山东省平邑县高中数学 第一章 三角函数 1.5.2 函数y 精

1.4 三角函数的图象和性质【学习目标】1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间），（22-ππ内的单调性． 【新知自学】知识梳理：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有__________，则称f (x )为周期函数，T 为它的一个周期．若在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫做f (x )的最小正周期．x ∈Rx ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z______对点练习：1、函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ( )．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数2．下列函数中，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是增函数的是( )． A ．y ＝sin x B ．y ＝cos x C ．y ＝sin 2x D ．y ＝cos 2x3．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象的一条对称轴方程是( )． A ．x ＝－π2 B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π4．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是( )．A ．0B ．1C ．－1D ．π45．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( )． A ．π3 B ．2π3C ．πD ．4π3【合作探究】典例精析：例1、(1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域．(2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值与最小值．规律总结：1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法： (1)利用sin x ，cos x 的值域；(2)化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．变式练习1：(1)求函数y ＝sin x －cos x 的定义域．(2)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的最大值与最小值．二、三角函数的单调性 例2、（1）已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )．A ．f (x )在区间 [－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数（2）设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f (0)，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最大值和最小值．规律总结：sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的单调区间是求复杂的三角函数单调区间的基础．2．求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间即可，注意A 的正负以及要先把ω化为正数．变式练习2：（1）若函数y ＝2cos ωx 在区间[0，2π3]上递减，且有最小值1，则ω的值可以是( )A. 2B. 12C. 3D. 13（2）函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为_____________．三、三角函数的周期性和奇偶性及对称性例3、设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )的值域．规律总结：(1)利用周期函数的定义；(2)公式法：y=A sin(ωx ＋φ)和y=A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y=tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|；变式练习3：已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin x ，x ∈R ，则f (x )的最小正周期是________．【课堂小结】【当堂达标】1．若函数f (x )＝sinx ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )．A ．π2B ．2π3C ．3π2D ．5π32．函数y ＝ln(sin x －cos x )的定义域为__________．3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的单调递增区间为__________．4．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x .(1)求函数f (x )的最大值和最小正周期．(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，)2C f(=-14，且C 为锐角，求sin A .5．已知函数f (x )＝sin x (cos x －3sin x )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移a ⎝⎛⎭⎪⎫0<a <π2个单位，向下平移b 个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，求a ，b 的值；(3)求函数f (x )的单调增区间．【课时作业】1、已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，12]，则b －a 的值不可能是( )A. π3B. 2π3C. πD. 4π32、若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π]) 是偶函数，则φ＝( )A. π2B. 2π3C. 3π2D. 5π33、函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的对称轴方程可能是( )． A ．x ＝－π6 B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π124. 如果函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)(ω>0)的两个相邻零点之间的距离为π12，则ω的值为( )A. 3B. 6C. 12D. 245.函数f (x )＝cos(2x ＋3π2)(x ∈R )，下面结论不正确的是( )A. 函数f (x )的最小正周期为πB. 函数f (x )的对称中心是(π2，0)C. 函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称D. 函数f (x )是偶函数6、若0＜α＜π2，g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋α是偶函数，则α的值为________．7、函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫||φ＜π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________. 8、函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.9.若函数f (x )＝2tan(kx ＋π3)的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________．10. 设二次函数f (x )=x 2+bx +c (b ,c ∈R ),已知不论α、β为何实数恒有f (sin α)≥0和f (2+cos β)≤0.(1)求证：b +c =－1； (2)求证c ≥3；(3)若函数f (sin α)的最大值为8，求b ，c 的值.11、有一块半径为R ，中心角为45°的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问：工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值.12、是否存在实数a ，使得函数y =sin 2x +a ·cos x +85a －23在闭区间［0，2π］上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由.【延伸探究】设f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝0 ②⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10＜⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5 ③f (x )既不是奇函数也不是偶函数④f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) ⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交． 以上结论正确的是__________(写出正确结论的编号)．。

山东省平邑县高中数学第一章三角函数1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（2）导学案（无答案）新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（山东省平邑县高中数学第一章三角函数1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（2）导学案（无答案）新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（二）【学习目标】1。

