数学分析课件：19-2有势场和势函数
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数学分析课件 场论初步
则是对于曲线 L 的弧长元素向量. 对后者说明如下: 设 t (cos ,cos ,cos ) 是曲线 L 在各点处的正向 单位切向量, 弧长元素向量即为 ds t ds .
把公式 (3) 改写成 rot A n d S A t ds .
当把它作为运算符号来看待时, 梯度可写作
grad u u .
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注 通常称为哈密顿 (Hamilton) 算符(或算子), 读 作 “Nabla”.
梯度有以下一些用 表示的基本性质:
1. 若 u, v 是数量函数, 则
( u v ) u v .
2. 若 u, v 是数量函数, 则
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z 2 2 2 3/ 2 z ( x y z )
0.
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因此引力场 F 在每一点处的散度都为零 ( 除原点没
有定义外 ).
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设 A( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q( x , y , z ) j R( x , y , z ) k
S L
(4)
对上式中的曲面积分应用中值定理, M S , 使得
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rot A n d S rot A n
S
M
S
L
A t ds .
在 S 上任取一点 M 0 . 令 S 收缩到 M 0 ( 记作 S M 0 ), 则同时有 M M 0 , 对上式取极限, 得到 1 rot A n lim A t ds . L S M 0 S M0
华师大版数学分析第一章实数集与函数1.4函数的性质ppt
(1)f(x)=cosx, x∈[0,+∞)；(2)f(x)=x2，x∈[-1,+∞). 解：由m(x)及M(x)的定义可知，对任意的a<b， 当f(x)在[a,b]上递增时，m(x)=f(a)，M(x)=f(x)； 当f(x)在[a,b]上递减时，m(x)=f(x)，M(x)=f(a). 可知， (1)当x∈[0,π]时，cosx递减，∴m(x)=cosx，M(x)≡1； ∵-1≤cosx≤1，∴当x∈[π, + ∞)时，m(x)≡-1, M(x)≡1； ∴m(x)与M(x)的图象如图(1). (2)当x∈[-1,0]时,m(x)=x2；当x∈[0, + ∞)时,m(x)≡0; 当x∈[-1,1]时，M(x)≡1；当x∈[1, + ∞)时，M(x)= x2; ∴m(x)与M(x)的图象如图(2).
图(1)
12、设定义在[a,+∞)上的函数f 在任何闭区间[a,b]上有界，定义[a, + ∞)上的函数： m(x)= f(y)，M(x)= f(y).试讨论它们的图像， (1)f(x)=cosx, x∈[0,+∞)；(2)f(x)=x2，x∈[-1,+∞). (2)当x∈[-1,0]时,m(x)=x2；当x∈[0, + ∞)时,m(x)≡0; 当x∈[-1,1]时，M(x)≡1；当x∈[1, + ∞)时，M(x)= x2; ∴m(x)与M(x)的图象如图(2).
(3)f(x)=
=
；
(1)(2)中已证在[-a,a]上, F(x)是偶函数, G(x)是奇函数；
∴在[-a,a]上, 是偶函数； 是奇函数. 得证！
5、设f为定义在D上的函数。若存在σ>0，使得 对一切x∈D有f(x±σ)=f(x)，则称f为周期函数， σ为f的一个周期。 在所有周期中最小的周期，称为基本周期， 或简单称为周期。 常量函数没有基本周期。
图(1)
12、设定义在[a,+∞)上的函数f 在任何闭区间[a,b]上有界，定义[a, + ∞)上的函数： m(x)= f(y)，M(x)= f(y).试讨论它们的图像， (1)f(x)=cosx, x∈[0,+∞)；(2)f(x)=x2，x∈[-1,+∞). (2)当x∈[-1,0]时,m(x)=x2；当x∈[0, + ∞)时,m(x)≡0; 当x∈[-1,1]时，M(x)≡1；当x∈[1, + ∞)时，M(x)= x2; ∴m(x)与M(x)的图象如图(2).
