2020-2021年高一数学积、商、幂、方根的对数教案

必修1对数、对数函数、幂函数部分单元教学设计一、教材分析1、本单元教学内容的X围第三章的主要内容是指数函数、对数函数和幂函数这三种函数模型.本章共分四大节，共14课时.第一大节3.1指数与指数函数分2小节（3.11-3.12）共4课时.初中已经学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念的基础上，本节复习了正整数指数幂、零指数、负整数指数幂的概念，并且复习了正整数指数幂的运算法则.有了这些知识，本章将指数幂的概念和运算性质逐步扩充到有理指数幂以及实数指数幂. 接着通过两个具体的例子引入了指数函数，并对指数函数的图象和性质进行了研究.第二大节3.2对数与对数函数分3小节（-3.2.3），共5课时，该节首先学习对数和对数的运算法则，然后再学习对数函数及其图象和性质，对数函数的图象是在画指数函数图象的对应值表的基础上描绘的，对数函数同指数函数一样，是以对数概念和运算法则作为基础讲授的.接着，通过对指数函数与对数函数的关系的研究给出了反函数的含义，并对这两种函数的增长差异进行了比较.通过考查已经学过的函数，引出了幂函数的概念，然后研究了幂函数的图象和性质.函数的应用（Ⅱ）也安排了1个课时，举例说明了指数函数、对数函数和幂函数在经济学、物理学等领域中的应用.为了加强数学的应用意识，体现函数作为刻画现实世界变量之间相互关系的数学模型的作用，在第四大节的“探索与研究”中安排了“如何建立数学模型”的内容，在章末安排了“实习作业”.另外，在本章内容的讲解过程中，特别注意通过一些社会生活中的实例来展示指数函数、对数函数和幂函数作为函数模型的广泛应用.为了体现数学文化的作用，本章安排了两个阅读材料，通过介绍对数方法产生的历史以及建立对数与指数的联系的过程，引导学生体会数学与社会生产生活之间的紧密联系，认识对数在人类社会发展、科技进步中的作用，以及社会生产生活的需要对数学发展的促进作用.另外，通过介绍对数方法先于指数概念，对数的发明没有应用指数与对数的互逆关系这一历史，可以让学生体会数学发展的不同轨迹，从而激发学生的学习兴趣.2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用本章内容是在学完函数概念以及函数基本性质后的情况下，较为系统地研究指数函数、对数函数、幂函数，它是函数内容学习的继续和深入（第二阶段）．基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数)是高中数学的基础，是刻画现实世界变化规律的重要模型，由于我们生活在充满变化的现实世界中，其中有一类具有重要的运动变化的关系，如GDP的增长问题、人口增长问题、细胞分裂、考古中所用的14C的衰减、药物在人体内残留量的变化等，结合实际问题，可以感受观察、抽象概括并建立数学模型的过程和方法，通过计算工具，感知指数函数、对数函数以及幂函数增长的差异，体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同的函数类型增长的含义．体会函数在数学和其他学科中的重要性，体现数学的应用价值．学生在以前学习中，已经经历过“数”的扩充过程，由正整数到整数，由整数到有理数，再由有理数到实数，从而形成一个优美的体系，本章继续体现这样扩充的思路，实现指数概念的扩充进而进一步研究幂函数概念，依据两个原则：①数学发展的需要；②基本运算能无限制地进行，把“指数函数、对数函数、幂函数”科学地组织起来，再一次体现充满在整个数学中的组织化、系统化的精神．本章是在上一章学习函数及其性质的基础上，具体研究指数函数、对数函数、幂函数这三个高中阶段重要的函数．这是高中函数学习的第二个阶段，目的是使学生在这一阶段获得较为系统的函数知识，并初步培养函数应用意识，为今后的学习打下坚实的基础，同时使学生对函数的认识由感性上升到理性．可以说这一章起到了承上启下的重要作用，本章所涉及到的一些重要思想方法，对学生掌握基础的数学语言，学好高中数学起着重要的作用．3、本单元教学内容总体教学目标学生通过本章学习，可以了解指数函数、对数函数等的实际背景，理解指数函数、对数函数、幂函数的概念与基本性质，了解五种幂函数，体会建立和研究一个函数的基本过程和方法，同时会用它们解决一些实际问题．一知识目标2．理解有理数指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质．3．经历由指数得到对数的过程，理解对数的概念，掌握对数的运算性质．4．经历由正整数指数函数逐步扩充到实数指数函数的过程，由指数函数的概念、图象与性质得到对数函数的概念、图象与性质的过程，并通过具体实例去了解指数函数模型、对数函数模型的实际背景，掌握指数函数和对数函数的概念、图象以及性质．5．收集现实生活中普遍使用的指数函数和对数函数的模型实例，了解它们的广泛应用．6．利用计算工具、比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．7．了解指数y=a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y=log a x (a >0，且a ≠1)的图象关系，初步了解指数函数和对数函数互为反函数的关系．