静电场(答案)

精心整理 第九章真空中的静电场

一． 选择题

[B]1图中所示为一沿x轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线密度分别为＋(x＜0)和－(x＞0)，则Oxy坐标平面上点(0，a)处的场强E为

(A)0．(B)ia02．

(C)ia04．(D)jia04．

【提示】：左侧与右侧半无限长带电直线在(0，a)处产生的场强大小E＋、E－大小为：

0122EEa，方向如图。

矢量叠加后，合场强大小为：

02Ea合，方向如图。

［B］2半径为R的“无限长”均匀带电圆柱体的静电场中各点的电场强度的大小E与距轴线的距离r的关系曲线为：

【提示】：由场分布的轴对称性，作闭合圆柱面（半径为r，高度为L）为高斯面，据Guass定理：

rR时，有：20r2rL=LE，即：0=r2E

rR时，有：20R2rL=LE，即：20R=2rE

［C］3如图所示，一个电荷为q的点电荷位于立方体的A角上，则通过侧面abcd的电场强度通量等于：

(A)06q．(B)012q．

(C)024q．(D)048q．

【提示】：添加7个与如图相同的小立方体构成一个大立方体，使A处于大立方体的中心。则大立方体外围的六个正方形构成一个闭合的高斯面。由Gauss定理知，通过该高斯面的电通量为0q。再据对称性可知，通过侧面abcd的电场强度通量等于024q。

［D］4在点电荷+q的电场中，若取图中P点处为电势零点，则M点的电势为

(A)aq04．(B)aq08．

E

O r (C) E∝1/r

R E

O r (A) E∝1/r

R E

O r (B) E∝1/r

R

E

O r (D) E∝1/r

R E+

E- E合

精心整理 (C)aq04．(D)aq08．

【提示】：220048PaMMaqqVEdldrra

［C］5已知某电场的电场线分布情况如图所示．现观察到一负电荷从M点移到N点．有人根据这个图作出下列几点结论，其中哪点是正确的？

(A)电场强度EM＜EN． (B)电势UM＜UN．

(C)电势能WM＜WN． (D)电场力的功A＞0．

【提示】：静电力做负功，电势能增加。

二．填空题

1已知空气的击穿场强为30kV/cm，空气中一带电球壳直径为1 m，以无限远处为电势零点，则这球壳能达到的最高电势是1.5106V．

【提示】：球壳电势为：04QVR

球壳表面处的场强为：2004QER

2在点电荷＋q和－q的静电场中，作出如图所示的三个闭合面S1、S2、S3，则通过这些闭合面的电场强度通量分别是：1＝0q，2＝0，3＝0q．

【提示】：直接由高斯定理得到。

3半径为R的半球面置于场强为E的均匀电场中，其对称轴与场强方向一致，如图所示．则通过该半球面的电场强度通量为2RE．

【提示】：2ESEdSRE

4两个平行的“无限大”均匀带电平面，其电荷面密度分别为＋和＋2，如图所示，则A、B、C三个区域的电场强度分别为：EA＝032，EB＝02，EC＝032(设方向向右为正)．

【提示】：A、B、C三个区域的场强，为两“无限大”均匀带电平面在该区域独自产生场强的矢量叠加。

5电荷分别为q1，q2，q3的三个点电荷分别位于同一圆周的三个点上，如图所示．圆半径为R，则b点处的电势U＝12301(22)8qqqR．

【提示】：设无穷远处为电势零点，则点电荷在空间任一点产生的电势为：04PPqVr，Pr为点电荷q到场点P的距离。题中b点的电势为123qqq、、在该点独自产生电势的代数和。

6真空中电荷分别为q1和q2的两个点电荷，当它们相距为r时，该电荷系统的相互作用电势能W＝1204qqr．(设当两个点电荷相距无穷远时电势能为零)

【提示】：电荷系统的相互作用电势能，即建立该电荷系统，外力所作的功。固定1q，将2q从无限远处移到指定位置处，外力克服电场力所作的功为：

三． 计算题

精心整理 1将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为，四分之一圆弧AB的半径为R，试求圆心O点的场强．

【解】：在O点建立坐标系如图所示。

半无限长直线A∞在O点产生的场强：

半无限长直线B∞在O点产生的场强：

jiRE024

四分之一圆弧段在O点产生的场强：

由场强叠加原理，O点合场强为：

jiREEEE03214

2真空中一立方体形的高斯面,边长a＝0.1 m，位于图中所示位置．已知空间的场强分布为：Ex=bx,Ey=0,Ez=0．常量b＝1000N/(C·m)．试求通过该高斯面的电通量．

