【5年高考3年模拟】(安徽专用)2014高考数学二轮复习 第十七章 不等式选讲课件 理

2014年全国各地高考数学试题及解答分类大全（不等式）一、选择题：1（2014安徽理）y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）A,121-或 B.212或 C.2或1 D.12-或解析：数形结合求解。

考点：1.线性规划求参数的值.2.(2014福建文)要制作一个容积为34m ，高为1m 的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）.80.120.160.240A B C D 元元元元3.(2014福建文)已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,70,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C =Ω,且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为（）.5.29.37.49A B C D 4.(2014北京理)若x 、y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（）A．2B．2-C．12D．12-【答案】D 【解析】可行域如图所示，当0>k 时，知x y z -=无最小值，当0<k 时，目标函数线过可行域内A点时z 有最小值，联立⎩⎨⎧=+-=020y kx y ，解之得⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2k A ，420min -=+=k z ，即21-=k .5、(2014广东文)若变量,x y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y =+的最大值等于A.7B.8C .10 D.11答案:C提示:作出可行域(为一个五边形及其内部区域),易知在点(4,2)处目标函数取到最大值10.选C.6.(2014广东理)若变量x 、y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≤-⎩，且2z x y =+的最大值和最小值分别为M和m ，则M m -=（）A.8B.7C.6D.5截距最大，此时z 取最大值M ，即()2213M =⨯+-=；()336M m -=--=，故选C.7．(2014湖北文)若变量x ，y＋y ≤4，－y ≤2，≥0，y ≥0，则2x ＋y 的最大值是()A ．2B ．4C ．7D ．84．C[解析]＋y ≤4，－y ≤2，≥0，y ≥0表示的可行域如下图阴影部分所示．设z ＝2x ＋y ，平移直线2x ＋y ＝0，易知在直线x ＋y ＝4与直线x －y ＝2的交点A (3，1)处，z ＝2x2=-+y x 02=+-y kx A=-x y＋y 取得最大值7.故选C.8．(2014湖北理)由不等式组x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为()A.18B.14C.34D.787．D [解析]作出Ω1，Ω2表示的平面区域如图所示，S Ω1＝S △AOB ＝12×2×2＝2，S △BCE ＝12×1×12＝14，则S 四边形AOEC ＝S Ω1－S △BCE ＝2－14＝74.故由几何概型得，所求的概率P ＝S 四边形AOEC S Ω1＝742＝78.故选D.9.(2014江西理)（不等式选做题）对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】()|1||||1||1|1||11|123x x y y x x y y -++-++≥--+--+=+=10.(2014全国大纲文)不等式组(2)0||1x x x +>⎧⎨<⎩的解集为（）A ．{|21}x x -<<-B ．{|10}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|1}x x >11.(2014全国新课标Ⅰ文)设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =（A ）-5（B ）3（C ）-5或3（D ）5或-3【答案】：B 【解析】：画出不等式组对应的平面区域，如图所示.在平面区域内，平移直线0x ay +=，可知在点A 11,22a a -+⎛⎫⎪⎝⎭处，z 取得最值，故117,22a a a -++=解之得a = -5或a = 3.但a = -5时，z取得最大值，故舍去，答案为a = 3.选B.12.(2014全国新课标Ⅰ理)不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3P B .1p ，4p C.1p ，2p D .1p ，3P 【答案】：C【解析】：作出可行域如图：设2x y z +=，即122zy x =-+，当直线过()2,1A -时，min 220z =-+=，∴0z ≥，∴命题1p 、2p 真命题，选C.13.(2014全国新课标Ⅱ文)设x ，y 满足约束条件0103310x y x y x y ≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥-⎩+，则z =2x +y 的最大值为()A．8B．7C．2D．1【答案解析】A．解析：作图即可.考点：考查二元一次不等式组的应用，中等题.14.(2014全国新课标Ⅱ理)设x ，y 满足约束条件03103507x y x x y y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥-⎩+，则z =2x -y 的最大值为()A.10B.8C.3D.2【答案解析】B.解析：作图即可.考点：考查二元一次不等式组的应用，中等题.15.(2014山东理)已知实数,x y 满足xya a <（01a <<），则下列关系式恒成立的是（A ）221111x y >++（B ）22ln(1)ln(1)x y +>+（C ）sin sin x y >（D ）22x y>15.【答案】D【解析】y x a a a yx>∴<<<10, 但不能判断22y x >（如1,0-==y x ）∴排除A,B;x y sin = 是周期函数，∴排除C;3x y = 是单调递增函数，∴D 正确.16.(2014山东文)已知实数,x y 满足(01)x ya a a <<<，则下列关系式恒成立的是(A)33x y>(B)sin sin x y >(C)22ln(1)ln(1)x y +>+(D)221111x y >++16.【答案】A【解析】由)10(<<<a a a yx得，y x >，但是不可以确定2x 与2y 的大小关系，故C 、D 排除，而x y sin =本身是一个周期函数，故B 也不对，33y x >正确。

2014年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，复数12−i 对应的点位于（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2. R 表示实数集，集合M ={x|0≤x ≤2}，N ={x|x 2−2x −3>0}，则下列结论正确的是（ ）A M ⊆NB M ⊆(∁R N)C (∁R M)⊆ND (∁R M)⊆(∁R N) 3. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 83 B 8 C 323 D 164. 下列双曲线中，有一个焦点在抛物线y 2=2x 准线上的是（ ）A 8x 2−8y 2=−1B 20x 2−5y 2=−1C 2x 2−2y 2=1D 5x 2−20y 2=1 5. 为得到函数y =cos(2x +π3)的图象，只需将函数y =sin2x 的图象( ) A 向左平移5π6个长度单位 B 向右平移5π6个长度单位 C 向左平移5π12个长度单位 D 向右平移5π12个长度单位6. 数列{a n }满足a 1=2，a n =a n+1−1a n+1+1，其前n 项积为T n ，则T 2014=( )A 16B −16C 6D −67. 已知函数f(x)满足：对定义域内的任意x ，都有f(x +2)+f(x)<2f(x +1)，则函数f(x)可以是（ ）A f(x)=2x +1B f(x)=e xC f(x)=lnxD f(x)=xsinx 8. (x 2−x +1)10展开式中x 3项的系数为（ ） A −210 B 210 C 30 D −309. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，线段B 1A 1，B 1C 1上（不包括端点）各有一点P ，Q ，且B 1P =B 1Q ，下列说法中，不正确的是（ ）A A ，C ，P ，Q 四点共面B 直线PQ 与平面BCC 1B 1所成的角为定值 C π3<∠PAC <π2D 设二面角P −AC −B 的大小为θ，则tanθ的最小值为√210. 在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组{x ≥0y ≥0x +y ≥1所确定的平面区域内的动点，Q 是直线2x +y =0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP →+OQ →|的最小值为（ ） A √55 B √23 C √22 D 1二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 合肥市环保总站发布2014年1月11日到1月20日的空气质量指数(AQI)，数据如下：153、203、268、166、157、164、268、407、335、119，则这组数据的中位数是________． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =−√3t y =4+t （t 为参数）．以O 为极点，射线Ox 为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程为ρ=4sinθ，曲线C 1与C 2交于M ，N 两点，则线段MN 的长度为________．13. 执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是________．14. 关于x 的不等式ax 2−|x +1|+3a ≥0的解集为(−∞, +∞)，则实数a 的取值范围是________．15. △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列命题正确的是________（写出正确命题的编号）． ①总存在某内角α，使cosα≥12；②若AsinB >BsinA ，则B >A ．③存在某钝角△ABC ，有tanA +tanB +tanC >0； ④若2aBC →+bCA →+cAB →=0→，则△ABC 的最小角小于π6；⑤若a <tb(0<t ≤1)，则A <tB ．三、解答题（本大题共六个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）16.如图，角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A (x 1, y l )，将射线OA 按逆时针方向旋转2π3后与单位圆交于点B(x 2, y 2)，f(a)=x l −x 2．（1）若角α为锐角，求f(α)的取值范围； （2）比较f(2)与f(3)的大小．17.如图，平面ABB 1A 1为圆柱OO 1的轴截面，点C 为AB̂上的点，点M 为BC 中点．（1）求证：B 1M // 平面O 1AC ；（2）若AB =AA 1，∠CAB =30∘，求二面角C −AO 1−B 的余弦值．18. 某电视台组织一档公益娱乐节目，规则如下：箱中装有2个红球3个白球，参与者从中随机摸出一球，若为白球，将其放回箱中，并再次随机摸球；若为红球，则红球不放回并往箱中添加一白球，再次随机摸球．如果连续两次摸得白球，则摸球停止．设摸球结束时参与者摸出的红球数是随机变量誉，受益人获得的公益金y ．与摸出的红球数ξ的关系是y =20000+5000ξ（单位：元）．（1）求在第一次摸得红球的条件下，赢得公益金为30000元的概率； （2）求随机变量ξ的分布列与期望．19.已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F(1, 0)，设左顶点为A ，上顶点为B ，且OF →⋅FB →=AB →⋅BF →，如图所示．（1）求椭圆E 的方程；（2）若点A 与椭圆上的另一点C （非右顶点）关于直线l 对称，直线l 上一点N(0, y 0)满足NA →⋅NC →=0，求点C 的坐标．20. 已知函数f(x)={2x −1，0≤x <1，2f(x −1),x ≥1，方程f(x)=12的解从小到大组成数列{a n }．(1)求a 1，a 2；(2)求数列{a n }的通项公式．21. 已知函数f(x)=x −a x (a >O ，且a ≠1)．（1）当a =3时，求曲线f(x)在点P （1, f(1)）处的切线方程； （2）若函数f(x)存在最大值g(a)，求g(a)的最小值．2014年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）答案1. A2. B3. B4. D5. C6. D7. C8. A9. D10. A11. 184.512. 213. 7314. [12, +∞) 15. ①④⑤16. 解：（1）如图所示，∠AOB=2π3，由三角函数的定义可得x1=cosα，x2=cos(α+2π3)，f(α)=x l−x2=cosα−cos(α+2π3)=cosα−cosαcos2π3+sinαsin2π3=32cosα+√32sinα=√3sin(α+π3)．∵ 角α为锐角，∴ π3<α+π3<5π6，∴ 12<sin(α+π3)≤1，∴ √32<√3sin(α+π3)≤√3，即f(α)的范围是(√32, √3]．（2）∵ f(2)=√3sin(2+π3)，f(3)=√3sin(3+π3)，π2<2+π3<3+π3<3π2，函数y=sinx在(π2, 3π2)上是减函数，∴ f(2)>f(3)．17. （1）证明：连结OB1，OM，∵ O1B1 // AB，且O1B1=12AB=OA，∴ 四边形AOB1O1为平行四边形，∴ OB1 // AO1，由 OB1 // AO1 OM // ACAO1∩AC=A}⇒平面OMB1 // 平面O1AC，又∵ B1A⊂平面OMB1，∴ B1M // 平面O1AC．（2）过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，过点D 作DE ⊥O 1A ， 垂足为E ，连结CE ，∵ BB 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， ∴ BB 1⊥CD ，∵ AB ∩BB 1=B ， ∴ CD ⊥平面ABB 1A 1，∴ CD ⊥AO 1，∴ CE ⊥AO 1，∴ ∠CED 为二面角C −AO 1−B 的平面角， 令AB =2a ，在Rt △CDE 中，CD =√32a ，DE =3√55a ， ∴ cos∠CED =2√5117． 18. （1）解：在摸得第一个红球的条件下，箱内有1个红球4个白球，摸球结束时羸得公益金为30000元的情形是：先摸得红球或先摸得白球再摸得红球，其概率为： p =15+45⋅15=925．（2）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，对应的随机变量y ξ的取值为20000，25000，30000， ∵ P(ξ=0)=(35)2=925， P(ξ=1)=(25+35⋅25)⋅(45)2=256625，P(ξ=2)=1−925−256625=144625，∴ 随机变量y ξ的分布列为：∴ Ey ξ=20000×925+25000×256625+30000×144625=24352． 19. 解：（1）由题意，A(−a, 0)，B(0, b)，F(1, 0)， ∵ OF →⋅FB →=AB →⋅BF →，∴ b 2−a −1=0，∵ b 2=a 2−1，∴ a 2−a −2=0，解得a =2， ∴ a 2=4，b 2=3， ∴ 椭圆E 的方程为x 24+y 23=1；（2）设C(x 1, y 1)(y 1≠0)，且A(−2, 0)，则AC 的中点M(x 1−22, y 12)，由已知k AC =y 1x 1+2，则k l =−x 1+2y 1，∴ l:y −y 12=−x 1+2y 1(x −x 1−22)，令x =0，则y 0=x 12−4+y 122y 1=−y16，即N(0, −y16)，∴ NA →⋅NC →=(−2, y 16)⋅(x 1, 7y 16)=−2x 1+7y 1236=0，∴ 7x 12+96x 1−28=0∴ x 1=27（x 1=−14舍去）， ∴ y 1=±127， ∴ C(27, ±127)．20. 解：(1)0≤x <1时，由f(x)=12得2x −1=12，∴ x =log 232，即a 1=log 232．1≤x <2时，0≤x −1<1，f(x)=2f(x −1)=2x −2， 由f(x)=12得2x −2=12，∴ x =log 254+1，∴ a 2=log 254+1；(2)设n −1≤x <n ，则0≤x −(n −1)<1，∴ f(x)=21f(x −1)=22f(x −2)=...=2n−1f[x −(n −1)] =2n−1(2x−n+1−1)=2x −2n−1，∵ 2n <2n +1<2n+1，∴ x =log 2(2n +1)−1∈(n −1, n)， 即方程f(x)=12在x ∈[n −1, n)内有且仅有一个实根，∴ a n =log 2(2n +1)−1． 21. 解：（1）当a =3时，f(x)=x −3x ， ∴ f′(x)=1−3x ln3， ∴ f′(1)=1−3ln3， ∵ f(1)=−2，∴ 曲线f(x)在点P （1, f(1)）处的切线方程为y +2=(1−3ln3)(x −1)，即y =(1−3ln3)x −3+3ln3；（2）f′(x)=1−a x lna ．①0<a <1时，a x >0，lna <0，∴ f′(x)>0， ∴ f(x)在R 上为增函数，f(x)无极大值； ②a >1，设f′(x)=0的根为t ，则a t=1lna ，即t =ln1lnalna，∴ f(x)在(−∞, t)上为增函数，在(t, +∞)上为减函数， ∴ f(x)的极大值为f(t)=t −a t=ln1lnalna−1lna ，即g(a)=ln1lnalna−1lna ，∵ a >1，∴ 1lna >0．设ℎ(x)=xlnx−x，x>0，则ℎ′(x)=lnx=0得x=1，∴ ℎ(x)在(0, 1)上为减函数，在(1, +∞)上为增函数，∴ ℎ(x)的最小值为ℎ(1)=−1，即g(a)的最小值为−1，此时a=e．。

2014年高考真题分类——不等式不等式的概念与性质 5．，[2014·山东卷] 已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A ．x 3>y 3 B ．sin x >sin yC ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) D.1x 2＋1>1y 2＋15．A 5．[2014·四川卷] 若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a d ＞b c B.a d ＜b c C.a c ＞b d D.a c ＜b d 5．B绝对值不等式的解法 9．、[2014·安徽卷] 若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4 D ．－4或8 9．D10．[2014·辽宁卷] 已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，12，2x －1，x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为( )A.⎣⎡⎦⎤14，23∪⎣⎡⎦⎤43，74B.⎣⎡⎦⎤－34，－13∪⎣⎡⎦⎤14，23 C.⎣⎡⎦⎤13，34∪⎣⎡⎦⎤43，74D.⎣⎡⎦⎤－34，－13∪⎣⎡⎦⎤13，34 10．A3．、[2014·全国卷] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋2）＞0，|x |＜1的解集为( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－1＜x ＜0}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |x ＞1} 3．C一元二次不等式的解法3．、[2014·全国卷] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋2）＞0，|x |＜1的解集为( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－1＜x ＜0}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |x ＞1} 3．CE4 简单的一元高次不等式的解法 E5 简单的线性规划问题13．[2014·安徽卷] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．13．413．[2014·北京卷] 若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x －y －1≤0，x ＋y －1≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．13．111．，[2014·福建卷] 已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49 11．C4．[2014·广东卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则z ＝2x ＋y 的最大值等于( )A ．7B ．8C ．10D ．11 4．D4．[2014·湖北卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，x ≥0，y ≥0，则2x ＋y 的最大值是( )A ．2B ．4C ．7D ．84．C13．[2014·湖南卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪x ＋y ≤4，y ≥1，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．13．7 14．[2014·辽宁卷] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，则目标函数z ＝3x ＋4y 的最大值为________．14．1815．[2014·全国卷] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤3，x －2y ≤1，则z ＝x ＋4y 的最大值为________．15．59．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，x －3y ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．1 9．B11．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3 11．B10．[2014·山东卷] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4C. 5 D ．2 10．B6．、[2014·四川卷] 执行如图1-2的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 6．C2．[2014·天津卷] 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 2．B12．[2014·浙江卷] 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则x ＋y 的取值范围是________．12．[1，3]E6 2a b +≤9．、[2014·重庆卷] 若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 3 9．D16．[2014·湖北卷] 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时． 16．(1)1900 (2)100 [解析] (1)依题意知，l >0，v >0，所以当l ＝6.05时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v ＋18≤76 0002 v ·121v ＋18＝1900，当且仅当v ＝11时，取等号．(2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋100＝76 000v ＋100v ＋18≤2000，当且仅当v ＝10时，取等号，此时比(1)中的最大车流量增加100辆/小时． 14．、[2014·江苏卷] 若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是______．14.6－24 16．[2014·辽宁卷] 对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，1a ＋2b ＋4c 的最小值为________．16．－121．，，[2014·山东卷] 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线y ＝x 被椭圆C 截得的线段长为4105.(1)求椭圆C 的方程．(2)过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆C 的顶点)．点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．(i)设直线BD ，AM 的斜率分别为k 1，k 2，证明存在常数λ使得k 1＝λk 2，并求出λ的值； (ii)求△OMN 面积的最大值．21．解：(1)由题意知，a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2.椭圆C 的方程可简化为x 2＋4y 2＝a 2. 将y ＝x 代入可得x ＝±5a 5. 因此2×25a 5＝4105，即a ＝2，所以b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)(i)设A (x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，D (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)． 因为直线AB 的斜率k AB ＝y 1x 1，且AB ⊥AD ，所以直线AD 的斜率k ＝－x 1y 1.设直线AD 的方程为y ＝kx ＋m ，由题意知k ≠0，m ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝－8mk 1＋4k 2，因此y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋4k 2. 由题意知x 1≠－x 2， 所以k 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－14k ＝y 14x 1.所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)． 令y ＝0，得x ＝3x 1，即M (3x 1，0)． 可得k 2＝－y 12x 1.所以k 1＝－12k 2，即λ＝－12.因此，存在常数λ＝－12使得结论成立．(ii)直线BD 的方程y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)，令x ＝0，得y ＝－34y 1，即N ⎝⎛⎭⎫0，－34y 1. 由(i)知M (3x 1，0)，所以△OMN 的面积S ＝12×3|x 1|×34|y 1|＝98|x 1||y 1|. 因为|x 1||y 1|≤x 214＋y 21＝1，当且仅当|x 1|2＝|y 1|＝22时，等号成立， 此时S 取得最大值98，所以△OMN 面积的最大值为98.E7 不等式的证明方法 20．、、[2014·天津卷] 已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }．(1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A .(2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n .证明：若a n ＜b n ，则s ＜t .20．解：(1)当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}，可得A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．