(3)f(x)=
=
；
(1)(2)中已证在[-a,a]上, F(x)是偶函数, G(x)是奇函数；
∴在[-a,a]上, 是偶函数； 是奇函数. 得证！
5、设f为定义在D上的函数。若存在σ>0，使得 对一切x∈D有f(x±σ)=f(x)，则称f为周期函数， σ为f的一个周期。 在所有周期中最小的周期，称为基本周期， 或简单称为周期。 常量函数没有基本周期。
第3讲势的定义--可数集合与连续势
∞ ∞
Ai*和
Bi
i =1
i =1
而
i= ∞ 1
∪ A ~ ∪ B ⊂[0,+∞) 。另一方面
i i i=1 i=1
∞
第3讲 势的定义
--可数集合与连续势 --可数集合与连续势
， ∞ 由Bernstein定理知 A = ∪ A的势为 C 。 i i= 1 证毕。 定理7实际是说，可数个势不超过 C的 集合之并，其势也不超过 C ，用公式表示 就是： ⋅ C = C 。 C
i=1
在上述序列中，去掉重复元素，则剩下的 是有限集或可数集。证毕。
第3讲 势的定义
--可数集合与连续势 --可数集合与连续势
α表示正整数，α + C0 表示一个有限集与 α 可数集之并的势， ⋅ C0表示 α个可数集之并的势，
如果说
C0 ⋅ C0
表示可数个可数集之并的势，则定理
5蕴含了下列各式： （1） （2） （3） （4）
第3讲 势的定义
--可数集合与连续势 --可数集合与连续势
即 A 与其真子集 A− A 对等。 0 为证充分性，我们要证，若 A 与其真 子集对等，A 必是无穷集。假若不然， 是 A 有限集，不妨设为 A = {a1, a2 ,⋯, an} ， A与其真子集对等，记与 A 对等的真子集 为 A = {ai1 , ai2 ,⋯, aim }, m < n ，ϕ是 A与 A 之 0 0 间的1-1对应。则 ϕ( A ) = A，注意 0
i=1
∪{aij }
i+ j =n
{a1n−1 , a2n−2 ,⋯, an−1,1}
第3讲 势的定义
--可数集合与连续势 --可数集合与连续势
即按第一个下标 i 从小到大的顺序排列， 应该注意的是 aij 中可能含一些重复的元素， ∞ 暂且将重复元素留着，最后将 ∪ A 排成 i
Ai*和
Bi
i =1
i =1
而
i= ∞ 1
∪ A ~ ∪ B ⊂[0,+∞) 。另一方面
i i i=1 i=1
∞
第3讲 势的定义
--可数集合与连续势 --可数集合与连续势
， ∞ 由Bernstein定理知 A = ∪ A的势为 C 。 i i= 1 证毕。 定理7实际是说，可数个势不超过 C的 集合之并，其势也不超过 C ，用公式表示 就是： ⋅ C = C 。 C
i=1
在上述序列中，去掉重复元素，则剩下的 是有限集或可数集。证毕。
第3讲 势的定义
--可数集合与连续势 --可数集合与连续势
α表示正整数，α + C0 表示一个有限集与 α 可数集之并的势， ⋅ C0表示 α个可数集之并的势，
如果说
C0 ⋅ C0
表示可数个可数集之并的势，则定理
5蕴含了下列各式： （1） （2） （3） （4）
第3讲 势的定义
--可数集合与连续势 --可数集合与连续势
即 A 与其真子集 A− A 对等。 0 为证充分性，我们要证，若 A 与其真 子集对等，A 必是无穷集。假若不然， 是 A 有限集，不妨设为 A = {a1, a2 ,⋯, an} ， A与其真子集对等，记与 A 对等的真子集 为 A = {ai1 , ai2 ,⋯, aim }, m < n ，ϕ是 A与 A 之 0 0 间的1-1对应。则 ϕ( A ) = A，注意 0
i=1
∪{aij }
i+ j =n
{a1n−1 , a2n−2 ,⋯, an−1,1}
第3讲 势的定义
--可数集合与连续势 --可数集合与连续势
即按第一个下标 i 从小到大的顺序排列， 应该注意的是 aij 中可能含一些重复的元素， ∞ 暂且将重复元素留着，最后将 ∪ A 排成 i
19-2(有势场和势函数)
定理 1 设 F 是定义在区域V R3 上的一个向量 场, 则如下三个论断等价:
(1) F (P,Q, R) 是 有势场;
(2) F (P,Q, R) 是 无旋场;
(3) F (P,Q, R) 是 保守场.
