附中初三上入学数学试题

2024-2025学年陕西师大附中九年级（上）开学数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的）1．a ， b ，c ，d 是成比例线段，若 a = 3cm ， b = 2cm ，c = 6cm ，则线段d 的长为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm2．用配方法解方程2810x x -+=，变形后的结果正确的是（ ）A ．()245x -=B ．()2416x -=C ．()347x -=D ．()2415x -=3．若32x y =，则x y y+的值为（ ）A ．12B ．32C ．25D ．524．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中A 转盘被分成相等的两个扇形，B 转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．165．已知反比例函数()0ky k x=¹与一次函数2y x =-的图象的一个交点的横坐标为3，则k 的值为（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．36．如图，在Rt ABC △中，4AB =，点D 是斜边BC 的中点，以AD 为边作正方形ADEF ．若正方形ADEF 的面积为16，则ABC V 的周长为（ ）A ．B ．12+C ．12D ．247．为执行“两免一补”政策，某地区2010年投入教育经费2500万元，预计2012年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ）A ．()2250013600x +=B ．225003600x =C ．()25001%3600x =+D ．()()225001250013600x x +++=8．若关于x 的一元二次方程2230kx x -+=有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．13k <B ．13k £C ．13k <且0k ¹D ．13k £且0k ¹9．密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积y （单位：3m ）变化时，气体的密度r （单位：3kg /m ）随之变化．已知密度p 与体积y 是反比例函数关系，它的图象如图所示．则下列说法正确的是（ ）A ．函数解析式为7vr =B ．容器内气体密度r 随着气体的体积v 的增大而增大C ．当38kg /m r £时，31.25m v ³D ．当34kg /m r =时，33m v =10．如图，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A 、B 、E 在同一直线上，P 是线段DF 的中点，连接PG PC ，．若60ABC BEF Ð=Ð=°，则PGPC＝（ ）A B C D 二、填空题（共7小题，每小题3分，共21分）11．如图，123l l l ∥∥，342DE EF AB ===，，，则BC 的长为 ．12．已知菱形ABCD 的周长为40cm ，它的一条对角线长10cm ，则这个菱形较小的一个内角的度数为 ．13．为了估计暗箱里白球的数量(箱内只有白球)，将6个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现红球出现的频率约为0.4，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为个.14．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别是AD ，BC 边的中点，连接EF ，若矩形ABFE 与矩形ABCD 相似，4AB =，则矩形ABCD 的面积为 ．15．如图，矩形OABC 的顶点B 和正方形ADEF 的顶点E 都在反比例函数()0ky k x=¹的图象上，点B 的坐标为()3,6，则点E 的坐标为 ．16．如图，已知等腰三角形ABC 中，20cm,30cm AB AC BC ===，点P 从点B 出发沿BA 以4cm/s 的速度向点A 运动；同时点Q 从点C 出发沿CB 以3cm/s 的速度向点B 运动，在运动过程中，当BPQ V 与AQC V 相似时，BP =cm ．17．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，5BC =，点M 是AB 边的中点，点N 是AD 边上任意一点，将线段MN 绕点M 顺时针旋转90°，点N 旋转到点N ¢，则MBN ¢△周长的最小值为．三、解答题（共8小题，共69分）18．解下列方程：(1)()22118x +=；(2)2611x x -=；(3)23420x x --=；(4)()2155x x --=．19．如图，在ABC V 中，AM BC ∥．请用尺规作图法，在射线AM 上求作一点D ，使得DCA ABC :△△．（保留作图痕迹，不写作法）20．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在BC AD 、上，BE DF =， AC EF =．请判断四边形AECF 的形状，并说明理由．21．已知关于x 的方程()24240x k x k -+++=．(1)求证：无论k 为何值，方程总有实数根；(2)若方程的两个实数根为12,x x ，求代数式()()1222--x x 的值．22．如图，在ABC V 中，90ACB Ð=°，D 为边AB 上一点，且CD CA =，过点D 作DE AB ^．交BC 于点E ．求证：CDE CBD ∽△△．23．我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容．为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）音乐社团、体育社团、美术社团、文学社团、电脑编程社团．(1)小明从中任选一类社团活动，选到“体育社团”的概率是 ；(2)现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．24．某品牌纪念品每套成本为30元，当售价为40元时，平均每天的销售量为500套，经试销统计发现，如果该品牌纪念品售价每上涨1元，那么平均每天的销售量将减少10套，为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌纪念品售价不能超过进价的200%．设这种纪念品每套上涨x 元．(1)平均每天的销售量为______套（用含x 的代数式表示）：(2)商家想要使这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，求每套纪念品应定价多少元？25．数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．问题情境：在ABCD Y 中，点P 是边AD 上一点，将PDC △沿直线PC 折叠，点D 的对应点为E ．数学思考：（1）“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P 与点A 重合，过点E 作EF AD ∥，与PC 交于点F ，连接DF ，则四边形AEFD 的形状为 ．拓展探究：（2）“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P 为AD 的中点时，延长CE 交AB 于点F ，连接PF ．试判断PF 与PC 的位置关系，并说明理由；问题解决：（3）“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E 恰好落在AB 边上时，6AP =，8PD =，30DC =，求AE 的长为 ．1．B【分析】根据a、b、c、d是成比例线段，得a：b＝c：d，再根据比例的基本性质，求出d 的值即可；【详解】解：∵a、b、c、d是成比例线段，∴a：b＝c：d，∵a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，∴d＝4cm；故选：B．【点睛】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解．2．D【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法．利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答．【详解】解：2810x x-+=，281x x-=-，2816116x x-+=-+，()2415x-=，故选：D．3．D【分析】本题考查了比例的性质，能灵活运用比例的性质进行变形是解此题的关键．根据题意求出32x y=，代入所求式子中，即可求出答案．【详解】解：∵32xy=，∴32 x y =∴3522y yx yy y++==，故选：D．4．D【分析】本题考查列表法或树状图法以及概率的计算方法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．【详解】解：用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果如下：共有6种等可能出现的结果，其中能配成紫色的有1种，所以同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是16，故选：D ．5．A【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出231y =-=-，代入反比例函数求解即可【详解】解：∵反比例函数()0ky k x=¹与一次函数2y x =-的图象的一个交点的横坐标为3，∴231y =-=-，∴13k-=，∴3k =-，故选：A 6．B【分析】此题重点考查正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地求出BC 的长是解题的关键．由四边形ADEF 是面积为16的正方形，求得4=AD ，由Rt ABC △中，点D 是斜边BC 的中点，求得28BC AD ==，则AC ==12AB BC AC ++=+【详解】解：∵四边形ADEF 是面积为16的正方形，∴216=AD ，且0AD >，∴4=AD ，∵Rt ABC △中，4AB =，点D 是斜边BC 的中点，∴1,902AD BC BAC =Ð=°，∴28BC AD ==，∴AC ==∴12AB BC AC ++=+∴ABC V 的周长为12+，故选：B ．7．A【分析】由平均增长率公式为()1na xb += (a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量)可列方程．【详解】设这两年投入教育经费的年平均增长率为x ，根据题意有：()2250013600x +=，故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率问题，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为()21a x b +=．8．D【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答．【详解】解：∵2230kx x -+=为一元二次方程，∴0k ¹，∵该一元二次方程有两个实数根，∴()22430k D =--´³，解得13k £，∴13k £且0k ¹，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0．9．C【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据题意确定反比例函数的解析式，难度不大．利用待定系数法确定反比例函数的解析式，再逐一判定即可．【详解】解：设()0kk vr =>，将()2,5代入k vr =得52k =，解得10k =，10vr \=，故A 选项错误，不符合题意；容器内气体密度r 随着气体的体积v 的增大而减小，故B 选项说法错误，不符合题意；将8r =代入108r =得108v=，解得： 1.25v =，\当38kg/m r £时，31.25m v ³，故C 选项正确，符合题意；将34kg/m r =代入10vr =得104v =，解得32.5m v =，故D 选项错误，不符合题意．故选：C ．10．B【分析】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的添加辅助线是解题的关键．延长PG 交CD 于点H ，证明DHP FGP △≌△，继而证明CH CG =，根据三线合一可知CP PG ^，进一步可得60PCG Ð=°，继而 可得答案．【详解】解：如图，延长PG 交CD 于点H ，∵P 是线段DF 的中点，∴FP DP =，由题意可知DC GF AE ∥∥，∴GFP HDP Ð=Ð，∵GPF HPD Ð=Ð，∴GFP HDP △≌△，∴GP HP GF HD ==，，∵四边形ABCD 是菱形，∴CD CB =，∴CG CH =，∴CHG △是等腰三角形，∴PG PC ^，又∵60ABC BEF Ð=Ð=°，∴18060120BCD Ð=°-°=°，∴60GCP Ð=°，∴PG PC=故选：B ．11．83【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案．【详解】解：∵123l l l ∥∥，∴DE AB EF BC=，∵342DE EF AB ===，，，∴324BC=，解得：83BC =，故答案为：83．12．60°##60度【分析】此题重点考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，正确地画出图形，并且推导出AB AD BD ==是解题的关键．由菱形的性质得AB CB AD CD ===，则440cm AB CB AD CD AB +++==，所以10cm AB AD ==，而10cm BD =，所以AB AD BD ==，则60A Ð=°，于是得到问题的答案．【详解】解：如图，四边形ABCD 是菱形，10cm BD =，∴AB CB AD CD ===，∵菱形ABCD 的周长为40cm ，∴440cm AB CB AD CD AB +++==，∴10cm AB AD ==，∵AB AD BD ==，∴ABD △是等边三角形，∴60A Ð=°，故答案为：60°．13．9【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【详解】解：设暗箱里白球的数量是n ，则根据题意得：66n +=0.4，解得：n =9，经检验n =9为方程的解且符合题意，故答案为9．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．14．【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【详解】解：设AE ＝x ，则AD ＝2AE ＝2x ，∵矩形ABFE 与矩形ABCD 相似，∴AE AB AB AD=，即442x x =，解得，x 1＝，2x =-舍)，∴AD ＝2x ＝，∴矩形ABCD 的面积为AB •AD ＝，故答案为：【点睛】考查了相似多边形的性质，解题的关键是根据相似多边形的性质列出比例式，难度不大．15．()6,3【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质的应用，求反比例函数的解析式，由题意，首先根据B 的坐标求出k ，然后可设18,E a a æöç÷èø，再由正方形ADEF ，建立关于a 的方程，进而得解．【详解】解：Q 点B 的坐标为()3,6，且在反比例函数()0k y k x=¹的图象上，6318k =´=\，\反比例函数的解析式为18y x=，Q 点E 在反比例函数图像上，\设18,E a a æöç÷èø，183AD a ED a\=-==，16a \=或23a =-，0a >Q ，6a \=，()6,3E \，故答案为：()6,3．16．409或20【分析】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．分两种情况进行讨论．由等腰三角形的性质得出B Ð和C Ð对应相等，那么就要分成BP 和CQ 为对应边以及BP 和AC 为对应边两种情况．【详解】解：设运动时间为s x ，当BPQ CQA ∽V V 时，有BP BQ CQ AC=，即4303320x x x -=，解得：109x =，∴404cm 9BP x ==，当BPQ CAQ ∽V V 时，有BP BQ AC CQ=，即4303203x x x -=，解得：5x =或10x =-（舍去），∴420cm BP x ==，综上所述，当40cm 9BP =或20cm 时，BPQ V 与AQC V 相似，故答案为：409或20．17．4##4+【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，确定点N ¢的轨迹是解题的关键．由旋转的性质结合AAS 证明AMN GMN ¢≌△△，推出4MG AM ==，得到点N ¢在平行于AB ，且与AB 的距离为4的直线上运动，作点M 关于直线EF 的对称点M ¢，连接M B ¢交直线EF 于点N ¢，此时MBN ¢△周长取得最小值，由勾股定理可求解．【详解】解：过点N ¢作EF AB ∥，交AD BC 、于E F 、，过点M 作MG EF ^垂足为G ，∵矩形ABCD ，∴AB CD ∥，∴AB EF CD ∥∥，∴四边形AMGE 和BMGF 都是矩形，∴90A MGN ¢Ð=Ð=°，由旋转的性质得90NMN ¢Ð=°，MN MN ¢=，∴90AMN NMG GMN ¢Ð=°-Ð=Ð，∴()AAS AMN GMN ¢V V ≌，∴142MG AM AB ===，∴点N ¢在平行于AB ，且与AB 的距离为4的直线上运动，作点M 关于直线EF 的对称点M ¢，连接M B ¢交直线EF 于点N ¢，此时MBN ¢△周长取得最小值，最小值为BM BM ¢+，∵142BM AB ==，448MM ¢=+=，∴44BM BM ¢+=+=+，故答案为：4+18．(1)122,4x x ==-(2)1233x x =+=-(3)12x x ==(4)121,6x x ==【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，直接开平方法，准确熟练地进行计算是解题的关键．（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答；（3）利用解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答；（4）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答．