(2)证明：由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )q n －1≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋(q －1)q n －2－q n －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q－q n －1＝－1<0， 所以s <t .E8 不等式的综合应用 16．[2014·浙江卷] 已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________．16.639．、[2014·安徽卷] 若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4 D ．－4或8 9．D [解析] 当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1（x >－1），x ＋a －1⎝⎛⎭⎫－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1⎝⎛⎭⎫x <－a 2.由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2－1＝3，可得a ＝8. 当a <2时，f (x )⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1⎝⎛⎭⎫x >－a2，－x －a ＋1⎝⎛⎭⎫－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1（x <－1）.由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，a 的值为－4或8.9．[2014·福建卷] 要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元 9．C19．、、、[2014·江苏卷] 已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f (x )是R 上的偶函数．(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)<a (－x 30＋3x 0)成立．试比较e a －1与a e－1的大小，并证明你的结论．19．解： (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有f (－x )＝e －x ＋e －(－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )， 所以f (x )是R 上的偶函数．(2)由条件知 m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立．令 t ＝e x (x >0)，则 t >1，所以 m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋ 1对任意 t >1成立．因为t －1＋1t －1＋ 1≥2（t －1）·1t － 1＋1＝3, 所以 －1t －1＋1t －1＋ 1≥－13，当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立． 因此实数 m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－13. (3)令函数 g (x )＝e x ＋1e x － a (－x 3＋3x )，则g ′ (x ) ＝e x －1ex ＋3a (x 2－1)．当 x ≥1时，e x －1e x >0，x 2－1≥0.又a >0，故 g ′(x )>0，所以g (x )是[1，＋∞)上的单调递增函数， 因此g (x )在[1，＋∞)上的最小值是 g (1)＝ e ＋e －1－2a .由于存在x 0∈[1，＋∞)，使e x 0＋e －x 0－a (－x 30＋ 3x 0 )<0 成立，当且仅当最小值g (1)<0， 故 e ＋e －1－2a <0, 即 a >e ＋e －12.令函数h (x ) ＝ x －(e －1)ln x －1，则 h ′(x )＝1－e －1x . 令 h ′(x )＝0, 得x ＝e －1.当x ∈(0，e －1)时，h ′(x )<0，故h (x )是(0，e －1)上的单调递减函数；当x ∈(e －1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e －1，＋∞)上的单调递增函数． 所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值是h (e －1)．注意到h (1)＝h (e)＝0，所以当x ∈(1，e －1)⊆(0，e －1)时，h (e －1)≤h (x )<h (1)＝0； 当x ∈(e －1，e)⊆(e －1，＋∞)时， h (x )<h (e)＝0.所以h (x )<0对任意的x ∈(1，e)成立．故①当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e ⊆(1，e)时， h (a )<0， 即a －1<(e －1)ln a ，从而e a －1<a e －1；②当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；③当a ∈(e ，＋∞)⊆(e －1，＋∞)时，h (a )>h (e)＝0，即a －1>(e －1)ln a ，故e a －1>a e －1. 综上所述，当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e 时，e a －1<a e －1；当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；当a ∈(e ，＋∞)时，e a －1>a e －1.12．、[2014·辽宁卷] 当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3] B.⎣⎡⎦⎤－6，－98 C ．[－6，－2] D ．[－4，－3]12．C21．、、[2014·陕西卷] 设函数f (x )＝ln x ＋m x ，m ∈R . (1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x 3零点的个数； (3)若对任意b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）b －a＜1恒成立，求m 的取值范围． 21．解：(1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋e x ，则f ′(x )＝x －e x 2， ∴当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e)上单调递减；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增．∴x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋e e＝2， ∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x 3(x >0)， 令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x >0)， 设φ(x )＝－13x 3＋x (x ≥0)， 则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0，1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减．∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点，∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23. 又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图像(如图所示)，可知①当m >23时，函数g (x )无零点； ②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点； ③当0<m <23时，函数g (x )有两个零点； ④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点．综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点； 当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点； 当0<m <23时，函数g (x )有两个零点． (3)对任意的b >a >0，f （b ）－f （a ）b －a<1恒成立， 等价于f (b )－b <f (a )－a 恒成立．(*)设h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋m x－x (x >0)， ∴(*)等价于h (x )在(0，＋∞)上单调递减．由h ′(x )＝1x －m x 2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立， 得m ≥－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14(x >0)恒成立， ∴m ≥14⎝⎛⎭⎫对m ＝14，h ′（x ）＝0仅在x ＝12时成立， ∴m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，＋∞.E9 单元综合。

安徽省“江淮十校”2025届高三第三次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数()2ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,2D ．()2,e2．若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．12B ．12-C ．12i D ．12i -3．已知函数()(0x f x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则|(2)|a f =，384b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，|(0)|c f =的大小关系为( ) A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c <<D ．b a c <<4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．53π B ．43π C ．223π+D ．243π+5．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则11m n+的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则AB =A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,77．给出下列四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ﹑q 均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③若命题0:p x R ∃∈，200x ≥，则命题:p x R ⌝∀∈，20x <；④设集合{}1A x x =>，{}2B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件；其中正确命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述： 甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路； 乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路； 丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ） A ．甲走桃花峪登山线路 B ．乙走红门盘道徒步线路 C ．丙走桃花峪登山线路D ．甲走天烛峰登山线路9．若双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22136x y -=10．水平放置的ABC ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C '''，其中2,O A O B ''''== 3O C ''=，则ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）A ．83πB ．163πC ．(833)π+D ．(16312)π+11．已知全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知向量11,,2a b m ⎛⎫==⎪⎝⎭，若()()a b a b +⊥-，则实数m 的值为（ ） A ．12B ．32C ．12±D ．32±二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年安徽省合肥市高三下学期高考数学模拟试题（三模）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合301x A x x ⎧⎫-=∈≤⎨⎬+⎩⎭Z ，{}2,B y y x x A ==∈，则集合A B ⋃的非空真子集的个数为（）A.14B.15C.30D.62【正确答案】D【分析】解集合A 中的不等式，得到集合A ，由集合B 中元素的条件得到集合B ，再求集合A B ⋃，由集合中元素的个数，判断非空真子集的个数.【详解】不等式301x x -≤+解得13x -<≤，由x ∈Z ，得集合{}0,1,2,3A =，则集合{}0,1,4,9B =，所以集合{}0,1,2,3,4,9A B ⋃=，集合A B ⋃中有6个元素，所以集合A B ⋃的非空真子集的个数为62262-=．故选：D ．2.已知复数z满足1i =1iz +（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【正确答案】D【分析】根据复数的除法、模长运算化简复数z ，再结合复数的几何意义即可得答案.【详解】由)112i i =1i2z +=+得))12i i 21i 2i22z ++===--，∴复数z 在复平面内对应的点为21,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，∴复数z 在复平面内对应的点所在的象限为第四象限．故选：D ．3.给出下列四个命题，其中正确命题为（）A.“0x ∀>，21x x +>”的否定是“00x ∃>，2001x x +<”B.“αβ>”是“sin sin αβ>”的必要不充分条件C.α∃，β∈R ，使得()sin sin sin αβαβ+=+D.“a b >”是“22a b >”的充分不必要条件【正确答案】C【分析】利用全称量词命题的否定判断A ；利用充分条件、必要条件的定义判断BD ；判断存在量词命题的真假判断C 作答.【详解】对于A ，“0x ∀>，21x x +>”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，该命题的否定为00x ∃>，2001x x +≤，A 错误；对于B ，“若sin sin αβ>，则αβ>”是假命题，如π5πsin sin 36>，而π5π36<，B 错误；对于C ，取0αβ==，则()sin sin 0sin 0sin 0sin sin αβαβ+==+=+，C 正确；对于D ，因为函数2x y =是R 上的增函数，则“a b >”是“22a b >”的充要条件，D 错误．故选：C4.如图，用M ，1A ，2A 三类不同的元件连接成一个系统，当M 正常工作且1A ，2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知M ，1A ，2A 正常工作的概率依次是12，34，34，已知在系统正常工作的前提下，则只有M 和1A 正常工作的概率是（）A.59B.34C.15D.19【正确答案】C【分析】利用独立事件的乘法公式求得系统正常工作和只有M 和1A 正常工作的概率，再利用条件概率公式求解即可.【详解】设事件A 为系统正常工作，事件B 为只有M 和1A 正常工作，因为并联元件1A 、2A 能正常工作的概率为33151114416⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1151521632P A =⨯=，又()()1333124432P AB P B ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以()()()15P AB P B A P A ==．即只有M 和1A 正常工作的概率为15.故选：C ．5.以边长为2的等边三角形ABC 每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P 为弧AC 上的一点，且π6PBC ∠=，则BP CP ⋅ 的值为（）A.4-B.4C.4-D.4+【正确答案】C【分析】如图所示，以B 为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示计算即可.【详解】如图所示，以B 为坐标原点，直线BC 为x 轴，过点B 且垂直于BC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()0,0B ，()2,0C ，由π6PBC ∠=，得)P ，所以)BP = ，)2,1CP =-，所以)2114BP CP ⋅=-+⨯=- ．故选：C.6.已知函数()213cos sin 2222x x x f x =-+，则下列结论正确的有（）A.()f x 的最小正周期为2πB.直线π3x =-是()f x 图像的一条对称轴C.()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.若()f x 在区间π,2m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，则π3m ≥【正确答案】D【分析】利用倍角公式和辅助角公式，化简函数解析式，根据函数解析式研究最小正周期、对称轴、单调区间和最值.【详解】()2131cos 1π3cos sin sin sin 22222226x x x x f x x x -⎛⎫=-+=-+=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为π，A 错误；因为πππ366-+=-，ππ1sin 1362f ⎛⎫⎛⎫-=-=-≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线π6x =-不是()f x 图像的一条对称轴，B 错误；当π02x <<时，ππ2π663x <+<，而函数sin y x =在π2π,63⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，C 错误；当π2x m -≤≤时，πππ366x m -≤+≤+，因为()f x 在区间π,2m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，即πsin 16x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，所以ππ62m +≥，解得π3m ≥，D 正确．故选：D ．7.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于点()2,0对称，当[]0,2x ∈时，()f x =()()20f x k x --=的所有根的和为6，则实数k 的取值范围是（）A.26,412⎛⎫⋃-∞- ⎪ ⎪⎪⎪⎩⎭⎝⎭ B.62,124⎛⎫⋃-∞- ⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎝⎭C.,412⎧⎫⎛⎫⎪⎪-⋃+∞ ⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎝⎭D.26,412⎧⎛⎫⎪-⋃-+∞ ⎪⎨ ⎪⎪⎪⎩⎭⎝⎭【正确答案】A【分析】数形结合思想，方程()()20f x k x --=的根转化为()y f x =和()2y k x =-的图象的公共点的横坐标，根据直线与圆的位置关系求解.【详解】方程()()20f x k x --=的根转化为()y f x =和()2y k x =-的图象的公共点的横坐标，因为两个图象均关于点()2,0对称，要使所有根的和为6，则两个图象有且只有3个公共点．因为[]0,2x ∈时，()f x =所以22(1)1x y -+=，所以图象为圆的一部分，作出()y f x =和()2y k x =-的图象如图所示．当0k >时，只需直线()2y k x =-与圆()2251x y -+=相切，1=，可得24k =；当0k <时，只需直线()2y k x =-与圆22(3)1x y ++=相离，1>，解得得612k<-或12k >（舍）．故k的取值范围是,412⎛⎫⋃-∞- ⎪ ⎪⎪⎪⎩⎭⎝⎭．故选：A ．8.已知函数()()e 1,xf x m x n m n =---∈R ，若()1f x ≥-对任意的x ∈R 恒成立，则mn 的最大值是（）A.2e - B.2e -- C.1e - D.1e --【正确答案】B【分析】讨论0m ≤，0m >，利用导数得出()ln 1m m mn +≥，构造函数()()ln 1h m m m =+，由导数得出()min h m ，进而得出mn 的最大值.【详解】()e 1xf x m x n =---，()e 1xf x m '=-，当0m ≤时，()0f x '<恒成立，则()f x 单调递减，()01f m n =--，显然()1f x ≥-不恒成立；当0m >时，(),ln x m ∈-∞-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；()ln ,x m ∈-+∞时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增，∴()()min ln ln f x f m m n =-=-，∵()1f x ≥-恒成立，∴ln 10m n -+≥，∴()ln 1m m mn +≥，令()()ln 1h m m m =+，0m >，()ln 2h m m '=+，()20,e m -∈时，()0h m ¢<；()2e ,m -∈+∞时，()0h m ¢>.()h m 在区间()20,e -上单调递减，在区间()2e ,-+∞上单调递增，∴()()22min e eh m h --==-，即mn 的最大值是2e --.故选：B ．关键点睛：解决本题的关键在于，将不等式的恒成立问题转化为最值问题得出()ln 1m m mn +≥，再由导数得出()min h m mn ≥.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n ，按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图如图所示．其中，成绩落在区间[)50,60内的人数为16．则下列结论正确的是（）A.图中0.016x =B.样本容量1000n =C.估计该市全体学生成绩的平均分为70.6分D.该市要对成绩前25%的学生授予“优秀学生”称号，则授予“优秀学生”称号的学生考试成绩大约至少为77.25分【正确答案】ACD【分析】根据频率之和等于1，即可判断A ；根据频率，频数和样本容量之间的关系即可判断B ；根据频率分布直方图平均数的求解方法即可判断C ；根据题意算出25%分位数，即可判断D ．【详解】对于A ，因为()0.0300.0400.0100.004101x ++++⨯=，解得0.016x =，故A 正确；对于B ，因为成绩落在区间[)50,60内的人数为16，所以样本容量161000.01610n ==⨯，故B 错误；对于C，学生成绩平均分为0.01610550.03010650.04010750.01010850.004109570.6⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故C 正确；对于D ，因为()()100.0040.010800.0400.25x ⨯++-⨯=，解得77.25x =，所以大约成绩至少为77.25的学生能得到此称号，故D 正确．故选：ACD ．10.已知正实数,,a b c 满足2240a ab b c -+-=，当cab取最小值时，下列说法正确的是（）A.2a b =B.24=c bC.216a b c +-的最大值为1 D.216a b c+-的最小值为12【正确答案】AC【分析】由224c a ab b =-+，代入cab用基本不等式求得最小值，得结论2a b =判断A ，此处条件代入已知得26c b =可判断B ，判断AB 过程中两个结论代入216a b c+-后利用二次函数性质求得最值判断CD ．【详解】∵正实数,,a b c 满足2240a ab b c -+-=，∴2244113c a ab b a b ab ab b a -+==+-≥-=，当且仅当4a b b a =，即2a b =时等号成立，A 正确；2a b =时，2222(2)246c b b b b =-+=，B 错；2222161161211)16a b c b b b b b b +-=+-=-+=--+（，11b =，即1b =时，216a b c+-的最大值1，C 正确D 错误．故选：AC ．11.已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，M 为棱1CC 上的动点，AM ⊥平面α，则下列说法正确的是（）A.若N 为1DD 中点，当AM MN +最小时，1212CM CC =-B.当点M 与点1C 重合时，若平面α截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大C.直线AB 与平面α所成角的余弦值的取值范围为26,23⎣⎦D.当点M 与点C 重合时，四面体11AMD B 内切球表面积为16π3【正确答案】ACD【分析】对于A ，由展开图求解；对于B ，取特殊位置判断；对于C ，由空间向量求解；对于D ，由正四面体的性质可求内切球半径，可得内切球的表面积，．【详解】对于A ，矩形11ACC A 与正方形11CC D D展开成一个平面，如图所示，若AM MN +最小，则A 、M 、N 三点共线，因为11//CC DD ，所以2MC AC DN AD ===(1222MC DN CC ==，即1222122MC CC ==-，故A 正确；对于B ，当点M 与点1C 重合时，连接1A D 、BD 、1A B 、AC 、1AC，如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1BD CC ⊥，又因为BD AC ⊥，且1AC CC C = ，1,AC CC ⊂平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，又1AC ⊂平面1ACC ，所以1BD AC ⊥，同理可证11A D AC ⊥，因为1A D BD D ⋂=，1,A D BD ⊂平面1A BD ，所以1AC ⊥平面1A BD ，易知1A BD是边长为的等边三角形，其面积为(1234A BD S =⨯=△，周长为3=；设E 、F 、Q 、N ，G ，H 分别为11A D ，11A B 、1BB ，BC ，CD ，1DD 的中点，易知六边形EFQNGH是边长为的正六边形，且平面//EFQNGH 平面1A BD ，正六边形EFQNGH的周长为，面积为(2364⨯⨯=，则1A BD 的面积小于正六边形EFQNGH 的面积，它们的周长相等，即B 错误；对于C ，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则()4,0,0A ，()4,4,0B ，设()()0,4,04M a a ≤≤，因为AM ⊥平面α，所以AM是平面α的一个法向量，且()4,4,AM a =- ，()0,4,0AB = ，故32cos ,,32AM AB ==⎣⎦ ，所以直线AB 与平面α所成角的正弦值的取值范围为,32⎣⎦，则直线AB 与平面α所成角的余弦值的取值范围为,23⎣⎦，故C 正确；对于D ，当点M 与点C 重合时，四面体11AMD B 即为11ACD B 为正四面体，棱长AC =，由正四面体的性质可得，其内切球半径6123343r =⨯=，所以表面积为216π4π3r =，故D 正确．故选：ACD ．12.已知抛物线2:2C x y =的焦点为F ，准线为l ，A 、B 是C 上异于点O 的两点（O 为坐标原点）则下列说法正确的是（）A.若A 、F 、B 三点共线，则AB 的最小值为2B.若32AF =，则AOF 的面积为24C.若OA OB ⊥，则直线AB 过定点()2,0D.