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抛物线知识点总结抛物线是数学中的一个重要概念，它在物理学、工程学以及计算机科学等领域中都有广泛的应用。
本文将通过对抛物线的定义、性质、方程、应用等方面进行综合性的讨论和总结。
第一部分：抛物线的定义和性质（500字左右）抛物线是一种特殊的曲线，其形状呈现出对称的特点。
它的定义可以通过以下方式描述：当一个动点沿着平面内一条固定的直线运动，且同时受到一个固定点的引力作用时，该点所绘制的轨迹就是抛物线。
抛物线具有以下几个基本性质：1. 对称性：抛物线以其顶点为对称轴。
2. 镜像性：抛物线上的任意两点关于对称轴对称。
3. 切线性：抛物线上的任意一点处的切线与对称轴垂直。
第二部分：抛物线的方程（500字左右）抛物线的方程可以通过以下方式表示：1. 标准型方程：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
- 当a > 0时，抛物线开口向上。
- 当a < 0时，抛物线开口向下。
2. 顶点式方程：y = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点的坐标。
3. 参数方程：x = at^2 + bt + c，y = dt^2 + et + f，其中a、b、c、d、e、f为常数。
第三部分：抛物线的性质和应用（1000字左右）抛物线的性质和应用非常广泛，下面将从物理学、工程学、计算机科学等角度进行具体介绍。
1. 物理学中的应用：- 抛物线可以用来描述抛体运动的轨迹，如平抛运动和自由落体运动。
- 抛物线还可以用来模拟火箭的飞行轨迹、子弹的弹道等。
2. 工程学中的应用：- 抛物线的对称性和稳定性使得它成为桥梁、拱门、天桥等建筑物的设计和建造中常用的形状。
- 抛物线的反射特性被广泛应用于太阳能聚光器、摄影反射器等领域。
3. 计算机科学中的应用：- 抛物线方程可以用来生成计算机图形学中的二维曲线，如绘制动画、设计游戏等。
- 抛物线的运动模型常被用于估算物体的轨迹、模拟运动物体的路径等。
九年级抛物线知识点总结抛物线是初中数学中的重要内容之一，本文将对九年级抛物线的相关知识点进行总结。
抛物线作为二次曲线的一种，具有独特的性质和特点。
让我们来一起了解一下。
一、抛物线的定义与特点抛物线可以由平面上一动点P与一定点F和直线l的位置关系定义：点P到定点F的距离与点P到直线l的距离相等。
抛物线的特点如下：1. 拋物线的对称性：抛物线以其顶点为对称轴对称。
2. 抛物线的焦点和准线：焦点是定点F，准线是直线l。
3. 抛物线的开口方向：开口朝上或开口朝下。
二、抛物线方程抛物线的方程一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数且a ≠ 0。
通过给定的条件可以确定抛物线方程的具体形式。
1. 顶点形式：y = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点的坐标。
2. 标准形式：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为实数。
3. 焦点和准线形式：(x - p)^2 = 4a(y - q)，其中焦点为(p, q)。
三、抛物线的性质1. 对称性：抛物线以其顶点为对称轴对称。
即对于抛物线上任意一点P(x, y)，顶点为V(h, k)，则有P对称于V的点P'(2h - x, y)也在抛物线上。
2. 焦距与准线的关系：焦点到抛物线上任意一点的距离等于焦点到准线的距离。
3. 切线与法线：抛物线上一点的切线与此点到焦点的连线垂直。
4. 定点运动问题：抛物线可以描述物体在重力作用下的运动轨迹，例如抛体、自由落体等的轨迹。
四、常见的抛物线应用1. 经典物理问题：抛体运动、自由落体等问题。
2. 电磁波的反射与折射：例如抛物面反射天线、焦点反射器等。
3. 光学成像问题：例如抛物面反射镜、探照灯、聚光灯等。
五、习题示例1. 求抛物线y = 2x^2 + 3x + 1的顶点坐标和开口方向。
2. 已知抛物线的顶点坐标为V(-1, 2)，求抛物线的方程。
3. 已知焦点为F(3, -4)，准线为y = -8，求抛物线的方程。
