第二章二体问题共40页文档

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学习好帮手高一数学必修二第二章经典练习题第I卷(选择题)请修改第I卷的文字说明一、单项选择1. 在空间,下列哪些命题是正确的（）．①平行于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一条直线的两条直线互相平行③平行于同一个平面的两条直线互相平行④垂直于不一个平面的两条直线互相平行A．仅②不正确B．仅①、④正确C．仅①正确D．四个命题都正确2. 如果直线 a是平面α的斜线，那么在平面α内（）A 不存在与a平行的直线B 不存在与a垂直的直线C 与a垂直的直线只有一条D 与a平行的直线有无数条3. 平面α内有一四边形ABCD，P为α外一点，P点到四边形ABCD 各边的距离相等，则这个四边形 ( ）A 必有外接圆B 必有内切圆C 既有内切圆又有外接圆D 必是正方形4。

已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA ＝2AB,则下列结论正确的是( ）A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAE D．直线PD与平面ABC所成的角为45°5。

若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是( ）A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交6. 设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥（如图），使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面α（)学习好帮手A．不存在B．只有1个 C．恰有4个D．有无数多个7。

第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系1 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法与表示 〔1〕平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成450,且横边画成邻边的2倍长〔如图〕〔2〕平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC 、平面ABCD 等. 3 三个公理：〔1〕公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈αB ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内〔2〕公理2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α,使A ∈α、B ∈α、C ∈α.公理2作用：确定一个平面的依据.〔3〕公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L,且P ∈L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内,有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内,没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内,没有公共点. 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用. 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据.3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定,与O 的选择无关,为了简便,点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈<0, >；③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形；D C B A α A·α C ·B· A · α P · α Lβ 共面直线=>a ∥c 2⑤计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.— 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：〔1〕直线在平面内——有无数个公共点〔2〕直线与平面相交——有且只有一个公共点〔3〕直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a α来表示a α a∩α=A a∥α2.2.直线、平面平行的判定与其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.简记为：线线平行,则线面平行.符号表示：a αb β => a∥αa∥b平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.符号表示：a βb βa∩b = P β∥αa∥αb∥α2、判断两平面平行的方法有三种：〔1〕用定义；〔2〕判定定理；〔3〕垂直于同一条直线的两个平面平行.— 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 简记为：线面平行则线线平行.符号表示：a∥αa β a∥bα∩β= b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题.2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.符号表示：α∥βα∩γ= a a∥bβ∩γ= b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3直线、平面垂直的判定与其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面α互相垂直,记作L⊥α,直线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面.如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足.Lpα2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.