2016年秋季新版北师大八年级数学上册 7.1为什么要证明教案

为什么要证明一、教学目标：1.了解检验结论的常用方法，激发好奇心，认识证明的必要性2.经历观察、归纳、验证等活动过程，在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性，发展学生的推理意识。

二、自主预习（感知）课前收集有关哥德巴赫猜想的相关资料，上课时与同伴交流三、合作探究（理解）1.图7-1中两条线段a ，b 的长度相等吗？图7-2中的四边形是正方形吗？请你先观察，再设法检验你观察到的结论.2.如图7-3，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1m 的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？先凭感觉想象一下，再具体算一算，看看与你的感觉是否一致，并与同伴交流。

3.某学习小组发现，当n=0，1，2，3时，代数式n2-n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n ，n2-n+11的值都是质数。

你认为呢？与同伴交流。

解：列表归纳为…4.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB, AC 的中点，连接DE 。

DE 与BC 有怎样的位置关系和数量关系？猜想：DE∥BC且DE=BC．分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．四、轻松尝试（运用）1.如图中两条线段a与b的长度相等吗？请你先观察，再度量一下.第1题第2题2.如图中三条线段A.B.c,哪一条线段与线段d在同一直线上？请你先观察，再用三角尺验证一下.3.当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗？五、归纳总结（升华）要判断一个数学结论是正确，仅观察、猜想、实验还不够，必须经过一步一步，有根有据的证明。

六、当堂检测（达标）教材，习题第1，2，3题七、课堂检测（巩固）1.在8个银元中混进了一个大小形状颜色完全一样的假银元，已知7个真银元的重量完全相同，而假银元比真银元稍轻点儿，你用一台天平最少（）次就能找出这枚假银元．A.lB.2C.3D.42.老李到办公室后，他总要完成以下事情：烧开水10分钟，洗茶杯1分钟，准备茶叶和冲茶1分钟，打扫办公室9分钟，收听新闻10分钟，问老李做好以上事情至少需要（）21分钟．A.31B.11C.20D.103.绍兴一中新来了三位年轻老师，蔡老师、朱老师、孙老师，他们每人分别教生物、物理、英语、政治、历史和数学六科中的两科课程．其中，三个人有以下关系：①物理老师和政治老师是邻居；②蔡老师在三人中年龄最小；③孙老师、生物老师和政治老师三人经常一起从学校回家；④生物老师比数学老师年龄要大些；⑤在双休日，英语老师、数学老师和蔡老师三人经常一起打排球．根据以上条件，可以推出朱老师可能教（）A.历史和生物B.物理和数学C.英语和生物D.政治和数学4.有一堆形状大小都相同的珠子，其中只有一粒比其它都轻些，其余一样重．若利用天平（不用砝码）最多两次就找出了这粒较轻的珠子，则这堆珠子最多有（）A.8粒B.9粒C.10粒D.11粒5. 100人共有2000元人民币，其中任意10人的钱数的和不超过380元．那么一个人最多有（）元．A.216B.218C.238D.2366.甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲已经赛了5场，乙已经赛了4场，丙已经赛了3场，丁已经赛了2场，戊已经赛了1场，小强已经赛了（）A.1场B.2场C.3场D.4场7.A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环赛，当比赛进行到某一天时，统计出A，B，C，D，E五队已分别比赛了5，4，3，2，1场球，由此可知，还没有与B队比赛的球队是（）A.C队B.D队C.E队D.F队8.小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（）A.15B.20C.25D.30参考答案四、轻松尝试（运用）1.相等2. b与线段d在同一直线上3.不一定，当n=6时，原式=36+18+1=55=5×11.七、课堂检测（巩固）1.B2. B3.C4.B5.B6.C7.C8. B。