抛物线及其性质1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.开口方向 右左上下 标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =>22(0)x py p =->焦 点位 置 X 正X 负Y 正Y 负焦 点坐 标 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准 线方 程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范 围 0,x y R ≥∈0,x y R ≤∈0,y x R ≥∈0,y x R ≤∈对 称轴 X 轴X 轴Y 轴Y 轴顶 点坐 标 （0,0）离心率 1e =通 径 2p焦半径11(,)A x y 12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+焦点弦长AB12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦长AB 的补充11(,)A x y22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，22sin p AB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α=2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：(1)范围：因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧， 当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点(,0)2p F ，准线2px -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||． 弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。
抛物线的简单几何性质抛物线是数学中一个经典的曲线，由于其独特的形状和广泛的应用，它被广泛研究和使用。
本文将介绍抛物线的一些简单的几何性质。
1. 抛物线的定义抛物线是指平面上的一类曲线，其定义为平面上离定点（焦点）距离与定直线（准线）距离相等的点的集合。
这个定义可以用数学表达式来描述，即：y = ax^2 + bx + c其中 a、b 和 c 是常数，a 不等于 0。
这个方程描述了平面上所有满足以上条件的点的集合，即抛物线。
2. 抛物线的对称性抛物线具有轴对称性，即它关于某一直线对称。
这条直线称为抛物线的对称轴。
对称轴与抛物线的顶点有关，顶点是抛物线的最高点或最低点。
对于抛物线的标准方程y = ax^2 + bx + c，对称轴的公式为x = -b/(2a)。
3. 抛物线的顶点抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点，位于抛物线的对称轴上。
对于标准方程y = ax^2 + bx + c，顶点的 x 坐标可以通过-b/(2a)计算得出。
将其代入方程中得到对应的 y坐标。
4. 抛物线的焦点和准线在抛物线的定义中提到了焦点和准线。
焦点是一个点，位于抛物线的对称轴上，与抛物线上的所有点到准线的距离相等。
准线是一个直线，与抛物线不相交，且与焦点的距离相等。
焦点的计算可以使用以下公式：F(x, y) = (x, y)，其中 x = -b/(2a)，y = (1 - (b^2 - 4ac))/(4a)准线的方程为y = (1 - (b^2 - 4ac))/(4a)。
5. 抛物线的焦距和方向焦距是指焦点到准线的距离，也可以视为焦点到对称轴的垂直距离。
焦距的计算公式为f = 1/(4a)。
由此可见，焦点到对称轴的距离与 a 的值有关。
当 a 的值越小，焦距越大，抛物线会变得扁平；当 a 的值越大，焦距越小，抛物线会变得尖锐。
根据 a 的正负，抛物线的方向也会有所不同。
当 a 大于 0 时，抛物线开口朝上；当 a 小于 0 时，抛物线开口朝下。
初中抛物线知识点在初中数学的学习中，抛物线是一个重要的知识点。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，还为我们解决实际问题提供了有力的工具。
接下来，让我们一起深入了解抛物线的相关知识。
一、抛物线的定义抛物线是指平面内到一个定点 F 和一条定直线 l 距离相等的点的轨迹。
其中，定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。
二、抛物线的标准方程初中阶段，我们主要学习两种常见的抛物线标准方程：1、当抛物线的焦点在 x 轴正半轴上时，标准方程为 y²＝ 2px（p ＞ 0），其中 p 为焦点到准线的距离。
2、当抛物线的焦点在 y 轴正半轴上时，标准方程为 x²＝ 2py（p ＞ 0）。
以 y²＝ 2px 为例，焦点坐标为（p/2，0），准线方程为 x ＝ p/2。
