高中数学必修2第四章 章末检测(B)

课时同步练第04章 章末复习课一、单选题1．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式na 是（ ）A ．21n n +B ．23n n + C ．23n n - D ．21n n - 【答案】D【解析】由于数列的分母是奇数列，分子 是自然数列，故通项公式为21n n a n =-. 故选D.2．在单调递增的等差数列{}n a 中，若31a =，2434a a =，则1a =（ ） A ．1- B ．-12C ．0D ．12【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为(0)d d >,因为32431,4a a a ==， 所以有：()()11121334a d a d a d +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解方程组得：10a =；故选C3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若252, 16a a ==，则10=S （ ）A ．1023B ．511C ．1023-D ．511-【答案】A【解析】设数列{}n a 的公比为q ，由题意可得3528a q a ==，所以2q ，由题得1122,1a a ⨯=∴=.故()()101011011121023112a q S q-⨯-===--.故选A.4．已知数列{}n a 满足111,31n n a a a +==+，则3a =（ ）A ．4B ．7C ．10D ．13【答案】D【解析】因为111,31n n a a a +==+，所以2131314a a =+=+=，所以323134113a a =+=⨯+=. 故选D5．已知数列{}n a 满足11a =，()*11n n na a n n +=∈+N ，则n a =（ ） A ．1n + B ．nC ．11n + D ．1n【答案】D【解析】由题意，数列{}n a 满足()*11n n n a a n n +=∈+N ，所以11n n a n a n +=+， 所以13211221122111132n n n n n a a a a n n a a a a a a n n n-----=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=-. 故选D.6．已知公差0d ≠的等差数列{}n a 满足11a =，且2a ，42a -，6a 成等比数列，若正整数m ，n 满足10m n -=，则m n a a -=（ ）A ．10B ．20C ．30D ．5或40【答案】C【解析】由题知()24262a a a -=，因为{}n a 为等差数列，所以()()()231115d d d -=++，又0d ≠，则3d =，从而()30m n a a m n d -=-=. 故选C ．7．已知{}n a 是等差数列，111a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且57S S =，则n S 的最大值为（ ）A ．66B ．56C ．46D ．36【答案】D【解析】由已知57S S =，111a =得，115476++2572d d a a ⨯⨯=，所以2d =-， 所以()121++122n n n d n S na n ⨯-==-， 所以当6n =时，n S 有最大值为36, 故选D.8．在正项等比数列{}n a 中，374a a =，数列{}2log n a 的前9项之和为（ ）A ．11B ．9C ．15D ．13【答案】B【解析】2375542a a a a ==⇒=，92122292129252log +log ++log =log ()log 9log 29a a a a a a a ⋅===，故选B9．已知数列{}n a 的首项121a =，且满足21(25)(23)41615n n n a n a n n +-=-+-+，则{}n a 的最小的一项是（ ）A ．5aB ．6aC ．7aD ．8a【答案】A【解析】由已知得112325n n a a n n +=+--，1725a =--，所以数列25n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为首项为7-，公差为1的等差数列，7(1)825n a n n n =-+-=--，则(25)(8)n a n n =--，其对称轴10.55.252n ==.所以{}n a 的最小的一项是第5项. 故选A.10．若[]x 表示不超过x 的最大整数（例如：[][]0.10,0.11=-=-），数列{}n a 满足：13a =，122n n a a n +-=+，则2020a ⎡+++=⎣（ ）A ．10102021⨯B ．10102020⨯C ．10092021⨯D ．10092020⨯【答案】A【解析】122n n a a n +-=+，()-12122n n a a n n --+∴==，1222n-n-a n a =--，，326a a -=，214a a -=，累加可得()()()121424622222n n n a a n n n n -+-=+++-+==+-，又13a =，()2*1n a n n n N ∴=++∈，()22211n n n n <++<+，n ∴==，2020202020211232020101020212a ⨯⎡⎤+++=++++==⨯⎣⎦.故选A11．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，并且满足条件11a >，9910010a a ->，99100101a a -<-．给出下列结论：①01q <<；②9910110a a ->；③100T 的值是n T 中最大的；④使1n T >成立的最大自然数n 等于198 其中正确的结论是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B【解析】①9910010a a ->，219711a q ∴>，9821()1q a q ∴>．11a >，0q ∴>．又99100101a a -<-，991a ∴>，且1001a <．01q ∴<<，即①正确；②299101100100·01a a a a ⎧=⎨<<⎩，9910101a a ∴<<，即9910110a a -<，故②错误；③由于10099100T T a =，而10001a <<，故有10099T T <，故③错误；④中9919812198119821979910099100()()()()1T a a a a a a a a a a a =⋯=⋯=>，199121991199219899101100()()()1T a a a a a a a a a a =⋯=⋯<，故④正确．∴正确的为①④，故选B ．12．已知数列{}n a 满足()*11,,2,,n n na n a n a n ++⎧=∈⎨⎩N 为奇数为偶数，若102333a ≤≤，则3a 的取值范围是（ ） A ．312a ≤≤B ．3194a ≤≤C ．323a ≤≤D ．3233a ≤≤ 【答案】B【解析】由递推关系可知22211n n a a ++=+，2122n n a a +=，所以22221n n a a +=+. 即()222121n n a a ++=+，可求()112231112122n n n a a a --⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭， 所以4103312118152a a a ⎛⎫=+-=+⎪⎝⎭. 因为102333a ≤≤，∴32381533a ≤+≤，解得3194a ≤≤，故选B.二、填空题13．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5632a a a +=+，则7S =______.【答案】14【解析】因为5632a a a +=+，所以111142452322a d a d a d a d a ++=+++⇒+=⇒=，所以17747()7142a a S a +===. 故填14.14．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，516a =，3432a a =-，则8S =_______．【答案】85-【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则4123111632a q a q a q ⎧=⎨⋅=-⎩，解得11,2a q ==-， 所以881(2)1256851(2)3S ---===---， 故填85-15．数列{}n a ，若11a =，11n n a a n -=++，则8a =________.【答案】43【解析】由11n n a a n -=++可得()112n n a a n n --=+≥，213a a -=，324a a -=，⋅⋅⋅879a a -=，上式相加得81345678942a a -=++++++=，又11a =，可得843a = 故填4316．数列{}n a 中，112,21,n n a a a n +=+=+则122....n a a a +++=_____.【答案】22n n +【解析】若数列{}n a 中，12a =，121,n n a a n ++=+，可得1234562123,7,11,,41n n a a a a a a a a n -+=+=+=+=-，相加可得21232(341)3711(41)22n n n a a a a n n n +-++++=++++-==+.故填22n n +.17．如图，将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表，已知表中的第一列1a 、2a 、5a 、构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为d 的等差数列，若35a =，86524a =，则d =________.【答案】3【解析】由题意可知，第一行是1a ，第二行是从2a 到4a ，第三行是从5a 到9a ，第四行是从10a 到16a ，第五行是从17a 到25a ，第六行是从26a 到36a ，第七行是从37a 到49a ，第八行是从50a 到64a ，第九行是从65a 到81a ，第十行是从82a 到100a ， 故3a 在第二行，86a 在第十行，因为35a =，86524a =，每一行都是一个公差为d 的等差数列，所以25a d =-，825244a d =-，因为表中的第一列1a 、2a 、5a 、构成一个公比为2的等比数列，所以82822a a ，即8525244dd ，解得3d =，故填3.18．设数列{}n a 满足2n na n λ=+，若数列{}n a 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是__________.【答案】(),2-∞【解析】2n na n λ=+，n a n nλ∴=+，由于数列{}n a 是单调递增数列，则1n n a a +>，即11n n n nλλ++>++，整理得2n n λ<+，令2n b n n =+，()()()22111220n n b b n n n n n +⎡⎤∴-=+++-+=+>⎣⎦，所以，数列{}n b 单调递增，则数列{}n b 的最小项为21112b =+=，2λ∴<.因此，实数λ的取值范围是(),2-∞. 故填(),2-∞.三、解答题19．已知数列{}n a 的前n 项和为2230n S n n =-．（1）求出它的通项公式； （2）求使得n S 最小时n 的值.【解析】（1）当1n =时，1128a S ==-；当2n ≥时,1n n n a S S -=-22(230)2(1)30(1)n n n n ⎡⎤=-----⎣⎦432n =-1a 也适合此式，432n a n ∴=-.（2）22152252302()22n S n n n =-=--又因为n 是正整数，所以当7n =或8时，n S 最小.20．已知数列{}n a 为等差数列，公差0d >，且1427a a =，424S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【解析】（1）由题意可知，()1444242a a S +==，1412a a ∴+=.又1427a a =，0d >，13a ∴=，49a =，2d =， 21n a n ∴=+.故数列{}n a 的通项公式为21n a n =+. （2）由（1）可知，()()1112123n n n b a a n n +==++ 11122123n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 1111111111235572123232369n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 21．已知等差数列{}n a 满足36a =，前7项和为749.S =（1）求{}n a 的通项公式（2）设数列{}n b 满足(3)3n n n b a =-⋅，求{}n b 的前n 项和n T .【解析】（1）由()17747=7=492a a S a ⨯+=，得4=7a ，因为36a =所以1d =，14,3n a a n ==+所以；（2）()33=3n nn n b a n =-⋅⋅， ()12313233331nn T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯所以 ()234+1313233332n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯ ()()123+1+13312233333=313n n n n n T n n +---=++++-⨯-⨯-由得：，()+121334n n n T -⨯+=所以. 22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ， 且()*14n n a a n N +=-∈ .（1）若10a >，且1a ，2a ，3a 成等比数列，求1a 和4S ； （2）若数列{}n a 为等差数列，求1a 和n S .【解析】（1）因为10a >，所以 21144a a a =-=-，1132111,044448,4a a a a a a a <≤⎧=-=--=⎨->⎩因为1a ，2a ，3a 成等比数列，所以2132a a a =，①当104a <≤时，所以()22114a a =-，得12a =； ②当14a >时，所以()()211184a a a -=-，得14a =-（舍）或14a =+综合①②可知，12a =或14a =+. 当12a =时， 22a =，32a =，4342a a =-=，所以48S =；当14a =+2140a a =-<，3180a a =->，43144a a a =-=-，所以48S =； 故48S =.（2）因为214a a =-，321444=-=--a a a ， 所以由等差列定义得2132a a a =+，得()1112444a a a -=+--（*） 当14a >时，由（*）得10a =，矛盾. 当104a <≤时，由（*）得12a =，符合条件. 当10a ≤时，因为公差2140d a a =-=>， 所以必存在2m ≥使得()1414m a a m =+->， 这与140m m m m d a a a a +=-=--<矛盾. 故综上可知：只有12a =时符合条件且此时公差210d a a =-=， 所以()*2n a n =∈N ， 所以12a =，2n S n =.。

第四章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知函数()3x y f =的定义域为[1,1]-，则函数()3log y f x =的定义域为（ ）A .[1,1]-B .1,23éùêúëûC .[1,2]D.2.已知函数1()2)2f x x =+，则1(lg 2)lg 2f f æö+=ç÷èø（ ）A .1-B .0C .1D .23.设函数2()log f x x =，若(1)2f a +＜，则实数a 的取值范围为（ ）A .(1,3)-B .(,3)-¥C .(,1)-¥D .(1,1)-4.已知函数2||()e x f x x =+，若()02a f =，121log 4b f æö=ç÷ç÷èø，2log c f æ=ççè，则,,a b c 的大小关系为（ ）A .a b c ＞＞B .a c b ＞＞C .b a ＞＞cD .c a b＞＞5.已知(31)4,1,()log ,1aa x a x f x x x -+ì=íî＜≥，是R 上的减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A .(0,1)B .11,73éö÷êëøC .10,3æöç÷èøD .11,93æöç÷èø6.已知,(1,)m n Î+¥，且m n ＞，若26log log 13m n n m +=，则函数2()m nf x x =的图像为（ ）AB C D7.给出下列命题：①函数e e 2x xy -+=为偶函数；②函数e 1e 1x x y -=+在x ÎR上单调递增；③函数lg y x =在区间(0,)+¥上单调递减；④函数13xy æö=ç÷èø与3log y x =-的图像关于直线y x =对称。

