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变量间的相关关系讲义变量间的相关关系讲义一、基础知识梳理知识点1：变量之间的相关关系两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系。
当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系。
相关关系是一种非确定性关系，如长方体的高与体积之间的关系就是确定的函数关系，而人的身高与体重的关系，学生的数学成绩好坏与物理成绩的关系等都是相关关系。
注意：两个变量之间的相关关系又可分为线性相关和非线性相关，如果所有的样本点都落在某一函数曲线的附近，则变量之间具有相关关系（不确定性的关系），如果所有样本点都落在某一直线附近，那么变量之间具有线性相关关系，相关关系只说明两个变量在数量上的关系，不表明他们之间的因果关系，也可能是一种伴随关系。
点睛：两个变量相关关系与函数关系的区别和联系相同点：两者均是两个变量之间的关系，不同点：函数关系是一种确定的关系，如匀速直线运动中时间t与路程s的关系，相关关系是一种非确定的关系，如一块农田的小麦产量与施肥量之间的关系，函数关系是两个随机变量之间的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系；函数关系式一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。
知识点2.散点图.1.在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图。
2.从散点图可以看出如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这种近似的过程称为曲线拟合。
3.对于相关关系的两个变量，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的的值也由小变大，这种相关称为正相关，正相关时散点图的点散布在从左下角到由上角的区域内。
如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关，负相关时散点图的点散步在从左上角到右下角的区域。
变量间的相关关系知识图谱变量的相关性知识精讲一.变量间的相关关系1．两个变量之间的关系:（1）常见的关系有两类：①确定性的函数关系；②相关关系：变量间存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有一定随机性的；当一个变量取值一定时，另一个变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系．（2）相关关系与函数关系的异同点：相同点：两者均是指两个变量的关系．不同点：①函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．2．散点图：将样本中的n 个数据点()(12)i i x y i n = ，，，，描在平面直角坐标系中，就得到了散点图．散点图形象地反映了各个数据的密切程度，根据散点图的分布趋势可以直观地判断分析两个变量的关系．3．正相关与负相关：（1）正相关：如果当一个变量的值变大时，另一个变量的值也在变大，则这种相关称为正相关；此时，散点图中的点在从左下角到右上角的区域．（2）负相关：如果一个变量的值变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关．此时，散点图中的点在从左上角到右下角的区域．二.两个变量的线性相关1．回归分析：对于具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析，即回归分析就是寻找相关关系中这种非确定关系的某种确定性．2．回归直线：如果散点图中的各点都大致分布在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．3．最小二乘法（1）最小二乘法设(),Q a b 是直线y bx a =+与各对应数据表示的散点在纵轴方向上的距离的平方和，可以用来衡量直线y bx a =+与图中各点的接近程度，设法取,a b 的值，使(),Q a b 达到最小值.这种方法叫做最小二乘法.（2）用最小二乘法求回归直线方程用最小二乘法求回归系数a b ，有如下的公式：1221ˆniii nii x yn x y bxn x ==⋅-⋅⋅=-⋅∑∑，ˆˆa y b x =-⋅.（11n i i x x n ==∑，11ni i y y n ==∑）其中a b ，上方加“^”，表示是由观察值按最小二乘法求得的回归系数．由此得到的直线ˆˆybx a =+ 就称为回归直线方程.其中ˆa ，b 分别为a ，b 的估计值，b 称为回归系数，ˆa称为回归截距，ˆy 称为回归值．三点剖析一．注意事项1.回归直线方程的求法根据最小二乘法的思想和公式，通过计算就可以方便地求出回归方程；（1）先求2,,x y x x y ⋅（2）求1ni ii x y =∑（3）求21n i i x =∑（4）代入公式求^121ni ii ni i x ynxyb x nx==-=-∑∑（5）代入公式^^a yb x=-（6）代入直线方程得：ˆˆybx a =+ 2.散点图的制作方法对于两条轴的长度单位可以取得不一致；点既可以是实心点，也可以是空心点，；回归直线时，一定要画在多数点经过的区域，实际画线时，先观察有哪两点在直线上即可．3.回归直线的另外两种求法（1）选点法：作出散点图，用一条透明的直尺边缘在这些点间移动，选出直线上的两点或最靠近直线的两点（选点不当，精确度就比较低）．（2）平均值法：首先设出方程y kx b =+，把观测值代入得几个关于,k b 的一次方程，将其平均分为两组，分别相加得到 k b ，的两个方程，联立解出 k b ，．两变量间的相关关系例题1、一次调查男女学生喜欢语文学科情况，共调查了90人，具体如下：据此材料，你认为喜欢语文学科与性喜欢不喜欢男2025女3015A.有关B.无关C.不确定D.无法判断例题2、四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y=2.347x-6.423；②y 与x 负相关且y =-3.476x+5.648；③y 与x 正相关且y =5.437x+8.493；④y 与x 正相关且y =-4.326x-4.578．其中一定不正确的结论的序号是（）A.①②B.②③C.③④D.①④例题3、根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关随练1、对变量，有观测数据（），得散点图1；对变量，有观测数据（），得散点图2．由这两个散点图可以判断（）A.变量与正相关，与正相关B.变量与正相关，与负相关C.变量与负相关，与正相关D.变量与负相关，与负相关随练2、某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1成绩/性别不及格及格总计男61420女102232总计163652表2视力/性别好差总计男41620女122032总计163652表3智商/性别偏高正常总计男81220女82432总计163652表4阅读量/性别丰富不丰富总计男14620女23032总计163652A.