理解正、余弦函数在一个周期上的单调性，从而归纳正余弦函数的单调性；2。

会求正、余弦函数在给定区间上的单调性，会用单调性比较函数值的大小.预习课本P37———40页的内容，完成下列问题【新知自学】知识回顾:1.周期函数定义：一般地,对于函数f （x），如果存在一个___________，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：____________，那么函数f (x)就叫做_________，非零常数T 叫做这个函数的_______.在周期函数的所有的周期中，如果存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫做这个周期函数都有最小正周期2。

奇偶性:正弦函数是________函数，余弦函数是________函数正弦函数关于每一个点________成中心对称;关于每一条直线________成轴对称；余弦函数关于每一个点________成中心对称；关于每一条直线________成轴对称；新知梳理：1。

由正余弦函数的图象可以看出：正弦函数y=sinx在每一个区间___________上都是增函数,在每一个区间___________上都是减函数;其中）k∈Z余弦函数y=cosx在每一个区间___________上都是增函数，在每一个区间___________上都是减函数；其中）k∈Z2. 最值：正弦函数y=sinx当且仅当x=_______时，y取最大值1，当且仅当x=_______时，y取最小值______。

1.2.2同角三角函数的基本关系【学习目标】1．掌握同角三角函数的基本关系式；2．灵活运用公式解决变形、求值、证明等问题.【新知自学】预习课本P30---33页的内容， 知识回顾：1、知识回顾：（1）任意角的三角函数是如何定义的？（2）在单位圆中，任意角的正弦、余弦、正切函数线分别是什么？对于一个任意角ααααtan ,cos ,sin ,是三个不同的三角函数，从联系的观点来看，三者之间应存在一定的内在联系，你能找出这种同角三角函数之间的基本关系吗？新知梳理：（①平方关系：αα22cos sin +=_______；（运用三角函数线，体现数形结合） ②商的关系：=ααcos sin ___________(Z k k ∈+≠,2ππα).（运用定义） （2）文字叙述：同一个角错误！未找到引用源。

的正弦、余弦的_________等于1，商等于角错误！未找到引用源。

的_______. 感悟：. 对点练习：1．化简7sin-12π的结果是（ ） A.sin 7π B.-sin 7π C.cos 7π D.-cos 7π2.已知α是第二象限角，且sin α=53，则cos α=_________,tan α=_________.3.已知sin α=31，则sin 4α-cos 4α=_______________.4．化简：（1）θθtan cos ∙= ；（2）αα22sin 211cos 2--= ；（3）02100sin 1- = ；（4）0010cos 10sin 21- = ；【合作探究】 典例精析：题型一：利用同角三角函数关系求值例1. 若sin θ＝－45，tan θ>0，求cos θ.变式1.（1）已知α是第二象限角且tan α＝－512，求sin α、cos α的值.（2）已知tan α＝3，求sin 2α＋2sin α·cos α的值．题型二：利用同角三角函数关系化简、证明例2. 求证cos 1sin 1sin cos x xx x +=-变式2. 化简(,)2πθπ∈题型三：正余弦的和、差、积之间的转化例3、已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)，试分别求①sin θcos θ；②sin θ-cos θ；③ta n θ+θtan 1.的值。

（全国通用版）2018-2019高中数学第一章三角函数1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象第2课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用检测新人教A 版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2018-2019高中数学第一章三角函数1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象第2课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用检测新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第一章1。