7.1 为何要证明第一：活（ 1）活内容：某学小，当 n=0， 1，2，3 ，代数式 n2-n+11 的都是数，于是获得：于全部自然数 n， n2-n+11 的都是数．你呢？与伙伴交流．参照答案：列表n01234567891011⋯n2-n+11 11111317233141536783101121能否是是是是是是是是是是是不是数活目的：在行，学生感觉到知有拥有必定的诱惑性（欺性），进而不完整的合理性生疑，下一步的学供给必需的精神准．注意事：学生通列表，依据自己过去的判断，在n=10 从前都向来n2-n+11 是一个数，但当 n=10 ，找到了一个反例，而不可以依据少量几个象易必定某个数学的正确性．第二：猜想并活（2）活内容：如，若是用一根比地球的赤道 1 米的将地球赤道起来，那么与地球赤道之的隙能有多大（把地球当作球形）？能放一个？能放一个拳？参照答案：赤道周 c，与地球赤道之的隙：c 1c10.16( m)222它的隙不能放一个，并且也能放一个拳．活目的：通理性的算，了很想像到的，学生生思上的碰撞，而对自己的直观感觉产生思疑，再次为论证的合理性供给素材．注意事项：要充足让学生发布自己的看法， 第一让学生对自己的结论确信无疑， 再进一步计算，结果与学生的感觉产生矛盾，切忌直接进行计算，把结论告诉学生，这样就达不到预料的要求， 不可以让学生留下深刻的印象 .第三环节：猜想并考证活动（ 3）活动内容：如图，四边形 ABCD 四边的中点角，你能发现什么结论？改变四边形参照答案： 连结 AC ．E 、F 、G 、H ，胸怀四边形 EFGH 的边和ABCD 的形状，还可以获得近似的结论吗？ A H D∵E 、F 、G 、 H 分别是四边形 ABCD 四边中点， E G∴EF ∥AC ，EF= 1 AC ；GH ∥AC ，GH= 1AC ； BF C2 2∴EF 平行且等于 GH ，∴四边形 EFHG 为平行四边形．活动目的：经过对图形的直观感觉得出结论， 但要使学生清楚地知道对几何结论的考证，往常是用谨慎的逻辑推理来阐述．注意事项：让学生勇敢地进行展望， 但要让学生求情原因， 让学生认识几何证明的必需性 .第四环节：概括与总结活动内容：① 经过以上三个数学活动， 使学生对每一个问题的结论的正确性有了思疑，进而知道了由察看、 猜想等渠道获得的结论还一定经过有效的证明才能对其进行必定．也即：要判断一个数学结论是正确，仅察看、猜想、实验还不够，一定经过一步一步， 有根有据的推理．②举例说明“推理意识”与推理方法．活动目的：使学生理解仅有对图形的直观感觉是不够的，进而帮助学生成立推理意识．注意事项：让学生用自己的语言进行表达，培育学生的表达能力.第五环节：反应练习活动内容： 1.如图中两条线段 a 与 b 的长度相等吗？请你先察看，再胸怀一下 .答案： a 与 b 的长度相等 .第 1小题图第2小题图2.如图中三条线段 a、 b、 c,哪一条线段与线段 d 在同向来线上？请你先察看，再用三角尺考证一下 .答案：线段 b 与线段 d 在同向来线上 .3.当 n 为正整数时， n2+3n+1 的值必定是质数吗？答案：经考证：当n 为正整数时， n2+3n+1 的值必定是质数 .第六环节：讲堂小结活动内容：今日这节课你学到了什么知识？参照答案：① 要说明一个数学结论能否正确，不论考证多少个特别的例子，也没法保证其正确性．②要确立一个数学结论的正确性，一定进行一步一步、有根有据的推理．活动目的：经过学生的总结，使学生对质明的必需性有一个清楚的认识，数学根绝任意性，数学是严实的科学 .注意事项：经过前三个例题的感觉以及反应练习，学生都清楚地知道推理、论证的必需性，认识了数学不是一种直观感觉，而是一种严实的科学 .第七环节稳固练习习题 7.1 第 2，3 题．教课反省本节课的教课方案是成立在“以学生的发展为本，为学生的终生学习确立基础”的教育理念上，融入了新课标的思想内涵，尊敬学生的直观感觉，并从学生的直观感觉出发逐渐将学生的思想引向严实性、逻辑证明等方面，不是一味地强调证明的必需性，而是经过几个事实的说明来让学买卖识到证明的必需性，设计中突出表现了学生的主体地位.在教课方案中，力争让学生学会将生活问题数学化，用一个风趣的生活问题：“用一根铁丝将地球赤道围起来” 惹起学生的兴趣并进行猜想，而后经过计算得出一个令人很不测的结果，同时也培育了学生“用数学”的意识，并且使得学生有一种感觉：数学根源于生活，服务于生活，同时也要用数学的目光看世界，切勿盲信于自己的直观感觉 .本节课经过案例让学生体会查验数学结论的常用方法：实验考证、举出反例、推理等 . 切合学生的认识特色和知识水平。

