度AB 的长．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34）图2图1ABCDEM21. （10分）洛阳某科技公司生产和销售A ，B 两类套装电子产品．3套A 类产品和2套B 类产品的总售价是24万元；2套A 类产品和3套B 类产品的总售价是26万元．公司生产一套A 类产品的成本是2.5万元；生产B 类产品的成本如下表：（2）公司为了生产的方便，只安排生产某一类电子产品且销售顺利，设生产销售某类电子产品x 套：①公司销售x 套A 类产品的利润表达式是y 1=_______；公司销售x 套B 类产品的利润表达式是y 2=___________；②怎样安排生产，才能使公司总利润最高．722. （10分）（1）问题发现如图1，在Rt △ABC 和Rt △CDE 中，∠ACB =∠DCE =90°，∠CAB =∠CDE =45°，点D 是线段AB 上一动点，连接BE ．填空：①BEAD 的值为________，②∠DBE 的度数为__________； （2）类比探究如图2，在Rt △ABC 和Rt △CDE 中，∠ACB =∠DCE =90°，∠CAB =∠CDE =60°，点D 是线段AB上一动点，连接BE ．请判断BEAD 的值及∠DBE 的度数，并说明理由； （3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，将点D 改为直线AB 上一动点，其余条件不变．取线段DE 的中点M ，连接BM ，CM ，若AC =2，则当△CBM 是直角三角形时，线段BE 的长是多少？请直接写出答案．图1A BCD E图2A BCD EMEDCBA 图323.（11分）如图1，抛物线2154y ax x c=-+交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线334y x=-+经过点B，C．（1）求抛物线的解析式．（2）若点P为直线BC下方的抛物线上一动点（不与点B，C重合），则△PBC的面积能够等于△BOC的面积吗？若能，求出相应的点P的坐标；若不能，请说明理由．（3）如图2，现把△BOC平移至如图所示的位置，此时三角形水平方向一边的两个端点点O′与点B′都在抛物线上，称点O′和点B′为△BOC在抛物线上的一“卡点对”；如果把△BOC旋转一定角度，使得其余边位于水平方向然后平移，能够得到这个三角形在抛物线上新的“卡点对”．请直接写出△BOC在已知抛物线上所有“卡点对”的坐标．图1图2备用图8。

洛阳市2018—2019学年高中三年级第一次统一考试数学试卷（理）本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)商部分。

第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至 4页.共150分.考试时间120分钟。

第I 卷（选择题，共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2.考试结束，将答题卡交回。

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={02|2≤--∈*x x N x }，B={2,3}，则=B A = A. {-1,0,1,2,3} B. {1,2,3} C. [-1,2]D.[-1,3]2.若复数z 为纯虚数，且i a z i -=+)1( (其中R a ∈)，则=+||z a A. 2 B. 3 C. 2 D. 53.函数||ln sin x xy =的图象大致为4.在区间[-1,1]内随机取两个实数y x ,,则满足12-≥x y 的概率是 A.92 B. 97 C. 61 D. 65 5.4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有 A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 60种6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.π939+ B. π636+C.π633+ D.π6312+ 7.已知双曲线C: 12222=-by a x （a>0,b>0)，过左焦点F 1的直线切圆222a y x =+于点P,交双曲线C 右支于点Q ，若PQ P F =1，则双曲线 C 的渐近线方程为 A. x y 21=B. x y ±=C. x y 2±=D. x y 23±= 8.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式3916V d ≈,人们还用过一些类似的近似公式，根据14159.3=π… 判断下列近似公式中最精确的一个是 A. 33160V d ≈ B. 32V d ≈ C. 3818V d ≈ D. 31121V d ≈ 9.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+-≤020222y x y x x ，则5-=x y z 的取值范围为A. ]34,32[-B. ]32,34[-C. ),43[]32,(+∞--∞D. ),23[]43,(+∞--∞10.设A ，B 是半径为2的圆0上的两个动点，点C 为AO 中点，则⋅筋的取值范围是 A. [-1,3] B, [1,3] C.[-3，-1] D.[-3，1] 11.已知函数)(x f y =对任意的)2,2(ππ-∈x 满足0>sin )(cos )('x x f x x f +(其中)('x f 是函数)(x f y =的导函数），则下列不等式成立的是A. )4(2>)0(πf f B. )4(＜)3(2ππf fC. )3(2>)0(πf f D. )4(＜)3(2ππ--f f12.已知球O 是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)的外接球，BC=3，AB=32，点五在线段BD 上，且BD=6BE ，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是A. ]4,43[ππ B. ]4,45[ππC. ]4,47[ππD. ]4,411[ππ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分。

洛阳市2019--2020学年高中三年级第一次统一考试数学试卷(理)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}20|M x x x =-<，{}2,1,0,1,2N =--，则M N =（ ）A. {}0,1B. {}2,1--C. {}1D. {}0,1,2【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合M ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由()20x x -<，解得{}|02M x x =<<，所以M N ={}1.故选：C【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2.已知复数z 在复平面中对应的点(),x y 满足()2211x y -+=，则1z -=（ ）A. 0B. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，判断出正确选项.【详解】由于复数z 在复平面中对应点(),x y 满足()2211x y -+=，即复数z 对应点在圆心为()1,0，半径为1的圆上，1z -表示复数对应的点到()1,0的距离，也即圆上的点到圆心的距离，所以11z -=. 故选：B【点睛】本小题主要考查复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，考查圆的方程，属于基础题. 3.为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展.下面的图表反映了该产业发展的相关信息:根据上述图表信息，下列结论错误的是（ ） A. 2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆 B. 2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆 C. 2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D. 2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆 【答案】D 【解析】 【分析】根据图表对选项逐一分析，由此确定结论错误的选项. 【详解】对于A 选项，2017年3月份我国新能源汽车的产量 6.8 6.83.32 3.41 1.05 2.05=≈<+，故A 选项结论正确.对于B 选项，2017年我国新能源汽车总销量125.6125.677.677010.617 1.617=≈>+，故B 选项结论正确.对于C 选项，2018年8月份我国新能源汽车的销量10.1万量，高于产量9.9万量，故C 选项结论正确. 对于D 选项，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量9.60.25 2.42⨯=>，故D 选项结论错误. 故选：D【点睛】本小题主要考查图表数据分析，考查阅读与理解能力，属于基础题.4.已知正项等比数列{}n a 中，354a a =，且467,1,a a a +成等差数列，则该数列公比q 为（ ） A.14B.12C. 2D. 4【解析】 【分析】结合等差中项的性质，将已知条件转化为1,a q 的形式，由此求得q 的值. 【详解】由于467,1,a a a +成等差数列，所以()64721a a a +=+，所以()64735214a a a a a ⎧+=+⎨=⎩，即()5361112411214a q a q a q a q a q ⎧+=+⎪⎨⋅=⎪⎩，解得11,24a q ==. 故选：C【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查等差中项的性质，属于基础题.5.我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就.哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”(注:如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数)，如40337=+.在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是（ ）A.126 B.122C.117D.115【答案】B 【解析】 【分析】先求得40以内的素数的个数，然后根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】40以内的素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37共12个，任选两个的方法数有21212116621C ⨯==⨯种，和为40的有33740,112940,172340+=+=+=共3种，所以不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是316622=. 故选：B【点睛】选本小题主要考查古典概型的计算，考查组合数的计算，考查素数的知识，属于基础题. 6.圆222410x y x y +-++=关于直线()300,0ax by a b --=>>对称，则12a b+的最小值是（ ） A. 1 B. 3 C. 5D. 9【答案】B 【解析】求得圆心，代入直线30ax by --=，利用基本不等式求得12a b+的最小值. 【详解】圆222410x y x y +-++=的圆心为()1,2-，由于圆关于直线30ax by --=对称，圆心坐标满足直线方程，所以23a b +=，所以12a b +()1122123253b a a b b b a a +⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11554333⎛≥+=+= ⎝，当且仅当22,1b a a b a b===时等号成立. 故选：B【点睛】本小题主要考查圆的几何性质，考查基本不等式求最小值. 7.