小学奥数-格点型面积

四年级奥数题及答案-求格点图案面积
【题目】以下这张图里的三个格点图案面积分别是多少?
【解析】
这三个图形都适合用格点面积公式计算面积：
格点多边形面积 = 内格点个数 + 边格点数÷ 2 - 1
这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。

我们先来看喇叭图案：
这个图案周界上有8个格点，图内却没有格点，那么利用格点面积公式我们可以求得这个喇叭形状的面积为：0+8÷2-1=3;
接下来这只小猫的图案：
小猫图案的周界上有20个格点，而图内有2个格点，面积为：2+20÷2-1=11;
小狗图案同理：
我们可以看到小狗图案是由两个格点多边形组成，那我们可以将两个图案分开求解，先求出每个格点多边形的面积，再求出总面积。

躯干面积：0+12÷2-1=5;
尾巴面积：0+4÷2-1=1;
总面积：5+1=6。

我们在计算像小狗图案这样的有两个或以上的独立格点多边形组成的图案时，可以先求每个独立的格点多边形的面积，再进行求和计算总面积，这样可以避免数漏多个独立图形公共格点而导致计算错误。

第2讲 格点与面积【知识梳理】一. 正方形格点面积公式（1）定义：在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形。

（2）公式：右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．下面就看一下其面积的计算。

用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，我们能发现如下规律：12L S N =+-．这个规律就是毕克定理。

二、三角形格点问题（1）定义：所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形。

（2）公式：关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有22S N L =⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2。

【典例精讲】【例1】图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？【训练1】图中相邻两格点间的距离均为1厘米，那么阴影图形的面积分别为多少平方厘米？【例2】图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么阴影图形的面积分别为多少平方厘米？平方厘米？【例3】如图，相邻两格点间的距离均为1厘米，求阴影部分的面积。

【训练3】如图，相邻两格点间的距离均为1厘米，求阴影部分的面积。

米？【训练4】图中每个最小正方形的面积都是4平方厘米，那么阴影图形的面积为多少平方厘米？【能力提升】图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么阴影图形的面积为多少平方厘米？【课后巩固】1.图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么阴影图形的面积是__________平方厘米。

2.图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么阴影图形的面积是___________平方厘米。

学科培优数学“格点与面积”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲知识点比较简单,首次引入面积这个概念,主要是培养学生对图形面积的感觉与认识。

【授课批注】在开始讲解面积这个概念之前可适当复习有关图形周长的概念,帮助学生区分周长和面积。

知识梳理格点图形的概念在一张纸上,先画出一些水平直线和一些竖直直线,并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位),这样在纸上就形成了一个方格网,其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中,以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形。

a)正方形格点正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形b)三角形格点所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”,所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1,以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.【授课批注】讲解格点图形概念的时候最好能借助诸如钉子板之类的道具,提高教学的形象性,更容易让学生理解,加深印象。

【重点难点解析】1．方形格点与三角形格点面积的特点2．格点图形的分割与拼补【竞赛考点挖掘】1．两种格点图形的基本面积计算2．格点图形面积的等量变形例题精讲【试题来源】【题目】判断下列图形哪些是格点多边形？【试题来源】【题目】如右图,计算各个格点多边形的面积.【试题来源】【题目】如右图（a）,计算这个格点多边形的面积.【试题来源】【题目】右图是一个方格网,计算阴影部分的面积．【试题来源】【题目】分别计算右图中两个格点多边形的面积。

【试题来源】【题目】如图“乡村小屋”的面积是多少？【试题来源】【题目】第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕,下面的图形中,每一个小方格的面积是1,那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？习题演练【试题来源】【题目】右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的面积是多少?【试题来源】【题目】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图).如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形,这样得到的三角形中,面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少? 面积等于2平方厘米的三角形有多少个？【试题来源】【题目】在4×7的方格纸板上面有如阴影所示的“6”字,阴影边缘是线段或圆弧．问阴影面积占纸板面积的几分之几?【试题来源】【题目】右图是5×5的方格纸,小方格的面积是1平方厘米,小方格的顶点称为格点.请你在图上选7个格点,要求其中任意3个格点都不在一条直线上,并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大.那么,所围图形的面积是______平方厘米.【试题来源】【题目】如图,每一个小方格的面积都是l平方厘米,那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】如图（a）,有21个点,每相邻三个点成“∵”或“∴”,所形成的三角形都是等边三角形.计算三角形ABC的面积.【试题来源】【题目】如右图,每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,计算△ABC的面积.【试题来源】【题目】如右图,每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的正三角形,计算四边形ABCD 的面积.【试题来源】【题目】把大正三角形每边八等份,组成如右图所示的三角形网.如果大三角形的面积是128,求图中粗线所围成的三角形的面积.【试题来源】【题目】如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米,问：大正六角星形面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米.那么,三角形ABC 的面积是_____平方厘米【试题来源】【题目】把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图l图2),然后适当连接这些等分点,便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米,那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．【试题来源】【题目】如图,如果每一个小三角形的面积是1平方厘米,那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】求下列各个格点多边形的面积【试题来源】【题目】右图是一个8 12面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积.【试题来源】【题目】求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形）.【试题来源】【题目】右图有12个点,相邻两个点之间的距离是1厘米,这些点可以连成多少个面积为2平方厘米的三角形?【试题来源】【题目】将图中的图形分割成面积相等的三块.。