【详解】（1）解：()22118x +=()219x +=13x +=±，13x +=或13x +=-，122,4x x ==-；（2）解：2611x x -=269119x x -+=+()2320x -=3x -=±3x -=3x -=-，1233x x =+=-（3）解：23420x x --=，()()24432400D =--´´-=>∴x =1x x =；（4）解：()2155x x --=()()2151x x -=-()()21510x x ---=()()1150x x ---éùû=ë()()160x x --=10x -=或60x -=，121,6x x ==．19．见详解【分析】作ACD B Ð=Ð，交AM 于点D ，点D 即为所求．【详解】如图所示，作ACD B Ð=Ð，交AM 于点D ，点D 即为所求，∵AM BC ∥，∴DAC ACB Ð=Ð，∵ACD B Ð=Ð，∴DCA ABC :△△．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，作一个角等于已知角，掌握以上知识是解题的关键．20．矩形，理由见解析【分析】此题考查了矩形的判定、平行四边形的性质，熟记矩形的判定、平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得AD BC =，AD BC ∥，再根据平行四边形的判定可得四边形AECF 是平行四边形，最后由矩形的判定方法可得结论．【详解】解：四边形AECF 是矩形，理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，AD BC ∥，∵BE DF =，∴AD DF BC BE -=-，即AF EC =，∵AF EC ∥，∴四边形AECF 是平行四边形，∵AC EF =，∴平行四边形AECF 是矩形．21．(1)见解析(2)0【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握相关结论即可．（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可求解；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，124x x k +=+，1224x x k ×=+，再整理代入()()()1212122224x x x x x x --=×-++即可求解．【详解】（1）解：∵()()22Δ44240k k k éù=-+-+=³ëû，∴方程总有实数根；（2）解：由根与系数的关系可得，124x x k +=+，1224x x k ×=+，∴()()1222x x --()121224x x x x =×-++()24244k k =+-++0=．22．见解析【分析】此题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．根据直角三角形的性质及垂直定义求出9090A B ADC CDE Ð+Ð=°Ð+Ð=°，，根据等腰三角形的性质求出A ADC Ð=Ð，进而求出CDE B Ð=Ð，再根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证．【详解】证明：∵90ACB Ð=°，∴A B ÐÐ=°+90，∵DE AB ^，∴90ADE ADC CDE Ð=Ð+Ð=°，∵CD CA =，∴A ADC Ð=Ð，∴CDE B Ð=Ð，又∵DCE BCD Ð=Ð，∴CDE CBD ∽△△．23．(1)15(2)16【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式求出事件A 或B 的概率．（1）直接利用概率公式计算；（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出恰好选中甲和乙两名同学的结果数，然后根据概率公式计算．【详解】（1）解：根据题意：小明从中任选一类社团活动，选到“体育社团”的概率是15；（2）解：画树状图为：共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果数为2种，所以恰好选中甲和乙两名同学的概率21126=．24．(1)()50010x -(2)每套纪念品应定价50元．【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）由题意即可得出结论；（2）设这种纪念品每套上涨x 元，则每套纪念品应定价为()40x +元，平均每天的销售量为()50010x -套，根据这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．【详解】（1）解：由题意可知，平均每天的销售量为()50010x -套，故答案为：()50010x -；（2）解：设这种纪念品每套上涨x 元，则每套纪念品应定价为(40)x +元，平均每天的销售量为(50010)x -套，由题意得：()()4030500108000x x +--=，整理得：2403000x x -+=，解得：110x =，230x =（不符合题意，舍去），4050x \+=，答：每套纪念品应定价50元．25．（1）菱形；（2）PF PC ^，见解析；（3）152【分析】（1）由折叠的性质可知，AD AE DF EF DAF EAF ==Ð=Ð，，，再根据平行线的性质推出EFA EAF Ð=Ð，则EA EF =，进而推出AD DF EF AE ===，即可证明四边形AEFD 是菱形；（2）连接AE ．由折叠的性质可知，PD PE PEC PDC DPC EPC =Ð=ÐÐ=Ð，，，由180ADC DAB Ð+Ð=°，180PEC PEF Ð+Ð=°，得到DAB PEF Ð=Ð；由点P 是AD 的中点，得到PA PD PE ==，则PAE PEA Ð=Ð，进一步证明AEF EAF Ð=Ð，得到AF EF =，证明PAF PEF △≌△，得到APF EPF Ð=Ð，再根据平角的定义得到90FPC Ð=°，则PF PC ^；（3）延长CP 交BA 的延长线于点T ．设AE x =．由折叠的性质可知，30PCD PCE CD CE Ð=Ð==，，再证明T PCE Ð=Ð，得到30,30EC ET AT x ===-，证明PDC PAT △∽△，得到630830x -=，即可求出152AE =．【详解】解：（1）由折叠的性质可知，AD AE DF EF DAF EAF ==Ð=Ð，，，∵EF AD ∥，∴DAF EFA Ð=Ð，∴EFA EAF Ð=Ð，∴EA EF =，∴AD DF EF AE ===，∴四边形AEFD 是菱形；故答案为：菱形．（2）解：结论：PF PC ^．理由：连接AE ．由折叠的性质可知，PD PE PEC PDC DPC EPC =Ð=ÐÐ=Ð，，，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴180ADC DAB Ð+Ð=°，∵180PEC PEF Ð+Ð=°，∴DAB PEF Ð=Ð，∵点P 是AD 的中点，∴PA PD PE ==，∴PAE PEA Ð=Ð，∴DAB PAE PEF PEA Ð-Ð=Ð-Ð，∴AEF EAF Ð=Ð，∴AF EF =，∵PF PF =，∴()SSS PAF PEF V V ≌，∴APF EPF Ð=Ð，∵180DPC CPE EPF APF Ð+Ð+Ð+Ð=°，∴22180CPE FPE Ð+Ð=°，∴90FPC Ð=°，∴PF PC ^；（3）解：延长CP 交BA 的延长线于点T ．设AE x =．由折叠的性质可知，30PCD PCE CD CE Ð=Ð==，，∵CD BT ∥，∴T DCP Ð=Ð，∴T PCE Ð=Ð，∴30,30EC ET AT x ===-，∵AT CD ∥，∴PDC PAT △∽△，∴AP AT PD CD =，∴630830x -=，∴152x =，∴152AE =．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，菱形的判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．。

北京市中国人民大学附属中学2022-2023学年九年级上学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题7．小兵在暑假调查了某工厂得知，该工厂2020年全年某产品的产量为234万吨，经该厂的技术人员预计2022年全年该产品的产量为345万吨，设2020年至2022年该产品的预计年平均增长率为x ，根据题意列出方程得()A ．2234(1)345x +=B ．234(12)345x -=C ．234(12)345x +=D ．2234(1)345x -=8．如图，点E 为正方形ABCD 外一点，且ED CD =，连接AE ，交BD 于点F ．若38CDE ∠=︒，则BFC ∠的度数为()A ．71︒B ．72︒C ．81︒D ．82︒二、填空题14．已知关于x 的一元二次方程16．如图，线段AD 为ABC 的中线，点PE AD ⊥于点E ，PF BD ⊥于点17．已知二次函数2y ax bx c =++与y 轴交于正半轴上一点．下列结论：()34,E y 均在二次函数图像上，则号是．三、解答题18．计算：4|23|18+-+．19．解方程：2420x x +-=．20．如图，在△ABC 中，AB ＝AC 使12CF BC =，连接DE 、CD 、21．已知点(),2A a 为二次函数224y x x =--图像上的点，求代数式23(2)(1)a a a -+-的值．22．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的对称轴为1x =，且它经过点()3,0A ，求该二次函数的解析式和顶点坐标．23．已知关于x 的一元二次方程2(2)20(0)kx k x k +--=≠．(1)求证：不论k 为何值，这个方程都有两个实数根；(2)若此方程的两根均整数，求整数k 的值，24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(),4A a 在直线12:l y x =上，过点A 的直线2l 与x 轴交于点()6,0B -．与y 轴交于点C ．(1)求直线2l 的解析式；(2)已知点P 的坐标为()0,n ，过点P 的作y 轴的垂线与1l ，2l 分别交于点D 、E （点D 和点E 不重合），当DE OC =时，则n 的值是_________．25．如图，ABC 中，AB BC =，过A 点作BC 的平行线与ABC ∠的平分线交于点D ，连接CD ．(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)过点D 作AC 的平行线交直线BC 于点E ，连接DE ，CE ，点P 是线段BD 上的动点，(1)求点A 的坐标以及抛物线的对称轴；(2)抛物线与直线2y =交于点()11,B x y ，C ①当4BC =时，求抛物线的表达式；②当123512x x +≤时，请直接写出a 的取值范围．27．如图1，点E 为正方形ABCD 边AB 上的一点，连接动点（不与点E ，C 重合），直线DF 交直线(1)如图1，当DG EC ⊥时，用等式表示BE (2)如图2，当CF CD =时，①补全图形；②用等式表示BE ，EC ，CG 之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 右（a ≥0）或向左（a ＜0）平移|a |个单位长度，再向上（个单位长度，得到点P '，点P '与点M 的中点为中点”．已知M （a ，b ），P （c ，d ），点Q 为点P(1)①若M（1，3），P（2，4），则点Q的坐标为______；②若c＝2，点Q的横坐标为m，则m的值为______（用含a的代数式表示）．(2)已知M（1，1），点P在直线l：y＝2x上．①当点Q在y轴上时，点P的坐标为______；②当点Q在第一象限时，c的取值范围是______．(3)已知正方形ABCD的边长为2，各边与x轴平行或者垂直，其中心为（4，4），点P （c，d）为正方形ABCD上的动点．①当a＝b＝0时，在点P运动过程中，点Q形成的图形的面积是______；②当点M（a，b）在直线l：y＝2x上，在点P运动过程中，若存在点Q在正方形ABCD的边上或者内部，则a的取值范围是______．。

2023-2024学年北京市海淀区清华附中本部九年级（上）统练数学试卷（一）一、选择题（共2小题，本题共8分，每题4分）1. 实数,a b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A. 2a >−B. a b >C. 0a b +>D. 0b a −< 2. 如图，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，下列四个结论：①AC CD =；②A EBC ∠=∠；③AB EB ⊥；④CD 平分ADE ∠（ ）A. ①②④B. ①②③C. ①③④D. ①②③④ 二.填空题（共2小题，本题共8分，每题4分）3. 有甲､乙两组数据，如表所示： 甲 11 12 13 14 15乙 12 12 13 14 14甲､乙两组数据的方差分别为22,s s 甲乙，则2s 甲______________2s 乙（填“＞”，“＜”或“＝”）． 4. 有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：①左至右，按数字从小到大的顺序排列；②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母_______的位置，标注字母e 的卡片写有数字_______．三.解答题（共12小题，本题共84分，第5-6题每题5分，第7-11题每题6分，第12-13每题8分，14-15题每题10分，第16题8分）5.计算：021)|1()2π−−−−. 6. 解不等式组：247412x x x x −<+ +−≤． 7. 已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)．(1) 试说明：此方程总有两个实数根．(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值.8. 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l 及直线l 外一点P ．求作：直线PQ ，使得PQ l ∥．作法：如图，①在直线l 上取一点A ，作射线PA ，以点A 为圆心，交PA 延长线于点B ；②在直线l 上取一点C （不与点A 重合），作射线BC ，以点C 为圆心，交BC 的延长线于点Q ； ③作直线PQ ．所以直线PQ 就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB = ，CB = ，∴PQ l ∥（）（填推理依据）．9. 列分式方程解应用题．的的倍时，装裱前是一个长为150厘米，宽为82厘米的矩形．现要0.618≈）10. 如图，在四边形ABCD 中，6810AB CD AC BC ABC BCD ====∠=∠，，，．过点D 作DE BC ⊥，延长DE 至点F ，使E F ＝D E ，连接CF ．（1）求证：四边形ABFC 是矩形；（2）求DE 的长．11. 在平面直角坐标系xOy 中，点1A m （-，）是直线2y x =−+上一点，点A 向右平移4个单位长度得到点B（1）求B 点的坐标；（2）若直线l ：20y kx k =−≠（）与线段AB 有公共点，直接写出k 的取值范围． 12. 2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站的问天实验舱开讲，“太空教师”陈冬、刘洋、蔡旭哲为广大青少年带来一场精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，弘扬科学精神，某校甲、乙两个校区的八年级所有学生（两个校区八年级各有200名学生）参加了“格物致知 叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛．为了解八年级学生的太空科普知识掌握情况，从每个校区八年级的科技小组中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩，并整理成部分信息如下：a ．乙校区学生成绩频数分布直方图如下（数据分为5组：6580x ≤<；8085x ≤<；8590x ≤<；9095x ≤<；95100x ≤<）：的b ．乙校区的学生成绩数据在9095x ≤<这一组的是： 91 91 92 94c ．两个校区学生成绩的平均数、中位数、方差如下表所示： 校区平均数 中位数 方差 甲校区89.3 88.5 42.6 乙校区 89.3 m 87.2根据上述信息，解答问题：（1）m =______；（2）对于抽取的八年级学生竞赛成绩，高于本校区平均分的人数更多的是______校区，成绩更整齐的是______校区（填“甲”或“乙”；（3）抽样调查中，两个校区共有30%的学生竞赛成绩不低于95分．该校计划从两个校区选派成绩不低于95分的学生参加全区的竞赛，估计参赛的八年级学生中，甲校区有______人被选中．13. 如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，水流的最高点与喷枪的水平距离记为x ，水流的最高点到地面的距离记为y ．y 与x 的几组对应值如下表：（1）该喷枪的出水口到地面的距离为 m ；（2）在平面直角坐标系xOy 中，描出表中各组数值所对应的点，并画出y 与x 的函数图象；（3）结合（2）中的图象，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为6m 时，水流的最高点到地面的距离为 m （精确到1m ）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为 m （精确到1m ）． 14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线222=−+−y x tx t t ．（1）求抛物线的顶点坐标（用含t 的代数式表示）；（2）点()()1122,,,P x y Q x y 在抛物线上，其中1212,1−≤≤+=−t x t x t ．①若1y 最小值是2−，求1y 的最大值；②若对于12,x x ，都有12y y <，直接写出t 的取值范围．15. 