三、抛物线的图像特征1、对称性抛物线关于其对称轴呈轴对称。
对于 y²＝ 2px，对称轴为 x 轴；对于 x²＝ 2py，对称轴为 y 轴。
2、开口方向当 p ＞ 0 时，y²＝ 2px 开口向右，x²＝ 2py 开口向上；当 p ＜ 0 时，y²＝ 2px 开口向左，x²＝ 2py 开口向下。
3、顶点抛物线的顶点位于对称轴与抛物线的交点处。
对于 y²＝ 2px，顶点为（0，0）；对于 x²＝ 2py，顶点也为（0，0）。
四、抛物线的性质1、焦半径抛物线上一点到焦点的距离叫做焦半径。
对于抛物线 y²＝ 2px 上一点（x₀，y₀），其焦半径为 x₀＋ p/2 。
2、通径通过焦点且垂直于对称轴的弦叫做通径。
对于 y²＝ 2px，通径长为2p 。
3、抛物线的平移抛物线的平移遵循“上加下减，左加右减”的原则。
例如，将抛物线y ＝ x²向上平移 2 个单位得到 y ＝ x²＋ 2 ；向左平移 3 个单位得到 y＝（x ＋ 3)²。
抛物线的定义与性质抛物线是由平面上一点P到一个定点F的距离与点P到一条直线L的距离相等的轨迹。
在平面直角坐标系中，抛物线的方程可以表示为y = ax² + bx + c，其中a、b、c是常数，a ≠ 0。
抛物线具有许多有趣的性质，下面将逐一介绍。
性质一：焦点和直线L抛物线的焦点是定点F，直线L是平行于y轴的直线，距离焦点F的垂直距离是h。
根据抛物线的定义，对于任意一点P(x, y)在抛物线上，我们可以得到以下关系：PF = PL√[(x - p)² + (y - q)²] = |y - h|其中，(p, q)是抛物线的顶点。
性质二：焦半径焦半径是从焦点F到抛物线上任意一点P的线段。
根据性质一中的等式，我们可以得到焦点与抛物线上的任意一点之间的距离PF与抛物线切线的夹角θ满足以下关系：PF = |PC|cosθ其中，切线的斜率可以通过抛物线的方程求出。
性质三：对称轴抛物线的对称轴是直线x = p，其中p是抛物线的顶点的横坐标。
对称轴将抛物线分成两个对称的部分，具有关于对称轴的对称性。
性质四：焦点的坐标对于抛物线y = ax² + bx + c，焦点的横坐标可以通过以下公式计算：p = -b / (2a)焦点的纵坐标可以通过以下公式计算：q = c - b² / (4a)性质五：切线与法线抛物线上的任意一点P的切线与该点的法线垂直，并且共线。
对于抛物线y = ax² + bx + c，点P(x0, y0)处的切线的斜率可以通过以下公式计算：m = 2ax0 + b点P处的切线的方程可以表示为：y - y0 = m(x - x0)该切线的法线与切线斜率的乘积为-1。
性质六：焦点的几何意义抛物线的焦点F到任意一点P的线段PF的长度与FP的长度相等。
这说明，焦点是抛物线上各点到抛物线的一条对称轴的距离之差的等分点。
性质七：离心率离心率是抛物线焦点到抛物线对称轴的距离与焦点到抛物线上任意一点P的距离之比的绝对值。
完整版)抛物线知识点归纳总结抛物线是一种经典的二次函数图像，具有许多重要的特点和性质。
以下是对抛物线知识点的详细总结。
1.定义：抛物线是平面上一点P到定点F的距离等于点P到定直线上一点的距离的轨迹。
2.构成：抛物线由平面上的点集组成，由对称轴与焦点决定。
3. 表达式：一般形式的抛物线方程是y=ax^2 + bx + c，其中a、b、c是实数且a不等于0。
4.开口方向：抛物线开口方向由a的正负决定，如果a大于0，抛物线开口向上；如果a小于0，抛物线开口向下。
5.对称轴：抛物线的对称轴是一条与抛物线的开口方向垂直的直线，由方程x=-b/2a给出。
6. 焦点：抛物线的焦点是与抛物线上任意一点的距离相等的定点F，其坐标为((-b/2a), (4ac-b^2)/4a)。
7.直径：抛物线的直径是通过焦点且与抛物线相交于两点的直线。
8.非退化抛物线：当a不等于0时，抛物线是非退化的，并且它的对称轴是直线x=-b/2a。
9.顶点：抛物线的顶点是抛物线上最高或最低的点，它是通过对称轴的纵坐标最小（或最大）的点。
10.切线：抛物线上任意一点的切线是通过该点并且与抛物线仅有一个交点的直线。
11.弦：抛物线上的弦是通过抛物线上两个点并且与抛物线仅有两个交点的线段。
12. 与X轴交点：抛物线与X轴的交点可通过求解方程ax^2 + bx +c = 0得到。
13.与Y轴交点：抛物线与Y轴的交点是抛物线上当x=0时的点，即把x替换为0后求解方程得到。
14.对称性：抛物线具有关于对称轴对称的性质，即对称轴上的一点关于对称轴上的另一点的映射是自身。
15.焦点和直角三角形：抛物线上两点和焦点构成的三角形是直角三角形。
16.抛物线的图像：抛物线的图像是一个开口朝上或朝下的弧线，形状可以通过方程中的系数来确定。
