第一课时 用公式法解一元二次方程.pptx.ppt

方程没有实数解。
当堂检测—不做不讲
1.不解方程，判断下列一元二次 方程的根的情况（每小题5分）
(1)2x2-3x-1.5=0
(2)16x2-24x+9=0
(3)x2-4x+9=0 (4)3x2+10=2x2+8x
2.用公式法解下列方程：（1-4每小题10分 5，6每小题20分）。
(1)2x2-x-1=0
(3)4x-x2=x2+2
• 解：方程整理为：x2-2x+1=0 • a=1,b=-2,c=1 • ∵ ⊿=b2-4ac • =(-2)2-4 ×1 ×1 • =4-4=0 • ∴方程有两个相等的实数根。
利用判别式判断根的情况的 步骤
• 1、化成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0)
• 2、找准 a,b,c • 3、求出⊿=b2-4ac的值 • 4、判断根的情况
例2.用公式法解方程2x2+5x-3=0
解: a=2, b=5, c= -3,
①
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49>0 ②
∴x= 即
= x1= -3 , x2=
③
=
④
用公式法解一元二次方程的 一般步骤：
• 1、化成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0) • 2、找准 a,b,c • 3、求出⊿=b2-4ac的值 • 4、判断根的情况
人民教育出版社九年级数学上册
21.2 解一元二次方程 —公式法
学习目标:
1、理解一元二次方程求根公式的推导过 程
2 、会熟练应用公式法解一元二次方 程．
重点和难点
1重点：求根公式的推导和公式 法的应用．

有两个相等的实数解
想一想：
关于一元二次方程 ax bx c 0 a a，b，c满足什么条件时，方程的两根互
2

0 ，当
为相反数？
一元二次方程 解：
x1 b
ax 2 bx c 0 a 0 的解为：
b 2 4ac b b 2 4ac , x2 2a 2a
b 4ac 4 4 5 (12) 256 0.
2 2
6 x1 ; x 2 2. 5
b b 2 4ac x 2a 4 256 4 16 . 25 10 28 5
2.确定系数:用 a,b,c写出各项系 数; 3.计算: b2-4ac 的值; 4.代入:把有关数 值代入公式计算; 5.定根:写出原方 程的根.
边长为30cm（注意，回答时单位不要
漏掉）
五、小结
用公式法解一元二次方程的关键是解题步骤：
１.先写出a，b，c ２.再求出
b 4ac
2
３.最后代入公式
当 当
b 2 4ac 0 b 2 4ac 0
时，有两个实数根 时，方程无实数 解
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
例3：用公式法解方程 x2+4x=2
这里的a、b、c 的值是什么？
解：移项，得 x2+4x-2=0
a= 1 ，b= 4 ，c = -2 . b2-4ac= 42-4×1×(-2) = 24 . 4 24 4 2 6 x= = 2 1 = 2. 即 x1 = 2 6 , x2 = 2 6 .
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)

复习引入
（4） 4 x2 3x 2 0.
3 1 解：两边同时除以4，得 x x 0 . 4 2 3 1 2 移项，得 x x= . 4 2 2 2 3 1 3 3 2 配方，得 x x = ， 4 8 2 8 2 3 23 即 x = . 8 64 ∴此方程无实数根.
2
2 b b 4ac 0. 即： x 2 2a 4a 2
b b2 4ac 移项，得 x = . 2 2a 4a
2
下面该怎么 运算？有条 件限制吗？
探索新知
ax2 bx c 0 a 0
2 b b 4ac 2 当 b 4ac ≥0时，开平方得 x = . 2 2a 4a
（1）x 5x 4 0；
2
∵ b 4ac ＞0，∴方程有两个不相等的实数根.
2
（2） 4x2 7 6 x；
2 b 4ac ＜0，∴方程没有实数根. ∵
（3） 2 x 2 6 x 3 0.
2
2 ∵ b 4ac ＝0 ，∴方程有两个相等的实数根.
1 解：两边都除以2，得：x 2 x 0 . 2
2
1 移项，得 x 2 x= . 2
2
2
1 配方，得 x 2 x 1= 1 . 2 3 2 即 x 1 = . 2
6 6 ∴ x1 1 ，x2 =1+ . 2 2
复习引入
（2）x2 1.5= 3x；
2
分析：（1）确定a,b,cLeabharlann 值；（2）判断方程是否有根；
（3）写出方程的根.
新知应用
（1）x 7 x 18 0； 例1 解方程：

