第4章一阶逻辑基本概念离散数学

离散数学内容总结大纲第一篇 数理逻辑第1章 命题逻辑求命题公式的主析取范式及主合取范式例 求()()p r q p ∨⌝∧∨的主析取范式及主合取范式。

例 求(P →Q)∧R 的主析取范式及主合取范式。

例 求命题公式R Q P ∨∧)(的主析取范式和主合取范式。

例 求公式A =(p →⌝q )→r 的主析取范式与主合取范式。

例 求()r q p →→的主析取范式。

判断公式类型例 用等值演算法判断公式q ∧⌝ (p →q )的类型例 判断下列命题公式的类型（永真式、永假式、可满足式），方法不限。

(1)(2)证明例 证明：()()()r q r p r q p →∧→⇔→∨ 例 证明：r q p r q p →∧⇔→→)()( 例 推证：⌝Q ∧(P →Q)⇒⌝P例 前提：q p s q r p ∨→→,,，结论：s r ∨。

该结论是否有效？请说明原因。

在命题逻辑中构造下面推理的证明：例 如果小张守第一垒并且小李向B 队投球，则A 队获胜。

或者A 队未获胜，或者A 队成为联赛的第一名。

小张守第一垒。

A 队没有成为联赛的第一名。

因此小李没有向B 队投球。

解：先将简单命题符号化。

P：小张守第一垒；Q：小李向B队投球；R：A队取胜；S：A 队成为联赛第一名。

前提：(P∧Q)→R，R∨S，P，S结论：Q证明：(1) R∨S 前提引入(2) S 前提引入(3) R (1)(2)析取三段论(4) (P∧Q)→R 前提引入(5) (P∧Q) (3)(4)拒取式(6) P∨Q (5)置换(7) P 前提引入(8) Q (6)(7)析取三段论例一个公安人员审查一件盗窃案，已知下列事实：（1）甲或乙盗窃了录像机；（2）若甲盗窃了录像机，则作案时间不能发生在午夜前；（3）若乙的证词正确，则午夜时屋里灯光未灭；（4）若乙的证词不正确，则作案时间发生在午夜前；（5）午夜时屋里灯光灭了。

根据以上事实，推断谁是盗窃犯。

（在命题逻辑中构造推理证明。

《离散数学》-⼀阶逻辑-基本概念⼀阶逻辑这个⼀块属于离散数学的内容，它的功能就是将⾃然事物给符号化以为体系的确⽴奠定语⾔基础。

回想⽆论学汉语还是英语的语法，我们都是从句⼦的主⼲学起，那么数学作为⼀门语⾔，它的句⼦当然也有所谓的主⼲。

个体词：个体次是所研究对象可以独⽴存在的具体的或者抽象的客体。

具体⽽特定的客体个体成为个体常项，⼀般⽤⼩写字母a、b、c表⽰。

⽽将抽象或泛指的个体词成为个体变项，⼀般⽤英⽂字母x、y、z表⽰，并称个体变项的取值范围为个体域。

举例说明：(1)“5是素数”，5、素数都是个体词语，5是个体常项⽽素数是个体变项.(2)“x>y”，x、y都是个体变项.谓词：这⾥似乎类似于⾃然语⾔中谓语动词，往往是形容“⼀个动作”，但是在这⾥，谓词是形容“⼀种关系”，当然和个体词类似，根据这种描绘个体之间的关系的确定与否(具体或者抽象泛指)，我们也可以把谓词分为常项和变项。