函数()()23xx e e cos x f x x-⋅-=（e 为自然对数的底数）的大致图象为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和特殊值，排除错误选项，由此得出正确选项.【详解】由于()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，图像关于原点对称，由此排除B,D 两个选项. 当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x >，由此排除A 选项. 故选：C【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性，属于基础题.8.正三棱锥的三视图如下图所示，则该正三棱锥的表面积为（ ）A. B. 9 C. 92【答案】A 【解析】 【分析】通过三视图还原出立体图，通过条件可求得底面正三角形边长为则可求侧面积为.【详解】如图所示，底面正三角的高AD=3，所以223AH AD ==，AB=AC=BC=ABCS =又SH 为侧视图中的高，所以SH=3，则AS =则在等腰SAB 中12SABS=⨯=所以侧面积为 A. 【点睛】本题考查已知三视图求几何体的表面积，准确的还原出立体图是解题的关键，属中档题.9.已知点12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左，右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C的右支上，且满足1221 2,4F F OP tan PF F =∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）B. 5D.179【解析】 【分析】根据12 2F F OP =判断出三角形12F F P 是直角三角形，利用214tan PF F ∠=、双曲线的定义和勾股定理列方程组，化简后求得离心率.【详解】由于12 22F F OP c ==，所以三角形12F F P 是直角三角形.所以12121222221212424PF tan PF F PF PF PF a PF PF F F c ⎧∠==⎪⎪⎪-=⎨⎪+==⎪⎪⎩，化简得22179c a =，即c e a ==故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查双曲线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10.设()f x 是定义在R 上的函数，满足条件()()11f x f x +=-+，且当1x ≤时，()3xf x e-=-，则()27a f log =，()2 1.533,3b f c f --⎛⎫⎪⎝⎭==的大小关系是（ ）A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. c b a >>【答案】B 【解析】 【分析】利用已知条件将()27a f log =转换为247a f log ⎛=⎫⎪⎝⎭，根据1x ≤时()f x 的单调性，比较出,,a b c 的大小关系. 【详解】依题意()()11f x f x +=-+，所以()22277log 1log 1227a f log f f ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭24log 7f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.因为21.5324log 03317--<<<<，且当(],1x ∈-∞时，()3x f x e -=-为减函数，所以a c b >>.【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 为棱1CC 的中点.下列结论:①线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ；②线段BD 上存在点F ，使CF ⊥得平面1AD E ；③平面1AD E 把正方体分成两部分，较小部分的体积为724，其中所有正确的序号是（ ） A. ① B. ③C. ①③D. ①②③【答案】C 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理，作出F 点的位置，判断①正确.利用面面垂直的判定定理，判断②错误.计算较小部分的体积，判断③正确.【详解】设1A D 交1AD 于P ，过P 作PQ AD ⊥，交AD 于Q ，连接CQ 交BD 于F ，由于//,PQ CE PQ CE =，所以四边形PQCE 为平行四边形，所以//CQ EP ，所以//CQ 平面1AED .故线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ，即①正确.若CF ⊥平面1AD E ，CF ⊂平面ABCD ，则平面1AD E ⊥平面ABCD ，这不成立，所以②错误.延展平面1AD E 为1AMED 如图所示，其中M 是BC 的中点.根据正方体的几何性质可知，1,,D E AM DC 相交于一点， 1CEMDD A ∆∆,所以多面体1CEM DD A -是棱台.且体积为(113CEM DD A S S CD ∆∆⋅+⋅1117138224⎛=⋅++⋅= ⎝.故③正确. 综上所述，正确的序号为①③. 故选：C【点睛】本小题主要考查空间线面平行、线面垂直有关定理，考查台体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.12.已知正项数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a >，且2632n n n S a a =++.若对于任意实数[]2,2a ∈-.不等式2*1()211n a t at n N n +<+-∈+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A. ][(),22,⋃∞-+∞- B. ,21,(][)∞⋃+∞--C. ,12[),(]-∞⋃+∞-D. []22-,【答案】A 【解析】 【分析】 求得11n a n ++的范围，转化主参变量列不等式组，解不等式组求得t 的取值范围. 【详解】由2632n n n S a a =++①.当1n =时，2111632a a a =++，解得12a =.当2n ≥时，2111632n n n S a a ---=++②，①-②得2211633n n n n n a a a a a --=-+-，()()1130n n n n a a a a --+--=，所以13n n a a --=，所以数列{}n a 是首项为12a =，公差为3d =的等差数列，所以31n a n =-，所以()1311133111n n a n n n ++-==-<+++，所以2213t a t +-≥恒成立，即2240t a t +-≥，转换为2240ta t +-≥，在[]2,2a ∈-恒成立，所以2222402240t t t t ⎧-+-≥⎨+-≥⎩，解得][,2()2,t ∈⋃∞-+∞-. 故选：A【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.平面向量a 与b 的夹角为60，且()3,0a =，1b =，则2a b += __________．【解析】 【分析】 利用()222a b a b+=+来求得2a b +.【详解】依题意()222a b a b+=+224494a ab b =+⋅+=+=【点睛】本小题主要考查平面向量模的运算，考查平面向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14.若实数,x y 满足约束条件,4, 3,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最小值是__________．【答案】9- 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界位置，由此求得z 的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，平移基准直线20x y +=到可行域边界点()3,3A --位置，此时z 取得最小值为()2339⨯--=-. 故答案为：9-【点睛】本小题主要考查线性规划求最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15.已知椭圆()2222:10,x y C a b A a b+=>>为右顶点.过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP的中点为M ，直线QM 交x 轴于()2,0N ，椭圆C 的离心率为23，则椭圆C 的标准方程为__________． 【答案】2213620x y += 【解析】 【分析】设出,P Q 两点的坐标，求得M 点坐标，由,,Q M N 三点共线列方程，结合椭圆的离心率求得,a b 的值，进而求得椭圆的标准方程.【详解】设()()0000,,,P x y Q x y --，(),0A a ，所以00,22a x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，由于,,Q M N 三点共线，所以00002222y y a x x =++-，解得6a =.由于椭圆离心率23c a =，所以4c =，所以22220,b a c b =-==所以椭圆方程为2213620x y +=. 故答案为：2213620x y += 【点睛】本小题主要考查根据椭圆的离心率求椭圆标准方程，考查运算求解能力，属于基础题.16.已知函数()()12,f lnx ax a x g x x =+=-，且()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则实数a 的取值范围为__________．【答案】{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭【解析】【分析】先求得()()f x g x 的定义域，然后对()f x 和()g x 的符合进行分类讨论，由此求得实数a 的取值范围. 【详解】依题意()()()1ln 2f x g x x ax a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，定义域为()0,∞+. 由于()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则 ①，1ln 20,0x ax a x +≤-≥恒成立，即ln 12,x a a x x ≤-≤在()0,∞+恒成立.令()ln x h x x=-，()'ln 1x h x x -=，故()h x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增，故()()1h x h e e≥=-.所以，由ln 12,x a a x x ≤-≤可得12,0a a e ≤-≤，即12a e≤-. ②，1ln 20,0x ax a x +≥-≤恒成立，即ln 12,x a a x x≥-≥在()0,∞+恒成立，不存在这样的a . ③，当0a >时，由于()f x 在()0,∞+上递增，()g x 在()0,∞+上递减，要使()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则需()f x 和()g x 有相同的零点.由ln 2010x ax a x+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得22,a e x e -==. 综上所述，实数a 的取值范围是{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭.故答案为：{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的求解策略，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC 中，角,,A B C 对应边分别为,,a b c .(1)若ABC 的面积S 满足222,4c a b c a +=+==且b c >，求b 的值；(2)若3a A π==且ABC 为锐角三角形.求ABC 周长的范围.【答案】（1）b =（2）3(+【解析】【分析】（1）结合三角形面积公式和余弦定理，求得tan C 的值，由此求得C 的大小，利用余弦定理列方程求得b 的值.