集合典型习题

第一章 集合

1. 集合A={1,{2},3,4},B={a,b,{c}},判定下列各题的正确与错误：

（1）{1}∈A ； （2）{c}∈B； （3） {1，{2}，4}A；（4）{a，b，c}B；

（5）{2}A； （6）{c}B； （7）A； （8）{{2}}A；

（9）{}B； （10）∈{{2}，3}.

解：（1）不正确。因为{1}是集合，集合与集合之间一般不能有属于关系。

（2）正确。虽然{c}是集合，但是它又是B中的元素。

（3）正确。虽然{1，{2}，4}是A的真子集，但是同时满足子集定义，故可以这样表示。

（4）不正确。因为cB。

（5）不正确。虽然{2}是一个集合，但是它只是A中的一个元素，不能有包含关系。

（6）不正确。理由同（5）。

（7）正确，符合定义。

（8）正确，都符合定义。

（9）不正确，因为B中本没有元素。

（10）不正确。不是{{2}，3}是中的元素，不能有属于关系，若写成{{2}，3}则可以。

2．确定下列集合的幂集：

（1） A={a，{b}}； （2）B={1，{2，3}}；

（2） C={，a，{b}}； （4）D=}{)(。

解 （1）因为A的所有子集为，{a}，{{b}}，{a，{b}}，所以}}}.{,{}},{{},{,{)(babaA

（2）因为B的所有子集为，{1}，{{2，3}}和{1，{2，3}}。所以}}}3,2{,1{}},3,2{{},1{,{)(B

（3） 因为C的所有子集为，{}，{a},{{b}},{,a},{,{b}},{a,{b}},{,a,{b}},所以}}}.{,,{}},{,{}},{,{},,{}},{{},{},{,{)(bababaBaC

（4） 因为D的子集为，{}，所以}}.{,{)(D

说明 欲求一个给定集合的幂集合，首先把这个给定集合的所有子集列出，并检验所列子集的个数是否等于2n个,n为给定集合的元数,当然,熟练者可以省略这一步骤. 2. 判定以下论断哪些是恒成立的哪些是恒不成立的哪些是有时成立的

(1) 若a∈A,则a∈A∪B;

(2) 若a∈A,,则a∈A∩B;

(3) 若a∈A∪B,则a∈A;

(4) 若a∈A∩B,则a∈B;

(5) 若aA,则a∈A∪B;

(6) 若aA,则a∈A∩B;

(7) 若BA,则A∩B=A;

(8) 若BA,则A∩B=B.

解 (1)恒成立.因为A A∪B,若a∈A,则a∈A∪B.

(2)有时成立.若a∈A,但aBa则, A∩B;若a∈A,且a∈B,则a∈A∩B.

(3)有时成立.若a∈A∪B,可能有三种情形: a∈A但,,,BaAaBaAaBa且或者但或者对于第一、三种情形，有a∈A，但是第二种情形，.Aa。

（4）恒成立。因为a∈A∩B，必有a∈A，且a∈B。

（5） 有时成立。虽然.Aa，但是，有a∈B或Ba两种可能，若Ba，则a A∪B；若a∈B，有a∈A∪B。

（6） 恒不成立。因为.Aa，即使a∈B，也有a A∩B，若Ba，更有a A∩B。

（7） 恒成立。当BA，A是B的子集，当然满足A∩B=A。

（8） 有时成立。既然BA，就有两种可能：A=B或者AB。若A=B，则A∩B=B成立；若AB，则A∩B=B就不成立。

4．设全集合E={a，b，c，d，e}，A={a，d}，B={a，b，e}，C={b，d}，求下列集合：

（1） A∩～B； （2）（A∩B）∪～C；

（3）～A∪（B－C）；（4）).()(BA

解 （1）A∩～B={a，d}∩{c，d}={d}.

(2) （A∩B）∪～C={a}∪{a,c,e}={a,c,e}.

(3) ～A∪（B－C）={b,c,e}∪{a,e}={a,b,c,e}.

(4) )(A={,{a},{d},{a,d}}.

)(B={,{a},{b},{e},{a,b},{a,e},{b,e},{a,b,e}}

故 ).()(BA={,{a}}.

5. 设A和B是全集E的子集,利用运算律证明:

(1) (A∩B) ∪(A∩～B)=A;

(2) B∪～((～A∪B) ∩A)=E.