17.抛物线的平移：抛物线可以通过平移来改变其位置，平移的方式是通过方程中的常数项来实现。
18.抛物线的拉伸/压缩：通过改变抛物线方程中的a的值，可以改变抛物线的宽度。
高二抛物线必背知识点讲解抛物线是高中数学中的一个重要概念，也是高二阶段的必备知识点之一。
掌握抛物线的性质和相关的公式是解决与之相关问题的基础。
本文将为你详细介绍高二抛物线的必背知识点，包括抛物线的定义、性质以及常用公式等。
1. 抛物线的定义抛物线是平面上一条特殊的曲线，其定义可由以下几个要素描述：- 定点（焦点）F，是抛物线上的一个确定点。
- 定直线（准线）L，是与抛物线相交于抛物线的两个分支的对称轴。
- 定义抛物线上的点P到焦点F的距离与点P到准线L的距离的比例保持不变。
2. 抛物线的性质抛物线具有以下几个重要性质：- 对称性：抛物线关于准线对称。
- 焦点性质：焦点是抛物线上所有点到准线距离与焦距的比例值保持不变的点。
- 直角性质：抛物线的准线与焦点连线之间的夹角是直角。
- 切线性质：过抛物线上一点的切线平行于准线，且焦点到切点的线段与准线垂直。
3. 抛物线的基本公式- 标准方程：y = ax^2 + bx + c（其中a、b、c为常数，并且a ≠ 0）。
标准方程可以用来描述抛物线的形状、位置和方向。
- 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)），其中f(x)为抛物线的方程。
- 对称轴方程：x = -b/2a。
对称轴是与抛物线两支对称的直线。
- 焦点坐标：抛物线的焦点坐标为（-b/2a，c - (b^2 - 1)/4a）。
- 焦距：抛物线的焦距为|4a|，用来确定焦点到准线的距离。
4. 抛物线的常见变形除了标准的抛物线方程之外，抛物线还有一些常见的变形形式：- 平移：将抛物线相对于坐标系的原点平移至任意位置。
- 平拉伸：通过调整a的值，控制抛物线在x轴和y轴方向上的缩放。
- 旋转：通过调整b的值，使抛物线绕着顶点旋转。
5. 抛物线的应用抛物线在现实生活中有许多应用，例如：- 炮弹的发射轨迹：抛物线方程可以用来描述炮弹在重力作用下的弹道轨迹。
- 卫星天线的调节：抛物线的反射性质可以用来调节卫星天线的接收角度。
超详细抛物线知识点归纳总结抛物线是一个经典的二次曲线，它的形状类似于一个向上开口或向下开口的U 形曲线。
在数学和物理学中，抛物线具有许多重要的性质和应用。
下面是超详细的抛物线知识点总结：1. 基本定义：抛物线是平面上到定点（焦点）和定直线（准线）之距离相等的点的轨迹。
准线与抛物线的交点被称为顶点，准线上两个焦点和顶点的中垂线被称为对称轴。
2. 标准方程：一般抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数。
通过变换可以将一般方程转化为其他形式，如顶点形式、焦点形式和准线形式。
3. 顶点形式：顶点形式的抛物线方程为 y = a(x-h)^2 + k，其中 (h,k) 是顶点的坐标。
通过平移和缩放可以将一般方程转化为顶点形式。
4. 焦点形式：焦点形式的抛物线方程为 (x-h)^2 = 4p(y-k)，其中 (h,k) 是顶点的坐标，p 是焦距的一半。
焦点形式可以直接得到焦点坐标。
5. 准线形式：准线形式的抛物线方程为 y = px^2，其中 p 是焦距的一半。
准线形式的焦点在原点，并且准线是 x 轴。
6. 直径和焦距：抛物线的直径是通过顶点且与曲线相切的直线段。
焦距是焦点到准线的垂直距离。
7. 对称性：抛物线是关于对称轴对称的。
即曲线上任意一点关于对称轴对称的点，其到焦点和准线的距离相等。
8. 切线与法线：抛物线上任意一点处的切线是通过该点且与曲线相切的直线。
切线的斜率等于该点处的导数。
法线是与切线垂直的直线，其斜率是切线斜率的负倒数。
9. 焦点与直角焦点：焦点是到准线距离等于到抛物线上一点距离的点。
直角焦点是到准线距离等于到抛物线上一点距离的点，并且该点与焦点、准线之间的连线与准线垂直。
10. 焦半径：焦半径是焦点与抛物线上任意一点的连线与准线的夹角的二倍。
11. 焦散性质：抛物线的焦点到抛物线上任意一点的距离可以通过反射性质来得到。
即经过抛物线上某点的光线经过反射后都通过焦点。
抛物线知识点归纳总结抛物线是解析几何中的一个重要概念，它在物理、数学等领域都有着广泛的应用。
本文将对抛物线的知识点进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、抛物线的定义。
抛物线是平面上到定点的距离与到定直线的距离之差等于常数的动点轨迹。
通俗地讲，抛物线是一种特殊的曲线，其形状呈现出两个对称的平滑弧线。
二、抛物线的标准方程。