已知ADE 和ABC 都是等腰直角三角形，90ADE BAC ∠=∠=°，P 为AE 的中点（1）如图1，点A 、B 、D 在同一条直线上，直接写出DP 与BC 的位置关系；（2）将图1中ADE 绕点A 逆时针旋转，当AD 落在图2所示的位置时，点C 、D 、P 恰好在同一条直线上．①在图2中，按要求补全图形，并证明BAE ACP ∠=∠；②连接BD ，交AE 于点F ，判断线段BF 与DF 的数量关系16. 在平面直角坐标系xOy 中，对于线段AB 和点C ，若ABC 是以AB 为一条直角边，且满足AC AB >的直角三角形，则称点C 为线段AB 的“从属点”．已知点A 的坐标为(0,1)．的的（1）如图1，若点B 为()2,1，在点()10,2C −，()22,2C ，()31,0C ，()40,3C 中，线段AB 的“从属点”是___________；（2）如图2，若点B 为()1,0，点P 在直线23y x =−−上，且点P 为线段AB 的“从属点”，求点P 的坐标；（3）点B 为x 轴上的动点，直线()40y x b b =+≠与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，若存在某个点B ，使得线段MN 上恰有2个线段AB 的“从属点”，直接写出b 的取值范围．2023-2024学年北京市海淀区清华附中本部九年级（上）统练数学试卷（一）一、选择题（共2小题，本题共8分，每题4分）1. 实数,a b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A. 2a >−B. a b >C. 0a b +>D. 0b a −<【答案】B【解析】【分析】由数轴及题意可得32,01a b −<<−<<，依此可排除选项．【详解】解：由数轴及题意可得：32,01a b −<<−<<， ∴,0,0a b a b b a >+<−>，∴只有B 选项正确，故选B ．【点睛】本题主要考查实数的运算及数轴，熟练掌握实数的运算及数轴是解题的关键．2. 如图，将ABC 绕点C DEC ，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，下列四个结论：①AC CD =；②A EBC ∠=∠；③AB EB ⊥；④CD 平分ADE ∠（ ）A. ①②④B. ①②③C. ①③④D. ①②③④【答案】A【解析】 【分析】由旋转的性质可得AC CD BC CE AB DE A CDE ===∠=∠，，，，可判断①，由等腰三角形的性质可判断②④，由于A ABC ∠+∠不一定等于90°，于是得到ABC CBE ∠+∠不一定等于90°，故③错误．【详解】解：∵将ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，∴AC CD BC CE ==，，故①正确；∴ACD BCE EBC BEC ∠=∠∠=∠，， ∴1118018022A ADC ACD BCE ∠=∠=°−∠=°−∠（）（）， ∴A EBC ∠=∠，故②正确；∵将ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，∴A CDE ∠=∠，∵AC CD =，∴A ADC ∠=∠，∴ADC CDE ∠=∠，即CD 平分ADE ∠，故④正确；∵A ABC ∠+∠不一定等于90°，∴ABC CBE ∠+∠不一定等于90°，故③错误；故选：A ．【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是依据旋转的性质找出相等的角和相等的边，再通过角的计算求出角的度数是关键．二.填空题（共2分，每题4分）3. 有甲､乙两组数据，如表所示： 甲 11 12 13 14 15乙 12 12 13 14 14甲､乙两组数据的方差分别为22,s s 甲乙，则2s 甲______________2s 乙（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【答案】＞【解析】【分析】根据甲、乙两组数据分别求出甲、乙的平均数，然后再利用方差公式进行求解比较即可．【详解】解：由题意得：1112131415135x ++++=甲，1212131414135x ++++==乙，∴()()()()()2222221113121313131413151325s −+−+−+−+− =甲， ()()()()()22222212131213131314131413455s −+−+−+−+− =乙，∴425>， ∴22s s >乙甲；故答案为＞．【点睛】本题主要考查平均数及方差，熟练掌握平均数及方差的计算是解题的关键．4. 有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：①左至右，按数字从小到大的顺序排列；②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．1摆在了标注字母_______的位置，标注字母e 的卡片写有数字_______．【答案】 ①. B ②. 4【解析】【分析】根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案．【详解】解：第一行中B 与第二行中c 肯定有一张为白1，若第二行中c 为白1，则左边不可能有2张黑卡片，∴白卡片数字1摆在了标注字母B 的位置，∴黑卡片数字1摆在了标注字母A 的位置，；第一行中C 与第二行中c 肯定有一张为白2，若第二行中c 为白2，则a ，b 只能是黑1，黑2，而A 为黑1，矛盾，∴第一行中C 为白2；第一行中F 与第二行中c 肯定有一张为白3，若第一行中F 为白3，则D ，E 只能是黑2，黑3，此时黑2在白2右边，与规则②矛盾，∴第二行中c 为白3，∴第二行中a 为黑2，b 为黑3；第一行中F 与第二行中e 肯定有一张为白4，若第一行中F 为白4，则D ，E 只能是黑3，黑4，与b 为黑3矛盾，∴第二行中e 为白4．故答案为：①B ，②4．【点睛】本题考查图形类规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定出白1，白2，白3，白4的位置．三.解答题（共12小题，本题共84分，第5-6题每题5分，第7-11题每题6分，第12-13每题8分，14-15题每题10分，第16题8分）5.计算：021)|1()2π−−−−.【答案】-2.【解析】【详解】【分析】按顺序先分别进行零指数幂运算、绝对值化简、二次根式化简、负指数幂的运算，然后再按运算顺序进行计算即可得. 详解】原式=1﹣（1）4，=1﹣4，=﹣2．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等的运算．6. 解不等式组：247412x x x x −<+ +−≤． 【答案】16x −<≤【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后再确定不等式组的解集． 【详解】247412x x x x −<+ +−≤①② 解不等式①得：1x >−，【解不等式②得：6x ≤，∴不等式组的解集为：16x −<≤．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．7. 已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)．(1) 试说明：此方程总有两个实数根．(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值.【答案】(1)见解析；(2)m=-1,-3.【解析】【分析】（1）先计算判别式得到△=（m-3）2-4m•（-3）=（m+3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）利用公式法可求出x 1=3m ，x 2=-1，然后利用整除性即可得到m 的值． 【详解】解: （1）∵m≠0，∴方程mx 2+（m-3）x-3=0（m≠0）是关于x 的一元二次方程，∴△=（m-3）2-4m×（-3）=（m+3）2，∵（m+3）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）∵x=()()332m m m −−±+ ，∴x 1=-3m，x 2=1， ∵m 为正整数，且方程的两个根均为整数，∴m=-1或-3．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程． 8. 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l 及直线l 外一点P ．求作：直线PQ ，使得PQ l ∥．作法：如图，①在直线l 上取一点A ，作射线PA ，以点A 为圆心，交PA 的延长线于点B ；②在直线l 上取一点C （不与点A 重合），作射线BC ，以点C 为圆心，交BC 的延长线于点Q ； ③作直线PQ ．所以直线PQ 就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB = ，CB = ，∴PQ l ∥（ ）（填推理的依据）．【答案】（1）见解析 （2）AP ，CQ ，三角形中位线定理【解析】【分析】（1）根据题目要求作出图形即可；（2【小问1详解】解：直线PQ 如图所示；【小问2详解】证明：∵AB AP CB CQ ==，， ∴PQ l ∥（三角形中位线定理）． 故答案为：AP CQ ，，三角形中位线定理．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9. 列分式方程解应用题．倍时，装裱前是一个长为150厘米，宽为82厘米的矩形．现要0.618≈）【答案】边衬的宽度应设置为10厘米【解析】【分析】根据装裱后的矩形宽与长之比等于0.6列出方程，解方程得到答案．【详解】解：设边衬的宽度设置为x 厘米， 由题意得：8220.61502x x+=+， 解得：10x =，经检验：10x =是原方程的解，答：边衬的宽度应设置为10厘米．【点睛】本题考查的是分式方程的应用，列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．10. 如图，在四边形ABCD 中，6810AB CD AC BC ABC BCD ====∠=∠，，，．过点D 作DE BC ⊥，延长DE 至点F ，使E F ＝D E ，连接CF ．（1）求证：四边形ABFC 矩形；（2）求DE 的长．【答案】（1）见解析 （2）4.8【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得到90DEC FEC ∠=∠=°，根据全等三角形的性质得到CF CD =，推出是四边形ABFC 是平行四边形，根据勾股定理的逆定理即可得到结论；（2）过A 作AH BC ⊥于H ，根据全等三角形的性质得到AH DE =，根据三角形的面积公式得到AB ACAH BC ⋅=．于是得到结论．【小问1详解】证明：∵DE BC ⊥，∴90DEC FEC ∠=∠=°，在DEC 与FEC 中，DE EFDEC FEC CE CE= ∠=∠ = ，∴SAS DEC FEC ≅（）△△，∴CF CD DCE FCE =∠=∠，，∵ABC BCD ∠=∠，∴ABC FCE ∠=∠，∴AB CF ，∵AB CD =，∴CF AB =，∴四边形ABFC 是平行四边形，∵6810AB AC BC ===，，，∴242AB AC BC +=，∴90BAC ∠=°，∴四边形ABFC 是矩形；【小问2详解】过A 作AH BC ⊥于H ，∴90AHB DEC ∠=∠=°，在ABH 与DCE △中，∵ABH DCEAHB DEC AB CD∠=∠∠=∠ = ，∴AAS ABH DCE ≅（）△△，∴AH DE =， ∵1122ABC S AB AC AH BC =⋅=⋅△， ∴68 4.810AB AC AH BC ⋅×===． ∴ 4.8DE AH ==．【点睛】本题考查了矩形判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，勾股定理的逆定理，证得ABH DCE ≅△△是解题的关键．11. 在平面直角坐标系xOy 中，点1A m （-，）是直线2y x =−+上一点，点A 向右平移4个单位长度得到点B（1）求B 点的坐标；（2）若直线l ：20y kx k =−≠（）与线段AB 有公共点，直接写出k 的取值范围． 【答案】（1）()33，（2）5k ≤−或53k ≥【解析】 【分析】（1）将点()1A m −，代入2y x =−+，求出m ，得到点A 的坐标，再根据向右平移，横坐标相加纵坐标不变求出点B 的坐标；（2）分别求出直线l ：2y kx =−过点()13A −，、点33B （，）时k 的值，再结合函数图象即可求出b 的取值范围．【小问1详解】解：∵点()1A m −，是直线2y x =−+上一点， ∴()123m =−−+=．∴点A 的坐标为()13−，．的∴点()13−，向右平移4个单位长度得到点B 的坐标为()33，． 【小问2详解】当直线l ：2y kx =−过点()13A −，时， 得32k =−−，解得5k =−． 当直线l ：2y kx =−过点()33B ，时， 得332k =−，解得53k =．如图，若直线l ：()22y kx k =−≠与线段AB 有公共点，则5k ≤−或53k ≥．【点睛】此题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，求出点B 的坐标是解题的关键．12. 2022年10月12日，“”第三课在中国空间站的问天实验舱开讲，“太空教师”陈冬、刘洋、蔡旭哲为广大青少年带来一场精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，弘扬科学精神，某校甲、乙两个校区的八年级所有学生（两个校区八年级各有200名学生）参加了“格物致知 叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛．为了解八年级学生的太空科普知识掌握情况，从每个校区八年级的科技小组中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩，并整理成部分信息如下：a ．乙校区学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为5组：6580x ≤<；8085x ≤<；8590x ≤<；9095x ≤<；95100x ≤<）：b ．乙校区的学生成绩数据在9095x ≤<这一组的是： 91 91 92 94c ．两个校区学生成绩的平均数、中位数、方差如下表所示： 校区平均数 中位数 方差 甲校区89.3 88.5 42.6 乙校区 89.3 m 87.2根据上述信息，解答问题：（1）m =______；（2）对于抽取的八年级学生竞赛成绩，高于本校区平均分的人数更多的是______校区，成绩更整齐的是______校区（填“甲”或“乙”）；（3）抽样调查中，两个校区共有30%的学生竞赛成绩不低于95分．该校计划从两个校区选派成绩不低于95分的学生参加全区的竞赛，估计参赛的八年级学生中，甲校区有______人被选中．【答案】（1）91 （2）乙，甲（3）50【解析】【分析】（1）根据中位数的定义求解即可；（2）根据平均数，中位数，方差判断即可；（3）先求出抽样调查中，乙校区竞赛成绩不低于95分的人数，然后用样本估计总体即可求解．【小问1详解】解：由乙校区学生成绩的频数分布直方图知：9095x ≤<有4人，95100x ≤<有7人，∴乙校区抽取20名学生的竞赛成绩的中位数在9095x ≤<，又乙校区的学生成绩数据在9095x ≤<这一组的是：91，91，92，94，∴中位数为91+91=912m =， 故答案为：91；【小问2详解】解：∵甲、乙两校区的平均数都是89.3，而甲校区的中位数88.5小于乙校区的中位数91，∴对于抽取的八年级学生竞赛成绩，高于本校区平均分的人数更多的是乙校，∵甲校区的方差42.6小于乙校区的方程87.2，∴甲校区的成绩更整齐，故答案为：乙，甲；【小问3详解】解：∵抽样调查中，两个校区共有30%的学生竞赛成绩不低于95分，∴两校区不低于95分共有()20+2030%=12×人，又抽样调查中，乙校区竞赛成绩不低于95分有7人，∴抽样调查中，乙校区竞赛成绩不低于95分有1275−=人， ∴估计甲校区被选中人数有52005020×=人． 【点睛】本题考查抽样调查的相关知识，熟练掌握平均数、中位数的定义以及利用样本估计总体的思想是解决问题的关键．13. 如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，水流的最高点与喷枪的水平距离记为x ，水流的最高点到地面的距离记为y ．y 与x 的几组对应值如下表：（1）该喷枪的出水口到地面的距离为 m ；（2）在平面直角坐标系xOy 中，描出表中各组数值所对应的点，并画出y 与x 的函数图象；（3）结合（2）中的图象，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为6m 时，水流的最高点到地面的距离为 m （精确到1m ）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为 m （精确到1m ）． 【答案】（1）1 （2）见解析（3）3，13【解析】【分析】（1）由图象可得出水口到地面的距离；（2）直接描点可得图象；（3）求出y 与x 的关系式，把6x =代入可得水流的最高点到地面的距离，再根据顶点式得到水流轨迹的关系式，可得水流的射程．【小问1详解】解：由图象可得，喷枪的出水口到地面的距离为1m ，故答案为：1；【小问2详解】如图，【小问3详解】由（2）得，y 与x 是一次函数关系，设y kx b =+，把()()0142，，，代入得142b k b = +=， 解得141k b = = ，∴y 与x 的关系式为114y x =+， 当6x =时，53m 2y =≈； 设水流轨迹263w a x =−+（），把（0，1）代入得118a =−， ∴216318w x =−−+（）， 当0=w时，6x =±，负值舍去，∴613(m)x =+≈∴水流的射程为13m ．故答案为：3，13．【点睛】本题考查二次函数的实际应用、一次函数的应用，根据点的坐标得到函数关系式是解题关键． 14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线222=−+−y x tx t t ．（1）求抛物线的顶点坐标（用含t 的代数式表示）；（2）点()()1122,,,P x y Q x y 在抛物线上，其中1212,1−≤≤+=−t x t x t ．①若1y 的最小值是2−，求1y 的最大值；②若对于12,x x ，都有12y y <，直接写出t 的取值范围．