7．1 为什么要证明1．了解推理的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，必须进行推理；(重点)2．会用实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证一个数学结论是否正确．(难点) 一、情境导入人的视觉有时候受到周围环境和自身经验的影响，会引导我们做出错误的判断．只有通过科学的方法推理论证，做出的判断才是正确的．如图，图中的四边形是正方形还是梯形？你能肯定吗？怎样来验证你的结论呢？快来学习本节知识吧！ 二、合作探究 探究点一：数学的结论必须经过严格的论证当n ＝1，2，3，4，5时，代数式n 2－3n ＋7的值是质数吗？你能肯定：对于所有的自然数，式子n 2－3n ＋7的值都是质数吗？ 解析：把1，2，3，4，5等自然数代入n 2－3n ＋7中进行验证． 解：当n ＝1，2，3，4，5时，n 2－3n ＋7的值分别是5，5，7，11，17，全是质数．而当n ＝6时，n 2－3n ＋7＝62－18＋7＝25＝52.所以对于所有自然数，式子n 2－3n ＋7的值不都是质数． 方法总结：判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察是不够的，必须给出严格的证明或实验验证． 探究点二：检验数学结论的常用方法 【类型一】实验验证先观察再验证．(1)图①中实线是直的还是弯曲的？ (2)图②中两条线段a 与b 哪一条更长？ (3)图③中的直线AB 与直线CD 平行吗？解析：①②用直尺量；③用三角板平推．解：观察可能得出的结论是：(1)实线是弯曲的；(2)a 更长一些；(3)AB 与DC 不平行．而我们用科学的方法验证后发现：(1)实线是直的；(2)a 与b 一样长；(3)AB 平行于CD. 方法总结：有时视觉受周围环境的影响，往往误导我们，让我们得出错误的结论，所以仅靠经验、观察是不够的，只有通过科学的实验进行严格的推理，才能得出最准确的结论．【类型二】举出反例当n 为正整数时，代数式(n 2－5n＋5)2的值都等于1吗？解析：对于代数式(n 2－5n ＋5)2，n 的取值为正整数，要判断(n 2－5n ＋5)2的值是否为1，可以先取值分别求出代数式的值．解：当n ＝1时，(n 2－5n ＋5)2＝12＝1；当n ＝2时，(n 2－5n ＋5)2＝(－1)2＝1；当n ＝3时，(n 2－5n ＋5)2＝(－1)2＝1；当n ＝4时，(n 2－5n ＋5)2＝12＝1；当n ＝5时，(n2－5n ＋5)2＝52＝25≠1.所以当n 为正整数时，(n 2－5n ＋5)2不一定等于1.方法总结：验证特例是判断一个结论错误的最好方法．【类型三】推理证明 如图，从点O 出发作出四条射线OA 、OB 、OC 、OD ，已知OA⊥OC，OB ⊥OD.(1)若∠BOC＝30°，求∠AOB 和∠COD 的度数；(2)若∠BOC＝54°，求∠AOB 和∠COD 的度数；(3)由(1)、(2)你发现了什么？ (4)你能肯定上述的发现吗？解析：图中∠AOB 、∠COD 均与∠BOC 互余，根据角的和、差关系，可求得∠AOB 与∠COD 的度数．通过计算发现∠AOB ＝∠COD ，于是可以归纳∠AOB ＝∠COD.解：(1)∵OA⊥OC，OB ⊥OD ，∴∠AOC ＝∠BOD＝90°.∵∠BOC ＝30°，∴∠AOB ＝∠AOC－∠BOC＝90°－30°＝60°，∠COD ＝∠BOD－∠BOC＝90°－30°＝60°.(2)∠AOB ＝∠AOC －∠BOC ＝90°－54°＝36°，∠COD ＝∠BOD－∠BOC＝90°－54°＝36°.(3)由(1)、(2)可发现：∠AOB＝∠COD. (4)∵∠AOB＋∠BOC＝∠AOC＝90°，∠BOC ＋∠COD ＝∠BOD ＝90°，∴∠AOB ＋∠BOC＝∠BOC＋∠COD.∴∠AOB＝∠COD.方法总结：检验数学结论具体经历的过程是：观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理→正确结论．三、板书设计 为什么,要证明)⎩⎪⎨⎪⎧推理的意义：数学结论必须经过严格的论证检验数学结论的常用方法⎩⎪⎨⎪⎧实验验证举出反例推理证明经历观察、验证、归纳等过程，使学生对由这些方法得到的结论产生怀疑，以此激发学生的好奇心，从而认识证明的必要性，培养学生的推理意识，了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等．。