板块一 正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点， 则它的面积为12LS N =+-． 例题精讲格点型面积|初一·数学·基础-提高-精英·学生版| 第1讲 第页2【例 1】 用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？ 面积等于2平方厘米的三角形有多少个？【解析】 面积等于1平方厘米的三角形有32个． 面积等于2平方厘米的三角形有8个．(1)面积等于1平方厘米的分类统计如下：① ② ③底为2，高为1 底为2，高为1 底为1，高为2 3×2=6(个) 3×2=6(个) 3×2=6(个)④ ⑤ ⑥底为1，高为2 底为2，高为1 底为1，高为2 3×2=6(个) 2×2=4(个) 2×2=4(个) 所以，面积等于1平方厘米的三角形的个数有：6+6+6+6+4+4=32(个)． (2)面积等于2平方厘米的分类统计如下：3×2=6(个) 1×2=2(个)所以，面积等于2平方厘米的三角形的个数有：6+2=8(个)．【例 2】 如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有 个．【解析】 根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如右图)．11⨯的正方形：9个；22⨯的正方形：4个；33⨯的正方形：1个；以11⨯正方形对角线为边长的正方形：4个；以12⨯长方形对角线为边长的正方形：2个． 故可以组成9414220++++=(个)正方形．【例3】判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶【解析】根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．【例4】如图，计算各个格点多边形的面积．【解析】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了．方法一：图⑴是正方形，边长是4，所以面积是4416⨯=(面积单位)；图⑵是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑶是三角形，底是5，高是4，所以面积是54210⨯÷=(面积单位)；图⑷是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑸是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是353212+⨯÷=（）(面积单位)；图⑹是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是364218+⨯÷=（）(面积单位)．【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．)方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求．这一种方法很重要，在下面的题目中我们还将使用这种方法！如图⑶，我们利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积的一半．如图⑷，我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易得平行四边形面积．同理，图⑸、⑹也可利用同样的思想．【例5】如图(a)，计算这个格点多边形的面积．【解析】方法一(扩展法)．这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下右图(b)，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积．矩形面积是6424⨯=；直角三角形Ⅰ的面积是：6226⨯÷=；直角三角形Ⅱ的面积是：4224⨯÷=；直角三角形Ⅲ面积是4224⨯÷=；所求三角形的面积是|初一·数学·基础-提高-精英·学生版| 第1讲 第页42464410-++=（）(面积单位)．方法二(割补法)．将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如(c )图．因此三角形的面积是：52252210⨯÷+⨯÷=(面积单位)．【例 6】 (“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【解析】 扩展法．把所求三角形扩展成正方形ABCD 中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的AEF ；另外三个分别是：ABE 、FEC 、DAF ，它们都有一条边是水平放置的，易求它们的面积分别为21.5cm ，22cm ，21.5cm ．所以，图中阴影部分的面积为：33 1.5224⨯-⨯+=（）(2cm )．【例 7】 分别计算图中两个格点多边形的面积．⑴ ⑵【解析】 利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到⑴的面积均为9面积单位．⑵的面积均为10面积单位．【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢？”“格点多边形内部的格点数和周界上的格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下面我们就来探讨一下！在巩固中，我们发现两个图形面积相等．进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是8个；第二个图形边界上的格点数是10个，包含在图形内的格点数也相等，都是6个．【巩固】求下列各个格点多边形的面积．⑵⑴⑷⑶【解析】 ⑴ ∵12L =；10N =，∴1211011522L S N =+-=+-=(面积单位)； ⑵ ∵10L =；16N =，∴1011612022L S N =+-=+-=(面积单位)；⑶ ∵6L =；12N =，∴611211422L S N =+-=+-=(面积单位)；⑷ ∵10L =；13N =，∴1011311722L S N =+-=+-=(面积单位)．用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【例 8】 我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？【解析】 图形内部格点数9N =；图形边界上的格点数20L = ；根据毕克定理， 则1182LS N =+-=(单位面积)．【例 9】 右图是一个812⨯面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．H GFED C BA【解析】 箭形ABCDEFGH 的面积810214842121232246=+÷-+⨯+÷-⨯=++=（）（）(面积单位)．【例 10】 右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？【解析】 图形内部格点数为54，图形周界上格点数为19．所以图形的面积为：54192162.5+÷-=(面积单位)．【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【解析】 方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：(N +L2-1)×单位正方形面积，其中N 为图形内格点数，毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点， 则它的面积为12LS N =+-．|初一·数学·基础-提高-精英·学生版| 第1讲 第页6L 为图形周界上格点数．有N =4，L =7，则用粗线围成图形的面积为：(4+72-1)×1=6．5(平方厘米) 方法二：如右上图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3÷2=1．