相关分析与回归分析

相关性分析及回归分析

相关性分析和回归分析是统计学中常用的两种方法，用于研究变量之间的关系。相关性分析可以帮助我们了解变量之间的关联程度，而回归分析则可以帮助我们预测一个变量对另一个变量的影响程度。在本文中，我将介绍相关性分析和回归分析的基本概念和方法，并且提供一些实际应用的例子。

相关性分析是一种衡量两个变量之间关系强度和方向的统计分析方法。它可以告诉我们两个变量是正相关、负相关还是没有相关性。相关系数是衡量相关性的一个指标，常用的有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。皮尔逊相关系数适用于两个连续变量之间的关系，它的取值范围从-1到1，正值表示正相关，负值表示负相关，而0表示没有相关性。斯皮尔曼相关系数适用于两个顺序变量之间的关系，它的取值范围也是-1到1，含义和皮尔逊相关系数类似。

回归分析是一种建立一个或多个自变量与因变量之间关系的统计模型的方法。回归模型可以用于预测一个变量对另一个变量的影响程度，并且可以检验自变量的显著性。在回归分析中，自变量可以是连续变量或者分类变量，而因变量必须是连续变量。回归模型的基本形式是y = b0 +

b1x1 + b2x2 + … + bnxn + ε，其中y代表因变量，x1, x2, …, xn代表自变量，b0, b1, b2, …, bn代表回归系数，ε代表误差项。

一个例子可以更好地说明相关性分析和回归分析的应用。假设我们想了解一个人的身高和体重之间的关系。首先我们可以使用相关性分析来衡量身高和体重之间的相关性。收集一组数据包括人们的身高和体重，然后使用皮尔逊相关系数计算它们之间的相关性。如果相关系数是正值且接近1，则表示身高和体重呈强正相关；如果相关系数是负值且接近-1，则表示身高和体重呈强负相关；如果相关系数接近0，则表示身高和体重之间没有明显的相关性。

接下来，我们可以使用回归分析来构建一个预测一个人的体重的回归模型。我们可以将身高作为自变量，体重作为因变量，然后拟合一个回归方程。通过回归模型，我们可以预测一个人的体重，同时还可以检验身高对体重的显著性。

第八章 相关与回归分析

114、什么叫相关分析？

研究两个或两个以上变量之间相关程度大小以及用一定涵数来表达现象相互关系的方法。

115、什么叫相关关系？

相关关系是一种不完全确定的依存关系，即因素标志的每一个数值都可能有若干结果标志的数值与之对应。

116、判定现象之间有无相关关系的方法有哪些？

判断现象之间有无相关关系，首先要对其作定性分析，否则很可能把虚假相关现象拿来作相关分析。相关表和相关图都是判定现象之间有无相关关系的重要方法。而相关系数主要是用来测定现象之间相关的密切程度的指标，估计标准误差是判定回归方程式代表性大小的指标。所以判断方法有客观现象作定性分析、编制相关表、绘制相关图。

117、什么叫相关系数？

测定变量之间相关密切程度和相关方向的指标。

118、相关系数有何特点？

参与相关分析的两个变量是对等的，不分自变量与因变量，因此相关系数只有一个。相关系数有正负号反映相关关系的方向中，正负瓜果正相关，负号反映负相关。计算相关系数的两个变量都是随机变量。

119、某产品产量与单位成本的相关系数是-0.8；（乙）产品单位成本与利润率的相关系数是-0.95；（乙）比（甲）的相关程度高吗？

相关系数是说明相关程度大小的指标，相关系数的取值范围在±1之间，相关系数越接近±1，说明两变量相关程度越高，越接近于0，说明相关程度越低。因此，（乙）比（甲）的相关程度高。

120、什么叫回归分析？

对具有相关关系的两个或两个以上变量之间数量变化的一般关系进行测定，确定一个相应的数学表达式，已从一个已知量推算另一个未知量，为估计预测提供一个重要方法。

121、与相关分析相比，回归分析有什么特点？

两个变量是不对等的，必须区自变量与因变量；因变量是随机的，自变量是可以控制的；对于一个没有因果关系的两个变量，可以求得两个回归方程，一个是Y倚X的回归方程，另一个是X倚Y的回归方程。