8．通过特殊的幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =21x ，y =1x 了解幂函数9．引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数、幂函数等与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．10．鼓励学生运用现代信息技术学习、探索和解决问题．例如，利用科学计算器、计算机画出指数函数、对数函数和幂函数的图象，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质．(二)能力目标1．培养学生观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力．2．培养学生数形结合、辩证思维和动手实践的能力．3．培养学生应用函数思想方法解决实际问题的能力．(三)价值目标1．培养学生积极学习、刻苦钻研的学习毅力等良好的意志品质．2．培养学生观察分析、抽象概括能力，数形结合、归纳总结能力和实践与探索能力．3．学会理论联系实际，学以致用，在解决实际问题的过程中，逐步理解、认识函数思想方法，了解数学的应用价值．4、本单元教学内容重点和难点分析重点：指数函数和对数函数的性质.难点：无理指数幂的含义以及指数和对数的关系.5、本单元内容《新课标》与《大纲》的比较（1）本单元内容《新课标》与《大纲》的目标对比（2）变化之处1．加强的内容(1)加强了函数模型的背景和应用的要求．了解指数函数模型的实际背景，了解对数函数模型的实际背景；认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义；让学生通过收集生活中普遍使用的函数模型实例体会函数模型应用的现实意义．要求学生了解无理数指数幂的意义，感受用有理数指数幂逼近无理指数幂的过程，通过“过剩近似值”与“不足近似值”两个方向逼近，认识无理指数幂是一个确定的实数，明确有理数指数幂的运算性质在无理数X围内也是成立的，大纲只要求掌握有理数指数幂的运算．在理解函数概念的基础上，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深学生对函数概念的理解．新课标在指数函数与对数函数的内容上与原大纲有较大区别，新课标更侧重于指数型函数与对数型函数的教学．(2)加强了信息技术整合的要求．明确指出了要运用信息技术进行教学，如：能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与特殊点；能借助计算器用二分法求相应方程的近似解等．这都体现了加强与信息技术整合的要求，加强了函数模型的背景和应用的要求.在理解函数概念的基础上，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，有利于加深学生对函数概念的理解．2．削弱的内容(1)削弱了对定义域、值域的过于繁难的，尤其是人为的过于技巧化的训练．(2)削弱了反函数的概念，只要求知道指数函数x a y =（1,0≠>a a 且）与对数函数xlog y a =（1a ,0a ≠>且）是互为反函数；不要求形式化的理解其概念，也不要求求已知函数的反函数,复合函数的概念仍放到“导数及其应用”的相关内容中．对于对数函数内容的要求也有所降低．这都是为了尽可能地减轻学生的负担．（1）增加了幂函数(y =x ，y =x 2，y =x 3，y =21x ，y =1-x )的内容；（2）换底公式又恢复为教学内容.6.教学建议1．指数函数、对数函数等有其丰富的实际应用价值，在教学中，应让学生充分感受指数函数的应用，如通过GDP 的增长问题、14C 的衰减，考古、地震、pH 的测定等，体现数学的应用价值．2．应强调在基本初等函数学习中所蕴涵的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、逼近的思想(有理指数幂逼近无理指数幂)、数形结合的思想(用指数函数、对数函数、幂函数的图象探究指数函数的性质)、归纳思想、类比思想(如从指数的运算律类比对数的运算律)等．引导学生用类比的思想方法，将指数函数、对数函数、幂函数的研究方法统一起来，并加以归纳总结．在本章教学中尤其应注意加强数形结合、几何直观等数学思想方法的学习要求，可先从分析具体的函数图象与性质入手，观察分析、体验探索、归纳概括，进而得到的基本初等函数的图象与性质．这是教学的重点之一，强调指数函数和对数函数的底数a 对函数值变化的影响，这是教学的难点，应注意贯穿分类讨论的思想方法，化解难点、突出重点．3．教学过程中要注意发挥信息技术的优势，尽量利用计算机或计算器等创设教学情境，绘制指数函数、对数函数、幂函数的图象，为学生的数学探究与数学思维创设有利的环境和条件．4．教材中对反函数的概念要求作了较大的调整和降低，只要求知道指数函数xa y =（1,0≠>a a 且）与对数函数x y a log =（1,0≠>a a 且）是互为反函数，对反函数的形式化的符号和推理不作一般性的要求。