注意点： a>定理中的"两条相交直线〞这一条件不可忽视；b>定理体现了"直线与平面垂直〞与"直线与直线垂直〞互相转化的数学思想.平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭 l βBα2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.2.3.3—2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.2性质定理：两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.第二章点、直线、平面之间的位置关系A组一、选择题1．设,为两个不同的平面,l,m为两条不同的直线,且l⊂,m⊂β,有如下的两个命题：①若∥,则l∥m；②若l⊥m,则⊥．那么< >．A．①是真命题,②是假命题B．①是假命题,②是真命题C．①②都是真命题D．①②都是假命题2．如图,ABCD－A1B1C1D1为正方体,下面结论错误．．的是< >．A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1角为60°<第2题> 3．关于直线m,n 与平面,,有下列四个命题：①m ∥,n ∥且∥,则m∥n；②m ⊥,n ⊥且⊥,则m⊥n；③m ⊥,n ∥且∥,则m⊥n；④m ∥,n ⊥且⊥,则m∥n．其中真命题的序号是< >．A．①②B．③④C．①④D．②③4．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线l1,l2与同一平面所成的角相等,则l1,l2互相平行④若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线其中假．命题的个数是<>．A．1B．2C．3D．45．下列命题中正确的个数是< >．①若直线l 上有无数个点不在平面内,则l ∥②若直线l 与平面平行,则l 与平面内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条直线也与这个平面平行④若直线l 与平面平行,则l 与平面内的任意一条直线都没有公共点A．0个B．1个C．2个D．3个6．两直线l1与l2异面,过l1作平面与l2平行,这样的平面< >．A．不存在B．有唯一的一个C．有无数个D．只有两个7．把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为< >．A．90°B．60°C．45°D．30°8．下列说法中不正确的．．．．是<>．A．空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B ．同一平面的两条垂线一定共面C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 9．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行 ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直 其中真命题的个数是<>．A ．4B ．3C ．2D ．110．异面直线a ,b 所成的角60°,直线a ⊥c ,则直线b 与c 所成的角的X 围为<>． A ．[30°,90°] B．[60°,90°] C．[30°,60°]D．[30°,120°] 二、填空题11．已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ,PB ,PC 两两相互垂直,且三个侧面的面积分别为S 1,S 2,S 3,则这个三棱锥的体积为．12．P 是△ABC 所在平面外一点,过P 作PO ⊥平面,垂足是O ,连PA ,PB ,PC ．<1>若PA ＝PB ＝PC ,则O 为△ABC 的心； <2>PA ⊥PB ,PA ⊥PC ,PC ⊥PB ,则O 是△ABC 的心；<3>若点P 到三边AB ,BC ,CA 的距离相等,则O 是△ABC 的心； <4>若PA ＝PB ＝PC ,∠C ＝90º,则O 是AB 边的点； <5>若PA ＝PB ＝PC ,AB ＝AC ,则点O 在△ABC 的线上． 13．如图,在正三角形ABC 中,D ,E ,F 分别为各边的中点,G ,H ,I ,J 分别为AF ,AD ,BE ,DE 的中点,将△ABC 沿DE ,EF ,DF 折成三棱锥以后,GH 与IJ 所成角的度数为．14．直线l 与平面所成角为30°,l ∩＝A ,直线m∈,则m 与l 所成角的取值X 围是．15．棱长为1的正四面体内有一点P ,由点P 向各面引垂线,垂线段长度分别为d 1,d 2,d 3,d 4,J<第13题>则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为．16．直二面角－l －的棱上有一点A ,在平面,内各有一条射线AB ,AC与l 成45°,AB ⊂,AC ⊂,则∠BAC ＝．三、解答题17．在四面体ABCD 中,△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形． <1>求证：BC ⊥AD ；<2>若点D 到平面ABC 的距离等于3,求二面角A －BC －D 的正弦值；<3>设二面角A －BC －D 的大小为,猜想为何值时,四面体A －BCD 的体积最大．<不要求证明>18． 如图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AB ＝2,BB 1＝BC ＝1,E 为D 1C 1的中点,连结ED ,EC ,EB 和DB ．<1>求证：平面EDB ⊥平面EBC ； <2>求二面角E －DB －C 的正切值.19*．如图,在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC ＝90°,SA ⊥面ABCD ,SA ＝AB ＝BC ＝１,AD ＝21．<1>求四棱锥S —ABCD 的体积；<2>求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． <提示：延长 BA ,CD 相交于点 E ,则直线 SE 是 所求二面角的棱.><第19题>20*．斜三棱柱的一个侧面的面积为10,这个侧面与它所对棱的距离等于6,求这个棱柱的体积．<提示：在 AA 1 上取一点 P ,过 P 作棱柱的截面,使 AA 1 垂直于这个截面.><第20题>第二章 点、直线、平面之间的位置关系参考答案<第18题><第17题>一、选择题1．D 解析：命题②有反例,如图中平面∩平面＝直线n ,l ⊂,m ⊂,且l ∥n ,m ⊥n ,则m ⊥l ,显然平面不垂直平面,<第1题>故②是假命题；命题①显然也是假命题, 2．