第四章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知函数()()lg 4f x x =-的定义域为M ，函数()g x =的值域为N ，则M N 等于（ ） A .MB .NC .[)0,4D .[)0,+∞2.函数||31x y =-的定义域为[]1,2-，则函数的值域为（ ） A .[]2,8B .[]0,8C .[]1,8D .[]1,8-3.已知()23log f x =()1f 的值为（ ） A .1B .2C .1-D .12 4.21+log 52等于（ ） A .7B .10C .6D .925.若1005a =，102b =，则2a b +等于（ ） A .0B .1C .2D .36.比较13.11.5、 3.12、13.12的大小关系是（ ） A .113.13.13.122 1.5＜＜ B .113.13.13.11.522＜＜C .11 3.13.13.11.522＜＜D .11 3.13.13.12 1.52＜＜7.()()4839log 3log 3log 2log 8++等于（ ） A .56B .2512C .94D .以上都不对8.已知0ab ＞，下面四个等式：①()lg lg lg ab a b =+；②lg lg lg a a b b =-；③21lg lg 2a ab b ⎛⎫= ⎪⎝⎭；④()1lg log 10ab ab =其中正确的个数为（ ） A .0B .1C .2D .39.函数x y a =（0a ＞且1a ≠）与函数()2121y a x x =---在同一个坐标系内的图像可能是（ ）ABCD10.抽气机每次可抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽（ ） （参考数据：120.3010g ≈） A .6次B .7次C .8次D .9次11.已知113log 2x =，1222x -=，3x 满足3331log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1x ，2x ，3x 的大小关系是（ ）A .123x x x ＜＜B .132x x x ＜＜C .213x x x ＜＜D .312x x x ＜＜12.已知幂函数()()22421mm f x m x -+=-在()0,+∞上单调递增，函数()2x g x k =-，当[)1,2x ∈时，记()f x ，()g x 的值域分别为集合A ，B ，若A B A = ，则实数k 的取值范围是（ ）A .()0,1B .[)0,1C .(]0,1D .[]0,1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若函数()f x 的反函数为()12f x x -=（0x ＞），则()4=f ________。

第四章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数y=x 53的图象大致是( )2.已知f(x)=a-x(a>0且a≠1),且f(-2)>f(-3),则实数a的取值范围是( )A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,1)D.(0,1)3.若函数f(x)=1+3-x的反函数为g(x),则g(10)=( )A.2B.-2C.3D.-14.函数f(x)=lo g12(2x-x2)的单调递减区间为( )A.(0,2)B.(-∞,1]C.[1,2)D.(0,1]5.函数f(x)=a x-2+3(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,点P 又在幂函数g(x)的图象上,则g(3)的值为( ) A.4B.8C.9D.166.10月16日,搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭,在酒泉卫星发射中心成功发射升空,载人飞船精准进入预定轨道,顺利将3名宇航员送入太空,发射取得圆满成功.已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下,可以用公式v=v 0·ln Mm 计算火箭的最大速度v(单位:m/s),其中v 0(单位:m/s)是喷流相对速度大小,m(单位:kg)是火箭(除推进剂外)的质量,M(单位:kg)是推进剂与火箭质量的总和,Mm 称为“总质比”.若某型火箭的喷流相对速度大小为1 000 m/s,当总质比为625时,该型火箭的最大速度约为( )(附:lg e≈0.434,lg 2≈0.301) A.5 790 m/s B.6 219 m/s C.6 442 m/s D.6 689 m/s7.设a=log 32,b=ln 2,c=5-12,则( ) A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<bD.c<b<a8.若对于任意-1)2的取值范围是( ) A.(-∞,13)B.(-∞,13]C.(-∞,1)D.(-∞,1]二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知a>0,b>0,2a+b=1,则( ) A.log 0.5a+log 0.5b 的最大值为3 B.4a +2b 的最小值为2√2 C.a ∈(0,12)D.a 2+b 2的最小值为1410.设a,b,c 都是正数,且4a =6b =9c ,则下列结论正确的是( ) A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac C.4b ·9b =4a ·9c D.1c=2b−1a11.已知函数f(x)={2x -4,x ≥0,-x 2-4x +1,x <0,则关于x 的方程[f(x)]2-3f(x)+2=0的解可以为( ) A.-4B.0C.-2D.log 2612.关于函数f(x)=|ln|2-x||,下列描述正确的有 ( )A.f(x)在区间(1,2)内单调递增B.y=f(x)的图象关于直线x=2对称C.若x 1≠x 2,f(x 1)=f(x 2),则x 1+x 2=4D.f(x)有且仅有两个零点三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.方程log 3(3x-1)=log 3(x-1)+log 3(3+x)的解为x= . 14.函数y=12x,-3≤x≤1的值域是 .15.若log a 23<1,则实数a 的取值范围是 .16.已知函数f(x)={lnx ,x >0,e x +1,x ≤0,且函数g(恰有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是 .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)计算题: (1)√2-1-(-9.6)0+√(√2-e )44−(827)23+(32)-2.(2)lg 4+2lg 5+log 45·log 514.+a).18.(12分)已知函数f(x)=log2(12x(1)若函数f(x)是R上的奇函数,求实数a的值;(2)若函数f(x)的定义域是R,求实数a的取值范围;(3)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a 的取值范围.19.(12分)已知函数f(x)=lg(10x-1).(1)求函数f(x)的定义域和值域;(2)设函数g(x)=f(x)-lg(10x+1),若关于x的不等式g(x)<t恒成立,求实数t的取值范围.20.(12分)在刚刷完漆的室内放置空气净化器,净化过程中有害气体含量P(单位:mg/L)与时间t(单位:h)的关系为:P=P0e-kt,其中P0,k是正常数,如果在前5 h消除了10%的有害气体,那么(1)10 h后还剩百分之几的有害气体?(2)有害气体减少50%需要花多少时间?(精确到1 h)(参考数据:ln2≈0.693 1,ln 0.9≈-0.105 4)21.(12分)已知a>0且a≠1,函数f(x)=log a2.1-x(1)求f(x)的定义域及其零点;(2)设g(x+3,当a>1时,若对任意x1∈(-∞,-1],存在x2∈[3,4],使得f(x1)≤g(的取值范围.22.(12分)给出下面两个条件:①函数f(x)的图象与直线y=-1只有一个交点;②函数f(x)的两个零点的差的绝对值为2.在这两个条件中选择一个,将下面问题补充完整,使函数f(x)的解析式确定.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(x+1)-f(x)=2x-1,且. (1)求f(x)的解析式;,27],2f(log3的取值范围.(2)若对任意x∈[19参考答案第四章测评1.B 函数y=x 53=√x53的定义域为R,且此函数在定义域上是增函数,故排除选项A,C;当0<x<1时,x 53<x,所以x∈(0,1)时,函数y=x53图象要在函数y=x图象的下方,排除选项D.故选B.2.D3.B 令y=1+3-x,得x=-log3(y-1),∴g(x)=-log3(x-1)(x>1),∴g(10)=-2.4.D 记u(x)=2x-x2=-(x-1)2+1,u(x)的图象为抛物线,对称轴为x=1,且开口向下,令u(x)>0,解得x∈(0,2),①当x∈(0,1]时,u(x)单调递增,f(x)=lo g12u(x)单调递减,即原函数的单调递减区间为(0,1];②当x∈[1,2)时,u(x)单调递减,f(x)=lo g12u(x)单调递增,即原函数的单调递增区间为[1,2).故选D.5.C ∵f(x)=a x-2+3,令x-2=0,得x=2,∴f(2)=a0+3=4,∴f(x)的图象恒过点(2,4).设g(x)=x a,把P(2,4)代入得2a=4,∴a=2,∴g(x)=x2,∴g(3)=32=9.故选C.6.C 由题得v=v 0·ln Mm =1000×ln625=1000×4lg5lge=1000×4×(1-lg2)lge≈6442m/s.故选C.7.C a=log 32=1log 23,b=ln2=1log 2e,而log 23>log 2e>1,所以a<b,c=5-12=√5,而√5>2=log 24>log 23,所以c<a,综上c<a<b.故选C. 8.C ∵2-1)2x<1(-1<12x=(12)x对于任意x ∈(-∞,-1]恒成立.∵-1<2,解得m<1.∴实数m 的取值范围是(-∞,1).故选C.9.BC a>0,b>0,2a+b=1⇒ab≤18,则log 0.5a+log 0.5b=log 0.5ab≥3,当且仅当a=14,b=12时,等号成立,故A 错误;4a +2b =22a +2b ≥2√2,当且仅当a=14,b=12时,等号成立,故B 正确;a>0,b>0,2a+b=1⇒b=1-2a>0⇒0<a<12,故C 正确;a 2+b 2=a 2+(1-2a)2=5a 2-4a+1,0<a<12,则当a=25时,有最小值为15,故D 错误.10.ACD 设4a =6b =9c =t,t>1,则a=log 4t,b=log 6t,c=log 9t,所以b c+ba=log 6t log 9t+log 6t log 4t =lgt lg6lgt lg9+lgt lg6lgt lg4=lg9lg6+lg4lg6=lg9+lg4lg6=lg (9×4)lg6=lg62lg6=2,即b c+ba=2,所以1c+1a=2b,所以1c=2b−1a,故D 正确;由b c+ba=2,所以ab+bc=2ac,故A正确,B 错误;因为4a ·9c =4a ·4a =(4a )2,4b ·9b =(4×9)b =(62)b =(6b )2.又4a =6b =9c ,所以(4a )2=(6b )2,即4b ·9b =4a ·9c ,故C 正确.故选ACD. 11.AD [f(x)]2-3f(x)+2=0,[f(x)-1][f(x)-2]=0,得f(x)=1或f(x)=2,当x≥0时,2x -4=1或2x -4=2,解得x=log 25或x=log 26;当x<0时,-x 2-4x+1=1或-x 2-4x+1=2,解得x=-4或x=-2±√3.故在选项中方程的解可以为AD.故选AD.12.ABD 根据图象变换作出函数f(x)的大致图象,如图,由图象知f(x)在区间(1,2)内单调递增,故A 正确;函数图象关于直线x=2对称,故B 正确;令f(x 1)=f(x 2)=k,则直线y=k 与函数f(x)图象相交可能是4个交点,如图.如果最左边两个交点横坐标分别是x 1,x 2,则x 1+x 2=4不成立,故C 错误;f(x)的图象与x 轴仅有两个公共点,即函数仅有两个零点,故D 正确.故选ABD. 13.214.[12,8] 因为指数函数y=12x在区间[-3,1]上单调递减,所以当x=-3时,函数有最大值为12-3=8;当x=1时,函数有最小值为12.所以函数y 的值域为[12,8].15.0,23∪(1,+∞) 当a>1时,不等式为log a 23<log a a,∴a>23,即a>1;当0<a<1时,不等式为log a 23<log a a,∴a<23,即0<a<23.综上所述,实数a 的取值范围是0,23∪(1,+∞).16.(1,2] 由g(,即函数g(与函数y=f(x)图象交点的横坐标.当x≤0时,f(x)=e x +1单调递增,其值域为(1,2];当x>0时,f(x)=ln 与函数y=f(x)图象有2个交点,即函数g(的取值范围是(1,2]. 17.解(1)原式=√2+1-1+e-√2−23×23+49=e.(2)原式=lg4+lg25+log 45·(-log 54)=lg4×25-lg5lg4×lg4lg5=lg102-1=2-1=1.18.解(1)若函数f(x)是R 上的奇函数,则f(0)=0,即log 2(120+a)=0,解得a=0.当a=0时,f(x)=-x=-f(-x),在R 上为奇函数,所以a=0为所求. (2)若函数f(x)的定义域是R,则12x +a>0恒成立,即a>-12x 恒成立,由于-12x ∈(-∞,0),故只要a≥0即可,即实数a 的取值范围为[0,+∞).(3)由题意,知函数f(x)在[0,1]上单调递减,故f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(0)=log 2(1+a),最小值是f(1)=log 2(12+a).由题意,得log 2(1+a)-log 2(12+a)≥2,所以{1+a >0,a +12>0,a +1≥4a +2,解得-12<a≤-13, 故实数a 的取值范围为(-12,-13].19.解(1)∵10x -1>0,∴10x >100,则x>0,∴f(x)的定义域为(0,+∞).又10x -1>0,∴f(x)的值域为R.(2)g(x)=f(x)-lg(10x+1)=lg(10x-1)-lg(10x+1)=lg (10x -110x +1)=lg (1-210x +1).∵10x >0,∴10x +1>1,∴0<210x +1<2,∴-2<-210x +1<0,∴-1<1-210x +1<1.又1-210x +1>0,∴0<1-210x +1<1.∴lg (1-210x +1)<0,∴g(x)的值域为(-∞,0).∵关于x 的不等式g(x)<t 恒成立,∴t≥0,即t 的取值范围是[0,+∞). 20.解(1)根据题意得P=P 0e -5k =P 0(1-10%),则e -5k =90%,故当t=10时,P=P 0e -10k =P 0(e -5k )2=P 0(90%)2=P 081%,故10个小时后还剩81%的有害气体. (2)根据题意得P 0e -kt=P 050%,即(e -5k)15t =12,即0.915t =0.5,故t=5log 0.90.5=5-ln2ln0.9≈33,故有害气体减少50%需要花33小时.21.解(1)由题意知,21-x>0,1-x>0,解得x<1,所以函数f(x)的定义域为(-∞,1).令f(x)=0,得21-x=1,解得x=-1,故函数f(x)的零点为-1.(2)若对于任意x 1∈(-∞,-1],存在x 2∈[3,4],使得f(x 1)≤g(≥-1.即m ∈[-1,+∞).22.解(1)因为二次函数f(x)=ax 2+bx+c 满足f(x+1)-f(x)=2x-1,f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-ax 2-bx-c=2ax+a+b=2x-1,所以{2a =2,a +b =-1,解得{a =1,b =-2,所以f(x)=x 2-2x+c.选①,因为函数f(x)的图象与直线y=-1只有一个交点,所以f(1)=1-2+c=-1,解得c=0,所以f(x)的解析式为f(x)=x 2-2x.选②,设x 1,x 2是函数f(x)的两个零点,则|x 1-x 2|=2,且Δ=4-4c>0,可得c<1.由题可知x 1+x 2=2,x 1x 2=c,所以|x 1-x 2|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√4-4c =2,解得c=0,所以f(x)的解析式为f(sx)=x 2-2x.(2)由2f(log3≤-2f(log3x).当x∈1,27时,log3x∈[-2,3].令h=log3x,9,27],2f(log3≤-2f(h)在h∈[-2,3]上恒则h∈[-2,3],所以对任意x∈[19成立,所以m≤[-2f(h)]min.当h=-2时,取最小值,则-2f(-2)=-16,所以实数m的取值范围为(-∞,-16].。