2、解下列方程: (1) x2-2x－8＝0； (2) 9x2＋6x＝8； (3) (2x-1)(x-2) =-1;
1.x1 2; x2 4.
2.x1

2 3
;
x2


4 3
.
3.x1
1;
x2

3. 2
3、不解方程判断下列方程根的情况:
（1）2x2+5=7x
（2）4x（x-1)+3=0
次项系数绝对值一半的平方；
x
b
2
2a

b2 4ac 4a2 .
4.开方:根据平方根意 义,方程两边开平方
当b2 4ac 0时,
b
b2 4ac
x
.
2a
2a
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
结论：
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0), 当b2-4ac ≥0时，它的根是：ac＜0时，原方程无解． 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式， 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
【例1】解方程：x2-7x-18=0．
【解析】这里 a=1, b= -7, c= -18.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
x

7
121 21

7
11 2
,
即：x1=9, x2= -2．
【例2】解方程： 4x2 1 4x
【解析】化简为一般式得
4x2 4x 1 0
这里 a=4, b= -4 , c= 1.
∵b2 - 4ac=( )42 - 4×4×1=0,

例1：解方程 $x^2 - 6x + 9 = 0$。
根据公式，计算判别式 $Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 times 1 times 9 = 0$。
因为 $Delta = 0$，所以方程 有两个相等的实数根，即 $x_1 = x_2 = frac{-b}{2a} = frac{6}{2} = 3$。
准确性：直接利用公式求解，避免了因式 分解可能出现的错误。
05
06
简便性：对于某些复杂的一元二次方程， 公式法比因式分解更简便。
02
一元二次方程的标准形式
标准形式的表达式
01
一元二次方程的一般形式为 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a, b, c$ 是 常数，$a neq 0$。
当 $Delta = 0$ 时，方程 有两个相等的实数根（即 一个重根）；
判别式的计算可以通过公式 $Delta = p^2 - 4q$ 进行， 其中 $p$ 和 $q$ 是标准形式 中的系数。
当 $Delta < 0$ 时，方程 没有实数根，而是有两个 共轭复数根。
03
公式法求解一元二次方程
公式法的推导过程
求解方法
此时方程没有实数根，但有两个 共轭的复数根，即 $x_1=frac{-
b+sqrt{Delta}i}{2a}$ 和 $x_2=frac{-b-
sqrt{Delta}i}{2a}$。
示例
$x^2+2x+5=0$，判别式 $Delta=-16<0$，解得 $x_1=-
1+2i$ 和 $x_2=-1-2i$。
$left(x + frac{b}{2a}right)^2 = frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$。

题 k=0 总有实数根，∴Δ=（2 ）2+4k≥0，解得 k≥-7，
型
突 ∴k 的取值范围是 k≥-7；
破
（2）∵ 方程有两个相等的实数根，
∴Δ=（2 ）2+4k=0，∴k=-7，代入方程，
得x2+2 x+7=0，即（x+ ）2=0，解得 x1=x2=- ．
2.3 用公式法求解一元二次方程
突
破 地的面积为144 m2，则 x=______．
2.3 用公式法求解一元二次方程
重
难
题
型
突
破
［解析］ 根据题意，得（18-2x）（15-x）=144
解得 x=21（不合题意，舍去）或 x=3，
∴ 道路的宽为 3 m．
［答案］ 3
2.3 用公式法求解一元二次方程
变式衍生
重
难
如图，在宽为 20 m，长为 30 m 的矩形地面上修建两
错
易 2×100-4x）cm，宽为（40-2x）cm，根据题意得（1 000混 2×100-4x）（40-2x）=15200， 整理得 x2-220x+2100=0
分
析 ，解得 x1=210，x2=10.因为当 x=210 时，1000-2×1004x＜0，40-2x＜0，即画心的长与宽为负值，不符合实际意
清
单
解 用的最大长度为 15 m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围
读 成，篱笆总长为 24 m．若计划在花圃中间再用一道篱笆隔
成两个小矩形，且围成的花圃面积为50 m2，问能否成功围
成花圃？
2.3 用公式法求解一元二次方程
重 ■题型 甬道问题
难
例
如图，世纪广场有一块矩形绿地，AB=18 m，

(x+
b )2 2a
b2 4ac 4a 2
.
能直接开方吗？
因为 a ≠ 0，所以 4a2 > 0. 当b2 - 4ac≥0 时，
b2 4ac 4a2 是一个非负数，此时两边才可以开平方.
开方，得
x+ b 2a
b2 4ac， 4a 2
即
x b b2 4ac .
2a
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
配套北师大版
3 用公式法求解一元二次方程
第1课时
-.
学习目标
用
1.经历用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，理解求根公式和
公 式
根的判别式.
法
2.能用公式法解数字系数的一元二次方程.
求
解
3.不解方程，会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和
一 元
两个实数根是否相等.
二
4.在推导求根公式、判别方程根的情况的过程中，强化推理技能训练
抢答
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
抢答
3.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广六尺八寸， 两隅相去适一丈. 问户高、广各几何.”大意是说: 已知长方形门 的高比宽多 6 尺 8 寸，门的对角线长 1 丈，那么门的高和宽各是 多少？(1尺=10寸，1丈=10尺)
典型例题
例 解方程. (1) x2 -7x-18 = 0；
(2) 4x2 +1=4x.
解：(1) 这里a = 1，b = -7，c = -18.
∵ b2 - 4ac = (-7)2-4×1×(-18) = 121 > 0，

