人教新课标版数学高二-2014版数学必修五练习1-1正弦定理与余弦定理

1.1正弦定理、余弦定理习题课【学习目标】1.能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；2.能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；3.能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式【自主检测】1.在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π4的值．2.在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A .(1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．【典型例题】例1.在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．例2.设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，cos(A －C )＋cos B ＝32，b 2＝ac ，求B .【目标检测】1.在△ABC 中，已知b ＝a sin B ，且cos B ＝cos C ，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形2.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是( )A ．a ＝8 b ＝16 A ＝30°有两解B ．b ＝18 c ＝20 B ＝60°有一解C．a＝5 b＝2 A＝90°无解 D．a＝30 b＝25 A＝120°有一解3.已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，且B＝30°，则△ABC的面积等于( )A.32B.34C.32或 3 D.34或324*.在△ABC中，若tan A－tan Btan A＋tan B＝c－bc，求角A【总结提升】1.在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；2.三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用。

课时训练1正弦定理一、正弦定理变形的应用1.在△ABC中,若角A,B,C对应的三边分别是a,b,c,则下列各式一定成立的是()A.acosA =bcosBB.ab=sinAsinBC.a sin B=b cos AD.a=b sin A 答案:B解析:在△ABC中,由正弦定理得asinA =bsinB,即ab=sinAsinB.2.(2015山东威海高二期中,4)已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C=3∶2∶1,那么对应的三边之比a∶b∶c等于()A.3∶2∶1B.√3∶2∶1C.√3∶√2∶1D.2∶√3∶1答案:D解析:∵A∶B∶C=3∶2∶1,∴B=2C,A=3C,再由A+B+C=π,可得C=π6,故A=π2,B=π3,C=π6.∴a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=1∶√32∶12=2∶√3∶1.故选D.3.在△ABC中,A=60°,a=3,则a+b+csinA+sinB+sinC等于() A.8√3 B.2√39C.28√3D.2√3答案:D解析:利用正弦定理及比例性质,得a+b+c sinA+sinB+sinC =asinA=3sin60°=32=2√3.二、利用正弦定理解三角形4.(2015山东潍坊四县联考,2)在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于()A.4√6B.4√5C.4√3D.223答案:A解析:∵B=60°,C=75°,∴A=180°-60°-75°=45°.∴由正弦定理可得b=asinBsinA =8×sin60°sin45°=4√6.故选A.5.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=√2,b=√3,B=60°,那么A=()A.45°B.135°C.45°或135°D.60°答案:A解析:由正弦定理可得sin A=√22,但a<b,所以A<B,故A只能是锐角45°.6.(2015河南南阳高二期中,2)在△ABC中,A=30°,AB=4,满足此条件的△ABC有两解,则边BC长度的取值范围为()A.(2√3,4)B.(2,4)C.(4,+∞)D.(2√3,4)答案:B解析:∵满足条件的△ABC有两解,∴AB sin30°<BC<4.∴2<BC<4,故选B.7.在△ABC中,a=√3,b=√2,B=45°,则A=.答案:60°或120°解析:由正弦定理asinA =bsinB,得sin A=√32.∵a>b,∴A=60°或A=120°.8.在△ABC中,已知a=5,B=120°,C=15°,求此三角形最大的边长.解:∵B=120°,C=15°,∴A=180°-B-C=180°-120°-15°=45°.∵B最大,∴b最大.由正弦定理asinA =bsinB,得b=asinB=5×sin120°=5√6.9.在△ABC中,已知a=2,c=√6,C=π3,求A,B,b.解:∵a=c,∴sin A=asinC=√2.∵c>a,∴C>A.∴A=π.∴B=5π12,b=csinBsinC=√6×sin5π12sinπ3=√3+1.三、判断三角形形状10.(2015河北邯郸三校联考,7)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b cos C+c cos B=a sin A,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案:B解析:∵b cos C+c cos B=a sin A,∴由正弦定理可得sin B cos C+sin C cos B=sin A sin A,即sin(B+C)=sin A sin A,可得sin A=1,故A=π2,故三角形为直角三角形.故选B.11.在△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2c cos A,c=2b cos A,则△ABC的形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形答案:C解析:由b=2c cos A,根据正弦定理,得sin B=2sin C cos A,∵在三角形中,sin B=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C,代入上式,可得sin A cos C+cos A sin C=2sin C cos A,即sin A cos C-cos A sin C=sin(A-C)=0,又-π<A-C<π,∴A-C=0,即A=C.同理A=B,∴△ABC为等边三角形,故选C.12.(2015山东威海高二期中,7)在△ABC中,若acos A2=bcos B2=ccos C2,则△ABC的形状是()A.直角三角形B.等腰非等边三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形答案:C解析:∵asinA =bsinB=csinC,∴acos A2=bcos B2=ccos C2,可化为sinAcos A2=sinBcos B2=sinCcos C2,即sin A2=sin B2=sin C2.∵A,B,C均为三角形的内角, ∴A=B=C.即△ABC为等边三角形.故选C.(建议用时:30分钟)1.(2015福建厦门高二期末,3)在△ABC 中,若A=30°,B=45°,BC=√2,则AC 等于( )A.2√33 B.2 C.1D.√32答案:B解析:由正弦定理可得AC sinB =BCsinA ,从而有AC=BCsinBsinA =√2×sin45°sin30°=2,故选B .2.在△ABC 中,已知a=5√2,c=10,A=30°,则B 等于 ( )A.105°B.60°C.15°D.105°或15°答案:D解析:由正弦定理csinC =asinA ,得10sinC=5√2sin30°,sin C=√22.∵a<c ,∴A<C ,∴C=45°或135°.再由A+B+C=180°,求出B=105°或15°.3.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.若a cos A=b sin B ,则sin A cos A+cos 2B=( ) A.-12B.12C.-1D.1答案:D解析:根据正弦定理asinA =bsinB =2R 得,a=2R sin A ,b=2R sin B ,∴a cos A=b sin B 可化为sin A cos A=sin 2B. ∴sin A cos A+cos 2B=sin 2B+cos 2B=1.4.在△ABC 中,角A ,C 的对边分别为a ,c ,C=2A ,cos A=34,则ca 的值为( ) A.2 B.12C.32D.1答案:C解析:由正弦定理得ca =sinCsinA =sin2AsinA =2sinAcosA sinA =2cos A=32. 5.在△ABC 中,b=2√2,a=2,且三角形有解,则A 的取值范围是( ) A.0°<A<30°B.0°<A ≤45°C.60°<A<90°D.30°<A<60°答案:B解析:∵△ABC有解,∴b·sin A≤a,即sin A≤√22.又a<b,∴A为锐角.∴0°<A≤45°.6.在△ABC中,若a=3,b=√3,A=60°,则角C的大小为.答案:90°解析:由正弦定理得,asinA =bsinB,从而32=√3sinB,即sin B=12,∴B=30°或B=150°.由a>b可知B=150°不合题意,∴B=30°.∴C=180°-60°-30°=90°.7.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3b=2√3a sin B,且cos B=cos C,则△ABC的形状是.答案:等边三角形解析:由正弦定理可将3b=2√3a sin B化为3sin B=2√3sin A sin B.∴sin A=√32.∵△ABC为锐角三角形,∴A=π3.又∵cos B=cos C,0<B<π2,0<C<π2,∴B=C.∴△ABC为等边三角形.8.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.a sin B cos C+c sin B cos A=12b,且a>b,则B=.答案:π6解析:由正弦定理asinA =bsinB=csinC=2R,得2R sin A sin B cos C+2R sin C sin B cos A=12×2R sin B.由0<B<π,所以sin B≠0,从而sin(A+C)=12,即sin(π-B)=sin B=12.因为a>b,所以在△ABC中,B为锐角,则B=π6.9.在△ABC中,已知a2tan B=b2tan A,试判断△ABC的形状.解:由已知得a 2sinBcosB =b2sinAcosA,由正弦定理得a=2R sin A,b=2R sin B(R为△ABC的外接圆半径),∴4R 2sin 2AsinB cosB=4R 2sin 2BsinAcosA. ∴sin A cos A=sin B cos B. ∴sin2A=sin2B.又A ,B 为三角形的内角,∴2A=2B 或2A=π-2B ,即A=B 或A+B=π2. ∴△ABC 为等腰或直角三角形.10.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对应的边,且b=6,a=2√3,A=30°,求ac 的值. 解:由正弦定理asinA=bsinB得 sin B=bsinA a=2√3=√32.由条件b=6,a=2√3,知b>a ,所以B>A.∴B=60°或120°.(1)当B=60°时,C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°. 在Rt △ABC 中,C=90°,a=2√3,b=6,则c=4√3,∴ac=2√3×4√3=24.(2)当B=120°时,C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°,∴A=C ,则有a=c=2√3.∴ac=2√3×2√3=12.。

