海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （文） 参考答案及评分标准2013．4说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（I）2π1()2)1322f =--=………………2分 因为2()2cos )f x x x =--222(3sin cos cos )x x x x =-+- 22(12sin 2)x x =-+-………………4分212sin 2x x =-+cos22x x =+………………6分π= 2sin(2)6x +………………8分所以 ()f x 的周期为9． 0 10． 21-11.16 12．4 13． 4a >14．2,22π2ππ||2T ω===………………9分 （II ）当ππ[,]63x ∈-时， π2π2[,]33x ∈-，ππ5π(2)[,]666x +∈- 所以当6x π=-时，函数取得最小值()16f π-=-………………11分当6x π=时，函数取得最大值()26f π=………………13分16.解: (I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有100.2540÷=人………………2分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯=………………4分（II ）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.940⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=………………8分（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A ，又恰有两人的两科成绩等级均为A ，所以还有2人只有一个科目得分为A ………………9分设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A 的同学，则在至少一科成绩等级为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为{Ω={甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}},一共有6个基本事件 ………………11分设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A ”为事件B ，所以事件B 中包含的基本事件有1个，则1()6P B =. ………………13分 17.解：（I ）证明：(I) 因为ABC ∆是正三角形，M 是AC 中点， 所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥………………1分又因为PA ABCD ⊥平面，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ⊥………………2分 又PA AC A =I ，所以BD ⊥平面PAC ………………4分 又PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥………………5分（Ⅱ）在正三角形ABC 中，BM =6分 在ACD ∆，因为M 为AC 中点，DM AC ⊥，所以AD CD =30CAD ∠=o ，所以，DM =:3:1BM MD =………………8分 所以::BN NP BM MD =，所以//MN PD ………………9分又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ，所 以//MN 平面PDC ………………11分 （Ⅲ）假设直线//l CD ，因为l ⊂平面PAB ，CD ⊄平面PAB ， 所以//CD 平面PAB ………………12分又CD ⊂平面ABCD ，平面PAB I 平面ABCD AB =，所以//CD AB ……………13分 这与CD 与AB 不平行，矛盾所以直线l 与直线CD 不平行………………14分18.解：（I ）因为2'()f x x k =-………………2分当4k =时，2'()4f x x =-，令2'()40f x x =-=，所以122,2x x ==-'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：………………4分所以()f x 的单调递增区间是(,2)-∞-，(2,)+∞ 单调递减区间是(2,2)-………………6分（II ）令()()g x f x k =-，所以()g x 只有一个零点………………7分因为2'()'()g x f x x k ==-当0k =时，3()g x x =，所以()g x 只有一个零点0 ………………8分 当0k <时，2'()0g x x k =->对R x ∈成立，所以()g x 单调递增，所以()g x 只有一个零点………………9分当0k >时，令2'()'()0g x f x x k ==-=，解得1x =或2x =……………10分所以'(),()g x g x随x的变化情况如下表：()g x有且仅有一个零点等价于(0g<………………11分即2(03g k=<，解得94k<<………………12分综上所述，k的取值范围是94k< (13)分19.解：(I)设椭圆的焦距为2c，因为a=，2ca=，所以1c=………………2分所以1b=所以椭圆C：2212xy+=………………4分（II）设A（1x，1y），B(2x，2y)由直线l与椭圆C交于两点A，B，则22220y kxx y=⎧⎨+-=⎩所以22(12)20k x+-=, 则12x x+=，122212x xk=-+………………6分所以AB==8分点M）到直线l的距离d=10分则GH=………………11分显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线y kx=就是y轴，矛盾，因为AG BH=，所以AB GH=HGB所以22228(1)724()1231k k k k +=-++解得21k =,即1k =±………………14分20.解: (I)因为x ∆+=3(,y x y ∆∆∆为非零整数）故1,2x y ∆=∆=或2,1x x ∆=∆=，所以点(0,0)的“相关点”有8个………………1分又因为22()()5x y ∆+∆=，即2211(0)(0)5x y -+-=所以这些可能值对应的点在以(0,0)3分 (II)设(,)M M M x y ，因为(),()M H L M ττ==所以有|9||3|3M M x y -+-=，|5||3|3M M x y -+-=………………5分 所以|9||5|M M x x -=-，所以7,M x =2M y =或4M y = 所以(7,2)M 或(7,4)M ………………7分(III)当*2,N n k k =∈时，0||n P P 的最小值为0………………8分当=1n 时，可知0||n P P ………………9分当=3n 时，对于点P ，按照下面的方法选择“相关点”，可得300(,+1)P x y ：000(,)P x y →100200300(+2,+1)(+1,+3)(,+1)P x y P x y P x y →→故0||n P P 的最小值为1………………11分当231,,*, N n k k k =+>∈时，对于点P ，经过2k 次变换回到初始点000(,)P x y ，然后经过3次变换回到00(,+1)n P x y ，故0||n P P 的最小值为1综上，当=1n 时，0||n P P 当*2,N n k k =∈时，0||n P P 的最小值为0当21*, N n k k =+∈时，0||n P P 的最小值为1 ………………13分。