5，②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l ，⑥=2÷2=1，还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为1．5+l +1+1+1+1+3=9．5，而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9．5=6．5平方厘米．【例 11】 (“小学数学奥林匹克”竞赛试题)55⨯的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是 平方厘米．【解析】 为了使这7个点围成最大的面积，这7个点应尽量在正方形的边或顶点上，如图选取7个点，围成面积最大．最大面积为550.5323.5⨯-⨯=(平方厘米)．【例 12】 (“保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题)第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【解析】 要计算三个数字所占的面积之和，可以先分别求出每个数字所占的面积．显然，图中的三个数字都可以看作格点多边形，根据毕克定理，可以很方便地求出每个数字所占的面积．值得注意的是：数字“7”内部有两个格点，而数字“2”和“1”内部都没有格点．7所占的面积为：215218.5+÷-=；2所占的面积为：242111÷-=；1所占的面积为：17217.5÷-=．所以，这三个数字所占的面积之和为：8.5117.527++=．【例 13】 (第六届“从小爱数学”邀请赛试题)两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分(块状)面积为25.12cm ，右下角的阴影部分(线状)面积为27.4cm ，求大正方形的面积．【解析】 块状部分与线状部分之间的部分称为D ，则D 与前者共14个方格，与后者共17个方格，因此每个方格的面积是2197.4 5.121714cm 25-÷-=（）（）（）大正方形的面积为219cm ．【例 14】 (第六届“华杯赛”试题)图中正六边形ABCDEF 的面积是54，AP =2PF ，CQ =2BQ ，求阴影四边形CEPQ 的面积．B PQFEDCB A【解析】 如图，将正六边形ABCDEF 等分为54个小正三角形．根据平行四边形对角线平分平行四边形面积，PEF 面积3=，CDE 面积9=，四边形ABQP 面积11=．上述三块面积之和为391123++=．因此，阴影四边形CEPQ 面积为542331-=．板块二 三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有22S N L =⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．【例 15】 如图(a )，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形ABC 的面积．(b )(a )(c )(d )【解析】 方法一：如图(b )所示，在ABC 内连接相邻的三个点成DEF ，再连接DC 、EA 、FB 后是ABC可看成是由DEF 分别延长FD 、DE 、EF 边一倍、一倍、二倍而成的，由等积变换不难得到2ACDS=， 3AEBS=，4FBCS=，所以123410S =+++=(面积单位)．方法二：如图(c )所示，作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，这样可以通过数小正三角形的方法，求出ABC 的面积为10．方法三：如图(d )所示：作辅助线可知：平行四边形ARBE 中有6个小正三角形，而ABE 的面积是平行四边形ARBE 面积的一半，即3AEBS=，平行四边形ADCH 中有4个小正三角形，而ADC 的面积是平行四边形ADCH 面积的一半，即2ACDS =．平行四边形FBGC 中有8个小正三角形，而FBC 的面积是平行四边形FBGC 的一半，即：4FBCS =．所以123410S =+++=(面积单位)．【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算ABC 的面积．|初一·数学·基础-提高-精英·学生版| 第1讲 第页8【解析】 因为5N =；3L =：所以22253211S N L =⨯+-=⨯+-=(面积单位)．【例 16】 求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．⑴⑵⑶⑷【解析】 ⑴ ∵7L =；7N =，∴22277219S N L =⨯+-=⨯+-=(面积单位)；⑵ ∵5L =；8N =，∴22285219S N L =⨯+-=⨯+-=(面积单位)； ⑶ ∵6L =；7N =，∴22276218S N L =⨯+-=⨯+-=(面积单位)； ⑷ ∵7L =；8N =，∴22287221S N L =⨯+-=⨯+-=(面积单位)．【例 17】 把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是128，求图中粗线所围成的三角形的面积．【解析】 图中有1357911131564+++++++=(个)小三角形，那么一个小三角形的面积是128642÷=，图形内部格点数为12，图形周界上格点数为4；图形的面积为：2124226⨯+-=(面积单位)，进而得图形的面积为：26252⨯=．【例 18】 如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？【解析】 法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N +L -2)x 单位正三角形面积，其中N 为图形内格点数，L 为图形周界上格点数．有N =9，L =4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)．法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4，所以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为10+2+1+4+3=20(平方厘米)．【例 19】 把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．【解析】 图1中阴影部分占整个三角形面积的1225，图2中阴影部分占整个三角形面积的1649，故图2中阴影部分的面积为294÷12162549=200(平方分米)．【例 20】 将图中的图形分割成面积相等的三块．【解析】 如右图所示．【例 21】 如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？【解析】 如图，涂阴影部分的小正六角星形可分成12个与三角形PMN 全等(能完全重叠地放在一起)的小三角形．而图中的大正六角星形除去小正六角星形后．有6×4=24个与三角形PMN 全等的小三角形，所以大正六角星形的面是小正六角星形的3倍，即48平方厘米．【例 22】 (第五届“华杯赛”试题)正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米．M 是AB 中点，N 是CD 中点，P 是EF 中点．问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米？SRQAB CD EF NM P EB【解析】 将正六边形分成六个面积为1平方厘米的正三角形，再取它们各边的中点将每个正三角形分为4个小正三角形．于是正六边形ABCDEF 被分成了24个小正三角形，每一个小正三角形的面积是|初一·数学·基础-提高-精英·学生版| 第1讲 第页106240.25÷=(平方厘米)，三角形MNP 由9个小正三角形所组成，所以三角形MNP 的面积0.259 2.25=⨯=(平方厘米)．【例 23】 如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么，三角形ABC 的面积是_____平方厘米．【解析】 ABC ABD BCD ACD S S S S ∆∆∆∆=++21221229=⨯+⨯+⨯66()=平方厘米。