5 第2课时函数y＝Asin(ωx＋φ）的性质及应用A级基础巩固一、选择题1．若将函数y＝2sin2x的图像向左平移错误!个单位长度，则平移后图像的对称轴为（ B )A．x＝kπ2－错误!（k∈Z) B．x＝错误!＋错误!(k∈Z）C．x＝错误!－错误!（k∈Z) D．x＝错误!＋错误!(k∈Z）[解析］函数y＝2sin2x的图像向左平移错误!个单位长度,得到的图像对应的函数表达式为y＝2sin2（x＋错误!），令2（x＋错误!)＝kπ＋错误!(k∈Z)，解得x＝错误!＋错误!（k∈Z），所以所求对称轴的方程为x＝错误!＋错误!（k∈Z),故选B．2．若函数f(x)＝2sin错误!是偶函数,则φ的值可以是( A ）A．错误!B．错误!C．π3D．－错误![解析]由于f(x）是偶函数，则f(x）图象关于y轴即直线x＝0对称，则f（0）＝±2，又当φ＝错误!时,f（0)＝2sin错误!＝2,则φ的值可以是错误!．3．函数f（x)＝2sin（ωx＋φ)(ω>0，－错误!<φ〈错误!)的部分图象如图所示,则ω、φ的值分别是( A )A．2，－错误!B．2，－错误!C．4,－错误!D．4，错误!［解析］本题考查正弦型函数的周期与初相．错误!T＝错误!－(－错误!)＝错误!，∴T＝错误!＝π，∴ω＝2．当x＝错误!时，2×错误!＋φ＝错误!，∴φ＝－错误!．4．已知函数f（x)＝2sin（ωx＋φ）(ω>0)的图象关于直线x＝错误!对称,且f错误!＝0,则ω的最小值为( A ）A．2 B．4C．6 D．8［解析]函数f(x)的周期T≤4错误!＝π，则错误!≤π，解得ω≥2,故ω的最小值为2．5．若函数f(x）＝3sin（ωx＋φ)对任意x都有f错误!＝f(－x），则f错误!＝( B ）A．3或0 B．－3或3C．0 D．－3或0［解析]由于函数f（x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f错误!＝f（－x),则函数f（x)的图象关于直线x＝错误!对称，则f错误!是函数f(x)的最大值或最小值，则f错误!＝－3或3．二、填空题6．简谐振动s＝3sin错误!,在t＝错误!时的位移s＝错误!。

1.2.1任意角的三角函数（第二课时）【学习目标】1．进一步理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；2. 了解角α的正弦线、余弦线、正切线，认识三角函数的定义域；3. 掌握并能初步运用定义、公式一分析和解决与三角函数值有关的一些问题.【新知自学】知识回顾：1. 三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么：(1)____叫做α的正弦，记作____，即____；（2）___叫做α的余弦，记作____，即____；（3）___叫做α的正切，记作___，即_____.2．三角函数的符号对于第一、二象限为____（y>0,r>0），对于第三、四象限为____(y<0,r>0) 正弦值yr余弦值x对于第一、四象限为_____(x>0,r>0),对于第二、三象限为___ (x<0,r>0)ry对于第一、三象限为____（x,y同号），对于第二、四象限为____（x,y异号）．正切值x新知梳理：1. 诱导公式终边相同的角的_________________相等.公式一: ____ ___=sinα，__________ __=cosα，_____ ____=tanα.∈）（其中，k Z2．正弦线、余弦线、正切线：如上图，分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线.对点练习：1sin(－1654°)的大小．2．用三角函数线比较sin1和cos1的大小，结果是_______________．3．利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“>”或“<”连接)：(1)sin 23π________sin 34π；(2)cos 23π________cos 34π；(3)tan 23π________tan 34π.【合作探究】 典例精析：题型一：诱导公式的应用例1. 求下列三角函数值：（1）325cos π； （2）)45sin(π-； （3）π3tan变式练习（1）sin(-13950)cos11100+cos(-10200)sin7500;变式练习（2）sin(πππ4tan 511cos 611-⋅+）.题型二：三角函数线的应用例2.在单位圆中，画出满足21cos =α的角α的终边.变式练习（3）已知40πθ<<，确定θθcos ,sin 的大小关系.变式练习（4）：如果4＜α＜2，那么下列不等式成立的是( )A ．cos α＜sin α＜tan αB ．tan α＜sin α＜cos αC ．sin α＜cos α＜tan αD ．cos α＜tan α＜sin α【课堂小结】【当堂达标】1．)34sin(π-=（ ） A.21 B.21- C.23 D.23- 2．若53πα=，则αααtan ,cos ,sin 的大小关系是3.求值：︒+︒-︒750cos 450sin 405tan .4、利用三角函数线比较下列各组数的大小：(1)sin 2π3与sin 4π5； (2)tan 2π3与tan 4π5； (3)cos 2π3与cos 4π5.【课时作业】1. 若1sin sin -=x x，则角x 一定是（ ）A. 第三象限角B. 第四象限角C. 第三象限角或第四象限角D. 不确定 2. x xx x cos cos sin sin +的值为（ ）A. 2B. 2或0C. 2或0或2-D.不确定3. 求下列各式的值：（1）);415tan(325cos ππ-+（2）︒-︒+︒360cos 765tan 810sin .*4. 用三角函数线，比较sin1与cos1的大小.**5.在单位圆中，用阴影部分表示出满足21sin ≥α的角的集合，并写出该集合.6．用三角函数线证明：|sin α|＋|cos α|≥1【延伸探究】利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围．(1)sin θ≥32； (2)－12≤cos θ<32.规律提示：用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点：(1)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的角θ的范围，然后再加上周期；(2)注意区间是开区间还是闭区间．。