第四章 数 列 章末测试注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1．（2020·山东泗水·期中（文））已知数列{}n a 中，11a =，122nn n a a a +=+，则5a 等于（ ） A ．25B ．13C ．23D ．12【答案】B【解析】在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a a +=+，则12122122123a a a ⨯===++，2322221322223a a a ⨯===++， 3431222212522a a a ⨯===++，4542221522325a a a ⨯===++.故选：B. 2．（2020·四川阆中中学月考（理））等比数列{}n a 的各项均为正实数，其前n 项和为S n ，若a 3＝4，a 2·a 6＝64，则S 5＝（ ） A ．32 B ．31C ．64D ．63【答案】B【解析】依题意3264640n a a a a =⎧⎪⋅=⎨⎪>⎩，即2151114640,0a q a q a q a q ⎧⋅=⎪⋅=⎨⎪>>⎩，解得11,2a q ==，所以()551123112S ⨯-==-.故选：B3．（2020·湖南武陵·常德市一中月考）在等比数列{}n a 中，5113133,4a a a a =+=，则122a a =（ ） A ．3 B ．13-C ．3或13D ．3-或13-【答案】C【解析】若{}n a 的公比为q ，∵3135113a a a a ==，又由3134a a +=，即有31313a a =⎧⎨=⎩或31331a a =⎧⎨=⎩, ∴1013q =或3，故有101223a q a ==或13故选：C 4．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校月考（理））在递减等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，若245a a +=，154a a ⋅=，则7S =（ ）．A ．1278B ．212C ．638D ．6332【答案】A【解析】则24152454a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得2414a a =⎧⎨=⎩或2441a a =⎧⎨=⎩，∵{}n a 是递减数列，则2441a a =⎧⎨=⎩，∴24214a q a ==，12q =（12q =-舍去）．∴218a a q ==，7717181(1)21112a q S q ⎛⎫⨯- ⎪-⎝⎭==--1278=． 故选：A ．5．（2020·重庆高一期末）《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）A ．53B ．103C ．56D ．116【答案】A【解析】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，依题意可得，15535()51002a a S a +===， 33451220,7()a a a a a a ∴=++=+， 6037(403)d d ∴+=-，解得556d =， 1355522033a a d ∴=-=-=. 故选:A.6．（2020·贵州贵阳·为明国际学校其他（理））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公比6121,24q S =-=，则数列{}n a 的前n 项积n T 的最大值为（ ） A ．16 B ．64C ．128D ．256【答案】B【解析】由12q =-，6214S =，得61112211412a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得18a =， 所以数列{}n a 为8，4-，2，1-，12，14-，……，前4项乘积最大为64. 故选：B .7．（2020·吉林市第二中学月考）已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且675S S S >>，有下面4个结论： ①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ， 其中正确结论的序号为（ ） A ．②③ B ．①②C ．①③D ．①④【答案】B【解析】由675S S S >>得760S S -<，750S S ->，则70a <，670a a +>，所以60a >，所以0d <，①正确；111116111102a a S a +=⨯=>，故②正确； 1126712126()02a a S a a +=⨯=+>，故③错误； 因为60a >，70a <，故数列{}n S 中的最大项为6S ，故④错误． 故选：B.8．（2020·上海市市西中学月考）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2415a a a ++是一个确定的常数，则数列{}n S 中是常数的项是（ ）A ．7S ；B ．8S ；C ．11S ；D ．13S【解析】由于题目所给数列为等差数列，根据等差数列的性质， 有()2415117318363a a a a d a d a ++=+=+=， 故7a 为确定常数，由等差数列前n 项和公式可知()11313713132a a S a+⋅==也为确定的常数.故选:D二、多选题（每题有多个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）9．（2020·鱼台县第一中学月考）设{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，且78S S <，8910S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．90a =C ．117S S >D ．8S 、9S 均为n S 的最大值【答案】ABD【解析】由78S S <得12377812a a a a a a a a +++⋯+<++⋯++，即80a >， 又∵89S S =，1229188a a a a a a a ∴++⋯+=++⋯++，90a ∴=，故B 正确；同理由910S S >，得100a <，1090d a a =-<，故A 正确；对C ，117S S >，即8910110a a a a +++>，可得(9102)0a a +>， 由结论9100,0a a =<，显然C 是错误的；7898810,,S S S S S S <=>∴与9S 均为n S 的最大值，故D 正确；10．（2020·河北邯郸·高三月考）已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+【答案】ABD【解析】)211n a =-得)211n a +=，1=，即数列2=，公差为1的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，所以易知ABD 正确， 故选：ABD.11．（2020·湖南雁峰·衡阳市八中高二月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ） A ．此人第三天走了二十四里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍【解析】由题意，此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列， 记该等比数列为{}n a ，公比为12q =，前n 项和为n S ， 则16611163237813212a S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-，解得1192a =，所以此人第三天走的路程为23148a a q =⋅=，故A 错；此人第一天走的路程比后五天走的路程多()1611623843786a S a a S --=-=-=里，故B 正确；此人第二天走的路程为213789694.54a a q =⋅=≠=，故C 错； 此人前三天走的路程为31231929648336S a a a =++=++=，后三天走的路程为6337833642S S -=-=，336428=⨯，即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，D 正确；故选：BD.12．（2019·山东省招远第一中学高二期中）已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3393n n S n T n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．14【答案】ACD【解析】由题意可得()()()()()()12121121212121221212n n n n n n n nn a a n a S a n b b T n b b -----+-===-+-，则()()21213213931815321311n n n n n a S n b T n n n ---++====+-+++，由于nna b 为整数，则1n +为15的正约数，则1n +的可能取值有3、5、15， 因此，正整数n 的可能取值有2、4、14. 故选：ACD.第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13．（2020·山东泗水·期中（文））已知{}n a 是等比数列，14a =，412a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=______. 【答案】321134n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】由题意，等比数列{}n a 中，14a =，412a =，可得34218a q a ==，解得12q =，又由2111114n n n n n n a a a q a a a ++--===，且21218a a a q ==， 即数列{}1n n a a +表示首项为8，公比为14的等比数列， 所以1223118[1()]3214113414n n n n a a a a a a +⨯-⎡⎤⎛⎫++⋅⋅⋅+==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 故答案为：321134n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.14．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校月考（理））在各项都是正数的等比数列{}n a 中，2a ，312a ，1a 成等差数列，则7856a a a a ++的值是________.【答案】32+【解析】设等比数列{}n a 的公比为()0q q >， 由321a a a =+， 得210q q --=，解得12q +=(负值舍)，则222278565656a a a q a q q a a a a ++====++⎝⎭.15．（2020·吉林市第二中学月考）各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 6＝30，S 9＝70，则S 3＝________. 【答案】10【解析】根据等比数列的前n 项和的性质，若S n 是等比数列的和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍是等比数列，得到(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)， 即()()233307030S S -=⋅-. 解得S 3＝10或S 3＝90(舍)． 故答案为：1016．（2020·四川武侯·成都七中月考）已知等差数列{}n a 的公差2d =，前n 项之和为n S ，若对任意正整数n 恒有2n S S ≥，则1a 的取值范围是______.【答案】[]4,2--【解析】因为对任意正整数n 恒有2n S S ≥，所以2S 为n S 最小值，因此230,0a a ≤≥，即111+20,+4042a a a ≤≥∴-≤≤- 故答案为：[]4,2--四、解答题（17题10分，其余每题12分，共6题70分）17．（2020·安徽省舒城中学月考（文））已知在等差数列{}n a 中，35a =，1763a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式：（2）设2(3)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）21n a n =-；（2）1n n +. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由317653a a a =⎧⎨=⎩，可得()111251635a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩ 解得1a 1,d 2，所以等差数列{}n a 的通项公式可得21n a n =-;（2） 由（1）可得211(3)22(1)1n n b n a n n n n ===-+++，所以111111 (22311)n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 18．（2020·湖南武陵·常德市一中月考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()()111,11,2n n a n S nS n n n N n -+=-=+-∈≥.（1）求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T 【答案】（1）证明见解析；（2）21n n T n =+. 【解析】（1）当2n ≥时，因为()()111n n n S nS n n --=+-， 所以()1121n n S S n n n --=≥-， 即n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭首项为1，公差为1的等差数列. （2）由（1）得n S n n=，2n S n =. 当2n ≥时，()22121n a n n n =--=-.当1n =时，11a =，符合题意，所以21n a n =-. 所以()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11122121n n T n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 19．（2021·黑龙江鹤岗一中月考（理））已知各项均为正数的等差数列{}n a 中，12315a a a ++=，且12a +，25a +，313a +构成等比数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =+，152n n b -=⋅；（2）5(21)21n n T n ⎡⎤=-+⎣⎦【解析】（1）设等差数列的公差为d ，则由已知得：1232315a a a a ++==，即25a =， 又(52)(513)100d d -+++=，解得2d =或13d =-（舍去），123a a d =-=，1(1)21n a a n d n ∴=+-⨯=+，又1125b a =+=，22510b a =+=，2q ∴=，152n n b -∴=⋅；（2）21535272(21)2n n T n -⎡⎤=+⨯+⨯+++⨯⎣⎦，2325325272(21)2n n T n ⎡⎤=⨯+⨯+⨯+++⨯⎣⎦，两式相减得2153222222(21)25(12)21n n n n T n n -⎡⎤⎡⎤-=+⨯+⨯++⨯-+⨯=--⎣⎦⎣⎦， 则5(21)21n n T n ⎡⎤=-+⎣⎦.20．