高中数学必修5正、余弦定理练习卷.pdf1、1高中数学必修5555《正弦定理》练习卷学问点：1、正弦定理：2sinsinsinabcRC===ΑΒ．〔其中R为C∆ΑΒ的外接圆的半径，〕2、正弦定理的变形公式：〔1〕2sinaR=Α，2sinbR=Β，2sincRC=；〔2〕sin2aRΑ=，sin2bRΒ=，sin2cCR=；〔3〕::sin:sin:sinabcC=ΑΒ；〔4〕sinsinsinsinsinsinabcabcCC++===Α+Β+ΑΒ．3、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac∆ΑΒ=Α==Β．同步练习：1、以下关于正弦定理的表达或变形中错误的选项是〔〕A．在C∆ΑΒ中，sinsinabΒ=ΑB2、．在C∆ΑΒ中，sin2sin2ac=⇔Α=ΒC．在C∆ΑΒ中，sinsinsinabcC+=ΑΒ+D．在C∆ΑΒ中，正弦值较大的角所对的边也较大2、在C∆ΑΒ中，已知8a=，60Β=�，75C=�，则b等于〔〕A．42B．43C．46D．3233、在C∆ΑΒ中，5a=，3b=，120C=�，则sinsinΑΒ的值是〔〕A．53B．35C．37D．574、在C∆ΑΒ中，若2sinba=Β，则Α等于〔〕A．30�或60�B．45�或60�C．60�或120�D．30�或150�5、在C∆ΑΒ中，若()()()coscoscos1CCΑ−Β⋅Β−⋅−Α=，则C∆ΑΒ的样子是〔〕A．直角三角形B．3、等边三角形C．等腰直角三角形D．顶角为120�的等腰三角形6、一个三角形的两个内角分别为30�和45�，假如45�角所对的边长为8，那么30�角所对的边长是〔〕A．4B．42C．43D．467、在C∆ΑΒ中，1a=，3b=，30Α=�，则Β等于〔〕A．60�B．60�或120�C．30�或150�D．120�8、在C∆ΑΒ中，45Β=�，60C=�，1c=，则最短边的长等于〔〕A．63B．62C．12D．329、在C∆ΑΒ中，若sincosabΑΒ=，则Β的值为〔〕A．�30B．�45C．�60D．�90。