成绩B.视力C.智商D.阅读量线性回归x014m3y m3 5.57根据数据可求得y关于x的线性回归方程为ˆy=2.1x+0.85，则m的值为______________．例题2、已知x 、y 取值如表：，则实数m=．例题3、已知x 、y 取值如表：，则m=（）A.1.5B.1.55C.3.5D.1.8随练1、某产品在某零售摊位的零售价x （单位：元）与每天的销售量y （单位：个）的统计资料如表所示：由表可得回归直线方程ˆy=ˆb x+ˆa 中的ˆb =﹣4，据此模型预测零售价为20元时，每天的销售量为（）A.26个B.27个C.28个D.29个y 的统计数据如表：根据上表可得回归方程y=bx+a 的b 为9.2，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A.63.6万B.65万C.66.1万D.67.7万数学成绩（x ）（1）求物理成绩y 对数学成绩x 的线性回归方程；（2）当某位学生的数学成绩为70分时，预测他的物理成绩．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆy bx a =+的系数公式：1221ˆniii nii x ynxybxnx==-=-∑∑，ˆa y ax =-．参考数据：832+782+732+682+632+732=32224，83×75+78×65+73×75+68×65+63×60+73×80=30810．拓展1、5个学生的数学和物理成绩如下表：学生A B C D E学科数学8075706560物理7065686462画出散点图，判断它们是否具有相关关系．2、下列关系中，是相关关系的为（）①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系．A.①②B.①③C.②③D.②④3、两个随机变量x，y的取值表为x0134y 2.2 4.3 4.8 6.7若x，y具有线性相关关系，且 y= b x+2.6，则下列四个结论错误的是（）A.x与y是正相关B.当x=6时，y的估计值为8.3C.x每增加一个单位，y增加0.95个单位D.样本点（3，4.8）的残差为0.564、已知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，变量y与z正相关，下列结论中正确的是（）A.x与y负相关，x与z负相关B.x与y正相关，x与z正相关C.x与y正相关，x与z负相关D.x与y负相关，x与z正相关5、已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x=3，y=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A.ˆy=0.4x+2.3B.ˆy=2x﹣2.4C.ˆy=﹣2x+9.5D.ˆy=﹣0.3x+4.46、某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：根据表格已得回归方程为ˆy=9.4x+9.1，表中有一数据模糊不清，请推算该数据的值为________7、某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：根据表格已得回归方程为ˆy=9.4x+9.1，表中有一数据模糊不清，请推算该数据的值为________。
第五节 变量间的相关关系、统计案例知识梳理 1．散点图．(1)将变量所对应的点描出来，就组成了变量之间的一个图， 这种图为变量之间的________．(2)从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势可用一条光滑的曲线来近似，这种近似的过程称为曲线拟合．答案：1.（1）散点图2．相关关系．(1)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为____________；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为____________．(2)线性相关：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做____________．(3)若两个变量x 和y 的散点图中，所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关是______________的．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的．答案：2.（1）正相关 （2）回归直线 （3）非线性相关3．回归直线．(1)最小二乘法：如果有n 个点：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )可以用下面的表达式来刻画这些点与回归直线的接近程度： [y 1－(a ＋bx 1)]2＋[y 2－(a ＋bx 2)]2＋…＋[y n －(a＋bx n )]2，使得上式达到最小值的y ^＝b ^x ＋a ^就是我们要求的直线，这种方法称为最小二乘法．(2)在回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2＝∑i ＝1nx i y i －n x·y∑i ＝1nx 2i －n x2，a^1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．3.了解下列两种常用的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题． (1)独立检验：了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用；(2)回归分析：了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．＝________，其中x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n ，y ＝y 1＋y 2＋…＋y n n.b ^叫做回归直线方程的斜率，a^是直线在y 轴上的截距．答案：3.y -b ^x4．相关系数．r＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2y i －y2，用它来衡量两个变量间的线性相关关系．(1)当r ＞0时，表明两个变量________； (2)当r ＜0时，表明两个变量________；(3)r 的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性______；r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当|r |＞0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．