若60AFB ∠=，过AB 的中点D 作DE l ⊥于点E ，则ABDE的最小值为1【正确答案】ABD【分析】设出直线AB 的方程，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理、焦半径公式以及基本不等式可求得AB 的最小值，可判断A 选项；求出点A 的横坐标的绝对值，利用三角形的面积公式可判断B 选项；设直线AB 的方程为y kx b =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理以及0OA OB ⋅=求出b 的值，求出直线AB 所过定点的坐标，可判断C 选项；利用抛物线的定义以及基本不等式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，易知抛物线C 的焦点为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当直线AB 与y 轴重合时，直线AB 与抛物线C 只有一个公共点，不合乎题意，设直线AB 的方程为12y kx =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立2122y kx x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩可得2210x kx --=，2440k ∆=+>，由韦达定理可得122x x k +=，121x x =-，则221212144x x y y ==，易知10y >，20y >，所以，12112AB y y =++≥+=，当且仅当1212y y ==时，等号成立，故AB 的最小值为2，A 对；对于B 选项，设点()11,A x y ，11322AF y =+=，可得11y =，所以，21122x y ==，则1x =，所以，11112224AOF S OF x =⋅=⨯=△，B 对；对于C 选项，易知AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx b =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，由于直线AB 不过原点，所以，0b ≠，联立22y kx bx y=+⎧⎨=⎩可得2220x kx b --=，2480k b ∆=+>，由韦达定理可得122x x b =-，所以，22212124x x y y b ==，因为OA OB ⊥，则2121220OA OB x x y y b b ⋅=+=-+=，解得2b =，所以，直线AB 的方程为2y kx =+，故直线AB 过定点()0,2，C 错；对于D 选项，过点A 作1AA l ⊥于点1A ，过点B 作1BB l ⊥于点1B ，设AF m =，BF n =，所以1122AA BB m nDE ++==，因为()2222222cos 3AB m n mn AFB m n mn m n mn=+-∠=+-=+-()()2222342m n m n m n DE ++⎛⎫≥+-== ⎪⎝⎭，所以AB DE ≥，则ABDE的最小值为1，当且仅当m n =时，等号成立，D对．故选：ABD ．方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()24,2,1log ,2x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩的值域是______．【正确答案】[)2,+∞【分析】根据分段函数结合常见函数的取值情况即可求得函数的值域.【详解】当2x ≤时，满足()42f x x =-+≥；当2x >时，由()21log 2f x x =+>，所以函数()f x 的值域为[)2,+∞．故[)2,+∞．14.某企业五一放假4天，安排甲、乙、丙、丁四人值班，每人只值班一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在最后一天，则不同的安排种数为______．【正确答案】14【分析】根据特殊元素法进行安排即可.【详解】①若甲安排在最后一天，则不同的安排数为33A 6=；②若甲不安排在最后一天，则不同的安排数为112222A A A 8=．综上，不同的安排种数为14．故答案为.1415.过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>右焦点F 的直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为点A ，O 为坐标原点，若OAF ∠的角平分线与x 轴交于点M ，且点M 到OA 与AF 的距离都为3b，则双曲线C 的离心率为______．【分析】如图设点A 在第一象限，根据点到直线的距离公式可得F 到渐近线by x a=的距离为b ，得OA a =，由题意得四边形MTAN 为正方形，有3tan 3bMN bAOF b ON a a ∠===-，整理可得2b a =，即可求解.【详解】由题意得，双曲线的渐近线为0bx ay ±=，(c,0)F ，如图，设点A 在第一象限，则点F 到渐近线by x a=的距离为AF d b ===，所以OA a ===，过点M 分别作MN OA ⊥于点N ，MT AF ⊥于点T ，又FA OA ⊥于A ，所以四边形MTAN 为正方形，得3b NA MN ==，所以3bON OA NA a =-=-，又3tan 3bMN b AOF b ON a a ∠===-，所以33a ba =-，得2b a =，则22225c a b a =+=，所以5c a =，故5ce a==，即双曲线的离心率为5.故答案为.516.已知四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的球面上，ADC △是边长为2的等边三角形，ADC △外接圆的圆心为O '．若四面体ABCD 的体积最大时，π3BAO ∠'=，则球O 的半径为______；若213AB BC ==，点E 为AC 的中点，且2π3BED ∠=，则球O 的表面积为______．【正确答案】①.43②.19π3【分析】先确定ADC △的外接圆半径，若四面体ABCD 的体积最大时，结合直角三角形的边角关系即可求得此时球O 的半径；若213AB BC ==，根据四面体的线面关系确定外接球球心O 的位置，求解半径大小，即可得此时球O 的表面积.【详解】设ACD 的外接圆的半径R ，由题可得2πsin 3ACR =，解得233R =；若四面体ABCD 的体积最大时，则点B 在过O 和O '的直径上，且,B O '在O 的两侧，在ACD 中，233AO R =='，又π3BAO ∠'=，所以πtan 23BO AO =⨯'='，设球O 的半径为r ，则在Rt AO O '△中，()2222323r r ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，解得43r =；如图，取AC 的中点E ，连接DE 并延长DE 交圆O '于点F ．连接,BE BF ，由2π3BED ∠=得，则2πππ33BEF ∠=-=．33223EF R AD =-⨯=．在ABE 中，223BE AB AE =-=，所以在BEF △中，由余弦定理得2222cos 1BF EF BE EF BE BEF =+-⋅∠=，可得BF EF ⊥，结合图形可得BF ⊥圆O '．连接OO '，过点O 作BF 的垂线，垂足为点G ，连接BO ，四面体ABCD 外接球的半径2222r GO BG OO O D ''=+=+解得1122OO BG BF '===，所以球O 的半径2212192123r ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭四面体ABCD 外接球的表面积为19π3．故43；19π3.四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 3b aA A c+=．（1）求角C ；（2）设BC 的中点为D ，且3AD =，求2+a b 的取值范围．【正确答案】（1）π3C =（2）(23,43【分析】（1）已知等式，由正弦定理和两角和的正弦公式化简，可求角C ；（2）设CAD θ∠=，由正弦定理，把2+a b 表示成θ的三角函数，利用三角函数的性质求取值范围.【小问1详解】ABC中，cos b a A A c +=，由正弦定理得sin sin cos sin B AA A C++=．所以sin cos sin sin sin C A A C B A +=+，即()sin cos sin sin sin sin cos sin cos sin C A A C A C A A C C A A +=++=++，sin sin cos sin A C A C A =+；又()0,πA ∈，则sin 0A ≠，所以cos 1C C -=，则有π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为()0,πC ∈，则ππ66C -=，即π3C =；【小问2详解】设CAD θ∠=，则ACD 中，由π3C =可知2π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由正弦定理及AD =可得2π2πsin sinsin 33CD AC AD θθ===⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2sin CD θ=，2π2sin 3AC θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以2ππ24sin 4sin 6sin 36a b θθθθθ⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由2π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可知，ππ5π,666θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，π1sin ,162θ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以(2a b +∈．即2+a b的取值范围(.18.在数列{}n a 中，10a =，且对任意的*n ∈N ，都有12nn n a a +-=．在等差数列{}n b 中，前n 项和为n S ，12b =，35228b S +=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设()*22nn n b c n a =∈+N ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【正确答案】（1）22nn a =-，1n b n =+；（2）737994n nn T +=-⨯【分析】（1）由递推关系12n n n a a +-=，可用累加法即可求得22nn a =-，再对12b =，35228b S +=化简解得1d =，从而可得{}n b 的通项公式；（2）由知（1）结论即可求得14n n n c +=，利用错位相减法、等比数列的前n 项和公式即可得出结论.【小问1详解】由12nn n a a +-=得2n ≥时，()()21121122222n n n n n a a a a a a --=+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+=-．又10a =，满足22n n a =-，所以22nn a =-．设等差数列{}n b 的公差为d ，则()35111542225714282b S b d b d b d ⨯+=+++=+=，解得1d =，所以1n b n =+；【小问2详解】2124n n n n b n c a +==+，223414444n n n T 3+=+++⋅⋅⋅+①，231123144444n n n n n T ++=++⋅⋅⋅++②①-②得231111132111111164414444442414n n n n n n n T ++-⨯++=+++⋅⋅⋅+-=+-111141117372316441234n n n n n +++++⎛⎫=+--=- ⎪⨯⎝⎭所以737994n nn T +=-⨯．19.2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．卡塔尔世界杯后，某校为了激发学生对足球的兴趣，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，统计得出的数据如下表：喜欢足球不喜欢足球合计男生50女生25合计（1）根据所给数据完成上表，试根据小概率值0.001α=的独立性检验，分析该校学生喜欢足球与性别是否有关．（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球，已知男生进球的概率为34，女生进球的概率为13，每人踢球一次，假设各人踢球相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望．附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，a b c d n+++=．α0.0500.0100.001 xα 3.841 6.63510.828【正确答案】（1）表格见解析，该校学生喜欢篮球与性别有关；（2）分布列见解析，数学期望为11 6.【分析】（1）根据题意中的数据分析，补充列联表，利用卡方公式计算，结合独立性检验的思想即可下结论；（2）3人进球总次数ξ的所有可能取值为0，1，2，3．利用独立事件的乘法公式求出对应的概率，得出分布列，结合求数学期望公式计算即可求解.【小问1详解】因为随机抽取了男、女同学各100名进行调查，男生不喜欢篮球的有50人，女生喜欢篮球的有25人，所以男生喜欢篮球的有50人，女生不喜欢篮球的有75人.22⨯列联表如下：喜欢篮球不喜欢篮球合计男生5050100女生2575100合计75125200零假设为0H：该校学生喜欢篮球与性别无关．根据列联表中的数据，经计算得到()220.0012005075502513.310.82810010075125x χ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯，∴根据小概率值0.001α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为该校学生喜欢篮球与性别有关．【小问2详解】3人进球总次数ξ的所有可能取值为0，1，2，3．()212104324P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()21231211131C 4433448P ξ⎛⎫==⋅⋅⨯+⨯= ⎪⎝⎭，()2121313212C 443432P ξ⎛⎫==⋅⋅⋅+⨯= ⎪⎝⎭，()231334316P ξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭．∴ξ的分布列如下：ξ0123P124134812316∴ξ的数学期望：()1131311012324482166E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．20.如图，在三棱锥-P ABC 中，ABC 为直角三角形，90ACB ∠=︒，PAC △的边长为4的等边三角形，4PB =，BC =．（1）求证：平面PAB ⊥平面ABC ；（2）求二面角A PB C --的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2）91【分析】（1）通过等腰三角形性质、中位线的性质、勾股定理，证明PE ⊥平面ABC ，可证平面PAB ⊥平面ABC ．（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角的余弦值.【小问1详解】（方法一）证明：如图，分别取AC ，AB 的中点D ，E ，连接PD ，DE ，PE ，则//DE BC ．因为90ACB ∠=︒，BC =，所以DE AC ⊥，DE =因为PAC △是边长为4的等边三角形，所以PD AC ⊥，PD =，在ACB △中，(22222428AB AC BC =+=+=，AB =因为PA PB =，点E 为AB 的中点，所以PE AB ⊥，3PE =，在PDE △中，有222PD PE ED =+，所以PE ED ⊥，ED AB E ⋂=，,ED AB ⊂平面ABC ，所以PE ⊥平面ABC ，因为PE ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面ABC ．（方法二）证明：如图，分别取AC ，AB 的中点D ，E ，连接PD ，PE ，DE ，则DE BC ∥．因为90ACB ∠=︒，所以BC AC ⊥，AC DE ⊥，PAC △是等边三角形，则PD AC ⊥，由PD DE D =I ，,PD DE ⊂平面PDE ，所以AC ⊥平面PDE ，又PE ⊂平面PDE ，所以AC PE ⊥，因为PA PB =，点E 为AB 的中点，所以PE AB ⊥，又AC AB A ⋂=，,AC AB ⊂平面ABC ，则有PE ⊥平面ABC ，因为PE ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面ABC ．【小问2详解】以点C 为原点，直线CA ，CB 分别为x ，y 轴，过点C 且与PE 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则()0,0,0C ，()0,3,0B ，()4,0,0A ，()3,0E ，()3,3P ，()4,3,0AB =-，()0,23,0CB =，()3,3CP = ，()0,0,3PE =-．设平面PBC 的一个法向量为()111,,m x y z =r，则1111302330m CB m CP x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，取13x =，得110,2y z ==-，则()3,0,2m =- ．设平面PAB 的一个法向量为()222,,n x y z =r ，则22243030n AB x y n PE z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取23x =，得222,0y z ==，则)3,2,0n =．设二面角A PB C --的平面角为θ，所以333273cos cos ,91137m n θ===⋅．21.如图，椭圆()222:10416x y b bΓ+=<<的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A ，B ，C 分别为椭圆Γ的左、右顶点和上顶点，O 为坐标原点，过点1F 的直线l 交椭圆Γ于E ，F 两点，线段2EF 的中点为10,2⎛⎫⎪⎝⎭．点P 是Γ上在第一象限内的动点，直线AP 与直线BC 相交于点Q ，直线CP 与x 轴相交于点M．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设OCQ △的面积为1S ，OCM 的面积为2S ，求12S S ⋅的值．【正确答案】（1）221164x y +=（2）16【分析】（1）根据题意，利用待定系数法即可求出结果；（2）由题可知()4,0B ，()0,2C ，所以直线BC 的方程的截距式为142x y+=，即为240x y +-=．设直线AP 的斜率为k ，点P 的坐标为(),P P x y ，则AP 的方程为()4y k x =+，并与椭圆方程221164x y +=联立方程组解得2241614P k x k -=+，2814Pk y k =+，从而表达出点P 坐标，同理可得出M x ，Q x 的值，继而求得12S S ⋅的值．【小问1详解】因为线段2EF 的中点为10,2⎛⎫⎪⎝⎭在y 轴上，O 为12F F 的中点，所以1EF y ∥轴，即EF x ⊥轴，设(),1E c -，(),1F c --，222a b c =+，代入椭圆Γ的方程得，221116c b+=，又222216c a b b =-=-，所以22161116b b -+=，即2211116b b-+=，所以22116b b =，解得24b =，所以椭圆Γ的方程为221164x y +=．【小问2详解】由题意可得()4,0B ，()0,2C ，所以直线BC 的方程的截距式为142x y+=，即为240x y +-=．设直线AP 的斜率为k ，点P 的坐标为(),P P x y ，则AP 的方程为()4y k x =+，联立()221,1644,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2222143264160k x k x k +++-=，所以()226416414P k x k --=+，即2241614P k x k-=+，()28414P P k y k x k =+=+．所以2224168,1414k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭102k ⎛⎫<< ⎪⎝⎭．直线CP 的方程为22P P y y x x -=+，设点M ，Q 的坐标分别为(),0M x ，(),Q Q x y ，在22P P y y x x -=+中，令0y =得()4122212P M P k x x y k+-==--．解()240,4,x y y k x +-=⎧⎨=+⎩得()41212Q k x k -=+．所以()()12412412161212k k S S k k-+⋅=⋅=+-．关键点睛：本题第二问的关键是采取设线法，AP 的方程为()4y k x =+，并与椭圆方程221164x y +=联立方程组，解得P x ，P y 是关键；本题考查了椭圆的标准方程以及椭圆中三角形面积的问题，属于较难题.22.若对任意的实数k ，b ，函数()y f x kx b =++与直线y kx b =+总相切，则称函数()f x 为“恒切函数”．（1）判断函数()3f x x =是否为“恒切函数”；（2）若函数()()1e 1e 2x x f x x m =--+是“恒切函数”，求证：108m -<≤．【正确答案】（1）是“恒切函数”；（2）证明见解析.【分析】（1）设函数()f x 的切点为()00,x y ，分析“恒切函数”的性质可得()()0000f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，对于函数()3f x x =，则有3020030x x ⎧=⎨=⎩，解可得00x =，即可得出结论.（2）设函数()f x 的切点为()00,x y ，分析可得()000001e 1e 22e 2x x x m x x ⎧=---⎪⎨⎪=+⎩ ，设2e 2x x =+，考查2e 2x x =+的解，综合即可得答案.【小问1详解】根据题意，若函数()3f x x =为“恒切函数”，切点为()00,x y ，则()()0000,,f x kx b kx b f x k k ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩' 即()()0000f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，对于函数()3f x x =，()23f x x '=，所以30200,30,x x ⎧=⎨=⎩解得00x =．因此，函数()3f x x =是“恒切函数”；【小问2详解】根据题意，函数()()1e 1e 2xx f x x m =--+是“恒切函数”，设切点为()00,x y ，由()()1e 1e 2x x f x x m =--+，可得()()12e 2e 2x x f x x '=--，则有()()0000001e 1e 0,212e 2e 0,2x x x x x m x ⎧--+=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩ 即()000001e 1e ,22e 2,x x x m x x ⎧=---⎪⎨⎪=+⎩ 考查方程2e 2x x =+的解，设()2e 2x g x x =--，因为()2e 1x g x '=-，令()0g x '=，得ln 2x =-．当(),ln 2x ∈-∞-时，()0g x '<；当()ln 2,x ∈-+∞时，()0g x '>．所以，函数()y g x =的单调递减区间为(),ln 2-∞-，单调递增区间为()ln 2,-+∞．所以()()min ln 2ln 210g x g =-=-<．（i ）当(),ln 2x ∞∈--时，因为()2220e g -=>，()2110eg -=-<，所以，函数()y g x =在区间(),ln 2-∞-上存在唯一零点()02,1x ∈--．又因为()()()002000011111e 1e 21,028888x x m x x x x ⎛⎫=---=+=+-∈- ⎪⎝⎭；（ii ）当()ln 2,x ∈-+∞时，因为()00g =，所以函数()y g x =在区间()ln 2,-+∞上有唯一零点，则0m =，综上所述，108m -<≤．本题考查利用导数分析函数的切线以及函数的单调性，关键是理解“恒切函数”的定义，属于较难题.。

2023-2024学年安徽省合肥高考数学押题模拟试题（五模）一、单选题1．已如集合()(){}{150,log A x x x B x y =+-≥==∣∣，则U B A = ð（）A ．{14}xx -<<∣B ．{4}xx <∣C ．{14}xx -≤<∣D ．{}1xx ≤-∣【正确答案】A【分析】根据题意，先将集合,A B 化简，然后结合集合的运算，即可得到结果.【详解】因为()(){}{1505A xx x x x =+-≥=≥∣或}1x ≤-，则{}15U A x x =-<<ð{{}log 4B x y x x ===<∣，所以{14}U B xx A <=-< ∣ð.故选：A2．设i 是虚数单位，复数3i1i 1iz +=-+，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】A【分析】根据题意，由复数的运算化简复数z ，即可得到结果.【详解】由3i1i 1iz +=-+，得()()()()()()3i 1i 42i 1i 42i 13i 1i 1i 1i 1i z +----====-+++-，所以13i z =+，故选：A3．“2m <”是“方程22121x y m m +=-+表示椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据方程表示椭圆的条件求解.【详解】方程22121x ym m +=-+表示椭圆2012101212m m m m m m ->⎧-<<⎧⎪⎪⇔+>⇔⎨⎨≠⎪⎪-≠+⎩⎩，所以“2m <”是“方程22121x y m m +=-+表示椭圆”的必要不充分条件，故选：B.4．米斗是称量粮食的量器，是古代官仓､粮栈､米行及地主家里必备的用具､如图为一倒正四棱台型米斗，高为40cm.已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50cm 的球O 的球面上，且一个底面的中心与球O 的球心重合，则该正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为（）A ．12B C D 【正确答案】D【分析】由题意作出正四棱台的对角面，O 为外接球球心，为线段BC 中点，过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ，则DCE ∠即为所求角.【详解】由题意，作出正四棱台的对角面，如图AD 为正四棱台上底面正方形对角线，BC 为正四棱台下底面正方形对角线，O 为外接球球心，为线段BC 中点，则50OD OA OB OC ====，过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ，则DCE ∠即为所求角.因为50,40OD DE ==，所以30OE =，所以20EC =，所以DC =.故选:D.5．在数列{}n a 中，已知122,3a a ==，当2n ≥时，1n a +是1n n a a -⋅的个位数，则2023a =（）A ．4B ．3C ．2D ．1【正确答案】C【分析】由题意，列出数列的前若干项，分析出数列变化规律，进而得出答案.【详解】因为122,3a a ==，当2n ≥时，1n a +是1n n a a -⋅的个位数，所以36a =，48a =，58a =，64a =，72a =，88a =，96a =，108a =，118a =，124a =，可知数列{}n a 中，从第3项开始有6n n a a +=，即当3n ≥时，n a 的值以6为周期呈周期性变化，又20236337...1÷=，故202312a a ==.故选：C.6．数学与音乐有着紧密的关联.声音中也包含正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的.纯音的数学模型是函数sin y A x ω=，我们平时听到的音乐一般不是纯音，而是有多种波叠加而成的复合音．已知刻画某复合音的函数为11sin sin 2sin 323x x x ++，则其部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C【分析】利用导数研究函数的单调性与极值，与选项中的图象比较即可得出答案.