1 线性规划及单纯形

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运筹学复习题

第一章 线性规划及单纯形法

一、单选题

1. 线性规划具有无界解是指

A. 可行解集合无界 B. 有相同的最小比值

C. 存在某个检验数0k，且0(1,2,,)ikaim D. 最优表中所有非基变量的检验数非零

2. 线性规划具有唯一最优解是指

A. 最优表中非基变量检验数全部非零 B. 不加入人工变量就可进行单纯形法计算

C. 最优表中存在非基变量的检验数为零 D. 可行解集合有界

3. 线性规划具有多重最优解是指

A. 目标函数系数与某约束系数对应成比例 B. 最优表中存在非基变量的检验数为零

C. 可行解集合无界 D. 基变量全部大于零

4. 使函数Z=-x1+x2+2x3 减小最快的方向是

A. (-1,1,2) B. (1,-1,-2) C. (1,1,2) D. (-1,-1,-2)

5. 当线性规划的可行解集合非空时一定

A. 包含点X=(0,0,···,0) B. 有界 C. 无界 D. 是凸集

6. 线性规划的退化基可行解是指

A. 基可行解中存在为零的非基变量 B. 基可行解中存在为零的基变量

C. 非基变量的检验数为零 D. 所有基变量不等于零

7. 线性规划无可行解是指

A. 第一阶段最优目标函数值等于零 B. 进基列系数非正

C. 用大M法求解时，最优解中还有非零的人工变量 D. 有两个相同的最小比值

8. 若线性规划不加入人工变量就可以进行单纯形法计算

A. 一定有最优解 B. 一定有可行解

第一章 线性规划及单纯形法习题

1.用图解法求解下列线性规划问题,并指出问题具有唯一最优解、无穷最优解还是无可行解。

（1）0,42266432min21212121xxxxxxxxz (2)

0,12432223max21212121xxxxxxxx

(3)

83105120106max212121xxxxxxz (4)

0,2322265max12212121xxxxxxxxz

2.将下列线性规划问题化成标准形式。

(1)无约束43214321432143214321,0,,2321422245243minxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxz (2)

无约束3214321321321321,0,0232624322minxxxxxxxxxxxxxxxxz

3.对下列线性规划问题找出所有基本解，指出哪些是基可行解，并确定最优解。

(1)

)6,,1(0231024893631223min6143214321321jxxxxxxxxxxxxxxzj (2)

)4,,1(01022274322325min432143214321jxxxxxxxxxxxxxzj

4.分别用图解发法和单纯形法求解下述问题，并对照单纯形表中的各基本可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。 (1)

0,825943510max12212121xxxxxxxxz (2)

0,242615532max12212121xxxxxxxxz

使用单纯形法解线性规划问题

要求：目标函数为：123min3zxxx

约束条件为：

1231231312321142321,,0xxxxxxxxxxx

用单纯形法列表求解，写出计算过程。

解：

1） 将线性规划问题标准化如下：

目标函数为：123maxmax()3fzxxx

s.t.： 123412356137123456721142321,,,,,,0xxxxxxxxxxxxxxxxxxx

2） 找出初始基变量，为x4、x6、x7，做出单纯形表如下：

表一：最初的单纯形表

变量

基变量 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 bi

x4 1 -2 1 1 0 0 0 11

x6 -4 1 2 0 -1 1 0 3

x7 -2 0 1 0 0 0 1 1

-f -3 1 1 0 0 0 0 0

3） 换入变量有两种取法，第一种取为x2，相应的换出变量为x6，进行第一次迭代。迭代后新的单纯形表为：

表二：第一种换入换出变量取法迭代后的单纯形表

变量

基变量 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 bi

x4 -7 0 5 1 -2 2 0 3

x2 -4 1 2 0 -1 1 0 3

x7 -2 0 1 0 0 0 1 1

-f 1 0 -1 0 1 -1 0 -3

由于x1和x5对应的系数不是0就是负数，所以此时用单纯形法得不到最优解。

表一中也可以把换入变量取为x3，相应的换出变量为x7，进行一次迭代后的单纯形表为：

表三：第二种换入换出变量取法迭代后的单纯形表

变量

基变量 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 bi

x4 3 -2 0 1 0 0 -1 10

x6 0 1 0 0 -1 1 -2 1

x3 -2 0 1 0 0 0 1 1

-f -1 1 0 0 0 0 -1 -1

线性规划的单纯形法表格方法

Max. z=5x1+2x2+3x3 -x4 +x5

s.t. x1+2x2+2x3 +x4 =8

3x1+4x2+x3 +x5 =7

xj≥0 j=1,2,3,4,5

表1

Z中cb的值 cj→ 5 2 3 -1 1 常数b 基变量 X1 X2 X3 X4 X5

-1 X4 1 2 2 1 0 8 8/2=4

1 X5 3 4 1 0 1 7 7/1=7

cj-zj 3 0 4 0 0 Z=-1

由表的中间行可求出基本可行解，令x1=x2=x3=0,由约束条件得 x4=8,x5=7.

表中最后一行分别为：

1787811z 3)31(53111511zc

0)42(24211222zc 4)12(31211333zc

因为cj-zj行中存在正值，所以当前基本可行解不是最优解。cj-zj行中的4最大因而非基变量X3使z有最大的单位增量，把X3选作新的（换入）基变量。

为确定被换出的基变量，采用最小比值法。用X3列的值除以约束条件的常数（8/2=4，7/1=7）。第一行有最小比值，把它叫做旋转行。第一行原来的基变量是X4 ，此时X4为换出基变量，新的基变量为X3、X5。为此需要把表中X3对应在约束条件中系数变为单位值（1，0）。在表1中：1）用2除旋转行使X3系数为1；2）用-1/2乘旋转行加到第二行消去X3。

Z中cb的值 cj→ 5 2 3 -1 1 常数b 基变量 X1 X2 X3 X4 X5

3 X3 1/2 1 1 1/2 0 4 4/(1/2)=8

1 X5 5/2 3 0 -1/2 1 3 3/(5/2)=6/5