雅礼中学2023届高三月考试卷（六）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数()()2i1ia++的实部和虚部相等，则实数a的值为（）A. 1-B. 0C. 1D. 22. 命题“2R,240x x x∀∈-+≤”的否定为（）A. 2R,240x x x∀∈-+≥ B. 2R,240x x x∀∈-+≤C. 2R,240x x x∃∈-+> D. 2R,240x x x∃∉-+>3. 已知向量(,3),(1,4),(2,1)a kb c===，且(23)a b c-⊥，则实数k=A.92- B. 0 C. 3 D.152 4. 已知,a b R∈，则1b a<<是1|1|a b->-（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 在ABC∆中，AC=BC=cos A=，则ABC∆的面积为A.52B. 5C. 10D.6. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有A. 12种B. 18种C. 36种D. 54种7. 设双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左、右焦点分别为12,F F，O为坐标原点．以12F F为直径的圆与双曲线的右支的一个交点为P，且以2OF为直径的圆与直线1PF相切，若18PF=，则双曲线的焦距等于（）A. B. 6 C. D. 3的8. 已知m ，n 为实数，()e 1x f x mx n =-+-，若()0f x ≥对x ∈R 恒成立，则nm的最小值是（ ）A. 1- B. 0C. 1D. 2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知,,a b c 满足c b a <<且0ac <，则下列不等式恒成立的是（ ）A.b c a a> B.0b ac ->C. 22b a c c>D.0a cac-<10. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB BC ==，90ABC ∠=︒，外接球的球心为O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点．下列判断中正确的是A. 直线AC 与直线1C E 是异面直线B. 1A E 一定不垂直1AC C. 三棱锥1E AA O -的体积为定值D. 1AE EC +的最小值为11. 设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意x ∈R 有2()()f x f x x +-=，且在[0,)+∞上()f x x '>，若(2)2()2f a a f a -+>+，则实数a 的可能取值为（ ）A. 1- B. 0C. 1D. 212. 已知直线:cos sin 3sin cos 50l x y θθθθ⋅+⋅++-=，则下列说法正确的是（ ）A. 直线l 一定不过原点B. 存在定点P ，使得点P 到直线l 的距离为定值C. 点(0,3)M -到直线l的最小值为3-D. 若直线l 分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，则AOB 的周长可以等于12的第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 4(2)(13)x x --的展开式中，2x 的系数等于____________．（用数字作答）14. 点(3,2)M 到抛物线2:(0)C y ax a =>准线的距离为4，则实数=a ____________．15. 若正整数m 满足151210210,m m -<<则m =________.（参考数据:lg2≈0.3010）16. 在ABC 中，3,sin sin (2)AB B m A m ==⋅≥，则ABC 的面积最大值为____________．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意N n *∈，满足关系22n n S a =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且()221log n n b a =，求证：当4n ≥时，总有6136n T <．18 已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+．（1）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（2）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．19. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠= ，PA PB ⊥，2PC =．（1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若PA PB =，求二面角A PC D --的余弦值.20. 为贯彻中共中央、国务院2023年一号文件，某单位在当地定点帮扶某村种植一种草莓，并把这种露天种植草莓搬到了大棚里，收到了很好的经济效益．根据资料显示，产出的草.的莓的箱数x （单位：箱）与成本y （单位：千元）的关系如下：x 13467y56.577.58y 与x 可用回归方程 lg y bx a =+ （其中 ,a b 为常数）进行模拟．（1）若农户卖出的该草莓的价格为150元/箱，试预测该水果100箱的利润是多少元．（利润=售价-成本）（2）据统计，1月份连续16天中农户每天为甲地可配送的该水果的箱数的频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率．