【详解】令()11sin sin2sin323y f x x x x ==++，求导得()cos cos2cos3cos cos2cos2cos sin2sin f x x x x x x x x x x =++=++-'()()()2cos 12sin cos21cos 12cos cos2x x x x x x =-++=+，当[]0,πx ∈时，由()0f x '=解得π2π3π,,434x =，当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当π2π,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当2π3π,34x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当3π,π4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以，当π4x =和3π4x =时，()f x 取极大值；当2π3x =时，()f x 取极小值，由于()()π12π3π100,,,0,π043234432f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+==->= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可得π3π44f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()0,πx ∈时()0f x >，结合图象，只有C 选项满足．故选：C ．7．在菱形ABCD 中，2AB =，点,E F 分别为BC 和CD 的中点，且4AB AF ⋅= ，则AE BF ⋅= （）A ．1B ．32C ．2D ．52【正确答案】B【分析】根据向量的线性运算以及数量积的运算律结合4AB AF ⋅= ，求出2AB AD ⋅=，继而根据向量的线性运算以及数量积的运算律即可求得答案.【详解】因为点E F ､分别为BC 和CD 的中点，211422AB AF AB AD AB AB AD AB ⎛⎫⋅=⋅+=⋅+= ⎪⎝⎭，所以2AB AD ⋅=，又11112222A B BC BC C E BF A AB AD AD A D B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅=+⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+⎝⎭2213313222424AB AD AD AB =⨯=⋅+-= ，故选：B.8．定义在R 上的函数()f x 满足()()112f x f x +=，且当[)0,1x ∈时，()121f x x =--.当[),x m ∈+∞时，()332f x ≤，则m 的最小值为（）A ．278B ．298C ．134D ．154【正确答案】B【分析】根据已知计算出()()11122122n nf x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦，画出图象，计算()332f x =，解得298x =，从而求出m 的最小值.【详解】由题意得，当[)1,2x ∈时，故()()()11112322f x f x x =-=--，当[)2,3x ∈时，故()()()11112524f x f x x =-=-- ，可得在区间[)(),1Z n n n +∈上，()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦，所以当4n ≥时，()332f x ≤，作函数()y f x =的图象，如图所示，当7,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，由()()13129127,27,83248f x x x x =--=-==，则298m ≥，所以m 的最小值为298故选：B 二、多选题9．某学校高三年级学生有500人，其中男生320人，女生180人.为了获得该校全体高三学生的身高信息，现采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm ），计算得男生样本的均值为174，方差为16，女生样本的均值为164，方差为30.则下列说法正确的是（）A ．如果抽取25人作为样本，则抽取的样本中男生有16人B ．该校全体高三学生的身高均值为171C ．抽取的样本的方差为44.08D ．如果已知男､女的样本量都是25，则总样本的均值和方差可以作为总体均值和方差的估计值【正确答案】AC【分析】利用分层抽样计算即可判断选项A ；代入均值与方差公式即可判断选项BC ；因为抽样中未按比例进行分层抽样，所以总体中每个个体被抽到的可能性不完全相同，因而样本的代表性差，所以作为总体的估计不合适，可以判断D.【详解】根据分层抽样，抽取25人作为样本，则抽取的样本中男生有3202516,A 500⨯=正确；样本学生的身高均值320180174164170.4500500⨯+⨯=，B 错误；抽取的样本的方差为2232018016(174170.4)30(164170.4)44.08500500⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦，C 正确；因为抽样中未按比例进行分层抽样，所以总体中每个个体被抽到的可能性不完全相同，因而样本的代表性差，所以作为总体的估计不合适.D 错误.故选：AC10．已知函数()πsin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的有（）A ．若()()122f x f x -=，则12min πx x -=B ．将()f x 的图象向左平移π4个单位长度后得到的图象关于y 轴对称C ．函数2πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2πD ．若()(0)f x ωω>在[]0,π上有且仅有3个零点，则ω的取值范围为1115,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭【正确答案】ABD【分析】对A ：()()12,f x f x 必有一个最大值和一个最小值可求12minx x -；对B ：求出平移后函数解析式判断是否为偶函数；对C ：化简2πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭后求周期；对D ：求出π4x ω+的范围，数据正弦曲线的图象列出满足的不等式并求解.【详解】由()()122f x f x -=，故()()12,f x f x 必有一个最大值和一个最小值，则12min x x -为半个周期长度，故π,A 2T=正确；由题意ππsin cos 42f x x x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象关于y 轴对称，B 正确；2π1cos 2π1sin22sin 422x x y x ⎛⎫-+ ⎪+⎛⎫⎝⎭=+= ⎪⎝⎭的最小正周期为π,C 错误.()πsin 4f x x ωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，在[]0,πx ∈上ππππ444x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦,有且仅在3个零点，结合正弦函数的性质知：π3ππ4π4ω≤+<，则111544ω≤<，D 正确；故选：ABD11．正四棱锥M ABCD -中，高为3，底面ABCD 是边长为2的正方形，则下列说法正确的有（）A ．CD 到平面ABM的距离为5B ．向量AM 在向量AC 上的投影向量为12ACC ．棱锥M ABCD -D ．侧面ABM 所在平面与侧面CDM 所成锐二面角的余弦值为45【正确答案】BD【分析】补形成长方体，在长方体中作出所求距离，利用等面积求解可判断A ；根据投影向量的几何意义可判断B ；利用等体积法可判断C ；利用长方体作出平面角，由余弦定理可得.【详解】补形为长方体1111ABCD A B C D -.如图，记AC BD O = ，1111,A D B C 的中点分别为P ，Q ，作CW BQ ⊥于点W ,易知1111A C B D M =I，OB =CQ BQ ===在BCQ △中，11122BQ CW BC BB ⋅=⋅,即112322CW =⨯⨯,解得CW =易知,CW 为CD 到平面ABM 距离，A 错误；根据投影向量概念知：向量AM 在向量AC 上的投影向量为向量AO .即为12AC ，所以B 正确；即AB 中点为N ，连接MN ，ON，易得MN =，所以14442M ABCD S -=⨯⨯=+四棱锥表面积4ABCD S =正方形，由等体积求内切球半径,得11:33M ABCD ABCD M ABCD V S OM S R --=⋅=⋅正方形四棱锥表面积，ABCD M ABCD S OM R S -⋅==正方形四棱锥表面积，所以C 错误；连接CQ ，由长方体性质可知BQC ∠是所求二面角的平面角，在BQC中由余弦定理得：4cos ,D 5BQC ∠=正确.故选：BD12．已知数列{}n a 满足*n N ∀∈，曲线0:ln C y x =和:1nn n a C y x=-有交点(),nn n T x y ，且0C 和n C 在点n T 处的切线重合，则下列结论正确的为（）A ．*,n n N x e∀∈<B ．*,1p p N a ∃∈<C ．*,,p p p q p qp q N x a x a ++∃∈=D ．1*,1n ny n N e ∀∈⋅<【正确答案】AD【分析】依题意，有ln 1n n n n a x x =-，且11n n n n na x x +=，解得11e n n x -=，1e n n a n-=，对于A ，由于11e e n -<，从而可得结论，对于B ，构造函数1e ()xf x x-=，然后利用导数判断其单调性，再利用单调性判断即可，对于C ，由于111111111e e 1e nn n nn n x x -+-++==<，从而可判断数列{}n n x a 为正项递增数列，进而可判断，对于D ，只需证1*11e ()n n n--<∈Ν，令1x n =-，然后只要证1e x x +<，构造函数()e 1x g x x =--，利用导数只要证明其最小值大于零即可【详解】依题意，有ln 1n n n n a x x =-，且11n n n n na x x +=，解得11e n n x -=，1e n n a n-=，（1）考查选项A ：显然11e e n -<，即e n x <，故选项A 正确；（2）考查选项B ：构造函数1e ()xf x x-=，则12(1)e ()x x f x x --'=，显然当[1,)x ∈+∞时，()0f x '≥，即()f x 在[1,)+∞上单调递增，从而{}n a 为递增数列，又11a =，故*n ∀∈Ν，1n a ≥，易知选项B 错误；（3）考查选项C ：由111111111e e 1e nn n nn n x x --+-++==<，可知10n n x x +<<，即{}n x 为正项递增数列，{}n a 亦为正项递增数列，故数列{}n n x a 为正项递增数列，又p p q <+，易知选项C 错误；（4）考查选项D ：易知11n y n =-，需证11(1)e 1n n -⋅<，只需证1*11e ()n n n--<∈Ν，令1x n=-，则[1,0)x ∈-，只需证1e x x +<，[1,0)x ∈-，令()e 1x g x x =--，[1,0]x ∈-，则()e 10x g x '=-≤，易知()g x 单调递减，故当[1,0)x ∈-时，()(0)0g x g >=，从而选项D 正确；故选：AD.三、填空题13．52()x x-的展开式中含x 项的系数为__________.【正确答案】40【分析】求出二项展开式的通项公式，由题设中的指定项可得项数即可作答.【详解】52()x x -的展开式的通项为5521552((2),,5r r r r r rr T C x C x r N r x--+=⋅-=-∈≤，则展开式中含x 的项有521r -=，即2r =，所以展开式中含x 项的系数为225(2)40C -=.故4014．近年来，随着我国城镇居民收入的不断增加和人民群众消费观念的改变，假期出游成为时尚.某校高三年级7名同学计划高考后前往黄山､九华山､庐山三个景点旅游.已知7名同学中有4名男生，3名女生.其中2名女生关系要好，必须去同一景点，每个景点至少有两名同学前往，每位同学仅选一处景点游玩，则7名同学游玩行程安排的方法数为__________.【正确答案】150【分析】7个人去三个景点，每个景点至少2人，则两个景点两人，一个景点3人，两个关系好的女生要在一起，则为特殊元素，可以分为，她俩单独一个景点和她俩和另外一位同学一个景点，分类相加即可.【详解】由题，两个关系好的女生要在一起，则为特殊元素，可以分为，她俩单独一个景点和她俩和另外一位同学一个景点，第一类：仅要好的两位女生去同一景点3353C A 60=；第二类：要好的两位女生和另一位同学去同一景点112534C C C 90=，总方法数为6090150+=.故150.15．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C 交A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为____.【正确答案】16设出直线1l 方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理，由弦长公式求得弦长AB ，用1k-，代替k 得弦长DE ，求出AB DE +，用基本不等式求得最小值．【详解】由题意抛物线焦点为(1,0)F ，显然直线12,l l 的斜率都存在且都不为0，设直线1l 方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y ，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得22222(2)0k x k x k -++=，所以21222(2)k x x k ++=，121=x x，224(1)k AB k +=，同理可得2221414(1)1k DE k k ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==+⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以2222114(1)4(1)84()8416AB DE k k k k +=+++=++≥+⨯=，当且仅当1k =±时等号成立．故16．关键点点睛：本题考查直线与抛物线相交弦长问题，解题方法是设而不求思想方法，即设出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得得1212,x x x x +，然后由弦长公式12d x =-求得弦长．四、双空题16．设(){}{}()()*1212,,,,0,1,1,2,,N ,2,,,,n n i n n S aa a a a a i n n n a a a a S ==∈=∈≥=∈ ∣，定义a 的差分运算为()()213211,,,n n n D a a a a a a a S --=---∈ .用()m D a 表示对a 进行()*N ,m m m n ∈≤次差分运算，显然，()mDa 是一个()n m -维数组.称满足()()0,0,,0m D a = 的最小正整数m 的值为a 的深度.若这样的正整数m 不存在，则称a 的深度为n .（1）已知()80,1,1,1,0,1,1,1a S =∈，则a 的深度为__________.（2）n S 中深度为()*N ,d d d n ∈≤的数组个数为__________.【正确答案】412d -【分析】利用新定义和集合的运算性质即可得出结论.【详解】空1：因()80,1,1,1,0,1,1,1a S =∈，则()()1,0,0,1,1,0,0D a =，()()21,0,1,0,1,0D a =，()()31,1,1,1,1D a =，()()40,0,0,0D a =.故4空2：易知m S 中仅有一组()0,0,0,,0 ，1m S +中深度1d =的数组仅1组()1,1,1,,1 ，2m S +中深度2d =的数组仅2组，3m S +中深度3d =的数组仅4组，,m k S +中深度d k =的数组仅12k -组，,所以n S 中深度为d 的数组仅有12d -组.关键点睛：本题考查新定义和集合运算的综合应用能力，属于高难度题，需要认真审题，抓住新定义的本质.五、解答题17．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，L .球数构成一个数列{}n a ，满足1,1n n a a n n -=+>且*n ∈N.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求证.121112na a a +++< 【正确答案】(1)()12n n n a +=(2)证明见解析【分析】（1）利用累加法求解即可；（2）利用裂项相消法求解即可.【详解】（1）（1）因为1,1n n a a n n -=+>，所以1,1n n a a n n --=>，所以当1n >时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+-+ ()()11212n n n n +=+-+++=，当1n =时，上式也成立，所以()12n n n a +=；（2）由()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以121111111112121222311n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.18．法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”.如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且210sin 7cos22B C A +⎛⎫=- ⎪⎝⎭.以,,AB BC AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1,23,O O O.(1)求角A ；(2)若1233,a O O O =ABC 的周长.【正确答案】(1)π3A =(2)3+【分析】（1）根据三角恒等变化可得22cos 5cos 30A A +-=，进而可得1cos 2A =，即可求解，（2）利用正弦定理得13,33AO c AO b ==，结合余弦定理即可联立方程求解.【详解】（1）210sin 7cos22B C A +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()()51cos 7cos2B C A -+=-，故()251cos 82cos A A +=-，所以22cos 5cos 30A A +-=，可得1cos 2A =（负值舍），由()0,πA ∈，所以π3A =.（2）如图，连接13,AO AO ，由正弦定理得12sin 60AB AO =，32sin 60ACAO ︒=,则13,AO AO ==，正123O O O 面积2221313131sin6072S O O O O O =⋅⋅==∴= ，而60BAC ∠= ，则13120O AO ∠=，在13O AO 中，由余弦定理得：222131313132cos O O AO AO AO AO O AO =+-⋅⋅∠，即221723332b c bc ⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪⎝⎭，则2221b c bc ++=，在ABC 中，60,3A a == ，由余弦定理得2222cos a b c bc BAC ∠=+-，则22229,6,15b c bc bc b c +-=∴=+=，b c ∴+=ABC 的周长为3+19．某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示，是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成，其中四边形ABCD 是边长为4的正方形，点G 是半圆弧CD 上的动点，且,,,C E D G 四点共面.(1)若点G 为半圆弧CD 的中点，求证：平面BFD ⊥平面BCG ；(2)是否存在G 点，使得直线CF 与平面BCG 所成的角是π3若存在，确定G 点位置；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)证明见解析(2)不存在，理由见解析【分析】（1）连接EC ，证明BF CG ⊥，从而可证得BF ⊥平面BCG ，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）以A 为原点，,,AF AB AD方向为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系，设π,0,2GCD θθ⎡⎫∠=∈⎪⎢⎣⎭，利用向量法求解即可.【详解】（1）连接EC，如图所示：若点G 为半圆弧CD 的中点，则45ECD GCD ︒∠=∠=，所以90ECG ∠=︒，即EC CG ⊥，因为//BF EC ，所以BF CG ⊥，又,,,BF BC BC CG C BC CG ⊥⋂=⊂面BCG ，所以BF ⊥平面,BCG BF ⊂平面BFD ，则平面BFD ⊥平面BCG ；（2）假设存在点G ，使得直线CF 与平面BCG 所成的角为60︒，以A 为原点，,,AF AB AD方向为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则()()()4,0,0,0,4,0,0,4,4F B C ，设π,0,2GCD θθ⎡⎫∠=∈⎪⎢⎣⎭，则()24sin cos ,44cos ,4G θθθ--，所以()()()24,4,4,0,0,4,4sin cos ,4cos ,4CF BC BG =--==-- θθθ，设平面BCG 的法向量为(),,m x y z =，由0m BC m BG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2404sin cos 4cos 40z x y z θθθ=⎧⎨--+=⎩，令sin y θ=，则cos ,0x z =-=θ，即()cos ,sin ,0m θθ=-，则cos,CF m===，整理得5sin24θ=，与[]sin20,1θ∈矛盾，所以不存在，20．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F A为双曲线C的右支上一点，点A 关于原点O的对称点为B，满足1260F AF∠=︒，且222BF AF=.(1)求双曲线C的离心率；(2)若双曲线C过点)，过圆222:O x y b+=上一点()00,T x y作圆O的切线l，直线l交双曲线C 于,P Q两点，且OPQ△的面积为l的方程.【正确答案】(2)2y x=±±或2y x=±【分析】（1）根据题意，由双曲线的定义结合余弦定理列出方程，即可得到结果；（2）根据题意，分直线l的斜率不存在与存在讨论，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理即可得到结果.【详解】（1）由对称性可知：21BF AF=，故122AF AF=，由双曲线定义可知：122AF AF a-=，即22222AF AF AF a-==，所以14AF a=，又因为122F F c=，在12AF F△中，由余弦定理得：222121212121cos22F A F A F FF AFF A F A∠+-==⋅，即22222216442041242162a a c a ca a a+--==⨯⨯，解得：c=，故离心率为ca=（2）因为双曲线过点)，所以双曲线方程：2212y x -=当直线l的斜率不存在时，则12,2,2,44PQ F F OP OQ OP OQ ⊥===≠∴直线l 的斜率不存在时不成立.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()()1122,,,y kx m P x y Q x y =+又点O 到直线l距离()2221d m m k ==∴==+，联立22220y kx m x y =+⎧⎨--=⎩，消去y 得()(2222220k x kmx m k ----=≠，则12221222222km x x k m x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩，由OPQ △的面积为PQ =∴=PQ =将()2221m k =+代入上式得PQ =2214k m ⎧=∴⎨=⎩或22410k m ⎧=⎨=⎩，即12k m =±⎧⎨=±⎩或2k m =±⎧⎪⎨=⎪⎩，经检验，满足0∆>，∴直线l 的方程为：2yx =±±或2y x =±关键点睛：本题主要考查了双曲线的性质，以及直线与双曲线相交问题，难度较难，解答本题的关键在于联立直线与双曲线方程表示出PQ ，结合面积公式列出方程.21．已知函数()()ln ln f x px m p x =--，其中,0p m >.(1)若4x =时，()f x 有极值ln2-，求,p m 的值；(2)设1m p ≤-，讨论()f x 的零点个数.【正确答案】(1)32p =，2m =(2)答案见解析【分析】（1）根据题意，求导得()f x '，然后由条件列出方程，即可得到结果.（2）方法一：根据题意，分1m p =-与1m p <-，结合零点存在定理，分情况讨论即可；方法二：根据题意，将函数零点转化为方程的根，再由导数研究其单调性与极值，即可得到结果.【详解】（1）()()()1p p x m f x x px m '⎡⎤-+⎣⎦=-.由题意得()40f '=且()4ln2f =-，即()()410,ln 4ln4ln2p m p m p -+=--=-，联立解得32p =，2m =.经检验，符合题意.（2）方法一：()f x 定义域是,m p ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由条件知，1p >.当,1m m x p p ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时，()()0,f x f x '>单调递增；当,1m x p ∞⎛⎫∈+ ⎪-⎝⎭时，()()0,f x f x '<单调递减.故01m x p =-是()f x 的极大值点，且极大值为()()01ln 1mf x p p =--.当1m p =-时，()00f x =，此时()f x 有一个零点.当1m p <-时，()00f x >.记111p p p pm m p m --=+，则101m <<.取11m x p m =-，则11m m x p p <<-，()111ln ln ln 0p p pp p p m mp m p f x p p p p p p m +-+=-=<+，根据零点存在定理，当,1m m x p p ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时，存在一个零点.取112p x p -=，则()()()222222,ln ln ln ln ln101mx f x px m p x px p x p >=--<-==-.由零点存在定理可知，当,1m x p ∞⎛⎫∈+⎪-⎝⎭时，存在一个零点，此时()f x 有两个零点.综上所述，当1m p =-时，()f x 只有一个零点；当1m p <-时，()f x 有两个零点.方法二：由题意，函数()f x 的零点即方程()0f x =的根，即方程()ln ln ppx m x -=的根，即p m px x =-的根，记(),,pm g x px x x p ∞⎛⎫=-∈+ ⎪⎝⎭，：由()()1110p p g x p px p x --'=-=-=，得到1m x p=>，当,1m x p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '>单调递增，()1,x ∈+∞时，()()0,g x g x '<单调递减，又pm m g m m p p ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1p >，当x 趋向正无穷时，()pg x px x =-趋向负无穷，且()g x 的最大值为()11g p =-，综上所述，当1m p =-时，()f x 只有一个零点；当1m p <-时，()f x 有两个零点.方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性，极（最）值问题处理.22．在一个典型的数字通信系统中，由信源发出携带着一定信息量的消息，转换成适合在信道中传输的信号，通过信道传送到接收端.有干扰无记忆信道是实际应用中常见的信道，信道中存在干扰，从而造成传输的信息失真.在有干扰无记忆信道中，信道输入和输出是两个取值12,,,n x x x 的随机变量，分别记作X 和Y .条件概率(),,1,2,,j i P Y x X x i j n === ∣，描述了输入信号和输出信号之间统计依赖关系，反映了信道的统计特性.随机变量X 的平均信息量定义为.()()21()log ni i i H X p X x p X x ==-==∑当2n =时，信道疑义度定义为()()22211(),log i j j i i j H Y X p X x Y x pY x X x ===-====∑∑∣∣()()11211,log P X x Y x p Y x X x ⎡=-====⎣∣()()21212,log P X x Y x p Y x X x +====∣()()12221,log P X x Y x p Y x X x +====∣()()22222,log P X x Y x p Y x X x ⎤+====⎦∣(1)设有一非均匀的骰子，若其任一面出现的概率与该面上的点数成正比，试求扔一次骰子向上的面出现的点数X 的平均信息量()222log 3 1.59,log 5 2.32,log 7 2.81≈≈≈；(2)设某信道的输入变量X 与输出变量Y 均取值0，1.满足.()()()0,1001(01,01)P X p Y X p Y X p p ωω========<<<<∣∣试回答以下问题：①求()0P Y =的值；②求该信道的信道疑义度()H YX ∣的最大值.【正确答案】(1)2.40(2)①()0P Y =()()11p p ωω=-+-；②1【分析】（1）充分理解题意，利用随机变量X 的平均信息量定义解决本小题；（2）由全概率和条件概率公式解决本小题.【详解】（1）设X 表示扔一非均匀股子点数，则X123456P121221321421521621扔一次平均得到的信息量为()()621()log i i i H X p X x p X x ==-==∑62121log 21i i i==∑62211log 21log 21i i i==-∑2224516log 7log 3log 572121=+--2.40≈.（2）①由全概率公式，得()()()()()0000101p Y p X P Y X p X P Y X =====+===∣∣()()11p pωω=-+-②由题意，()()00111p Y X p Y X p ======-∣∣.所以，()H Y X ∣()()11211,log P X x Y x p Y x X x ⎡=-====⎣∣()()21212,log P X x Y x p Y x X x +====∣()()12221,log P X x Y x p Y x X x +====∣()()22222,log P X x Y x p Y x X x ⎤+====⎦∣()()()111211log P X x p Y x X x p Y x X x ⎡=-=====⎣∣∣()()()121221log p X x p Y x X x p Y x X x +=====∣∣()()()212212log p X x p Y x X x p Y x X x +=====∣∣()()()222222log p X x p Y x X x p Y x X x +=====∣∣()()()()()()22221log 1log 1log 11log 1p p p p p p p p ωωωω⎡⎤=---++-+---⎣⎦()()22log 1log 1p p p p =----;其中120,1x x ==.令()()()22log 1log 1f p p p p p =----()()()()2211log log 11ln21ln2f p p p p p p p ⎡⎤⎡⎤-=-+---+-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦'()2221log log 1log pp p p-=-+-=.()110,,0,22f p p x ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭'时1()0,,12f p x '⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '<,max 1()12f p f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.。