边长为30cm（注意，回答时单位不要
漏掉）
五、小结
用公式法解一元二次方程的关键是解题步骤：
１.先写出a，b，c ２.再求出
b 4ac
2
３.最后代入公式
当 当
b 2 4ac 0 b 2 4ac 0
时，有两个实数根 时，方程无实数 解
x1 x2
b b 2 4ac b b 2 4ac 2a 2a
b b 2a 2a
b 0
提高练习 已知方程2X² +7X+c=0,方程的根为一个实数， 求c和x的值.
解：
a 2, b 7, c c
2 2
又 b 4ac 7 4 2 c 0
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0) 例2.用公式法解方程2x2+5x-3=0 解: a=2 b=5 c= -3
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49 ∴x= = =
即
x1= - 3
x2 =
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
（口答）填空：用公式法解方程
2x2+x-6=0
49 8c 49,即c 8 b 7 7 x1 x2 2a 22 4
现有一块长80cm，宽60cm的薄钢 片，在每个角上截去四个相同的小 正方形，然后做成底面积为 1500cm² 的无盖的长方体盒子，那 么截去的小正方形的边长为多少？
X² -140X+3300=0
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 : X= (a≠0, b2-4ac≥0) 4、写出方程的解： x1=?, x2=?

D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解
24．2 解一元二次方程 公式法
【易错盘点】 【例】用公式法解方程：3x2－2x＝5. 【错解】∵a＝3，b＝－2，c＝5.∴b2－4ac＝(－2)2－4×3×5 ＝－56＜0，∴方程无解． 【错因分析】没有将一元二次方程化为一般形式，因此，公式 中的c值是错误的，从而导致方程的解错误． 【正解】
1．(6分)一元二次方程x2－3x－4＝0中，a＝____1____， b＝___－__3___，c＝___－__4___，b2－4ac＝___2_5____， 用求根公式可解得x1＝____4____，x2＝___－__1___．
2．(4分)用公式法解方程 3x2－2 3x＝1－ 3x时，
其中的a＝___3_____，b＝___－ ____3_，c＝___－__1___， b2－4ac＝__1_5_____．
m＝5，x1＝x2＝2 18．(10分)要建一个面积为150 m2的长方形养鸡场，为了节约材料， 鸡场的一边靠着原有的一堵墙，墙长150 m，另三边用竹篱笆围成，如 果篱笆的长为35 m．求鸡场的长和宽各是多少？
设鸡场垂直于墙的宽度为x m，依题意得x(35－2x)＝150， 解得x1＝7.5，x2＝10，当x＝7.5时鸡场长宽分别为20 m，7.5 m， 当x＝10时，鸡场长宽分别为15 m，10 m
若方程/k无eji解，则有_b_2_－__4_a_c_＜．0
7．au(nw3/e分y )若关于x的方程ax2＋2(a＋2)x＋a＝0有实数解，那么实数a的取
值范围n/是__a_≥__－__1_．
8．数 课(3学件分)关于x的一元二次方程x2＋x＋1＝0的根的情况是( C )
Hale Waihona Puke A．/k有ej两i 个不相等的正根

公式法的适用范围
当方程的系数不满足公式法适用范围时，无法使用公式法求解。
当$b^{2} - 4ac < 0$时，方程无实数根，公式法失效。
公式的局限性
对于特殊情况，如$b^{2} - 4ac < 0$，需要采用其他方法，如求根公式法、因式分解法等。
对于某些特殊情况，如$a = 0$或$b = 0$，需要采用其他方法，如直接求解法等。
你可以继续学习和理解一元高次方程的求解方法，如一元三次方程和一元四次方程等。
深入学习
你可以运用所学的知识解决一些实际问题，如投资、储蓄、生产等问题的优化。
拓展实践
你可以参考其他教材、网课等资源，以更全面地了解和学习数学的相关知识。
参考其他资源
进一步学习的建议
谢谢您的观看
THANKS
该方程可化为一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，使用公式法求解，需要先计算判别式，然后判断方程根的情况。
判别式计算
Δ=b²-4ac=p²-4q，根据Δ与0的大小关系，判断方程根的情况。
05
公式的局限性
适用于所有一元二次方程，但仅在方程的系数满足一定条件时才能使用。
对于$ax^{2} + bx + c = 0$，公式法适用于$a \neq 0$且$b^{2} - 4ac \geqslant 0$的情况。
详细描述
Δ=b²-4ac=(-6)²-4×1×9=0，Δ=0，方程有两个相等的实数根。
判别式计算
x=(6±0)/2=3，解得x₁=x₂=3。
根的计算
二次方程根的分布情况
当Δ<0时，方程无实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。

典例精讲
【题型三】公式法的应用
例 4：已知等腰三角形的一腰长为x，周长为 20，则方程x²12x+31=0的根为 6+ 5
.