正弦定理和余弦定理试题答案一、选择题：(本大题共12小题，每小题6分，共60分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )A ．－223 B.223 C ．－63 D.63解析：依题意得0°<B <60°，由正弦定理得a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin A a ＝33，cos B ＝1－sin 2B ＝63，选D.2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：由sin C ＝23sin B 可得c ＝23b ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝32，于是A ＝30°，故选A.3．(2010·江西)E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝( )A.1627B.23C.33D.34解析：设AC ＝1，则AE ＝EF ＝FB ＝13AB ＝23，由余弦定理得CE ＝CF ＝AE 2＋AC 2－2AC ·AE cos45°＝53，所以cos ∠ECF ＝CE 2＋CF 2－EF 22CE ·CF＝45， 所以tan ∠ECF ＝sin ∠ECF cos ∠ECF ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45245＝34. 答案：D 4．△ABC 中，若lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2且B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则△ABC 的形状是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形解析：∵lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，∴lg a c ＝lgsin B ＝lg 22.∴a c ＝sin B ＝22.∵B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴B ＝π4，由c ＝2a ， 得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3a 2－b 222a 2＝22. ∴a 2＝b 2，∴a ＝b . 答案：D5．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33 D ．2＋ 3解析：2b ＝a ＋c ，12ac ·12＝12⇒ac ＝2，a 2＋c 2＝4b 2－4，b 2＝a 2＋c 2－2ac ·32⇒b 2＝4＋233⇒b ＝3＋33. 答案：C6．已知锐角A 是△ABC 的一个内角，a 、b 、c 是三角形中各内角的对应边，若sin 2A －cos 2A ＝12，则( )A ．b ＋c ＝2aB ．b ＋c <2ªC ．b ＋c ≤2aD ．b ＋c ≥2a解析：由sin 2A －cos 2A ＝12，得cos2A ＝－12， 又A 是锐角，所以A ＝60°，于是B ＋C ＝120°. 所以b ＋c 2a ＝sin B ＋sin C 2sin A ＝2sin B ＋C 2cos B －C23＝cos B －C 2≤1，b ＋c ≤2a . 答案：C 7、若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A += A.3 B ．3- C ．53 D ．53- 解：由sin2A ＝2sinAcosA >0，可知A 这锐角，所以sinA ＋cosA >0，又25(sin cos )1sin 23A A A +=+=，故选A 8、如果111ABC ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形解：111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由211211211sin cos sin()2sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ⎧==-⎪⎪⎪==-⎨⎪⎪==-⎪⎩，得212121222A A B B C C πππ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，那么，2222A B C π++=，所以222A B C ∆是钝角三角形。

正弦定理与余弦定理知识集结知识元正弦定理公式知识讲解1．正弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b一解两解一解一解解的个数由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S＝a•h a（h a表示边a上的高）；2．S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A．3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．例题精讲正弦定理公式例1.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A=45°，B=30°，a=，则b=（）A．B．1 C．2 D．例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B=（）A．B．C．D．或例3.在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sin A：sin B：sin C=3：5：7，则C=（）A．90°B．120°C．135°D．150°利用正弦定理解三角形知识讲解【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识例题精讲利用正弦定理解三角形例1.在△ABC中，a，b，c是内角A，B，C所对的边．若a>b，则下列结论不一定成立的（）A．A>B B．sin A>sin BC．cos A<cos B D．sin2A>sin2B例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角A的大小为（）A．B．C．D．例3.在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin B =b sin A，则a=（）A ．B ．C．1 D．三角形面积公式的简单应用知识讲解1．余弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．例题精讲三角形面积公式的简单应用例1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b）2=c2+ab，B=30°，a=4，则△ABC的面积为（）A．4 B．3C．4D．6例2.设△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其外接圆半径为2，且有，则三角形的面积为（）A．B．C．或D．或例3.在△ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cos C=，且a cos B+b cos A=2，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．利用余弦定理解三角形当堂练习填空题练习1.如图，O在△ABC的内部，且++3=，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为_____．练习2.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2-8=（a-b）2，a=2c sin A，则△ABC的面积为____．练习3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值是____．解答题练习1.'在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B的大小；（2）若D为AC的中点，且BD=1，求S△ABC的最大值．'练习2.'在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（a+c）sin B-b sin C=b cos A．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为4，a=6，求△ABC的周长．'练习3.'△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若。