D 解析：异面直线AD 与CB 1角为45°．3．D 解析：在①、④的条件下,m ,n 的位置关系不确定．4．D 解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确,故选择答案D ． 5．B 解析：学会用长方体模型分析问题,A 1A 有无数点在平面ABCD 外,但AA 1与平面ABCD 相交,①不正确；A 1B 1∥平面ABCD ,显然A 1B 1不平行于BD ,②不正确；A 1B 1∥AB ,A 1B 1∥平面ABCD ,但AB ⊂平面ABCD 内,③不正确；l 与平面α平行,则l 与无公共点,l 与平面内的所有直线都没有公共点,④正确,应选B ． <第5题>6．B 解析：设平面 过l 1,且 l 2∥,则 l 1上一定点 P 与 l 2 确定一平面,与的交线l 3∥l 2,且 l 3 过点 P . 又过点 P 与 l 2 平行的直线只有一条,即 l 3 有唯一性,所以经过 l 1 和 l 3 的平面是唯一的,即过 l 1 且平行于 l 2 的平面是唯一的.7．C 解析：当三棱锥D －ABC 体积最大时,平面DAC ⊥ABC ,取AC 的中点O ,则△DBO 是等腰直角三角形,即∠DBO ＝45°．8．D 解析：A ．一组对边平行就决定了共面；B ．同一平面的两条垂线互相平行,因而共面；C ．这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D ．把书本的书脊垂直放在桌上就明确了．9．B 解析：因为①②④正确,故选B ．10．A 解析：异面直线a ,b 所成的角为60°,直线c ⊥a ,过空间任一点 P ,作直线 a ’∥a , b ’∥b , c ’∥c . 若a ’,b ’,c ’ 共面则 b ’ 与 c ’ 成 30°角,否则b ’与c ’所成的角的X 围为<30°,90°],所以直线b 与c 所成角的X 围为[30°,90°]．二、填空题 11．313212S S S ．解析：设三条侧棱长为a ,b ,c ．则21ab ＝S 1,21bc ＝S 2,21ca ＝S 3 三式相乘：∴ 81a 2 b 2 c 2＝S 1S 2S 3,∴ abc ＝23212S S S ． ∵ 三侧棱两两垂直,∴ V ＝31abc ·21＝313212S S S ．12．外,垂,内,中,BC 边的垂直平分．解析：<1>由三角形全等可证得O 为△ABC 的外心；<2>由直线和平面垂直的判定定理可证得,O 为△ABC 的垂心； <3>由直线和平面垂直的判定定理可证得,O 为△ABC 的内心； <4>由三角形全等可证得,O 为 AB 边的中点；<5>由<1>知,O 在 BC 边的垂直平分线上,或说O 在∠BAC 的平分线上．13．60°．解析：将△ABC 沿DE ,EF ,DF 折成三棱锥以后,GH 与IJ 所成角的度数为60°． 14．[30°,90°]．解析：直线l 与平面所成的30°的角为m 与l 所成角的最小值,当m 在内适当旋转就可以得到l ⊥m ,即m 与l 所成角的的最大值为90°． 15．36．解析：作等积变换：4331⨯×<d 1＋d 2＋d 3＋d 4>＝4331⨯·h ,而h ＝36． 16．60°或120°．解析：不妨固定AB ,则AC 有两种可能． 三、解答题17．证明：<1>取BC 中点O ,连结AO ,DO ． ∵△ABC ,△BCD 都是边长为4的正三角形, ∴AO ⊥BC ,DO ⊥BC ,且AO ∩DO ＝O, ∴BC ⊥平面AOD ．又AD ⊂平面AOD , ∴BC ⊥AD ．<第17题>解：<2>由<1>知∠AOD 为二面角A －BC －D 的平面角,设∠AOD ＝,则过点D 作DE ⊥AD ,垂足为E ．∵BC ⊥平面ADO ,且BC ⊂平面ABC ,∴平面ADO ⊥平面ABC ．又平面ADO ∩平面ABC ＝AO , ∴DE ⊥平面ABC ．∴线段DE 的长为点D 到平面ABC 的距离,即DE ＝3．又DO ＝23BD ＝23, 在Rt △DEO 中,sin ＝DODE ＝23,故二面角A －BC －D 的正弦值为23． <3>当＝90°时,四面体ABCD 的体积最大．18．证明：<1>在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AB ＝2,BB 1＝BC ＝1,E 为D 1C 1的中点．∴△DD 1E 为等腰直角三角形,∠D 1ED ＝45°．同理∠C 1EC ＝45°．∴︒=∠90DEC ,即DE ⊥EC ．在长方体ABCD －1111D C B A 中,BC ⊥平面11DCC D ,又DE ⊂平面11DCC D ,∴BC ⊥DE ．又C BC EC = ,∴DE ⊥平面EBC ．∵平面DEB 过DE ,∴平面DEB ⊥平面EBC ． <2>解：如图,过E 在平面11DCC D 中作EO ⊥DC 于O ．在长方体ABCD －1111D C B A 中,∵面ABCD⊥面11DCC D ,∴EO ⊥面ABCD ．过O 在平面DBC 中作OF ⊥DB 于F ,连结EF ,∴EF ⊥BD ．∠EFO 为二面角E －DB －C 的平面角．利用平面几何知识可得OF ＝51,<第18题> 又OE ＝1,所以,tan ∠EFO ＝5．19*．解：<1>直角梯形ABCD 的面积是M 底面＝AB AD BC ⋅)(＋21＝43＝1221＋1⨯, ∴四棱锥S —ABCD 的体积是V ＝31·SA ·M 底面＝31×1×43＝41．<2>如图,延长BA ,CD 相交于点E ,连结SE ,则SE 是所求二面角的棱． ∵AD ∥BC ,BC ＝2AD , ∴EA ＝AB ＝SA ,∴SE ⊥SB∵SA ⊥面ABCD ,得面SEB ⊥面EBC ,EB 是交线． 又BC ⊥EB ,∴BC ⊥面SEB ,故SB 是SC 在面SEB 上的射影,∴CS ⊥SE ,∠BSC 是所求二面角的平面角． ∵SB ＝22＋AB SA ＝2,BC ＝1,BC ⊥SB ,∴tan ∠BSC ＝22＝SB BC ,<第19题> 即所求二面角的正切值为22． 20*．解：如图,设斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BB 1C 1C 的面积为10,A 1A 和面BB 1C 1C 的距离为6,在AA 1上取一点P 作截面PQR ,使AA 1⊥截面PQR ,AA 1∥CC 1,∴截面PQR ⊥侧面BB 1C 1C ,过P 作PO ⊥QR 于O ,则PO ⊥侧面BB 1C 1C ,且PO ＝6．∴V 斜＝S △PQR ·AA 1＝21·QR ·PO ·AA 1 ＝21·PO ·QR ·BB 1 ＝21×10×6 ＝30．<第20题>。