（2）利用正弦定理表示出,b c ，用三角形内角和定理和三角恒等变换求得b c +的取值范围，由此求得a b c ++即三角形ABC 周长的取值范围.【详解】(1)由条件和三角形的面积公式得2222c c a b +=+=+，即222a b c =+-.将余弦定理2222a b c abcosC +-=.cosC =，即3tanC =，因为(0,)C π∈，所以6C π=将4,6c a C π===，代入2222c a b abcosC =+-，得290b -+=结合条件b c >得b =(2)由正弦定理得2sin sin sin a b c A B C=== 所以()2b c sinB sinC +=+()22233sinB sin B sinB sin B πππ⎡⎡⎤⎛⎫=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎤=⎢⎥⎣⎦⎦+32(6)2sinB B π⎛⎫ ⎪ ⎪⎭==+⎝+ 因为A B C π++=，且3A π=及锐角三角形得0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且20,32B ππ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以62B ππ<<，所以2363B πππ<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以(3,b c +∈所以周长a b c ++范围是3(+.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于中档题.18.如图，已知四边形ABCD 为等腰梯形，BDEF 为正方形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，//,1AD BC AD AB ==，60ABC ∠=︒.(1)求证:平面CDE ⊥平面BDEF ；(2)点M 为线段EF 上一动点，求BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）1,52⎤⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）利用等腰梯形的性质证得BD CD ⊥，由面面垂直的性质定理证得CD ⊥平面BDEF ，由此证得平面CDE ⊥平面BDEF .（2）建立空间直角坐标系，设出EM 的长，利用直线BD 的方向向量和平面BCM 的法向量，求得BD 与平面BCM 所成角正弦值的表达式，进而求得BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围.【详解】在等腰梯形ABCD 中，// ,1AD BC AD AB ==， 60ABC ∠=︒，120,30BAD CDA ADB ∴∠=∠=︒∠=︒，90CDB ∠=︒. 即.BD CD⊥BD =，2BC =. 又平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ⋂平面,ABCD BD CD =⊂平面ABCD ，∴CD ⊥平面BDEFCD ⊂平面CDE ，∴平面CDE ⊥平面BDEF（2）解:由(1)知，分别以直线,,DB DC DE 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设0(EM m m =≤≤，则()(),0,1,0,000),,B C D，((),3,1,0M m BC =-，()3,0,3,3,0,()0BM m DB =-=设平面BMC 的法向量为(),,n x y x = 00n BC n BM ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩，即(100y m x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 令3x =，则3,y z m ==，平面BMC 的一个法向量为3,3,()n m =.设BD 与平面BCM 所成角为θ，,sin cos n BD θ∴=<>(,nBDn BD m ==∴当0m =m 时取最大值12故BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围为12⎤⎥⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查向量法计算线面角正弦值的取值范围，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =相交于,A B 两点. (1)若2AP PB =，且点A 在第一象限，求直线AB 的方程；(2)若,A B 在直线2y =-上的射影分别为11,A B ，线段11A B 的中点为Q ， 求证1//BQ PA .【答案】（1）240x y -+=.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设出直线AB 的方程，联立直线AB 的方程和抛物线方程，化简后写出韦达定理，利用2AP PB =，结合平面向量相等的坐标运算、韦达定理，求得直线AB 的斜率，进而求得直线AB 的方程.（2）由（1）求得11,,A B Q 的坐标，通过计算10BQ PA k k -=，证得1//BQ PA .【详解】(1)设AB 方程为()20y kx k =+>，()()11221,,,,0A x y B x y x > ，联立方程24 2.x y y kx ⎧=⎨=+⎩，，消去y 得:2480x kx --=，216320k =+>，121248x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩① 又()1122(),2,,2AP x y PB x y =--=-由2AP PB =得:122x x =-代人①解得12k = ∴直线AB 的方程为:122y x =+，即240x y -+=. (2)由(1)得，()111122,2,,2(()2),,2x A x B x Q x +---114PA k x =-， ()22221221228422BQ x x k x x x x x ++==+-- ()()()122121212211121888422BQ PA x x x x x x k k x x x x x x ++-+-=+=-- ()()()221212************x x x x x x x x x x x x ++===-- 1BQ PA k k ∴=1//PA BQ ∴【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.20.设函数()()3211232x f x e x kx kx =--+. (1)若1k =，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 存在三个极值点123,,x x x ，且123x x x <<，求k 的取值范围，并证明:1 3 22x x x >+.【答案】（1）单调减区间为(,1)-∞，单调增区间为(1,)+∞.（2）k e >，证明见解析【解析】【分析】（1）当1k =时，利用导数求得()f x 的单调区间.（2）先求得()f x 的导函数()()()'1x e x f x kx --=，则()x g x e kx =-有两个不同的零点，且都不是1.对k 分成0,0k k ≤>两种情况分类讨论，利用导数研究()g x 的单调性和零点，由此求得k 的取值范围. 由上述分析可得12301x x x <<=<，利用导数证得312313131ln ln 221x x x x x x x x x -=>=-++，从而证得1 3 22x x x >+.【详解】(1)()32()11 232x f x e x x x =--+()()() 1x f x e x x '∴=--.令()(),'1x xh x e x h x e =-=-， ()'0h x >得0x >，()'0h x <得0x <，()h x 在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增.()()010h x h ∴≥=>即0x e x ->，∴解()'0f x >得1x >，解()'0f x <得1x <，()f x ∴的单调减区间为(,1)-∞，单调增区间为(1,)+∞.(2)()()()()2'21x x x f x e x e kx kx e kx x =-+-+=--，()f x 有三个极值点，∴方程0-=x e kx 有两个不等根，且都不是1，令()xg x e kx =-， 0k ≤时，()g x 单调递增，()0g x =至多有一根，0k ∴>解()'0g x >得x lnk >，解()'0g x <得x lnk <.()g x ∴在(n ),l k -∞上递减，在(ln ,)k +∞上递增，()()ln 10,k g lnk e klnk k lnk k e =-=-<>∴此时，()010g =>，()1,10lnk g e k >=-<，x →+∞时()g x →+∞.k e ∴>时，()'0f x =有三个根123,,x x x ，且12301x x x <<=<，由11x e kx =得11x lnk lnx =+，由33x e kx =得33x lnk lnx =+，3131ln ln 1x x x x -∴=- 下面证明:313131ln ln 2x x x x x x ->-+，可变形为331311121x x x ln x x x ->+令311x t x =>，()()21ln 1t x t t ϕ-=-+ ()()()()222114011t x t t t t ϕ-'=-=>++，()x ϕ∴在(1)+∞，上递增， ()()10t ϕϕ∴>= ∴313131ln ln 21x x x x x x -=>-+，3122.x x x ∴+> 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求解函数极值有关问题，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.21.“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.每次考试过后，考生最关心的问题是:自己的考试名次是多少?自已能否被录取?能获得什么样的职位? 某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布. )考试后考试成绩的部分统计结果如下:考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名.(1)最低录取分数是多少?(结果保留为整数)(2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位?若不能被录取，请说明理由.参考资料:(1)当2~(,)X N μσ时，令X Y μσ-=，则()~0,1Y N .(2)当()~0,1Y N 时， 2.17()0.985P Y ≤≈， 1.280.900, 1.()09()0.863P Y P Y ≤≈≤≈，1.04()0.85P Y ≤≈.【答案】（1）266分或267分.（2）能获得高薪职位.见解析【解析】【分析】（1）利用考试的平均成绩、高分考生的人数，以及题目所给正态分布的参考资料，求得考生成绩X 的分布()~180,832X N ，利用录取率3002000列方程，由此求得最低录取分数线. （2）计算出不低于考生甲的成绩的人数约为200，由此判断出甲能获得高薪职位.【详解】(1)设考生成绩为X ，则依题意X 应服从正态分布，即()2~180,X N σ.令180X Y σ-=，则()~0,1Y N .由360分及其以上的高分考生30名可得()303602000P X ≥=即()3036010.9852000P X <=-≈，亦即3601800.985P Y σ-⎛⎫<≈ ⎪⎝⎭. 则3601802.17σ-=，解得()83180,832N σ≈∴，， 设最低录取分数线为o x ，则0180300832(0)00o x P X x P Y -⎛⎫≥=≥= ⎪⎝⎭ 则018030010.85832000x P Y -⎛⎫<=-≈ ⎪⎝⎭，0180 1.0483x -∴= 266.32o x ∴≈.即最低录取分数线为266分或267分.(2)考生甲的成绩286267>，所以能被录取.