（2020·四川省绵阳南山中学月考（理））已知数列{}n a 为等差数列，11a =，0n a >，其前n 项和为n S ，且数列也为等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n n a b S S ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）21n a n =-；（2）222(1)n n n ++. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≥， 11S ===1∴=+2d =，1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=，n ==， 所以数列为等差数列，21na n ∴=-. （2）2(121)2n n n S n +-==，22222111(1)(1)n nb n n n n +∴==-⋅++， 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2222222221111111211223(1)(1)(1)n n n T n n n n ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 21．（2020·浙江月考）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且13542a a a ++=，39a +是1a ，5a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：3n n n n a b a =+，设{}n b 的前n 项的和为n S ，求证：2113n S <. 【答案】（1）2n n a =；（2）证明见解析.【解析】（1）由39a +是1a ，5a 的等差中项得153218a a a +=+，所以135a a a ++331842a =+=，解得38a =，由1534a a +=，得228834q q +=，解得24q =或214q =， 因为1q >，所以2q. 所以2n n a =.（2）112()333()1()22n n n nb =<=+， 3412324222()()()513333n n n S b b b b ∴=++++<++++24688221()6599313n -=+-⋅≤在3n ≥成立， 又有1222146215136513S S =<=<，， 2113n S ∴<. 22．（2020·黑龙江让胡路·铁人中学高二期中（理））已知数列{}n a 中，n S 是{}n a 的前n 项和且n S 是2a 与2n na -的等差中项，其中a 是不为0的常数.（1）求123,,a a a .（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法进行证明.【答案】（1）12a a =；26a a =；312a a =（2）猜想：()()*1n a a n N n n =∈+；证明见解析 【解析】（1）由题意知：222n n S a na =-即n n S a na =-，当1n =时，111S a a a ==-，解得12a a =.当2n =时，21222S a a a a =+=-，解得26a a =. 当3n =时，312333S a a a a a =++=-，解得312a a =. （2）猜想：()()*1n a a n N n n =∈+ 证明：①当1n =时，由（1）知等式成立.②假设当()*1,n k k k N =≥∈时等式成立，即()1k a a k k =+， 则当1n k =+时，又n n S a na =-则k k S a ka =-，11k k S a ka ++=-， ∴()()1111k k k k k a S S a k a a ka +++=-=-+--， 即()()1211k k a a k a ka k k k k ++==⨯=++ 所以()()()()112111k aa a k k k k +==+++++⎡⎤⎣⎦， 即当1n k =+时，等式成立.结合①②得()1n a a n n =+对任意*n N ∈均成立.。

章末复习一、知识导图二、要点归纳1.圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).2.点和圆的位置关系设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P在圆外.(2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P在圆内.(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P在圆上.3.直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d>r⇒相离；d＝r⇒相切；d<r⇒相交.4.圆与圆的位置关系设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2| d<|r1－r2|关系(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长.(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.5.空间直角坐标系(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应.(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.题型一圆的方程例1一个圆和已知圆x2＋y2－2x＝0相外切，并与直线l：x＋3y＝0相切于M(3，－3)点，求该圆的方程.考点题点解∵圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，故两个圆心之间的距离等于半径的和，又∵圆C与直线l：x＋3y＝0相切于M(3，－3)点，可得圆心与点M(3，－3)的连线与直线x＋3y＝0垂直，其斜率为 3.设圆C的圆心为(a，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋3a －3＝3，(a －1)2＋b 2＝1＋|a ＋3b |2.解得a ＝4，b ＝0，r ＝2或a ＝0，b ＝－43，r ＝6，∴圆C 的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36.反思感悟 求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤：第一步：选择圆的方程的某一形式.第二步：由题意得a ，b ，r (或D ，E ，F )的方程(组).第三步：解出a ，b ，r (或D ，E ，F ).第四步：代入圆的方程.注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等.跟踪训练1 (1)如图所示，圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为____________________.答案 (x －1)2＋(y －2)2＝2解析 取AB 的中点D ，连接CD ，AC ，则CD ⊥AB .由题意知，|AD |＝|CD |＝1，故|AC |＝|CD |2＋|AD |2＝2，即圆C 的半径为 2.又因为圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，所以圆心C (1，2)，故圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)求半径为10，圆心在直线y ＝2x 上，被直线x －y ＝0截得的弦长为42的圆的方程. 解 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心坐标为(a ，b )，半径r ＝10，圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －b |2， 由半弦长，弦心距，半径组成的直角三角形得，d 2＋⎝⎛⎭⎫4222＝r 2， 即(a －b )22＋8＝10， ∴(a －b )2＝4，又∵b ＝2a ，∴a ＝2，b ＝4或a ＝－2，b ＝－4，故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系例2 (1)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离考点题点答案 B解析 由垂径定理得⎝⎛⎭⎫a 22＋(2)2＝a 2，解得a 2＝4， ∴圆M ：x 2＋(y －2)2＝4， ∴圆M 与圆N 的圆心距d ＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2.∵2－1<2<2＋1，∴两圆相交.(2)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.考点题点答案 4解析 联立⎩⎨⎧ x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，消去x 得y 2－33y ＋6＝0， 解得⎩⎨⎧ x ＝－3，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2 3. 不妨设A (－3，3)，B (0,23)，则过点A 且与直线l 垂直的直线方程为3x ＋y ＋23＝0，令y ＝0得x C ＝－2.同理得过点B 且与l 垂直的直线与x 轴交点的横坐标x D ＝2，∴|CD |＝4.反思感悟 直线与圆、圆与圆的主要题型为：①位置关系的判断，②弦长问题，③求圆的方程.解决问题的方法主要有两种，一种代数法，一种几何法.跟踪训练2 (1)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( )A.1B.2C. 2D.2 2考点题点答案 C(2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________.考点题点答案 4π解析 x 2＋y 2－2ay －2＝0，即x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，则圆心为C (0，a ).又|AB |＝23，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为|0－a ＋2a |2， 所以⎝⎛⎭⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2， 得a 2＝2，所以圆C 的面积为π(a 2＋2)＝4π.题型三 对称问题例3 从点B (－2,1)发出的光线经x 轴上的点A 反射，反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2＝12相切，求点A 的坐标.考点题点解 点B (－2,1)关于x 轴对称的点为B ′(－2，－1)，易知反射光线所在直线的斜率存在，设反射光线所在的直线方程为y ＋1＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k －1＝0.由题意，得|0－0＋2k －1|k 2＋1＝12， 化简得7k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝1或k ＝17， 故所求切线方程为x －y ＋1＝0或x －7y －5＝0.令y ＝0，则x ＝－1或x ＝5.所以A 点的坐标为(－1,0)或(5,0).反思感悟 (1)对称的两种类型即轴对称与中心对称.(2)准确把握对称的几何性质.(3)圆的对称图形关键是圆心的对称，其半径不变.跟踪训练3 若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________________________________________________________________________. 答案 x 2＋(y －1)2＝1解析 由题意知圆C 的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.题型四 圆中的最值问题例4 圆x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2－1＝0与x 2＋y 2＋2bx ＋2by ＋2b 2－2＝0的公共弦长的最大值为( )A.2 2B.2C. 2D.1考点 与圆有关的最值问题题点 与圆的几何性质有关的最值答案 B解析 由题意得，两圆的标准方程分别为(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝1和(x ＋b )2＋(y ＋b )2＝2，两圆的圆心坐标分别为(－a ，－a )，(－b ，－b )，半径分别为1，2，则当公共弦为圆(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝1的直径时，公共弦长最大，最大值为2.反思感悟 与圆有关的最值问题包括(1)求圆O 上一点到圆外一点P 的最大距离、最小距离：d max ＝|OP |＋r ，d min ＝||OP |－r |.(2)求圆上的点到某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m ，则d max ＝m ＋r ，d min＝|m －r |.(3)已知点的运动轨迹是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，求①y x ；②y －m x －n；③x 2＋y 2等式子的最值，一般是运用几何法求解.跟踪训练4 已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 的面积的最小值为________. 考点 与圆有关的最值问题题点 与面积有关的最值答案 2 2解析 圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心为C (1,1)，半径为1，由题意知，当圆心C 到点P 的距离最小时(即为圆心到直线的距离)，四边形的面积最小，又圆心到直线的距离d ＝|3＋4＋8|32＋42＝3， ∴|P A |＝|PB |＝d 2－r 2＝22，∴S 四边形P ACB ＝2×12|P A |r ＝2 2.1.以点(－3,4)为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是( )A.(x －3)2＋(y ＋4)2＝16B.(x ＋3)2＋(y －4)2＝16C.(x －3)2＋(y ＋4)2＝9D.(x ＋3)2＋(y －4)2＝9考点 圆的标准方程题点 求与某直线相切的圆的标准方程答案 B2.已知圆C 与直线x －y ＝0和x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A.(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B.(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C.(x －1)2＋(y －1)2＝2D.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2题点 求圆的标准方程答案 B3.两圆x 2＋y 2－6x ＋16y －48＝0与x 2＋y 2＋4x －8y －44＝0的公切线的条数为( )A.4B.3C.2D.1考点 圆与圆的位置关系题点 两圆的位置关系与其公切线答案 C解析 两圆的标准方程分别为(x －3)2＋(y ＋8)2＝121；(x ＋2)2＋(y －4)2＝64，则两圆的圆心与半径分别为C 1(3，－8)，r 1＝11；C 2(－2,4)，r 2＝8.圆心距为|C 1C 2|＝(3＋2)2＋(－8－4)2＝13.∵r 1－r 2<|C 1C 2|<r 1＋r 2，∴两圆相交，则公切线共2条.4.经过两个定点A (a,0)，A 1(a ，a )，且圆心在直线y ＝13x 上的圆的方程为________________________.答案 ⎝⎛⎭⎫x －32a 2＋⎝⎛⎭⎫y －a 22＝a 22 解析 圆过点A (a,0)，A 1(a ，a )，则圆心在直线y ＝a 2上. 又圆心在直线y ＝13x 上， 所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎫32a ，a 2，则半径r ＝⎝⎛⎭⎫a －32a 2＋⎝⎛⎭⎫－a 22＝22|a |， 故圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －32a 2＋⎝⎛⎭⎫y －a 22＝a 22. 5.已知直线x －my ＋3＝0和圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0.(1)当直线与圆相切时，求实数m 的值；(2)当直线与圆相交，且所得弦长为2105时，求实数m 的值. 考点 直线和圆的位置关系解 (1)因为圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为(3,0)，r ＝2. 因为直线x －my ＋3＝0与圆相切， 所以|3＋3|1＋(－m )2＝2， 解得m ＝±2 2.(2)圆心(3,0)到直线x －my ＋3＝0的距离为d ＝|3＋3|1＋(－m )2.由24－⎝ ⎛⎭⎪⎫|3＋3|1＋(－m )22＝2105， 得2＋2m 2＝20m 2－160，即m 2＝9.故m ＝±3.。