一个运输户拟购置n 辆小货车专门运输农户为甲地配送的该水果，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该水果，满载发车，否则不发车．若发车，则每辆车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元．试比较3n =和4n =时，此项业务每天的利润平均值的大小．参考数据与公式：设lg t x =，则ty()()51i i i t t y y =--∑()521i i t t =-∑0.546.81.530.45线性回归直线 lg y bx a =+ 中，()()()121,niii ni i t t y y b aybt t t ==--==--∑∑ ．21. 如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>和圆2222:C x y b +=，已知圆2C 将椭圆1C 的长轴三等分，椭圆1C 右焦点到右顶点的距离为3-，椭圆1C 的下顶点为E ，过坐标原点O 且与坐标轴不重合的任意直线l 与圆2C 相交于点A ，B ．的（1）求椭圆1C 的方程；（2）若直线,EA EB 分别与椭圆1C 相交于另一个交点为点P ，M ．求证：直线PM 经过定点．22. 已知函数2(),()ln f x x ax g x x =-=．（1）当1a =时，求证：()()f x x g x ≥⋅；（2）设1()()2ax r x f x g +⎛⎫=+⎪⎝⎭，若对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()()201r x k a >-成立，求实数k 的取值范围．雅礼中学2023届高三月考试卷（六）数学命题人：刘一波 审题人：张鎏本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数()()2i 1i a ++的实部和虚部相等，则实数a 的值为（）A. 1-B. 0C. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】利用复数实部和虚部的概念及四则运算求解即可.【详解】由题设()()()()22i 1i 22i i i 22i a a a a a ++=+++=-++，因为复数()()2i 1i a ++的实部和虚部相等，所以22a a -=+，解得0a =，故选：B2. 命题“2R,240x x x ∀∈-+≤”的否定为（ ）A. 2R,240x x x ∀∈-+≥ B. 2R,240x x x ∀∈-+≤C. 2R,240x x x ∃∈-+> D. 2R,240x x x ∃∉-+>【答案】C 【解析】【分析】利用全称命题的否定是特称命题及相关概念求解即可.【详解】命题“2R,240x x x ∀∈-+≤”的否定为“2R,240x x x ∃∈-+>”故选：C3. 已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥，则实数k =A. 92-B. 0C. 3D.152【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意得，23(23,6),(2,1)a b k c-=--=，因为(23)a b c -⊥，所以(23)4660a b c k -⋅=--=，解得3k =，故选C.考点：向量的坐标运算.4. 已知,a b R ∈，则1b a <<是1|1|a b ->-的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合不等式的性质即可得到结论.【详解】因为211111a ba b a b a b a <+⎧->-⇔-<-<-⇔⎨<⎩，所以当1b a <<时，1|1|a b ->-成立，当1|1|a b ->-成立时，如取1,22b a ==，此时1b a <<不成立，所以1b a <<是1|1|a b ->-的充分不必要条件.故选：B.【点睛】本题考查充分不必要条件的定义，考查不等式的性质，属于基础题.5. 在ABC ∆中，AC =BC =cos A =，则ABC ∆的面积为A.52B. 5C. 10D.【答案】A 【解析】【分析】根据条件可利用余弦定理将AB 边求出，再将sin A 求出，利用三角形面积公式1sin 2S AB AC A =⋅⋅求出答案.【详解】在ABC 中，由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅⋅,2105AB AB =+-整理得2450AB AB --=解得5,1AB AB ==-（舍）由cos A =可得sin A ==115=sin 5222ABC S AB AC A ∴⋅⋅=⨯ 故选A 项.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.6. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有A. 12种 B. 18种C. 36种D. 54种【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由题意知，完成这一件事可分为两步：先将标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；再将其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.考点：排列与组合7. 设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点．