1. 抛物线的标准方程通常写作，y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
2. 抛物线开口方向由a的正负决定，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 当抛物线与y轴相交时，x=0，代入方程得到抛物线的顶点坐标。
三、抛物线的性质。
1. 对称性，抛物线关于其顶点对称。
2. 切线性质，抛物线上任意一点处的切线与该点处的切线平行于抛物线的对称轴。
3. 焦点和准线，抛物线的焦点是到定点的距离等于到定直线的距离之差的定点，准线是到定点的距离等于到定直线的距离之差的定直线。
4. 焦距，抛物线焦点到顶点的距离称为抛物线的焦距。
四、抛物线的应用。
1. 物理学中，抛物线运动是一种常见的运动形式，如抛体运动、炮弹发射等都可以用抛物线来描述。
2. 工程学中，抛物线的形状被广泛运用在建筑、桥梁、汽车等设计中，具有良好的结构稳定性。
3. 数学学科中，抛物线是解析几何和微积分中的重要概念，对于理解曲线的性质和方程有着重要意义。
五、抛物线的变形。
1. 抛物线的平移，通过平移变换可以使抛物线的顶点不位于原点，而是位于任意一点，这时抛物线的标准方程需要经过变换。
2. 抛物线的缩放，通过缩放变换可以改变抛物线的大小，使其开口更大或更小。
3. 抛物线的旋转，通过旋转变换可以使抛物线绕着定点旋转一定角度，这时抛物线的标准方程也需要相应的变换。
六、抛物线的求解。
1. 已知顶点坐标和另一点坐标时，可以直接代入抛物线的标准方程求解抛物线的具体方程。
2. 已知焦点和准线时，可以利用焦点和准线的性质来求解抛物线的具体方程。
抛物线的简单性质【学习目标】 1．知识与技能：掌握抛物线的范围、对称性、定点、焦点、准线、离心率、顶点、通径，理解2p 和e 的几何意义，初步学习利用方程研究 曲线性质的方法．2．过程与方法：通过曲线的方程来研究曲线性质的方法，让学生体会数形结合的思想、方程思想及转化的思想在研究和解决问题中的应用．3．情感态度与价值观：通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，感受知识的发生发展过程，力求使学生获得符合时代要求的“双基”【要点梳理】要点一：抛物线标准方程2(0)2y =px p >的几何性质1． 对称性观察图象，不难发现，抛物线y 2=2px （p ＞0）关于．．x ．轴对称．．．，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴．．．．．．．． 2． 范围抛物线y 2=2px （p ＞0）在y 轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标（x ，y ）的横坐标满足不等式x ．≥0．．；当x 的值增大时，|y |也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线．3． 顶点抛物线和它轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是坐标原点．．．．（0，0）． 4． 离心率抛物线上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率．用e 表示，e ．=1．．． 5． 通径通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径．因为通过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为,2p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以抛物线的通径长为．．．．2．p ．．这就是抛物线标准方程中2p 的一种几何意义．另一方面，由通径的定义我们还可以看出，p 刻画了抛物线开口的大小，p 值越大，开口越宽；p 值越小，开口越窄．6． 焦半径抛物线上任意一点M 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径 焦半径公式：抛物线22(0)y px p =>，0022p pPF x x =+=+；抛物线22(0)y px p =->，0022p pPF x x =-=-； 抛物线22(0)x py p =>，0022p pPF y y =+=+； 抛物线22(0)x py p =->，0022p pPF y y =-=-． 7． 焦点弦定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦．设过抛物线22(0)y px p =>焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，设1122(,)(,)A x y B x y ， 焦点弦公式：焦点弦 12()AB p x x =++； 同理： 若抛物线为22(0)y px p =->，则12()AB p x x =-+； 若抛物线为22(0)x py p =>， 则12()AB p y y =++； 若抛物线为22(0)x py p =->，则12()AB p y y =-+． 有关性质： ①124px x =和212y y p =-. 2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩2220p y y p k ⇒--=和22222(2)04k p k x k p p x -++=212y y p ⇒=-和124x x ②若已知过焦点的直线倾斜角θ，则22sin pAB θ=；当θ=900时，|AB |的最小值等于2p ，这时的弦叫抛物线的通径．（过焦点且垂直于对称轴的相交弦）.③以AB 为直径的圆必与准线l 相切．④焦点F 对A 、B 在准线上射影的张角为90︒．⑤112AF BF p+=． 要点诠释：（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但没有渐进线； （2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心； （3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线； （4）抛物线的离心率是确定的，为1. 要点二：抛物线标准方程几何性质的对比图形标准方程 y 2=2px （p ＞0） y 2=－2px （p ＞0） x 2=2py （p ＞0） x 2=－2py （p ＞0）顶点 O （0，0）范围 x ≥0，y R ∈x ≤0，y R ∈y ≥0，x R ∈y ≤0，x R ∈ 对称轴 x 轴y 轴焦点 ,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭离心率 e =1准线方程 2px =-2p x = 2p y =-2p y = 焦半径 0||2p MF x =+ 0||2pMF x =- 0||2p MF y =+0||2pMF y =-要点诠释：（1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；（2）标准方程中的参数p 的几何意义是指焦点到准线的距离；p ＞0恰恰说明定义中的焦点F 不在准线l 上这一隐含条件；参数p 的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p 的值，才易于确定焦点坐标和准线方程．要点三：直线和抛物线的位置关系 1． 点和抛物线的位置关系将点P (x 0，y 0)代入抛物线y 2=2px (p >0)：若2020y px ->，则点在抛物线外； 若202=0y px -，点在抛物线上； 若2020y px -<，则点在抛物线内．2． 直线和抛物线的位置关系有三种：相交、相切、相离．将直线方程和抛物线方程联立，消元转化为关于x （或y 的）方程组：Ax 2+Bx +C =0（或Ay 2+By +C =0），其中A ，B ，C 为常数若A =0，则直线和抛物线相交（直线与抛物线的对称轴平行），有一个交点； 若A ≠0，计算判别式2=4B AC ∆ ：若0∆>，则直线和抛物线相交（有两个交点）；若=0∆，则直线和抛物线相切（有一个交点）； 若=0∆，则直线和抛物线相离（无交点）； 2． 判断直线和抛物线位置关系的操作程序：要点诠释：（1）在判断直线和抛物线位置关系时，不要忽略直线和抛物线的对称轴平行的情况； （2）若直线和抛物线相交于点()111,P x y ，()222,P x y ，则相交弦的弦长()()22212121212||1|1+4PP k x x k x x x x ⎡⎤=+-+-⎣⎦或()2121212122211||1|14(0)PP y y y y y y k k k ⎛⎫⎡⎤=+-=++-≠ ⎪⎣⎦⎝⎭． 要点四：抛物线的光学性质过抛物线上一点可以作一条切线，过切点所作垂直于切线的直线叫做抛物线在这点的法线． 抛物线的法线有一条重要性质：经过抛物线上一点作一直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这点与焦点连线的夹角．如图．抛物线的这一性质在技术上有着广泛的应用．例如，在光学上，如果把光源放在抛物镜的焦点F 处，射出的光线经过抛物镜的反射，变成了平行光线，汽车前灯、探照灯、手电筒就是利用这个光学性质设计的．