历年（2014-2023）全国高考数学真题分项（不等式选讲）好题汇编题型一：含绝对值不等式的解法1．(2021年高考全国乙卷理科·第23题)已知函数()3f x x a x =-++．(1)当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集; (2)若()f x a >-，求a 的取值范围．2．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第23题)已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+．(1)当2a =时，求不等式()4f x …的解集；(2)若()4f x …，求a 的取值范围．3．(2020江苏高考·第23题)设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤． 4．(2019·全国Ⅱ·理·第23题)已知函数()()2f x x a x x x a =-+--．()1当1a =时，求不等式()0f x <的解集；()2当(),1x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．5．(2019·江苏·第23题)设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.6．(2015高考数学新课标1理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数()12,0f x x x a a =+-->． (Ⅰ)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(Ⅱ)若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围7．(2015高考数学江苏文理·第24题)解不等式|23|2x x ++≥8．(2014高考数学课标2理科·第24题)(本小题满分10)选修4-5：不等式选讲．设函数()f x =1(0)x x a a a++->(Ⅰ)证明：()f x ≥2；(Ⅱ)若()35f <，求a 的取值范围．9．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第23题)[选修4—5:不等式选讲]已知函数,．()24f x x ax =-++()11g x x x =++-(1)当时,求不等式的解集;(2)若不等式的解集包含,求的取值范围10．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数． (1)求不等式的解集；(2)若不等式的解集非空，求的取值范围．11．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第24题)选修4—5:不等式选讲已知函数()2f x x a a =-+.(Ⅰ)当2a =时,求不等式()6f x ≤的解集;(Ⅱ)设函数()21g x x =-,当R x ∈时,()()3f x g x +≥,求a 的取值范围.题型二：不等式的最值1．(2018年高考数学江苏卷·第24题)[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值． 2．(2014高考数学课标1理科·第24题)选修4—5:不等式选讲若,且． (1)求的最小值;(2)是否存在,使得?并说明理由．3．(2015高考数学陕西理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<． (Ⅰ)求实数a ，b 的值；的最大值．4．(2015高考数学福建理科·第23题)选修4-5：不等式选讲已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为4．(Ⅰ)求a b c ++的值； (Ⅱ)求2221149a b c ++的最小值． 题型三：含绝对值不等式的成立问题1．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第23题)[选修4－5：不等式选讲](10分)1a =()()f x g x ≥()()f x g x ≥[]1,1-a ()12f x x x =+--()1f x ≥()2f x x x m ≥-+m 0,0a b >>11a b+=33a b +,a b 236a b +=设函数()5|||2|f x x a x =-+--． (1)当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； (2)若()1f x ≤，求a 的取值范围．2．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第23题)[选修4–5：不等式选讲](10分)已知()|1||1|f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．题型四：含绝对值函数的图像及其应用1．(2023年全国甲卷理科·第23题)设0a >，函数()2f x x a a =--．(1)求不等式()f x x <的解集；(2)若曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积为2，求a ．2．(2023年全国乙卷理科·第23题)已知()22f x x x =+-．(1)求不等式()6f x x ≤-的解集； (2)在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x yx y ≤⎧⎨+-≤⎩所确定的平面区域的面积．3．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第23题)已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．(1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集．4．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数(x)123f x x =+--． (I )画出(x)y f =的图像；(II )求不等式(x)1f ൐的解集．(I )见解析 (II )()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，5．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第23题)【选修4—5：不等式选讲】(10分)设函数()211f x x x =++-． (1)画出()y f x =的图象；(2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值．题型五：不等式证明1．(2017年高考数学江苏文理科·第24题)[选修4-5:不等式选讲]已知为实数,且证明2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第23题)已知a ，b ，c 均为正数，且22243a b c ++=，证明：(1)23a b c ++≤； (2)若2b c =，则113a c+≥． 3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第23题)设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．(1)证明：ab +bc +ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c．,,,a b c d 22224,16,a b c d +=+=8.ac bd +≤4．(2019·全国Ⅲ·理·第23题)设,,x y z R ∈，且1x y z ++=．(1)求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；(2)若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a -≤或1a -≥． 5．(2019·全国Ⅰ·理·第23题)已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =．证明：(1)222111a b c a b c++++≤； (2)333()()()24a b b c c a +++++≥．6．(2014高考数学辽宁理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N ． (1)求M ；(2)当x M N ∈ 时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤． 7．(2014高考数学江苏·第24题)【选修4 - 5：不等式选讲】已知0,0x y >>，证明：22(1)(1)9x y x y xy ++++≥．8．(2014高考数学福建理科·第23题)(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲已知定义在R 上的函数21)(+++=x x x f 的最小值为a ． (I )求a 的值；(II )若r q p ,,为正实数，且a r q p =++，求证：3222≥++r q p ．9．(2015高考数学新课标2理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：(Ⅰ)若ab cd >>+>是a b c d -<-的充要条件．10．(2015高考数学湖南理科·第18题)设0,0a b >>，且11a b a b+=+．证明: (1)2a b +≥；(2)22a a +<与22b b +<不可能同时成立．11．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题)[选修4-5：不等式选讲](10分)已知，证明：(1)；(2)．12．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集． (I )求M ；(II )证明：当,a b M ∈时，1a b ab +<+．330,0,2a b a b >>+=33()()4a b a b ++≥2a b +≤13．(2016高考数学江苏文理科·第24题)[选修4-5：不等式选讲]设0a >，13a x -<，23ay -<，求证：24x y a +-<．参考答案题型一：含绝对值不等式的解法1．(2021年高考全国乙卷理科·第23题)已知函数()3f x x a x =-++．(1)当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集; (2)若()f x a >-，求a 的取值范围． 【答案】(1)(][),42,-∞-+∞ ．(2)3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． 答案解析：(1)当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和， 则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，故4x ≤-或2x ≥， 所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞ ．(2)依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<， 解得32a >-． 所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．2．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第23题)已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+．(1)当2a =时，求不等式()4f x …的解集；(2)若()4f x …，求a 的取值范围．【答案】(1)32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；(2)(][),13,-∞-+∞ ．答案解析：(1)当2a =时，()43f x x x =-+-． 当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤； 当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解； 当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭． (2)()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =-+-+≥---+=-+-=-(当且仅当221a x a -≤≤时取等号)，()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ ．【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型． 3．(2020江苏高考·第23题)设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【答案】22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案解析】1224x x x <-⎧⎨---≤⎩ 或10224x x x -≤≤⎧⎨+-≤⎩或0224x x x >⎧⎨++≤⎩21x ∴-≤<-或10x -≤≤或203x <≤,所以解集为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4．(2019·全国Ⅱ·理·第23题)已知函数()()2f x x a x x x a =-+--．()1当1a =时，求不等式()0f x <的解集；()2当(),1x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围． 【答案】()1(),1-∞；()2[)1,+∞【官方答案解析】()1当1a =时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---.当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥. 所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞.()2因为()=0f a ，所以1a ≥.当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x ----- 所以，a 的取值范围是[1,)+∞.【分析】()1根据1a =，将原不等式化为()1210x x x x -+--<，分别讨论1x <，12x <≤，2x ≥三种情况，即可求出结果；()2分别讨论1a ≥和1a <两种情况，即可得出结果.【答案解析】()1当1a =时，原不等式可化为()1210x x x x -+--<；当1x <时，原不等式可化，即()210x ->，显然成立， 此时解集为(),1-∞；当12x <≤时，原不等式可化为()()()1210x x x x -+--<，解得1x <，此时解集为空集； 当2x ≥时，原不等式可化为()()()1210x x x x -+--<，即()210x -<，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为(),1-∞；()2当1a ≥时，因为(),1x ∈-∞，所以由()0f x <可得()()()20a x x x x a -+--<，即()()10x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意；当1a <时，()()()2,1()21,x a a x f x x a x x a -<⎧⎪=⎨--<⎪⎩≤，因1a x <≤时， ()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意；综上，a 的取值范围是[)1,+∞.【点评】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.5．(2019·江苏·第23题)设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.【答案】见答案解析【答案解析】当0x <时，原不等式可化为122x x -+->，解得13x <-；当12x 0≤≤时，原不等式可化为122x x +->，即1x <-，无解；当12x >时，原不等式可化为212x x +->，解得1x >. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.6．(2015高考数学新课标1理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数()12,0f x x x a a =+-->．为为(Ⅰ)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(Ⅱ)若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围 【答案】(Ⅰ)2{|2}3x x <<(Ⅱ)(2，+∞) 分析：(Ⅰ)利用零点分析法将不等式f (x )>1化为一元一次不等式组来解；(Ⅱ)将()f x 化为分段函数，求出()f x 与x 轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a 的不等式，即可解出a 的取值范围．答案解析：(Ⅰ)当a =1时，不等式f (x )>1化为|x +1|-2|x -1|＞1，等价于11221x x x ≤-⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<， 所以不等式f (x )>1的解集为2{|2}3x x <<．(Ⅱ)由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3a +． 由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >． 所以a 的取值范围为(2，+∞)．7．(2015高考数学江苏文理·第24题)解不等式|23|2x x ++≥【答案】153x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或分析：根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集，分别求解即可答案解析：原不等式可化为3232x x ⎧<-⎪⎨⎪--≥⎩或32332x x ⎧≥-⎪⎨⎪+≥⎩．解得5x ≤-或13x ≥-．综上，原不等式的解集是153x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或．8．(2014高考数学课标2理科·第24题)(本小题满分10)选修4-5：不等式选讲．设函数()f x =1(0)x x a a a++->(Ⅰ)证明：()f x ≥2；(Ⅱ)若()35f <，求a 的取值范围．【答案】答案解析：(Ⅰ)11112x x a x a x x a x a a a a a++-=++-≥++-=+≥，仅当1a =时等号成立，所以()f x ≥2．(Ⅱ)()3f =1133335a a a a++-=-++<当03a <<时，()3f =165a a -+<，解得12a +>当3a ≥时，()3f =15a a +<，解得52a +>综上所述，a的取值范围为15(,22++．9．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第23题)[选修4—5:不等式选讲]已知函数,．(1)当时,求不等式的解集;(2)若不等式的解集包含,求的取值范围【答案】(1);(2)．【分析】(1)将代入,不等式等价于,对按,,讨论,得出最值的解集;(2)当时,．若的解集包含,等价于当时,,则在的最小值必为与之一,所以且,得,所以的取值范围为．【答案解析】(1)当时,不等式等价于①当时,①式化为,无解;当时,①式化为,从而;当时,①式化为,从而 所以不等式的解集为(2)当时,所以的解集包含,等价于当时,又在的最小值必为与之一,所以,得． 所以的取值范围为．10．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第23题)[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数．()24f x x ax =-++()11g x x x =++-1a =()()f x g x ≥()()f x g x ≥[]1,1-a 112x x ⎧-+⎪-≤≤⎨⎪⎪⎩⎭[]1,1-1a =()()f x g x ≥2|1||1|40x x x x -+++--≤x 1x <-11x -≤≤1x >[1,1]x ∈-()2g x =()()f x g x ≥[1,1]-[]1,1x ∈-()2f x ≥()f x []1,1-()1f -()1f ()12f -≥()12f ≥11a -≤≤a []1,1-1a =()()f x g x ≥21140x x x x -+++--<1x <-2340x x --≤11x -≤≤220x x --≤11x -≤≤1x >240x x +-≤112x -<≤()()f x g x≥112xx ⎧-+⎪-≤≤⎨⎪⎪⎩⎭[]1,1x ∈-()2g x =()()f x g x ≥[]1,1-[]1,1x ∈-()2f x ≥()f x []1,1-()1f -()1f ()()1212f f -≥⎧⎪⎨≥⎪⎩11a -≤≤a []1,1-()12f x x x =+--(1)求不等式的解集；(2)若不等式的解集非空，求的取值范围．【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)【答案解析】(1)因为所以不等式等价于或或由无解；由；由 综上可得不等式的解集为．(2)解法一：先求不等式的解集为空集时的取值范围不等式的解集为空集等价于不等式恒成立记，则当时， 当时，当时， 所以 所以不等式的解集为空集时， 所以不等式的解集非空时，的取值范围为．解法二：原式等价于存在，使成立，即设()1f x ≥()2f x x x m ≥-+m {}1x x ≥5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦()3, 11221, 123, 2x f x x x x x x -<-⎧⎪=+--=-≤≤⎨⎪>⎩()1f x ≥131x <-⎧⎨-≥⎩12211x x -≤≤⎧⎨-≥⎩231x >⎧⎨≥⎩131x <-⎧⎨-≥⎩⇒x 1222x x -≤≤⎧⎨≥⎩12x ⇒≤≤231x >⎧⎨≥⎩2x ⇒≥()1f x ≥[)1,+∞()2f x x x m ≥-+m ()2f x x x m ≥-+()2m f x x x >-+()()2F x f x x x =-+2223, 131, 123, 2x x x x x x x x x ⎧-+-<-⎪-+-≤≤⎨⎪-++>⎩()max m F x >⎡⎤⎣⎦1x <-()()2211131524F x x x x F ⎛⎫=-+-=---<-=- ⎪⎝⎭12x -≤≤()223535312424F x x x x F ⎛⎫⎛⎫=-+-=--+≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2x >()()2211332124F x x x x F ⎛⎫=-++=--+<= ⎪⎝⎭()max 3524F x F ⎛⎫==⎡⎤⎪⎣⎦⎝⎭()2f x x x m ≥-+54m >()2f x x x m ≥-+m 5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦x R ∈2()f x x x m -+≥2max [()]f x x x m -+≥2()()g x f x x x =-+由(1)知当时，，其开口向下，对称轴 所以当时，，其开口向下，对称轴为 所以 当时，，其开口向下，对称轴为 所以 综上 所以的取值范围为．11．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第24题)选修4—5:不等式选讲已知函数()2f x x a a =-+.(Ⅰ)当2a =时,求不等式()6f x ≤的解集;(Ⅱ)设函数()21g x x =-,当R x ∈时,()()3f x g x +≥,求a 的取值范围. 【答案】(Ⅰ){}13x x -≤≤;(Ⅱ)[)2,+∞.【答案解析】(Ⅰ)当2a =时,()222f x x =-+.解不等式2226x -+≤,得13x -≤≤.因此,()6f x ≤的解集为{}13x x -≤≤. (Ⅱ)当R x ∈时,()()2122121f x g x x a a x x a x a a a +=-++--+-+=-+≥ 当12x =时等号成立. 所以当R x ∈时,()()3f x g x +≥等价于13a a -+≥.① 当1a ≤时,①等价于13a a -+≥,无解. 当1a >时,①等价于13a a -+≥,解得2a ≥2223,1()31,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--<<⎨⎪-++≥⎩1x ≤-2()3g x x x =-+-112x =>-()()11135g x g ≤-=---=-12x -<<()231g x x x =-+-32x =()399512424g x g ⎛⎫≤=-+-= ⎪⎝⎭2x ≥()23g x x x =-++12x =()()24231g x g ≤=-++=()max 54g x =⎡⎤⎣⎦m 5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦所以的取值范围是[)2,+∞.题型二：不等式的最值1．