这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积，先来介绍什么叫“格点”。

见右图：这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线相交的点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。

借助小格点，我们可以很快地比较和计算图形的面积大小。

利用格点求图形的面积有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形的面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。

当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。

格点面积公式=中间格点数+图形一周的格点数÷2﹢1【典型例题】例1：计算下列各图的面积。

分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法，显然第一、三、五图可以直接数出包含多少个面积单位，而二、四、六显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形的面积来求这些图形的面积。

解：(1)图中长方形的面积包括了3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6个面积单位。

(2)将图中的平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而平行四边形的面积等于长方形的面积，所以平行四边形的面积是3×2=6（个）面积单位。

（3）将图中三角形用虚线分成3块，它包含1个单位面积和2个单位面积的一半，合起来有2个面积单位，所以它的面积是2个面积单位。

（4）图中三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而三角形面积为长方形面积的一半，则三角形面积为3个面积单位。

（5）将图中梯形用虚线分成3块，它包含了有5个单位面积和2个单位面积的一半。

合起来有6个面积单位。

所以它的面积为6个面积单位。

（6）将图中梯形互相平行的一组对边延长，补出一个与原来梯形方向颠倒，但面积一样的梯形，形成一个大的长方形。

长方形面积为（2+4）×3=18，而梯形的面积为长方形面积的一半，所以梯形的面积是（2+4）×3÷2=9（个）面积单位。

小学奥数：格点型面积（毕克定理）板块一正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等（通常规定是1个单位），这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点•在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形.那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数.我们能发现如下规律：S = N - -1 •这个规律就是毕克定理.2毕克定理若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，则它的面积为s=N +丄一1 •2【例1】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵（如右图）•如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于2平方厘米的三角形有多少个？【例3】判断下列图形哪些是格点多边形?【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？（教师总结：面积数值均扩大4倍.）【例【例2】如图，4 4的方格纸上放了 __________ 个.【例【例6】（“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题）右图是一个方格网，计算阴影部分的面积. 【例7】分别计算图中两个格点多边形的面积.【巩固】求下列各个格点多边形的面积.【例8】我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少?⑷【例9】右图是一个8 12面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积.H【例11】 （“小学数学奥林匹克”竞赛试题）5 5的方格纸，小方格的面积是 1平方厘米，小方格的顶点称为格点.请你在图上选 7个格点，要求其中任意 3个格点都不在一条直线上，并且使这 7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大•那么，所围图形的面积是__________ 平方厘米.【例12】 （“保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题 ）第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在 7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是 1 ,那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【例13】 （第六届“从小爱数学”邀请赛试题）两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格.现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分 （块状）面积为5.12cm 2，右下角的阴影部分（线状）面积为7.4cm 2，求大正方形的面积.【例14】 （第六届“华杯赛”试题）图中正六边形 ABCDEF 的面积是54 , AP=2PF , CQ=2BQ ，求阴影四边形CEPQ 的面积.F D【例10】 右图中每个小正方形的面积都是1那么图中这只“狗”所占的面积是多少?板块二三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成•”或“•••”，所形成的三角形都是等边三角形•规定它的面 积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用 S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数， L 表 示图形周界上的格点数，那么有 S=2 N ，L_2，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的 2倍与 周界上格点数的和减去 2.【例15】 如图（a ），有21个点，每相邻三个点成或，所形成的三角形都是等边三角形.计算三角形ABC 的面积.A EF D CB (b)【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为 1的等边三角形，计算 ABC 的面积.【例18】 如图，如果每一个小三角形的面积是 1平方厘米，那么四边形 ABCD 的面积是多少平方厘米?【例16】 （每相邻三个点•”或成面积为 1的等边三角形）.【例17】 把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网•如果大三角形的面积是 粗线所围成的三角形的面积.128,求图中A(a)C 求下列格点多边形的面积 ⑴ ⑵⑶ ⑷【例19】 把同一个三角形的三条边分别 5等分、7等分（如图1，图2），然后适当连接这些等分点，便得至厅若干个面积相等的小三角形•已知图 1中阴影部分面积是 294平方分米，那么图 2中阴影部分的面积是 ______ 方分米.【例20】 将图中的图形分割成面积相等的三块.【例22】 （第五届“华杯赛”试题）正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米.M 是AB 中点，N 是CD 中点，P 是EF 中点.问：三角形 MNP 的面积是多少平方厘米？【例23】 如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是 ____ 方厘米.NNE【例21】 如图涂阴影部分的小正六角星形面积是 16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米?2平方厘米•那么，三角形 ABC 的面积是團I 2。

模块一、正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N=+-．这个规律就是毕克定理．【例1】判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶【例2】如图，计算各个格点多边形的面积．【例3】如图(a)，计算这个格点多边形的面积．毕克定理若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，则它的面积为12LS N=+-．例题精讲4-2-7.格点型面积【例4】右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【例5】分别计算图中两个格点多边形的面积．【巩固】求下列各个格点多边形的面积．（1）（2）（3）（4）【例6】“乡村小屋”的面积是多少？【例7】右图是一个812面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积．HGFAEDCB______【例8】比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系【例9】右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【例10】第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【例11】55的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是平方厘米．【例12】两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分(块状)面积为27.4cm，求大正方形5.12cm，右下角的阴影部分(线状)面积为2的面积．【例13】将边长为正整数n的正方形平均分成2n个小正方形，每个小正方形的顶点称为格点。

【导语】马克思曾经说过：“⼀门学科只有成功的应⽤了数学，才能真正达到了完善的地步。

”这句话充分显⽰了数学知识的⼴泛应⽤及学习数学的必要性和重要性。

因此，数学作为认识世界的基础性学科，它可以在思想上⽀持不同学科的深⼊发展。

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【篇⼀】 知识点： (⼀)正⽅形格点图⾯积 在⼀张纸上，先画出⼀些⽔平直线和⼀些竖直直线，并使任意两条相邻的平⾏线的距离都相等(通常规定为1个单位)，这样在纸上就形成了⼀个⽅格，其中的每个交点就叫做⼀个格点。

多边形的所有顶点都在格点上，在⽅格中，像图(a)这样的多边形，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形。

多边形的顶点⾄少有⼀个顶点格点上，⽐如A点，像图(b)这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点，但我们还不能把它称为格点多边形。

(⼆)三⾓形格点图的⾯积 三⾓形格点多边形是指：每相邻三点成“∴”或“∵”，形成的三⾓形都是等边三⾓形，规定它的⾯积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三⾓形格点多边形。

【篇⼆】 常见解题⽅法： 求格点图⾯积常见的⼏种⽅法：数格⼦法、分割法、扩展法、毕克定理。

（⼀）数格⼦法 对于格点图⾥⾯的规则图形，我们有时可以直接通过数图形所占的正⽅形⽅格或者三⾓形⽅格的个数得出规则图形的⾯积，或者由图形得出规则图形相应的⾯积公式需要的量，代⼊公式解出⾯积即可! 【详解】本题所给的图形都是规则图形，它们的⾯积运⽤公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就⾏了。