反过来，也可以把射来的平行光线集中于焦点处，太阳灶就是利用这个原理设计的【典型例题】类型一：抛物线的几何性质【高清课堂：双曲线的方程 358821例1】 例1． （1）写出抛物线214y x =的焦点坐标、准线方程； （2）已知抛物线的焦点为(0,2),F -写出其标准方程；（3）已知抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为3，求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程． x y 平行于轴法线切线O【解析】（1）抛物线214y x =的标准方程为24x y =，因为2p =4，所以焦点坐标为（0，1），准线方程为1y =-．（2）因为抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，且2p=2，所以4p =，从而所求抛物线的标准方程为28x y =-． （3）由已知得3p =，所以所求抛物线标准方程为26y x =，焦点坐标为3(,0)2，准线方程为32x =-．【总结升华】讨论抛物线的方程和几何性质时要注意抛物线的焦点轴和几何量,,22pp p 的 区别与联系．举一反三：【变式】已知抛物线的标准方程是26y x =，求它的焦点坐标和准线方程【答案】因为p =3，所以焦点坐标是3(,0)2准线方程是32x =-例2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M （M ，－3）到焦点的距离为5，求M 的值、抛物线的方程和准线方程．【解析】解法一：因为顶点在原点，对称轴是y 轴，点M （M ，－3）位于第三或第四象限故设抛物线方程为x 2=－2py （p ＞0），则焦点(0,)2pF -；∵M （M ，－3）在抛物线上且|MF |=5， 故2226(3)52m pp m ⎧=⎪⎨+-+=⎪⎩，解得426p m =⎧⎪⎨=±⎪⎩， ∴26m =±，抛物线方程为x 2=－8y ， 准线方程为y =2．解法二：如图所示：设抛物方程为x 2=－2py （p ＞0），则焦点(0,)2p F -，准线:2pl y =，作M N ⊥l ，垂足为N ，则|M N|=|MF |=5，而||32pMN =+， ∴352p+=，∴p =4， 由M 2=－8 (－3)，得26m =±． ∴26m =±，抛物线方程为x 2=－8y ， 准线方程为y =2．【总结升华】抛物线的定义与方程的形式是解决抛物线几何性质问题时必须要考虑的两个重要因素 举一反三：【变式1】设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点(k ，－2)与F 点的距离为4，则k 的值是( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．2或－2【答案】B【变式2】若抛物线22y ax =的焦点与椭圆22184x y +=的右焦点重合，则a 的值为（ ）A ．-2B ．2C ．-4D ．4类型二：直线和抛物线的位置关系例3． 已知抛物线的方程为2=4y x ，直线l 过定点(-2,1)P ，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线2=4y x ： （1）只有一个公共点；（2）两个公共点；（3）没有公共点?【思路点拨】先定数，在定量：画出草图，确定与抛物线有一个、两个、没有公共点的直线条数；再设出直线l 的方程，与抛物线方程联立，消元，判断一元一次方程或一元二次方程解的个数，从而确定k 的值． 【解析】设直线l 的方程为：()12y k x -=+，联立()2124.y k x y x ⎧-=+⎪⎨=⎪⎩，， 整理得24840ky y k ++= ①．当k =0时，方程①有一个解，此时直线l 方程为y =1，与抛物线有一个公共点； 当k 0≠时，方程①为一元二次方程，判别式()2=1621k k ∆+ ， 当0∆>，即112k <<时，方程①有2个不同的解，所以此时直线l 与抛物线有2个公共点； 当=0∆，即1k = 或12k <时，方程①有1个解，所以此时直线l 与抛物线有1个公共点； 当0∆<，即<1k 或12k >时，方程①有没有解，所以此时直线l 与抛物线有没有公共点； 综上所述，当k =0或1k = 或12k <时，直线l 与抛物线只有1个公共点； 当112k <<时，直线l 与抛物线有2个公共点； 当<1k 或12k >时，直线l 与抛物线有没有公共点． 