【答案】（1）(,)t t −（2）①14x =时，1y 的最大值为2；②21t <−或32t > 【解析】【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式即可求解；（2）①根据抛物线的性质，对称轴为x t =，开口向上，则当1x t =时，1y 有最小值t −，进而求得t 的值，结合函数图象，当14x =时，1y 的最大值为2．②根据抛物线开口向上，离对称轴越远的点的函数值越大，分情况讨论结合函数图象即可求解．【小问1详解】解：（1）∵2222()−+−−−y x tx t t x t t ，∴抛物线的顶点坐标为(,)t t −．【小问2详解】①∵10a =>，∴抛物线222=−+−y x tx t t 开口向上∴当x t =时，y 有最小值t −．∵112−≤+t x t ，∴当1x t =时，1y 有最小值t −．∴2−=−t ．∴2t =．∴2(2)2y x =−−．∵114≤≤x ，∴结合函数图象，当14x =时，1y 的最大值为2．②根据题意可得，抛物线2()y x t t =−−的对称轴为x t =，设P 到对称轴的距离为d ，112t x t −≤≤+，1,2t t t t −<+>()12t t d t t ∴−−≤≤+−即12d ≤≤即P 到对称轴距离最大为2，1）当Q 点在P 的右侧，且12y y <，21x t =−，Q ∴到x t =的距离为112t t t −−=− 12y y <，抛物线开口向上，∴离对称轴越远则，函数值越大，∴122t −> 解得21t <− 2）当Q 点在P 的左侧，且12y y <，同理可得21x t =−，Q ∴到x t =的距离为()121t t t −−=−212t ∴−> 解得32t > 综上所述：21t <−或32t >． 【点睛】本题考查了二次函数性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．15. 已知ADE 和ABC 都是等腰直角三角形，90ADE BAC ∠=∠=°，P 为AE 的中点（1）如图1，点A 、B 、D 在同一条直线上，直接写出DP 与BC 的位置关系；（2）将图1中的ADE 绕点A 逆时针旋转，当AD 落在图2所示的位置时，点C 、D 、P 恰好在同一条直线上．①在图2中，按要求补全图形，并证明BAE ACP ∠=∠；②连接BD ，交AE 于点F ，判断线段BF 与DF 的数量关系【答案】（1）DP BC ⊥的（2）①见解析；②BF DF =．证明见解析【解析】【分析】（1）根据ADE 是等腰直角三角形，可得AD ED =，由P 为AE 的中点，依据等腰三角形性质“三线合一”，即可得到DP AE ⊥；进一步证得AE BC ∥，得出DP BC ⊥；（2）①按照题意补全图形，根据等腰三角形性质可得45BAE CAD BAC DAE ∠+∠=∠−∠=°，即可证明结论；②延长CP 至G ，使PG DP =，连接AG BG ，，利用SAS 证明APG APD BAG CAD ≌，≌，可得BGC APG ∠=∠，进而可得PF BG ∥，根据平行线分线段成比例定理即可证明结论．【小问1详解】解：∵ADE 是等腰直角三角形，90ADE ∠=°，∴AD ED =，∵P 为AE 的中点，∴DP AE ⊥；又∵ADE 和ABC 都是等腰直角三角形，∴45EAD ABC ∠=∠=°，∴AE BC ∥，∴DP BC ⊥；【小问2详解】①补全图形如图2所示；证明：∵ADE 和ABC 都是等腰直角三角形，90ADE BAC ∠=∠=°，∴45DAE AD ED ∠=°=，，∵P 为AE 的中点，∴45ADP EDP ∠=∠=°， ∴45BAE CAD BAC DAE ∠+∠=∠−∠=°，∵45CAD ACP ADP ∠+∠=∠=°，∴BAE ACP ∠=∠；②BF DF =．证明如下：如图3，延长CP 至G ，使PG PD =，连接BG BG ，，∵ADE 是等腰直角三角形，90ADE ∠=°，∴45AD DE DAE =∠=°，，∵P 为AE 中点，∴90APD APG AP DP PG ∠=∠=°==，，∴SAS APG APD ≌（）， ∴45AG AD PAG DAE AGP =∠=∠=∠=°，，∴90GAD BAC ∠=∠=°， ∴90BAG BAD CAD BAD ∠+∠=∠+∠=°，∴BAG CAD ∠=∠，∵AG AD AB AC ==，，∴SAS BAG CAD ≌（）， ∴180135AGB ADC ADP ∠=∠=°−∠=°，∴90BGC AGB AGP ∠=∠−∠=°，∴BGC APG ∠=∠，∴PF BG ∥， ∴1DFDP BF PG==， ∴BF DF =．【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质和判定，全等三角形判定和性质，三角形内角和定理，旋转变换的的性质，平行线分线段成比例定理等，解题关键是添加辅助线构造全等三角形．16. 在平面直角坐标系xOy 中，对于线段AB 和点C ，若ABC 是以AB 为一条直角边，且满足AC AB >的直角三角形，则称点C 为线段AB 的“从属点”．已知点A 的坐标为(0,1)．（1）如图1，若点B 为()2,1，在点()10,2C −，()22,2C ，()31,0C ，()40,3C 中，线段AB 的“从属点”是___________；（2）如图2，若点B 为()1,0，点P 在直线23y x =−−上，且点P 为线段AB 的“从属点”，求点P 的坐标；（3）点B 为x 轴上的动点，直线()40y x b b =+≠与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，若存在某个点B ，使得线段MN 上恰有2个线段AB “从属点”，直接写出b 的取值范围．【答案】（1）1C ，2C（2）25,33 −− 或41,33 −−（3）5b >或4b <−【解析】【分析】（1）按照“从属点”的定义分别对四个点进行分析即可；（2）分90ABP ∠=°和90BAP ∠=°两种情况，借助等腰直角三角形的判定和性质求解； （3）画出图象，分0b >和0b <两种情况，分别求出其临界值，从而得到b 的取值范围．【小问1详解】解：1(02)C -，，则132AC AB =>=，且ABC 为直角三角形，故1C 是线段AB 的“从属点”；2(22)C ，，则22AC AB =>=，且ABC 为直角三角形，故2C 是线段AB 的“从属点”；3(1,0)C ，则AB 不是直角边，故3C 不是线段AB 的“从属点”；4(0,3)C ，则42AC AB ==，故4C 不是线段AB 的“从属点”；综上：线段AB 的“从属点”是1C ，2C【小问2详解】解：设点P 的坐标为(),23a a −−，点P 为线段AB 的“从属点”，①90ABP ∠=°时，由题意可知：1OAOB ==， ∴OAB 为等腰直角三角形，∴45ABO ∠=°，∴45OBP ∠=°， 过点P 作PF y ⊥轴，垂足为F ，BP 交y 轴于点E ，可知OBE △和PEF 为等腰直角三角形，∴1OE OB ==，PF EF a ==−，∴1OF a =−，则123a a −+，解得：23a =−，∴点P 的坐标为25,33 −−，此时AP AB >；②90BAP ∠=°时，过点P 作PG x ⊥轴，垂足为G ，AP 交x 轴于点H ，同理可知：45OAP AHO PHG ∠=°=∠=∠，∴AOH △和PHG 为等腰直角三角形，∴1AO HO ==，23PG HG a ==+，∴24OGa =+， 则24a a −−=，解得：43a =−， ∴点P 的坐标为41,33 −−，此时AP AH HP AB =+>；综上，点P 的坐标为：25,33 −− 或41,33 −−【小问3详解】 解：如图，AC AE AB ==由“从属点”的定义可知：线段AB 的从属点在射线1CC ，1EE ，BD 上，当0b >时，当点B 和原点重合时，若要满足线段MN 上恰有2个线段AB 的“从属点”，则点C 在线段MN 上此时点1(1,1)C −，代入4y x b =+，得：5b = 从而当5b >时，总能找到点B ，满足条件，故5b >当0b <时，若要满足线段MN 上恰有2个线段AB 的“从属点”，如图，当点E 和M 重合时，AB AE =ABE ∴ 为等腰直角三角形可得：1AO EO ==，即(1,0)E ，代入4y x b =+，得：4b =− 而当4b >−时，四条射线1CC 、1DD 、1EE 、1FF 无法与线段MN 产生两个交点，从而当4b <−时，总能找到点B ，满足条件，故4b <−综上，b 的取值范围是：5b >或4b <−【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质、直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定和性质，解题关键是把握好“从属点”的定义，结合一次函数图象进行数形结合分析．。

2021-2022学年陕西省西安交大附中九年级（上）开学数学试卷一.选择题（本大题共8小题，每小题3分，计24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）若a＜b＜0，则下列各式中一定正确的是（）A．a﹣3＜b﹣3B．﹣a＜﹣bC．a+1＞b+1D．ma＞mb3．（3分）已知等腰三角形的周长为19，一边长为8，则此等腰三角形的底边长为（）A．3B．8C．3或8D．8或5.54．（3分）同一枚硬币小明先抛一次，然后小亮再抛一次，两次都是反面朝上的概率是（）A．B．C．D．5．（3分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根，则a的取值范围是（）A．a≥﹣4B．a＞﹣3C．a≥﹣3且a≠1D．a＞﹣3且a≠1 6．（3分）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝4，AF＝1，则BC的长是（）A．4B．5C．7D．67．（3分）已知m，n是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则m2+4m+n的值为（）A ．﹣2B ．2C ．﹣3D ．48．（3分）如图，直线AB 与坐标轴交于A 、B 两点，OA ＝3，OB ＝1．若将直线AB 绕点A 逆时针旋转45°后交x 轴于点C ，则点C 到直线AB 的距离是（）A ．2B ．4C ．D ．二.填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．（3分）因式分解：9a ﹣4a 3＝．10．（3分）一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是边形．11．（3分）在一个不透明的袋中装材质、大小完全相同颜色不同的若干个红球和3个白球，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，估计袋中红球有个．12．（3分）《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为x 尺，根据题意，那么可列方程．13．（3分）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 是AB 的中点，点E 在直线BC 上运动，以DE 为边向左侧作正方形EDFG ，连接AF ，若AC ＝3，则AF 的最小值是．三.解答题（共12小题，计81分）14．（5分）计算：（3.14﹣π）0﹣|3﹣2|+×．15．（5分）解不等式组：．16．（5分）化简：（﹣1）÷．17．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，请用尺规在BC上求作一点D，使得过A、D的直线把△ABC分成两个等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）．18．（10分）解方程：（1）x2﹣4x﹣12＝0；（2）x（x﹣9）＝8（9﹣x）．19．（6分）如图，已知：在等边△ABC中，CD＝AE，AD与BE交于点P．求证：∠APE ＝60°．20．（6分）为了进一步丰富校园阳光体育活动，该校准备购进一批排球和篮球，已知每个篮球的进价比每个排球的进价多20元，用2400元购进排球的数量是用1600元购进篮球数量的2倍，求每个篮球和排球的进价各多少元？21．（7分）某学校三名同学甲、乙、丙准备在周末参加十四运的志愿者活动，各自随机选择到乒乓球（项目A）、羽毛球（项目B）两个项目担任志愿者．（1）甲同学选择羽毛球项目志愿者的概率是；（2）求这三人在同一项目担任志愿者的概率．22．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB、BD为邻边作▱ABDE，分别连接AD、EC，AC和DE相交于点O．（1）若∠B＝35°，求∠AOD的度数；（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形ADCE的形状，并说明理由．23．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22＝8﹣3x1x2，求m的值．24．（8分）今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个．（1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；（2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，该电脑城决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？25．（10分）在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，E是对角线BD上的一点，连接AE．（1）当E在AB的中垂线上时，把射线EA绕点E顺时针旋转90°后交CD于F．如图①，若AB＝4，求EF的长；（2）在（1）的条件下，连接BF，把△BEF绕点B顺时针旋转得到△BHK，如图②，连接CH，点N为CH的中点，连接AN，求AN的最大值．2021-2022学年陕西省西安交大附中九年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共8小题，每小题3分，计24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【分析】根据轴对称图形的概念与中心对称的概念即可作答．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．【解答】解：A．既是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项不合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；C．是中心对称图形但不是轴对称图形．故本选项符合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查中心对称图形与轴对称图形，掌握相关概念是解题的关键．2．【分析】A：不等式的两边同时加上（或减去）同一个负数，不等式的两边同时加上（或减去）同一个负数，不等号的方向改变号的方向改变，据此判断即可；B：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上；C：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边同时加上（或减去）同一个负数，不等号的方向改变；D：因为无法确定m的正负，无法据此判可．【解答】解：∵a＜b＜0，∴a﹣3＜b﹣3，∴选项A符合题意；∵a＜b，∴﹣a＞b一定不正确，∴选项B不合题意；∵a＜b＜0，∴，∴，∴选项C不合题意；∵a＜b，∴ma＜mb，∴选项D不合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．3．【分析】本题已知了等腰三角形的周长和一边的长，但是没有明确长为8的边是腰长还是底边长，因此要分类讨论．最后要根据三角形三边关系将不合题意的解舍去．【解答】解：本题可分两种情况：①当腰长为8时，底边长＝19﹣2×8＝3；经检验，符合三角形三边关系；②底边长为8，此时腰长＝（19﹣8）÷2＝5.5，经检验，符合三角形三边关系；因此该等腰三角形的底边长为3或8．故选：C．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系的应用等知识．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．4．【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：根据题意画图如下：共有4种等可能的情况数，其中两次都是反面朝上的有1种，则两次都是反面朝上的概率是．故选：B．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．5．【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到a﹣1≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4（a ﹣1）×（﹣1）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得a﹣1≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4（a﹣1）×（﹣1）≥0，解得a≥﹣3且a≠1．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．6．【分析】根据平行四边形的性质证明DF＝CD，进而可得FD的长，然后可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB＝CD＝4，AD＝BC，∴∠DFC＝∠FCB，又∵CF平分∠BCD，∴∠DCF＝∠FCB，∴∠DFC＝∠DCF，∴DF＝DC＝4，∵AF＝1，∴AD＝4+1＝5，∴BC＝5．故选：B．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题．7．【分析】先根据一元二次方程解的定义得到m2+3m﹣1＝0，即m2＝﹣3m+1，代入m2+4m+n 得到m+n+1，再根据根与系数的关系得到m+n＝﹣3，然后利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：∵m是方程x2+3x﹣1＝0的根，∴m2+3m﹣1＝0，∴m2＝﹣3m+1，∴m2+4m+n＝﹣3m+1+4m+n＝m+n+1，∵m，n是方程x2+3x﹣1＝0两根，∴m+n＝﹣3，∴m2+4m+n＝m+n+1＝﹣3+1＝﹣2．