1.1 正弦定理和余弦定理（人教实验A 版必修5）建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题（本大题共7小题，每小题4分，共28分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在△ABC 中，下列各式中符合余弦定理的是（ ）（1）c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ；（2）c 2＝a 2－b 2－2bc cos A ；（3）b 2＝a 2－c 2－2bc cos A ；（4）cos C ＝a 2＋b 2＋c 2－2ab .A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)2.在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B =（ ） A. B. C. D.3.在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边c 的长是（ ）A. B.C.2D.24.已知锐角A 是△ABC 的一个内角，a ,b ,c 是三角形中各内角的对应边，若sin 2A －cos 2A ＝12，则下列各式正确的是（ ） （1）b ＋c ＝2a ； （2）b ＋c 2a ；（3）b ＋c ≤2a ； （4）b ＋c ≥2a .A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)5.在△ABC 中，D 点为BC 上一点，BD ＝12DC ， ∠ADB＝120°，AD ＝2.若△ADC 的面积为3－3，则∠BAC ＝（ ）A.30°B.60°C.45°D.90°6.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ） A. B. C. D.7.在△ABC 中，已知2sin A cos B = sin C ，那么 △ABC 的形状是（ ）三角形. A.锐角 B.直角 C.等边 D.等腰二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上） 8.如图，在四边形ABCD 中， 已知AD ⊥CD ，AD = 10，AB =14，∠BDA =60︒，∠BCD =135︒ ，则BC = . 9.如图，AA 1与BB 1相交于 点O ，AB ∥A 1B 1且AB ＝ 12A 1B 1. 若△AOB 的外接 圆的直径为1，则△A 1OB 1的外接圆的直径为_______．10.在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，则△ABC 的形状是 ．(填锐角三角形、直角三角形、钝角三角形)11.在△ABC 中，下列关系式： ①a sin B ＝b sin A ； ②a ＝b cos C ＋c cos B ； ③a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ； ④b ＝c sin A ＋a sin C ， 一定成立的个数是 .12.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若B =2A ，a =1，b =，则c = .三、解答题（共47分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）13.（11分）在△ABC 中，b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，试判断△ABC 的形状．1.1 正弦定理和余弦定理（人教实验A版必修5）答题纸得分：一、选择题二、填空题8． 9． 10． 11． 12．三、解答题13.14.15.16.1.1 正弦定理和余弦定理（人教实验A 版必修5）参考答案1.A 解析：注意余弦定理的形式，特别是正负号问题．2.A 解析：依题意得0°60°，由正弦定理得sin sin a b A B=得sin B ＝sin b Aa ＝33，cos B ＝ ＝63，故选A.3.D 解析：根据余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，所以c ＝219.故选D.4.C 解析：由sin 2A －cos 2A ＝12，得cos 2A ＝－12，又因为A 是锐角，所以A ＝60°，于是B ＋C ＝120°.所以2b c a+＝sin sin 2sin B C A+＝2sincos 223B C B C +-＝cos2B C -≤1，即b ＋c ≤2a .故选C.5.B 解析：由∠ADB ＝120°，知∠ADC ＝60°.又因为AD ＝2，所以S △ADC ＝12AD ·DC ·sin 60°＝3－3，所以DC ＝2(3－1).又因为BD ＝12DC ，所以BD ＝3－1.过A 点作AE ⊥BC 于E 点，则S △ADC ＝12DC ·AE ＝3－3，所以AE ＝ 3.又在直角三角形AED 中，DE ＝1，所以BE ＝ 3.在直角三角形ABE 中，BE ＝AE ，所以△ABE 是等腰直角三角形，所以∠ABC ＝45°.在直角三角形AEC 中，EC ＝23－3，所以tan ∠ACE ＝AE EC ＝323－3＝2＋3，所以∠ACE ＝75°，所以∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°.故选B.6.C 解析：设等腰三角形的底边长为a ，则由题意知等腰三角形的腰长为2a ，故顶角的余弦值为22244222··a a a a a ＋－＝78. 故选C.7.D 解析：由2 = ，知2 = ， ∴+，即 = 0. ∴ 0，∴ .故选D.8.82 解析：在△ABD 中，设BD =x ，则2222cos BA BD AD BD AD BDA =+-⋅⋅∠， 即 60cos 1021014222⋅⋅-+=x x ， 整理得 096102=--x x ，解得161=x ，62-=x （舍去）. ∵ ∠ADC =90°，∠BDA =60°，∴ ∠CDB =30°. 由正弦定理得 BCDBDCDB BC ∠=∠sin sin ， ∴2830sin 135sin 16=⋅=BC . 9.2 解析：在△AOB 中，由正弦定理得＝1，∴ sin ∠AOB ＝AB . ∵ ∠AOB =∠，∴.在△A 1OB 1中，由正弦定理得2R ＝＝＝2.10.锐角三角形 解析一：根据余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .∵ B ＝60°，2b ＝a ＋c ，∴ 2a c +⎛⎫⎪⎝⎭2＝a 2＋c 2－2ac cos 60°， 整理得(a －c )2＝0，∴ a ＝c .∴ △ABC 是正三角形．∴ △ABC 是锐角三角形．解析二：根据正弦定理得，2b ＝a ＋c 可转化为2sin B ＝sin A ＋sin C . 又∵ B ＝60°，∴ A ＋C ＝120°，∴ C ＝120°－A ，∴ 2sin 60°＝sin A ＋sin(120°－A )，整理得sin(A ＋30°)＝1， ∴ A ＝60°，C ＝60°.∴ △ABC 是正三角形．∴ △ABC 是锐角三角形． 11.3 解析：由正、余弦定理知①③一定成立．对于②，由正弦定理知sin A ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )，显然成立．对于④，由正弦定理知sin B ＝sin C sin A ＋sin A sin C ＝2sin A sin C ，不一定成立． 12.2 解析：∵ B =2A ，a =1，b = ， ∴ 由正弦定理 = 得： = == ， ∴ cos A = .由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，即1=3+c 2-3c ， 解得c =2或c =1（经检验不合题意，舍去），则c =2．故填2.13.解：由余弦定理知cos B ＝2222a c b ac＋－，将c ＝a cos B 代入，得c ＝2222a c b ac ＋－，∴ c 2＋b 2＝a 2，∴ △ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形． 又∵ b ＝a sin C ，∴ b ＝a •ca，∴ b ＝c ， ∴ △ABC 是等腰三角形．综上所述，△ABC 是等腰直角三角形． 14. 解：（1）由2a sin B =b ，利用正弦定理得：2sin A sin B =sin B . ∵ sin B ≠0，∴ sin A =. 又A 为锐角，∴ A = .（2）由余弦定理得：a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，即36=b 2+c 2-bc =（b +c ）2-3bc =64-3bc ，∴ bc = . 又sin A =，则 =bc sin A = ．15.解法一：先解三角方程，求出角A 的值..21)45cos(,22)45cos(2cos sin =-∴=-=+ A A A A又0180 <<A , 4560,105.A A ∴-==1tan tan(4560)2A +∴=+==- .46260sin 45cos 60cos 45sin )6045sin(105sin sin +=+=+== A )62(434623221sin 21+=+⨯⨯⨯=•=∴∆A AB AC S ABC . 解法二：由sin cos A A +计算它的对偶关系式sin A -cos A 的值. 22cos sin =+A A ， ①.0cos ,0sin ,1800.21cos sin 2.21)cos (sin 2<>∴<<-=∴=+∴A A A A A A A 又23cos sin 21)cos (sin 2=-=-A A A A , 26cos sin =-∴A A . ② ①+②，得sin A =+264. ①－②，得cos A =-264. 从而sin 26tan 23cos 26A A A +==⨯=---. 以下解法同解法一.16.解：（1）由正弦定理得，tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B CB b B A B+=⇒+=， 即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B CB A B +=， ∴sin()2sin sin cos sin A B CB A B+=， ∴ 1cos 2A =．∵0πA <<，∴π3A =．（2）∵ m +n 2cos ,2cos 1(cos ,cos )2C B B C ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴|m +n |222222π1πcos cos cos cos 1sin 2326B C B B B ⎛⎫⎛⎫=+=+-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∵ π3A =，∴ 2π3B C +=， ∴ 2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．从而ππ7π2666B -<-<．∴ 当πsin 26B ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝1，即π3B =时，|m +n |2取得最小值12．∴ |m +n |min 2=.。

1. 1.1正弦定理作业 1、 在ABC ∆中，若A b a sin 23=，则B 等于 （ ）A. ο30B. ο60C. ο30或ο150D. ο60或ο1202、在ABC ∆中，已知ο45,1,2===B c b ，则a 等于 （ ）A. 226-B. 226+ C. 12+ D. 23-3、不解三角形，确定下列判断中正确的是 （ ）A. ο30,14,7===A b a ，有两解B. ο150,25,30===A b a ,有一解C. ο45,9,6===A b a ，有两解D. ο60,10,9===A c b ，无解4、在ABC ∆中，已知B a b sin 323=，C B cos cos =，则ABC ∆的形状是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形5、在ABC ∆中，ο60=A ,3=a ，则=++++C B A cb a sin sin sin （ ）A. 338 B. 3392 C. 3326 D. 326、在ABC ∆中，已知ο30=A ,ο45=C 20=a ，解此三角形。

