泰勒公式课件98855

) 0
(n
Rn(2 ) 1)n(2 x0
)n1
(2 在 x0 与1 之间)
(n
Rn(n)(n ) 1)2(n
Rn(n)( x0 ) x0 ) 0
Rn(n1)( )
(n 1) !
( 在 x0 与xn 之间),
即
(RxnR( xnx)(0x))nf(1(nn1R1)(()n(nn!)1(1)x()!)x0 )n1.
3. 带有拉格朗日型余项的n阶泰勒(Taylor)公式 定理3.7
直到 n +1 阶的导数, 则对 x (a ,b), 有
f ( x0 )
f ( x0 )( x
x0 )
f ( x0 )( x 2!
x0 )2
f (n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
Rn( x),
其中 Rn( x)
2° 难以估计误差
只知道误差：R1( x) o( x x0 ) 不能具体估计出误差R1( x)的大小.
需要解决的问题: 1° 寻找多项式pn( x)，使得 f ( x) pn( x),
且去掉对于x x0 很小的限制.
2° 给出误差： Rn( x) f ( x) pn( x)
的具体估计式.
例1 求函数f ( x) 1 按( x 1)的幂展开成带有 x
p1( x)
p1( x)
(当f ( x0 ) 0,且 x x0 1时)
O
x0 x x
以直代曲
[ f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) o( x x0 )]
特点:
f ( x0 )
f ( x0 )
不足: 1° 精确度不高 只适用于x x0 很小的x, 当x x0 不是很小时, 误差较大.
pn ( x) a1 2a2( x x0 ) nan( x x0 )n1
pn( x) 2 !a2 n(n 1)an( x x0 )n2
a2
1 2!
pn( x0 )
1 2!
f
( x0 ),
pn(n)( x) n!an
an
1 n!
pn(n)( x0 )
1 n!
f
(n)( x0 ),
f (n1)( )
( (n 1) !
x
x0
)n1(
在
x0
与
x
之间).
带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式
证 令 Rn( x) f ( x) pn( x), 则有
Rn( x0 ) Rn ( x0 ) Rn(n)( x0 ) 0, 且 Rn(n＋1)( x) f (n＋1)( x). ( pn(n1)( x) 0)
x0 )
f ( x0 )( x 2!
x0 )2
f
(n)( x0 n!
)(
x
x0 )n
o(( x
x0 )n
).
带有皮亚诺型余项的n 阶泰勒公式
分析
要证
f ( x0 )
f ( x0 )( x
x0 )
f ( x0 )( x 2!
x0 )2
f (n)( x0 ) ( x n!
x0 )n o((x
pn(要x)求 :f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
1 2!
f
(
x0
)(
x
x0
)2
1 n!
f
(n)(
x0
)(
x
x0
)n
f ( x)在x0处的n阶泰勒多项式
Rn(x) 的确定： 2. 带有皮亚诺型余项的n阶泰勒(Taylor)公式 定理3.6
阶的导数, 则对
有
f ( x0 )
f ( x0 )( x
寻求n次近似多项式： pn( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2 an( x x0 )n, 要求:
求系数 ai : a0 pn( x0 ) f ( x0 ), pn ( x) a1 2a2( x x0 ) nan( x x0 )n1 a1 pn ( x0 ) f ( x0 ),
lim
x x0
(
Rn x
(x) x0 )n
lim
x x0
n(
Rn ( x) x x0 )n1
洛必达法则
lim
x x0
n(n
Rn ( 1)( x
x) x0 )n2
lim Rn(n1)( x)
x x0 n!( x x0 )
1 n!
lim
x x0
Rn(n1)( x) x
Rn( n1) ( x0
x0 )n ),
pn( x)
只需证
lim
x x0
f ( x) pn( x) ( x x0 )n
0.
令 Rn( x) f ( x) pn( x)(称为余项) ,
只需证
lim
x x0
Rn( x) ( x x0 )n
0.
证 令 Rn( x) f ( x) pn( x), 则有
Rn( x0 ) Rn ( x0 ) Rn(n)( x0 ) 0.
x0 )
1 n!
Rn(n)
(
x0
)
0.
注 定理3.6的条件可以减弱：
定理3.6 若f ( x)在x x0处n阶可导，则
f
(x)
n k0
f

(k
)
(
x0
) (
x
k!
x0 )k
o(( x
x0 )n )
提示：证明同上，只需注意到： ( x U ( x0 ) )
f (n)( x0 )存在
f (n1)( x)在x0处可导 f (n1)( x)在某U ( x0 )内有定义 f ( x)在某U( x0 )内n 1阶可导.
第三节
第三章
泰勒公式
一、泰勒（Taylor）公式 二 、麦克劳林（Maclaurin）公式
三 、泰勒公式的应用
一、泰勒(Taylor)公式
1. 泰勒公式的建立 回顾：设 f (x)在 x0 处可导，则
x 的一次 多项式
y
y f (x)
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
pn(x) 的确定: pn( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2 an( x x0 )n,
观察： f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) o( x x0 )
有
f ( x0 ) p1( x) 相交
f ( x0 )
相切
猜 pn(x) 与 f (x) 在x0 处相同的导数的阶数 越高，它们就有可能越接近？
只需证
Rn( x)
f (n1)( )
( (n 1) !
x
x0 )n1.
(
x
Rn( x) x0 )n1
Rn( x) Rn( x0 ) ( x x0 )n1 0
(n
Rn (1) 1)(1
x0
)n
柯西中值定理
(1 在 x0 与 x 之间)
Rn (1) (n 1)(1
Rn ( x0 x0 )n