故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了一元二次方程解的定义．8．【分析】过点B作BD⊥AB，交AC于点D，过点D作DE⊥x轴于E，证明△AOB≌△BED，得到点D的坐标为（2，﹣1），再用待定系数法即可求得直线AC的解析式，进而求得C的坐标，利用三角形面积是即可求得点C到直线AB的距离．【解答】解：过点B作BD⊥AB，交AC于点D，过点D作DE⊥x轴于E，∵∠BAC＝45°，故△ABD为等腰直角三角形，则AB＝BD，∵∠ABC+∠BAO＝90°，∠ABC+∠DBE＝90°，∴∠BAO＝∠DBE，在△AOB与△BED中，，∴△AOB≌△BED（AAS），∴OA＝BE＝3，OB＝DE＝1，∴OE＝3﹣1＝2，∴点D的坐标为（2，﹣1），设直线AC的表达式为y＝kx+3，把点D的坐标代入得2k+3＝﹣1，解得k＝﹣2，∴直线AC的表达式为y＝﹣2x+3，令y＝0，则﹣2x+3＝0，解得x＝，∴C（，0），∴BC＝，∵AB＝＝＝，设C点到直线AB的距离为h，∴AB•h＝BC•OA，∴h＝＝＝，故选：C．【点评】本题考查的坐标与图形的变化﹣旋转，考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积的应用等，求得C的坐标是解题的关键．二.填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．【分析】直接提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：9a﹣4a3＝a（9﹣4a2）＝a（3﹣2a）（3+2a）．故答案为：a（3﹣2a）（3+2a）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．10．【分析】根据多边形的内角和定理：180°•（n﹣2）求解即可．【解答】解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝150°•n，解得n＝12．故多边形是十二边形．【点评】主要考查了多边形的内角和定理．n边形的内角和为：180°•（n﹣2）．此类题型直接根据内角和公式计算可得．11．【分析】根据口袋中有3个白球，利用小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可．【解答】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，口袋中有3个白球，∵假设有x个红球，∴＝0.75，解得：x＝9，经检验x＝9是分式方程的解，∴口袋中红球约有9个．故答案为：9．【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．12．【分析】直接利用勾股定理进而得出等式方程即可．【解答】解：设门的宽为x尺，那么这个门的高为（x+6）尺，根据题意得方程：x2+（x+6）2＝102．故答案为：x2+（x+6）2＝102．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．13．【分析】作DH⊥AB交BC于H，连接BF并延长，根据等腰直角三角形的性质可得∠DBH＝∠DHB，故DB＝DH，根据正方形的性质，利用SAS可证明△FBD≌△EHD，得到∠FBD＝∠EHD＝45°，进而可证得FB⊥BC，故点F在过点B且垂直于BC的直线上运动，利用点到直线的距离中垂线段最短得到当AF⊥BF时，AF最短，利用勾股定理可求得AF的长度．【解答】解：作DH⊥AB交BC于H，连接BF并延长，∴DH∥AC，∴∠DHB＝∠ACB，∵AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，∴∠DBH＝∠ACB＝∠DHB＝45°，∴DB＝DH，∵四边形EDFG为正方形，∴∠FDE＝90°，DF＝DE，∴∠FDB+∠BDE＝90°，∠BDE+∠EDH＝90°，∴∠FDB＝∠EDH，在△FBD和△EHD中，，∴△FBD≌△EHD（SAS），∴∠FBD＝∠EHD＝45°，∴∠FBE＝∠FBD+∠DBH＝90°，∴FB⊥BC，∴点F在过点B且垂直于BC的直线上运动，当AF⊥BF时，AF最小，此时∠ABF＝45°，AF＝BF，由勾股定理得，AF2+BF2＝AB2，即2AF2＝9，∴AF＝，故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键时确定点F在过点B且垂直于BC的直线上运动，进而确定AF的最小值．三.解答题（共12小题，计81分）14．【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝1﹣（2﹣3）+4＝1﹣2+3+4＝4+2．【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及绝对值的性质和二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．15．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：，解不等式①得：x＞﹣7，解不等式②得：x≤11，则不等式组的解集为﹣7＜x≤11．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．16．【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法．【解答】解：原式＝（）÷＝＝＝﹣．【点评】本题考查分式的混合运算，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则以及完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的结构是解题关键．17．【分析】作AB的垂直平分线交BC于D，则DA＝DB，所以∠DAB＝∠B＝36°，则∠ADC＝72°，由于AB＝AC，所以∠C＝∠B＝36°，则∠DAC＝72°，所以△ADC为等腰三角形．【解答】解：如图，点D为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定与性质．18．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣12＝0，∴（x﹣6）（x+2）＝0，则x﹣6＝0或x+2＝0，解得x1＝6，x2＝﹣2；（2）∵x（x﹣9）＝8（9﹣x），∴x（x﹣9）+8（x﹣9）＝0，则（x﹣9）（x+8）＝0，∴x﹣9＝0或x+8＝0，解得x1＝9，x2＝﹣8．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．19．【分析】先根据SAS定理得出△ABD≌△BCE，故可得出∠BAD＝∠EBC，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，∵CD＝AE，∴BC﹣CD＝AC﹣AE，即BD＝CE，在△ABD与△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠EBC，∴∠BAD+∠ABP＝∠ABD＝60°．∵∠APE是△ABP的外角，∴∠APE＝∠BAD+∠ABP＝60°．【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．20．【分析】设每个排球的进价为x元，则每个篮球的进价为（x+20）元，由题意：用2400元购进排球的数量是用1600元购进篮球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可．【解答】解：设每个排球的进价为x元，则每个篮球的进价为（x+20）元，由题意得：×2，解得：x＝60，经检验，x＝60是原分式方程的解．则x+20＝80，答：每个篮球的进价为80元，每个排球的进价为60元．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键．21．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）∵共有2种项目，分别是乒乓球（项目A）、羽毛球（项目B），∴甲同学选择羽毛球项目志愿者的概率是；故答案为：；（2）根据题意画树状图如下：共有8种等可能等情况数，其中这三人在同一项目担任志愿者的2种，则这三人在同一项目担任志愿者的概率是＝．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．【分析】（1）根据平行四边形的性质、等腰三角形的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△ADC≌△ECD，进而利用全等三角形的性质和三角形外角的性质解答即可；（2）利用等腰三角形的“三合一”性质推知AD⊥BC，即∠ADC＝90°；由平行四边形的判定定理（对边平行且相等是四边形是平行四边形）证得四边形ADCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形．【解答】解：（1）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），∴AB∥DE，AB＝DE（平行四边形的对边平行且相等）；∴∠B＝∠EDC（两直线平行，同位角相等）；又∵AB＝AC（已知），∴AC＝DE（等量代换），∠B＝∠ACB（等边对等角），∴∠EDC＝∠ACD（等量代换）；∵在△ADC和△ECD中，，∴△ADC≌△ECD（SAS），∴∠ACD＝∠EDC（全等三角形对应角相等），∵∠B＝35°，AB∥DE，∴∠EDC＝∠B＝35°，∴∠AOD＝∠EDC+∠ACD＝70°；（2）证明：∵四边形ABDE是平行四边形（已知），∴BD∥AE，BD＝AE（平行四边形的对边平行且相等），∴AE∥CD；在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC（等腰三角形的“三合一”性质），BD＝CD，∴AE＝CD，∴四边形ADCE是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；∵∠ADC＝90°，∴▱ADCE是矩形．【点评】本题综合考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定以及矩形的判定．注意：矩形的判定定理是“有一个角是直角的‘平行四边形’是矩形”，而不是“有一个角是直角的‘四边形’是矩形”．23．【分析】（1）根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论；（2）利用根与系数的关系可得出x1+x2＝2m﹣2，x1•x2＝m2，结合x12+x22＝8﹣3x1x2即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．∴Δ＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4m2＝4﹣8m≥0，解得：m≤．（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0的两个根分别为x1、x2，∴x1+x2＝2m﹣2，x1•x2＝m2，∵x12+x22＝8﹣3x1x2，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝8﹣3x1x2，即5m2﹣8m﹣4＝0，解得：m1＝﹣，m2＝2（舍去），∴实数m的值为﹣．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握当一元二次方程有实数根时根的判别式△≥0是解题的关键．24．【分析】（1）设平均下降率为x，利用2021年该类电脑显卡的出厂价＝2019年该类电脑显卡的出厂价×（1﹣下降率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；（2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（38﹣m）元，每天可售出（20+2m）个，利用每天销售该电脑显卡获得的利润＝每个的销售利润×日销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值即可得出结论．【解答】解：（1）设平均下降率为x，依题意得：200（1﹣x）2＝162，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．答：平均下降率为10%．（2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（200﹣m﹣162）＝（38﹣m）元，每天可售出20+×10＝（20+2m）个，依题意得：（38﹣m）（20+2m）＝1150，整理得：m2﹣28m+195＝0，解得：m1＝15，m2＝13．∵为了减少库存，∴m＝15，答：单价应降低15元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25．【分析】（1）如图①，连接AC交BD于O，根据菱形性质可得∠AOB＝90°，OB＝OD，AD＝BC＝AB＝4，∠BAO＝∠DAO＝60°，∠ABO＝∠ADB＝30°，运用三角函数可得OB＝AB•sin∠BAO＝2，进而可得BD＝2OB＝4，由E在AB的中垂线上，可推出EA＝EB，可得∠BAE＝∠ABO＝30°，再运用三角函数得DE＝＝，再利用EF∥BC，求出答案；（2）如图②，过点A作AG⊥BC于G，连接AC，GN，运用勾股定理可得AG＝＝2，运用三角形中位线定理可得GN＝BH＝，再利用AN≤AG+GN，即可求得答案．【解答】解：（1）如图①，连接AC交BD于O，∵菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝4，∴∠AOB＝90°，OB＝OD，AD＝BC＝AB＝4，∠BAO＝∠DAO＝60°，∴∠ABO＝∠ADB＝30°，在Rt△ABO中，OB＝AB•sin∠BAO＝4×sin60°＝2，∴BD＝2OB＝4，∵E在AB的中垂线上，∴EA＝EB，∴∠BAE＝∠ABO＝30°，∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝90°，∴DE＝＝＝，∵射线EA绕点E顺时针旋转90°后交CD于F，∴∠AED+∠DEF＝90°，∵∠AED＝90°﹣∠ADE＝60°，∴∠DEF＝30°，∵∠DBC＝∠ABD＝30°，∴∠DEF＝∠DBC，∴EF∥BC，∴＝，即＝，∴EF＝；（2）如图②，过点A作AG⊥BC于G，连接AC，GN，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∵AG⊥BC，∴BG＝CG＝2，∴AG＝＝＝2，由旋转得：BH＝BE＝BD﹣DE＝4﹣＝，∵点G，N分别是BC，CH的中点，∴GN＝BH＝×＝，∵AN≤AG+GN＝2+＝；∴AN的最大值为．【点评】本题是四边形综合题，考查了菱形性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形性质，勾股定理，三角函数，旋转的性质等，解题关键是熟练掌握菱形性质和旋转性质等相关知识，合理添加辅助线构造直角三角形．。

北京大学附属中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学一、单选题1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A 3B 0.5C 12D 32．如图，ABCD 中，25B ∠=︒，则A ∠=（）A ．50︒B ．65︒C ．115︒D ．155︒3．下列计算正确的是（）A 2810B ．2222-=C 284=D 824=4．用配方法解方程2430x x --=，则配方正确的是（）A ．2(2)1x -=B ．2(2)1x +=C ．2(2)7x -=D ．2(2)7x +=5．已知一次函数2y x =-+，那么下列结论正确的是（）A ．y 的值随x 的值增大而增大B ．图象经过第一、二、三象限C ．图象必经过点()0,2D ．当2x <时，y <06．某企业参加“科技创新企业百强”评选，创新能力、创新价值、创新影响三项得分分别为8分，9分，7分，若将三项得分依次按5：3：2的比例计算总成绩，则该企业的总成绩为（）A ．8分B ．8.1分C ．8.2分D ．8.3分7．某工厂2021年生产某种机械5000台，研发生产技术后，预计2023年生产该种机械6600台，设生产该种机械的年平均增长率为x ，下面所列方程正确的是（）A ．()2500016600x +=B ．2 50006600x =C ．()2660015000x -=D ．()()250001500016600x x +++=8．如图1，动点P 从点A 出发，在边长为1的小正方形组成的网格平面内运动．设点P 经过的路程为s ，点P 到直线l 的距离为d ，已知d 与s 的关系如图2所示．则下列选项中，可能是点P 的运动路线的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．已知2x =是关于x 的一元二次方程250x bx +-=的一个根，则b 的值是．10．已知点1(1,)A y ，2(4,)B y 在直线21y x =-上，比较1y 与2y 的大小：1y 2y ．（填“>”，“=”或“<”）11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点23A （，），以点O 为圆心，OA 长为半径画弧，交x 轴的正半轴于点B ，则点B 的横坐标为．12．如图，菱形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，点E 边CD 的中点，连接OE ．若AC =2BD =，则OE 长为．13．甲、乙两地6月上旬的日平均气温如图所示，则这两地中6月上旬日平均气温的方差较小的是．（填“甲”或“乙”）14．由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，需要对它的刹车性能进行测试，设汽车的刹车距离为s （单位：m ），车速为v （单位：km/h ），根据测得的数据，s 与v 的函数关系如图所示，（1）若该款汽车某次测试的刹车距离为50m ，估计该车的速度约为km/h ；（2）在测试中发现该款汽车在车速达到某一数值时，其刹车距离的数值恰好是车速数值的13，则此时的车速约为km/h （结果取整数）．三、解答题15．（1（2）解方程：2450x x --=．16．如图，在ABCD 中，点E F ，分别在AB ，CD 上，且BE DF =．求证：AF CE =．