(2018年高考数学江苏卷·第24题)[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值． 【答案】4证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++． 因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥， 当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，，所以222x y z ++的最小值为4．2．(2014高考数学课标1理科·第24题)选修4—5:不等式选讲若,且． (1)求的最小值;(2)是否存在,使得?并说明理由． 【答案】答案解析:(1,得,且当时等号成立,故,且当∴的最小值为．(2)由,得,又由(1)知,二者矛盾, 所以不存在,使得成立．3．(2015高考数学陕西理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<． (Ⅰ)求实数a ，b 的值；的最大值．【答案】(Ⅰ)3a =-，1b =；(Ⅱ)4．分析：(Ⅰ)先由x a b +<可得b a x b a --<<-，再利用关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<可得a ，b +变形为，再利用柯西不等式的最大值．答案解析：(Ⅰ)由||x a b +<，得b a x b a --<<- 则2,4,b a b a --=⎧⎨-=⎩解得3a =-,1b =0,0a b >>11a b+=33a b +,a b 236a b +=11a b =+?2ab ³a b ==33a b +?a b =33a b +623a b =+?32ab £2ab ³,a b 236a b +==≤4==1=，即1t=时等号成立，故max4=．4．(2015高考数学福建理科·第23题)选修4-5：不等式选讲已知0,0,0a b c>>>，函数()||||f x x a x b c=++-+的最小值为4．(Ⅰ)求a b c++的值；(Ⅱ)求2221149a b c++的最小值．【答案】(Ⅰ)4；(Ⅱ)87．答案解析：(Ⅰ)因为(x)|x||x||(x)(x)||a|f a b c a b c b c=++++?-++=++，当且仅当a x b-＃时，等号成立，又0,0a b>>，所以|a b|a b+=+,所以(x)f的最小值为a b c++, 所以a b c4++=．(Ⅱ)由(1)知a b c4++=，由柯西不等式得()()22222114912+3+1164923a ba b c c a b c⎛⎫⎛⎫++++≥⨯⨯⨯=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即222118497a b c++?．当且仅当1132231ba c==,即8182,,777a b c===时，等号成立所以2221149a b c++的最小值为87．题型三：含绝对值不等式的成立问题1．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第23题)[选修4－5：不等式选讲](10分)设函数()5|||2|f x x a x=-+--．(1)当1a=时，求不等式()0f x≥的解集；(2)若()1f x≤，求a的取值范围．【答案】答案解析：(1)当1a=时，24,1,()2,12,26, 2.x xf x xx x+-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤≤可得()0≥f x的解集为{}|23≤≤x x-．(2)()1f x≤等价于|||2|4≥x a x++-．而|||2||2|≥x a x a ++-+，且当2x =时等号成立，故()1f x ≤等价于|2|4≥a +． 由|2|4≥a +可得6≤a -或2≥a ，所以a 的取值范围是(][),62,-∞-+∞ ． 2．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第23题)[选修4–5：不等式选讲](10分)已知()|1||1|f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【答案】答案解析：(1)当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．(2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立． 若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥； 若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(0,2]．题型四：含绝对值函数的图像及其应用1．(2023年全国甲卷理科·第23题)设0a >，函数()2f x x a a =--．(1)求不等式()f x x <的解集；(2)若曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积为2，求a ． 【答案】(1),33a a ⎛⎫⎪⎝⎭(2)2答案解析：(1)若x a ≤,则()22f x a x a x =--<, 即3x a >,解得3a x >,即3ax a <≤, 若x a >,则()22f x x a a x =--<, 解得3x a <,即3a x a <<, 综上,不等式的解集为,33a a ⎛⎫⎪⎝⎭．(2)2,()23,x a x a f x x a x a -+≤⎧=⎨->⎩． 画出()f x 的草图,则()f x 与x 轴围成ABC ,ABC 的高为3,,0,,022a a a A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以||=AB a ,所以211||222ABC S AB a a =⋅== ,解得2a =．2．(2023年全国乙卷理科·第23题)已知()22f x x x =+-．(1)求不等式()6f x x ≤-的解集；(2)在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x yx y ≤⎧⎨+-≤⎩所确定的平面区域的面积． 【答案】(1)[2,2]-； (2)8．答案解析：(1)依题意，32,2()2,0232,0x x f x x x x x ->⎧⎪=+≤≤⎨⎪-+<⎩，不等式()6f x x ≤-化为：2326x x x >⎧⎨-≤-⎩或0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩或0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩， 解2326x x x >⎧⎨-≤-⎩，得无解；解0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩，得02x ≤≤，解0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩，得20x -≤<，因此22x -≤≤，所以原不等式的解集为：[2,2]-(2)作出不等式组()60f x yx y ≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域，如图中阴影ABC ，由326y x x y =-+⎧⎨+=⎩，解得(2,8)A -，由26y x x y =+⎧⎨+=⎩, 解得(2,4)C ，又(0,2),(0,6)B D ， 所以ABC 的面积11|||62||2(2)|822ABC C A S BD x x =⨯-=-⨯--= ． 3．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第23题)已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．(1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集． 【答案】(1)详解答案解析；(2)7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭． 【答案解析】(1)因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图象，如图所示：(2)将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由()3511x x --=+-，解得76x =-． 所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．4．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第24题)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数(x)123f x x =+--． (I )画出(x)y f =的图像； (II )求不等式(x)1f ൐的解集．【答案】 (I )见答案解析 (II )()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，【官方解答】(I )()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥ ，()y f x =如图所示：(II )由()f x 得表达式及图像，当()1f x =时，得1x =或3x =当()1f x =-时，得13x =或5x = 故()1f x ൐的解集为{}13x x <<；()1f x -൏的解集为153x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 ()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，，，．【民间解答】(I )如上图所示：(II )()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥()1f x >当1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <1x -∴≤ 当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x <113x -<<∴或312x << 当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x < 332x <∴≤或5x >综上，13x <或13x <<或5x > ()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，，，．5．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第23题)【选修4—5：不等式选讲】(10分)设函数()211f x x x =++-． (1)画出()y f x =的图象；(2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值．【答案】【官方答案解析】(1)()13,212,123,1x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示(2)由(1)知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[)0,+∞成立，因此a b +的最小值为5．【民间答案解析】(1)()211f x x x =++-3,112,12132x x x x x x ⎧⎪>⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩，可作出函数()f x 的图象如下图(2)依题意可知()f x ax b ≤+在[)1,+∞上恒成立，在[)0,1上也恒成立 当1x ≥时，()3f x x ax b =≤+恒成立即()30a x b -+≥在[)1,+∞上恒成立 所以30a -≥，且30a b -+≥，此时3a ≥，3a b +≥当01x ≤<时，()2f x x ax b =+≤+即()120a x b -+-≥恒成立 结合3a ≥，可知20b -≥即2b ≥综上可知32a b ≥⎧⎨≥⎩，所以当3a =，2b =时，a b +取得最小值5．题型五：不等式证明1．(2017年高考数学江苏文理科·第24题)[选修4-5:不等式选讲]已知为实数,且证明【答案】答案解析:证明:由柯西不等式得,直线的普通方程为．因为, ,所以, 因此2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第23题)已知a ，b ，c 均为正数，且22243a b c ++=，证明：(1)23a b c ++≤； (2)若2b c =，则113a c+≥． 【答案】(1)见答案解析 (2)见答案解析【答案解析】(1)证明：由柯西不等式有()()()222222221112a b c a b c ⎡⎤++++≥++⎣⎦， 所以23a b c ++≤，当且仅当21a b c ===时，取等号，所以23a b c ++≤； (2)证明：因为2b c =，0a >，0b >，0c >，由(1)得243a b c a c ++=+≤， 即043a c <+≤，所以1143a c ≥+， 由权方和不等式知()22212111293444a c a c a c a c++=+≥=≥++，当且仅当124a c =，即1a =，12c =时取等号， 所以113a c+≥ 3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第23题)设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．(1)证明：ab +bc +ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c． 【答案】(1)证明见答案解析(2)证明见答案解析．答案解析：(1)2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++= ，,,,a b c d 22224,16,a b c d +=+=8.ac bd +≤l 22222()()()ac bd a b c d +++≤224a b +=2216c d +=2()64ac bd +≤8.ac bd +≤()22212ab bc ca a b c ∴++=-++ 1,,,abc a b c =∴ 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； (2)不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--= ，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=．当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即max{,,}a b c ．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题．4．(2019·全国Ⅲ·理·第23题)设,,x y z R ∈，且1x y z ++=．(1)求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；(2)若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a -≤或1a -≥． 【答案】(1)43；(2)见详解． 【官方答案解析】(1)由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤-++++⎣⎦…故由已知得232(1)(1)143()x y z -++++≥，当且仅当511,,333x y z ==-=-时等号成立．所以232(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43． (2)由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-.222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤-+-+-⎣⎦…故由已知得2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-…，当且仅当4122,,333aa a x y z ---===时等号成立．因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +由题设知2(2)133a +…，解得3a -≤或1a -≥．【解法2】柯西不等式法(1)22222222[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4x y z x y z x y z -++++++-++++=+++=≥，故2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，当且仅当511,,333x y z ==-=-时等号成立．所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43． (2)2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥，所以222222[(2)(1)()](111)1x y z a -+-+-++≥．当且仅当4122,,333aa a x y z ---===时等号成立． 22222222[(2)(1)()](111)(21)(2)x y z a x y z a a -+-+-++=-+-+-=+成立．所以2(2)1a +≥成立，所以有3a -≤或1a -≥．【点评】本题两问思路一样，既可用基本不等式，也可用柯西不等式求解，属于中档题型．5．(2019·全国Ⅰ·理·第23题)已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =．证明：(1)222111a b c a b c++++≤； (2)333()()()24a b b c c a +++++≥．【答案】解：(1)因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +++≥≥≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++++==++≥．所以222111a b c a b c++++≤.(2)因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥3(+)(+)(+)a b b c a c =324⨯⨯⨯=≥所以333()()()24a b b c c a +++++≥．6．(2014高考数学辽宁理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N ． (1)求M ；(2)当x M N ∈ 时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤． 【答案】(1)[0，43]；(2)见答案解析． 答案解析：(1)由f (x )=2|x ﹣1|+x ﹣1≤1 可得1331x x ≥⎧⎨-≤⎩①，或111x x <⎧⎨-≤⎩②． 解①求得1≤x ≤43，解②求得 0≤x ＜1．综上，原不等式的解集为[0，43]．(2)由g (x )=16x 2﹣8x +1≤4，求得14-≤x ≤34，∴N =[14-，34]，∴M ∩N =[0，34]．∵当x ∈M ∩N 时，f (x )=1﹣x ，x 2f (x )+x [f (x )]2=xf (x )[x +f (x )]=21142x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤14，故要证的不等式成立．7．(2014高考数学江苏·第24题)【选修4 - 5：不等式选讲】已知0,0x y >>，证明：22(1)(1)9x y x y xy ++++≥． 【答案】[选修4—4：不等式证明选讲]． 答案解析：本小题主要考查本小题满分10分．证法一：因为0,0x y >>，所以210x y ++≥>，故22(1)(1)9x y x y xy ++++≥=．证法二：(柯西不等式)22222(1)(1)(1)(1)(x y x y x y y x y x ++++=++++≥+29xy ≥+=．证法三：因为0,0x y >>，所以212x y x y ++≥+，212y x y x ++≥+．故222(1)(1)(2)(2)2()99x y x y x y y x x y xy xy ++++≥++=-+≥． (江苏苏州 褚小光) 证法四：因为0,0x y >>，所以212x y x y ++≥+，212y x y x ++≥+． 故2222(1)(1)(2)(2)225459x y x y x y y x x y xy xy xy xy ++++≥++=++≥+=． 8．(2014高考数学福建理科·第23题)(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲已知定义在R 上的函数21)(+++=x x x f 的最小值为a ． (I )求a 的值；(II )若r q p ,,为正实数，且a r q p =++，求证：3222≥++r q p ．(II22222222111()()(111)()9.p p q r p q r q r ≥⨯+⨯+⨯=++++=++即2223q pr ++≥．9．(2015高考数学新课标2理科·第24题)(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：(Ⅰ)若ab cd >+>+>是a b c d -<-的充要条件．【答案】(Ⅰ)详见答案解析；(Ⅱ)详见答案解析．答案解析：(Ⅰ)因为2ab=++2cd=++由题设a b c d +=+，ab cd >，得22+>+>．(Ⅱ)(ⅰ)若a b c d -<-，则22()()a bc d -<-．即22()4()4ab abcd cd +-<+-．因为a bc d +=+，所以ab cd >>+>，则22>+，即a b ++>c d ++a b c d +=+，所以ab cd >，于是22()()4aba b ab -=+-2()4c d cd <+-2()c d =-．因此a b c d -<->a b c d -<-的充要条件．10．(2015高考数学湖南理科·第18题)设0,0a b >>，且11a b a b+=+．证明:(1)2a b +≥；(2)22a a +<与22b b +<不可能同时成立．【答案】(1)详见答案解析；(2)详见答案解析．分析：(1)将已知条件中的式子可等价变形为1=ab ，再由基本不等式即可得证；(2)利用反证法， 假设假设22<+a a 与22<+b b 同时成立，可求得10<<a ，10<<b ，从而与1=ab 矛盾，即可得证答案解析：由abba b a b a +=+=+11，0>a ，0>b ，得1=ab ，(1)由基本不等式及1=ab ，有22=≥+ab b a ，即2≥+b a ；(2)假设22<+a a 与22<+b b 同时成立，则由22<+a a 及0>a 得10<<a ，同理10<<b ，从而1<ab ，这与1=ab 矛盾，故22<+a a 与22<+b b 不可能成立．11．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第23题)[选修4-5：不等式选讲](10分)已知，证明：(1)；(2)．【答案】【命题意图】不等式证明，柯西不等式【基本解法】(1)解法一：由柯西不等式得：解法二：330,0,2a b a b >>+=33()()4a b a b ++≥2a b +≤55222222332()()))()4a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤++=+⋅+≥+=⎣⎦⎣⎦5566553325533()()()2a b a b a b ab a b a b ab a b a b++=+++=+++-33233332()2()4a b a b a b ≥++-=+=解法三：又，所以．当时，等号成立． 所以，，即．(2)解法一：由及得所以．解法二：(反证法)假设，则，两边同时立方得：，即，因为， 所以，即，矛盾，所以假设不成立，即．解法三：因为，所以：．又，所以: 。

集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·高考)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋φ)＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ，此时曲线y ＝sin(2x ＋φ)必过原点，但曲线y ＝sin(2x ＋φ)过原点时，φ可以取其他值，如φ＝0.因此“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．【答案】 A2．(2013·某某模拟)设a ＝log 0.32，b ＝log 0.33，c ＝20.3，d ＝0.32，则这四个数的大小关系是( )A ．a ＜b ＜c ＜dB ．b ＜a ＜d ＜cC ．b ＜a ＜c ＜dD ．d ＜c ＜a ＜b【解析】 由函数y ＝log 0.3x 是减函数知， log 0.33＜log 0.32＜0.又20.3＞1,0＜0.32＜1，所以b ＜a ＜d ＜c . 【答案】 B3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos 2x ，x ∈R B ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0 C ．y ＝e x －e －x2，x ∈RD ．y ＝x 3＋1，x ∈R【解析】 A 中，y ＝cos 2x 在(0，π2)上递减，A 不满足题意．C 中函数为奇函数，D 中函数非奇非偶．对于B ：y ＝log 2|x |(x ≠0)是偶函数，在(1,2)内是增函数． 【答案】 B4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1， x ＜2，log 3x 2－1，x ≥2，则不等式f (x )＜2的解集为( )A ．(10，＋∞)B ．(－∞，1)∪[2，10)C ．(1,2]∪(10，＋∞)D ．(1，10)【解析】 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，log 3x 2－1＜2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2，2e x －1＜2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，0＜x 2－1＜9，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2，x －1＜0，解得2≤x ＜10或x ＜1. 【答案】 B5．(2013·某某高考)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )【解析】 函数y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，则排除B ；当x ＝π2时，y ＝1＞0，排除C ；当x ＝π时，y ＝－π＜0，排除A ，故选D.【答案】 D6．(2013·某某高考)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121xd x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1【解析】 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪21＝13×23－13＝73，S 2＝⎠⎛121xd x ＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e xd x＝e x⎪⎪⎪21＝e 2－e ＝e(e －1)，ln 2<ln e ＝1，且73<2.5<e(e －1)，所以ln 2<73<e(e －1)，即S 2<S 1<S 3.【答案】 B7．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a <v <ab B ．v ＝abC.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2【解析】 设甲、乙两地之间的距离为s .∵a <b ，∴v ＝2ss a ＋s b＝2sab a ＋b s ＝2ab a ＋b <2ab2ab＝ab .又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a2a ＋b ＝0，∴v >a .【答案】 A8．