以12F F 为直径的圆与双曲线的右支的一个交点为P ，且以2OF 为直径的圆与直线1PF 相切，若18PF =，则双曲线的焦距等于（ ）A. B. 6C. D. 3【答案】A 【解析】【分析】设以2OF 为直径的圆与直线1PF 相切于点N ，圆心为M ，则1MN PF ⊥，因此121Rt PF F Rt NF M ∽，所以1212||F M NM PF F F =，由此可求出223cPF =，而12PF PF ⊥，再由勾股定理可得1PF =，而已知18PF =，从而可求出c 的值【详解】依题意知12PF PF ⊥，设以2OF 为直径的圆与直线1PF 相切于点N ，圆心为M ，则1MN PF ⊥，因此121Rt PF F Rt NF M ∽，所以1212||F MNM PF F F =．设双曲线的焦距为2c ，则23222c cPF c=，解得223cPF =，由勾股定理可得1PF ==8=，c =，故焦距2c =故选：A【点睛】此题考查圆与双曲线的性质的应用，考查数学转化思想和计算能力，属于基础题8. 已知m ，n 为实数，()e 1x f x mx n =-+-，若()0f x ≥对x ∈R 恒成立，则nm的最小值是（ ）A. 1- B. 0C. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】利用导数的性质，结合构造函数法进行求解即可.【详解】()e 1,()e x x f x mx n f x m =-+-=-'，当0m ≤时，()0f x '>恒成立，则()f x 单调递增，()0f n =，显然()0f x ≥不恒成立，当0m >时，(,ln )x m ∈-∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；(ln ,)x m ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，∴min ()(ln )ln 1f x f m m m m n ==-+-，∵()0f x ≥恒成立，∴ln 10m m m n -+-≥，∴ln 1n m m m ≥-+，∴ln 11ln 1n m m m m m m m-+≥=+-，令1()ln 1,0h m m m m=+->，22111(),()m h m h m m m m-=-='区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增，∴min ()(1)0h m h ==．故选：B【点睛】关键点睛：利用导数的性质，结合构造新函数法是解题的关键.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，在有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知,,a b c 满足c b a <<且0ac <，则下列不等式恒成立的是（ ）A.b c a a> B.0b ac ->C. 22b a c c>D.0a cac-<【答案】ABD 【解析】【分析】利用不等式的性质对各选项逐一判断即可.【详解】因为,,a b c 满足c b a <<且0ac <，所以0c <，0a >，b 符号不确定，选项A ：因为b c >，10a>，所以b ca a >，选项A 正确；选项B ：因为b a <，10c <，所以0b a -<，0b a c ->，选项B 正确；选项C ：因为b a <，10c<，当b a <时，22b a <，所以22b ac c>；当0b <且b a >时，22b a >，所以22b ac c<，选项C 错误；选项D ：因为c a <，10ac<，所以0a c ->，0a cac -<，选项D 正确；故选：ABD10. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB BC ==，90ABC ∠=︒，外接球的球心为O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点．下列判断中正确的是A. 直线AC 与直线1C E 是异面直线B. 1A E 一定不垂直1ACC. 三棱锥1E AA O -的体积为定值D. 1AE EC +的最小值为【答案】ACD 【解析】【分析】由题意画出图形，由异面直线的概念判断A ；利用线面垂直的判定与性质判断B ；找出球心，由棱锥底面积与高为定值判断C ；设BE x =，列出1AE EC +关于x 的函数式，结合其几何意义求出最小值判断D ．【详解】解：如图，A ． 直线AC 经过平面11BCCB 内的点C ，而直线1C E 在平面11BCC B 内不过C ，∴直线AC 与直线1C E 是异面直线，故A 正确；B ．当11A E AB ⊥时，1A E ⊥平面11ABC ，则11A E AC ⊥，故B 错误；C ．由题意知，直三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心为O 是1AC 与1AC 的交点，则1AAO 的面积为定值，由1//BB 平面11AACC ，E ∴到平面1AA O 的距离为定值，∴三棱锥1E AA O -的体积为定值，故C 正确；D ．设BE x =，则12B E x =-，1AE EC ∴+=．由其几何意义，即平面内动点(,1)x 与两定点(0,0)，(2,0)距离和最小值知，其最小值为D 正确．故选：ACD ．【点睛】本题考查异面直线的判定、垂直，三棱锥的体积的求法，以及距离最小值的求法，是中档题.11. 设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意的x ∈R 有2()()f x f x x +-=，且在[0,)+∞上()f x x '>，若(2)2()2f a a f a -+>+，则实数a 的可能取值为（ ）A. 1- B. 0C. 1D. 2的【答案】AB 【解析】【分析】构建2()()2x g x f x =-，根据题意分析可得：()g x 为奇函数，在R 上单调递增，利用单调性解不等式即可得结果.