()()286180()286 1.280.9083P X P Y P Y -<=<=<≈， 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的10.900.10,20000.1200-=⨯≈，即考生甲大约排在第200名，排在275名之前，所以他能获得高薪职位.【点睛】本小题主要考查正态分布在实际生活中的应用，考查化归与转化的数学思想方法，考查阅读理解能力，属于中档题.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡.上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22.在极坐标系中，已知圆的圆心6,3C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径3r =，Q 点在圆C 上运动.以极点为直角坐标系原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系.（1）求圆C 参数方程； （2）若P 点在线段OQ 上，且:2:3OP PQ =，求动点P 轨迹的极坐标方程.【答案】（1）33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）；（2）225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）已知得，圆心6,3C π⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为(C ，3r =，则可求得圆的标准方程；（2）结合（1）得，圆C 的极坐标方程为212sin 276πρρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再设(),P ρθ，()1,Q ρθ，则1:2:5ρρ=，将152ρρ=代入C 的极坐标方程即可得解. 【详解】（1）由已知得，圆心6,3C π⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为(C ，3r =， 所以C 的直角坐标方程为()(2239x y -+-=，所以圆C 的参数方程为33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）． （2）由（1）得，圆C 的极坐标方程为()26cos 270ρρθθ-+=，即212sin 276πρρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 设(),P ρθ，()1,Q ρθ，根据:2:3OP PQ =，可得1:2:5ρρ=，将152ρρ=代入C 的极坐标方程，得225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭， 即动点p 轨迹的极坐标方程为225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了直角坐标方程、极坐标方程及参数方程的互化，重点考查了运算能力，属基础题.23.设函数()211f x x x =-++.(1)画出()y f x =的图象；(2)若不等式()1f x a x >-+对x ∈R 成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）见解析（2）(,3)-∞【解析】【分析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此画出()f x 的图形.（2）将不等式() 1f x a x >-+转化为21 22a x x -++>.利用绝对值不等式求得21 22x x -++的最小值，由此求得a 的取值范围.【详解】(1)根据绝对值的定义，可得()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩所以() y f x =的图象如图所示:(2)() 1f x a x >-+，即21 22a x x -++>|21 2 2 2122|3x x x x -++≥---=，3a ∴<，即实数a 的取值范围是(,3)-∞.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像，考查含有绝对值的不等式恒成立问题的求解，属于基础题.。

河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期第一次统一考试数学（理)试题第I 卷（选择题)一、单选题1．已知集合(){}20|M x x x =-<，{}2,1,0,1,2N =--，则M N =I （ ） A ．{}0,1B ．{}2,1--C ．{}1D ．{}0,1,22．已知复数z 在复平面中对应的点(),x y 满足()2211x y -+=，则1z -=（ ） A ．0B ．1CD ．23．为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展.下面的图表反映了该产业发展的相关信息:1-12月 127 59.9 125.6 61.7 2019年1月 9.1 113 9.6 138 2月5.950.95.353.6根据上述图表信息，下列结论错误的是（ ） A ．2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆B ．2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆C ．2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D ．2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆4．已知正项等比数列{}n a 中，354a a =，且467,1,a a a +成等差数列，则该数列公比q 为（ ） A ．14B ．12C ．2D ．45．我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就.哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”(注:如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数)，如40337=+.在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是（ ） A ．126B ．122C ．117D ．1156．圆222410x y x y +-++=关于直线()300,0ax by a b --=>>对称，则12a b+的最小值是（ ） A ．1 B ．3C ．5D ．97．函数()()23xx e e cos x f x x-⋅-=（e 为自然对数的底数）的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．8．正三棱锥的三视图如下图所示，则该正三棱锥的表面积为（ ）A ．33033+B ．3309+C ．123D ．991022+9．已知点12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左，右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足1221 2,4F F OP tan PF F =∠=，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．5B ．5C ．173D ．17910．设()f x 是定义在R 上的函数，满足条件()()11f x f x +=-+，且当1x ≤时，()3xf x e -=-，则()27a f log =，()2 1.533,3b f c f --⎛⎫⎪⎝⎭==的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>11．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 为棱1CC 的中点.下列结论:①线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ；②线段BD 上存在点F ，使CF ⊥得平面1AD E ；③平面1AD E 把正方体分成两部分，较小部分的体积为724，其中所有正确的序号是（ ） A ．① B ．③ C ．①③ D ．①②③12．已知正项数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a >，且2632n n n S a a =++.若对于任意实数[]2,2a ∈-.不等式2*1()211n a t at n N n +<+-∈+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．][(),22,⋃∞-+∞- B ．,21,(][)∞⋃+∞--C ．,12[),(]-∞⋃+∞-D ．[]22-,第II 卷（非选择题)二、填空题13．平面向量a v 与b v 的夹角为60o，且()3,0a =v ，1b =v ，则2a b +=v v __________．14．若实数,x y 满足约束条件,4, 3,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最小值是__________．15．已知椭圆()2222:10,x y C a b A a b +=>>为右顶点.过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，直线QM 交x 轴于()2,0N ，椭圆C 的离心率为23，则椭圆C 的标准方程为__________． 16．已知函数()()12,f lnx ax a x g x x=+=-，且()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则实数a 的取值范围为__________．三、解答题17．在ABC V 中，角,,A B C 对应边分别为,,a b c . (1)若ABC V 的面积S 满足22243,7,4S c a b c a +=+==且b c >，求b 的值；(2)若3,3a A π==且ABC V 为锐角三角形.求ABC V 周长的范围.18．如图，已知四边形ABCD 为等腰梯形，BDEF 为正方形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，//,1AD BC AD AB ==，60ABC ∠=︒.(1)求证:平面CDE ⊥平面BDEF ；(2)点M 为线段EF 上一动点，求BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围.19．过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =相交于,A B 两点. (1)若2AP PB =u u u v u u u v，且点A 在第一象限，求直线AB 的方程；(2)若,A B 在直线2y =-上的射影分别为11,A B ，线段11A B 的中点为Q ， 求证1//BQ PA .20．设函数()()3211232xf x ex kx kx =--+. (1)若1k =，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 存在三个极值点123,,x x x ，且123x x x <<，求k 的取值范围，并证明:1 3 22x x x >+.21．“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.每次考试过后，考生最关心的问题是:自己的考试名次是多少?自已能否被录取?能获得什么样的职位? 某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布. )考试后考试成绩的部分统计结果如下: 考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名. (1)最低录取分数是多少?(结果保留为整数)(2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位?若不能被录取，请说明理由.参考资料:(1)当2~(,)X N μσ时，令X Y μσ-=，则()~0,1Y N .(2)当()~0,1Y N 时， 2.17()0.985P Y ≤≈，1.280.900, 1.()09()0.863P Y P Y ≤≈≤≈， 1.04()0.85P Y ≤≈.22．