第二十一教时教材：积、商、幂、方根的对数目的：要求学生掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程， 从而能较熟练地运用这些法则解决问题。

过程： 一、 复习：1︒对数的定义 b N a =log 其中 a 与 N 的取值范围。

2︒指数式与对数式的互化，及几个重要公式。

3︒指数运算法则 （积、商、幂、方根） 二、 积、商、幂、方根的对数如果 a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0 有：3R)M(n nlog M log 2N log M log NMlog 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+=证明：1、 3 （略）见 P82证明：2 设log a M = p, log a n = q , 则q p a NM-= ( ∴ a p = M , a q = N ) ∴ q p N M log a-= 即 ：N log M log NM log a a -= 1︒语言表达：“积的对数 = 对数的和”……（简易表达——记忆用）2︒注意有时必须逆向运算：如 11025101010==+log log log 3︒注意定义域： )(log )(log ))((log 5353222-+-=-- 是不成立的 )(log )(log 1021010210-=-是不成立的 4︒当心记忆错误：N log M log )MN (log a a a ⋅≠N log M log )N M (log a a a ±≠± 三、 例题： P82—83 例三、例四 （略）补充例题：1． 计算：)223(log 29log 2log 3777+-解：原式 01log 9)223(2log 7237==⨯=2． 1︒已知 3 a= 2 用 a 表示 log 3 4 - log 3 6解：∵ 3 a= 2 ∴ a = log 3 2∴ log 3 4 - log 3 6 = 112log 32log 33-=-=a 2︒已知 log 3 2 = a , 3 b= 5 用 a , b 表示 30log 3解： ∵3b=5 ∴b=log 35 又∵log 32=a∴30log 3=()())1(215log 3log 2log 21532log 213333++=++=⨯⨯b a 3．计算：log 155log 1545+(log 153)2解一：原式 = log 155(log 153+1)+(log 153)2=log 155+log 153(log 155+log 153) =log 155+log 153⋅log 1515=log 155+ log 153= log 1515解二：原式 = 2151515)3(log )315(log 315log +⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛ =(1-log 153) (1+log 153)+(log 153)2=1-(log 153)2+(log 153)2=1四、 小结：运算法则，注意正反两方面用中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

【新教材】4.3.1 对数的概念（人教A 版）1、理解对数的概念以及对数的基本性质；2、掌握对数式与指数式的相互转化；1.数学抽象：对数的概念；2.逻辑推理：推导对数性质；3.数学运算：用对数的基本性质与对数恒等式求值；4.数学建模：通过与指数式的比较，引出对数定义与性质.重点：对数式与指数式的互化以及对数性质；难点：推导对数性质．一、 预习导入阅读课本122-123页，填写。