2.1、质点在有心力()F r 的作用下运动，质点的速度的大小为/v a r =，这里a 是常数。

已知0θ=时0r r =，速度与矢径间夹角为ϕ。

求质点的轨道方程。

解：质点受到有心力的作用，在极坐标系中有：2r h θ=&，2222222()()a h v r r r r rθ==+=+&&&化简得：rr =&dr d dr h drrr dt dt d r d θθθ===分离变量：1dr r θ=，积分有：c r e+= c 为积分常数初始条件：0θ=时0r r =代入初始条件可得：0ln r c =，故0r r e =又速度与矢径间夹角为ϕr v r htg tg rr hctg v r rrθθϕϕϕ==⇒=⇒=&&&&，与rr =&所以质点的轨道方程为：0ctg r r e θϕ=2.2、木星轨道的半长轴长度是5.2天文单位(1天文单位为81.510km ⨯，是太阳与地球的平均距离)。

已知地球和木星的轨道都接近圆形。

求出 (i)木星绕太阳运动的周期 (ii)木星的平均轨道速率。

解：(i)由牛二定律知：22=m m Gm r r ω木星太阳木星木星木太木太，22m m Gm r r ω=地球太阳地球地球地太地太可解得：3/2()11.9r r ωωω==地太木星地球地球木太，式中21πω=地球年 (ii)因接近圆形 911.960.29.210v r r ωωωω====⨯木星木星木太地球木太地球地球2.3、月球的质量和半径分别是0.0123e m m =和0.273e R R =，其中,e e m R 分别是球球的质量和半径。

已知地球半径约为6370km ，试求(i)月球表面处的重力加速度(ii)若在月球表面发射火箭，使之脱离月球，则火箭的发射速度至少是多少？ 解：(i)物体(质量为'm )在月球表面处受到的重力可看是成有引力的体现：2'''m mm g G R = 同理此物体放在地球表面时有：2''ee m m m g GR =两式相除有：22221'()9.80.0123()/ 1.6/0.273e e R m g gm s m s m R ==⨯⨯≈ (ii)只考虑火箭(质量为'm )和月球之间的引力，那么火箭和月球机械能守恒(取无穷远处为0势能)。