17．下面是小茜设计的“作一个已知角的平分线”的尺规作图过程．已知：如图1，AOB ∠．求作：射线OP ，使得OP 平分AOB ∠．作法：如图2，①在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作弧交射线OB 于点D ；②分别以点C ，D 为圆心，OC 长为半径作弧，两弧交于点P （异于点O ），连接PC 和PD ；③作射线OP ．所以射线OP 平分AOB ∠．根据小茜设计的尺规作图过程．(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明，并在括号内填写推理依据．证明：∵OC OD PC ===，∴四边形OCPD 是（），∴OP 平分AOB ∠（）．18．在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数122y x=-+的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B．(1)求A、B两点的坐标；(2)在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象；(3)结合图象直接写出当0y>时，x的取值范围．19．如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上．(1)判断ACD的形状，并说明理由；(2)求四边形ABCD的面积．20．抛物线()2y a x h =+的对称轴是直线2x =-，且过点()1,3-．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标；(3)当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？21．已知关于x 的一元二次方程22210x kx k +-=-．(1)请判断这个方程根的情况；(2)若该方程有一个根小于1，求k 的取值范围．22．如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC BC ⊥，点E 是BC 延长线上一点，且CE BC =，连接DE ．(1)求证：四边形ACED 为矩形；(2)连接OE ，若32BC DE ==，，求OE 的长．23．2023年5月30日神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，某校准备以此为契机，开展一次“普及航天知识，弘扬航天精神”的科普讲座.为了获悉学生对航天知识的了解程度，讲座前学校从七、八两个年级各随机抽取名学生，进行了航天知识问卷测试，获得学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：a.七年级名学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：5060x≤<，≤<，6070xx≤≤）：x≤<，90100x≤<，80907080b.七年级成绩在7080x≤<这一组的是：70717172727374757677787979c.七、八两个年级成绩的平均分、中位数如下：年级平均分中位数七73.8m八73.874.5根据以上信息，回答下列问题：(1)写出表中m的值；(2)在七年级抽取的学生中，记成绩高于抽取学生平均分的学生人数为1p.在八年级抽取的学生中，记成绩高于抽取学生平均分的学生人数为2p.比较1p，2p的大小，并说明理由；(3)假设该校七年级共有200名学生参加测试，估计参加测试的学生成绩不低于80分的人数.24．在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图像经过点()()1,52,2，-．(1)求该函数的表达式；(2)当x m >时，对于x 的每一个值，函数2y x =+的值大于函数()0y kx b k =+≠，直接写出m 的取值范围．25．如图，正方形ABCD 中，点P 在边AD 上，连接DE ，使DE DC =，交CE 于点N ，连接AE AN BN 、、．(1)依题意补全图形；(2)判断ANE 的形状，并证明；(3)用等式表示线段AN BN CN 、、三者之间的数量关系，并证明．26．在平面直角坐标系xOy中，点P和图形W的中间点的定义如下：Q是图形W上一点，若M为线段PQ的中点，则称M为点P和图形W的中间点．C（-2，3），D（1，3），E（1，0），F（-2，0）（1）点A（2,0），①点A和原点的中间点的坐标为；②求点A和线段CD的中间点的横坐标m的取值范围；（2）点B为直线y=2x上一点，在四边形CDEF的边上存在点B和四边形CDEF的中间点，直接写出点B的横坐标n的取值范围．。

湖南师大附中2024-2025 学年度九年级上入学检测数学试题时量：90 分钟满分：100 分一．选择题（每题3 分，共30 分）1 ．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A .B .C .D .2 ．下列说法中，正确的是( )A ．对“神舟十八号”载人飞船零部件的检查适合采用抽样调查B ．调查市场上某品牌节能灯的使用寿命适合采用全面调查C ．甲、乙两人各进行了10 次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是S甲2= 3.2 ，S乙2= 1 ，则乙的射击成绩较稳定D ．某种彩票中奖率是10% ，则购买10 张这种彩票一定会中奖3．去年冬天，一山区县遭受冬雨天气灾害，居民生活受困，某校开展为灾区捐款活动，八年级（1）班第一组8 名学生捐款如下（单位：元）: 30 ，50 ，30 ，20 ，30 ，50 ，20 ，20，则这组捐款的众数是( )A ．30 元B ．20 元C ．25 元D ．30 元和20 元4 ．成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，学习成语，运用成语，了解成语当中所包含的语言文化现象，是我们学习语言、学习中国传统文化必不可少的一个环节和目的．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是( )A ．竹篮打水B ．守株待兔C ．水涨船高D ．水中捞月5．我区“人才引进”招聘考试分笔试和面试，按笔试占60% 、面试占40% 计算加权平均数作为总成绩．应试者李老师的笔试成绩为90 分，面试成绩为95 分，则李老师的总成绩为( )A ．90B ．91C ．92D ．936 ．从2 ，3 ，4 ，5 四个数中，随机抽取三个数，作为三角形的边长，能组成三角形的概率为( )A ．B ．C ．D .DQ（第8 题图）（第10 题图）7 ．已知点A (a , −2) ，B (3, b ) 关于原点对称，则 a b 的值为( )A . −6B ． 6C . −9D ．9 8 ．如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上， 那么小球最终停留在黑色区域的概率是( )A ．B ．C ．D .9 ．如图，在正方形网格中，△ EFG 绕某一点旋转某一角度得到△ RPQ ．则旋转中心可能是( )A ．点 AB ．点BC ．点C D ．点D 10．如图，△ OAB 中，7AOB = 60O ，OA = 4 ，点B 的坐标为(6, 0) ，将△ OAB 绕点 A 逆时针旋转得到△CAD ， 当点 O 的对应点 C 落在OB 上时，点D 的坐标为( )A ．(7 ，33)B ．(7,5)C ．(5 3 ，5)D ．(5 3 ，33)二．填空题（每题 3 分，共 24 分）11 ．已知一组数据：3 、0、 −2 、5，则这组数据的极差为. 12 ．为了考查某种海水稻的长势，从所育稻苗中随机抽取 5 株，测量这 5 株稻苗高度所得数据为 8 ，8 ，9， 7 ，8（单位：cm ），该组数据的方差为 . 13 ．已知一组数据x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 的平均数是 5，则另一组数据5x 1 − 5 ，5x 2 − 5 ，5x 3 − 5 ，5x 4 − 5 的平均 数是 .14 ．在相同条件下选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如表所示：在相同的条件下，估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为 . （结果精确到0.1）15．一个布袋内只装有 2 个黑球和 1 个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是 . 16 ．抛物线y = x 2 − 8x +7 关于x 轴对称的抛物线的解析式为 .17 ．某校共有 40 名初中生参加足球兴趣小组，他们的年龄统计情况如图所示，则这 40 名学生年龄的中位数是 .16．二次函数y = ax 2 − 2x +1，若对于任意x 都有y < 0 成立，求 实数a 的取值范围是.三．解答题（10 +10 +12 +14 = 46 分）19．根据“五项管理”文件精神，某学校优化学校作业管理，探索减负增效新举措，学校就学生做作业时间 进行问卷调查，将收集信息进行统计分成 A 、B 、C 、D 四个层级，其中 C : 30 ~ 60 分钟；D : 30 分钟以下．并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计信息解答下列问 题：（1）求扇形统计图中“D ”等级的扇形的圆心角的度 数，并补全条形统计图；（2）全校约有学生 1500 人，估计“A”层级的学生约 有多少人？（3）学校从“ A ”层级的 3 名女生和 2 名男生中随机抽取 2 人参加现场深入调研，请用画树状图或列表的 方法，求出恰好抽到 1 名女生和 1 名男生的概率.20 ．如图，四边形ABCD 是正方形，△DCF 经逆时针旋转90O 后与△ BCE 重合. （1）若7DCF = 80O ， 7CDF = 30O ，求 7BEC 的度数； （2）若 CF = 2 ，求△CEF 的面积.AB C21 ．已知关于x 的一元二次方程(m −1)x 2 + (m − 4)x − 3 = 0 . （1）求证：此方程总有两个实数根；（2）如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值.A : 90 分钟以上；B : 60 ~ 90 分钟；F22 ．抛物线y = ax 2 − 2ax − 3a 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为D . （1）求 A 、B 两点的坐标；（2）若△ ABD 为等边三角形，求 a 的值； （3）若a = − 1①点F 是对称轴与AC 的交点，点P 是抛物线上一点，且横坐标为m ，PE 丄 x 轴交AC 于点E ，点 P ， E ，F 构成的三角形是直角三角形，求m 的值；②当k ≤ x ≤ k + 2 时，y = ax 2 − 2ax − 3a 始终位于直线y =−x 的下方，求实数k 的取值范围. / \ / / \图 1 图 2 备用图x x yy y。

2023北京人大附中初三（上）开学考数学一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．2023年5月30日上午，我国载人航天飞船“神舟十六号”发射圆满成功，与此同时，中国载人航天办公室也宣布计划在2030年前实现中国人首次登陆距地球平均距离为38.4万千米的月球．将384000用科学记数法表示应为（）A．38.4×104B．3.84×105C．3.84×106D．0.384×1062．下列轴对称图形中，对称轴最多的是（）A．B．C．D．3．若点A（﹣3，a），B（1，b）都在直线y＝5x﹣2上，则a与b的大小关系是（）A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积是（）A．36B．24C．12D．105．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（）A．c（a﹣b）＞0B．b（a﹣c）＞0C．a（b+c）＞0D．a（b﹣c）＞06．如果a﹣b＝3，那么代数式的值为（）A．﹣6B．﹣3C．3D．67．《周礼考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）…”意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宜半的角叫做欘…”．即：1宣＝矩，1欘＝宣（其中，1矩＝90°），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，则∠C的度数为（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°8．如图，在正方形ABCD中，P为边BC上一点（点P不与点B，C重合），AH⊥DP于G，并交CD于点H，CF⊥AH交AH延长线于点F．给出下面三个结论：①PC+AD＝AH；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．仅有②B．仅有③C．②③D．①②③二、填空题（共16分，每题2分）9．若代数式有意义，则实数x的取值范围是．10．把直线y＝﹣2x+1沿y轴向上平移2个单位，所得直线的函数关系式为．11．不等式组的解集为．12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D、E分别是AC、BC的中点，DE＝．13．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为．14．如图，正比例函数y1＝ax与一次函数的图象交于点P．下面四个结论：①a＞0；②b＜0；③不等式的解集是x＞﹣2；④当x＞0时，y1y2＜0．其中正确的是．15．利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝2，b＝1，则矩形ABCD的面积是．16．某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校56人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房．其中男生27人，女生29人．若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满．（1）要想使花费最少，需要间两人间；（2）现旅店对二人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要间三人间．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17．计算：．18．解方程：x2+3＝4x．19．已知：△ABC．求作：边BC上的高AD．作法：如图，①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线BC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P（不同于点A）；③作直线AP交BC于点D．线段AD就是所求作的△ABC的边BC上的高．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AM，AN，PM，PN．∵AM＝，PM＝，∴点A、点P均为线段MN垂直平分线上的点（）（填推理的依据）．∴AP是线段MN的垂直平分线，∴AD⊥BC于点D．即线段AD为△ABC的边BC上的高．20．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2＝0．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）若x＝1是该方程的根，求代数式（m﹣2）2+3的值．21．下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图1，△ABC中，D．E分别是边AB，AC的中点．求证：DE∥BC，DE＝BC．方法一证明：如图2，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF．方法二证明：如图3，过E作EF∥AB交BC于点F，过A作AG∥BC交直线EF于点G．22．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与二次函数y＝ax2﹣2ax+的图象交于点A（1，0），B（3，2）．（1）求一次函数解析式；（2）若抛物线y＝ax2﹣2ax+n与x轴存在交点，且当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝ax2﹣2ax+n 的值大于函数y＝kx+b的值，请直接写出n的值．23．第19届亚运会将于今年9月23日在杭州开幕，中国将再次因体育盛会引来全球目光，同时也掀起了运动热潮．某校举办了一场游泳比赛，9年级初选出10名学生代表．将10名学生代表200米自由泳所用时间数据整理如下：a.10名学生代表200米自由泳所用时间（单位：秒）：260，255，255，250，248，246，246，246，220，205b．10名学生代表200米自由泳所用时间的平均数、中位数、众数（单位：秒）：平均数中位数众数243.1m n（1）写出表中m，n的值；（2）部分同学因客观原因没有参加选拔，学校决定，若5次日常训练的平均用时低于10名学生代表中的一半同学，且发挥稳定，就可以加入代表团．①甲乙两位同学5次日常训练的用时如下表，请你判断，两位同学更有可能加入代表团的是（填“甲”或“乙”）；第一次第二次第三次第四次第五次甲同学日常训练用时246255227266236乙同学日常训练用时246255239240250②丙同学前4次训练的用时为270，255，249，240，他也想加入代表团，若从日常训练平均用时的角度考虑，则第5次训练的用时t的要求为：．24．如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）连接AC与BD交于点O，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E点，连接EO，若，DE ＝4，求CE的长．25．电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似的看成抛物线的形状．如图，在一个斜坡BD上按水平距离间隔60米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为27米（AB＝CD＝27米），以过点A的水平线为x轴，水平线与电缆的另一个交点为原点O建立平面直角坐标系，如图所示．经测量，AO＝40米，斜坡高度12米（即B、D两点的铅直高度差）．结合上面信息，回答问题：（1）若以1米为一个单位长度，则D点坐标为，下垂电缆的抛物线表达式为．（2）若电缆下垂的安全高度是13.5米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于13.5米时，符合安全要求，否则存在安全隐患．（说明：直线GH⊥x轴分别交直线BD和抛物线于点H、G．点G距离坡面的铅直高度为GH的长），请判断上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣4m+3与y轴交于点A，且经过点B，已知点B横坐标为2m+1．（1）当m＝2时，抛物线的对称轴为，顶点为；（2）记二次函数图象在点A、点B之间的部分（包括A、B）为图形K．①当m＞0时，若图形K与x轴有且只有一个交点，求m的取值范围；②当m＜0时，记图形K上点的纵坐标的最大值与最小值的差为h，直接写出h关于m的函数解析式（用m表示h）．27．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC上一点，连结AD．（1）如图1，点D不与B、C重合，用等式表示AD、BD、CD之间的数量关系，并证明；（2）如图2，延长CB至E使得BE＝BD，若∠BAD＝7.5°，用等式表示AD与AE的数量关系，并证明．28．对于平面直角坐标系xOy中的点P和矩形M，给出如下定义：若矩形M各边分别与坐标轴平行，且在矩形M上存在一点Q，使得P、Q两点间距离小于1，则称P为矩形M的“近距点”．（1）如图，若矩形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，且顶点A（﹣3，）．①在点P1（0，﹣1），P2（2，0），P3（4，2）中，矩形ABCD的“近距点”是；②点P在直线y＝x上，若P为矩形ABCD的“近距点”，求点P横坐标m的取值范围．（2）将（1）中的矩形ABCD沿着x轴平移得到矩形A'B'C'D'，矩形A'B'C'D′对角线交点为（n，0），直线y＝﹣x+与x轴、y轴分别交于点E、F．若线段EF上的所有点都是矩形A′B′C′D′的“近距点”，直接写出n的取值范围．。