举例说明:（1） X是有理数。

“是有理数”是常项谓词。

（2） X与y有具体关系L。

这⾥及其迷惑⼈的是语句“有具体关系L”，但是本质上关系L还是抽象的不确定的，因此这⾥“有具体关系L”是变项谓词。

下⾯要做的就是将这种描述关系的语句进⾏符号化，这⾥其实有点类似于函数的概念，因为谓词描述的是个体之间的关系，因此它必须依赖于个体。

我们⽤F、G、H来进⾏符号化的表⽰。

F(a)、F(x)分别表⽰个体常项a、个体变项x满⾜的性质F(a)和F(x).更⼀般的情况，P(x1,x2,x3…xn)表⽰个体x1,x2,…xn具有关系P。

对于不含个体变项的谓词，我们成为0元谓词。

Ex1：将下列命题在⼀阶逻辑中⽤0元谓词符号化，并讨论他们的真值(1) 只有2是素数，4才是素数。

G(2)表⽰2是素数，G(4)表⽰4是素数，则我们将这个命题符号化的结果： G(2) —> G(4)，由于命题的条件为假，因此该命题为真。

(2) 如果5⼤于4，则4⼤于6G(5,4)表⽰“5⼤于4”，命题符号化之后的结果： G(5,4) —> G(4,6)，条件为真结论为假，因此命题为假。

离散数学一阶逻辑离散数学是一门研究离散结构及其运算规律的学科，它涉及到数学中的逻辑、代数、集合论、图论等多个方面。

其中，一阶逻辑作为离散数学中的重要分支，具有广泛的应用和研究价值。

本文将从逻辑的基本概念、一阶逻辑的语法和语义、一阶逻辑的推理规则、一阶逻辑的应用等几个方面来介绍一阶逻辑，旨在帮助读者全面了解一阶逻辑的基本概念和使用方法，并为其后续学习和应用提供指导。

首先，我们来介绍逻辑的基本概念。

逻辑是研究判断的科学，它主要关注真理与推理的关系。

在逻辑中，我们使用语句来表示判断，语句可以是真或假。

同时，逻辑将语句分为简单语句和复合语句。

简单语句是指不能再分解为更简单语句的语句，而复合语句则由多个简单语句通过逻辑运算连接而成。

逻辑运算包括取反（¬）、合取（∧）、析取（∨）、蕴含（→）等。

接下来，我们进一步介绍一阶逻辑的语法和语义。

一阶逻辑是最基本且最常用的逻辑系统之一，它包括基本命题、谓词和量词。

基本命题是指具有真或假值的简单语句，如“今天是星期一”。

谓词是一种描述性的语句构造，它通过将一些对象与一些性质关联起来，来表示复杂的判断。

例如，“x是红色”的谓词可以表示成P(x)。

量词则用来表示概括性的判断，包括全称量词∀和存在量词∃。

例如，“对于任意x，P(x)”可以表示成∀xP(x)。

在一阶逻辑中，语义是根据给定的语句和模型来确定语句的真假值。

模型是一种对应关系，它将谓词与具体的对象元素相联系。

通过使用变元（变量）和量化符号（全称量词∀和存在量词∃），我们可以构造出不同的语句并进行语义推理，从而得到推理结论。

此外，一阶逻辑还有一些特殊的推理规则，例如代入规则和全称推广规则。

代入规则是指在一个语句中的某个位置用一个等价的语句替换。

全称推广规则是指在一个语句中添加一个全称量词，将一个具体对象概括为所有对象的性质。

最后，我们来介绍一阶逻辑的应用。

一阶逻辑在人工智能、计算机科学和数学等领域有着广泛的应用。

离散数学（微课版）第4章1. 引言在离散数学的第4章中，我们将讨论图论的基本概念和应用。

图论是研究图及其在现实生活中的应用的数学分支，它在计算机科学、网络设计、运筹学等领域中具有重要的应用价值。

本章将介绍图的定义、图的表示方法、图的遍历算法等内容。

2. 图的定义图由一组节点和一组节点之间的边构成。

节点通常表示现实世界中的对象，而边则表示对象之间的关系。

图可以用于描述各种问题，如社交网络中的用户关系、城市之间的交通网络等。

2.1 有向图和无向图图可以分为有向图和无向图两种类型。

在有向图中，边具有方向，表示节点之间的单向关系。

而在无向图中，边没有方向，表示节点之间的双向关系。

2.2 顶点和边图由顶点和边组成。

顶点是图的节点，用来表示对象。

边连接两个顶点，表示两个对象之间的关系。

2.3 路径和环路径是指在图中从一个顶点到另一个顶点的连接序列。

环是一条路径，其起点和终点相同。

3. 图的表示方法在计算机中，图可以用不同的数据结构来表示。

常见的表示方法包括：3.1 邻接矩阵邻接矩阵是用二维数组表示图的连接关系。

对于无向图，邻接矩阵是对称的，而对于有向图，则不对称。

A B CA010B101C010上述邻接矩阵表示了一个无向图，其中顶点A与顶点B相连，顶点B与顶点C相连。

3.2 邻接表邻接表是用链表表示图的连接关系。

对于每个顶点，邻接表保存了与其相连的其他顶点的信息。

A ->B -> NULLB -> A ->C -> NULLC -> B -> NULL上述邻接表表示了一个无向图，顶点A与顶点B相连，顶点B与顶点A、C相连，顶点C与顶点B相连。