第(1)图是正⽅形，边长是4，所以⾯积是4×4=16(⾯积单位); 第(2)图是矩形，长是5，宽是3，所以⾯积是5×3=15(⾯积单位); 第(3)图是三⾓形，底是5，⾼是4，所以⾯积是5×4÷2=10(⾯积单位); 第(4)图是平⾏四边形，底是5，⾼是3，所以⾯积是5×3=15(⾯积单位); 第(5)图是直⾓梯形，上底是3，下底是5，⾼是3，所以⾯积是(3+5)×3÷2=12(⾯积单位); 第(6)图是梯形，上底是3，下底是6，⾼是4，所以⾯积是(3+6)×4÷2=18(⾯积单位)。

巧解格点与面积巧点睛一一方法和技巧通过寻找面积之间的关系，培养学生探索问题、解决问题、发现规律的能力。

巧指导一一例题精讲A级冲刺名校•基础点晴【例1】下图是用橡皮盘钉在钉板上围成的几个图形，每相邻两点之间的距离都是1厘米，计算这些图形的面积各是多少平方厘米。

做一做1计算下图各格点多边形的面积，每格面积为1。

【例2】下图每相邻两点之间的距离都是1厘米，求各个图形的面积，再填好下表，最后总结出一般规律。

图形边上点数内部点数面积分析与解按照例1的分析方法，进行分割。

图①的面积是2平方厘米，图②的面积是4.5平方厘米，图③的面积是5.5平方厘米，图④的面积是7平方厘米，图⑤的面积是2平方厘米。

填表：寻找规律:图①：4 + 2 + 1 —1=2图②：9 + 2 + 1 —1=4.5图③：9 + 2 + 1 —1=5.5图④：10 + 2 + 3 — 1=7图⑤：6 + 2 + 0 —1=2于是，图形的面积与格点数有如下关系：图形的面积二边上点数+ 2+内部点数一1做一做2下图是一个8X8的正方形，求正方形内四边形ABCD 的面积。

（先用分割法，再用整点法）【例3】右图中每一小格的面积都是1平方厘米，那么粗线围成的图形面积是多少平方厘米?做一做3设每相邻两点间的距离为1,利用格点面积公式计算下图中阴影部分的面积。

■B级更上层楼【例4】如下图，计算下列各格点多边形的面积，统计每个图形周界上的格点数与图形内包含的格点数。

我们对表内的数据分析发现：任何一个格点多边形的面积等于周界上的格点数除以2减1再加上图形内包含的格点数。

如果用S表示面积，用N表示图形内的格点数，用L表示周界上的格点数，再列成下表，它们之间的关系就更清楚了。

做一做4求下列格点多边形的面积（每相邻三点”.・”“・・・”构成面积为1的等百年三角形）。

心.【例5】右图中每相邻三点连接后组成的等边三角形的面积为1 平方厘米。

问三角形ABC的面积是多少？分析与解边上点数为4，内部点数为4,可以• • / •、• • • 利用公式求出面积。

模块一、正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【例 1】 判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】判断 【解析】 根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．【答案】⑴是格点多边形毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点， 则它的面积为12LS N =+-． 例题精讲4-2-7.格点型面积【例 2】 如图，计算各个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了．方法一：图⑴是正方形，边长是4，所以面积是4416⨯=(面积单位)； 图⑵是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑶是三角形，底是5，高是4，所以面积是54210⨯÷=(面积单位)； 图⑷是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)； 图⑸是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是353212+⨯÷=（）(面积单位)； 图⑹是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是364218+⨯÷=（）(面积单位)．如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．) 方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求．这一种方法很重要，在下面的题目中我们还将使用这种方法！如图⑶，我们利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积的一半．如图⑷，我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易得平行四边形面积．同理，图⑸、⑹也可利用同样的思想．【答案】图⑴16；图⑵15；图⑶10；图⑷15；图⑸12；图⑹18．【例 3】 如图(a )，计算这个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 方法一(扩展法)．这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下右图(b )，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积．矩形面积是6424⨯=；直角三角形Ⅰ的面积是：6226⨯÷=；直角三角形Ⅱ的面积是：4224⨯÷=；直角三角形Ⅲ面积是4224⨯÷=；所求三角形的面积是2464410-++=（）(面积单位)．方法二(割补法)．将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如(c )图．因此三角形的面积是：52252210⨯÷+⨯÷=(面积单位)．【答案】10【例 4】 右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】新加坡小学数学奥林匹克竞赛 【解析】 扩展法．把所求三角形扩展成正方形ABCD 中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的AEF V ；另外三个分别是：△ABE 、△FEC 、△DAF ，它们都有一条边是水平放置的，易求它们的面积分别为21.5cm ，22cm ，21.5cm ．所以，图中阴影部分的面积为：33 1.5224⨯-⨯+=（）(2cm )．【答案】4【例 5】 分别计算图中两个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到第一幅图的面积均为9面积单位．第二幅图的面积均为10面积单位．【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢？”“格点多边形内部的格点数和周界上的格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下面我们就来探讨一下！在巩固中，我们发现两个图形面积相等．进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是8个；第二个图形边界上的格点数是10个，包含在图形内的格点数也相等，都是6个． 【答案】第一幅图的面积均为9；第二幅图的面积均为10．【巩固】 求下列各个格点多边形的面积．（1）（2）（3）（4）【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答【解析】 ⑴ ∵12L =；10N =，∴1211011522L S N =+-=+-=(面积单位)；⑵ ∵10L =；16N =，∴1011612022L S N =+-=+-=(面积单位)；⑶ ∵6L =；12N =，∴611211422L S N =+-=+-=(面积单位)； ⑷ ∵10L =；13N =，∴1011311722L S N =+-=+-=(面积单位)．用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【答案】⑴15；⑵ 20；⑶14；⑷17【例 6】 “乡村小屋”的面积是多少？【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 图形内部格点数9N =；图形边界上的格点数20L = ；根据毕克定理， 则1182LS N =+-=(单位面积)．【答案】18【例 7】 右图是一个812⨯面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．H GFED C BA【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 箭形ABCDEFGH 的面积810214842121232246=+÷-+⨯+÷-⨯=++=（）（）(面积单位)．【答案】46【例 8】 比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系______【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，二试，第9题，6分【解析】 ①的面积为：1112111313222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，②的面积也为3223⨯÷=。