分析 : (1) (2) (3) (1).
grad F (P,Q, R) rotF 0 F ds 0
解 : 因为f , g, h是单变量的连续函数 , 所以它们 的原函数存在, 分别记为 F ,G, H . 则 (x, y, z) F(x) G( y) H(z) 满足
d( x, y, z) f ( x)dx g( y)dy h(z)dz.
故 ( x2 ,y2 ,z2 ) f ( x)dx g( y)dy h(z)dz ( x1 , y1 .z1 )
(1
1 y
y, z
x z
x y2
,
xy z2
)
的势函数.
解：先验证是有势场
i jk
rotF x
y
z 0.
PQR
由 1 1 y , 得
x
yz
( x,
y, z)
x(1
1 y
y z
)
1
(
y, z),
代入
y
x z
x y2 ,
? ( x2 , y2 , z2 ) ( x1, y1, z1 )
F( x2 ) G( y2 ) H(z2 ) (F( x1 ) G( y1 ) H(z1 ))
x2 f (t )dt y2 g(t )dt z2 h(t)dt
哈工大大学物理(马文蔚教材)第19章2量子物理省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
讨论:
i
t
r
,
t
2 2m
2
E
p
r,
t
r,
t
1 薛定谔方程是量子力学中旳一项基本假设；
2 薛定谔方程旳解满足态叠加原理
若 则
1(r , t
c11(r ,
)t)和 c222((rr,,tt))也是是薛薛定定谔谔方方程程旳旳解解，。
这是因为薛定谔方程是线性偏微分方程。
3 薛定谔方程是有关时间旳一阶偏微分方程；
C C
(r1 (r2
, ,
t t
) )
2 2
(r1 , t ) (r2 , t )
3). 概率波 ------量子力学是一种统计理论与经典决定论不同 （存在长时期旳争沦）
4). 波函数应满足旳原则条件（物理要求）
连续性
有限性 单值性
后来会看到，有些情况下能量量子化 就是源于这些条件旳限制
k
2mE
n0
n
a
E
与本征值 En 相应本征函数
En
2 2n2
2ma 2
n2
h2 8ma 2
nx
Asin( n
a
x)
本征能量 n 1,2,
a
2
3) 用 n x dx 1, 可求A 2 / a （归一化条件）
0
n x
2 sin( n x)
aa
(0 x a)
势阱内
0 xa n x
d 2 dx
xa
d3 dx
xa
k2 A2ek2a B2k2ek2a ik3 A3eik3a (4)
A1 B1 A2 B2 (1) A2ek2a B2ek2a A3eik3a (3)
第一章 热力学势函数
表 1-4
原始材料配比不同时，MgO-SiO2 系统中反应的
(J/ mol)
与温度的关系
反应 500 MgO:SiO2 ＝1:1 M+S=MS M+S = M2S + S 2M+S=MS+M 2M+S＝M2S -36436 -31745 -36436 -63489 600 -36237 -31718 -36237 -63436 700 -35955 -31673 -35955 -63347 800 -35581 -31598 -35581 -63197 900 -34376 -31116 -34376 -62232 1000 -34584 -30974 -34584 -61948 1100 -34129 -30845 -34129 -61690 1200 -33665 -30735 -33665 -61470 1300 -34869 -30645 -34869 -61290 1400 -34499 -30577 -34499 -61153 1500 -34103 -30531 -34103 -61063 1600 -33678 -30511 -33678 -61023 1700 -36436 -31745 -36436 -63489
7
第一章
热力学势函数