【详解】222()()()()()022x x f x f x x f x f x -+-=⇔-+--=令2()()2x g x f x =-，即()()0g x g x +-=，则()g x 为奇函数，当0x ≥时，()()0g x f x x ''=->，则()g x 在区间[0,)+∞上单调递增，故()g x 在区间(],0-∞上单调递增，则()g x 在R 上单调递增，∵(2)2()2f a a f a -+>+⇔22(2)(2)()22a a f a f a --->-，即()(2)g a g a ->，∴2a a ->，解得1a <，故A 、B 正确，C 、D 错误.故选：AB ．12. 已知直线:cos sin 3sin cos 50l x y θθθθ⋅+⋅++-=，则下列说法正确的是（ ）A. 直线l 一定不过原点B. 存在定点P ，使得点P 到直线l 的距离为定值C. 点(0,3)M -到直线l 的最小值为3-D. 若直线l 分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，则AOB 的周长可以等于12【答案】ABD 【解析】【分析】将原点()0,0代入直线方程解θ判断A ，设()0,Px y ，利用点到直线距离公式判断B ，由B 可得直线l 为圆()()22:1325P x y +++=的切线，利用直线和圆的位置关系判断C ，利用特殊点判断选项D.【详解】选项A ：将()0,0代入直线l 得3sin cos 50θθ+-=()5θϕ+=，其中cos ϕ=，sin ϕ=，因为()[]sin 1,1θϕ+∈-()5θϕ+=无解，选项A 正确；选项B ：设点()0,Px y ，则点P 到直线l 的距离00sin 3sin cos 5d x y θθθθ⋅+⋅++-，令00cos cos 0sin 3sin 0x y θθθθ⋅+=⎧⎨⋅+=⎩解得0013x y =-⎧⎨=-⎩，故当P 点坐标为()1,3--时，点P 到直线l 的距离为定值5，选项B 正确；选项C ：由选项B 可知直线l 为圆()()22:1325P x y +++=的切线，设点(0,3)M -到切线的距离为d ，所以d R MP ≥-，所以点(0,3)M -到直线l 的最小值min 4d R MP =-=，选项C 错误；选项D ：由图像可知随直线l 斜率由0∞-→，AOB 的周长先减小，再增大，存在最小值，不妨在圆上取一点(3,0)作切线，记为()()()31:0303l y x ---=----，即4312x y +=，所以()()3,0,0,4A B ，OAB的周长为3412+=，选项D 正确；故选：ABD第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 4(2)(13)x x --的展开式中，2x 的系数等于____________．（用数字作答）【答案】120【解析】【分析】利用二项式展开式分两种情况求出即可.【详解】由题意分两种情况：①()222242C 13108x x ⨯⨯⨯-=，②()()1324C 1312x x x -⨯⨯⨯-=，故2x 的系数为：10812120+=，故答案为：120.14. 点(3,2)M 到抛物线2:(0)C y ax a =>准线的距离为4，则实数=a ____________．【答案】18## 0.125【解析】【分析】由抛物线的标准方程可得准线方程，根据点(3,2)M 到准线的距离为4求解a 的值即可.【详解】抛物线2:(0)C y ax a =>即21x y a=的准线方程为14y a =-，因为点(3,2)M 到准线的距离为4，所以1244a +=，解得18a =，故答案为：1815. 若正整数m 满足151210210,m m -<<则m =________.（参考数据:lg2≈0.3010）【答案】155【解析】【分析】利用题中提示20.3010lg ≈，把不等式同时取以10为底的对数，再利用对数的运算性质，转化为关于m 的不等式求解即可．【详解】解：151210210m m -<< ，取以10为底的对数得151210210m m lg lg lg -<<，即15122m lg m -<⨯<又20.3010lg ≈ 1154.112m m ∴-<<，因为m 是正整数，所以155m =故答案为：155．16. 在ABC 中，3,sin sin (2)AB B m A m ==⋅≥，则ABC 面积最大值为____________．【答案】3【解析】【分析】先由正弦定理得到AC m BC =⋅，再建立平面直角坐标系求得点C 的轨迹，从而得到ABC 的面积关于m 的解析式，利用函数的单调性即可求得ABC 的面积最大值.的【详解】因为sin sin B m A =⋅，所以由正弦定理得b ma =，即AC m BC =⋅，以线段AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，则33,0,,0,(,)22A B C x y ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由AC m BC =⋅m =因为2m ≥，所以整理得2222339014m x y x m ++-+=-，由此可知点C 的轨迹是以()2233,021m m ⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭为圆心，以231m r m =-为半径的圆，所以当点C 在圆上运动时，点C 到x 轴的最大距离为半径231mr m =-，所以ABC 面积2139131212m S m m m=⨯⨯=⨯--在[)2,m ∈+∞上单调递减，所以max 9131222S =⨯=-．故答案为：3.