例 5：若x²+3xy-2y²=0，则

点拨：方程两边同时乘
=

,得

− ±



.


+ × − = ,


设 = ,则 ² + − = ,
(2)确定 a、b、c的值;
(3)计算b²-4ac的值;
(4)当b²-4ac≥0时，把a、b、c的值代入一元二次方程的求根公式，求得方
程的根;当b²-4ac <0时,方程没有实数根.
注意： 虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非
是最简单的，一定要注意方法的选择.
典例精讲
例 1：
【题型一】公式法解一元二次方程的逆用及根的判别式
典例精讲
【题型二】已知方程根的情况求参数的值或取值范围
例 2：若关于x的一元二次方程 − ² + + = 有两个相
等的实数根，则点P(m-3,-m+4)在第 二
象限.
例3：已知关于x的方程 − ²² + + + =
有实数根，则 k的取值

范围是 k≥ .
3 用公式法求解一元二次方程
第1课时 用公式法解一元二次方程
1.通过阅读课本学生可以利用公式法解数字系数的一元二次方程，
并会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，全面提高
学生解方程的能力.
2.通过阅读课本学生可以用配方法推导求根公式，培养学生推理

两边都除以a
移项
配方
如果 b2-4ac≥0
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0), 当b2-4ac≥0时，它的根是：
x b
b2 4αc 2α
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
x b
b2 4αc 2α
例 1 解方程：x2-7x-18=0 解：这里 a=1, b= -7, c= -18.
二次方程的一般式为 :
.x bb2 源自αc 2α拓展练习（1）用公式法解方程4x2-12x=-3得到方程的根是
。
（2）已知y=x2-6x+5能使y的值等于-4的x值是
。
（3）若代数式4x2-2x-5与2x2+1的值是互为相反数，则x的值为 。
（4）关于x的一元二次方程4(x+m)2-2m-2=0的常数项为0，则关于x的一元
b2 4αc 2α
2.一个直角三角形三边的长为三个连续偶数， 求这个三角形的三条边长。
x b
b2 4αc 2α
利用求根公式求一元二次方程的根的步骤：
①化方程为一般形式 ②确定方程中的a、b、c的值 ③算出的b2-4ac值 ④代入求根公式求方程的根 （3）求根公式是在时求方程的根，如果b2-4ac＜0时，则方程在实数范围内无解。
用公式法解一元二次方程
桐源中学——胡样玖
说说：利用配方法解下列一元二次方程的 基本步骤(学生选两题做)
（1）x2+4x+2=0;
（2）3x2-6x+1=0;
（3）4x2-16x+17=0;
（4）4x2-16x+17=0.
你能用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0),吗？

21
2
即 ： x1 9 x2 2
学习是件很愉快的事
x b b2 4ac 2a
例 2 解方程： x2 3 2 3x
解： 化简为一般式：x2 2 3x 3 0
这里 a 1、 b= - 2 3、 c= 3
b2 4ac （ 2 3）2 41 3 0
（- 2 3） x
02
3
3
21
•
62、能够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。——雨果
•
63、只有不断找寻机会的人才会及时把握机会，越努力，越幸运。
•
64、行动是治愈恐惧的良药，而犹豫、拖延将不断滋养恐惧。
•
65、生活不是林黛玉，不会因为忧伤而风情万种。
•
66、天才就是无止境刻苦勤奋的能力。——卡莱尔
•
67、坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。——白哲特
77、命好不如习惯好。养成好习惯，一辈子受用不尽。
•
78、人是可以快乐地生活的，只是我们自己选择了复杂，选择了叹息！
•
79、最困难的时候，就是距离成功不远了。
•
80、智者用无上心智和双手为自己开辟独有的天空，搭建生命的舞台。
•
81、只要有坚强的意志力，就自然而然地会有能耐、机灵和知识。——陀思妥耶夫斯基
C
x 2 6, x 2 10.
答: 三角形的三条边长分别为6,8,10.
思考题：
1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)。
当a，b，c PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛： 语文课件：/kejian/yuw en/ 英语课件：/kejian/ying yu/ 科学课件：/kejian/kexu e/