表 1-5 CaCO3-TiO2 系统参与反应各物质的热力学数据 物质 CaCO3 TiO2 CO2 CaO.TiO2 4CaO.3TiO2 3CaO.2TiO2 (J/ mol.K) J/mol -1206854 -944747 -393505 -1658538 -5664718 -3999067 400 92.263 52.591 215.178 97.792 342.404 244.615 500 99.282 57.015 218.230 105.857 369.890 264.079 600 107.473 62.124 221.778 115.219 401.660 286.567 700 115.961 67.371 225.440 124.847 434.245 309.627 800 124.378 72.537 229.058 134.319 466.245 332.269 900 132.566 77.534 232.568 143.463 497.097 354.097 1000 140.463 82.331 235.946 152.216 526.602 374.970
势函数解读
尽管经典对势的引入使得我们在处理108个粒子的原子论 问题时有了较快的运算速度，但是经典对势存在着一些严 重的缺点。
例如，如果每个原子的结合能准确给出，则空位形成能就 不能准确知道；反之亦然。
此外，经典对势的主要缺点还表现在，其用于金属柯西偏 差的模拟预测时给出了不恰当的结果。
为了描述立方系金属的线性各向异性弹性性质，我们需要 知道三个常数：C1111(C11)， C1122(C12)和C2323(C44)。
7.1 原子间作用势模型
金属键、共价键及离子键三种主要键型是对实际系统的唯 象简化，因为在实际系统普遏存在着混合结合键。例如， 对子大多数过渡金属来说，方向性共价键与金属键形成互 补。任何定量成键理论都应该包括那些与原子结合在一起 的价电子的非经典特性。预测计算原子之间的结合键，必 须求解多体(约1023个粒子)问题的薛定谔方程。要实现这 一方法是非常困难的。因此，人们提出了各种不同的原子 间作用势近似模型，这些模型或多或少都带唯象的痕迹。
7.3 各向同性多体对泛函势
在二次矩和Finnis-Sinclair势中，嵌入函数F是一个平方根。 这是由电子态密度的紧束缚简化模型推出来的。
在嵌入原子方法及其相似的近似方法中，嵌入函数可由嵌
入原子能量导出，其嵌入原子被埋入局域电子密度为ρi的 均匀自由电子气中。
不论哪种情况，嵌入函数都是ρi 的负值凹型函数。
已用于晶格缺陷的模拟的原子间作用势包括：通用的径向 对称经验对相互作用；非径向对称键，它在有关的过渡金 属晶格缺陷的模拟中很有用；更为基本的近似方法诸如半 经验紧束缚近似，能给出与真实原子轨道相同的角动量以 及局域密度泛函理论。
7.1 原子间作用势模型
应当强调指出，建立合理的公式化势模型不仅是分子动力 学方法的需要，而且在迈氏蒙特卡罗和集团变分等模拟方 法中其重要性也在日益增加。
例如，如果每个原子的结合能准确给出，则空位形成能就 不能准确知道；反之亦然。
此外，经典对势的主要缺点还表现在，其用于金属柯西偏 差的模拟预测时给出了不恰当的结果。
为了描述立方系金属的线性各向异性弹性性质，我们需要 知道三个常数：C1111(C11)， C1122(C12)和C2323(C44)。
7.1 原子间作用势模型
金属键、共价键及离子键三种主要键型是对实际系统的唯 象简化，因为在实际系统普遏存在着混合结合键。例如， 对子大多数过渡金属来说，方向性共价键与金属键形成互 补。任何定量成键理论都应该包括那些与原子结合在一起 的价电子的非经典特性。预测计算原子之间的结合键，必 须求解多体(约1023个粒子)问题的薛定谔方程。要实现这 一方法是非常困难的。因此，人们提出了各种不同的原子 间作用势近似模型，这些模型或多或少都带唯象的痕迹。
7.3 各向同性多体对泛函势
在二次矩和Finnis-Sinclair势中，嵌入函数F是一个平方根。 这是由电子态密度的紧束缚简化模型推出来的。
在嵌入原子方法及其相似的近似方法中，嵌入函数可由嵌
入原子能量导出，其嵌入原子被埋入局域电子密度为ρi的 均匀自由电子气中。
不论哪种情况，嵌入函数都是ρi 的负值凹型函数。