(2012·某某高考)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图1所示，则下列结论中一定成立的是( )图1A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)【解析】 当x ＜－2时，y ＝(1－x )f ′(x )＞0，得f ′(x )＞0； 当－2＜x ＜1时，y ＝(1－x )f ′(x )＜0，得f ′(x )＜0； 当1＜x ＜2时，y ＝(1－x )f ′(x )＞0，得f ′(x )＜0； 当x ＞2时，y ＝(1－x )f ′(x )＜0，得f ′(x )＞0，∴f (x )在(－∞，－2)上是增函数，在(－2,1)上是减函数，在(1,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，∴函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)． 【答案】 D第Ⅱ卷二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上) 9．(2013·某某高考)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝________.【解析】 当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，∴f (1)＝12＋11＝2.∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2. 【答案】 －210．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为________．【解析】 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．又z ＝2x ＋3y ＋1可化为y ＝－23x ＋z 3－13，结合图形可知z ＝2x ＋3y ＋1在点A 处取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝0，x －y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，故A (3,1)．此时z ＝2×3＋3×1＋1＝10. 【答案】 1011．(2013·某某模拟)已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x 的零点个数为________．【解析】 当x >1时，ln x >0，sgn(ln x )＝1， ∴f (x )＝1－ln 2x ，令f (x )＝0，得x ＝e. 当x ＝1时，ln x ＝0，sgn(ln x )＝0， ∴f (x )＝－ln 2x ，令f (x )＝0，得x ＝1满足． 当0<x <1时，ln x <0，sgn(ln x )＝－1， ∴f (x )＝－1－ln 2x <0，f (x )＝0无解． ∴函数f (x )的零点为x ＝1与x ＝e. 【答案】 212．(2013·某某模拟)已知第一象限的点(a ，b )在直线2x ＋3y －1＝0上，则代数式2a ＋3b的最小值为________．【解析】 由题意知2a ＋3b ＝1，a ＞0，b ＞0，则2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b (2a ＋3b )＝4＋9＋6b a ＋6ab≥13＋26b a ·6a b ＝25，当且仅当a ＝b ＝15时取等号，即2a ＋3b 的最小值为25. 【答案】 2513．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1，若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. 【解析】 ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1， ∴f (－1)＋(－1)2＝－[f (1)＋12]，∴f (－1)＝－3. 因此g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. 【答案】 －114．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 21－x ，x ≤0，f x －1－f x －2，x ＞0，则f (2 013)＝________.【解析】 当x ＞0时，∵f (x )＝f (x －1)－f (x －2)， ∴f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)，∴f (x ＋1)＝－f (x －2)，即f (x ＋3)＝－f (x )， ∴f (x ＋6)＝f (x )，即当x ＞0时， 函数f (x )的周期是6.又∵f (2 013)＝f (335×6＋3)＝f (3)， 由已知得f (－1)＝log 22＝1，f (0)＝0，f (1)＝f (0)－f (－1)＝0－1＝－1， f (2)＝f (1)－f (0)＝－1－0＝－1， f (3)＝f (2)－f (1)＝－1－(－1)＝0，∴f (2 013)＝0. 【答案】 015．已知函数f (x )的导数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取得极大值，则a 的取值X 围是________．【解析】 若a ＝0，则f ′(x )＝0，函数f (x )不存在极值；若a ＝－1，则f ′(x )＝－(x ＋1)2≤0，函数f (x )不存在极值；若a ＞0，当x ∈(－1，a )时，f ′(x )＜0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值；若－1＜a ＜0，当x ∈(－1，a )时，f ′(x )＞0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极大值；若a ＜－1，当x ∈(－∞，a )时，f ′(x )＜0，当x ∈(a ，－1)时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，所以a ∈(－1,0)．【答案】 (－1,0)三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)＞0}，B ＝{y |y ＝12x2－x ＋52，0≤x ≤3}．(1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值X 围；(2)当a 取使不等式x 2＋1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(∁R A )∩B . 【解】 A ＝{y |y ＜a 或y ＞a 2＋1}，B ＝{y |2≤y ≤4}．(1)当A ∩B ＝∅时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1≥4，a ≤2，∴3≤a ≤2或a ≤－ 3.∴a 的取值X 围是(－∞，－3]∪[3，2]． (2)由x 2＋1≥ax ，得x 2－ax ＋1≥0，依题意Δ＝a 2－4≤0， ∴－2≤a ≤2. ∴a 的最小值为－2.当a ＝－2时，A ＝{y |y ＜－2或y ＞5}． ∴∁R A ＝{y |－2≤y ≤5}． ∴(∁R A )∩B ＝{y |2≤y ≤4}．17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x ＋k ·2－x，k ∈R . (1)若函数f (x )为奇函数，某某数k 的值；(2)若对任意的x ∈[0，＋∞)都有f (x )＞2－x成立，某某数k 的取值X 围． 【解】 (1)∵f (x )＝2x ＋k ·2－x是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，x ∈R ， 即2－x＋k ·2x ＝－(2x ＋k ·2－x)，∴(1＋k )＋(k ＋1)·22x＝0对一切x ∈R 恒成立， ∴k ＝－1.(2)∵x ∈[0，＋∞)，均有f (x )＞2－x， 即2x ＋k ·2－x ＞2－x成立， ∴1－k ＜22x对x ≥0恒成立， ∴1－k ＜(22x )min ，∵y ＝22x在[0，＋∞)上单调递增， ∴(22x)min ＝1， ∴k ＞0.∴实数k 的取值X 围是(0，＋∞)．18．(本小题满分12分)(2013·高考)设L 为曲线C ：y ＝ln xx在点(1,0)处的切线．(1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方． 【解】 (1)设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x2. 所以f ′(1)＝1，所以L 的方程为y ＝x －1.(2)证明：令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g (x )>0(∀x >0，x ≠1)．g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln x x 2.当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0，所以g ′(x )<0，故g (x )单调递减； 当x >1时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )单调递增． 所以，g (x )>g (1)＝0(∀x >0，x ≠1)．所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方． 19．(本小题满分13分)(2013·某某图2模拟)已知函数f (x )＝13ax 3＋(a －2)x ＋c 的图象如图2所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)若g (x )＝kf ′xx－2ln x 在其定义域内为增函数，某某数k 的取值X 围． 【解】 (1)∵f ′(x )＝ax 2＋a －2，由图可知函数f (x )的图象过点(0,3)，且f ′(1)＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，2a －2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，a ＝1.∴f (x )＝13x 3－x ＋3.(2)∵g (x )＝kf ′x x －2ln x ＝kx －kx－2ln x ， ∴g ′(x )＝k ＋k x 2－2x ＝kx 2＋k －2xx 2.∵函数y ＝g (x )的定义域为(0，＋∞)，∴若函数y ＝g (x )在其定义域内为单调增函数，则函数g ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，即kx 2＋k －2x ≥0在区间(0，＋∞)上恒成立．即k ≥2xx 2＋1在区间(0，＋∞)上恒成立． 令h (x )＝2xx 2＋1，x ∈(0，＋∞)， 则h (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤1(当且仅当x ＝1时取等号)． ∴k ≥1.∴实数k 的取值X 围是[1，＋∞)．20．(本小题满分13分)(2013·某某模拟)某幼儿园准备建一个转盘，转盘的外围是一个周长为k 米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算，转盘上的每个座位与支点相连的钢管的费用为3k 元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋128x ＋20x 25k 元．假设座位等距分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记转盘的总造价为y 元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； (2)当k ＝50米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？ 【解】 (1)设转盘上总共有n 个座位，则x ＝k n 即n ＝k x， y ＝3k 2x ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋128x ＋20x 25k 2x ，定义域⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ≤k 2，k x ∈Z. (2)y ＝f (x )＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5x＋128x ＋2025，y ′＝－125＋64x3225x 2k 2，令y ′＝0得x ＝2516. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2516时，f ′(x )＜0，即f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2516上单调递减， 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2516，25时，f ′(x )＞0，即f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2516，25上单调递增，y 的最小值在x ＝2516时取到，此时座位个数为502516＝32个．21．(本小题满分13分)(2013·某某模拟)已知函数f (x )＝13x 3－ax ＋1.(1)求x ＝1时，f (x )取得极值，求a 的值； (2)求f (x )在[0,1]上的最小值；(3)若对任意m ∈R ，直线y ＝－x ＋m 都不是曲线y ＝f (x )的切线，求a 的取值X 围． 【解】 (1)因为f ′(x )＝x 2－a ，当x ＝1时，f (x )取得极值，所以f ′(1)＝1－a ＝0，a ＝1. 又当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0， 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，即a ＝1符合题意． (2)当a ≤0时，f ′(x )＞0对x ∈(0,1)成立，所以f (x )在[0,1]上单调递增，f (x )在x ＝0处取最小值f (0)＝1， 当a ＞0时，令f ′(x )＝x 2－a ＝0，x 1＝－a ，x 2＝a ， 当0＜a ＜1时，a ＜1，x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， x ∈(a ，1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，所以f (x )在x ＝a 处取得最小值f (a )＝1－2a a3.当a ≥1时，a ≥1，x ∈[0,1]时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝43－a .综上所述，当a ≤0时，f (x )在x ＝0处取最小值f (0)＝1；当0＜a ＜1时，f (x )在x ＝a 处取得最小值f (a )＝1－2a a3；当a ≥1时，f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝43－a .(3)因为∀m ∈R ，直线y ＝－x ＋m 都不是曲线y ＝f (x )的切线， 所以f ′(x )＝x 2－a ≠－1对x ∈R 成立， 只要f ′(x )＝x 2－a 的最小值大于－1即可， 而f ′(x )＝x 2－a 的最小值为f (0)＝－a ， 所以－a ＞－1，即a ＜1.所以a 的取值X 围是(－∞，－1)．。

2023-2024学年安徽省高考数学仿真模拟试题卷（三模）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数0z ≠，则“1z =”是“1R z z +∈”的（）条件.A.充分不必要B.必要不充分C 充要 D.既不充分也不必要【正确答案】A【分析】当1z ==时，即221a b +=，12R z a z+=∈，充分性；取2z =，则15R 2z z +=∈，2z =，不必要，得到答案.【详解】设i z a b =+，,R a b ∈，当1z ==时，即221a b +=，2211i i i 2R i a b z a b a b a z a b a b-+=++=++=∈++，充分性；取2z =，则15R 2z z +=∈，2z =，不必要性.综上所述：“1z =”是“1R z z +∈”的充分不必要条件.故选：A2.若函数sin cos y a x b x =+（其中,a b R ∈，且,0a b >）可化为)y x ϕ=-，则ϕ应满足条件（）A.tan ba ϕ=B.cos ϕ=C.tan a bϕ=D.sin ϕ=【正确答案】C【分析】先逆用两角和的正弦公式进行化简，再结合诱导公式，得到22k πϕθπ-=+，进而求得tan a bϕ=.【详解】sin cos y a x b x=+x x ⎫=+⎪⎭)x θ=+，其中tan baθ=，函数sin cos y a x b x =+（其中,a b R ∈，且,0a b >）可化为)y x ϕ=-，∴()sin()cos x x θϕ+=-，即sin()sin 2x x πθϕ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，∴22k πϕθπ-=+()k Z ∈，∴()tan tan 22k πϕθπ⎛⎫-=+⎪⎝⎭，即cot tan ϕθ=，∴1tan tan a b ϕθ==，故选：C.本题考查了两角和的正弦公式以及诱导公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，需熟记公式，属于基础题.3.某种品牌手机的电池使用寿命X （单位：年）服从正态分布()()24,0N σσ>，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为（）A.0.9B.0.7C.0.3D.0.1【正确答案】D【分析】根据正态分布的对称性求解即可.【详解】由题得：()20.9P x ≥=，故()20.1P x <=，因为6242+=，所以根据对称性得.()()620.1P x P x ≥=<=故选：D.4.中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意为粮食满园、称心如意、十全十美．下图为一种婚庆升斗的规格，把该升斗看作一个正四棱台，忽略其壁厚，则该升斗的容积约为（）39.6,1L 1000cm ≈=，参考公式：(13V S S h 下上棱台=++⋅）A.1.5LB.2.4LC.5.0LD.7.1L【正确答案】B【分析】由勾股定理算出高h ，即可由公式求体积.【详解】由题意，正四棱台中，设棱台的高为h ，则22222202112239236711.591.752224h 骣骣琪琪琪=-=-==琪琪琪桫桫桫，故(223120112371.2cm 2.4L 3V 棱台=⨯+≈≈.故选：B5.已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A ，B 如图所示.其中()()()()12,6,4,8,n n A n B n A B Ω===⋃=则事件A 与事件B （）A.是互斥事件，不是独立事件B.不是互斥事件，是独立事件C.既是互斥事件，也是独立事件D.既不是互斥事件，也不是独立事件【正确答案】B【分析】由()4n A B = 可判断事件是否为互斥事件，由()()()P AB P A P B =可判断事件是否为独立事件.【详解】因为()12,()6,()4,()8n n A n B n A B Ω==== ，所以()2n A B = ，()4n A B = ，()8n B =，所以事件A 与事件B 不是互斥事件，所以()41123P AB ==，()()68112123P A P B =⨯=，所以()()()P AB P A P B =，所以事件A 与事件B 是独立事件.故选：B.6.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =--，且函数()1f x +是偶函数，当[]1,0x ∈-时，()21f x x =-，则20235f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.925B.1625C.3425D.4125【正确答案】C【分析】由函数(1)f x +是偶函数，可得函数()f x 的图像关于直线1x =对称，从而有()(2)f x f x -=+，再结合()2()f x f x =--可得函数()f x 的周期为4，然后利用周期和()2()f x f x =--将20235化到[]1,0-上即可求解.【详解】因为函数(1)f x +是偶函数，所以(1)(1)f x f x -=+，所以()(2)f x f x -=+，因为()2()f x f x =--，所以()(2)2f x f x ++=，所以(2)(4)2f x f x +++=，所以()(4)f x f x =+，所以函数()f x 的周期为4，所以33()(101204)()53525f f f =⨯+=，因为233334()2(21()55525f f ⎡⎤=--=---=⎢⎥⎣⎦，所以202334525f ⎛⎫=⎪⎝⎭.故选：C.7.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的两条弦AB CD ，相交于点P （点P 在第一象限），且AB x ⊥轴，CD y ⊥轴.若:::1:3:1:5PA PB PC PD =，则椭圆E 的离心率为（）A.5B.105C.5D.5【正确答案】B【分析】设(),,P m n PA t =，进而得,,,A B C D 的坐标，进而根据对称性得()()3,,2,2A t t C t t ，再代入椭圆方程整理得2235b a =，最后求解离心率即可.【详解】解：设(),,P m n PA t =，则()(),,,3A m n t B m n t +-，()(),,5,C m t n D m t n +-，由题知,A B 关于x 轴对称，,C D 关于y 轴对称，所以30n t n t ++-=，50m t m t ++-=，即n t =，2m t =，所以()()3,,2,2C t t A t t ，所以2222222291441t t a b t t a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即22229144a b a b +=+，所以2253a b=，即2235b a =，所以椭圆E的离心率为5e ===.故选：B8.已知0a b >>，1ab =，设2ab x =，2log ()y a b =+，1z a b=+，则log 2x x ，log 2y y ，log 2z z 的大小关系为（）A.log 2log 2log 2x y z x y z >>B.log 2log 2log 2y z x y z x >>C.log 2log 2log 2x z y x z y >>D.log 2log 2log 2y x z y x z>>【正确答案】B【分析】由已知0a b >>，1ab =，可得1=a b，且a ＞1＞b ＞0，不难判断x ，y ，z 的大小关系01x y z <<<<，再根据对数运算法则及对数函数性质可得大小关系.【详解】∵a ＞b ＞0，1ab =，∴可得1=a b ，且a ＞1＞b ＞0，∴11222a ab x a ==<⋅，222log ()log log 21y a b =+>==，122z a a a a b=+=+=>，又()()22log (1)z y a a b f a a -=-+=＞，()120f a a b'=-+＞，()f a 单调递增，()()212log (1)0f a f b =-+>＞，∴z y -＞0，∴01x y z <<<<，∵log 2=log 21x x x +，log 2log 21y y y =+，log 2=log 2+1z z z ，根据对数函数性质可得log 2log 2log 2x z y <<，∴log 2log 2log 2y z x y z x >>．故选B ．本题考查对数函数的性质及运算定律，涉及基本不等式和不等式性质的应用，属于综合题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在9x⎛+ ⎝的展开式中，下列结论正确的是（）A.第6项和第7项的二项式系数相等B.奇数项的二项式系数和为256C.常数项为84D.有理项有2项【正确答案】BC【分析】根据二项式展开式的特征，即可结合选项逐一求解.【详解】9x⎛⎝的展开式中共有10项，由二项式系数的性质可得展开式中的第5项和第6项的二项式系数相等，故A 错误；由已知可得二项式系数之和为92，且展开式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，所以奇数项的二项式系数和为82256=，故B 正确；展开式的通项为139922199C C ,09,N rr r r rr T x x x r r ---+⎛⎫==≤≤∈ ⎪⎝⎭，令3902r -=，解得6r =．故常数项为6399C C 84==，故C 正确；有理项中x 的指数为整数，故0r =，2，4，6，8，故有理项有5项，故D 错误．故选：BC10.下列说法正确的是（）A.若直线a 不平行于平面α，a α⊄，则α内不存在与a 平行的直线B.若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β，则αβ∥C.设l ，m ，n 为直线，m ，n 在平面α内，则“lα⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的充要条件D.若平面α⊥平面1α，平面β⊥平面1β，则平面α与平面β所成的二面角和平面1α与平面1β所成的二面角相等或互补【正确答案】AB【分析】对于选项ABC ，可根据线面平行的判定定理，面面平行的判定定理和线面垂直的判定定理进行判定；对于选项D ，可在长方体中寻找特殊平面进行排除.【详解】选项A ，若存在直线，则由直线和平面平行的判定定理知直线a 与平面α平行，与条件相矛盾，故选项A 正确；选项B ，由面面平行的判定定理可知选项B 正确；选项C ，当直线,m n 不相交时，由线面垂直的判定定理知：l m ⊥且l n ⊥时，得不到l α⊥，故选项C 错误；选项D ，当11//αβ，αβ⊥时，可满足题设条件，此时平面α与平面β所成的二面角为90︒,平面1α与平面1β所成的二面角为0︒，故选项D 错误.故选：AB11.定义在R 上的函数()()π2sin N 3f x x ωω*⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭满足在区间ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭内恰有两个零点和一个极值点，则下列说法不正确．．．的是（）A.()f x 的最小正周期为π2B.将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后关于原点对称C.()f x 图象的一个对称中心为π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()f x 在区间π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增【正确答案】ABC【分析】根据题意可求出ω的值，从而可得到()f x 的解析式，再根据解析式逐项分析即可．【详解】依题可知π23T T <<，于是36ω<<，于是πππ0263ππ3ππ632ωω⎧-≤-+<⎪⎪⎨⎪<+≤⎪⎩，∴45ω<≤，又N ω*∈，∴5ω=，∴()π2sin 53f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，由2π2π==5T ω，则()f x 的最小正周期为25π，故A 错误；对于B ，因为ππ4π4π2π2sin 52sin 52sin 52π2sin 533333x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后得()2π2sin 53g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()2π02sin 3g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()g x 不关于原点对称，故B 错误；对于C ，由π7π2sin 166f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭不是()f x 图象的一个对称中心，故C 错误；对于D ，由π,06x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则πππ5,323x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故D 正确．故选：ABC ．12.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)M -，(2,0)N ，动点P 满足||||5PM PN ⋅=，则下列结论正确的是（）A.点P 的横坐标的取值范围是⎡⎣B.OP 的取值范围是[]1,3C.PMN 面积的最大值为52D.PM PN +的取值范围是⎡⎤⎣⎦【正确答案】BC【分析】设出点P 的坐标，列出方程并化简整理，放缩解不等式判断A ；利用几何意义并结合求函数值域判断B ；利用三角形面积公式计算判断C ；取点计算判断D 作答.