第四章测试(时间：120分钟总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是()A．相离B．相交C．外切D．内切2．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为()A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝03．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为()A．1，－1 B．2，－2C．1 D．－14．经过圆x2＋y2＝10上一点M(2，6)的切线方程是()A．x＋6y－10＝0 B.6x－2y＋10＝0C．x－6y＋10＝0 D．2x＋6y－10＝05．点M(3，－3,1)关于xOz平面的对称点是()A．(－3,3，－1) B．(－3，－3，－1)C．(3，－3，－1) D．(3,3,1)6．若点A是点B(1,2,3)关于x轴对称的点，点C是点D(2，－2,5)关于y轴对称的点，则|AC|＝() A．5 B.13 C．10 D.107．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为()A. 3B. 2C.3或－ 3D.2和－ 28．与圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是()A．4 B．3 C．2 D．19．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是()A．2x－y＝0 B．2x－y－2＝0C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋3＝010．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为()A.9πB.πC．2π D．由m的值而定11．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是()A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝112．曲线y＝1＋4－x2与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是()A．(0，512) B．(512，＋∞)C ．(13，34]D ．(512，34] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上)13．圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离最小值为____________．14．圆心为(1,1)且与直线x ＋y ＝4相切的圆的方程是________．15．方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0表示的圆，①关于直线y ＝x 对称；②关于直线x ＋y ＝0对称；③其圆心在x 轴上，且过原点；④其圆心在y 轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________．16．直线x ＋2y ＝0被曲线x 2＋y 2－6x －2y －15＝0所截得的弦长等于__________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．18．(12分)已知圆M ：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0相交于A ，B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆M 的圆心坐标．19．(12分)已知圆C 1：x 2＋y 2－3x －3y ＋3＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及弦长．20．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0，从圆C 外一点P 向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求|PM |的最小值．21．(12分)已知⊙C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (－1,0)，B (1,0)，点P 是圆上动点，求d ＝|P A |2＋|PB |2的最大、最小值及对应的P 点坐标．22．(12分)已知曲线C ：x 2＋y 2＋2kx ＋(4k ＋10)y ＋10k ＋20＝0，其中k ≠－1.(1)求证：曲线C 表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；(2)证明曲线C 过定点；(3)若曲线C 与x 轴相切，求k 的值．1解析：将圆x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0，化为标准方程得(x －3)2＋(y －4)2＝16.∴两圆的圆心距(0－3)2＋(0－4)2＝5，又r 1＋r 2＝5，∴两圆外切．答案：C2解析：依题意知，所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程得y ＋21＋2＝x －12－1，即3x －y －5＝0.答案：A 3解析：圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心C (1,0)，半径为1，依题意得|1＋a ＋0＋1|(1＋a )2＋1＝1，即|a ＋2|＝(a ＋1)2＋1，平方整理得a ＝－1.答案：D4解析：∵点M (2，6)在圆x 2＋y 2＝10上，k OM ＝62，∴过点M 的切线的斜率为k ＝－63， 故切线方程为y －6＝－63(x －2)， 即2x ＋6y －10＝0. 答案：D5解析：点M (3，－3,1)关于xOz 平面的对称点是(3,3,1)．答案：D6解析：依题意得点A (1，－2，－3)，C (－2，－2，－5)．∴|AC |＝(－2－1)2＋(－2＋2)2＋(－5＋3)2＝13.答案：B7解析：由题意知，圆心O (0,0)到直线y ＝kx ＋1的距离为12， ∴11＋k 2＝12，∴k ＝±3.答案：C 8解析：两圆的方程配方得，O 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，O 2：(x －2)2＋(y －5)2＝16，圆心O 1(－2,2)，O 2(2,5)，半径r 1＝1，r 2＝4，∴|O 1O 2|＝(2＋2)2＋(5－2)2＝5，r 1＋r 2＝5.∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，∴两圆外切，故有3条公切线．答案：B9解析：依题意知，直线l 过圆心(1,2)，斜率k ＝2，∴l 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.答案：A10解析：∵x 2＋y 2－(4m ＋2)x －2my ＋4m 2＋4m ＋1＝0，∴[x －(2m ＋1)]2＋(y －m )2＝m 2.∴圆心(2m ＋1，m )，半径r ＝|m |.依题意知2m ＋1＋m －4＝0，∴m ＝1.∴圆的面积S ＝π×12＝π.答案：B11解析：设P (x 1，y 1)，Q (3,0)，设线段PQ 中点M 的坐标为(x ，y )， 则x ＝x 1＋32，y ＝y 12，∴x 1＝2x －3，y 1＝2y . 又点P (x 1，y 1)在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋4y 2＝1.故线段PQ 中点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.答案：C12解析：如图所示，曲线y ＝1＋4－x 2变形为x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)，直线y ＝k (x －2)＋4过定点(2,4)，当直线l 与半圆相切时，有|－2k ＋4－1|k 2＋1＝2，解得k ＝512. 当直线l 过点(－2,1)时，k ＝34. 因此，k 的取值范围是512<k ≤34.答案：D 13解析：圆心(0,0)到直线3x ＋4y －25＝0的距离为5，∴所求的最小值为4.14解析：r ＝|1＋1－4|2＝2，所以圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. 15解析：已知方程配方得，(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a ≠0)，圆心坐标为(－a ，a )，它在直线x ＋y ＝0上，∴已知圆关于直线x ＋y ＝0对称．故②正确．16解析：由x 2＋y 2－6x －2y －15＝0，得(x －3)2＋(y －1)2＝25.圆心(3,1)到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝|3＋2×1|5＝ 5.在弦心距、半径、半弦长组成的直角三角形中，由勾股定理得，弦长＝2×25－5＝4 5.17解：解法1：连接OP ，则OP ⊥BC ，设P (x ，y )，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·y x －4＝－1， 即x 2＋y 2－4x ＝0①当x ＝0时，P 点坐标为(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内)．解法2：由解法1知OP ⊥AP ，取OA 中点M ，则M (2,0)，|PM |＝12|OA |＝2，由圆的定义知，P 点轨迹方程是以M (2,0)为圆心，2为半径的圆．故所求的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝4(在已知圆内)．18解：由圆M 与圆N 的方程易知两圆的圆心分别为M (m ，－2)，N (－1，－1)．两圆的方程相减得直线AB 的方程为2(m ＋1)x －2y －m 2－1＝0.∵A ，B 两点平分圆N 的圆周，∴AB 为圆N 的直径，∴AB 过点N (－1，－1)，∴2(m ＋1)×(－1)－2×(－1)－m 2－1＝0，解得m ＝－1.故圆M 的圆心M (－1，－2)．19解：设两圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－3x －3y ＋3＝0x 2＋y 2－2x －2y ＝0的解，两方程相减得：x ＋y －3＝0，∵A 、B 两点的坐标都满足该方程，∴x ＋y －3＝0为所求．将圆C 2的方程化为标准形式，(x －1)2＋(y －1)2＝2，∴圆心C 2(1,1)，半径r ＝ 2.圆心C 2到直线AB 的距离d ＝|1＋1－3|2＝12， |AB |＝2r 2－d 2＝22－12＝ 6. 即两圆的公共弦长为 6.20解：如图：PM 为圆C 的切线，则CM ⊥PM ，∴△PMC 为直角三角形，∴|PM |2＝|PC |2－|MC |2. 设P (x ，y )，C (－1,2)，|MC |＝ 2.∵|PM |＝|PO |，∴x 2＋y 2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－2，化简得点P 的轨迹方程为：2x －4y ＋3＝0.求|PM |的最小值，即求|PO |的最小值，即求原点O 到直线2x －4y ＋3＝0的距离，代入点到直线的距离公式可求得|PM |最小值为3510. 21解：设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则d ＝(x 0＋1)2＋y 02＋(x 0－1)2＋y 02＝2(x 02＋y 02)＋2.欲求d 的最大、最小值，只需求u ＝x 02＋y 02的最大、最小值，即求⊙C 上的点到原点距离的平方的最大、最小值．作直线OC ，设其交⊙C 于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 如图所示．则u 最小值＝|OP 1|2＝(|OC |－|P 1C |)2＝(5－1)2＝16.此时，x 13＝y 14＝45， ∴x 1＝125，y 1＝165. ∴d 的最小值为34，对应点P 1的坐标为⎝⎛⎭⎫125，165.同理可得d 的最大值为74，对应点P 2的坐标为⎝⎛⎭⎫185，245.22解：(1)证明：原方程可化为(x ＋k )2＋(y ＋2k ＋5)2＝5(k ＋1)2 ∵k ≠－1，∴5(k ＋1)2>0.故方程表示圆心为(－k ，－2k －5)，半径为5|k ＋1|的圆．设圆心的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k ，y ＝－2k －5，消去k ，得2x －y －5＝0.∴这些圆的圆心都在直线2x －y －5＝0上．(2)证明：将原方程变形为(2x ＋4y ＋10)k ＋(x 2＋y 2＋10y ＋20)＝0，∵上式对于任意k ≠－1恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋4y ＋10＝0，x 2＋y 2＋10y ＋20＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3.∴曲线C 过定点(1，－3)．(3)∵圆C 与x 轴相切，∴圆心(－k ，－2k －5)到x 轴的距离等于半径，即|－2k －5|＝5|k ＋1|.两边平方，得(2k＋5)2＝5(k＋1)2，∴k＝5±3 5.。