已用于晶格缺陷的模拟的原子间作用势包括：通用的径向 对称经验对相互作用；非径向对称键，它在有关的过渡金 属晶格缺陷的模拟中很有用；更为基本的近似方法诸如半 经验紧束缚近似，能给出与真实原子轨道相同的角动量以 及局域密度泛函理论。
7.1 原子间作用势模型
应当强调指出，建立合理的公式化势模型不仅是分子动力 学方法的需要，而且在迈氏蒙特卡罗和集团变分等模拟方 法中其重要性也在日益增加。
曲线积分与势函数
曲线积分与势函数曲线积分与势函数是微积分中的重要概念，并在许多领域如物理学、工程学和经济学中有广泛的应用。
曲线积分，顾名思义，就是对一条曲线上的函数进行积分运算。
而势函数则是指在一个向量场中具有某种性质的函数。
本文将详细介绍曲线积分与势函数的定义、性质以及应用。
首先，我们来看曲线积分的定义。
对于一条参数为$t$的连续曲线$\Gamma$，其图像可以表示为$(x(t),y(t))$或$(x(t),y(t),z(t))$，其中$x(t)$、$y(t)$和$z(t)$分别表示曲线在$x$轴、$y$轴和$z$轴上的坐标。
若函数$F(x,y)$、$G(x,y)$和$H(x,y)$是$\Gamma$上的某个向量场，则曲线积分可以表示为：$$\int_\Gamma F(x,y)dx + G(x,y)dy$$或$$\int_\Gamma F(x,y,z)dx +G(x,y,z)dy + H(x,y,z)dz$$这里的积分路径可以是开放曲线、闭合曲线或曲线的一部分。
曲线积分的结果可以理解为在曲线上各点上向量场的某种量的累积。
接下来，我们将介绍势函数的概念。
若向量场$F(x,y)$、$G(x,y)$和$H(x,y)$存在一个函数$\Phi(x,y)$，使得向量场在某个区域内的偏导数与$\Phi(x,y)$的偏导数成比例，则称$\Phi(x,y)$为该向量场的势函数。
即：$$\frac{{\partial\Phi}}{{\partial x}} = F(x,y),\frac{{\partial\Phi}}{{\partial y}} = G(x,y)$$类似地，对于三维向量场$(F(x,y,z), G(x,y,z), H(x,y,z))$，如果存在一个函数$\Phi(x,y,z)$，满足：$$\frac{{\partial\Phi}}{{\partial x}} = F(x,y,z),\frac{{\partial\Phi}}{{\partial y}} = G(x,y,z), \frac{{\partial\Phi}}{{\partial z}} = H(x,y,z)$$则称$\Phi(x,y,z)$为该向量场的势函数。
06-3.有势场与梯度场PPT
有势场与梯度场一、场定义：某种物理量在空间（或平面）某区域内的一种分布。
例如：教室里的温度场。
----数量场例如：水流的流速场。
----向量场二、数量场与向量场数量场：空间区域上定义的数量值函数f (M )向量场：空间区域上定义的向量值函数F (M )F (M )kM R j M Q i M P )()()(++=三、梯度场与有势场梯度场：数量值函数f (M )产生的向量值函数有势场：当一个向量场F(M)是某数量值函数的梯度场，即时，这个向量场F (M )称为有势场（或势场），该数量值函数f (M)称为势场F(M)的势函数。
)(M f ∇→→→∂∂+∂∂+∂∂=∇k zf j y f i x f M f )()()(M f M F ∇=四、例题,是一个正常数的梯度场，其中求数量场m rm 间的距离。
到点为原点),,(222z y x M O z y x r ++=例1解222),,(z y x m z y x f ++=3222)(z y x mx x f ++-=∂∂3222)(z y x my y f ++-=∂∂3222)(z y x mz z f ++-=∂∂3r mx -=3r my -=3r mz -=),,()(333r mz r my r mx r m ---=∇r e r m 2-=),,(r z r y r x e r = 同向的单位向量。
是与OM的、质量为的质点对位于点、质量为位于原点1M m O 质点的引力，称为引力势。