相关分析和回归分析的区别:1, 在相关分析中，解释变量X与被解释变量Y之间处于平等的位置。而回归分析中，解释变量与被解释变量必须是严格确定的。 2 相关分析中，被解释变量Y与解释变量X全是随机变量。而回归，被解释变量Y是随机的，解释变量X可能是随机的，可能是非随机的确定变量。 3 相关的研究主要主要是为刻画两变量间线性相关的密切程度。而回归不仅可以揭示解释变量X和被解释变量Y的具体影响形式，而且还可以由回归方程进行预测和控制。如果两变量间互为因果关系，解释变量与被解释变量互换位置，相关分析结果一样，回归分析结果不同。

样本回归函数与总体回归函数的区别: 1 总体是未知的，是客观唯一存在的。样本是根据样本数据拟合的，每抽取一个样本，变可以拟合一条样本回归线。 2 总体 中的β0和β1是未知参数，表现为常数。而样本中的是随机变量，其具体数值随样本观测值的不同而变化。 3 随机误差ui是实际Yi值与总体函数均值E(Yi)的离差，即Yi与总体回归线的纵向距离，是不可直接观测的。而样本的残差ei是yi与样本回归线的纵向距离，当拟合了样本回归后，可以计算出ei的具体数值。

一元的五个基本假定:

1 随机扰动项 ui的均值为零，即E(ui)=0

2 随机扰动项ui的方差为常数 Var(ui)=E[ui－E（ui）]^2=E(ui^2)=σ^2

3 任意两个随机扰动项ui和uj互不(i不等于j)互不相关，其其协方差为0

Cov(ui,uj)=0

4 随机扰动项ui与解释变量Xi线性无关

Cov(ui,Xi)=0

5 随机扰动项服从正态分布，即 ui~N(0,σ^2)

样本分段比较法适用于检验样本容量较大的线性回归模型可能存在的递增或递减型的异方差性，思路是首先量样本按某个解释变量从大到小或小到大顺序排列，并将样本均匀分成两段，有时为增强显著性，可去掉中间占样本单位1/4或1/3的部分单位；然后就各段分别用普通最小二乘法拟合回归直线，并计算各自的残差平方和，大的用RSS1，小的用RSS2表示，如果数值之比明显大于1，则存在异方差

案例：利兴铸造厂产品成本分析

最近几年利兴铸造厂狠抓成本管理，提高经济效益，在降低原材料和能源消耗，提高劳动生产率，以及增收节支等方面，取得了显著成绩，单位成本有明显下降，基本扭转了亏损局面。但是各月单位成本起伏很大，有的月份赢利，有的月份赢利少甚至亏损。为了控制成本波动，并指导今后的生产经营，利兴铸造厂统计部门进行了产品成本分析。

资料搜集整理分析

首先，研究单位成本与产量的关系（如下表）：

表1 铸铁件产量及单位成本

时间 铸铁件产量（吨） 单位产品成本（元） 出厂价（元/吨）

上月1月 810 670 750

2月 547 780 750

3月 900 620 750

4月 530 800 750

5月 540 780 750

6月 800 675 750

7月 820 650 730

8月 850 620 730

9月 600 735 730

10月 690 720 730

11月 700 715 730

12月 860 610 730

今年1月 920 580 720

2月 840 630 720

3月 1000 570 720

从表1可以看出，铸铁件单位成本波动很大，在15个月中，最高的上年4月单位成本达800元，最低的今年3月单位成本为570元，全距是230元。上年2、4、5、9月4个月成本高于出厂价，出现亏损，而今年3月毛利率达到20.8%[(720-570)/720*100%]。

成本波动大的原因是什么呢？从表1可以发现，单位成本的波动与产量有关。上年4月成本最高，而产量最低，今年3月成本最低，而产量最高，去年亏损的4个月中，产量普遍偏低，这显然是个规模效益问题。在成本构成中，可以分为变动成本和固定成本两部分。根据利兴铸造厂的实际情况，变动成本主要包括原材料及能源消耗、工人工资、销售费用、税金等，固定成本主要包括折旧费用、管理费用和财务费用。在财务费用中，绝大部分是贷款利息，由于贷款余额大，在短期内无力偿还，所以每个月的贷款利息支出基本上是一项固定支出，不可能随产量的变动而变动，故将贷款利息列入固定成本之中。从目前情况看，在成本构成中，固定成本所占比重较大，每月产量大，分摊在单位产品中的固定成本就小；如果产量小，分摊在单位产品中的固定成本就大，所以每月产量的多少直接影响单位成本的波动。为了论证单位成本与产量之间是否存在相关关系，并找出其内在规律以指导今后的工作，现计算相关系数，并建立回归方程。