1.6 三角函数模型的简单应用【学习目标】1. 体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2.让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想，从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力。

【新知自学】知识回顾：1．三角函数的周期性y＝A sin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________；y＝A cos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________；y＝A tan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________.2．函数y＝A sin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)的性质(1)y max＝________，y min＝________.(2)A＝__________，k＝__________.(3)ω可由__________确定，其中周期T可观察图象获得．(4)由ωx1＋φ＝______，ωx2＋φ＝__________，ωx3＋φ＝__________，ωx4＋φ＝__________，ωx5＋φ＝________中的一个确定φ的值．3．三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．新知梳理：1、创设情境、激活课堂生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交替四季轮回，潮涨潮散、云卷云舒，情绪的起起落落，庭前的花开花谢，一切都逃不过数学的眼睛！这节课我们就来学习如何用数学的眼睛洞察我们身边存在的周期现象-----1.6三角函数模型的简单应用。

2、结合三角函数图象的特点，思考后写出下列函数的周期．(1)y＝|sin x|的周期是________；(2)y＝|cos x|的周期是________；(3)y＝|tan x|的周期是________；(4)y＝|A sin(ωx＋φ)| (Aω≠0)的周期是________；(5)y＝|A sin(ωx＋φ)＋k| (Aωk≠0)的周期是__________；(6)y＝|A tan(ωx＋φ)| (Aω≠0)的周期是__________．对点练习：O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )A.150 sB.1100s C ．50 s D ．100 s2．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于( ) A ．3或0 B ．－3或0C ．0D ．－3或33.如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )【合作探究】 典例精析：题型一、由图象探求三角函数模型的解析式例1．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω．（1）求这一天6～14时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式变式练习：某动物种群数量1月1日低至最小值700,7月1日高至最大值900，其总量在此两值之间变化，且总量与月份的关系可以用函数b x A y ++=)sin(ϕω0,0,0<<->>ϕπϖA 来刻画，试求该函数表达式。

1.3.1诱导公式【学习目标】1. 借助单位圆，推导出正弦、余弦和正切的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题2. 通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。

【新知自学】知识回顾：1、背诵30度、45度、60度角的正弦、余弦、正切值；2、在平面直角坐标系中做出单位圆，并分别找出任意角的正弦线、余弦线、正切线。

新知梳理：问题1:我们知道，任一角都可以转化为终边在［0,2 ）内的角，如何进一步求出它的三角函数值？我们对［0,）范围内的角的三角函数值是熟悉的，那么若能把［—,2）内的角的三角2 2函数值转化为求锐角的三角函数值，则问题将得到解决。

那么如何实现这种转化呢？探究1.诱导公式的推导由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等，即有公式一:sin(2k )sin(k Z)cos(2k)cos(k Z）（公式一）tan(2k)tan(k Z)诱导公式(-一）的作用: 把任意角的正弦、余弦、正切化为［0,2 ）之间角的正弦、余弦、正切。

注意：运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成sin（80 2k ） sin 80 ，cos（ k 360 ） cos 是不对的3 3问题2:利用诱导公式（一），将任意范围内的角的三角函数值转化到［0,2 ）角后，又如何将［0,2 ）角间的角转化到［0,）角呢？2除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等。

那么它们的三角函数值有何关系呢？探究2:若角的终边与角的终边关于x轴对称，那么与的三角函数值之间有什么关系？特别地，角与角的终边关于x轴对称，由单位圆性质可以推得： ______________ _________________________________________________________ （公式二）特别地，角与角的终边关于y轴对称，故有（公式三）特别地，角与角的终边关于原点O对称，故有（公式四）所以，我们只需研究,2 的同名三角函数的关系即研究了与的关系说明：①公式中的 指任意角；② 在角度制和弧度制下，公式都成立； ③ 记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；方法小结：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是:② ________________________ ③ ________________________可概括为： ____ 对点练习：1、tan6 90° 的值为（A.平k—1 — k 2【合作探究】 典例精析:o43sin 960o； (2) cos( 竺).23了。