函数rm 是有势场，所以引力场r e r m 2-),,()(333rmz r my r mx r m ---=∇r e r m 2-=),,(rz r y r x e r = 同向的单位向量。
是与OM 力学解释五、小结场：某种物理量在空间（或平面）某区域内的一种分布。
数量场：空间区域上定义的数量值函数f (M )向量场：空间区域上定义的向量值函数F (M )梯度场：数量值函数f (M )产生的向量值函数有势场：当一个向量场F(M )是某数量值函数的梯度场，即时，这个向量场F (M )称为有势场（或势场），该数量值函数f (M)称为势场F(M)的势函数。
19ED0501电磁场的势函数解读
*例
平面波与A的纵向分量无关
B A ik A c2 E ik ( k A) iA A k A 0 E iA
毛明编著
* 例
平面波的库仑规范
1 1 2 2 A 2 t A ( A 2 t ) 0 c c A 0 1 2 2 1 2 A 2 t A A 2 t 0 j c c 2 0
毛明编著
习题提示
则E,B完全由矢势A确定， ①电磁场方程组为
(2)
p.224
若取这时A满足哪两个方程?
， 0 J 0 5.2 证明在线性各向同性均匀非导电介质中，(1)若
②
5.3
2 A 2 得 : A A 2 0 t B A A A 由 0得 : E t t
毛明编著
A ' A ak B A ik A B ' A ' i k A 0 B ' aw,A' Aak E - t A E' '- t A' ( aw )- t( A ak) A E t
②标势：时变电场自身规律决定，标势不仅与电场有关，而且与磁场有关， 它不再具有电势的物理意义。 ③时变电磁场可用矢势和标势表示
毛明编著
Ⅰ 矢势与标势
Ⅱ 规范变换不变性 B A A' A B' A' A A B A E t ' , A' A t A' E' ' ( ) ( A ) t t t A E t ①当势函数作规范变换时所有物理量和物理规律都保持不变，称为规范不性； ②每组矢势和标势称为一种规范 ③规范不变性是决定相互作用形式的一条重要规律，传递这些相互作用的场称为 规范场，
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F ds rotF dS 0. S
故 F (P,Q, R) 是 保守场.
(3) (1)设 F (P,Q, R) 是 保守场, F ds 0.
根据第18章的积分与路径无关性定理, 知
在V内存在( x, y, z),使d Pdx Qdy Rdz ,
即存在
满足
x
P,
y
Q,
2008／06／05
§19.2 有势场和势函数
定义 1 设V R3 为一区域, 在V上定义了一个 向量场 F (P,Q, R). 如果存在V上的一个数量 场 ( x, y, z), 使得 grad F (P,Q, R) 在V上 恒成立, 则称向量场 F 是有势场, 数量场 称 为向量场 F 的一个势函数.
rotF x
y
z 0.
PQR
由 1 1 y , 得
x
( x,
y, z)
x(1
1 y
y z
)
1
(
y, z),
代入
y
x z
x y2 ,
z
xy z2
,
得 1 0, 1 0.
y
z
所以 1( y, z) C, ( x, y, z) x(1 1 y) C.
yz
也可以按照一般的方法求解, 注意起点的选取.
( x2 ,y2 ,z2 ) f ( x)dx g( y)dy h(z)dz. ( x1 , y1 .z1 )
解 : 因为f , g, h是单变量的连续函数 , 所以它们 的原函数存在, 分别记为 F ,G, H . 则 (x, y, z) F(x) G( y) H(z) 满足
d( x, y, z) f ( x)dx g( y)dy h(z)dz.
例 2 证明向量场 F ( yz(2x y z), xz( x 2 y z), xy( x y 2z)) 是有势场, 并求其势函数.
解：先验证是有势场 rotF
i
x yz(2x y z)
j
y xz( x 2 y z)
k
0.
z
xy( x y 2z)
故 F 是有势场.