必修二第二章综合检测题一、选择题1．假设直线a 和b 没有公共点，那么a 与b 的位置关系是()A ．相交B ．平行C ．异面D ．平行或异面2．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为()A ．3B ．4C ．5D ．63．平面α和直线l ，那么α内至少有一条直线与l()A ．平行B ．相交C ．垂直D ．异面．长方体ABCD －1 111中，异面直线AB ，A11所成的角等4 ABCDD于()A ．30°B．45°C．60°D．90°5．对两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α，使得( )A ．a?α，b?αB ．a?α，b ∥αC ．a⊥α，b⊥αD ．a?α，b⊥α6．下面四个命题：其中真命题的个数为()①假设直线a ，b 异面，b ，c 异面，那么a ，c 异面；②假设直线a ，b 相交，b ，c 相交，那么a ，c 相交；③假设a ∥b ，那么a ，b 与c 所成的角相等；④假设a⊥b，b⊥c，那么a ∥c.A ．4B ．3C ．2D ．17．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段A 1B 1，B 1C 1上的不与端点重合的动点，如果A 1E ＝B 1F ，有下面四个结论：EF ⊥AA 1；②EF ∥AC ；③EF 与AC 异面；④EF ∥平面ABCD. 其中一定正确的有()A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④8．设a ，b 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是 ()A ．假设a ，b 与α所成的角相等，那么 a ∥bB ．假设a ∥α，b ∥β，α∥β，那么a ∥bC ．假设a?α，b?β，a ∥b ，那么α∥βD ．假设a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，那么a ⊥b9．平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A?l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，n ∥β，那么以下四种位置关系中，不一定成 立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥m C ．AB ∥βD ．AC ⊥β．正方体ABCD －1111中，E、F分别为BB1、CC1的10ABCD中点，那么直线AE与D1所成角的余弦值为()F4333A．－5 B.5 C.4D．－511．三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，那么以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为()311A.3B.3C．0D．－212．如下图，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，那么PB与AC所成的角是()A．90°B．60°C．45°D．30°二、填空题三、13．以下图形可用符号表示为________．14．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于________．15．设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，那么SD________.16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的序号是________．三、解答题(解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．如以下图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A118．如下图，在四棱锥 P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．(1)证明：CD⊥平面PAE；(2)假设直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．19．如下图，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC ＝22，M 为BC 的中点．(1)证明：AM ⊥PM ；(2)求二面角P －AM －D 的大小．20．如图，棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，B 1C ⊥A 1B.(1)证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1；(2)设D是11上的点，且A 1平面1 ，求1 DC 1的值．ACB ∥BCD AD221．如图，△ABC中，AC＝BC＝2AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，假设G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥底面ABC；(2)求证：AC⊥平面EBC；(3)求几何体ADEBC的体积V.22．如以下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥BC1；(2)求证：AC1∥平面CDB1；(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．7必修二第二章综合检测题D2CAB与CC1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：第一类与AB平行与CC1相交的有：CD、C1D1与CC1平行且与AB相交的有：BB1、AA1，第二类与两者都相交的只有BC，故共有5条．C当直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A 错；当l?α时，在α内不存在直线与l异面，∴D错；当l∥α时，在α内不存在直线与l相交．无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．D由于AD∥A1D1，那么∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°.B对于选项A，当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B，假设a，b不相交，那么a与b平行或异面，都存在α，使a?α，b∥α，B正确；对于选项C，a⊥α，b⊥α，一定有a∥b，C错误；对于选项D，a?α，b⊥α，一定有a⊥b，D错误．D异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确；对于④，在平面内，a∥c，而在空间中，a与可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误．D如下图．由于AA1⊥平面A1B1C1D1，EF?平面A1B1C1D1，那么EF⊥AA1，所以①正确；当E，F分别是线段A1B1，B1C1的中点时，EF∥A1C1，又AC∥A1C1，那么EF∥AC，所以③不正确；当E，F分别不是线段A1B1，B1C1的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD，EF?平面A1B1C1D1，所以EF∥平面ABCD，所以④正确．8D选项A中，a，b还可能相交或异面，所以A是假命题；选项B中，a，b还可能相交或异面，所以B是假命题；选项C中，α，β还可能相交，所以C是假命题；选项D 中，由于a⊥α，α⊥β，那么a∥β或a?β，那么β内存在直线l∥a，又b⊥β，那么b⊥l，所以a⊥b.C如下图：AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l?AC⊥m；AB∥l?AB∥β.310、5C取BC中点E，连AE、DE，可证BC⊥AE，BC⊥DE，∴∠AED为二面角A－BC－D的平面角又AE＝ED＝2，AD＝2，∴∠AED＝90°，应选C.B将其复原成正方体ABCD－PQRS，显见PB∥SC，△ACS为正三角形，∴∠ACS＝60°.14 45°13 α∩β＝AB如下图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，由于BC⊥AB，BC1AB，那么∠C1BC是二面角C1－AB－C的平面角．又△BCC1是等腰直角三角形，那么∠C1BC＝45°.15、9如以下图所示，连接AC，BD，那么直线AB ，CD 确定一个平面 ACBD. ∵α∥β，∴AC ∥BD ， AS C S 8 12 那么SB ＝SD ，∴6＝SD ，解得SD ＝9.16 ①②④如下图，①取BD 中点，E 连接AE ，CE ，那么BD ⊥AE ，BD ⊥CE ，而AE ∩CE ＝E ，∴BD ⊥平面AEC ，AC?平面AEC ，故AC ⊥BD ，故①正确．2②设正方形的边长为 a ，那么AE ＝CE ＝2a.由①知∠AEC ＝90°是直二面角 A －BD －C 的平面角，且∠AEC 90°，∴AC ＝a ，∴△ACD 是等边三角形，故②正确．③由题意及①知，AE ⊥平面BCD ，故∠ABE 是AB 与平面BCD 所成的角，而∠ABE ＝45°，所以③不正确．④分别取BC ，AC 的中点为M ，N ，连接ME ，NE ，MN.那么MN ∥AB ，且MN ＝1＝1， ，且＝1 ＝1，2AB 2aME ∥CD ME2CD 2a∴∠EMN 是异面直线AB ，CD 所成的角．在Rt △AEC 中，AE ＝CE ＝2，＝ ，∴NE ＝1＝1∴△2aACa是正三角形，∴∠＝°，故④正确．2AC 2a.MEN EMN 6017 (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点，∴B 1F 1∥BF ，AF 1∥C 1F.又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F∴平面AB1F1∥平面C1BF.(2)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1?平面AB1F1∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.18(1)如下图，连接AC ，由AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°，得AC5.又AD ＝5，E 是CD 的中点，所以CD ⊥AE.PA ⊥平面ABCD ，CD?平面ABCD ，所以PA ⊥CD.而PA ，AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE. (2)过点B 作BG ∥CD ，分别与AE ，AD 相交于F ，G ，连接PF. 由(1)CD ⊥平面PAE 知，BG ⊥平面PAE.于是∠BPF 为直线PB 与 平面PAE 所成的角，且BG ⊥AE.由PA ⊥平面ABCD 知，∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的 角．AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，由题意，知∠PBA ＝∠BPF ，PA BF因为sin ∠PBA ＝PB ，sin ∠BPF ＝PB ，所以PA ＝BF.由∠DAB ＝∠ABC ＝90°知，AD ∥BC ，又BG ∥CD ，所以四边形BCDG 是平行四边形，故GD ＝BC ＝3.于是AG ＝2.△BAG 中，AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，所以BG ＝ AB 2＋AG 2＝25，BF ＝AB 2＝16＝85.于是PA ＝BF ＝BG25555.1 又梯形ABCD 的面积为S ＝2×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥 P － ABCD 的体积为1 1 8 5 128 5V ＝3×S ×PA ＝3×16×5＝15.19[解析](1)证明：如下图，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA ，∵△PCD 为正三角形，PE⊥CD，PE＝PDsin∠PDE＝2sin60°＝3.∵平面PCD⊥平面ABCD，PE⊥平面ABCD，而AM?平面ABCD，∴PE⊥AM.∵四边形ABCD是矩形，∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM＝3，AM＝6，AE＝3∴EM2＋AM2＝AE2.∴AM⊥EM.又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM.(2)解：由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM，∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角．PE3＝∴tan∠PME＝EM＝3＝1，∴∠PME＝45°.∴二面角P－AM－D的大小为45°20(1)因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1，又B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，所以B1C⊥平面A1BC1，又B1C?平面AB1C所以平面AB1C⊥平面A1BC1.(2)设BC1交B1C于点E，连接DE，那么DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．因为A1B∥平面B1CD，A1B?平面A1BC1，平面A1BC1∩平面B1CDDE，所以A1B∥DE.又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点．即A1D DC1＝1.21[解] (1)证明：连接AE，如以下图所示．∵ADEB为正方形∴AE∩BD＝F，且F是AE的中点，又G是EC的中点∴GF∥AC，又AC?平面ABC，GF?平面ABC，∴GF∥平面ABC.(2)证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，EB 平面ABED ， BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AC. 又∵AC ＝BC ＝22AB ，∴CA 2＋CB 2＝AB 2，∴AC ⊥BC.又∵BC ∩BE ＝B ，∴AC ⊥平面BCE.2 2(3)取AB 的中点H ，连GH ，∵BC ＝AC ＝2AB ＝2，1∴CH ⊥AB ，且CH ＝2，又平面ABED ⊥平面ABC11 1∴GH ⊥平面ABCD ，∴V ＝3×1×2＝6.22[解析](1)证明：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC ⊥BC.又∵C 1C ⊥AC.∴AC ⊥平面BCC 1B 1 ∵ B C 1?平面BCC 1B ，∴AC ⊥BC 1.(2)证明：设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ，又四边形BCC 1B 1为正方形．D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴DE ∥AC 1. DE?平面CDB 1，AC 1?平面CDB 1， AC 1∥平面CDB 1. (3)解：∵DE ∥AC 1，∴∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角．在△CED 中，ED ＝1AC 1＝5， 2 2CD＝1＝5，CE ＝11＝22，2AB22CB2 2 2∴cos ∠CED ＝5＝5.2∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为 22.5。