2024-2025学年度第一学期初三年级数学练习一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．在当地时间7月27日结束的巴黎奥运会10米气步枪混合团体比赛中，中国选手黄雨婷/盛李豪夺得本届奥运会首枚金牌，右图是巴黎奥运会射击项目图标，这个图案的对称轴条数为（）A ．6B ．4C ．2D ．12．如图，直线a b ，直线l 与a b ，分别交于点A B ，，过点A 作AC b 于点C ．若155 °，则2 的大小为（）A ．35B ．45C ．55D ．1253．a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A ．2a B ．a bC ．0abD ．a b4．2024年第33届巴黎奥运会是史上第一届男女比例完全平衡的奥运会，参赛的男女运动员分别为5250，5250名，本届奥运会的运动员总数用科学记数法表示为（）A ．35.2510 B ．45.2510 C ．.41510 D ．41.05105．把抛物线23y x 向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）A ．2)3(25y xB ．23(5)2y xC ．23(2)5y x D ．23(2)5y x 6．如图，在点M N P Q ，，，中，一次函数2(0)y kx k 的图象可能经过的点是（）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q7．当1x 时，下列各式中有意义的是（）A ．31x B C ．12x D ．212x x x8．在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录“配速”，即每行进1km 所用的时间（单位：min ）．小宇参加5km 的公路自行车骑行训练，他骑行的“配速”情况如图所示，下列说法①第1km 所用的时间最长；②第5km 的平均速度最大；③前3km 的平均速度大于最后2km 的平均速度；所有正确说法的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题（共12分，每题2分）9．计算：11122．10．一个正五边形的外角和为 ．11．分解因式：3a 2﹣12=．12．某工厂加工了一批共360个工件，质检员小字从中随机抽取了12个工件检测了它们的质量（单位：g ），得到的数据如下：31.0230.9731.0530.9931.0231.0530.9831.0230.9731.0130.9631.01当一个工件的质量x （单位：g ）满足：30.9731.03x 时，评定该工件为一等品，根据以上数据，估计这一批工件中一等品的个数是．13．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A ，B ，C 均为格点，以点A 为圆心，AB 长为半径作弧，交格线于点D ，则CD 的长为．14．某乡镇下设有六个村庄，村庄之间有道路相通，如图所示，图中的黑线即代表村庄间连通的道路，道路上标志的数字为该道路的长度（单位：千米），小宇要为该乡镇设计自来水管道线路，为了铺设及检修方便，所有的自来水管道均要沿着村庄间的道路铺设，且要求六个村庄都能通过管道相连．请回答：所铺设自来水管道总长度的最小值为千米．三、解答题（共72分，第15-16题，每题5分，第17题6分，第18题5分，第19-22题，每题6分，第23题5分，第24题7分，第25题8分，第26题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．如图，在ABC V 中，90ACB AD AB ，且AD AB ，点E 在AC 上，且AE BC ，连接퐷 ．求证：DE AC ．16．已知关于x 的一元二次方程20x mx n ．(1)当2,5m n 时，求方程的根；(2)当2m n 时，求证：方程有两个不相等的实数根．17．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c 经过点 3,0,0,3A B ．(1)求此抛物线的解析式；(2)在坐标系中画出这条抛物线（不用列表）；(3)过点 ,0P n 作x 轴的垂线，分别交抛物线于点M ，交直线AB 于点N ，记点M 的纵坐标为M y ，点N 的纵坐标为N y ，若M N y y ，结合图象，直接写出n 的取值范围．18．小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为60cm ，宽为24cm ，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且均为一边宽的5倍，如果在装裱后，原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的920，那么装裱后左右两边的边宽分别是多少？19．如图1是一个轨道的示意图，其中四边形ABCD 为菱形，边长2m,120AB ABC ，对角线AC 与퐵퐷交于点O ，在此菱形的四条边及对角线上均装有轨道，同时在点B 处安装了一台观测仪．小宇操作机器人以1m/min 的速度沿轨道匀速运动，机器人从点B 出发，依照设定的顺序分别经过O ，C ，D 三点各一次并最终到达点A ．记机器人运动的时间为min x ，机器人到观测仪的距离为m y ，机器人在轨道中转弯所用时间忽略不计．在机器人运动结束后，小宇发现观测仪出现故障，只得到了部分观测结果．经整理后，观测仪中所记录的y 与x 的函数关系的部分对应值如表1所示，其部分函数图象如图2所示．min x （）012456a m y （）1221b2表1根据上述信息回答：(1)机器人的运动路线是：B→______→______→______→A（请选填“O”，“C”，“D”）；(2)补全图2中的函数图象；(3)a ______，b ______．20．巴黎奥运会男子50米步枪三姿决赛于当地时间8月1日上午结束，中国运动员刘宇坤不负众望，最终夺冠，小宇观看了比赛的直播，并记录和分析了比赛数据，得到如下信息：a．决赛共有8名选手参加，先后进行跪姿、卧姿、立姿三种姿势的射击，具体规则为：·每位选手先进行40发子弹的基础射击（依次为跪姿15发、卧姿15发、立姿10发），按选手所获得的总环数从高到低依次排名；·在基础射击环节结束后，排名最后两位的选手被淘汰，其余选手进行单发淘汰赛，淘汰赛为立姿，每轮射击1发子弹后，淘汰赛与基础射击总环数之和最低的1名选手被淘汰，直到5轮淘汰后最终决出冠军；·在淘汰赛进行过程中，当排名最后的若干位选手总环数相同时，将进行加枪决胜，加枪的环数不计入总环数中；·选手每一次射击的环数最低为0.0，最高为10.9，且均为0.1的整数倍．b．基础射击结束后8名选手的三种姿势平均成绩如下表所示选手A B C D E F G H跪姿（15发）10.3510.2610.1510.2210.2310.2710.2510.19卧姿（15发）10.4510.4810.3710.4510.5010.5010.3410.39立姿（10发）9.8410.159.9510.159.8510.1010.0210.00是否淘汰淘汰淘汰c．决赛结束后，最终获得前三名的选手恰好是基础射击中立姿平均成绩排名前三的选手，且他们最终的排名顺序与他们跪姿的排名顺序一致．这三人单发淘汰赛的成绩如下表所示决赛排名第1轮第2轮第3轮第4轮第5轮110.49.710.2m9.9210.49.99.19.99.4310.59.49.910.0——d ．中国选手刘宇坤在决赛中全部15发立姿射击的总环数为152.1环．根据上述信息回答：(1)从基础射击的平均成绩来看，在这三种姿势中，平均成绩最好的姿势是______，选手之间成绩差异最大的姿势是______；（两空均选填“跑姿”，“卧姿”或“立姿”）(2)在基础射击中，这8名选手立姿平均成绩的中位数为______；(3)在决赛中最终获得前三名的选手分别是：第一名______，第二名______，第三名______；（三空均从~A H 中选填）(4)m 的值为______．21．有这样一个问题：如图1，在矩形ABCD 中，3,30AB ADB ，点E ，F 在对角线BD 上，满足BE BF ，点M ，N 分别在线段AD ，BC 上，连接EM ，FM ，EN ，FN ，设EF ，当a 取何值时，存在M 、N ，使得四边形EMFN 是正方形？小宇为了解决这个问题，进行了如下探究，请补充完整：假设符合题意的正方形存在，(1)画出示意图．．．，如图2，由于四边形EMFN 是正方形，那么它一定是平行四边形，由平行四边形的性质①______（填依据），可知,EO OF MO ON ，结合ABCD 是矩形，可得BON DOM ≌△△，于是BO DO ，因此，四边形EMFN 的对角线交点恰好是BD 的中点，如图3所示．(2)在图3的基础上，由于EMFN 是正方形，那么它还同时是菱形和矩形．于是由菱形的性质②______（填依据），可得MN EF 于O ，于是MN 垂直平分BD ；又由矩形的性质可得OM ON OE OF ，这样就能够确定点E ，F ，M ，N 的位置了．(3)根据（1）（2）的分析，在图4中作出正方形EMFN （尺规作图，保留作图痕迹）；(4)结合上述的探索，小宇发现符合题意的正方形EMFN 是唯一的，此时a 的值为______；解决问题后，小宇又有了进一步的思考：(5)若将原问题改为：当a 取何值时，存在M ，N ，使得四边形EMFN 为矩形？请参照上面的思考，直接写出a 的最小值．22．如图，在ABC V 中，AB BC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，AF DE ∥，EF AD ∥．(1)求证：四边形ADEF 是菱形；(2)连接CF ，若10,12AB AC ，求CF 的长．23．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y kx 与直线y x k 交于点A ，直线y x k 与x 轴交于点B ．(1)求点B 的坐标（用含k 的代数式表示）；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．将AOB V 内（不含边界）的整点个数记为m ，①当4k 时，结合函数图象，直接写出m 的值；②若1m ，直接写出k 的取值范围．24．在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数 20y ax bx c a 的图象经过不重合的三点 1,0,1,,,2A B m C n ，其对称轴为直线x t ．(1)若1,0 m n ，则a ______0（填“>”或“<”）；(2)若2,1m t ，求此时二次函数的解析式；(3)当0a 时，对于某个n ，若存在12m ，使得10t 成立，结合图象，直接写出n 的取值范围．25．如图1，四边形ABCD 是平行四边形，AC 为对角线，45ACB ，过点D 作AC 的垂线，分别交直线AC BC ，于E F ，，连接AF ．(1)设BAC ，求BAF 的度数（用含 的式子表示）；(2)过点B 作AF 的垂线，分别交直线AC AF ，于点M N ，，①依题意补全图形；②用等式表示AM BF DE ，，的数量关系，并证明．26．在平面直角坐标系xOy 中，对于相交的直线1l ，2l 和图形W ，给出如下定义：如果在图形W 上存在两个不重合的点M ，N ，使得点M 到直线1l 的距离与点N 到直线2l 的距离相等，则称图形W 是直线1l ，2l 的“相合图形”．如图1，直线1l ，2l 交于点P ，三角形W 是直线1l ，2l 的“相合图形”(1)已知点 1,2,22A B m m ，，线段AB 上任一点到x 轴的距离为______，若线段AB 是x 轴，y 轴的“相合图形”，写出一个m 的值为______；(2)点C ，D 在直线4y x上，点C 在点D 左侧且CD ，若线段CD 是直线1x ，x 轴的“相合图形”，直接写出点C 的横坐标c x 的取值范围；(3)直线22y x 与x 轴，y 轴分别交于E ，F 两点，边长为2的正方形 的四条边分别与两坐标轴垂直，其中心T 在直线142y x 上，若在线段EF 上存在点 ,m n ，使得正方形 是直线x m y n ，的“相合图形”，直接写出点T 的横坐标t 的取值范围．2024-2025学年度第一学期初三年级数学练习（参考答案与解析）1．B【分析】本题考查了轴对称图形对称轴，根据正方形有四条对称轴即可判断求解，正确识图是解题的关键．【详解】解：∵图标中间是一个正方形，而正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴，∴这个图案的对称轴条数为4，故选：B ．2．A【分析】本题考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．由对顶角可得155DAB ，再由平行线的性质可得90CAD ，从而可求2 的度数．【详解】解：如图，∵直线l 与a ，b 分别交于点A ，B ，155 ，∴155DAB ，∵AC b 于点C ，∴90ACB ，∵a b ，∴180CAD ACB ∠∠，∴90CAD ，∴235CAD DAB ．故选：A ．3．D【分析】根据数轴及数轴上点的特征来判断即可．【详解】解：通过观察数轴可知：32a ，故A 错误，不符合题意；12b ，a b ，故B 错误，不符合题意；0,0a b ，0ab ，故C 错误，不符合题意；21b ，a b ，故D 正确，符合题意．故选D ．【点睛】本题考查了数轴及数轴上点的特征，运用数形结合的方法是本题的关键．4．D【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a 的形式，其中1||10,a n 为整数，正确确定a 的值以及n 的值是解决问题的关键．科学记数法的表示形式为10n a 的形式，其中1||10,a n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10时，n 是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数．【详解】解：45250210500 1.0510 ．故选：D ．5．D【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．【详解】解：把抛物线23y x 向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为23(2)5y x ，故选：D ．6．B【分析】本题考查了一次函数的图象，根据0k ，2b 可得一次函数图象经过第一、三、四象限，且经过点 0,2 ，再结合平面直角坐标系上的各点位置即可判断求解，掌握一次函数的图象特征是解题的关键．【详解】解：∵0k ，2b ，∴一次函数图象经过第一、三、四象限，且经过点 0,2 ，∴一次函数2(0)y kx k 的图象可能经过的点是点N ，故选：B ．7．C【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，0次幂，分式的除法，解题的关键是掌握分式分母不为0，二次根式被开方数为非负数，0次幂底数不为0，．据此逐个判断即可．【详解】解：A 、当1x 时，10x ，则31x 无意义，不符合题意；B 、当1x 时，430xC 、当1x 时， 0121x ，有意义，符合题意；D 、当1x 时，10x ，则212211x x x x x x x 无意义，不符合题意；故选：C ．8．A【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象解答即可求解，看懂函数图象是解题的关键．【详解】解：由函数图象可知第1km 所用的时间最长，故①正确；由函数图象可知第5km 的平均速度最大，故②正确；由函数图象可知前3km 的平均速度小于最后2km 的平均速度，故③错误；∴正确说法的序号是①②，故选：A ．91【分析】本题考查了实数的混合运算，利用负整数指数幂公式、绝对值的性质分别化简，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键．【详解】解：原式211 ，1．10．360【分析】本题考查多边形的内角和外角，熟知任何多边形的外角和是360 是正确解决本题的关键.利用多边形的外角和是360 即可得出答案．【详解】解： 多边形的外角和是360 ，故答案为：360．11．3（a +2）（a ﹣2）【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．