4. 图的遍历算法图的遍历算法是指按照一定的方式访问图中的所有节点。

常见的图的遍历算法有深度优先搜索和广度优先搜索。

4.1 深度优先搜索深度优先搜索从起点开始，尽可能深地访问尚未访问的节点，直到无法继续深入为止，然后回溯到上一个节点，继续深入其他未访问的节点。

《离散数学》教学大纲（Discrete Mathematics）适用专业：电子信息类课程类别：学科基础课课程学时：48课程学分：3.0先修课程：高等数学、线性代数等一、课程简介离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程，是计算机科学与技术的支撑学科。

它在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能与机器人、数据库、网络、计算机图形学、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。

通过离散数学的学习，不但可以掌握离散结构的描述工具和处理方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。

二、教学目的与任务离散数学是一门培养学生缜密思维、严格推理，具有综合归纳分析能力的课程。

通过本课程的学习，使学生有一定的严格逻辑推理与抽象思维能力，掌握离散量的处理及运算技能，能够将离散数学应用到解决计算机技术中的实际问题中。

不仅能为学生奠定计算机科学的专业基础，并且能为将后续课程的学习及将来开发软、硬件技术及研究、应用提供有力的工具。

三、课程内容第1章命题逻辑的基本概念1.1命题与联结词1.2命题公式及其赋值第2章命题逻辑等值演算2.1等值式2.2析取范式与合取范式* 2.3联结词的完备集* 2.4可满足性问题与消解法第3章命题逻辑的推理理论3.1推理的形式结构3.2自然推理系统P3.3消解证明法第4章一阶逻辑基本概念4.1一阶逻辑命题符号化4.2一阶逻辑公式及其解释第5章一阶逻辑等值演算与推理5.1一阶逻辑等值式与置换规则5.2一阶逻辑前束范式* 5.3一阶逻辑的推理理论第6章集合代数6.1集合的基本概念6.2集合的运算6.3有穷集的计数6.4集合恒等式第7章二元关系7.1有序对与笛卡儿积7.2二元关系7.3关系的运算7.4关系的性质7.5关系的闭包7.6等价关系与划分7.7偏序关系第8章函数8.1函数的定义与性质8.2函数的复合与反函数* 8.3双射函数与集合的基数* 8.4一个电话系统的描述实例第14章图的基本概念14.1图14.2通路与回路14.3图的连通性14.4图的矩阵表示* 14.5图的运算第15章欧拉图与哈密顿图15.1欧拉图15.2哈密顿图15.3最短路问题、中国邮递员问题与货郎担问题第16章树16.1无向树及其性质16.2生成树16.3根树及其应用三、课程学时分配、教学内容与教学基本要求四、教学方法与教学手段说明该课程教学方式主要有：课堂教学、交互学习、课后作业。

离散数学-第四章⼀阶逻辑的基本概念课后练习习题及答案第四章作业评分要求：1. 合计36分2. 给出每⼩题得分(注意: 写出扣分理由).3. 总得分在采分点1处正确设置.(解答时的具体格式参照教材及幻灯⽚)⼀在⼀阶逻辑中将下列命题符号化1 ⽕车都⽐轮船快.2 有的⽕车⽐有的汽车快.3 不存在⽐所有⽕车都快的汽车.4 说凡是汽车就⽐⽕车慢是不对的.(4⼩题，每题3分，总计12分。