1．对数的概念如果x a ＝N(a>0，且a≠1)，那么数x 叫做_______________，记作log a x N ，其中a 叫做_________，N 叫做_______________.[点睛] log a N 是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．2．常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做_______________，以e 为底的对数称为_______________，10log N 可简记为______，log e N 简记为______.3．对数与指数的关系若a ＞0，且a≠1，则x a ＝N ⇔log a N ＝______. 对数恒等式：log a N a ＝______；log xa a ＝______(a ＞0，且a≠1)． 4．对数的性质(1)1的对数为______；(2)底的对数为______；(3)零和负数____________.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)log a N 是log a 与N 的乘积．( )(2)(－2)3＝－8可化为log (－2)(－8)＝3.( )(3)对数运算的实质是求幂指数．( )2．若a 2＝M (a ＞0且a ≠1)，则有( )A ．log 2M ＝aB ．log a M ＝2C ．log a 2＝MD ．.log 2a ＝M3．log 21＋log 22＝( )A ．3B ．2C ．1D ．.0 4．已知log 32x －15＝0，则x ＝________.题型一 对数式与指数式的互化例1 将下列指数式与对数式互化:(1)lo g 1327=-3; (2)43=64; (3)e -1=1e ; (4)10-3=0.001.跟踪训练一1. 将下列指数式与对数式互化:(1)2-2=14; (2)102=100; (3)e a =16;(4)log 6414=-13; (5)log x y=z (x>0,且x ≠1,y>0).题型二 利用对数式与指数式的关系求值例2 求下列各式中x 的值:(1)4x =5·3x ; (2)log 7(x+2)=2;(3)ln e 2=x; (4)log x 27=32; (5)lg 0.01=x.跟踪训练二1.求下列各式中的x 值:(1)log 2x=12;(2)log 216=x ;(3)log x 27=3.题型三 利用对数的基本性质与对数恒等式求值例3 求下列各式中x 的值:（1）2ln(log )0x =; (2)2log (lg )1x =; (3)3log 3√x =9. 跟踪训练三1. 求下列各式中x 的值:(1)ln(lg x )=1;(2)log 2(log 5x )=0;(3)32+log 35=x.1．方程2log 3x ＝14的解是( ) A ．x ＝19B ．x ＝33C ．x ＝ 3D ．x ＝92．使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 的取值范围为( )A ．a ＞12且a ≠1 B ．0＜a ＜12 C ．a ＞0且a ≠1 D ．a ＜123．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A ．e 0＝1与ln 1＝0B ．8-13－13＝12与log 812＝－13C ．log 39＝2与912＝3D ．.log 77＝1与71＝74．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________.解析：由104＝10 000知lg 10 000＝4,10－3＝0.001得lg 0.001＝－3.5．方程log 2(1－2x )＝1的解x ＝________.6．已知log 7(log 3(log 2x ))＝0，那么x -12＝________.7.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．(1)53＝125； (2)4－2＝116； (3)log 128＝－3； (4)log 3127＝－3. 8．若log 12x ＝m ，log 14y ＝m ＋2，求x 2y的值．答案小试牛刀1．(1)× (2)× (3)√2．B3．C4．3自主探究例1 【答案】(1)(13)-3=27. (2)log 464=3. (3)ln 1e =-1. (4)lg 0.001=-3. 跟踪训练一1.【答案】(1)log 214=-2. (2)log 10100=2,即lg 100=2. (3)log e 16=a ,即ln 16=a.(4) 64-13=1. (5)x z =y(x>0,且x ≠1,y>0). 例2 【答案】（1）x=lo g 435 （2）x=47 （3）x=2 （4）x=9（5）x=-2【解析】(1)∵4x=5·3x,∴4x 3x =5,∴(43)x=5,∴x=lo g 435.(2)∵7log (2)2x +=,∴x+2=49,∴x=47.(3)∵2ln e x =,∴2x e e =,∴x=2.(4)∵3log 272x =,∴x 32=27,∴x=2723=32=9.(5)∵lg 0.01=x,∴2100.0110x -==,∴x=-2.跟踪训练二1.【答案】（1）x=√2 （2）x=4 （3）x=3【解析】(1)∵log 2x=12,∴x=212,∴x=√2.(2)∵log 216=x,∴2x =16,∴2x =24,∴x=4.(3)∵log x 27=3,∴x 3=27,即x 3=33,,∴x=3.例3 【答案】（1）x=2 （2）x=100 （3）x=81【解析】(1)∵2ln(log )0x =,∴2log 1x =,∴x=2. (2)∵2log (lg )1x =,∴lg x=2,∴x=100.(3)由3log 3√x =9得√x =9,解得x=81.跟踪训练三1.【答案】（1）10e x =（2）x=5 （3）x=45【解析】(1)∵ln(lg x)=1,∴lg x=e,∴10e x =；(2)∵log 2(log 5x )=0,∴5log 1x =,∴x=5.(3)x=32×3log 35=9×5=45.当堂检测1-3、ABC 4、4 -35、－126、24 7.【答案】(1)∵53＝125，∴log 5125＝3.(2)∵4－2＝116，∴log 4116＝－2. (3)∵log 128＝－3，∴⎝⎛⎭⎫12－3＝8.(4)∵log 3127＝－3，∴3－3＝127.8.【答案】16 【解析】∵log 12x ＝m ，∴⎝⎛⎭⎫12m ＝x ，x 2＝⎝⎛⎭⎫122m . ∵log 14y ＝m ＋2，∴⎝⎛⎭⎫14m ＋2＝y ，y ＝⎝⎛⎭⎫122m ＋4. ∴x 2y ＝⎝⎛⎭⎫122m ⎝⎛⎭⎫122m ＋4＝⎝⎛⎭⎫122m －(2m ＋4)＝⎝⎛⎭⎫12－4＝16.。