7、在ABC ∆中，已知ο30,33,3===B c b ,解此三角形。

参考答案： 1、 解析：由A b a sin 23=可得23sin b A a =，由正弦定理可知B b A a sin sin =，故可得23sin =B ，故=B ο60或ο120。

2、 解析：由正弦定理可得C c B b sin sin =，带入可得21sin =C ，由于b c <，所以ο30=C ，ο105=B ，又由正弦定理B b A a sin sin =带入可得226+=a 3、解析：利用三角形中大角对大边，大边对大角定理判定解的个数可知选Ｂ。

4、解析：由B a b sin 323=可得23sin a B b =，所以23sin =A ，即ο60=A 或ο120，又由C B cos cos =及()π,0,∈C B 可知C B =，所以ABC ∆为等腰三角形。

双基限时练(三)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6 B.π3 C.π6，或5π6D.π3，或2π3解析 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，又0<B <π，∴B ＝π6.答案 A2．在△ABC 中，AB ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝( ) A ．3－ 3 B. 2 C ．2D ．3＋ 3解析 由正弦定理，知BC sin A ＝AB sin C ，∴BC ＝AB sin Asin C ＝3×226＋24＝3－ 3.答案 A3．在△ABC 中，已知a ＝52，c ＝10，A ＝30°，则B 等于( ) A ．105° B ．60°C ．15°D ．105°，或15°解析 先用正弦定理求角C ，由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝c sin Aa ＝10×1252＝22.又c >a ，∴C ＝45°，或135°，故B ＝105°，或15°. 答案 D4．已知三角形的三边之比为a ：b ：c ＝2：3：4，则此三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析 设三边长为2a,3a,4a (a >0)，它们所对的三角形内角依次为A ，B ，C .则cos C ＝(2a )2＋(3a )2－(4a )22×2a ×3a ＝－14<0，∴C 为钝角．故该三角形为钝角三角形． 答案 B5．在△ABC 中，下列关系中一定成立的是( ) A ．a >b sin A B ．a ＝b sin A C ．a <b sin AD ．a ≥b sin A解析 在△ABC 中，由正弦定理，知 a ＝b sin Asin B ，∵0<sin B ≤1，∴a ≥b sin A . 答案 D6．△ABC 中，已知2A ＝B ＋C ，且a 2＝bc ，则△ABC 的形状是( ) A ．两直角边不等的直角三角形B ．顶角不等于90°，或60°的等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析 解法1：由2A ＝B ＋C ，知A ＝60°.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴12＝b 2＋c 2－bc2bc∴b 2＋c 2－2bc ＝0.即(b －c )2＝0，∴b ＝c . 故△ABC 为等边三角形．解法2：验证四个选项知C 成立． 答案 C7．在△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC 的长为____________． 解析 由A ＋B ＋C ＝180°，求得B ＝60°. ∴BC sin A ＝AC sin B ⇒BC ＝AC sin A sin B ＝3×2232＝ 2.答案28．△ABC 中，已知a ＝2，c ＝3，B ＝45°，则b ＝________. 解析 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝2＋9－2×2×3×22＝5，∴b ＝ 5.答案59．在△ABC 中，a ＝23，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ， ∴43＝12×23×b ×223，∴b ＝3 2. 答案 3 210．在△ABC 中，a ＋b ＝10，而cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根，求△ABC 周长的最小值．解 解方程2x 2－3x －2＝0，得x 1＝－12，x 2＝2，而cos C 为方程2x 2－3x －2＝0的一个根，∴cos C ＝－12.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c 2＝a 2＋b 2＋ab .∴c 2＝(a ＋b )2－ab ＝100－ab ＝100－a (10－a )＝a 2－10a ＋100＝(a －5)2＋75≥75，∴当a ＝b ＝5时，c min ＝53.从而三角形周长的最小值为10＋5 3.11．在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，且B 为锐角，试判断此三角形的形状．解 ∵lgsin B ＝－lg 2，∴sin B ＝22.又∵B 为锐角，∴B ＝45°.∵lg a －lg c ＝－lg 2，∴a c ＝22.由正弦定理，得sin A sin C ＝22. 即2sin(135°－C )＝2sin C .∴2(sin135°cos C －cos135°sin C )＝2sin C . ∴cos C ＝0，∴C ＝90°，∴A ＝B ＝45°. ∴△ABC 是等腰直角三角形．12．a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ，边b 和c 是关于x 的方程x 2－9x ＋25cos A ＝0的两根(b >c )．(1)求角A 的正弦值； (2)求边a ，b ，c ； (3)判断△ABC 的形状．解 (1)∵(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ， 由正弦定理，得(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝185bc ， 整理，得b 2＋c 2－a 2＝85bc .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45，∴sin A ＝35.(2)由(1)知方程x 2－9x ＋25cos A ＝0可化为x 2－9x ＋20＝0， 解之得x ＝5或x ＝4，∵b >c ，∴b ＝5，c ＝4. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴a ＝3. (3)∵a 2＋c 2＝b 2，∴△ABC 为直角三角形．。