【详解】3a 2﹣12=3（a 2﹣4）=3（a +2）（a ﹣2）．12．270【分析】本题考查了用样本估计总体，熟练掌握知识点是解题的关键．先计算出12个工件中为一等品的频率，再乘以总数360即可求解．【详解】解：12个工件中为一等品的有31.02，30.97，30.99，31.02，30.98，31.02，30.97，31.01，31.01，这9个，∴这360个工件中一等品的个数为936027012个，故答案为：270．13．3【分析】由勾股定理求出AB ，再由勾股定理求出DE ，即可得出CD 的长．【详解】解：连接AB ，AD ，如图所示：∵AD＝AB∴DE∴CD＝3．故答案为：3【点睛】本题考查了勾股定理，由勾股定理求出AB、DE是解题的关键．14．24【分析】本题考查了有理数加法运算的应用，根据图形找到所铺设自来水管道的最短路径，再列式计算即可求解，根据图形找到所铺设自来水管道的最短路径是解题的关键．千米，【详解】解：如图，所铺设自来水管道总长度的最小值为3466524故答案为：24．15．证明见解析【分析】本题考查了余角性质，全等三角形的判定和性质，证明 SAS DAE ABC ≌可得90AED ACB ，据此即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】证明：∵90ACB ，∴90BAC B ，∵AD AB ，∴90BAD ，∴90DAE BAC ，∴DAE B ，∵AD AB ，AE BC ，∴ SAS DAE ABC ≌，∴90AED ACB ，即DE AC ．16．(1)1211x x (2)见解析【分析】本题考查了解一元二次方程，根据判别式判断根的情况，解题的关键是掌握当240b ac 时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac 时，方程有两个相等的实数根；当240b ac 时，方程没有实数根．（1）将m 和n 的值代入，得出方程，再用公式法求解即可；（2）求出判别式24m n ，把2m n 代入化简，即可求证．【详解】（1）解：当2,5m n 时，原方程为2250x x ，∴125a ,b ,c ，∴ 2242415240b ac ，∴1x∴1211x x （2）证明：∵1,,a b m c n ，∴2244b ac m n ，∵2m n ，∴ 222244444n n n n n n ，∵20n ，∴240n ，∴当2m n 时，原方程有两个不相等的实数根．17．(1)223y x x (2)见详解(3)3n 或0n 【分析】该题主要考查了二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数与一次函数图象结合等知识点，解题的关键是数形结合．（1）根据待定系数法求解即可；（2）根据（1）中解析式画出图象即可；（3）画出图象，根据图象即可求解；【详解】（1）解：抛物线经过点,A B ，9303b c c ，解得：23b c，∴此抛物线的解析式为223y x x ．（2）解：如图：（3）解：如图，∵ 3,0,0,3A B ， ,0P n ，∴当M N y y 时，根据图象可得：3n 或0n ．18．装裱后左右两边的边宽为4厘米【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设装裱后左右两边的边宽为cm x ，则天头长与地头长为5cm x ，根据“原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的920”结合长方形的面积公式，列出方程求解即可．【详解】解：设装裱后左右两边的边宽为cm x ，则天头长与地头长为5cm x ， 96025242602420x x，整理得：218880x x ，解得：124,22x x （舍去），答：装裱后左右两边的边宽为4厘米．19．(1)C ，D ．O(2)见解析(3)5 【分析】本题属于函数综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，函数的图象与性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．（1）利用表格中的数据结合函数图象，可得结论；（2）分别求出当23x 时，当34x 时及当45x 时，函数关系式，再利用描点法画出函数图象即可；（3）先求出OA ，再利用路程 速度，求出a 的值，再求出当56x 时的函数关系式，再将6x 代入求解即可．【详解】（1）解：从函数图像上看，函数图象共分为四段，第一段x 的取值范围为02x ，此时机器人从点B 运动到点C ，第二段x 的取值范围为24x ，此时机器人从点C 运动到点D ，第三段x 的取值范围为45x ，此时机器人从点D 运动到点O ，第四段x 的取值范围为5x a ，此时机器人从点O 运动到点A ，所以机器人的运动路线是：B C D O A ，故答案为：C 、D 、O ：（2）解：如图，过点B 作BH CD ，四边形ABCD 为菱形，2m,120AB ABC ，2m,60BC CD BCD ，OA OC ，OB OD ，BCD △是等边三角形，2m,BD 1m OB OD ，BH CD ，1m CH DH ，BH ，当23x 时，此时机器人从点C 运动到点H ，y ，当34x 时，此时机器人从点H 运动到点D ，y ，当45x 时，此时机器人从点D 运动到点O ，6y x ，补全的函数图象如下图：（3）OA22115a ，当56x 时，此时机器人从点O 运动到点A ，y当6x 时，y b故答案为：5 20．(1)卧姿，立姿(2)10.01(3)F ，B ，D(4)10.9【分析】本题考查了统计相关的知识，解题的关键是熟练掌握相关知识，仔细阅读题目，根据题目得出需要的信息和数据．（1）根据表格即可得出平均成绩最好的姿势是卧姿，算出三种姿势平均成绩的极差，即可解答；（2）根据中位数的定义，即可解答；（3）根据题意可得最终获得前三名的选手为B 、D 、F ，再将三人跪姿成绩进行比较，即可解答；（4）根据冠军刘宇坤的成绩即可解答．【详解】（1）解：由表可知，在这三种姿势中，平均成绩最好的姿势是卧姿；跪姿的极差为10.3510.150.2 ，卧姿的极差为10.5010.340.16 ，立姿的极差为10.159.840.31 ，∵0.160.20.31 ，∴选手之间成绩差异最大的姿势是立姿；故答案为∶卧姿，立姿；（2）解：将这8名选手立姿平均成绩按大小排序为：9.84，9.85，9.95，10.00，10.02，10.10，10.15，10.15∴中位数10.0010.0210.012；（3）解：∵最终获得前三名的选手恰好是基础射击中立姿平均成绩排名前三的选手，∴最终获得前三名的选手为B 、D 、F ，∵他们最终的排名顺序与他们跪姿的排名顺序一致，10.2210.2610.27 ，∴第一名为F ，第二名为B ，第三名为D ；故答案为：F ，B ，D ；（4）解：根据题意可得：刘宇坤夺冠，则F 为刘宇坤，∵刘宇坤在决赛中全部15发立姿射击的总环数为152.1环，且基础射击中立姿平均成绩为10.10环，∴152.110.101010.49.710.29.910.9m ，故答案为：10.9．21．(1)平行四边形对角线互相平分(2)对角线互相垂直(3)见解析(4)a (5)3a 【分析】本题考查了四边形综合，解题的关键是熟练掌握矩形的判定和性质，正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形的方法和步骤．（1）根据平行四边形的性质即可解答；（2）根据菱形的性质即可解答；（3）先作出BD 的垂直平分线，交AD 于点M ，交BC 于点N ，以点O 为圆心，OM 为半径画圆，交BD 于点E 和点F ，连接,,,EN NF FM ME ，则正方形EMFN 即为所求；（4）根据含30度角直角三角形的特征，得出26BD AB ，则132OB OD BD ，根据勾股定理得出OM 2EF MN OM （5）根据矩形的性质得出EF MN ，则当MN BC 时，MN 最小，通过证明MN BC 时，四边形ABNM 为矩形，得出3MN ，即可解答．【详解】（1）解：根据题可得：由平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，可知,EO OF MO ON ，故答案为：平行四边形的对角线互相平分；（2）解：由菱形的性质：菱形的对角线互相垂直，可得MN EF 于O ，于是MN 垂直平分BD ；故答案为：菱形的对角线互相垂直；（3）解：如图所示，正方形EMFN 即为所求；（4）解：∵3,30AB ADB ，∴26BD AB ，∵点O 为矩形ABCD 对角线交点，∴132OB OD BD ，∵MN BD ，∴2DM OM ，根据勾股定理可得：222OM OD DM ，即 22232OM OM ，∴OM ∵四边形EMFN 为正方形，∴2EF MN OM即a ；（5）解：∵四边形EMFN 为矩形，∴EF MN ，当MN BC 时，MN 最小，即EF 最小，∵四边形ABCD 为矩形，∴90A ABC ，∵MN BC ，∴四边形ABNM 为矩形，∴3MN AB ，即3a EF ；22．(1)见解析(2)CF 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定和性质，勾股定理．（1）先证明四边形ADEF 是平行四边形，根据三角形的中位线定理得出11,22DE BC AD AB ，则AB BC ，即可求证四边形ADEF 是菱形；（2）连接DE 交AC 于点G ，得出115,622AD AB AE AC，根据菱形的性质得出5AF AD ，AF AC ，132AG AE ，则9CG AC AG ，先求出4GF ，最后根据勾股定理得出CF 即可解答．【详解】（1）证明：∵AF DE ∥，EF AD ∥，∴四边形ADEF 是平行四边形，∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴11,22DE BC AD AB ，∵AB BC ，∴AD DE ，∴四边形ADEF 是菱形；（2）解：连接DE 交AC 于点G ，∵10,12AB AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴115,622AD AB AE AC ，∵四边形ADEF 是菱形，∴5AF AD ，AF AC ，132AG AE ，∴9CG AC AG ，根据勾股定理可得：4GF ，∴CF23．(1),0B k (2)①3m ，②2k 或23k 【分析】（1）0y 代入y x k ，即可求解，（2）①当4k 时，列出直线解析式，根据描点法画图，即可求解，②根据y x k 找到AOB V 内整数点为1时，所对应的k 值的临界点，即可求解，本题考查了一次函数的图像与系数的关系，解题的关键是，找到临界点．【详解】（1）解：把0y 代入y x k 得，0x k ，∴x k ，∴ ,0B k ；（2）解：①当4k 时，直线分别为4y x 和4y x ，画图如下：由图象可得，AOB V 的整点个数有3个，∴3m ，②当2k 时，直线分别为2y x ，2y x ，此时AOB V 内恰好没有整点，当3k 时，直线分别为3y x ，3y x ，此时AOB V 内恰好有一个整点，∴23k ，当2k 时，直线分别为2y x ，2y x ，此时AOB V 内恰好有一个整点，故答案为：①3m ，②2k 或23k ．24．(1)<(2)21(1)2y x (3)11n 或11n 【分析】该题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数的解析式求解等知识点，解题的关键是数形结合．（1）根据题意得出抛物线过点(1,0),(0,2),(1,1) ，根据增减性即可解答；（2）根据题意得出二次函数图象的顶点为点(1,0)A ，且过点(1,2)B ，即可求解；（3）根据题意得出抛物线解析式为(1)(21)y a x x t ，将(1,)m 代入，解得4m t a，根据10t ，即可求得04m a ，根据存在12m ，使得04m a 成立，即可求出a 的范围，结合图象即可求解；【详解】（1）解：∵1,0 m n ，抛物线过点(1,0),(0,2),(1,1) ，则随着x 的增大，y 的值先增大后减小，故0a ．（2）解：当2,1m t 时，依题意，点(1,2)B ，二次函数图象的对称轴为1x ．∵图象还过点(1,0)A ，∴二次函数图象的顶点即为点(1,0)A ．设二次函数的解析式为2(1)y a x ，将点(1,2)B 代入，得42a ，解得：12a ．∴二次函数的解析式为21(1)2y x ．（3）解：∵抛物线对称轴为直线x t ，且抛物线过点(1,0) ，(1,0) 关于对称轴对称点为(21,0)t ．设抛物线解析式为(1)(21)y a x x t ，将(1,)m 代入，得2(2)4m a t at ，即4mt a ，10t Q ，104ma ，∵0a ，04m a ，∵存在12m ，使得04m a 成立，∴41a ，即14a ．∵a 越小，抛物线开口越大，则n 有最大值，∴当14a 时，1,1,1m t n∴11n ，同理11n ，如图，当t 确定时，由图象知，n （对称轴右侧）随m 增大而减小，如图，当m 确定时，由图象知，n （对称轴右侧）随t 增大而减小．综上所述，11n 或11n ．25．(1)902BAF(2)2AM DE【分析】（1）根据三角形外角性质得到45ABF ，根据平行四边形性质得到AB DC ，45CAD ACB ，根据DF AC ，推出45ECF EFC ，EAD EDA =45°，得到EF EC ，EA ED ，推出 SAS AEF DEC ≌，推出AF AB ，得到45AFB ABF ，根据三角形内角和定理得到902BAF ；（2）①过点B 作直线MN AF 于点N ，交射线AC 于点M ；②设22AD b CF a ，，根据等腰直角三角形性质得到DE CE ，，根据平行四边形性质得到22BF a b ，过点B 作BG AM 于点G ，证明 AAS CBG ADE ≌，得到AE CG ，得到AG CE ，根据BN AF ，证明M AFE ，根据AFE DCE ，DCA BAC ，得到BAC M ，得到AB MB ，得到2AM AG ，即得2AM DE ．【详解】（1）解：∵45ACB ，BAC ，∴45ABF ACB BAC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD CB ∥，AB DC ，∴45CAD ACB ，∵DF AC ，∴90CEF AED ，∴45ECF EFC ，EAD EDA =45°，∴EF EC ，EA ED ，∵AEF DEC ，∴ SAS AEF DEC ≌，∴AF DC ，∴AF AB ，∴45AFB ABF ，∴ 180180245902BAF AFB ABF ；（2）解：①如图，补全图形：②22AM DE ．证明：设22AD b CF a ，，则22DE b CE a ，，∵2AD BC b ，∴22BF a b ，过点B 作BG AM 于点G ，则90CGB AED ，∵ACB CAD ，∴ AAS CBG ADE ≌，∴AE CG ，∴2AG CE a ，∵BN AF 于点N ，∴90BNA ，∴90MAN M ，∵90AFE FAE ，∴M AFE ，由（1）知，AEF DEC △≌△，∴AFE DCE ，∵AB CD ∥，∴DCA BAC ，∴BAC M ，∴AB MB ，∴22AM AG a ，2222BF DE a ，∴2AM DE．【点睛】本题主要考查了平行四边形与全等三角形综合．熟练掌握平行四边形性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，是解决问题的关键．26．(1)2，3(2)5322C x(3)16233t ，或616t 【分析】（1）根据AB x ∥轴，퐴 到x 轴的距离为2，线段AB 是x 轴，y 轴的“相合图形”，得到2m ，可以取3m （答案不唯一）；（2）根据 ,4C C C x x ，点C 在点D 左侧且CD ，得到 1,5C C D x x ，当14C C x x ，得到32C x ，当115C C x x ，得到52C x ；根据线段CD 是直线1x ，x 轴的“相合图形”，上面两点不重合，即得5322C x ；（3）设正方形为QPMN ，直线22y x 交坐标轴于 1,00,2E F ，，根据点 ,m n 在直线22y x 上，得到22n m ，作直线22y m 、x m ，根据正方形特点得到 ,4T t t ，得到11111,51,51,31,32222Q t t P t t M t t N t t，，，，过点F 、E 作与x 轴成最小角为45 的射线1243l l l l 、、、，当点Q 在直线1l 上，且到直线x m y n ，的距离相等时，152212t m m t ，0m ，得到163t ；当点M 在直线2l 上，且到直线x m y n ，的距离相等时，132212t m m t ，1m ，得到23t ；当点N 在直线3l 上，且到直线x m y n ，的距离相等时，132212t m t m ，1m ，得到6t ；当点P 在直线4l 上，且到直线x m y n ，的距离相等时，152212t m t m ，0m ，得到16t ，根据正方形的四个顶点到直线x m y n ，的距离相等时，在边上可以找到另外的点到直线y n x m ，的距离与之相等，即得16233t ，或616t ．【详解】（1）∵点 1,2,22A B m m ，，∴AB x ∥轴，AB 到x 轴的距离为2，∵线段AB 是x 轴，y 轴的“相合图形”，∴线段AB 上异于点A 的另一点到y 轴的距离为2，∴2m ，∴22m m ，，∵2m ，∴2m ，2m ，取3m （答案不唯一），故答案为：2，3 ；（2）设直线4y x 分别交x 轴、y 轴于点E 、F ，4y x 中，令0y ，则40x ，∴4x ；令0x ，则4y ∴ 4,00,4E F ，，∴445OE OF OEF OFE ，，∵点C ，D 在直线4y x 上，∴ ,4C C C x x ，∵点C 在点D 左侧且CD，∴12 ，∴C ，D 的水平距离和竖直距离都是1，∴ 1,5C C D x x ，∵线段CD 是直线1x ，x 轴的“相合图形”，∴当点C 到直线1x ，x 轴的距离相等时，14C C x x ，解得，32C x ；当点D 到直线1x ，x 轴的距离相等时，115C C x x ，解得，52C x ，∵线段CD 上两个点不重合，∴5322C x ；故点C 的横坐标C x 的取值范围是：5322C x；（3）设正方形为QPMN ，如图，在22y x 中，令0y ，则1x ，令0x ，则2y ，∴ 1,00,2E F ，，∵点 ,m n 在直线22y x 上，∴ ,m n 为 ,22m m ，过点 ,22m m 作直线22y m 、x m ，∵正方形边长为2，四条边分别与两坐标轴垂直，中心T 在直线142y x上，点T 的横坐标为t ，∴ ,4T t t ，。