在极坐标系中，已知圆的圆心6,3C π⎛⎫⎪⎝⎭，半径3r =，Q 点在圆C 上运动.以极点为直角坐标系原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系. （1）求圆C 的参数方程；（2）若P 点在线段OQ 上，且:2:3OP PQ =，求动点P 轨迹的极坐标方程.23．设函数()211f x x x =-++.(1)画出()y f x =的图象；(2)若不等式()1f x a x >-+对x ∈R 成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合M ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由()20x x -<，解得{}|02M x x =<<，所以M N =I {}1. 故选：C 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2．B 【解析】 【分析】根据复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，判断出正确选项. 【详解】由于复数z 在复平面中对应的点(),x y 满足()2211x y -+=，即复数z 对应点在圆心为()1,0，半径为1的圆上，1z -表示复数对应的点到()1,0的距离，也即圆上的点到圆心的距离，所以11z -=. 故选：B 【点睛】本小题主要考查复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，考查圆的方程，属于基础题. 3．D 【解析】 【分析】根据图表对选项逐一分析，由此确定结论错误的选项. 【详解】对于A 选项，2017年3月份我国新能源汽车的产量 6.8 6.83.32 3.41 1.05 2.05=≈<+，故A 选项结论正确.对于B 选项，2017年我国新能源汽车总销量125.6125.677.677010.617 1.617=≈>+，故B 选项结论正确.对于C 选项，2018年8月份我国新能源汽车的销量10.1万量，高于产量9.9万量，故C 选项结论正确.对于D 选项，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量9.60.25 2.42⨯=>，故D 选项结论错误. 故选：D 【点睛】本小题主要考查图表数据分析，考查阅读与理解能力，属于基础题. 4．C 【解析】 【分析】结合等差中项的性质，将已知条件转化为1,a q 的形式，由此求得q 的值. 【详解】由于467,1,a a a +成等差数列，所以()64721a a a +=+，所以()64735214a a a a a ⎧+=+⎨=⎩，即()5361112411214a q a q a q a q a q ⎧+=+⎪⎨⋅=⎪⎩，解得11,24a q ==. 故选：C 【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查等差中项的性质，属于基础题. 5．B 【解析】 【分析】先求得40以内的素数的个数，然后根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】40以内的素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37共12个，任选两个的方法数有21212116621C ⨯==⨯种，和为40的有33740,112940,172340+=+=+=共3种，所以不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是316622=. 故选：B 【点睛】选本小题主要考查古典概型的计算，考查组合数的计算，考查素数的知识，属于基础题. 6．B 【解析】 【分析】求得圆心，代入直线30ax by --=，利用基本不等式求得12a b+的最小值. 【详解】圆222410x y x y +-++=的圆心为()1,2-，由于圆关于直线30ax by --=对称，圆心坐标满足直线方程，所以23a b +=，所以12a b +()1122123253b a a b b b a a +⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11554333⎛≥+=+= ⎝，当且仅当22,1b aa b a b ===时等号成立. 故选：B 【点睛】本小题主要考查圆的几何性质，考查基本不等式求最小值. 7．C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和特殊值，排除错误选项，由此得出正确选项. 【详解】由于()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，图像关于原点对称，由此排除B,D 两个选项.当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x >，由此排除A 选项. 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性，属于基础题. 8．A 【解析】 【分析】通过三视图还原出立体图，通过条件可求得底面正三角形边长为，. 【详解】如图所示，底面正三角的高AD=3，所以223AH AD ==，AB=AC=BC=ABC S =V ,又SH 为侧视图中的高，所以SH=3，则AS =则在等腰SAB V 中12SAB S =⨯=V所以侧面积为A . 【点睛】本题考查已知三视图求几何体的表面积，准确的还原出立体图是解题的关键，属中档题. 9．C 【解析】 【分析】根据12 2F F OP =判断出三角形12F F P 是直角三角形，利用214tan PF F ∠=、双曲线的定义和勾股定理列方程组，化简后求得离心率.由于12 22F F OP c ==，所以三角形12F F P 是直角三角形.所以12121222221212424PF tan PF F PF PF PF a PF PF F F c ⎧∠==⎪⎪⎪-=⎨⎪+==⎪⎪⎩，化简得22179c a =，即c e a ==故选：C 【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查双曲线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 10．B 【解析】 【分析】利用已知条件将()27a f log =转换为247a f log ⎛=⎫⎪⎝⎭，根据1x ≤时()f x 的单调性，比较出,,a b c 的大小关系. 【详解】依题意()()11f x f x +=-+，所以()22277log 1log 1227a f log f f ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭24log 7f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.因为21.5324log 03317--<<<<，且当(],1x ∈-∞时，()3x f x e -=-为减函数，所以a c b >>. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 11．C【分析】利用线面平行的判定定理，作出F 点的位置，判断①正确.利用面面垂直的判定定理，判断②错误.计算较小部分的体积，判断③正确. 【详解】设1A D 交1AD 于P ，过P 作PQ AD ⊥，交AD 于Q ，连接CQ 交BD 于F ，由于//,PQ CE PQ CE =，所以四边形PQCE 为平行四边形，所以//CQ EP ，所以//CQ 平面1AED .故线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ，即①正确.若CF ⊥平面1AD E ，CF ⊂平面ABCD ，则平面1AD E ⊥平面ABCD ，这不成立，所以②错误.延展平面1AD E 为1AMED 如图所示，其中M 是BC 的中点.根据正方体的几何性质可知，1,,D E AM DC 相交于一点， 1CEM DD A ∆∆:,所以多面体1CEM DD A -是棱台.且体积为(113CEM DD A S S CD ∆∆⋅+⋅1117138224⎛=⋅++⋅= ⎝.故③正确. 综上所述，正确的序号为①③. 故选：C【点睛】本小题主要考查空间线面平行、线面垂直有关定理，考查台体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 12．A 【解析】 【分析】 求得11n a n ++的范围，转化主参变量列不等式组，解不等式组求得t 的取值范围. 【详解】由2632n n n S a a =++①.当1n =时，2111632a a a =++，解得12a =.当2n ≥时，2111632n n n S a a ---=++②，①-②得2211633n n n n n a a a a a --=-+-，()()1130n n n n a a a a --+--=，所以13n n a a --=，所以数列{}n a 是首项为12a =，公差为3d =的等差数列，所以31n a n =-，所以()1311133111n n a n n n ++-==-<+++，所以2213t at +-≥恒成立，即2240t at +-≥，转换为2240ta t +-≥，在[]2,2a ∈-恒成立，所以2222402240t t t t ⎧-+-≥⎨+-≥⎩，解得][,2()2,t ∈⋃∞-+∞-. 故选：A【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.13【解析】 【分析】利用2a b +=r r 2a b +r r.【详解】依题意2a b +=r r===【点睛】本小题主要考查平面向量模的运算，考查平面向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 14．9- 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界位置，由此求得z 的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，平移基准直线20x y +=到可行域边界点()3,3A --位置，此时z 取得最小值为()2339⨯--=-. 故答案为：9-【点睛】本小题主要考查线性规划求最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15．2213620x y +=【解析】 【分析】设出,P Q 两点的坐标，求得M 点坐标，由,,Q M N 三点共线列方程，结合椭圆的离心率求得,a b 的值，进而求得椭圆的标准方程. 【详解】设()()0000,,,P x y Q x y --，(),0A a ，所以00,22a x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，由于,,Q M N 三点共线，所以0002222y y a x x =++-，解得6a =.由于椭圆离心率23c a =，所以4c =，所以22220,b a c b =-==所以椭圆方程为2213620x y +=.故答案为：2213620x y += 【点睛】本小题主要考查根据椭圆的离心率求椭圆标准方程，考查运算求解能力，属于基础题. 16．{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭【解析】 【分析】先求得()()f x g x 的定义域，然后对()f x 和()g x 的符合进行分类讨论，由此求得实数a 的取值范围. 【详解】依题意()()()1ln 2f x g x x ax a x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，定义域为()0,∞+. 由于()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则①，1ln 20,0x ax a x +≤-≥恒成立，即ln 12,x a a x x≤-≤在()0,∞+恒成立.令()ln x h x x =-，()'ln 1x h x x-=，故()h x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增，故()()1h x h e e ≥=-.所以，由ln 12,x a a x x ≤-≤可得12,0a a e ≤-≤，即12a e ≤-.