定理 1 设 F 是定义在区域V R3 上的一个向量 场, 则如下三个论断等价:
(1) F (P,Q, R) 是 有势场;
(2) F (P,Q, R) 是 无旋场;
(3) F (P,Q, R) 是 保守场.
分析 : (1) (2) (3) (1).
grad F (P,Q, R) rotF 0 F ds 0
再计算
( x,y,z)
( x, y, z)
F ds
( x0 , y0 ,z0 )
( x,y,z)
(Pdx Qdy Rdz)
( x0 , y0 ,z0 )
选择合适的路径, 得出结果
( x, y, z) x2 yz xy2z xyz2 C.
也可以采用例1中类似的方法,求出 .
例 3 设f , g, h是单变量的连续函数 , 计算
作业(习题集)
习题19-4 1(2); 2(3); 4(2); 5.
z
R.
注 : 求势函数的方法
(1) 第18章定理中的方法 ,选择特殊路径;
(2) 根据 P, Q, R 之一,
x y z
解出一个 (含有待定的一个二元函 数),
然后逐个代入剩下的两个方程, 解出 .
例1求F
(1
1 y
y, z
x z
x y2
,
xy z2
)
的势函数.
解：先验证是有势场
i jk
x1
y1
z1
例 4 设f是单变量的连续函数 , 计算
( x2 ,y2 ,z2 ) f ( x y z)(dx dy dz). ( x1 , y1 ,z1 )
解 : 因为f是单变量的连续函数 , 所以它的原函数 存在, 记为 F . 设 ( x, y, z) F ( x y z), 可见 d( x, y, z) f ( x y z)(dx dy dz),
构造
求偏导 斯托克斯公式
证 : (1) (2)
由(1)知, 存在函数 使得 P, Q, R.
x y z 于是有 :
i jk
rotF x
y
z
0
x y z
故 F (P,Q, R) 是 无旋场.
(2) (3) 设 F (P,Q, R) 是 无旋场, 在V 中任取一条封闭曲线 , 并在V 内做一个 以 为边界的曲面 S, 则由斯托克斯公式可知:
grad F (P,Q, R) P, Q, R.
x y z
定义 2 设 F 是定义在区域V R3 上的一个向量 场, 如果对含于V 中的任一条封闭曲线 , 都有
F ds 0, 则称 F 是V上的一 个 保守场.
定义 3 设 F 是定义在区域V R3 上的一个向量 场, 如果 rotF F 0 在V上 恒成立, 则称 F 是V上的一个无旋场.
故 ( x2 ,y2 ,z2 ) f ( x y z)(dx dy dz) ( x1 , y1 ,z1 ) ( x2 , y2 , z2 ) ( x1, y1, z1 ) F( x2 y2 z2 ) F( x1 y1 z1 ) x2 y2z2 f (t )dt. x1 y1 z1
故 ( x2 ,y2 ,z2 ) f ( x)dx g( y)dy h(z)dz ( x1 , y1 .z1 )
? ( x2 , y2 , z2 ) ( x1, y1, z1 )
F( x2 ) G( y2 ) H(z2 ) (F( x1 ) G( y1 ) H(z1 ))
x2 f (t )dt y2 g(t )dt z2 h(t)dt
故 F (P,Q, R) 是 保守场.
(3) (1)设 F (P,Q, R) 是 保守场, F ds 0.
根据第18章的积分与路径无关性定理, 知
在V内存在( x, y, z),使d Pdx Qdy Rdz ,
即存在
满足
x
P,
y
Q,
2008／06／05
§19.2 有势场和势函数
定义 1 设V R3 为一区域, 在V上定义了一个 向量场 F (P,Q, R). 如果存在V上的一个数量 场 ( x, y, z), 使得 grad F (P,Q, R) 在V上 恒成立, 则称向量场 F 是有势场, 数量场 称 为向量场 F 的一个势函数.
rotF x
y
z 0.
PQR
由 1 1 y , 得
x
( x,
y, z)
x(1
1 y
y z
)
1
(
y, z),
代入
y
x z
x y2 ,
z
xy z2
,
得 1 0, 1 0.
y
z
所以 1( y, z) C, ( x, y, z) x(1 1 y) C.
yz
也可以按照一般的方法求解, 注意起点的选取.