格点面积知识要点：毕克定理：格点多边形面积=图内格点个数+周界格点数÷2-1（1）正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.正方形格点问题：多边形面积=边÷2＋内－1（2）所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.三角形格点问题：多边形面积=（边÷2＋内－1）×2例题讲解：例 1.右图是用皮筋在钉板上围成的一个三角形,计算它的面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位).例 2.右图是一根用皮筋在钉板上围成的一个四边形,计算它的面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位).例 3.在一个9 6的长方形内,有一个凸四边形ABCD(如右图).用毕克定理先求出它的面积来。

例4.右图中每个小正方形的面积都是1平方厘米,求图中阴影部分的面积.例5.右图是一个10⨯10的正方形,求正方形内的四边形ABCD的面积.例6.右图是一个8⨯12面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积.同步练习：1.右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的面积是多少?2.右图是一个5⨯5的方格纸,小方格的面积是1平方厘米,小方格的顶点为格点.请你在图上选7个格点,要求其中任意3个格点都不在一条直线上,并且使这7个点用线段连结所围成的面积尽可能大,那么,所用图形的面积1是多少平方厘米？3.右中每个小正方形的面积为1平方分米,那么阴影部分的面积是多少平方分米?4.右图中每个小平行四边形的面积是1个面积单位,求阴影部分的面积.课后作业：1.右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算ABC的面积.2.右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算四边形DEFG的面积.3.把等边三角形ABC每边六等分,组成如右图的三角形网.若图中每个小三角形的面积均为12cm,试求图中三角形DEF的面积.。

小升初奥数几何问题之格点与面积知识点【篇一】知识点：(一)正方形格点图面积在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定为1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点。

多边形的所有顶点都在格点上，在方格网中，像图(a)这样的多边形，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形。

多边形的顶点至少有一个顶点格点上，比如A点，像图(b)这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点，但我们还不能把它称为格点多边形。

(二)三角形格点图的面积三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∴”或“∵”，形成的三角形都是等边三角形，规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形。

【篇二】常见解题方法：求格点图面积常见的几种方法：数格子法、分割法、扩展法、毕克定理。

（一）数格子法对于格点图里面的规则图形，我们有时可以直接通过数图形所占的正方形方格或者三角形方格的个数得出规则图形的面积，或者由图形得出规则图形相应的面积公式需要的量，代入公式解出面积即可!【详解】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了。

第(1)图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16(面积单位);第(2)图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15(面积单位);第(3)图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10(面积单位);第(4)图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15(面积单位);第(5)图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是(3+5)×3÷2=12(面积单位);第(6)图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是(3+6)×4÷2=18(面积单位)。

下面几种方法主要针对的是格点图中的不规则图形，这也是本专题的重点!（二）分割法直接将格点图中的不规则图形分成若干个可求面积的规则图形，然后通过计算规则图形的面积来求原图形的面积。