②，1ln 20,0x ax a x +≥-≤恒成立，即ln 12,x a a x x≥-≥在()0,∞+恒成立，不存在这样的a .③，当0a >时，由于()f x 在()0,∞+上递增，()g x 在()0,∞+上递减，要使()()0f xg x ≤在定义域内恒成立，则需()f x 和()g x 有相同的零点.由ln 2010x ax a x+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得22,a e x e -==.综上所述，实数a 的取值范围是{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭. 故答案为：{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的求解策略，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.17．（1）b =（2）3( 【解析】 【分析】（1）结合三角形面积公式和余弦定理，求得tan C 的值，由此求得C 的大小，利用余弦定理列方程求得b 的值.（2）利用正弦定理表示出,b c ，用三角形内角和定理和三角恒等变换求得b c +的取值范围，由此求得a b c ++即三角形ABC 周长的取值范围. 【详解】(1)由条件和三角形的面积公式得2222c c a b +=+=+，即222a b c =+-. 将余弦定理2222a b c abcosC +-=.cosC =，即tanC =，因为(0,)C π∈，所以6C π=将4,6c a C π===，代入2222c a b abcosC =+-，得290b -+=结合条件b c >得b =(2)由正弦定理得2sin sin sin a b cA B C=== 所以()2b c sinB sinC +=+()22233sinB sin B sinB sin B πππ⎡⎡⎤⎛⎫=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎤=⎢⎥⎣⎦⎦+322(6)2sinB cosB B π⎛⎫ ⎪ ⎪⎭==+⎝+ 因为A B C π++=，且3A π=及锐角三角形得0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且20,32B ππ⎛⎫⎛⎫-∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以62B ππ<<，所以2363B πππ<+<，即sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以(3,b c +∈所以周长a b c ++范围是3(+. 【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于中档题.18．（1）证明见解析（2）152⎤⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）利用等腰梯形的性质证得BD CD ⊥，由面面垂直的性质定理证得CD ⊥平面BDEF ，由此证得平面CDE ⊥平面BDEF .（2）建立空间直角坐标系，设出EM 的长，利用直线BD 的方向向量和平面BCM 的法向量，求得BD 与平面BCM 所成角正弦值的表达式，进而求得BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围. 【详解】在等腰梯形ABCD 中，// ,1AD BC AD AB ==， 60ABC ∠=︒，120,30BAD CDA ADB ∴∠=∠=︒∠=︒，90CDB ∠=︒. 即.BD CD ⊥BD =2BC =.又Q 平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ⋂平面,ABCD BD CD =⊂平面ABCD ，∴CD ⊥平面BDEF Q CD ⊂平面CDE ，∴平面CDE ⊥平面BDEF（2）解:由(1)知，分别以直线,,DB DC DE 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设0(EM m m =≤≤，则()(),0,1,0,000),,B C D，((),3,1,0M m BC =-u u u r，(,)0BM m DB ==u u u u r u u u r设平面BMC 的法向量为(),,n x y x =r00n BC n BM ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v，即(100y m x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩令x =3,y z m ==，平面BMC的一个法向量为)n m =r.设BD 与平面BCM 所成角为θ，,sin cos n BD θ∴=<>r u u u r,n BD n BD==r u u u r r u u u r g∴当0m =m 时取最大值12故BD 与平面BCM所成角正弦值的取值范围为1,52⎤⎥⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查向量法计算线面角正弦值的取值范围，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 19．（1）240x y -+=.（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设出直线AB 的方程，联立直线AB 的方程和抛物线方程，化简后写出韦达定理，利用2AP PB =u u u r u u u r，结合平面向量相等的坐标运算、韦达定理，求得直线AB 的斜率，进而求得直线AB 的方程.（2）由（1）求得11,,A B Q 的坐标，通过计算10BQ PA k k -=，证得1//BQ PA . 【详解】(1)设AB 方程为()20y kx k =+>，()()11221,,,,0A x y B x y x > ，联立方程24 2.x y y kx ⎧=⎨=+⎩，，消去y 得:2480x kx --=，216320k =+>V ，121248x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩①又()1122(),2,,2AP x y PB x y =--=-u u u r u u u r由2AP PB =u u u r u u u r得:122x x =- 代人①解得12k =∴直线AB 的方程为:122y x =+，即240x y -+=. (2)由(1)得，()111122,2,,2(()2),,2x A x B x Q x +--- 114PA k x =-， ()22221221228422BQx x k x x x x x ++==+--()()()122121212211121888422BQ PA x x x x x x k k x x x x x x ++-+-=+=-- ()()()221212212112188022x x x x x x x x x x x x ++===-- 1BQ PA k k ∴=1//PA BQ ∴【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.20．（1）单调减区间为(,1)-∞，单调增区间为(1,)+∞.（2）k e >，证明见解析 【解析】 【分析】（1）当1k =时，利用导数求得()f x 的单调区间. （2）先求得()f x 的导函数()()()'1x e x fx kx --=，则()x g x e kx =-有两个不同的零点，且都不是1.对k 分成0,0k k ≤>两种情况分类讨论，利用导数研究()g x 的单调性和零点，由此求得k 的取值范围. 由上述分析可得12301x x x <<=<，利用导数证得312313131ln ln 221x x x x x x x x x -=>=-++，从而证得1 3 22x x x >+.【详解】(1)()32()11232xf x e x x x =--+ ()()() 1x f x e x x '∴=--.令()(),'1xxh x e x h x e =-=-，()'0h x >得0x >，()'0h x <得0x <， ()h x 在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增.()()010h x h ∴≥=>即0x e x ->，∴解()'0f x >得1x >，解()'0f x <得1x <，()f x ∴的单调减区间为(,1)-∞，单调增区间为(1,)+∞.(2)()()()()2'21xx x f x ex e kx kx e kx x =-+-+=--，()f x Q 有三个极值点，∴方程0-=x e kx 有两个不等根，且都不是1，令()xg x e kx =-，0k ≤时，()g x 单调递增，()0g x =至多有一根，0k ∴>解()'0g x >得x lnk >，解()'0g x <得x lnk <. ()g x ∴在(n ),l k -∞上递减，在(ln ,)k +∞上递增，()()ln 10,k g lnk e klnk k lnk k e =-=-<>∴此时，()010g =>，()1,10lnk g e k >=-<，x →+∞时()g x →+∞.k e ∴>时，()'0f x =有三个根123,,x x x ，且12301x x x <<=<，由11xe kx =得11x lnk lnx =+，由33x e kx =得33x lnk lnx =+，3131ln ln 1x x x x -∴=-下面证明:313131ln ln 2x x x x x x ->-+，可变形为331311121x x x ln x x x ->+令311x t x =>，()()21ln 1t x t t ϕ-=-+ ()()()()222114011t x t t t t ϕ-'=-=>++，()x ϕ∴在(1)+∞，上递增， ()()10t ϕϕ∴>=∴313131ln ln 21x x x x x x -=>-+，3122.x x x ∴+>本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求解函数极值有关问题，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题. 21．（1）266分或267分.（2）能获得高薪职位.见解析 【解析】 【分析】（1）利用考试的平均成绩、高分考生的人数，以及题目所给正态分布的参考资料，求得考生成绩X 的分布()~180,832X N ，利用录取率3002000列方程，由此求得最低录取分数线. （2）计算出不低于考生甲的成绩的人数约为200，由此判断出甲能获得高薪职位. 【详解】(1)设考生成绩为X ，则依题意X 应服从正态分布，即()2~180,X N σ.令180X Y σ-=，则()~0,1Y N .由360分及其以上的高分考生30名可得()303602000P X ≥= 即()3036010.9852000P X <=-≈，亦即3601800.985P Y σ-⎛⎫<≈ ⎪⎝⎭.则3601802.17σ-=，解得()83180,832N σ≈∴，， 设最低录取分数线为o x ，则0180300832(0)00o x P X x P Y -⎛⎫≥=≥=⎪⎝⎭ 则018030010.85832000x P Y -⎛⎫<=-≈ ⎪⎝⎭，01801.0483x -∴= 266.32o x ∴≈.即最低录取分数线为266分或267分. (2)考生甲的成绩286267>，所以能被录取.()()286180()286 1.280.9083P X P Y P Y -<=<=<≈， 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的10.900.10,20000.1200-=⨯≈， 即考生甲大约排在第200名，排在275名之前，所以他能获得高薪职位.本小题主要考查正态分布在实际生活中的应用，考查化归与转化的数学思想方法，考查阅读理解能力，属于中档题.22．（1）33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）；（2）225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）已知得，圆心6,3C π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为(C ，3r =，则可求得圆的标准方程；（2）结合（1）得，圆C 的极坐标方程为212sin 276πρρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再设(),P ρθ，()1,Q ρθ，则1:2:5ρρ=，将152ρρ=代入C 的极坐标方程即可得解. 