每⼀⼩题正确设定谓词得1分，正确符号化得2分。

)1 设是⽕车, 是轮船, ⽐快x ( F(x) → (⽕车x⽐所有的轮船快) )x ( F(x) → (?y(G(y)→ H(x,y)) ) )xy(F(x)∧G(y)→H(x,y))2设是⽕车, 是汽车, ⽐快x ( F(x) ∧ (⽕车x⽐有的汽车快) )x ( F(x) ∧ (?y(G(y)∧H(x,y)) ))xy ( F(x)∧G(y)∧H(x,y) )3设是汽车, 是⽕车, ⽐快x ( F(x) ∧ (汽车x⽐所有⽕车都快) )x ( F(x) ∧ ( ?y(G(y)→H(x,y)) ))x ( F(x) ∧ ( ?y(G(y)→H(x,y)) ))xy ( F(x) ∧ ( G(y)→ H(x,y) ) )x?y ( F(x) ∧ ( G(y)→ H(x,y) ) )4 设是汽车, 是⽕车, ⽐慢x ( F(x) → (汽车x⽐所有⽕车慢) )x ( F(x) → ( ?y(G(y)→ H(x,y)) ))x ( F(x) → ( ?y(G(y)→ H(x,y)) ))x?y ( F(x)∧G(y)→ H(x,y) )⼆给定解释I如下.a) 个体域.b) 特定元素.c) 上的函数.d) 上的谓词.给出下列各式在I下的解释, 并讨论它们的真值. 1234(4⼩题，每题3分，总计12分。

每⼀⼩题正确写出解释下的公式得2分，正确给出真值得1分。

)1 “对任意⾃然数, ”假2 “对任意⾃然数, 如果, 则.”假3 “对任意⾃然数, 存在⾃然数, 使得.”真4 “存在⾃然数, 使得.”真三判断下列各式的类型1234(4⼩题，每题3分，总计12分。

第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案1.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.2.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；3.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.4.因为p与q不能同时为真.5.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）p q，真值为1；（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.返回第二章命题逻辑等值演算本章自测答案5.(1)：∨∨,成真赋值为00、10、11；(2)：0，矛盾式，无成真赋值；(3)：∨∨∨∨∨∨∨,重言式，000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值；7.(1)：∨∨∨∨⇔∧∧；(2)：∨∨∨⇔∧∧∧；8.(1)：1⇔∨∨∨,重言式；(2)：∨⇔∨∨∨∨∨∨；(3)：∧∧∧∧∧∧∧⇔0，矛盾式.11.(1)：∨∨⇔∧∧∧∧；(2)：∨∨∨∨∨∨∨⇔1；(3)：0⇔∧∧∧.12.A⇔∧∧∧∧⇔∨∨.第三章命题逻辑的推理理论本章自测答案6.在解本题时，应首先将简单陈述语句符号化，然后写出推理的形式结构*，其次就是判断*是否为重言式，若*是重言式，推理就正确，否则推理就不正确，这里不考虑简单语句之间的内在联系(1)、(3)、(6)推理正确，其余的均不正确，下面以(1)、(2)为例，证明(1)推理正确，(2)推理不正确(1)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*1)在本推理中，从p与q的内在联系可以知道，p与q的内在联系可以知道，p与q不可能同时为真，但在证明时，不考虑这一点，而只考虑*1是否为重言式.可以用多种方法（如真值法、等值演算法、主析取式）证明*1为重言式，特别是，不难看出，当取A为p,B为q时，*1为假言推理定律，即(p→q)∧p→q ⇒ q(2)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*2)可以用多种方法证明*2不是重言式，比如，等值演算法、主析取范式（主和取范式法也可以）等(p→q)∧q→p⇔(┐p∨q) ∧q →p⇔q →p⇔┐p∨┐q⇔⇔∨∨从而可知，*2不是重言式，故推理不正确，注意，虽然这里的p与q同时为真或同时为假，但不考虑内在联系时，*2不是重言式，就认为推理不正确.9.设p:a是奇数，q:a能被2整除，r:a：是偶数推理的形式结构为(p→q┐)∧(r→q)→(r→┐p) (记为*)可以用多种方法证明*为重言式，下面用等值演算法证明：(p→┐q)∧(r→q)→(r→┐p)⇔(┐p∨┐q) ∨(q∨┐r)→(┐q∨┐r) (使用了交换律)⇔(p∨q)∨(┐p∧r)∨┐q∨┐r⇔(┐p∨q)∨(┐q∧┐r)⇔┐p∨(q∨┐q)∧┐r⇔110.设p:a,b两数之积为负数，q:a,b两数种恰有一个负数，r：a，b都是负数.推理的形式结构为(p→q)∧┐p→(┐q∧┐r)⇔(┐p∨q) ∧┐p→(┐q∧┐r)⇔┐p→(┐q∧┐r) (使用了吸收律)⇔p∨(┐q∧┐r)⇔∨∨∨由于主析取范式中只含有5个W极小项，故推理不正确.11.略14.证明的命题序列可不惟一，下面对每一小题各给出一个证明① p→(q→r)前提引入② P前提引入③ q→r①②假言推理④ q前提引入⑤ r③④假言推理⑥ r∨s前提引入（2）证明：① ┐(p∧r)前提引入② ┐q∨┐r①置换③ r前提引入④ ┐q ②③析取三段论⑤ p→q前提引入⑥ ┐p④⑤拒取式（3）证明：① p→q前提引入② ┐q∨q①置换③ (┐p∨q)∧(┐p∨p) ②置换④ ┐p∨(q∧p③置换⑤ p→(p∨q) ④置换15.(1)证明：① S结论否定引入② S→P前提引入③ P①②假言推理④ P→(q→r)前提引入⑤ q→r③④假言推论⑥ q前提引入⑦ r⑤⑥假言推理（2）证明：① p附加前提引入② p∨q①附加③ (p∨q)→(r∧s)前提引入④ r∧s②③假言推理⑤ s④化简⑥ s∨t⑤附加⑦ (s∨t)→u前提引入⑧ u⑥⑦拒取式16.(1)证明：① p结论否定引入② p→ ┐q前提引入③ ┐q ①②假言推理④ ┐r∨q前提引入⑤ ┐r③④析取三段论⑥ r∧┐s前提引入⑦ r⑥化简⑧ ┐r∧r⑤⑦合取（2）证明：① ┐(r∨s)结论否定引入② ┐r∨┐s①置换③ ┐r②化简④ ┐s②化简⑤ p→r前提引入⑥ ┐p③⑤拒取式⑦ q→s前提引入⑧ ┐q④⑦拒取式⑨ ┐p∧┐q⑥⑧合取⑩ ┐(p∨q)⑨置换口p∨q前提引入⑾①口┐(p∨q) ∧(p∨q) ⑩口合取17．设p：A到过受害者房间，q: A在11点以前离开，r：A犯谋杀罪，s：看门人看见过A。