《积商幂的对数》教学设计根据课标要求，我把教学过程设计为：创设情境引入新课、复习回顾温故知新、引导探索获得新知、概念辨析巩固新知、学以致用能力提升、课堂小结布置作业六个板块，一．创设情境引入新课苏格兰数学家、天文学家纳皮尔（J.Napier ，1550—1617），正是在研究天文学的过程中，为了简化计算在1614年发明了对数。

对数的发明是数学史上的重大事件，天文学界更是以近乎狂喜的心情迎接这一发明。

天文学上为了计算星球的轨道和研究星球之间的位置关系，需要对很多的数据进行乘、除、乘方和开方运算。

为了得到结果往往需要花费大量的时间和精力，正是在这个背景下纳皮尔发明了对数。

提出问题：怎样化简?753973=÷⨯中的运算，学习完本节课便能找到答案。

设计意图：以对数的发展史引入，结合当时的背景提出问题“怎样化简?753973=÷⨯的运算”导入新课，出示学习目标，让学生明确本节课所要达到的具体学习要求。

二．复习回顾温故知新（一）对数的定义对数与指数的互化 b N N a a b =⇔=log 对数式与指数式是同一关系的两种表达形式.问题1：a ,b ,N 的关系 ； a ,b ,N 的范围 .问题2：a 的范围 ；b 的范围 ；N 的范围 .设计意图：让学生了解对数与指数的关系，明确对数式与指数式的区别，及它们互化，体会等价转化这个数学思想。

（二）指数幂的运算法则实数指数幂的运算法则设0,0>>b a ，对任意实数βα,都有=⋅βαa a =÷βαa a ()=βαa ()=αab 设计意图：这是同学们熟悉的指数幂运算法则，学生容易得出，为本节课对数的运算法则打下好的逻辑基础，为对数的运算法则证明做好铺垫。

三．引导探索获得新知1.积、商、幂的对数()()N M MN a a a log log log 1+=证明：小组讨论，学生给出证明方法推广：学生给出两种不同的证明方法()N M N M a a a log log log 2-=()M M a a log log 3αα= 类比第一条的证明方法学生给出后两条的证明过程，再总结对数的运算法则的形式“乘变加，除变减，指数提到前”设计意图：探究活动由学生独立完成，由学生合作交流探究第一条证明过程，上台展示，然后类比第一条学生自己完成第二三条的证明过程，培养学生类比、分类、归纳的能力。