⼈教版必修⼆第四章测试题（含答案）第四章测试题⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的）1.已知点，那么点关于y 轴对称点的坐标是（）． A ． B ． C ． D ．2.若直线3x +4y +c =0与圆（x +1）2+y 2=4相切，则c 的值为（）． A ．17或-23 B ．23或-17 C ．7或-13 D ．-7或133.过圆x 2+y 2-2x +4y -4=0内⼀点M （3，0）作圆的割线l ，使它被该圆截得的线段最短，则直线l 的⽅程是（）.A ．x +y -3=0B ．x -y -3=0C ．x +4y -3=0D ．x -4y -3=04.经过(1,1),(2,2),(3,1)A B C --三点的圆的标准⽅程是（）. A ．22(1)4x y ++= B .22(1)5x y ++= C ．22(1)4x y -+=D .22(1)5x y -+=5.⼀束光线从点A （－1， 1）出发经x 轴反射，到达圆C ：（x －2）2＋（y －3）2=1上⼀点的最短路程是（）.A．－1 B． C ．5D ．46.若直线l :ax +by +1=0始终平分圆M :x 2+y 2+4x +2y +1=0的周长，则(a -2)2+(b -2)2的最⼩值为（）.A ．5B ．5C ．25D ．107.已知两点、，若点是圆上的动点，则⾯积的最⼤值和最⼩值分别为（）.A ．B ．C ．D ．8.已知圆224x y +=与圆2266140x y x y +-++=关于直线l 对称，则直线l 的⽅程是（）.A . 210x y -+=B . 210x y --=C . 30x y -+=D . 30x y --=(1,4,2)M -M (1,4,2)--(1,4,2)-(1,4,2)-(1,4,2)(1,0)A -(0,2)B P 22(1)1x y -+=ABP11(41)22+11(4(422-11(3(322+-11(22)229.直⾓坐标平⾯内，过点(2,1)P 且与圆224x y +=相切的直线（）. A .有两条 B .有且仅有⼀条C .不存在D . 不能确定10.若曲线222610x y x y ++-+=上相异两点P 、Q 关于直线240kx y +-=对称，则k 的值为（）.A . 1B . -1C .12D . 2 11.已知圆和圆相交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线⽅程为（）. A .B .C .D .12. 直线与圆相交于M ，N 两点，若︱MN︱≥，则的取值范围是（）.A ．B ．C ．D ．⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）13.圆的圆⼼到直线l ：的距离．14.直线与圆相交于、两点，则 . 15.过点A （4，1）的圆C 与直线相切于点 B （2，1），则圆C 的⽅程为 .16.在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x -5y +c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是______ .三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分.解答时应写出必要的⽂字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知圆经过，两点，且截轴所得的弦长为2，求此圆的⽅程.18.（12分）已知线段AB 的端点B 的坐标为（1，3），端点A 在圆C:上运动.（1）求线段AB 的中点M 的轨迹；（2）过B 点的直线L 与圆有两个交点P ，Q .当CP CQ 时，求L 的斜率.221:460C x y x y +-+=222:60C x y x +-=30x y ++=250x y --=390x y --=4370x y -+=3y kx =+22(3)(2)4x y -+-=k 3,04??-[)3,0,4?-∞-+∞2,03??-22:2440C x y x y +--+=3440x y ++=d =250x y -+=228x y +=A B AB ∣∣=10x y --=422=+y x (3,0)A 18(,)55B -x 4)1(22=++y x C ⊥19.（12分）设定点M （-2，2），动点N 在圆上运动，以OM 、0N 为两边作平⾏四边形MONP ，求点P 的轨迹⽅程.20.（12分）已知圆C上，且被直线截得的弦长为，求圆C 的⽅程.21.（12分）已知圆C ：．（1）若不经过坐标原点的直线与圆C 相切，且直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的⽅程；（2）设点P 在圆C 上，求点P 到直线距离的最⼤值与最⼩值．22.（12分）在平⾯直⾓坐标系中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=.（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为l 的⽅程；（2）设P 为平⾯上的点，满⾜：存在过点P 的⽆穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满⾜条件的点P 的坐标.222=+y x 2y x =0x y -=222430x y x y ++-+=l l l 50x y --=xoy 1C 2C 1l 1C 2l 2C参考答案⼀、选择题1. 选B .纵坐标不变，其他的变为相反数．2. 选D .圆⼼到切线的距离等于半径.3. 选 A .直线l 为过点M ，且垂直于过点M 的直径的直线.4. 选D .把三点的坐标代⼊四个选项验证即可.5. 选D .因为点A （-1， 1）关于x 轴的对称点坐标为（-1，-1），圆⼼坐标为（2，3），所以点.A （-1， 1）出发经x 轴反射，到达圆C ：（x －2）2＋（y －3）2=1上⼀点的最短路程为1 4.=6.选B .由题意知，圆⼼坐标为（-2，-1），210.a b ∴--+=(2)a -a,b ）与（2，2）的距离，=所以22(2)(2)a b -++的最⼩值为5.7.选B .过圆⼼作于点，设交圆于、两点，分析可知和分别为最⼤值和最⼩值，可以求得，，所以最⼤值和最⼩值． 8.选D .两圆关于直线l 对称，则直线l为两圆圆⼼连线的垂直平分线. 9.选A .可以判断点P 在圆外，因此，过点P 与圆相切的直线有两条. 10.选D .曲线⽅程可化为2 2(1)(3)9x y ++-=，由题设知直线过圆⼼，即(1)2340,2k k ?-+?-=∴=.故选D .11.选C .由平⾯⼏何知识，知AB 的垂直平分线即为两圆⼼的连线，把两圆分别化为标准式可得两圆⼼，分别为C 1（2，-3）、C 2（3，0），因为C 1C 2斜率为3，所以直线⽅程为y -0=3（x -3），化为⼀般式可得3x -y -9=0.12.选A ．（⽅法1）由题意，若使︱MN ︱≥，则圆⼼到直线的距离d ≤1，即≤1，解得34-≤k ≤0.故选A .（⽅法2）设点M ，N 的坐标分别为),(),,2211y x y x （，将直线⽅程和圆的⽅程联⽴得C CM AB ⊥M CM P Q ABP ABQ ||AB =d =11)(42±=±113232≤++-k k⽅程组223(3)(2)4y kx x y =+??-+-=?，，消去y ，得06)3(2)1(22=+-++x k x k ，由根与系数的关系，得16,1)3(2221221+=?+--=+k x x k k x x ，由弦长公式知2122122124)(1||1||x x x x k x x k MN -+?+=-?+==1122420164]1)3(2[1222222++--=+?-+--?+k k k k k k k ，︱MN︱≥，≥，即8(43k k +）≤0，∴34-≤k ≤0，故选A .⼆、填空题13. 3. 由圆的⽅程可知圆⼼坐标为C （1，2），由点到直线的距离公式，可得34 34241322=++?+?=d ．14.（⽅法1）设，，由消去得，由根与系数的关系得，∴（⽅法2）因为圆⼼到直线的距离所以15. . 由题意知，圆⼼既在过点B （2，1）且与直线垂直的直线上，⼜在点11,)A x y （22(,)B x y 22250,8.x y x y -+=??+=?y 251070x x +-=121272,,5x x x x +=-=-12x x -1225AB x ∣∣=-==d ==AB ===22(3)2x y -+=10x y --=的中垂线上.可求出过点B （2，1）且与直线垂直的直线为，的中垂线为，联⽴⽅程30,3,x y x +-==，解得3,0,x y ==，即圆⼼，半径，所以，圆的⽅程为.16. . 如图，圆的半径为2，圆上有且仅有四个点到直线12x -5y+c=0的距离为1，问题转化为坐标原点（0，0）到直线12x -5y+c=0的距离⼩于1.三、解答题17.【解析】根据条件设标准⽅程，截轴所得的弦长为2，可以运⽤半径、半弦长、圆⼼到直线的距离构成的直⾓三⾓形；则：∴或∴所求圆的⽅程为或.18.【解析】（1）设，由中点公式得111112123232x xx x y y y y +==-?+=-=，，因为A 在圆C 上，所以 .点M 的轨迹是以为圆⼼，1为半径的圆.（2）设L 的斜率为，则L 的⽅程为，即，因为CP CQ ，△CPQ 为等腰直⾓三⾓形，圆⼼C （-1，0）到L,A B 10x y --=30x y +-=,A B 3x =(3,0)C r CA =22(3)2x y -+=1313c -<<422=+yx 1,13,1313.c c <<∴-<<222()()x a y b r -+-=x ??+==-+--=+-,1,)58()51(,)3(222222222b r r b a r b a ===5,2,2r b a ===.37,6,4r b a 2 2(2)(2)5x y -+-=22(4)(6)37x y -+-=()()11,,,A x y M x y ()()222232234,12x y x y ?+-=+-=即30,2?k ()31y k x -=-30kx y k --+=⊥，∴2k 2-12k +7=0，解得k =3故直线PQ 必过定点 1003??，.19.【解析】设P （x ，y ），N （x 0，y 0），∴，（*）∵平⾏四边形MONP ，∴ 00222222x x yy -=+=，，有00+22xx y y ==-，，代⼊（*）有，⼜∵M 、O 、N 不能共线，∴将y 0=-x0代⼊（*）有x0≠±1，∴x ≠-1或x ≠-3，∴点P 的轨迹⽅程为（）.20.【解析】因为所求圆的圆⼼C在直线上，所以设圆⼼为，所以可设圆的⽅程为，因为圆被直线截得的弦长为，则圆⼼到直线的距离，即. 所以圆的⽅程为或.21.【解析】（1）圆C 的⽅程可化为，即圆⼼的坐标为（-1，2），，因为直线在两坐标轴上的截距相等且不经过坐标原点，所以可设22412922k k k =-+=+22020=+y x 2)2()2(22=-++y x 2)2()2(22=-++y x 3x 1-≠-≠且x 2y x =(),2C a a ()()22210x a y a -+-=0x y -=(),2C a a 0x y -=d ==d ==2a =±()()222410x y -+-=()()222410x y +++=22(1)(2)2x y ++-=l直线的⽅程为；，得或，因此直线的⽅程为或．（2）因为圆⼼（-1，2）到直线P 到直线距离的最⼤值与最⼩值依次分别为22.【解析】（1）设直线l 的⽅程为：(4)y k x =-，即40kx y k --=，由垂径定理，得：圆⼼1C 到直线l 的距离1d ==， 1=，化简得：272470024k k k k +===-，解得或，求直线l 的⽅程为：0y =或7(4)24y x =--，即0y =或724280x y +-=.（2）设点P 坐标为(,)m n ，直线1l 、2l 的⽅程分别为：1(),()y n k x m y n x m k -=--=--，即：110,0kx y n km x y n m k k-+-=--++=，因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等. 由垂径定理，得圆⼼1C 到直线与直线的距离相等. 41|5|n m --++=，化简得：(2)3,(8)5m n k m n m n k m n --=---+=+-或，关于k 的⽅程有⽆穷多解，有：2030m n m n m n m n --=--=??，-+8=0，或，+-5=0，解之得：点P 坐标为)213,23(-或)21,25(.l 0x y m ++==1m =3m =-l 10x y ++=30x y +-=50x y --==50x y --=1l 1C 2l 2C 1l 2C 2l。

同步学典（9）第四章章末检测1、若函数1(0,1)x y a b a a =+->≠且的图像经过第二、三、四象限,则一定有( ) A.01a <<,且0b > B.1a >,且0b > C.01a <<,且0b <D.1a >,且0b <2、若函数2(33)x y a a a =-+是指数函数,则有( ) A.1a =或2a = B.1a = C.2a =D.1a >,且2a ≠3、若函数()0,1)f x a a =>≠的定义域和值域都是[0,1]，则711log log 1114aa +=( ) A.-2 B.-1 C.0 D.14、当102x <≤时,1log 4xa x ⎛⎫< ⎪⎝⎭,那么a 的取值范围是( ) A. 10,4⎛⎫⎪⎝⎭B. 1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()1,4D.()2,45、已知0.81.2512,,2log 22a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<6、函数y =( ) A ．{}02x x << B ．{}0112x x x <<<<或 C ．{}02x x <≤D ．{}0112x x x <<<≤或7、已知,,x y z 都是大于1的正数,0,log 24,log 40,log 12x y xyz m m m m >===，则log z m 的值为( )A ．160B ．60C ．2003D ．3208、光线通过一块玻璃,强度要损失10%.设光线原来的强度为k ,通过x 块这样的玻璃以后强度为y ,则经过x 块这样的玻璃后光线强度为:0.9x y k =⋅,那么至少通过多少块这样的玻璃,光线强度能减弱到原来的14以下( )(lg30.477,lg20.3≈≈) A.12 B.13C.14D.159、幂函数yx α=中α的取值集合C 是11,0,,1,2,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的子集,当幂函数的值域与定义域相同时,集合C 为( )A. 11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B. 1,1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭C. 11,,1,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D. 1,1,2,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭10、已知幂函数12()f x x -=，若(1)(102)f a f a +<-，则a 的取值范围为（ ）A.(3,5)-B.(3,5)-C.(3,5)--D.(3,5)11、函数log a y x =在[]2,3上最大值比最小值大1，则a =______ ．12、函数22log (2)y x ax a =-+的值域为R ，则的取值范围是________.13、函数12y ⎛= ⎪⎝⎭的单调递增区间是____________.14、已知幂函数()223m m f x x-++=()Z m ∈为偶函数,且在区间()0,+∞上是增函数,则函数()f x 的解析式为_______15、已知幂函数()()93*m x x f m N -=∈的图像关于原点对称,且在R 上函数值随x 的增大而增大. 1. 求()f x 的解析式;2. 求满足()()1340f a f a ++-<的a 的取值范围.答案以及解析1答案及解析： 答案：C解析：因为函数1x y a b =+-的图像经过第二、三、四象限,所以001,10a a b <<+-<,即0b <.2答案及解析： 答案：C解析：由指数函数的概念,得2331a a -+=,解得1a =或2a =.当1a =时,底数是1,不符合题意,舍去;当2a =时,符合题意,故选C.3答案及解析：答案：B解析：由指数函数的单调性可得，()0,1)f x a a =>≠是单调递增函数或者是单调递减函数，因为(1)0f =，所以()f x 为[0,1]上的递减函数，所以(0)1f ==，解得2a =，22227117111log log log ()log 1111411142+=⨯-=-∴，故选B ．4答案及解析： 答案：B 解析：5答案及解析： 答案：A解析：因为0.80.8 1.21()=2<22b -=,所以1b a <<,因为25552log 2log 2log 41c ===<,所以c b a <<，故选A6答案及解析： 答案：D解析：根据题意可得200lg 0x x x -≥⎧⎪>⎨⎪≠⎩，解得0112x x <<<≤或，所以函数y ={}0112x x x <<<≤或故选D.7答案及解析： 答案：B解析：∵log 24,log 40,log 12,x y xyz m m m ===,∴11124,40,12log log log log log x y x y z mmmmm===++.∴11211log 2440zm =++,解得1log 60zm =. ∴log 60z m =. 故选B.8答案及解析： 答案：C解析：光线经过1块玻璃后,强度变为(110%)0.9y k k =-=,光线经过2块玻璃后,强度变为2(110%)0.90.9y k k =-=,光线经过x 块玻璃后,强度变为0.9x y k =.由题意得0.94xk k <,即10.94x <,两边取对数,可得1lg0.9lg 4x <.∵lg0.9lg10<=,∴1lg2lg 220.3413.1lg 0.92lg3120.4771x --⨯>=≈≈-⨯-. ∵N x +∈,∴min 14x =.即至少通过14块玻璃,故选C.9答案及解析： 答案：C解析：根据幂函数1y x -=,0y x =,12y x =,y x =,2y x =,3y x =的图象和解析式可知,当1α=-,12α=,1α=,3α=时,相应幂函数的值域与定义域相同, 故选C.10答案及解析：答案：D 解析：11答案及解析：答案：2332或 解析：解：若1a >，则函数a y log x =在[]23，上为增函数， 则32312a a alog log log -==，则32a =， 若01a <<，则函数a y log x =在[]23，上为减函数， 则23123a a alog log log -==，则23a =， 故答案为：2332或12答案及解析：答案：01a ≤≤ 解析：13答案及解析：答案：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：由题意得函数满足220x x -++≥,结合相应二次函数的图像得12x -≤≤,又函数2()2f x x x =-++在区间1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递增,在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减,根据复合函数的单调性,可得12y ⎛= ⎪⎝⎭的单调递增区间为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.14答案及解析： 答案：()4f x x =解析：因为幂函数()223m m f x x -++=()m Z ∈为偶函数,所以223mm -++为偶数.又()f x 在区间()0,+∞上是增函数,所以223m m -++,0∆>,所以13m -<<,又Z m ∈,223m m -++为偶数, 所以1m =,故所求解析式为()4f x x =15答案及解析：答案：1.由题可知,函数在R 上单调递增,∴930m ->,解得3m < 又*m N ∈,∴1,2m = 又函数图像关于原点对称, ∴93m -为奇数,故2m =, ∴()3f x x =.2.∵()()1340f a f a ++-<,∴()()134f a f a +<--,∵()f x 为奇函数,∴()()143f a f a +<-又函数在R 上单调递增, ∴143a a +<-,∴34a <. 解析：。