天体力学基础2.1.1万有引力定律Kepler三大定律的数学化：1st 行星绕太阳的轨道为椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上 以太阳为一个焦点，用极坐标表示的椭圆轨道可以表示为第二章r=二 体 问 题p 1 + e cos (θ − θ 0 )2nd 行星向径在相等时间内扫过的面积相等r 2θ = h3nd 行星绕太阳运动的周期平方与轨道椭圆半长径的立方成正比T 2 = ka 3k对所有的行星而言是同一常数2.1.1万有引力定律万有引力定律的推导极坐标中加速度可以写成径向和横向分量：2.1.1万有引力定律引力的大小与太阳质量成正比，因此上式该记成F = −G1d 2 rθ a = ar er + aθ eθ , ar = r − rθ , aθ = r dt2( )u= 1 rh2 Mm , G= 2 pM rG是对所有行星都一样的常数吗？面积常数h可以通过计算行星运动一周来计算：由第二定律，r 2θ = h，可知 aθ = 0. 从而加速度为径向,行星所受的力 为有心力，其大小为：(Binet公式)h=因此⎛ d 2u ⎞ F = mar = m r − rθ 2 = −mh 2u 2 ⎜ 2 + u ⎟ ⎝ dθ ⎠()2π a 2 1 − e 2 TG=将第一定律的数学表达式代入上式：4π 2 a 3 M T2天文观测可以测定GM = 4π 2 a 3 T 2 , 但无法单独给出G. 1973年地面实验值G = 6.672 ×10-11 m3kg −1s −2F =−mh 2 2 mh 2 1 u =− p p r2由Kepler第三定律，G对所有行星而言是同一常数，称为万有引力常数。