1.1.2 余弦定理双基达标 (限时20分钟)1．在△ABC 中，已知a ＝9，b ＝23，C ＝150°，则c 等于( )． A.39 B ．8 3 C ．10 2 D ．7 3解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝92＋(23)2－2×9×23cos 150°＝147＝(73)2，∴c ＝7 3. 答案 D2．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( )．A.π3B.π6C.π4D.π12 解析 ∵c <b <a ，∴最小角为角C .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝49＋48－132×7×43＝32. ∴C ＝π6，故选B. 答案 B3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab>0，则△ABC( )．A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形解析 ∵c 2－a 2－b 22ab>0，∴c 2－a 2－b 2>0. ∴a 2＋b 2<c 2.∴△ABC 为钝角三角形．故选C.答案 C4．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________.解析 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac .∴原式为0.答案 05．在△ABC 中，若(a －c )(a ＋c )＝b (b ＋c )，则A ＝________.解析 ∵(a －c )(a ＋c )＝b (b ＋c )，∴a 2－c 2＝b 2＋bc ，即b 2＋c 2－a 2＝－bc .∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12. ∵0°<A <180°，∴A ＝120°.答案 120°6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝14，a ＝4，b ＋c ＝6，且b <c ，求b ，c 的值．解 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴16＝(b ＋c )2－2bc －12bc ∴bc ＝8，又∵b ＋c ＝6，b <c ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝6，bc ＝8， 得b ＝2，c ＝4或b ＝4，c ＝2(舍)．∴b ＝2，c ＝4.综合提高(限时25分钟) 7．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则三角形一定是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形解析 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－ac ，∴a 2＋c 2－2ac ＝0，∴(a －c )2＝0，∴a ＝c .∵B ＝60°，∴A ＝C ＝60°.故△ABC 为等边三角形．答案 B 8．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则AB →·A C →等于( )．A.152 B ．－152 C.1532D ．15 解析 ∵cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC＝5×3×⎝⎛⎭⎫－12＝－152，故选B. 答案 B9．在锐角△ABC 中，边长a ＝1，b ＝2，则边长c 的取值范围是________．解析 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ＝1＋4－4cos C ＝5－4cos C .又∵0<C <π2，∴cos C ∈(0,1)． ∴c 2∈(1,5)．∴c ∈(1，5)．答案 (1，5)10．已知等腰△ABC 的底边BC ＝2，腰AB ＝4，则腰上的中线长为________．解析 ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝42＋42－222×4×4＝78. 设其中一腰中线长为x ，则x 满足：x 2＝42＋22－2×4×2cos A ＝20－16×78＝6.∴x ＝ 6. 答案 6 11．已知a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且a 2＋c 2－b 2＝ac .(1)求角B 的大小；(2)若c ＝3a ，求tan A 的值．解 (1)由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12. ∵0<B <π，∴B ＝π3. (2)法一 将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝5714. ∵0<A <π，∴sin A ＝1－cos 2A ＝2114. ∴tan A ＝sin A cos A ＝35. 法二 将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a .由正弦定理，得sin B ＝7sin A .∵B ＝π3，∴sin A ＝2114.又∵b ＝7a >a ，则B >A ，∴cos A ＝1－sin 2A ＝5714. ∴tan A ＝sin A cos A ＝35. 12．(创新拓展)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解 (1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 故cos A ＝－12. 又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3. (2)由(1)中a 2＝b 2＋c 2＋bc 及正弦定理，可得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，即⎝⎛⎭⎫322＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， 又sin B ＋sin C ＝1，得sin B ＝sin C ＝12， 又0<B ，C <π3，∴B ＝C ， ∴△ABC 为等腰的钝角三角形．。

1.2 应用举例 第1课时 正、余弦定理在实际问题中 的应用双基达标(限时20分钟) 1．某人先向正东方向走了x km ，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km ，结果他离出发点恰好为 3 km ，那么x 的值为( )． A. 3 B ．2 3 C ．23或 3 D ．3解析 根据余弦定理可得，(3)2＝x 2＋32－2×3x cos(180°－150°)，即x 2－33x ＋6＝0，∴x ＝23或 3.答案 C2．从200 m 高的山顶看，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为( )．A.4003 mB.40033 mC.20033 mD.2003m 解析 由山顶与塔底的俯角为60°可知，山脚与塔底的水平距离为2003，又山顶看塔顶的俯角为30°，设塔高为x m ，则200－x ＝2003×33，∴x ＝4003 m ．故选A. 答案 A3．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m ，则电视塔在这次测量中的高度是 ( )．A ．100 2 mB ．400 mC ．200 3 mD ．500 m解析 由题意画出示意图，设高AB ＝h ，在Rt △ABC 中，由已知BC ＝h ，在Rt △ABD中，由已知BD ＝3h ，在△BCD 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos ∠BCD 得，3h 2＝h 2＋5002＋h ·500，解之得h ＝500 m ．故选D.答案 D4．如图，A 、B 两点间的距离为________．解析 ∵AB 2＝32＋32－2×3×3cos 45°＝32×(2－2)，∴AB ＝32－ 2.答案 32－ 25. 如图所示，为了测量河的宽度，在一侧岸边选定两点A ，B ，在另一侧岸边选定点C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度为________．解析 设河宽h m ，则h tan 30°＋h tan 75°＝120， 又∵tan 75°＝3＋33－3，∴3h ＋3－33＋3h ＝120，∴h ＝60 m. 答案 60 m6．一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号．正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A 处获悉后，即测出该商船在方位角为45°距离10海里的C 处，并沿方位角为105°的方向，以9海里/时的速度航行．“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救．求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程．解 如图所示，若“黄山”舰以最少时间在B 处追上商船，则A ，B ，C 构成一个三角形，设所需时间为t 小时，则AB ＝21t 海里，BC ＝9t 海里．又已知AC ＝10海里，依题意知，∠ACB ＝120°，根据余弦定理，AB 2＝AC 2＋BC 2－2·AC ·BC cos ∠ACB .∴(21t )2＝102＋(9t )2－2×10×9t cos 120°，∴(21t )2＝100＋81t 2＋90t ，即360t 2－90t －100＝0.∴t ＝23或t ＝－512(舍)． ∴AB ＝21×23＝14(海里)． 即“黄山”舰需要用23小时靠近商船，共航行14海里． 综合提高 （限时25分钟）7．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )．A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km 解析 在△ABC 中，AB ＝BC ＝a km ，∠ACB ＝180°－(20°＋40°)＝120°，∴AB ＝AC 2＋BC 2－2·AC ·BC cos 120° ＝ a 2＋a 2－2a 2·⎝⎛⎭⎫－12＝3a (km)． 答案 B8．有一长为10 m 的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长( )． A ．5 mB ．10 mC ．10 2 mD ．10 3 m 解析 如图，设将坡底加长到B ′时，倾斜角为30°.依题意，∠B ′＝30°，∠BAB ′＝75°－30°＝45°，AB ＝10 m ，在△ABB ′中，根据正弦定理，得BB ′＝AB sin 45°sin 30°＝10×2212＝10 2 (m)， 即当坡底伸长10 2 m 时，斜坡的倾斜角将变为30°.答案 C9．已知A ，B 两岛相距10 n mile ，从A 岛看B ，C 两岛的视角为60°，从B 岛看A ，C 两岛的视角是75°，则B ，C 两岛的距离为________ n mile.解析 A ，B ，C 为△ABC 的顶点，且A ＝60°，B ＝75°，∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(60°＋75°)＝45°.根据正弦定理得，BC ＝AB sin A sin C ＝10·sin 60°sin 45°＝5 6 (n mile)． 答案 5 610．某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险(填“有”或“无”)．解析 由题意在三角形ABC 中，AB ＝30，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝135°，∴∠ACB ＝15°，由正弦定理BC ＝AB sin ∠ACB· sin ∠BAC ＝30sin 15°· sin 30°＝156－24＝15(6＋2)． 在Rt △BDC 中，CD ＝22BC ＝15(3＋1)>38. 答案 无11.为了测量两山顶M 、N 间的距离，飞机沿水平方向在A 、B 两点进行测量，A 、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内，如图，飞机能测量的数据有俯角和A 、B 间的距离，请设计一个方案；包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M 、N 间的距离的步骤． 解 ①需要测量的数据有A 到M 、N 的俯角α1、β1，B 到M 、N 的俯角α2、β2，A 、B 的距离d (如图所示)．②方案一：第一步：计算AM ，由正弦定理AM ＝d sin α2sin (α1＋α2)； 第二步：计算AN ，由正弦定理AN ＝d sin β2sin (β2－β1)；第三步：计算MN ，由余弦定理 MN ＝AM 2＋AN 2－2AM ·AN cos (α1－β1).方案二：第一步：计算BM ，由正弦定理BM ＝d sin α1sin (α1＋α2)； 第二步：计算BN ，由正弦定理BN ＝d sin β1sin (β2－β1)； 第三步：计算MN ，由余弦定理MN ＝BM 2＋BN 2＋2BM ·BN cos (β2＋α2).12．(创新拓展)某海上养殖基地A 接到气象部门预报，位于基地南偏东60°距离20(3＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时102海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(3＋1)小时后开始影响基地持续2小时．求台风移动的方向．解 如题图所示，设预报时台风中心为B ，开始影响基地时台风中心为C ，则B ，C ，D 在同一直线上，且AD ＝20海里，AC ＝20海里．由题意知，AB ＝20(3＋1) 海里，DC ＝2×102＝20 2 海里，BC ＝(3＋1)×10 2 海里．在△ADC 中，∵DC 2＝AD 2＋AC 2，∴∠DAC ＝90°，∠ADC ＝45°.在△ABC 中，由余弦定理得cos ∠BAC ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝32， ∴∠BAC ＝30°，又∵B 位于A 的南偏东60°，且60°＋30°＋90°＝180°，∴D 位于A 的正北方向，又∵∠ADC ＝45°，∴台风移动的方向为CD →的方向，即北偏西45°方向．所以台风向北偏西45°方向移动．。