7． 1为何要证明1．认识推理的意义，知道要判断一个数学结论能否正确，一定进行推理；( 要点 )2．会用实验考证、举出反例、推理等方法简单地考证一个数学结论能否正确． (难点)一、情境导入人的视觉有时遇到四周环境和自己经验的影响，会指引我们做犯错误的判断．只有经过科学的方法推理论证，做出的判断才是正确的．如图，图中的四边形是正方形仍是梯形？你能必定吗？如何来考证你的结论呢？快来学习本节知识吧！二、合作研究研究点一：数学的结论一定经过严格的论证当 n＝ 1， 2，3， 4，5 时，代数式n2－ 3n＋ 7 的值是质数吗？你能必定：关于全部的自然数，式子 n2－ 3n＋ 7 的值都是质数吗？分析：把 1，2，3，4，5 等自然数代入n2－ 3n＋ 7 中进行考证．解：当 n＝ 1，2， 3， 4，5 时， n2－3n＋7 的值分别是 5， 5，7， 11，17，全部是质数．而当 n＝ 6 时，n2－ 3n＋ 7＝ 62－ 18＋ 7＝25＝ 52. 因此关于全部自然数，式子n2－ 3n ＋ 7 的值不都是质数．方法总结：判断一个数学结论能否正确，只是依赖经验、察看是不够的，一定给出严格的证明或实验考证．研究点二：查验数学结论的常用方法【种类一】实验考证先察看再考证．(1)图①中实线是直的仍是曲折的？(2)图②中两条线段 a 与 b 哪一条更长？(3) 图③中的直线AB 与直线CD 平行吗？分析：①② 用直尺量；③ 用三角板平推．解：察看可能得出的结论是： (1) 实线是曲折的；(2)a 更长一些； (3)AB 与 DC不平行．而我们用科学的方法考证后发现： (1) 实线是直的； (2)a 与 b 同样长； (3)AB 平行于 CD.方法总结：有时视觉受四周环境的影响，常常误导我们，让我们得犯错误的结论，因此仅靠经验、察看是不够的，只有经过科学的实验进行严格的推理，才能得出最正确的结论．【种类二】举出反例当 n 为正整数时，代数式 (n 2－ 5n＋5) 2的值都等于 1 吗？分析：关于代数式 (n 2－5n＋ 5) 2，n 的取值为正整数，要判断 (n 2－5n＋ 5) 2的值能否为 1，能够先取值分别求出代数式的值．解：当 n＝1 时， (n 2－ 5n＋ 5) 2＝12＝ 1；当 n＝2 时， (n 2－5n＋ 5) 2＝( － 1) 2＝ 1；当 n ＝ 3 时， (n 2－ 5n＋5) 2＝ ( －1) 2＝ 1；当 n＝ 4 时， (n 2－5n＋ 5) 2＝12＝ 1；当 n＝ 5 时， (n 2－ 5n＋ 5) 2＝ 52＝25≠1. 因此当 n 为正整数时， (n 2－5n＋ 5) 2不必定等于 1.方法总结：考证特例是判断一个结论错误的最好方法．【种类三】推理证明如图，从点O 出发生出四条射线OA、OB、 OC、 OD，已知 OA⊥OC， OB⊥ OD.论证等．(1) 若∠ BOC＝ 30°，求∠ AOB 和∠ COD的度数；(2) 若∠ BOC＝ 54°，求∠ AOB 和∠ COD的度数；(3)由(1) 、 (2) 你发现了什么？(4)你能必定上述的发现吗？分析：图中∠AOB、∠COD均与∠BOC互余，依据角的和、差关系，可求得∠AOB与∠COD的度数．经过计算发现∠AOB＝∠COD，于是能够概括∠AOB＝∠COD.解： (1) ∵OA⊥OC， OB⊥ OD，∴∠ AOC＝∠BOD＝ 90 ° . ∵∠ BOC＝ 30°，∴∠ AOB＝∠AOC－∠ BOC＝ 90°－ 30°＝ 60°，∠COD＝∠ BOD－∠ BOC＝ 90°－ 30°＝ 60° .(2) ∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝ 90 ° －54°＝ 36°，∠ COD＝∠ BOD－∠ BOC＝ 90°－54°＝ 36° .(3)由(1) 、(2) 可发现：∠ AOB＝∠ COD.(4)∵∠ AOB＋∠ BOC＝∠ AOC＝ 90°，∠BOC＋∠COD＝∠BOD＝ 90 °，∴ ∠ AOB＋∠BOC＝∠ BOC＋∠ COD∴∠. AOB＝∠ COD.方法总结：查验数学结论详细经历的过程是：察看、胸怀、实验→ 猜想概括→ 结论→ 推理→ 正确结论．三、板书设计为什么,要证明)推理的意义：数学结论一定经过严格的论证实验考证查验数学结论的常用方法举出反例推理证明经历察看、考证、概括等过程，使学生对由这些方法获得的结论产生思疑，以此激发学生的好奇心，进而认识证明的必需性，培育学生的推理意识，认识查验数学结论的常用方法：实验考证、举出反例、推理。