当|r |∈[0.3,0.75)时，相关性一般．当|r |∈[0,0.25]时，相关性较弱．答案：4.（1）正相关 （2）负相关 （3）越强5．残差分析．(1)线性回归模型：y ＝bx ＋a ＋e 中，a ，b 称为模型的未知参数；e 称为随机误差．(2)残差平方和：对于样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，Q ＝∑i ＝1n(y i －y )称为残差平方和，Q 值越小，说明线性回归模型的拟合效果越好．(3)相关指数：用相关指数R 2来刻画回归的效果，公式是R2＝ . R 2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果______．答案：5.越好6．独立性检验．(1)若变量的不同“值”表示个体所属的不同类型，则这类变量称为分类变量． (2)列出两个分类变量的频数表，称为列联表．(3)利用随机变量K 2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的________．2×2列联表独立性检验公式K 2＝__________________.答案：6.（3）独立性检验n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）基础自测1．下列命题：①任何两个变量都具有相关关系；②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；③某商品的需求与该商品的价格是一种非确定性关系；④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．其中正确的命题为( )A ．①③④B ．②④⑤C ．③④⑤D ．②③⑤答案：C2．(2013·武昌调研)通过随机询问110名性别不同的行人，对过马路是愿意走斑马线由K 2＝n （a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），算得K 2＝260×50×60×50≈7.8.附表：A ．有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别无关”解析：因为K 2＝110×（40×30－20×20）260×50×60×50≈7.8>6.635，所以有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”．答案：A3．(2012·新课标全国卷)在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为__________________．解析：所有点均在直线上，则样本相关系数最大即为1. 答案：14.调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析： 由题意得y ^2－y ^1＝[0.254(x ＋1)＋0.321]－[0.254x ＋0.321]＝0.254，即家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.254万元．答案：0.2541．(2012·湖南卷)设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg解析：根据回归方程的概念和性质知选项A ，B ，C 三项均正确，选项D 错误，线性回归方程只能预测学生的体重. 选项D 应改为“若该大学某女生身高为170 cm ，则估计其体重大约为58.79 kg”．答案：D2．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名(1)(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名大于40岁的观众应该抽取几名？(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众年龄为20至40岁的概率．解析：(1)有关．收看新闻节目多为年龄大的．(2)应抽取的人数为：5×2745＝3(人)．(3)由(2)知，抽取的5名观众中，有2名观众年龄处于20至40岁，3名观众的年龄大于40岁．记大于40岁的人为a 1，a 2，a 3,20至40岁的人为b 1，b 2，则从5人中抽取2人的基本事件有(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，(b 1，b 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共10个，其中恰有1人为20至40岁的基本事件有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6个，因此所求的概率P ＝610＝35.1．(2013·梅州一模)在2014年1月15日当天，某物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：y ^＝－3.2x ＋40，且m ＋n ＝20，则其中的n ＝________.解析：x ＝15(9＋9.5＋m ＋10.5＋11)＝15(40＋m )，y ＝15(11＋n ＋8＋6＋5)＝15(30＋n )．因为其线性回归直线方程是：y ^＝－3.2x ＋40，所以15(30＋n )＝－3.2×15(40＋m )＋40，即30＋n ＝－3.2(40＋m )＋200，又m ＋n ＝20， 解得m ＝n ＝10. 答案：102．某大学高等数学老师上学期分别采用了A ，B 两种不同的教学方式对甲、乙两个大一新生班进行教改试验(两个班人数均为60人，入学数学平均分数和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样)．现随机抽取甲、乙两班各20名同学的上学期数学期末考试成绩，得到茎叶图如下：(1)依茎叶图判断哪个班的平均分高？(2)从乙班这20名同学中随机抽取2名高等数学成绩不得低于85分的同学，求成绩为90分的同学被抽中的概率．(3)学校规定：成绩不低于85分的为优秀，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d(4)从乙班高等数学成绩不低于85分的同学中抽取2人，成绩不低于90分的同学得奖金100元，否则得奖金50元，记ξ为这2人所得的总奖金，求ξ的分布列和数学期望．解析：(1)甲班高等数学成绩集中于60～90分之间，而乙班数学成绩集中于80～100分之间，所以乙班的平均分高．(2)P ＝C 11C 19C 210＝15.(3)K 2＝40×(13×27×20×20≈5.584>5.024，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关．(4)由题可知ξ的可能取值为100,150,200.P ()ξ＝100＝C 25C 210＝29，P ()ξ＝150＝C 15C 15C 210＝59，P ()ξ＝200＝C 25C 210＝29，所以ξ的分布列为：∴E (ξ)＝100×29＋150×9＋200×9＝150.。