第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理A级基础巩固一、选择题1．在△ABC中，已知2B＝A＋C，则B＝()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：由2B＝A＋C⇒3B＝A＋B＋C＝180°，即B＝60°.答案：C2．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝() A．4 3 B．2 3 C. 3 D.32解析：利用正弦定理解三角形．在△ABC中，ACsin B＝BCsin A，所以AC＝BC·sin Bsin A＝32×2232＝2 3.答案：B3．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于() A．－223 B.223C．－63 D.63解析：利用正弦定理：a sin A ＝bsin B ，1532＝10sin B ，所以sin B ＝33，因为大边对大角(三角形中)，所以B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2 B＝63. 答案：D4．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin A ∶sin B 的值是( )A.53B.35C.37D.57 解析：由正弦定理得： a sin A ＝b sin B ，所以sin A sin B ＝a b ， 因为a ＝5，b ＝3， 所以sin A ∶sin B ＝5∶3. 答案：A5．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形解析：由正弦定理得：a sin A ＝b sin B ＝2R ，由a ＝b sin A 得： 2R sin A ＝2R sin B ·sin A ， 所以sin B ＝1，所以B ＝π2.答案：B 二、填空题6．(2015·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π3，则∠B＝________．解析：由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，即332＝6sin B，所以sin B ＝22，所以∠B ＝π4.答案：π47．(2015·广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________．解析：因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6，又C＝π6，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3，又a ＝3，由正弦定理得asin A ＝b sin B ，即3sin 2π3＝b sinπ6，解得b ＝1. 答案：18．在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则AB 边上的高是________．解析：由正弦定理，AC sin B ＝ABsin C，所以sin C ＝AB ·sin 30°AC ＝23·sin 30°2＝32，所以C ＝60°或120°，(1)当C ＝60°时，A ＝90°，AB 边上的高为2；(2)当C ＝120°时，A ＝30°，AB 边上的高为2sin 30°＝1. 答案：1或2 三、解答题9．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，试判断△ABC 的形状． 解：由正弦定理得，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，由a cos A ＝b cos B 得，sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B . 因为2A 、2B ∈(0，2π)， 所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π. 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰或直角三角形．10．在△ABC 中，已知c ＝10，cos A cos B ＝b a ＝43，求a 、b 及△ABC的内切圆半径．解：由正弦定理知sin B sin A ＝ba ，所以cos A cos B ＝sin B sin A.则sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin 2A ＝sin 2B .又因为a ≠b ，所以2A ＝π－2B ， 即A ＋B ＝π2.所以△ABC 是直角三角形，且C ＝90°， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝102，b a ＝43，得a ＝6，b ＝8. 故内切圆的半径为r ＝a ＋b －c 2＝6＋8－102＝2.B 级 能力提升1．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB 等于( )A ．2 B.103 C.102D ．4 解析：因为tan A ＝13，A ∈(0°，180°)，所以sin A ＝1010. 由正弦定理知BC sin A ＝ABsin C，所以AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 150°1010＝102.答案：C2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2， b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析：由sin B ＋cos B ＝2，得sin (B ＋π4)＝1，由B ∈(0，π)，得B ＝π4，由正弦定理，a sin A ＝bsin B ，得sin A ＝a sin B b ＝12，又a ＜b ，所以A ＝π6.答案：π63．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .解：由A －C ＝90°，得A 为钝角且sin A ＝cos C ，利用正弦定理a ＋c ＝2b 可变形为sin A ＋sin C ＝2sin B ，又因为sin A ＝cos C ，所以sin A ＋sin C ＝cos C ＋sin C ＝2sin (C ＋45°)＝2sin B ，又A ，B ，C 是△ABC 的内角，故C ＋45°＝B 或(C ＋45°)＋B ＝180°(舍去)， 所以A ＋B ＋C ＝(90°＋C )＋(C ＋45°)＋C ＝180°， 所以C ＝15°.。