在命题逻辑中，命题是最基本的单位，对简单命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联系和数量关系。

因而命题逻辑具有局限性，甚至无法判断一些简单而常见的推理。

考虑下面的推理:凡偶数都能被2整除；6是偶数。

所以，6能被2整除。

这个推理是我们公认的数学推理中的真命题，但是在命题逻辑中却无法判断它的正确性。

因为在命题逻辑中只能将推理中出现的三个简单命题依次符号化为p，q，r，将推理的形式结构符号化为(p∧q)→r由于上式不是重言式，所以不能由它判断推理的正确性。

为了克服命题逻辑的局限性，就应该将简单命题再细分，分析出个体词，谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的内在联系和数量关系，这就是一阶逻辑所研究的内容。

一阶逻辑也称一阶谓词逻辑或谓词逻辑。

4.1 一阶逻辑的符号化下面直接仿照1.1来对谓词逻辑进行符号化。

个体词，谓词和量词是一阶逻辑命题符号化的三个基本要素。

下面讨论这三个要素。

一、个体词个体词是指所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体。

例如，小王，小李，中国，，3等都可以作为个体词。

将表示具体或特定的客体的个体词称作个体常项，一般用小写英文字母a，b，c…表示；而将表示抽象或泛指的个体词称为个体变项，常用x，y，z…表示。

称个体变项的取值范围为个体域(或称论域)。

个体域可以是有穷集合，例如，{1，2，3}，{a，b，c，d}，{a，b，c，…，x，y，z}，…；也可以是无穷集合，例如，自然数集合N={0，1，2，…}，实数集合R={x|x是实数}…。

有一个特殊的个体域，它是由宇宙间一切事物组成的，称它为全总个体域。

本书在论述或推理中如没有指明所采用的个体域，都是使用全总个体域。

二、谓词谓词是用来刻画个体词性质及个体词之间相互关系的词。

考虑下面四个命题(或命题公式):(1)是无理数。

(2)x是有理数。

(3)小王与小李同岁。

(4)x与y具有关系L.在(1)中，是个体常项，“…是无理数”是谓词，记为F，并用F()表示(1)中命题。