高二数学周测一、选择与填空题（每题6分，共60分）（请将选择和填空题答案写在以下答题卡内）1. 圆C 1 : x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0与圆C 2 : x 2＋y 2－4x ＋4y －2＝0的位置关系是（ ）A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离2. 两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公共切线有( )． A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3. 若圆C 与圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝14. 与直线l : y ＝2x ＋3平行，且与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相切的直线方程是（ ）A ．x －y ±5＝0B ．2x －y ＋5＝0C ．2x －y －5＝0D ．2x －y ±5＝05. 直线x －y ＋4＝0被圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0截得的弦长等于( ) A ．2B ．2C ．22D ．426. 圆x2＋y2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是（ ）A ．30B ．18C ．62D ．527. 若直线3x －y ＋c ＝0，向右平移1个单位长度再向下平移1个单位，平移后与圆x 2＋y 2＝10相切，则c 的值为( ) A ．14或－6 B ．12或－8 C ．8或－12 D ．6或－148. 若直线3x －4y ＋12＝0与两坐标轴的交点为A ，B ，则以线段AB 为直径的圆的一般方程为____________________9. 圆心在直线2x＋y＝0上，且圆与直线x＋y－1＝0切于点M(2，－1)的圆的标准方程为__________10. 已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为二、解答题（共40分）11．（15分）求与x轴相切，圆心C在直线3x－y＝0上，且截直线x－y＝0得的弦长为27的圆的方程．12．（25分）已知圆C :(x－1)2＋(y－2)2＝2，点P坐标为(2，－1)，过点P作圆C的切线，切点为A，B．(1)求直线PA，PB的方程（8分）；(2)求过P点的圆的切线长（8分）；(3)求直线AB的方程（9分）．高二数学周测答案一、选择题1.A2.C3.A4.D5.C6.C7.A二、填空题8．x 2＋y 2＋4x －3y ＝0； 9．(x －1)2＋(y ＋2)2＝2； 10．22．三、解答题11．解：因为圆心C 在直线3x －y ＝0上，设圆心坐标为(a ，3a )，圆心(a ，3a )到直线x －y ＝0的距离为d ＝22 － a ．又圆与x 轴相切，所以半径r ＝3|a |， 设圆的方程为(x －a )2＋(y －3a )2＝9a 2， 设弦AB 的中点为M ，则|AM |＝7． 在Rt △AMC 中，由勾股定理，得 22 2 － ⎪⎪⎭⎫⎝⎛a ＋(7)2＝(3|a |)2． 解得a ＝±1，r 2＝9．故所求的圆的方程是(x －1)2＋(y －3)2＝9，或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9．12．解：(1)设过P 点圆的切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx ―y ―2k ―1＝0． 因为圆心(1，2)到直线的距离为2，1＋ 3 － － 2k k ＝2， 解得k ＝7，或k ＝－1．故所求的切线方程为7x ―y ―15＝0，或x ＋y －1＝0．(第11题)(2)在Rt △PCA 中，因为|PC |＝222 － 1 －＋ 1 － 2)()(＝10，|CA |＝2， 所以|PA |2＝|PC |2－|CA |2＝8．所以过点P 的圆的切线长为22．(3)容易求出k PC ＝－3，所以k AB ＝31．如图，由CA 2＝CD ·PC ，可求出CD ＝PC CA 2＝102．设直线AB 的方程为y ＝31x ＋b ，即x －3y ＋3b ＝0．由102＝23 ＋ 1 3 ＋ 6 － 1 b 解得b ＝1或b ＝37(舍)．所以直线AB 的方程为x －3y ＋3＝0．(3)也可以用联立圆方程与直线方程的方法求解．(第12题)。

新人教版高中数学必修二第四章检测一．选择题（共16小题）1．（2014•崇明县一模）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值．C D．2．（2014•浦东新区三模）在平面斜坐标系xoy中∠xoy=45°，点P的斜坐标定义为：“若=x0+y0（其中，，分别为与斜坐标系的x轴，y轴同方向的单位向量），则点P的坐标为（x0，y0）”．若F1（﹣1，0），F2（1，0）且动点M（x，y）满足||=||，则点M在斜坐标系中的轨迹方程为（）D．3．（2014•南开区二模）设圆C：x2+y2=3，直线l：x+3y﹣6=0，点P（x0，y0）∈l，存在点Q∈C，使∠OPQ=60°（O ．D．4．（2014•宜昌模拟）已知圆心（a，b）（a＜0，b＜0）在直线y=2x+1上的圆，若其圆心到x轴的距离恰好等于圆5．（2014•潮州二模）（理）已知双曲线的左焦点为F1，左、右顶点为A1、A2，P为双曲线上任意一点，6．（2013•上海）已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N．若，7．（2013•江西）过点（）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（）．C D．8．（2013•东莞一模）已知Ω={（x，y）|}，直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若P（M）∈[，，][9．（2012•天津）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值﹣1+]，22+2[2+2 10．（2013•浙江模拟）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1在空间直角坐标系中移动，但保持点A、B分别在x ．C2212．（2012•上高县模拟）点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C13．（2012•大连模拟）在平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AD=2AB，若P是平面ABCD内一点，且满足（x，y∈R），则当点P在以A为圆心，为半径的圆上时，实数x，y应满足关系式为（）14．（2012•湘潭模拟）已知，直线l：y=kx+2k与曲线C：有两个不同的交点，设直线l与曲线C围成的封闭区域为P，在区域M内随机取一点A，点A落在区域P内的概率为p，若，则实数k的取值范围为（）．D．15．（2011•江西）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范，，，），）∪，16．（2011•上海）直线l：y=k（x+）与圆C：x2+y2=1的位置关系是（）二．填空题（共4小题）17．（2014•兴安盟一模）将一颗骰子投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax﹣by=0与圆（x﹣2）2+y2=2相交的概率为_________．18．（2013•江西）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是_________．19．（2013•金华模拟）直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若MN≥2，则k的取值范围是_________．20．（2013•湖南模拟）设圆C：（x﹣3）2+（y﹣5）2=5，过圆心C作直线l交圆于A，B两点，与y轴交于点P，若A恰好为线段BP的中点，则直线l的方程为_________．三．解答题（共10小题）21．（2014•蓟县一模）已知椭圆的长轴长为4，离心率为，F1，F2分别为其左右焦点．一动圆过点F2，且与直线x=﹣1相切．（Ⅰ）（ⅰ）求椭圆C1的方程；（ⅱ）求动圆圆心轨迹C的方程；（Ⅱ）在曲线C上有四个不同的点M，N，P，Q，满足与共线，与共线，且，求四边形PMQN面积的最小值．22．（2013•陕西）已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线过定点．23．（2013•四川）已知圆C的方程为x2+（y﹣4）2=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx与圆C交于M，N两点．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且．请将n表示为m的函数．24．（2012•北京模拟）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小的圆的方程．25．（2012•南京一模）已知圆F1：（x+1）2+y2=16，定点F2（1，0），动圆过点F2，且与圆F1相内切．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）若过原点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，且△ABF1的面积为，求直线l的方程．26．（2011•湖北）平面内与两定点A1（﹣a，0），A2（a，0）（a＞0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线．（Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；（Ⅱ）当m=﹣1时，对应的曲线为C1；对给定的m∈（﹣1，0）∪（0，+∞），对应的曲线为C2，设F1、F2是C2的两个焦点．试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面积S=|m|a2．若存在，求tan∠F1NF2的值；若不存在，请说明理由．27．（2011•广东）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=﹣2交x轴于点A，设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP．（1）当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；（2）已知T（1，﹣1），设H是E上动点，求|HO|+|HT|的最小值，并给出此时点H的坐标；（3）过点T（1，﹣1）且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l1的斜率k的取值范围．28．（2011•江苏模拟）已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．（1）求实数a，b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．29．（2011•密山市模拟）已知M（4，0），N（1，0），若动点P满足．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设过点N的直线l交轨迹C于A，B两点，若，求直线l的斜率的取值范围．30．（2011•大同一模）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，﹣5），点M的极坐标为（4，）．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．新人教版高中数学必修二第四章检测参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．（2014•崇明县一模）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值．C D．的长度，和夹角，并将PO=，则，．3+2．此时．2．（2014•浦东新区三模）在平面斜坐标系xoy中∠xoy=45°，点P的斜坐标定义为：“若=x0+y0（其中，，分别为与斜坐标系的x轴，y轴同方向的单位向量），则点P的坐标为（x0，y0）”．若F1（﹣1，0），F2（1，0）且动点M（x，y）满足||=||，则点M在斜坐标系中的轨迹方程为（）D．由定义知，，得：|=|∴整理得：3．（2014•南开区二模）设圆C：x2+y2=3，直线l：x+3y﹣6=0，点P（x0，y0）∈l，存在点Q∈C，使∠OPQ=60°（O ．D．OPQ=），4．（2014•宜昌模拟）已知圆心（a，b）（a＜0，b＜0）在直线y=2x+1上的圆，若其圆心到x轴的距离恰好等于圆|CD|=2|CB|=）5．（2014•潮州二模）（理）已知双曲线的左焦点为F1，左、右顶点为A1、A2，P为双曲线上任意一点，在双曲线坐支，则，6．（2013•上海）已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N．若，，7．（2013•江西）过点（）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO的面积．C D．y=y=，即被半圆截得的半弦长为，当，即时，．，解得．8．（2013•东莞一模）已知Ω={（x，y）|}，直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若P（M）∈[，，][，9．（2012•天津）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值﹣1+]，22+2[2+2d==1≤=2+2）2+22+22][2+210．（2013•浙江模拟）棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1在空间直角坐标系中移动，但保持点A、B分别在x ．C|=tan|22的距离为12．（2012•上高县模拟）点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（）13．（2012•大连模拟）在平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AD=2AB，若P是平面ABCD内一点，且满足（x，y∈R），则当点P在以A为圆心，为半径的圆上时，实数x，y应满足关系式为（）|=x+yDB=∵∴=x+y，=1∴+y2222•=x=x，是解题的关键，属中档题．14．