第一章 1.1 第1课时一、选择题1．(2013·北京文，5)在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A ．15B ．59C ．53D ．1[答案] B[解析] 本题考查了正弦定理，由a sin A ＝b sin B 知313＝5sin B ，即sin B ＝59，选B.2．在锐角△ABC 中，角A 、B 所对的边长分别为a 、b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3[答案] D[解析] 由正弦定理得2sin A sin B ＝3sin B ，∴sin A ＝32，∴A ＝π3. 3．在△ABC 中，下列关系式中一定成立的是( ) A ．a >b sin A B ．a ＝b sin A C ．a <b sin A D ．a ≥b sin A[答案] D[解析] 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，∴a ＝b sin Asin B ，在△ABC 中，0<sin B ≤1，故1sin B≥1，∴a ≥b sin A ． 4．△ABC 中，b ＝30，c ＝15，C ＝26°，则此三角形解的情况是( ) A ．一解 B ．两解 C ．无解 D ．无法确定[答案] B[解析] ∵b ＝30，c ＝15，C ＝26°， ∴c >b sin C ，又c <b ，∴此三角形有两解．5．已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则sin A ＝( )A ．32B ．12C ．34D ． 3[答案] A[解析] 由已知，得32＝12×2×3×sin A ，∴sin A ＝32. 6．已知△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，∠B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A ．x >2 B ．x <2 C ．2<x <2 2 D ．2<x <2 3[答案] C[解析] 由题设条件可知⎩⎨⎧x >2x sin45°<2，∴2<x <2 2.二、填空题7．已知△ABC 外接圆半径是2 cm ，∠A ＝60°，则BC 边长为__________． [答案] 23cm [解析] ∵BCsin A＝2R ，∴BC ＝2R sin A ＝4sin60°＝23(cm)．8．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 所对的边．若∠A ＝105°，∠B ＝45°，b ＝22，则c ＝______.[答案] 2[解析] C ＝180°－105°－45°＝30°. 根据正弦定理b sin B ＝c sin C 可知22sin45°＝csin30°，解得c ＝2. 三、解答题9．根据下列条件，解三角形．(1)△ABC 中，已知b ＝3，B ＝60°，c ＝1； (2)△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2.[解析] (1)由正弦定理，得sin C ＝c b ·sin B ＝13×32＝12.∴C ＝30°或C ＝150°.∵A ＋B ＋C ＝180°，故C ＝150°不合题意，舍去． ∴A ＝90°，a ＝b 2＋c 2＝2.(2)由正弦定理，得sin C ＝c ·sin A a ＝6sin45°2＝32.∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin75°sin60°＝3＋1. 当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin15°sin120°＝3－1.∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°， C ＝120°.10．在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断三角形的形状． [解析] ∵A 、B 、C 是三角形的内角， ∴A ＝π－(B ＋C )， ∴sin A ＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ．∴sin B cos C －cos B sin C ＝0， ∴sin(B －C )＝0， 又∵0<B <π，0<C <π， ∴－π<B －C <π，∴B ＝C ． 又∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴a 2＝b 2＋c 2，∴A 是直角， ∴△ABC 是等腰直角三角形.一、选择题1．在△ABC 中，a ＝1，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积为( ) A ．22B ．24C ．32D ．3＋14[答案] D[解析] c ＝a sin Csin A ＝2，B ＝105°，sin105°＝sin(60°＋45°) ＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝6＋24， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝3＋14.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、C ．若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12B ．12C ． －1D ． 1[答案] D[解析] ∵a cos A ＝b sin B ， ∴sin A cos A ＝sin 2B ＝1－cos 2B ， ∴sin A cos A ＋cos 2B ＝1.3．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则∠B ＝( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6[答案] A[解析] 本题考查解三角形，正弦定理，已知三角函数值求角．由正弦定理可得sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B ，∵sin B ≠0，∴sin(A ＋C )＝12，∴sin B＝12，由a >b 知A >B ，∴B ＝π6.选A ． 4．设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直 [答案] C[解析] ∵k 1＝－sin A a ，k 2＝bsin B ，∴k 1·k 2＝－1，∴两直线垂直． 二、填空题5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．[答案] π6[解析] sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝2， ∴sin(B ＋π4)＝1，∵0<B <π，∴π4<B ＋π4<54π，∴B ＝π4， 又∵b sin B ＝a sin A ，∴sin A ＝12，∵a <b ，∴A <B ，故A ＝π6.6．在△ABC 中，若a cos A 2＝b cos B 2＝ccos C 2，则△ABC 一定是________三角形．[答案] 等边[解析] 由正弦定理得，sin A cos A 2＝sin B cos B 2＝sin Ccos C 2， ∴sin A 2＝sin B 2＝sin C2，∵0<A ，B ，C <π，∴0<A 2，B 2，C 2<π2，∴A 2＝B 2＝C2，∴A ＝B ＝C ．故△ABC 为等边三角形． 三、解答题7．在△ABC 中，cos A ＝－513，cos B ＝35.(1)求sin C 的值；(2)设BC ＝5，求△ABC 的面积．[解析] (1)在△ABC 中，由cos A ＝－513，cos B ＝35得，sin A ＝1213，sin B ＝45.∴sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B＝1213×35＋(－513)×45 ＝1665. (2)根据正弦定理， AB ＝BC ·sin Csin A ＝5×16651213＝43，∴△ABC 的面积S ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×43×5×45＝83.8．在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ． (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．[解析] (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ， 所以在△ABC 中，由正弦定理，得3sin A ＝26sin2A， 所以2sin A cos A sin A ＝263，故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223，在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A＝5.。