四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意N n *∈，满足关系22n n S a =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且()221log n n b a =，求证：当4n ≥时，总有6136n T <．【答案】（1）()2N n n a n *=∈（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用()12n n n a S S n -=-≥及等比数列的定义求解即可；的（2）利用放缩法和裂项相消求和即可.【小问1详解】因为11122a S a ==-，解得12a =，()22N n n S a n *=-∈①，所以()11222,N n n S a n n *--=-≥∈②，①-②得()1222,Nn n n a a a n n *-=-≥∈，即12nn aa -=，又因为0n a ≠，所以()122,N nn a n n a *-=≥∈，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以()2N n n a n *=∈．【小问2详解】因为对任意正整数n ，总有()22211log n n b n a ==，所以当4n ≥时，2222211111111122334(1)n T n n n=+++≤+++++⨯- 111111611611493413636n n n =+++-++-=-<- ．18. 已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+．（1）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（2）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．【答案】（1）34或54,（2）5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（Z k ∈）．【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）先利用倍角公式把函数解析式化为1π()[1cos(2)]26f x x =++，再由对称轴的计算方法得0π26x +πk =，即0π2π6x k =-（Z k ∈）．所以0011π()1sin 21sin(π)226g x x k =+=+-．最后分k 为奇数或偶数两种情况求出0()g x 的值为34或54．（Ⅱ）先求出1π3()sin 2232h x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由πππ2π22π232k x k -≤+≤+，得函数的单调递增区间为5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（Z k ∈）试题解析：（I ）由题设知1π()[1cos(2)]26f x x =++．因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π26x +πk =，即0π2π6x k =-（Z k ∈）．所以0011π()1sin 21sin(π)226g x x k =+=+-．当k 为偶数时，01π13()1sin 12644g x ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭，当k 为奇数时，．（II ）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1π3113cos 2sin 2sin 2262222x x x x ⎫⎡⎤⎛⎫=+++=++⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎭1π3sin 2232x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．当πππ2π22π232k x k -≤+≤+，即5ππππ1212k x k -≤≤+（Z k ∈）时，函数1π3()sin 2232h x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是增函数，故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（Z k ∈）．考点 ：辅助角公式的应用 对称轴的求法 求三角函数单调性区间19. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠= ，PA PB ⊥，2PC =．（1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若PA PB =，求二面角A PC D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析； （2.【解析】【分析】（1）取AB 中点O ，连接,,AC CO PO ，利用线面垂直的判定定理证得CO ⊥平面PAB ，结合面面垂直的判定定理即可证明；（2）由(1)建立如图空间直角坐标系O xyz -，利用向量法分别求出平面APC 、平面PCD 的法向量，结合空间向量的数量积定义计算即可.【小问1详解】取AB 中点O ，连接,,AC CO PO ，因为四边形ABCD 是边长为2的菱形，所以2AB BC ==，因为60ABC ︒∠=,所以ABC 是等边三角形，所以CO AB OC ⊥=，,因为PA AB ⊥，所以112PO AB ==，因为2PC =，所以222OP OC PC +=，所以CO PO ⊥.