【详解】（1）由已知得，圆心6,3C π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为(C ，3r =， 所以C 的直角坐标方程为()(2239x y -+-=，所以圆C的参数方程为33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（2）由（1）得，圆C的极坐标方程为()26cos 270ρρθθ-+=， 即212sin 276πρρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 设(),P ρθ，()1,Q ρθ，根据:2:3OP PQ =，可得1:2:5ρρ=， 将152ρρ=代入C 的极坐标方程，得225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，即动点p 轨迹的极坐标方程为225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了直角坐标方程、极坐标方程及参数方程的互化，重点考查了运算能力，属基础题. 23．（1）见解析（2）(,3)-∞ 【解析】 【分析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此画出()f x 的图形. （2）将不等式() 1f x a x >-+转化为21 22a x x -++>.利用绝对值不等式求得21 22x x -++的最小值，由此求得a 的取值范围.【详解】(1)根据绝对值的定义，可得()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩所以() y f x =的图象如图所示:(2)() 1f x a x >-+， 即21 22a x x -++>|21 2 2 2122|3x x x x -++≥---=Q ，3a ∴<，即实数a 的取值范围是(,3)-∞.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像，考查含有绝对值的不等式恒成立问题的求解，属于基础题.。

理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|20}P x x x =-<，{|11}Q x x =-<<，则P Q ⋂=（ ） A ．(1,2)- B ．(1,0)- C ．(1,2) D ．(0,1)2. 已知复数43biz i=+，其中b R ∈，i 为虚数单位，且||5z =，则b =（ ） A ．25±B ．1±C ．3±D ．5±3. 等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若32S =，68S =，则9S =（ ） A ．32B ．18C ．14D ．104. 哈六中数学兴趣小组的同学们为了计算六中数学组二维码中黑色部分的面积，在如图一个边长为4的正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为（ ） A ．11B ．10C ．9D ．85. 若双曲线2221(0)9y x a a -=>的一条渐近线与直线13y x =垂直，则此双曲线的实轴长为（ ）A ．1B ．2C ．9D ．186. ）A ．．27. 已知函数2()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8. 已知函数3()2f x ax bx =-+的极大值和极小值分别为M ，m ，则M m +=（ ） A ．0B ．1C ．2D ．49. 当输入a 的值为16，b 的值为12时，执行如图所示的程序框图，则输出的a 的结果是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．610. 已知点(0,2)A ，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则||:||FM MN =（ ）A ．．1:2 C. 1:．1:311. 圆锥SD （其中S 为顶点，D 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1，则圆锥SD 与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ）A ．9:32B ．8:27 C.9:22 D ．9:28 12. 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，（0A >，0ω>，||2πϕ<），4x π=-是函数的一个零点，且4x π=是其图象的一条对称轴．若(,)96ππ是()f x 的一个单调区间，则ω的最大值为（ ） A ．18B ．17C ．15D ．13第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13.若非零向量a ，b 满足(2)a a b ⊥+，则||||a b b += ． 14.二项式262()x x-展开式中的常数项为________．（用数字作答）15. 已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a ⋅=，记数列2{}na 的前n 项和为n T ，则使不等式12019|1|13n T ->成立的正整数n 的最大值为 ．16.已知a 、b 、c 是实数，方程320x ax bx c +++=的三个实数根可以作为椭圆、双曲线、抛物线的离心率，则22a b +的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆sin cos sin A B a C =． （1）求B ∠的大小；（2）若ABC ∆的面积为2a ，求cos A 的值．18. 如图，在三棱锥S ABC -中，AC BC ⊥，SA BC ⊥，SC AC ⊥，6SC =，M ，N 分别为线段AB ，BC上的点，且CM MN ==36BC BN ==．（1）证明：MN SM ⊥；（2）若3AC =，求二面角A SM N --的余弦值．19. 2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度．新高考不再分文理科，采用33+模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分．为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，采用分层抽样的方法从中抽取n 名学生进行调查．（1）已知抽取的n 名学生中含女生45人，求n 的值及抽取到的男生人数；（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的n 名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的22⨯列联表．请将列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（3）在抽取到的45名女生中按（2）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中抽取4人，设这4人中选择“地理”的人数为X ，求X 的分布列及期望． 男生 10 2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20. 已知椭圆C ：221(0,0)x y a b a b+=>>的左1F 、2F 右焦点分别为，点P 在椭圆上，且满足121PF PF ⋅=．（1）求椭圆C 的方程；（2）设倾斜角为45的直线l 与C 交于A ，B 两点，记OAB ∆的面积为S ，求S 取最大值时直线l 的方程． 21. 已知函数()(1)x f x ax e =+，a R ∈．（1）当0a >时，证明：()0af x e+>； （2）当12a =-时，如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明：122x x +<． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x ty t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线m 与直线l 平行，且过坐标原点，圆C 的参数方程为1cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线m 和圆C 的极坐标方程；（2）设直线m 和圆C 相交于点A 、B 两点，求ABC ∆的周长． 23.选修4-5：不等式选讲()|21||3|f x x tx =--+，t R ∈.（1）当2t =时，求出()f x 的最大值；（2）若()f x 的最大值为2，试求出此时的正实数t 的值．试卷答案一、选择题1. 【答案】D【解析】对于集合P ，由(2)0x x -<，解得02x <<，故(0,1)P Q ⋂=，故选D ． 2. 【答案】A【解析】由43bi z i =+，得||||5|43|bi z i ==+，即||55b =，得25b =±．故选A ． 3. 【答案】B【解析】∵等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，32S =，68S =， 则根据等差数列的性质可得3S ，63S S -，96S S -仍成等差数列， 即2，82-，98S -成等差数列，则有92(82)2(8)S ⨯-=+-， 解得918S =．故选B ．4. 【答案】C【解析】设黑色部分的面积为S ，∵正方形二维码边长为4，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点， ∴22544400S =⨯，解得9S =，据此可估计黑色部分的面积为9，故选C ． 5. 【答案】D【解析】渐近线的方程为30ax y ±=，因0a >，故渐近线30ax y +=与直线13y x =垂直， 故1133a -⨯=-，解得9a =，所以双曲线的实轴长为218a =，故选D ． 6. 【答案】B【解析】由三棱锥的三视图知该三棱锥是三棱锥P ABC -，其中平面PAC ⊥底面ABC ，取AC 中点为E ，则PE ⊥底面ABC ，且3PE =，2AC =，由11132332ABC V PE S BE ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，即BE = ∴ABC ∆为等边三角形，2AB BC CA ===，PB ==PA PC ===∴最长棱的长度为B ．7. 【答案】A【解析】由于122()01112ln 1ln 2222f ==>---，排除B 选项． 由于2()2f e e =-，222()3f e e =-，2()()f e f e >，函数单调递减，排除C 选项． 由于1001002()0101f e e =>-，排除D 选项．故选A ． 8. 【答案】D【解析】2()30f x ax b '=-=，该方程两个根为1x ，2x ，故()f x 在1x ，2x 取到极值；124()M m b x x +=-⋅++2121212()(()3)a x x x x x x ++-，而120x x +=，123bx x a=-，∴4M m +=，故选D ． 9. 【答案】C【解析】模拟程序的运行，可得16a =，12b =， 满足条件a b ≠，满足条件a b >，16124a =-=， 满足条件a b ≠，不满足条件a b >，1248b =-=， 满足条件a b ≠，不满足条件a b >，844b =-=， 不满足条件a b ≠，输出a 的值为4．故选C ． 10. 【答案】C【解析】∵抛物线C ：24y x =的焦点为(1,0)F ，点A 坐标为(0,2)， ∴抛物线的准线方程为l ：1x =-，直线AF 的斜率为2k =-， 过M 作MP l ⊥于P ，根据抛物线物定义得||||FM PM =， ∵Rt MPN ∆中，tan 2NMP k =-=∠，∴||2||PN PM =，可得||2||PN PM =，得|||MN PM ==，因此可得||:||||:||FM MN PM MN ==C ．11. 