G的数值与单位有关，以太阳质量、平太阳日、天文单位分别作为质量、时间、 长度单位时，相应的万有引力常数记为k2，k称为Gauss常数，1976年定义为：由此可知力的大小与行星和太阳之间距离的平方成反比k = 0.017202098952.1.2 任意形状天体的引力位函数质点组的引力位函数在某惯性系中,质量为m的质点P的位置向量为r , 它受到N 个质量分别为mi 的质点Pi的万有引力作用,Pi到P的距离向量为ri . 质点P的加速度为：2.1.2 任意形状天体的引力位函数球对称天体的引力位函数设W 是半径为r , 厚度为dr , 密度为ρ的均匀球壳, P点到球壳中心O的距离为R取球壳上与OP垂直的环带，环带宽度 是rd ，环带上各点到P的距离都为x. 由前述位函数定义dθr = −∑i =1NN Gmi ri Gm = −∑ 3 i ri 2 ri ri i =1 rirθx由于⎛1⎞ r ∇ ⎜ ⎟ = − i3 ri ⎝ ri ⎠上式可以写成：NU =∑i =1NGmi riORPr = ∇U , U = ∑i =1Gmi ri可知位函数只与质量和距离有关，因 此环带对P点的位函数为：其中U是数量函数，称为加速度向量的位函数 容易证明，该位函数满足Laplace方程：dU =∇ 2U =∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U + + =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2GdM x其中dM 为环带质量，由ρ dV = ρ drdS = ρ dr ⋅ 2π r 2 sin θ dθ 给出12.1.2 任意形状天体的引力位函数由 x 2 = R 2 + r 2 − 2 Rr cos θ 得 xdx = Rr sin θ dθ 于是： 2π G ρ rdrdx. R 整个球壳对P点的位函数为: dU =2.1.2 任意形状天体的引力位函数II. 若P点在球壳内，则 x1 = r − R, x2 = r + RU = 4π rG ρ dr =rOxGM . rr为常量，与P点无关，所以∇U = 0.U = ∫ dU =x1x22π G ρ rdr x2 ∫x1 dx. RRP均匀球壳对球壳内质点的引力为0.III. 若P点在球壳上，以上I.和II.的两个表达式应该统一，记为：I.若P点在球壳外，则 x1 = R − r , x2 = R + rU=U=4π r 2G ρ dr GM = . R RGM , R = ( x, y , z ) R GMR ∇U = − R3其中M为整个球壳的质量。