( x2 ,y2 ,z2 ) f ( x)dx g( y)dy h(z)dz. ( x1 , y1 .z1 )
解 : 因为f , g, h是单变量的连续函数 , 所以它们 的原函数存在, 分别记为 F ,G, H . 则 (x, y, z) F(x) G( y) H(z) 满足
d( x, y, z) f ( x)dx g( y)dy h(z)dz.
例 2 证明向量场 F ( yz(2x y z), xz( x 2 y z), xy( x y 2z)) 是有势场, 并求其势函数.
解：先验证是有势场 rotF
i
x yz(2x y z)
j
y xz( x 2 y z)
k
0.
z
xy( x y 2z)
故 F 是有势场.
定理 1 设 F 是定义在区域V R3 上的一个向量 场, 则如下三个论断等价:
(1) F (P,Q, R) 是 有势场;
(2) F (P,Q, R) 是 无旋场;
(3) F (P,Q, R) 是 保守场.
分析 : (1) (2) (3) (1).
grad F (P,Q, R) rotF 0 F ds 0
再计算
( x,y,z)
( x, y, z)
F ds
( x0 , y0 ,z0 )
( x,y,z)
(Pdx Qdy Rdz)
( x0 , y0 ,z0 )
选择合适的路径, 得出结果
( x, y, z) x2 yz xy2z xyz2 C.
也可以采用例1中类似的方法,求出 .
例 3 设f , g, h是单变量的连续函数 , 计算
作业(习题集)
习题19-4 1(2); 2(3); 4(2); 5.
z
R.
注 : 求势函数的方法
(1) 第18章定理中的方法 ,选择特殊路径;
(2) 根据 P, Q, R 之一,
x y z
解出一个 (含有待定的一个二元函 数),
然后逐个代入剩下的两个方程, 解出 .
例1求F
(1
1 y
y, z
x z
x y2
,
xy z2
)
的势函数.
解：先验证是有势场
i jk
x1
y1
z1
例 4 设f是单变量的连续函数 , 计算
( x2 ,y2 ,z2 ) f ( x y z)(dx dy dz). ( x1 , y1 ,z1 )
解 : 因为f是单变量的连续函数 , 所以它的原函数 存在, 记为 F . 设 ( x, y, z) F ( x y z), 可见 d( x, y, z) f ( x y z)(dx dy dz),
构造
求偏导 斯托克斯公式
证 : (1) (2)
由(1)知, 存在函数 使得 P, Q, R.
x y z 于是有 :
i jk
rotF x
y
z
0
x y z
故 F (P,Q, R) 是 无旋场.
(2) (3) 设 F (P,Q, R) 是 无旋场, 在V 中任取一条封闭曲线 , 并在V 内做一个 以 为边界的曲面 S, 则由斯托克斯公式可知:
grad F (P,Q, R) P, Q, R.
x y z
定义 2 设 F 是定义在区域V R3 上的一个向量 场, 如果对含于V 中的任一条封闭曲线 , 都有
F ds 0, 则称 F 是V上的一 个 保守场.
定义 3 设 F 是定义在区域V R3 上的一个向量 场, 如果 rotF F 0 在V上 恒成立, 则称 F 是V上的一个无旋场.
故 ( x2 ,y2 ,z2 ) f ( x y z)(dx dy dz) ( x1 , y1 ,z1 ) ( x2 , y2 , z2 ) ( x1, y1, z1 ) F( x2 y2 z2 ) F( x1 y1 z1 ) x2 y2z2 f (t )dt. x1 y1 z1
故 ( x2 ,y2 ,z2 ) f ( x)dx g( y)dy h(z)dz ( x1 , y1 .z1 )
? ( x2 , y2 , z2 ) ( x1, y1, z1 )
F( x2 ) G( y2 ) H(z2 ) (F( x1 ) G( y1 ) H(z1 ))
x2 f (t )dt y2 g(t )dt z2 h(t)dt