【解】：通过x＝a处平面1的电场强度通量

1=-E1S1=-ba3通过x=2a处平面2的电场强度通量

2=E2S2=?ba3其它平面的电场强度通量都为零．因而通过该高斯面的总电场强度通量为

=1+2=?ba3-ba3=ba3=1N·m2/C3带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为=0sin，式中0为一常数，为半径R与x轴所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度．

【解】：在处取电荷元，其电荷为

dq=dl=0Rsind

它在O点产生的场强为

在x、y轴上的二个分量

dEx=－dEcos

dEy=－dEsin

对各分量分别求和：

O y

x a 2a E1 E2 1 2

O

B A

∞ ∞

y

x 3E 2E

1E O

B A

∞ ∞

精心整理 000dcossin4REx＝0

∴jRjEiEEyx008

4如图所示，在电矩为p的电偶极子的电场中，将一电荷为q的点电荷从A点沿半径为R的圆弧(圆心与电偶极子中心重合，R>>电偶极子正负电荷之间距离)移到B点，求此过程中电场力所作的功．

【解】：用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点的电势

式中r为从电偶极子中心到场点的矢径．

于是知：A、B两点电势分别为

q从A移到B电场力作功(与路径无关)为

5图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为，球层内表面半径为R1，外表面半径为R2．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势．

【解】:由高斯定理可知空腔内E＝0，故带电球层的空腔是等势区，

各点电势均为U。

在球层内取半径为r→r＋dr的薄球层．其电荷为

dq=4r2dr

该薄层电荷在球心处产生的电势为

整个带电球层在球心处产生的电势为

因为空腔内为等势区所以空腔内任一点的电势U为

若根据电势定义lEUd计算，也可。

6图中所示为一沿x轴放置的长度为l的不均匀带电细棒，其电荷线密度为＝0(x-a)，0为一常量．取无穷远处为电势零点，求坐标原点O处的电势．

【解】：在任意位置x处取长度元dx，其上带有电荷dq=0(x－a)dx，

它在O点产生的电势

O点总电势

7一球体内均匀分布着电荷体密度为的正电荷,若保持电荷分布不变,在该球体挖去半径为r的一个小球体,球心为O,两球心间距离dOO,如图所示.求:在球形空腔内,球心O处的电场强度0E.在球体内P点处的电场强度E.设O、O、P三点在同一直径上，且dOP。

【解】：挖去电荷体密度为的小球，以形成球腔时的求电场问题，可在不挖时求出电场1E，而另在挖去处放上电荷体密度为－的同样大小的电场2E，并令任意点的场强为此二球体，求出者的叠加，即可得：

在图(a)中，以O点为球心，d为半径作球面为高斯面S，可求出O与P处场强的大小。

E1P=dE013 有：E1O’＝方向分别如图所示。

E1P 

P

E2P EP

图(d) O O P

E1O’ 

图(a)

O 

O

d EO’=E1O’

图O P E2P - O

r

E2O’=0

图(b) E1P

精心整理 在图(b)中，以O点为小球体的球心，可知在O点E2=0.又以O为心，2d为半径作球面为高斯面S可求得P点场强E2P

(1) 求O点的场强'OE.由图(a)、(b)可得

EO’=E1O’=03d

方向如图(c)所示。

(2)求P点的场强PE.由图(a)、(b)可得

方向如(d)图所示.

8两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为R1＝0.03 m和R2＝0.10 m．已知两者的电势差为450V，求内球面上所带的电荷．

【解】：设内球上所带电荷为Q，则两球间的电场强度的大小为

204rQE(R1＜r＜R2＝

两球的电势差212120124dRRRRrdrQrEU210114RRQ

∴12122104RRURRQ＝2.14×10-9 C

9在一个平面上各点的电势满足下式：21)()(2222yxbyxaxU，x和y为这点的直角坐标，a和b为常数。求任一点电场强度的Ex和Ey两个分量。

【解】：根据EU，知：

选做题：

如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷q．沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为，长度为l，细线左端离球心距离为r0．设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势为零)．

【解】：设x轴沿细线方向，原点在球心处，在x处取线元dx，其上电荷为xqdd，该线元在带电球面的电场中所受电场力为：

dF=qdx/(40x2)

整个细线所受电场力为：

方向沿x正方向．

电荷元在球面电荷电场中具有电势能：

dW=(qdx)/(40x)

整个线电荷在电场中具有电势能：