证 (1) (A∩B) ∪(A∩～B)=A∩(B∪～B)=A∩E=A

(3) B∪～((～A∪B) ∩A)

=B∪～((～A ∩A) ∪(B∩A) (分配律)

=B∪～(∪(B∩A)) (互补律) =B∪～(B∩A) (同一律)

=B∪(～B∪～A) (德·摩根律)

=(B∪～B)∪～A (结合律)

=E∪～A (互补律)

=E.

说明 利用运算律证明集合恒等式时,后面的运算律名称不一定要求写,只是刚开始做这种类型题时标一下,目的在于熟悉理解运算律内容,稍加熟练后便可以不写.

6. 设A,B,C 是三个任意集合,求证:

(1) (A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A)=(A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A);

(2) (A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A)= (A∩B)∪(～A∩B∩C)∪(A∩～B∩C).

证(1) (A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A)

=(( A∪B)∩(C∪B))∩(A∪C)

=((A∩C)∪B)∩(A∪C)

=((A∩C)∩(A∪C)∪(B∩(A∪C))

=(( A∩C∩A)∪(A∩C∩C)∪(B∩A)∪(B∩C)

=(A∩C)∪(B∩A)∪(B∩C)

=(A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A)

(3) (A∩B)∪(～A∩B∩C)∪(A∩～B∩C)

=(A∩B)∪(((～A∩B) ∪(A∩～B)) ∩C)

=(A∩B)∪(((～A∪A)∩(～A∪～B)∩(B∪A)∩(B∪～B))∩C)

=(A∩B)∪((～(A∩B)∩(A∪B)∩C)

=((A∩B)∪(～(A∩B))∩((A∩B)∩(A∪B))∩((A∩B)∪C)

=((( A∩B)∪A)∪B)∩((A∪C)∩(B∪C))

=(A∪B)∩(B∪C)∩(A∪C).

7. 利用A－B=A∩～B与吸收律及其它运算律,证明

(((A∪B∪C)∩(A∪B))－((A∪(B－C))∩A)=～A∩B

证 (((A∪B∪C)∩(A∪B))－((A∪(B－C))∩A)

=((A∪B)∩((A∪B)∪C))－((A∪(B－C))∩A)

=(A∪B)－((A∪B)∩(A∪～C)∩A)

=(A∪B)－(A∩(A∪B)∩(A∪～C)

=(A∪B)－(A∩(A∪～C))

=(A∪B)－A

=(A∪B)∩～A

=(A∩～A)∪(B∩～A)

=∪(～A∩B)

=～A∩B.

说明 本题证明过程中的第二步、第四步、第五步应用了吸收律，才使运算简便，否则将很繁杂。

8．设A，B，C为三个任意集合，试证明

（1） 若A×A=B×B，则A=B；

（2） 若A×B=A×C，且A≠,则B=C.

证 (1)设任意a∈A,则(a,a)∈A×A,因为A×A=B×B,有(a,a)∈B×B,故a∈B,因此BA.

对任意b∈B,有(b,b)∈B×B,则(b,b)∈A×A,于是b∈A,因此BA,所以A=B.

(2) 若B=,则A×B=,因为A×B==A×C,于是A×C=,而A=,只有C=,故B=C.

若B≠,设任意b∈B,因为A≠,再设a∈A,则(a,b) ∈A×B,又因为A×B==A×C,则(a,b)∈A×C,于是b∈C,所以BC.

同理可证CB,故B=C.

说明 在每一节后面的证明题,若不能应用本节给出的定理,一般要考虑用定义证明.

8. 在具有x和y轴的笛卡尔坐标系中,若有X={x︱x∈R,且-3≤x≤2},Y={y︱y∈R,且-2≤y≤0},试求出笛卡尔积X×Y,Y×X,画出其图像.

解 X×Y={(x,y)︱-3≤x≤2, -2≤y≤0,x,y∈R}

Y×X={(y,x)︱-2≤y≤0, -3≤x≤2, x,y∈R}

X×Y与Y×X的图像如图1-1所示的阴影部分.

说明 对于笛卡尔积Y×X的图像,从(y,x)∈Y×X,点(y,x)要求第一元素为该点的横坐标,第二元素为该点的纵坐标,所以将图1-1中右图表示两轴的字母换成y,x.

图 1—1

2

1 -3 -2 1 2 3

--3 -2

-1

-2 1

Y