因为AB PO O = ，AB PO ⊂、平面PAB ，所以CO ⊥平面PAB ，因为CO ⊂平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD ；【小问2详解】因为22222211OP OA PA +=+==，所以PO AO ⊥，由（1）知，平面PAB ⊥平面ABCD ，而平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ⊂平面PAB ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以直线,,OC OB OP 两两垂直，以O 原点建立如图空间直角坐标系O xyz -，则()()()))()0,0,0,0,1,0,0,1,0,,2,0,0,0,1O A B CDP --，为所以())()0,1,1,1,0,2,0AP PC DC ==-=，设平面APC 的法向量为(),,m x y z =，由0000y z m AP m PC z +=⎧⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=-=⎩ ，取1x =，得(1,m = ，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，由00020n PC z n DC y ⎧⋅=-=⇒⎨⋅==⎪⎩⎩ ，取1x =，得(n = ，所以cos<,m n nm m n ⋅>==⋅，由图可知二面角A PC D --为锐二面角，所以二面角A PC D --.20. 为贯彻中共中央、国务院2023年一号文件，某单位在当地定点帮扶某村种植一种草莓，并把这种露天种植的草莓搬到了大棚里，收到了很好的经济效益．根据资料显示，产出的草莓的箱数x （单位：箱）与成本y （单位：千元）的关系如下：x 13467y56.577.58y 与x 可用回归方程 lg y bx a =+ （其中 ,a b 为常数）进行模拟．（1）若农户卖出的该草莓的价格为150元/箱，试预测该水果100箱的利润是多少元．（利润=售价-成本）（2）据统计，1月份的连续16天中农户每天为甲地可配送的该水果的箱数的频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率．一个运输户拟购置n 辆小货车专门运输农户为甲地配送的该水果，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该水果，满载发车，否则不发车．若发车，则每辆车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元．试比较3n =和4n =时，此项业务每天的利润平均值的大小．参考数据与公式：设lg t x =，则ty()()51i ii t t yy =--∑()521i i t t =-∑0.546.81.530.45线性回归直线 lg y bx a =+ 中，()()()121,niii ni i t t y y b ay bt t t ==--==--∑∑ ．【答案】（1）3236元（2）购置3辆小货车的利润平均值大于购置4辆小货车的利润平均值．【解析】【分析】（1）利用参考公式和表中数据求出线性回归直线方程，再将100x =代入即可求解；（2）根据题意设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为12,Y Y 元，根据题意列出分布列，根据分布列求出平均值即可求解.【小问1详解】根据题意，()()()515211.533.40.45iii i i t t y y bt t ==--===-∑∑ ，所以 6.8 3.40.54 4.964ay bt =-=-⨯= ，所以 3.4 4.964y t =+，又lg t x =，所以 3.4lg 4.964y x =+，所以100x =时， 6.8 4.96411.764y =+=（千元），即该水果100箱的成本为11764元，故该水果100箱的利润15000117643236-=（元）．【小问2详解】根据频率分布直方图，可知该农户每天可配送的该水果的箱数的概率分布表为：箱数[)40,80[)80,120[)120,160[]160,200P18141218设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为12,Y Y 元，则1Y 的可能取值为1500，800，100，其分布列为：1Y 1500800100P 581418故()151115008001001150848E Y =⨯+⨯+⨯=,2Y 的可能取值为2000，1300，600，100-，其分布列为：2Y 20001300600100-P 18121418故()2111120001300600(100)1037.58248E Y =⨯+⨯+⨯+⨯-=,即购置3辆小货车的利润平均值大于购置4辆小货车的利润平均值．21. 如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>和圆2222:C x y b +=，已知圆2C 将椭圆1C 的长轴三等分，椭圆1C 右焦点到右顶点的距离为3-，椭圆1C 的下顶点为E ，过坐标原点O 且与坐标轴不重合的任意直线l 与圆2C 相交于点A ，B ．（1）求椭圆1C 的方程；（2）若直线,EA EB 分别与椭圆1C 相交于另一个交点为点P ，M ．求证：直线PM 经过定点．【答案】（1）2219x y += （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意列式求解,,a b c ，即可得答案；（2）设直线、PE ME 的方程，与椭圆方程联立求P M 、的坐标，进而可求直线PM 的方程，即可得结果.【小问1详解】由题意可得：1223b a =⋅，则3a b =，∵22233a b c a c a b ⎧=+⎪⎪-=-⎨⎪=⎪⎩31a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆1C 的方程为2219x y +=.