《天体力学基础》课程中英文简介课程编码：TF课程中文名称：天体力学基础课程英文名称：The Fundamentals of Celestial Mechanics总学时：40 学分：2.5课程简介：《天体力学基础》是空间科学与技术专业的一门专业基础课程，本课程主要讲授天体的运动和形状方面的知识，主要包括二体问题，受摄二体问题，N体问题等内容。

通过教学使学生掌握二体问题、受摄二体问题、三体问题的基本概念、原理及其特性，掌握天体运动的方程建立的方法，认识三体问题与二体问题及其解法的区别。

初步掌握N体问题的基本运动方程、圆形限制性三体问题定性理论和摄动理论及其摄动方程的推导方法，使学生能利用常数变易法解摄动问题。

Course Description：《The Fundamentals of Celestial Mechanics》is a basic course for the discipline of Space Science & Technology. This course mainly introduces Celestial Mechanics that deals with the mechanical motion and shape of celestial objects, including the 2-body problem , 2-body problem with perturbation and N-body problem. The student will be taught to master the essential concept, principal and characteristic of 2-body problem , 2-body problem with perturbation and 3-body problem, as well as the method to derive the motion equation of celestial objects. Furthermore, the difference between 2-body problem and 3-body problem will be realized by the student during the education. The motion equation of n-body problem, the theory of circle restricted 3-bdoy problem and the derivation method of perturb equation could be mastered by the students priliminarily. In this way, the student can use the method of constant variation to solve perturbation problem.《天体力学基础》课程教学大纲课程编码： TF课程名称：天体力学基础课程英文名称：The Fundamentals of Celestial Mechanics总学时：40 讲课学时：40学分：2.5开课单位：航天工程系授课对象：空间科学与技术专业本科生开课学期：3春先修课程：理论力学基础天文学主要教材及参考书：《天体力学基础讲义》自编；《天体力学基础讲义》南京大学周济林编著《天体力学基础讲义》武汉大学汪海洪编著《天体力学基础讲义》南京大学周礼勇编著《The Foundations of Celestial Mechanics》 George W. Collins, 2004 by the Pachart Foundation dba Pachart Publishing House and reprinted by permission 《轨道力学》（美）Howard D.Curtis 著周建华等译科学出版社 2009《天体力学方法》刘林南京大学出版社 1998一、课程教学目的《天体力学基础》是空间科学与技术专业的一门专业基础课程，是作为将来从事空间应用领域工作的学生应该掌握的一门专业知识。