板块一 正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点， 则它的面积为12LS N =+-． 例题精讲格点型面积【例1】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于2平方厘米的三角形有多少个？【解析】面积等于1平方厘米的三角形有32个．面积等于2平方厘米的三角形有8个．(1)面积等于1平方厘米的分类统计如下：①②③底为2，高为1 底为2，高为1 底为1，高为23×2=6(个) 3×2=6(个) 3×2=6(个)④⑤⑥底为1，高为2 底为2，高为1 底为1，高为23×2=6(个) 2×2=4(个) 2×2=4(个)所以，面积等于1平方厘米的三角形的个数有：6+6+6+6+4+4=32(个)．(2)面积等于2平方厘米的分类统计如下：3×2=6(个) 1×2=2(个)所以，面积等于2平方厘米的三角形的个数有：6+2=8(个)．【例2】如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．【解析】根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如右图)．⨯的正方形：1个；⨯的正方形：4个；3311⨯的正方形：9个；22以11⨯长方形对角线为边长的正方形：2个．⨯正方形对角线为边长的正方形：4个；以12故可以组成9414220++++=(个)正方形．【例3】判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶【解析】根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．【解析】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了．方法一：图⑴是正方形，边长是4，所以面积是4416⨯=(面积单位)；图⑵是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑶是三角形，底是5，高是4，所以面积是54210⨯÷=(面积单位)；图⑷是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑸是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是353212+⨯÷=（）(面积单位)；图⑹是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是364218+⨯÷=（）(面积单位)．【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．)方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求．这一种方法很重要，在下面的题目中我们还将使用这种方法！如图⑶，我们利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积的一半．如图⑷，我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易得平行四边形面积．同理，图⑸、⑹也可利用同样的思想．【例5】如图(a)，计算这个格点多边形的面积．【解析】方法一(扩展法)．这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下右图(b)，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积．矩形面积是6424⨯=；直角三角形Ⅰ的面积是：6226⨯÷=；直角三角形Ⅱ的面积是：4224⨯÷=；直角三角形Ⅲ面积是4224⨯÷=；所求三角形的面积是2464410-++=（）(面积单位)．方法二(割补法)．将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如(c)图．因此三角形的面积是：52252210⨯÷+⨯÷=(面积单位)．【例6】(“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【解析】扩展法．把所求三角形扩展成正方形ABCD中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的AEF；另外三个分别是：ABE、FEC、DAF，它们都有一条边是水平放置的，易求它们的面积分别为21.5cm，22cm，21.5cm．所以，图中阴影部分的面积为：33 1.5224⨯-⨯+=（）(2cm)．⑴ ⑵【解析】 利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到⑴的面积均为9面积单位．⑵的面积均为10面积单位．【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢？”“格点多边形内部的格点数和周界上的格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下面我们就来探讨一下！在巩固中，我们发现两个图形面积相等．进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是8个；第二个图形边界上的格点数是10个，包含在图形内的格点数也相等，都是6个．【巩固】求下列各个格点多边形的面积．⑵⑴⑷⑶【解析】 ⑴ ∵12L =；10N =，∴1211011522L S N =+-=+-=(面积单位)； ⑵ ∵10L =；16N =，∴1011612022L S N =+-=+-=(面积单位)；⑶ ∵6L =；12N =，∴611211422L S N =+-=+-=(面积单位)；⑷ ∵10L =；13N =，∴1011311722L S N =+-=+-=(面积单位)．用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【例 8】 我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？【解析】 图形内部格点数9N =；图形边界上的格点数20L = ；根据毕克定理， 则1182LS N =+-=(单位面积)．【例 9】 右图是一个812⨯面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点， 则它的面积为12LS N =+-．HGFEDCBA【解析】箭形ABCDEFGH的面积810214842121232246=+÷-+⨯+÷-⨯=++=（）（）(面积单位)．【例10】右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？19．所以图形的面积为：54192162.5+÷-=(面积单位)．【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【解析】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：(N+L2-1)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：(4+72-1)×1=6．5(平方厘米)方法二：如右上图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3÷2=1．5，②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为1．5+l+1+1+1+1+3=9．5，而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9．5=6．5平方厘米．【例11】(“小学数学奥林匹克”竞赛试题)55⨯的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是平方厘米．【解析】为了使这7个点围成最大的面积，这7个点应尽量在正方形的边或顶点上，如图选取7个点，围成面积最大．最大面积为550.5323.5⨯-⨯=(平方厘米)．【例12】(“保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题)第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【解析】 要计算三个数字所占的面积之和，可以先分别求出每个数字所占的面积．显然，图中的三个数字都可以看作格点多边形，根据毕克定理，可以很方便地求出每个数字所占的面积．值得注意的是：数字“7”内部有两个格点，而数字“2”和“1”内部都没有格点．7所占的面积为：215218.5+÷-=；2所占的面积为：242111÷-=；1所占的面积为：17217.5÷-=．所以，这三个数字所占的面积之和为：8.5117.527++=．【例 13】 (第六届“从小爱数学”邀请赛试题)两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分(块状)面积为25.12cm ，右下角的阴影部分(线状)面积为27.4cm ，求大正方形的面积．【解析】 块状部分与线状部分之间的部分称为D ，则D 与前者共14个方格，与后者共17个方格，因此每个方格的面积是2197.4 5.121714cm 25-÷-=（）（）（）大正方形的面积为219cm ．【例 14】 (第六届“华杯赛”试题)图中正六边形ABCDEF 的面积是54，AP =2PF ，CQ =2BQ ，求阴影四边形CEPQ 的面积．B PQFEDCB A【解析】 如图，将正六边形ABCDEF 等分为54个小正三角形．根据平行四边形对角线平分平行四边形面积，PEF 面积3=，CDE 面积9=，四边形ABQP 面积11=．上述三块面积之和为391123++=．因此，阴影四边形CEPQ 面积为542331-=．板块二 三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有22S N L =⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．【例 15】 如图(a )，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算(b )(a )(c )(d )【解析】 方法一：如图(b )所示，在ABC 内连接相邻的三个点成DEF ，再连接DC 、EA 、FB 后是ABC可看成是由DEF 分别延长FD 、DE 、EF 边一倍、一倍、二倍而成的，由等积变换不难得到2ACD S =， 3AEB S =，4FBC S =，所以123410S =+++=(面积单位)．方法二：如图(c )所示，作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，这样可以通过数小正三角形的方法，求出ABC 的面积为10．方法三：如图(d )所示：作辅助线可知：平行四边形ARBE 中有6个小正三角形，而ABE 的面积是平行四边形ARBE 面积的一半，即3AEB S =，平行四边形ADCH 中有4个小正三角形，而ADC的面积是平行四边形ADCH 面积的一半，即2ACDS=．平行四边形FBGC 中有8个小正三角形，而FBC 的面积是平行四边形FBGC 的一半，即：4FBCS =．所以123410S =+++=(面积单位)．【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算ABC 的面积．【解析】 因为5N =；3L =：所以22253211S N L =⨯+-=⨯+-=(面积单位)．【例 16】 求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．⑴⑵⑶⑷【解析】 ⑴ ∵7L =；7N =，∴22277219S N L =⨯+-=⨯+-=(面积单位)；⑵ ∵5L =；8N =，∴22285219S N L =⨯+-=⨯+-=(面积单位)； ⑶ ∵6L =；7N =，∴22276218S N L =⨯+-=⨯+-=(面积单位)； ⑷ ∵7L =；8N =，∴22287221S N L =⨯+-=⨯+-=(面积单位)．【例 17】 把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是128，求图中粗线所围成的三角形的面积．【解析】 图中有1357911131564+++++++=(个)小三角形，那么一个小三角形的面积是128642÷=，图形内部格点数为12，图形周界上格点数为4；图形的面积为：2124226⨯+-=(面积单位)，进而得图形的面积为：26252⨯=．【例 18】 如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？【解析】 法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N +L -2)x 单位正三角形面积，其中N 为图形内格点数，L 为图形周界上格点数．有N =9，L =4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)．法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4，所以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为10+2+1+4+3=20(平方厘米)．【例 19】 把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．【解析】 图1中阴影部分占整个三角形面积的1225，图2中阴影部分占整个三角形面积的1649，故图2中阴影部分的面积为294÷12162549=200(平方分米)．【例 20】 将图中的图形分割成面积相等的三块．【解析】 如右图所示．【例 21】 如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？【解析】 如图，涂阴影部分的小正六角星形可分成12个与三角形PMN 全等(能完全重叠地放在一起)的小三角形．而图中的大正六角星形除去小正六角星形后．有6×4=24个与三角形PMN 全等的小三角形，所以大正六角星形的面是小正六角星形的3倍，即48平方厘米．SR QAB CDE F NMP P M F ED CBA【解析】 将正六边形分成六个面积为1平方厘米的正三角形，再取它们各边的中点将每个正三角形分为4个小正三角形．于是正六边形ABCDEF 被分成了24个小正三角形，每一个小正三角形的面积是6240.25÷=(平方厘米)，三角形MNP 由9个小正三角形所组成，所以三角形MNP 的面积0.259 2.25=⨯=(平方厘米)．【例 23】 如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么，三角形ABC 的面积是_____平方厘米．【解析】 ABC ABD BCD ACD S S S S ∆∆∆∆=++21221229=⨯+⨯+⨯66()=平方厘米。