【小问2详解】由题意知直线,PE ME 的斜率存在且不为0，设直线PE 的斜率为k ，则直线:1PE y kx =-，联立方程22119y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得22218919191k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩或01x y =⎧⎨=-⎩，∴2221891,9191k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，∵AB 为圆2C 的直径，点E 在圆2C 上，则BE AE ⊥，即1AE BE k k ⋅=-，∴11BE AE k k k =-=-，则直线1:1ME y x k=--，故用1k -去替代k 得222189,99k k M k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，∵22222229191919181810919PMk k k k k k k k k k k ----++==+++，∴直线22229118:9109k k k PM y x k k k --⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭，即214105k y x k -=+，∴直线PM 经过定点40,5T ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.22. 已知函数2(),()ln f x x ax g x x =-=．（1）当1a =时，求证：()()f x x g x ≥⋅；（2）设1()()2ax r x f x g +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()()201r x k a >-成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【解析】【分析】（1）根据函数解析式，整理不等式，构造函数，利用导数求新函数的最值，可得答案；（2）由题意，整理函数解析式，求导研究其单调性，根据不等式能成立问题，可得关于k 和a 的不等式，构造以a 为变量、以k 为参数的函数，利用导数，结合分类讨论，可得答案.【小问1详解】要证()()f x x g x ≥⋅，只需证1ln x x -≥，令()1ln ,(0,)h x x x x =--∈+∞，11()1x h x x x-'=-=，由()0,1x ∈，()0h x '<，()1,x ∈+∞，()0h x '>，()h x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增，∴()(1)0h x h ≥=，即1ln 0x x --≥，∴()()f x x g x ≥⋅．【小问2详解】由题意得21()ln 2ax r x x ax +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2222()211a ax x a a r x x a ax ax⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-'+=++，∵22121122222a a a a -=-<-=，显然1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()0r x '>，∴()r x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，∴01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0max 1(1)1ln 2a r x r a +==-+，∴()211ln 12a a k a +-+>-，设()21()1ln1((1,2)),(1)02a a a k a a ϕϕ+=-++-∈=，有()0a ϕ>在(1,2)a ∈时恒成立，∵()[2(12)]1a a ka k aϕ-'=-+，①0k =时，∵()1a a a ϕ-=+'，显然()0a ϕ'<，∴()a ϕ在(1,2)a ∈时单调递减，此时()(1)0a ϕϕ<=不符合；②0k <时，∵21()112ka a a a k ϕ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢+⎝⎭⎣'⎥⎦，显然()0a ϕ'<，∴()a ϕ在(1,2)a ∈时单调递减，此时()(1)0a ϕϕ<=不符合；③0k >时，∵21()112ka a a a k ϕ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢+⎝⎭⎣'⎥⎦，若1122k-≥，显然()0a ϕ'<，则()a ϕ在区间()1,2上单调递减，此时()(1)0a ϕϕ<=不符合；若11122k <-<，显然当11,12a k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0a ϕ'<，则()a ϕ在区间11,12k ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，此时()()10a ϕϕ<=，不符合；若1112k-≤时，则()a ϕ在区间(1,2)上单调递增，此时()(1)0a ϕϕ>=，符合．综上得01112k k>⎧⎪⎨-≤⎪⎩，解得14k ≥，即实数k 的取值范围为1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用，二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理.。