如图：【总结升华】直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形：一种是直线平行于抛物线的对称轴；另一种是直线与抛物线相切．【变式1】过点(0，2)与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线有（ ）A ． 1条B ． 2条C ． 3条D ． 无数多条 【答案】C【变式2】已知抛物线方程y 2=4x ，当b 为何值时，直线l ：y =x +b 与抛物线：(1)只有一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点． 当直线与抛物线有公共点时，b 的最大值是多少?【解析】联立y =x +b 和y 2=4x ，消去x ，可得一元二次方程：2440y y b +=当()=161=0b ∆ ，即b =1时，直线和抛物线只有一个公共点； 当()=161>0b ∆ ，即b <1时，直线和抛物线有两公共点； 当()=161<0b ∆ ，即b >1时，直线和抛物线没有公共点． 当直线和抛物线有公共点时，b ≤1，所以b 的最大值是1． 类型三：焦点弦和焦半径例4． 斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交于两点A 、B ，求焦点弦长AB 的长． 【解析】方法一：由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F (1，0)， 所以直线AB 的方程为01(1)y x -=⋅-，即1y x =-， ① 将方程①代入抛物线方程24y x =，化简得2610x x -+=， 解这个方程，得132x =+232x =-， 将1322x =+，2322x =-代入方程①中，得122y =+2222y =-，即A （322+222+，B （322-222-， ∴22||(42)(42)8AB =+=.方法二：由抛物线的定义可知，|AF |=AD |=1x ＋1， |BF |＝|B C|=2x ＋1，于是|AB |=|AF ＋|BF |=1x ＋2x ＋2． 在方法一中得到方程2610x x -+=后，根据根与系数的关系可以直接得到 1x ＋2x ＝6， 于是立即可以求出|AB |=6＋2=8．方法三：抛物线24y x =中24p =，直线的倾斜角为4π 所以焦点弦长224==81sin 2p AB θ=. 【总结升华】求抛物线弦长的一般方法： ①用直线方程和抛物线方程列方程组；②消元化为一元二次方程后，应用韦达定理，求根与系数的关系式，而不要求出根，代入弦长公式()()22212121212||1|1+4PP k x x k x x x x ⎡⎤=+-+-⎣⎦特别地，若弦过焦点，即为焦点弦则据定义转化为|AB | ＝ x 1＋x 2 +p 或|AB | ＝y 1＋y 2+p ．结合②中的关系式可求解．体现了转化思想．【变式1】求抛物线22y px =的焦点弦长的最小值．【解析】设焦点弦所在直线的倾角为θ，则直线AB 的方程为：cos sin ()2py x θθ=-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由2cos sin ()22p y x y pxθθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得：222222sin (2cos sin )sin 04p x p x θθθθ-++= 22122(2cos sin )sin p x x θθθ+∴+= 112AB AF BF x x p ∴=+=++2222(2cos 2sin )2sin sin p pθθθθ+== 当2sin 1θ=，即2πθ=时，AB 取最小值2p ．【变式1】已知AB 为抛物线y 2=2px (p >0)的焦点弦，若|AB |=m ，则AB 中点的横坐标为__________． 【解析】AQ ⊥BQ ，P 为Rt △AQB 斜边中点，∴|PQ |=||22AB m =． 设AB 中点的横坐标为x 0，则|P Q|=x 0+2p． ∴x 0+2p =2m ， 得x 0=2m p -． 所以AB 中点的横坐标为2m p-．【变式2】抛物线y2=4x的过焦点的弦长163，则此弦所在直线的倾斜角为__________．【解析】设弦所在直线斜率为k，由y2=4x得焦点F(1，0)，则直线方程为y=k(x-1)．联立y=k(x-1)和y2=4x，消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0，由韦达定理得x1+x2=2224kk+，由抛物线定义知弦长d=x1+x2+p=2224kk++2=163，解得k∴倾斜角为60°或120°．。