格点与面积
例1 下图是一个格点图。

图中有长方形、三角形、平行四边形和梯形各一个。

请你利用方格网计算出它们的面积各是多少？（每个小正方形的面积是1平方厘米）
例2 在图中正方形格点中，这个宝塔图形的面积是多少？
例3 下图是一个四角形，每个小正方形的面积均为1平方厘米。

求图中阴影部分的面积。

例4、求下列图形的面积。

例5、如图，每个小正方形的面积都是1平方厘米。

则在此图中最多可以画出多少个面积是2平方厘米的格点正方形？
课堂练习
1、求下面各图形的面积。

2、求下图中各图形的面积。

3、求下图中各图形的面积。

4、下面是一个5*5的方格图，求出图中阴影部分面积的和（每小格的面积是1平方厘米）。

5、图中每个小正方形的边长都是1厘米，则在图中最多可以画出面积是3平方厘米的格点三角形多少个？
课后作业
1、计算所给图形的面积。

2、求出下面格点图形的面积。

3、在下面5*10的方格图中，连接格点，画出4个面积为7的图形，要求每个图形形状都不相同（每个小方格的面积是1）。

4、下图是由8个边长为1厘米的正方形所组成的一个图形，共有15个格点。

请以15个格点中的3个为顶点作一个面积为3.5平方厘米的三角形。

格点与面积一、知识要点（1）基本概念1、格点：在方格纸（平面）上，纵横两组平行线垂直相交的交点称为格点。

2、格点与多边形：以格点为顶点画出的多边形称为格点多边形。

3、面积单位：以格点为顶点围成的小正方形称为面积单位。

（格点多边形面积的大小，与格点数有关，格点越多，面积越大。

）（2）常用技巧利用格点求图形的面积。

一是，直接将图形分成若干个面积单位，再通过计算有多少个面积单位求图形的面积。

二是，将复杂的图形转化成长、正方形来求。

（3） 格点图形面积的计算方法1、格点多边形的面积＝图内格点数＋周界上的格点数的一半－112L S N =+- 2、三角形格点多边形面积＝图内格点数的2倍＋周界上格点数－222S N L =+-二、例题精讲【例1】根据下组图填表（1） （2） （3）图形号 1 2 3周界格点数图内格点数面积（单位）【例2】求下图格点多边形的面积。

（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1 的等边三角形）【例3】下图中每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【例4】如下图所示，在圆周上有5个钉，在这5个钉中，任取三个钉用皮筋可套出一个三角形，问以钉1为顶点的三角形有多少个？【例5】如图ABFE和CDEF都是长方形，AB的长是4厘米，BC长3厘米，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？【例6】如下图中小猫图的面积是多少？••••••••••••••••••••••••••••••••••••【例7】下图中有21个点，其中相邻的三点所形成的等边三角形的面积是1，试计算四边形的面积。

•••••••••••••••••••••【例8】思考题小刚和小强比赛，用一条长36米的绳子在格点上看谁围出的面积最大，你知道他们是怎样围的吗？（每块土地的长宽均为1米）三、课后作业【作业1】右图是用皮筋在钉板上围成的一个三角形,计算它的面积是多少。

(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位)。

第2讲 格点与面积【知识梳理】一. 正方形格点面积公式（1）定义：在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形。

（2）公式：右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．下面就看一下其面积的计算。

用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，我们能发现如下规律：12L S N =+-．这个规律就是毕克定理。

二、三角形格点问题（1）定义：所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形。

（2）公式：关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有22S N L =⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2。

【典例精讲】【例1】图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？【答案】4平方厘米；4平方厘米；12平方厘米【解析】左起第一个阴影图形可以分割成4个小正方形，面积为4平方厘米；左起第二个阴影图形可以分割成上、下两个三角形，上面三角形的面积为2×2÷2=2平方厘米，下面三角形的面积是2×2÷2=2平方厘米，则阴影部分的面积为2+2=4平方厘米；左起第三个阴影部分图形可以分割成上面一个三角形、下面一个梯形，上面三角形的面积为5×2÷2=5平方厘米，下面梯形的面积为（2+5）×2÷2=7平方厘米，则阴影部分的面积为5+7=12平方厘米。

【训练1】图中相邻两格点间的距离均为1厘米，那么阴影图形的面积分别为多少平方厘米？【答案】8平方厘米；8平方厘米【解析】左起第一个阴影部分可以分割成8个小正方形，面积为8平方厘米；左起第二个阴影部分可以分割成上、下两个三角形，上面三角形的面积是4×2÷2=4平方厘米，下面三角形的面积为4×2÷2=4平方厘米，则阴影部分的面积为4+4=8平方厘米。