1.4 三角函数的图象和性质【学习目标】1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间），（22-ππ内的单调性．【新知自学】知识梳理：1．周期函数及最小正周期对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有__________，则称f(x)为周期函数，T为它的一个周期．若在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期．函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象定义域x∈R x∈Rx∈R且x≠π2＋kπ，k∈Z值域__________________单调性在______上递增，k∈Z；在______上递减，k∈Z在______上递增，k∈Z；在______上递减，k∈Z在______上递增，k∈Z最值x＝________(k∈Z)时，y max＝1；x＝________(k∈Z)时，y min＝－1x＝________(k∈Z)时，y max＝1；x＝__________(k∈Z)时，y min＝－1无最值奇偶性________________________ 对称性对称中心__________________对称轴__________无对称轴最小正周期__________________对点练习：1、函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ( )．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数2．下列函数中，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是增函数的是( )． A ．y ＝sin x B ．y ＝cos x C ．y ＝sin 2x D ．y ＝cos 2x3．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象的一条对称轴方程是( )． A ．x ＝－π2 B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π4．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是( )．A ．0B ．1C ．－1D ．π45．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( )． A ．π3 B ．2π3C ．πD ．4π3【合作探究】典例精析：例1、(1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域．(2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值与最小值．规律总结：1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法： (1)利用sin x ，cos x 的值域；(2)化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．变式练习1：(1)求函数y ＝sin x －cos x 的定义域．(2)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的最大值与最小值．二、三角函数的单调性 例2、（1）已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )．A ．f (x )在区间 [－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数（2）设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f (0)，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最大值和最小值．规律总结：1．熟记y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的单调区间是求复杂的三角函数单调区间的基础．2．求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间即可，注意A 的正负以及要先把ω化为正数．变式练习2：（1）若函数y ＝2cos ωx 在区间[0，2π3]上递减，且有最小值1，则ω的值可以是( )A. 2B. 12C. 3D. 13（2）函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为_____________．三、三角函数的周期性和奇偶性及对称性例3、设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )的值域．规律总结：(1)利用周期函数的定义；(2)公式法：y=A sin(ωx ＋φ)和y=A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y=tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|；变式练习3：已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin x ，x ∈R ，则f (x )的最小正周期是________．【课堂小结】【当堂达标】1．若函数f (x )＝sinx ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )．A ．π2B ．2π3C ．3π2D ．5π32．函数y ＝ln(sin x －cos x )的定义域为__________．3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的单调递增区间为__________．4．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x .(1)求函数f (x )的最大值和最小正周期．(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，)2C f(=-14，且C 为锐角，求sin A .5．已知函数f (x )＝sin x (cos x －3sin x )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移a ⎝⎛⎭⎪⎫0<a <π2个单位，向下平移b 个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，求a ，b 的值；(3)求函数f (x )的单调增区间．【课时作业】1、已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，12]，则b －a 的值不可能是( )A. π3B. 2π3C. πD. 4π32、若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π]) 是偶函数，则φ＝( )A. π2B. 2π3C. 3π2D. 5π33、函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的对称轴方程可能是( )． A ．x ＝－π6 B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π124. 如果函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)(ω>0)的两个相邻零点之间的距离为π12，则ω的值为( )A. 3B. 6C. 12D. 245.函数f (x )＝cos(2x ＋3π2)(x ∈R )，下面结论不正确的是( )A. 函数f (x )的最小正周期为πB. 函数f (x )的对称中心是(π2，0)C. 函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称D. 函数f (x )是偶函数6、若0＜α＜π2，g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋α是偶函数，则α的值为________．7、函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫||φ＜π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________. 8、函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.9.若函数f (x )＝2tan(kx ＋π3)的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________．10. 设二次函数f (x )=x 2+bx +c (b ,c ∈R ),已知不论α、β为何实数恒有f (sin α)≥0和f (2+cos β)≤0.(1)求证：b +c =－1； (2)求证c ≥3；(3)若函数f (sin α)的最大值为8，求b ，c 的值.11、有一块半径为R ，中心角为45°的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问：工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值.12、是否存在实数a ，使得函数y =sin 2x +a ·cos x +85a －23在闭区间［0，2π］上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由.【延伸探究】设f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝0 ②⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10＜⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5 ③f (x )既不是奇函数也不是偶函数④f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) ⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交． 以上结论正确的是__________(写出正确结论的编号)．。