【答案】A【解析】设圆锥底面圆的半径为r ，圆锥母线长为l ， 则侧面积为rl π，侧面积与底面积的比为22rl lr rππ==，则母线2l r =，圆锥的高为h =，则圆锥的体积为2313r h r π=， 设外接球的球心为O ，半径为R ，截面图如图， 则OB OS R ==，OD h R R =-=-，BD r =， 在直角三角形BOD 中，由勾股定理得222OB OD BD =+，即222)R r R =+-，展开整理得R r =，∴外接球的体积为3334433R ππ==339332r=．故选A ．12. 【答案】D【解析】由题意，得1()()()42442k T k Z πππ+=--=∈，∴2()21T k Z k π=∈+， 又2T πω=，∴21()k k Z ω=+∈．∵(,)96ππ是()f x 的一个单调区间，∴1692T ππ-≤，即9T π≥， ∵221T k π=+，∴2118k +≤，即8.5k ≤． ①当8k =，即17ω=时，174k πϕπ-+=，k Z ∈，∴174k πϕπ=+，k Z ∈， ∵||2πϕ<，∴4πϕ=，此时()sin(17)4f x A x π=+在(,)96ππ上不单调，∴17ω=不符合题意；②当7k =，即15ω=时，154k πϕπ-+=，k Z ∈，∴ 154k πϕπ=+，k Z ∈， ∵||2πϕ<，∴4πϕ=-，此时()sin(15)4f x A x π=-在(,)96ππ上不单调，∴15ω=不符合题意；③当6k =，即13ω=时，134k πϕπ-+=，k Z ∈，∴134k πϕπ=+，k Z ∈．∵||2πϕ<，∴4πϕ=，此时()sin(13)4f x A x π=+在(,)96ππ上单调递增， ∴13ω=符合题意，故选D ．二、填空题13. 【答案】1【解析】结合(2)a a b ⊥+可知，(2)0a a b ⋅+=得到220a ab +=，∴2222||()01||()a b a b b b b b+++===． 14. 【答案】240【解析】在二项式262()x x -中，通项公式得1221231662()(2)r r r rr r r T C xC x x--+=-=-， 由1230r -=，得4r =，∴常数项为4462240C =．故答案为240． 15. 【答案】6【解析】数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，241581a a a a ⋅==，即15158281a a a a +=⎧⎨⋅=⎩，解得15181a a =⎧⎨=⎩，则公比3q =，∴13n n a -=，则3122221333n n T -=++++111323(1)1313n n -=⨯=--，∴12019|1|13n T ->， 即1201913n ⨯>，得32019n <，此时正整数n 的最大值为6．故答案为6． 16. 【答案】 (5,)+∞【解析】构造函数32()f x x ax bx c =+++，∵一个根为抛物线的离心率， 可知10a b c +++=，解得1c a b =---，∵三个实数根分别为椭圆、双曲线和抛物线的离心率，可知一个根1x 大于0，小于1，一个根2x 大于1，一个根3x 为1，绘制图像：计算导函数2()32f x x ax b '=++，设导函数为0时两个根为m ，n ， 依据图像可知01m <<，1n >，∴得到0mn >，(1)(1)0m n -⋅-<且(0)10f c a b ==---<，而23a m n +=-，3b mn =，建立不等式得到1010230a b b a b a ---<⎧⎪++>⎨⎪++<⎩，绘制可行域，可得：而22a b +可以看成点(,)a b 到(0,0)距离的平方和，∴(2,1)A -可以使得取得最小值， ∴最小值为2222215a b +=+=，故225a b +>写成集合的形式为(5,)+∞．三、解答题17. 【答案】（1）4π；（2． 【解析】（1）在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin c A a C =，∴cos B ==， 又0B π<<∠，∴4B π=∠．（2）∵ABC ∆的面积为21sin 24a ac π=，∴c =，由余弦定理得222822b a a a =+-⋅⋅⋅，∴b =．∴222cos 10A ==． 18. 【答案】（1）见证明；（2）6-． 【解析】（1）证明：由AC BC ⊥，SA BC ⊥，且SA AC A ⋂=， 则BC ⊥平面SAC ，SC ⊂平面SAC ，故BC SC ⊥，又SC AC ⊥，BC AC C ⋂=，则SC ⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，故SC MN ⊥． ∵4NC =，CM MN ==222CN CM NM =+，故CM MN ⊥． 又∵CM SC C ⋂=，∴MN ⊥平面SCM ． 又SM ⊂平面SCM ，则MN SM ⊥．（2）解：由（1）知，CB ，CA ，CS 两两相互垂直，如图是以C 为坐标原点， 分别以CB ，CA ，CS 为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -，则(0,0,0)C ，(0,3,0)A ，(0,0,6)S ，(2,2,0)M ，(4,0,0)N ，(2,2,6)SM =-，(2,1,0)AM =-，(2,2,0)NM =-.设平面SAM 的法向量为1111(,,)n x y z =，则11111226020x y z x y +-=⎧⎨-=⎩，令11x =，得1(1,2,1)n =． 设平面SMN 的法向量为2222(,,)n x y z =，则222222260220x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩，令23x =，则23y =，22z =，故2(3,3,2)n =．∴12121233cos ,||||n n n n n n ⋅==，由图可知二面角A SM N --为钝角，故二面角A SM N --的余弦值为． 19. 【答案】（1）100n =，男生人数为55人；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】（1）由题意得45100450n =，解得100n =，男生人数为：1055055100⨯=人． （2）22⨯列联表为：∴ 2()=()()()()n ad bc K a b c d a c b d -++++2100(45202510)8.1289 6.63555457030⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为选择科目与性别有关． （3）从45名女生中分层抽样抽9名女生，∴这9名女生中有5人选择物理，4人选择地理，9名女生中再选择4名女生， 则这4名女生中选择地理的人数X 可为0，1，2，3，4． 设事件X 发生概率为()P X ，则45495(0)126C P X C ===，31544940(1)126C C P X C ===，22544960(2)126C C P X C ===，13544920(3)126C C P X C ===，44491(4)126C P X C ===.∴X 的分布列为：期望406020116()2341261261261269E X =+⨯+⨯+⨯=. 20. 【答案】（1）22142x y +=；（2）y x =y x = 【解析】（1）设1(,0)F c -，2(,0)F c，根据题意得1(1)PF c =--，2(1)PF c =-， ∴212211PF PF c ⋅=-+=，解得22c =，∴222a b -=，①又∵点P 在椭圆C 上，∴22211a b +=，② 联立①②，解得24a =，22b =，∴椭圆C 的方程为22142x y +=．（2）∵直线l 的倾斜角为45，∴设直线l 的方程为y x m =+．联立22142x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，整理得2234240x mx m ++-=， ∵直线l 与C 交于A ，B 两点，∴2221612(24)4880m m m ∆=--=->，解得26m <．设11(,)A x y ，22(,)B x y，则146m x -+=，246m x --=，从而||AB =12|x x =-==， 又∵点O 到直线l的距离d =，∴12S =3=3≤=，当且仅当226m m =-，即23m =，即m =∴OAB ∆的面积Sl的方程为y x =+y x = 21. 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）当0a >时，()(1)(1)x x x f x a e ax e ax a e '=⋅++=++，由()0f x '>，得1a x a+>-， ∴()f x 在1(,)a a +-∞-上单调递减，在1(,)a a+-+∞上单调递增． ∴1a x a+=-时，()f x 取得极小值，即最小值1a a a e +--⋅． 当0a >时，1111a a a +=+>，11a a+-<-， ∵110a aee +-<<，∴1a a aa e e+--⋅>-，即()0a f x e +>．（2）证明：当12a =-时，1()(1)2x f x x e =-+，则1()(1)2xf x x e '=-， ∴(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，(,1)x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， 令()()(2)F x f x f x =--，则211()(1)22x x F x x e xe -=-+-， ∴21()(1)()2x x F x x e e -'=--， 当(1,)x ∈+∞时，10x -<，2x x >-，20x x e e -->，∴()0F x '<，()F x 单调递减，∴()(1)(1)(1)0F x F f f <=-=，即()(2)0f x f x --<， ∴当(1,)x ∈+∞时，()(2)f x f x <-．又()f x 在(,1)-∞内是增函数，在(1,)+∞内是减函数．12x x ≠，且12()()f x f x =， ∴1x ，2x 不再同一单调区间内，不妨设121x x <<，由上可知：22()(2)f x f x <-， ∵12()()f x f x =，∴12()(2)f x f x <-．∵11x <，221x -<，又()f x 在(,1)-∞内是增函数， ∴122x x <-，即122x x +<．22. 【答案】（1）直线m 的极坐标方程为4πθ=；圆C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；（2）2+【解析】（1）∵直线l 的参数方程为1x ty t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），∴直线l 的斜率为1，∵直线m 与直线l 平行，且过坐标原点，∴直线m 的直角坐标方程为y x =， ∴直线m 的极坐标方程为4πθ=；∵圆C 的参数方程为1cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），∴圆C 的普通方程为22(1)(2)1x y -+-=，即222440x y x y +--+=， ∴圆C 的极方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=． （2）把直线m 的极坐标方程4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=中得240ρ-+=，∴12||||AB ρρ=-==∴ABC ∆的周长为223. 【答案】（1）max ()4f x =；（2）6t =．【解析】（1）2t =时，()|21||23|f x x x =--+≤|(21)(23)|4x x --+=，即()f x 的最大值为4． （2）∵()|21||3|f x x tx =--+，∴max 1()()2f x f =或max 3()()f x f t=-，∵1()22f =无解，∴3()2f t-=，解得2t =-（舍）或6t =，当6t =时，()|21||63|f x x x =--+144,21182,22144,2x x x x x x ⎧--≥⎪⎪⎪=---<<⎨⎪⎪+≤-⎪⎩，()f x 在1(,)2-∞-上递增，在1(,)2-+∞上递减，max 1()()22f x f =-=，合题意，综上可得，6t =．。