【详解】设点(,)P x y ，依题意，2222[(2)][(2)]25x y x y ++-+=，对于A ，2222222225[(2)][(2)](2)(2)(4)x y x y x x x =++-+≥+-=-，当且仅当0y =时取等号，解不等式22(4)25x -≤得：33x -≤≤，即点P 的横坐标的取值范围是[3,3]-，A 错误；对于B ，2222[(4)4][(4)4]25x y x x y x +++++-=，则224x y ++=显然209x ≤≤，因此||[1,3]OP ==，B 正确；对于C ，PMN 的面积115||||sin ||||222S PM PN MPN PM PN =∠≤=，当且仅当90MPN ∠= 时取等号，当90MPN ∠= 时，点P 在以线段MN 为直径的圆224x y +=上，由222244x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得39454x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，所以PMN 面积的最大值为52，C 正确；对于D ，因为点(3,0)在动点P 的轨迹上，当点P 为此点时，516PM PN +=+=，D 错误.故选：BC易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()()()()1,2,3,4,2,2,3,5A B C D --，则AB 在CD上的投影为______.【正确答案】2105【分析】先求AB ，CD，再求AB ，CD ，AB CD ⋅ ，利用向量夹角余弦公式求夹角，再由投影向量的模长公式求解.【详解】因为()()()()1,2,3,4,2,2,3,5A B C D --，所以()2,2AB =，()1,3CD =- ，所以AB ==，CD == ，264AB CD ⋅=-+= ，设向量AB 与CD 的夹角为θ，5cos 5|||AB CD AB CD θ⋅===，那么AB 在CD上的投影为5210cos 55AB θ==|故答案为.514.已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为20π的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为__________．【正确答案】10π【分析】先求出半径，根据条件列出圆柱底面半径和母线的关系，即可得到侧面积表达式，然后用基本不等式即可求解最大值.【详解】解：设球的半径为R ，圆柱的底面半径为r ，母线为l ，由题意可知，24π20πR R =⇒=，又圆柱的两个底面的圆周都在球面上，则满足22252l r R ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，而圆柱的侧面积2πS rl =，0l >，因为22222l l r r lr ⎛⎫+≥⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当2l r =，即102r =，l =时等号成立，所以5lr ≤，2π10πS rl =≤，故10π15.已知实数a b c d ,,,成等比数列，且函数()ln 2y x x =+-，当x b =时取到极大值c ，则ad 等于______.【正确答案】1-【分析】通过导函数，求出极值，再利用等比数列的性质，即可求解.【详解】令()()ln 2f x x x =+-，则函数()()ln 2f x x x =+-的定义域为()2,-+∞，导函数11()122x f x x x --'=-=++，当()2,1x ∈--时，()0f x '>，函数()f x 在()2,1--上单调递增，当()1,x ∈-+∞时，()0f x '<，函数()f x 在()1,-+∞上单调递减，所以当=1x -时，函数()ln 2y x x =+-取极大值，极大值为1，所以1,1b c =-=，故bc 1=-，又a b c d ,,,成等比数列，所以1ad bc ==-，故答案为.1-16.如图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻（上、下相邻或左、右相邻）的开关改变状态.若从这十六个开关中随机选两个不同的开关先后各按1次（例如：先按()1,1，再按()4,4），则()2,3和()4,1的最终状态都未发生改变的概率为______.()1,1()1,2()1,3()1,4()2,1()2,2()2,3()2,4()3,1()3,2()3,3()3,4()4,1()4,2()4,3()4,4【正确答案】41120【分析】根据开关阵列的性质，结合古典概型的概率公式进行求解即可.【详解】要使得()2,3的状态发生改变，则需要按()1,3，()2,2，()2,3，()2,4，()3,3这五个开关中的一个，要使得()4,1的状态发生改变，则需要按()3,1，()4,1，()4,2这三个开关中的一个，所以要使得()2,3和()4,1的最终状态都未发生改变，则需按其他八个开关中的两个或()1,3，()2,2，()2,3，()2,4，()3,3中的两个或()3,1，()4,1，()4,2中的两个，故所求概率为222853216A A A 41A 120++=.故41120关键点睛：根据开关阵列的判断出：要使得()2,3和()4,1的最终状态都未发生改变，则需按其他八个开关中的两个或()1,3，()2,2，()2,3，()2,4，()3,3中的两个或()3,1，()4,1，()4,2中的两个，是解题的关键.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知{}n a 为等差数列，且11a =，()6423a a a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：()*12na nb n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，{}n b 的前n 项和为n S ，求127128n S ≤成立的n 的最大值.【正确答案】（1）n a n =（2）7【分析】（1）代入公式求出公差即可求通项公式；（2）代入等比数列的前n 项和公式即可.【小问1详解】设数列{}n a 的公差为：d ，()6423a a a =-，11a =∴()111533a d a d a d +=+--，∴1d =.∴()1111n a a n d n n =+-=+-=，即n a n =.【小问2详解】()*12na nb n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，nan =，∴12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴数列{}n b 为等比数列，所以11112211212n n nS ⎛⎫- ⎪⎝⎭==--由127128nS ≤，即112712128n -≤，化简得：111282n ≤，解得17n ≤≤，()*n ∈N ，所以，要使127128nS ≤成立的n 的最大值为：7.18.已知函数()()sin 0,π2,0f x M x M ϕωϕω⎛⎫>>⎭<⎪⎝＝＋）的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若()2cos cos a c B b C -=，求2f A ⎛⎫ ⎪⎝⎭的取值范围.【正确答案】（1）()π26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）1,12⎛⎤⎥⎝⎦.【分析】（1）利用最大值和最小值，求出M ，通过函数的周期求出ω，由经过π,16⎛⎫⎪⎝⎭，求出φ，即可求出()f x 的解析式；（2）利用()2cos cos a c B b C －＝，结合正弦定理，求出cos B ，利用函数的解析式2f A ⎛⎫ ⎪⎝⎭的表达式，通过A 的范围求出函数的取值范围.【小问1详解】由图象知函数()f x 的最大值为1，最小值为1-，所以1M =由图象知函数()f x 的周期5ππ4π126T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以ω2=，将点π,16⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式得πsin φ13⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为πφ2<，所以πφ6=，所以()π26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】由()2cos cos a c B b C -=得：()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，所以()2sin cos sin A B B C =+，2sin cos sin A B A =，因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B =，π3B =，2π3A C +=，由（1）πsin 26A f A ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2π03A <<，ππ5π666A <+<，所以π1sin 62A ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以1,122A f ⎛⎫⎛⎤∈⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.所以2f A ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围为1,12⎛⎤⎥⎝⎦.19.如图，已知多面体EABCDF 的底面ABCD 是边长为2的正方形，EA ⊥底面ABCD ，//FD EA ，且112FD EA ==.（1）记线段BC 的中点为K ，在平面ABCD 内过点K 作一条直线与平面ECF 平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明；（2）求直线EB 与平面ECF 所成角的正弦值.【正确答案】（1）答案见解析（2）6【分析】（1）根据线面平行性质定理，可得所作直线必平行面ABCD 与面ECF 的交线，因此先作两平面交线，再在平面ABCD 内作交线的平行线.（2）建立空间直角坐标系，求直线EB 的方向向量和平面ECF 的法向量，利用向量夹角公式求直线EB 与平面ECF 所成角的正弦值.【小问1详解】延长,AD EF ，设其交点为N ，连接CN ，则CN 为平面ABCD 与平面ECF 的交线，取线段CD 的中点M ，连接KM ，直线KM 即为所求．证明如下：延长,AD EF ，设其交点为N ，连接CN ，则CN 为平面ABCD 与平面ECF 的交线，因为//FD EA ，所以FDA EAN ∽，又12FD EA =，所以12ND NA =，所以ND DA BC ==，又//ND BC ，所以四边形BCND 为平行四边形，所以//CN BD ，取CD 的中点M ，连接KM ，∵,K M 分别为,BC CD 的中点，∴//KM BD ，∴//KM CN ．∵CN ⊂平面EFC ，KM ⊄平面EFC ，∴//KM 平面EFC．【小问2详解】以点A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图.由已知可得()()()()()0,0,0,0,0,2,2,0,0,2,2,0,0,2,1A E B C F ，所以()()()2,2,2,2,0,2,0,2,1EC EB EF =-=-=-，设平面ECF 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0.n EC n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得020x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，取1y =得，1,2x z ==，平面ECF 的一个法向量(1,1,2)n =.设直线EB 与平面ECF 所成的角为θ，则3sin cos ,6E EB n E B B n nθ⋅====⋅.所以直线EB 与平面ECF所成角的正弦值为6.20.放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数i x 与该机场飞往A 地航班放行准点率i y （1210i =L ，，，）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.xyt1021ii x=∑101iii x y=∑1021ii t=∑101iii t y=∑2017.580.4 1.5.0.227.71226.8其中()ln 2012i i t x =-，101110i i t t ==∑（1）根据散点图判断，y bx a =+与()ln 2012y c x d =-+哪一个适宜作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x 的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A 地的航班放行准点率.（2）已知2023年该机场飞往A 地､B 地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A 地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B 地及其他地区（不包含A 、B 两地）航班放行准点率的估计值分别为80%和75%，试解决以下问题：（i ）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；（ii ）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A 地、B 地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由.附：（1）对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()112211ˆnni ii i i i n ni ii i u u vv u vnu v u u unu β====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆv u αβ=-参考数据：ln10 2.30≈，ln11 2.40≈，ln12 2.48≈.【正确答案】（1）()ln 2012y c x d =-+适宜，预测2023年该机场飞往A 地的航班放行准点率84%（2）（i ）0.778；（ii ）可判断该航班飞往其他地区的可能性最大，理由见解析【分析】（1）根据线性回归方程的计算公式，选择合适的模型计算即可；（2）利用全概率公式和条件概率公式，即可根据概率判断可能性最大的情况.【小问1详解】由散点图判断()ln 2012y c x d =-+适宜作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x 的经验回归方程类型.令()ln 2012t x =-，先建立y 关于t 的线性回归方程.由于101102212101226.8101.580.4ˆ427.7101.510i iii i t y t yctt =--=--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ804415744...dy ct =-=-⨯=，该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于t 的线性回归方程为ˆ4744.yt =+，因此y 关于年份数x 的回归方程为()ˆ4ln 201274.4yx =-+所以当2023x =时，该机场飞往A 地航班放行准点率y 的预报值为()ˆ4ln 202320127444ln11744424074484....y=-+=+≈⨯+=.所以2023年该机场飞往A 地航班放行准点率y 的预报值为84%.【小问2详解】设1A =“该航班飞往A 地”，2A =“该航班飞往B 地”，3A =“该航班飞往其他地区”，C =“该航班准点放行”，则()10.2P A =，()20.2P A =，()30.6P A =，()10.84P C A =，()20.8P C A =，()30.75P C A =.（i ）由全概率公式得，()()()()()()()112232P C P A P C A P A P C A P A P C A =++0.840.20.80.20.750.60.778=⨯+⨯+⨯=，所以该航班准点放行的概率为0.778.（ii ）()()()()()()11110.20.840.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===，()()()()()()22220.20.80.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===，()()()()()()33330.60.750.778P A P C A P A C P A C P C ⨯===，因为0.60.750.20.840.20.8⨯>⨯>⨯，所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大.21.已知双曲线C ：()22221,0x y a b a b-=>，直线1l ：2y x =+线C 仅有一个公共点.（1）求双曲线C 的方程（2）设双曲线C 的左顶点为A ，直线2l 平行于1l ，且交双曲线C 于M ，N 两点，求证：AMN 的垂心在双曲线C 上.【正确答案】（1）2211616x y -=（2）证明见解析【分析】（1可得a b =，再联立直线与双曲线利用判别式可得C 的方程；（2）设2l 方程，及M N ，的坐标，由过A 引MN 的垂线交C 于另一点H ，可得点H 为2016,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.再证AN MH ⊥即可.【小问1详解】因为双曲线C 2222a b a+=，即22a b =，所以双曲线C 的方程为222x y a -=，联立直线1l 与双曲线C 的方程2222y x x y a⎧=+⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得(2222x x a -+=，即))2216480a +++=，因为1l 与双曲线C 仅有一个公共点，所以()22164480a ∆=-+=，解得216a =,故双曲线C 的方程为2211616x y -=.【小问2详解】设(2:2l y x m m =+≠，()11,M x y ，()22,N x y 则M N 、满足222,16,y x m x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得2234160x mx m +++=，所以1243x x m +=-，212163m x x +=，如图所示，过A 引MN 的垂线交C 于另一点H ，则AH 的方程为122y x =--.代入2216x y -=得238800x x --=，即4x =-（舍去）或203x =.所以点H 为2016,33⎛⎫-⎪⎝⎭.所以()()()()()()21122122116322162320320443AN MHy y x m x m x m k k x x x x ⎛⎫+ ⎪++++⎝⎭==-+⎛⎫+- ⎪⎝⎭()()()2222212122212122241683163212632316312328016163280m m m m x x x m x x x m m x x x x x m m x +-++++++++==++--+---，22221632611632644m m x m m x -++==----+所以MH AN ⊥，故H 为AMN 的垂心，得证.关键点睛：本题考察直线与圆锥曲线的位置关系，属于压轴题.先求AMN 一条垂线与双曲线的交点H ，再证另两条过交点H 的直线互相垂直，由此得证，其中化简斜率关系是关键，用到了转化及整体消元的思想.22.已知()21ln 22f x a x x x =+-（R a ∈且0a ≠），()cos sin g x x x x =+．（1）求()g x 在[],ππ-上的最小值；（2）如果对任意的[]1,x ππ∈-，存在21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()212f x ag x x -≤成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】（1）-1（2）()1,00,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）对()g x 求导，因为()g x 为偶函数，求出()g x 在()0,x π∈的单调性，即可求出[],ππ-上的最小值；（2）由（1）知，()g x 在[],ππ-上的最小值为1-，所以21,x e e⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()221f x a x --≤成立，即()222221ln 2a x x x x --≥成立，即2222212ln x x a x x --≥，设()212ln x xx x xϕ-=-，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即只需()min a x ϕ≥即可．【小问1详解】()sin sin cos cos g x x x x x x x '=-++=，显然()g x 为偶函数，当0x >时，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x x >，()0g x '>，∴()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增；,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x x <，()0g x '<，∴()g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；()01g =，22g ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1g π=-，∴()g x 在()0,π上的最小值为1-．由偶函数图象的对称性可知()g x 在(),ππ-上的最小值为1-．【小问2详解】先证ln 1≤-x x ，设()ln 1h x x x =-+，则()111x h x x x-'=-=，令()001h x x '>⇒<<，令()01h x x '⇒，∴()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．()()10h x h ≤=故ln 1≤-x x ①恒成立．由题意可得21,x e e ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()221f x a x --≤成立，即()222221ln 2a x x x x --≥成立．由①可知22ln 10x x ->≥，参变分离得2222212ln x x a x x --≥，设()212ln x x x x xϕ-=-，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即只需()min a x ϕ≥即可．()()()()()()2221111ln 1ln 122'ln ln x x x x x x x x x x x x x x x ϕ-⎛⎫⎛⎫----⋅--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==--由①知ln 1≤-x x 得ln 1x x -≥-，∴1114ln 111202222xx x x x x --++-+=-=>≥令()'01x x e ϕ>⇒<<，令()1'01x x eϕ<⇒<<，∴()x ϕ在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,e 上单调递增．∴()()min 112x ϕϕ==-，∴12a ≥-，又已知0a ≠故a 的取值范围为()1,00,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．。

专题4 不等式1. 【2014高考安徽卷文第13题】不等式组20240320x yx yx y+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域的面积为________.2. 【2014高考北京卷文第13题】若x、y满足11010yx yx y≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y=+的最小值为 .5. 【2014高考福建卷文第9题】要制作一个容积为34m，高为1m的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）.80.120.160.240A B C D元元元元6. 【2014高考福建卷文第11题】已知圆()()22:1C x a y b-+-=，设平面区域70,30,x yx yy+-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C∈Ω,且圆C与x轴相切，则22a b+的最大值为（）.5.29.37.49A B C D7. 【2014高考广东卷文第4题】若变量x、y满足约束条件280403x yxy+≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y=+的最大值等于（）A.7B.8C.10D.118. 【2014高考湖北卷文第4题】若变量x、y满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-≤+,024yxyxyx，则yx+2的最大值是（）A.2 B.4 C.7 D.89. 【2014高考湖北卷文第16题】某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为lv vvF 2018760002++=（1）如果不限定车型，05.6=l ，则最大车流量为_______辆/小时；（2）如果限定车型，5=l ，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加 辆/小时.10. 【2014高考湖南卷文第13题】若变量y x ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤14y y x x y ，则y x z +=2的最大值为_________.11. 【2014高考辽宁卷文第14题】已知x ，y 满足条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数34z x y =+的最大值为 .13. 【2014高考全国2卷文第9题】设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为（ ）（A ）8 （B ）7 （C ）2 （D ）114. 【2014高考山东卷文第10题】 已知,x y 满足约束条件10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩，当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值2522a b +的最小值为（ ）515. 【2014高考四川卷文第5题】若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ）A ．a b d c > B ．a b d c < C ．a b c d > D ． a b c d< 16. 【2014高考天津卷卷文第2题】设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-+.1,02,02y y x y x 则目标函数y x z 2+=的最小值为（ ）A.2B. 3C. 4D. 517. 【2014高考浙江卷文第12题】若、y 满足和240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则y x +的取值范围是________.18. 【2014高考重庆卷文第9题】若b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是( )A.326+B.327+C.346+D.347+ 19. 【2014高考上海卷文第6题】若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________. 20.【2014高考辽宁文第24题】设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N. （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）当x M N ∈I 时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.。