（2012•湘潭模拟）已知，直线l：y=kx+2k与曲线C：有两个不同的交点，设直线l与曲线C围成的封闭区域为P，在区域M内随机取一点A，点A落在区域P内的概率为p，若，则实数k的取值范围为（）．D．OA×=的斜率为=115．（2011•江西）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范，，，），）∪，d=，解得±（﹣，16．（2011•上海）直线l：y=k（x+）与圆C：x2+y2=1的位置关系是（）x+d==＜＜二．填空题（共4小题）17．（2014•兴安盟一模）将一颗骰子投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax﹣by=0与圆（x﹣2）2+y2=2相交的概率为．圆心到直线的距离故答案为18．（2013•江西）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是．所求圆的方程为：故答案为：19．（2013•金华模拟）直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若MN≥2，则k的取值范围是[﹣，0]．MN=2≥k+≤﹣20．（2013•湖南模拟）设圆C：（x﹣3）2+（y﹣5）2=5，过圆心C作直线l交圆于A，B两点，与y轴交于点P，若A恰好为线段BP的中点，则直线l的方程为y=2x﹣1或y=﹣2x+11．∴即=三．解答题（共10小题）21．（2014•蓟县一模）已知椭圆的长轴长为4，离心率为，F1，F2分别为其左右焦点．一动圆过点F2，且与直线x=﹣1相切．（Ⅰ）（ⅰ）求椭圆C1的方程；（ⅱ）求动圆圆心轨迹C的方程；（Ⅱ）在曲线C上有四个不同的点M，N，P，Q，满足与共线，与共线，且，求四边形PMQN面积的最小值．由抛物线定义可知：，22．（2013•陕西）已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线过定点．|MN|，的方程为|ME|=0.∴，∴的方程为∴，化为，23．（2013•四川）已知圆C的方程为x2+（y﹣4）2=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx与圆C交于M，N两点．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且．请将n表示为m的函数．）∪，=得：=+====代入得：=，代入=（﹣，n==，（（﹣，24．（2012•北京模拟）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小的圆的方程．轴所得的弦长为轴所得的弦长为的距离为或．∴②有最小值25．（2012•南京一模）已知圆F1：（x+1）2+y2=16，定点F2（1，0），动圆过点F2，且与圆F1相内切．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）若过原点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，且△ABF1的面积为，求直线l的方程．的面积为，，所以的方程．过椭圆的中心，由椭圆的对称性可知，，所以．，，即：点的坐标为的斜率为，故所求直线方和程为26．（2011•湖北）平面内与两定点A1（﹣a，0），A2（a，0）（a＞0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线．（Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；（Ⅱ）当m=﹣1时，对应的曲线为C1；对给定的m∈（﹣1，0）∪（0，+∞），对应的曲线为C2，设F1、F2是C2的两个焦点．试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面积S=|m|a2．若存在，求tan∠F1NF2的值；若不存在，请说明理由．a a，时，由条件可得的方程为的方程为，的方程为a a，≤，或，或[=a﹣a=r|=r，r=，于是由=|m|a[]27．（2011•广东）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=﹣2交x轴于点A，设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP．（1）当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；（2）已知T（1，﹣1），设H是E上动点，求|HO|+|HT|的最小值，并给出此时点H的坐标；（3）过点T（1，﹣1）且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l1的斜率k的取值范围．|om|=|x+2|=H的斜率时，直线当]28．（2011•江苏模拟）已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．（1）求实数a，b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．PQ==，利用二次函数的性质求出它的最小值．OP=的最小值为2a+3=取得最小值为PQ====时，线段OP=，故当a=取得最小值为，=29．（2011•密山市模拟）已知M（4，0），N（1，0），若动点P满足．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设过点N的直线l交轨迹C于A，B两点，若，求直线l的斜率的取值范围．，由已知得，由此得到点由已知得，即的轨迹是椭圆（，∴∵（∴∴30．（2011•大同一模）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，﹣5），点M的极坐标为（4，）．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．的参数方程为）因为化为普通方程为，。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第四章 定积分(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．ʃ3－39－x 2d x 等于( ) A.9π8 B.9π4 C.9π2D ．9π 2．半椭圆x 24＋y 22＝1(y ≥0)绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积为( )A.16π3B.173π C ．5π D ．6π 3．若函数f (x )的图像在[a ，b ]上是一条连续曲线，用n －1个等分点x i (i ＝1,2，…，n －1)把[a ，b ]分成n 个小区间，记x 0＝a ，x n ＝b ，每个小区间长度为Δx ，任取ξi ∈[x i －1，x i ]，则ʃb a f (x )d x 等于当n →＋∞时( )A.∑i =1nf (x i )所趋近的某个值B. ∑i =1nf (ξi )(b －a )所趋近的某个值C. ∑i =1nf (ξi )Δx 所趋近的某个值D. ∑i =1nf (x i )Δxn 所趋近的某个值4．下列等式成立的是( )A ．ʃba 0d x ＝b －aB ．ʃb a x d x ＝12C ．ʃ1－1|x |d x ＝2ʃ10|x |d xD ．ʃba (x ＋1)d x ＝ʃb a x d x5．已知ʃ20f (x )d x ＝3，则ʃ20[f (x )＋6]d x 等于( ) A ．9 B ．12 C ．15 D ．186．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均正确7．由抛物线y 2＝8x (y >0)与直线x ＋y －6＝0及y ＝0所围成的图形的面积为( ) A.323 B.403 C.83 D.1638．如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )A ．1 B.43C. 3 D ．2 9．函数f (x )＝ʃx 0t (t －4)d t 在[－1,5]上( ) A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 10．ʃb a f ′(3x )d x 的值为( ) A ．f (b )－f (a ) B ．f (3b )－f (3a ) C.13[f (3b )－f (3a )] D ．3[f (3b )－f (3a )] 11．从空中自由下落的物体，第一秒时恰经过电视塔顶，第二秒时物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A.52gB.72gC.32g D ．2g 12．由曲线y ＝x ，x ＝1，x ＝2，x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积是( )A ．3π B.3π2 C.3π4D ．2π二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (0≤x ≤1)2－x (1≤x ≤2)，则ʃ20f (x )d x ＝______.14．若f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，则ʃ30f (x )d x ＝________.15．由y ＝sin x ，x ＝π2以及坐标轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积为________．16．把一个带＋q 电量的点电荷放在r 轴上坐标原点处，形成一个电场，已知在该电场中，距离坐标原点为r 处的单位电荷受到的电场力由公式F ＝k qr2(其中k 为常数)确定．在该电场中，一个单位正电荷在电场力的作用下，沿着r 轴的方向从r ＝a 处移动到r ＝b (a <b )处，则电场力对它所做的功______________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)由定积分的性质和几何意义，求出下列各式的值： (1)ʃa －aa 2－x 2d x ； (2)ʃ10(1－(x －1)2－x )d x .18．(12分)如右图所示，已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－x 2＋2ax (a >1)交于点O 、A ，直线x ＝t (0<t ≤1)与曲线C 1、C 2分别相交于点D 、B ，连接OD 、DA 、AB .写出曲线四边形ABOD 的面积S 与t 的函数关系式S ＝f (t )．19.(12分)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3， x ∈[0，1]x ， x ∈[1，2]，求曲线y ＝f (x )与x 轴、直线x ＝0，x ＝2所围成的图形的面积．20．(12分)已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值．21.(12分)设由一长为25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm.求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．22．(12分)如图所示，一物体沿斜面在拉力F 的作用下由A 经B 、C 运动到D ，其中AB ＝50 m ，BC ＝40 m ，CD ＝30 m ，变力F ＝⎩⎪⎨⎪⎧14x ＋5 (0≤x ≤90)20 (90<x ≤120)(单位：N)，在AB 段运动时F 与运动方向成30°角，在BC 段运动时F 与运动方向成45°，在CD 段F 与运动方向相同，求物体由A 运动到D 所作的功．答案1．C [考根据定积分的几何意义，ʃ3－39－x 2d x 表示以原点为圆心，以3为半径的上半圆的面积，故ʃ3－39－x 2d x ＝9π2.] 2．A3．C [f (ξi )Δx 为第i 个小曲边梯形的面积，和式f (ξ1)Δx ＋f (ξ2)Δx ＋…＋f (ξn )Δx 表示x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及函数f (x )的图像所围成图形的面积的近似值，当分割无限变细，即n 趋向于＋∞时，∑i ＝1nf (ξi )Δx 所趋近的值就是曲边梯形的面积，即ʃb a f (x )d x ，故选C.]4．C [由积分的几何意义及性质得ʃb a 0d x ＝0，|x |是偶函数，故C 显然正确．]5．C [ʃ20[f (x )＋6]d x ＝ʃ20f (x )d x ＋ʃ206d x ＝3＋12＝15.] 6．C 7.B8．B[函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于ʃ20(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝ʃ20(－x 2＋2x )d x ＝(－13x 3＋x 2)|20＝43.故选B.] 9．B [∵f (x )＝ʃx 0(t 2－4t )d t ＝ʃx 0t 2d t －ʃx 04t d t ＝13t 3|x 0－2t 2|x＝13x 3－2x 2. ∴f ′(x )＝x 2－4x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0，或x ＝4，由f (－1)＝－73，f (0)＝0，f (4)＝－323，f (5)＝－253知，f (x )的最大值为0，最小值为－323，故选B.]10．C [∵⎣⎡⎦⎤13f (3x )′＝13·f ′(3x )(3x )′＝f ′(3x )． ∴ʃb a f ′(3x )d x ＝13f (3x )|b a ＝13[]f (3b )－f (3a ).] 11．C [h ＝ʃ21gt d t ＝32g .] 12．B [所求体积为ʃ21π(x )2d x ＝π×12×x 2|21＝32π.] 13.56解析 ʃ20f (x )d x ＝ʃ10f (x )d x ＋ʃ21f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x ＝13x 3|10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2|21＝56. 14．－18解析 ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(2)， ∴f ′(2)＝4＋2f ′(2)，即f ′(2)＝－4，所以f (x )＝x 2－8x ＋3，ʃ30f (x )d x ＝13×33－4×32＋3×3＝－18. 15．π16．k q a －k q b解析 W ＝ʃb ak q r 2d r ＝－k q r |b a ＝k q a －k qb. 17．解 (1)ʃa －aa 2－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝a 2与x 轴所围成的上半圆的面积， 因此ʃa －a a 2－x 2d x ＝πa 22.(2)ʃ10(1－(x －1)2－x )d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝1与直线y ＝x 所围成的图形(如图所示)的面积，因此ʃ10(1－(x －1)2－x )d x ＝π×124－12×1×1＝π4－12.18．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝－x 2＋2ax ， 得点O (0,0)，A (a ，a 2)．又由已知得B (t ，－t 2＋2at )，D (t ，t 2)．故S ＝ʃt0(－x 2＋2ax )d x －12t ·t 2＋12(－t 2＋2at －t 2)×(a －t )＝(－13x 3＋ax 2)|t 0－12t 3＋(－t 2＋at )×(a －t )＝(－13t 3＋at 2)－12t 3＋(－t 2＋at )×(a －t )＝16t 3－at 2＋a 2t . 所以S ＝f (t )＝16t 3－at 2＋a 2t (0<t ≤1)．19．解 如图，阴影部分的面积为所求．S ＝ʃ20f (x )d x＝ʃ10f (x )d x ＋ʃ21f (x )d x＝ʃ10x 3d x ＋ʃ21x d x ＝x 44|10＋23x 32|21 ＝－512＋432.20．解 ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2|10＝23a －12a 2.即f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a 2－43a ＋49＋29＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29. 所以，当a ＝23时，f (a )有最大值29.21．解 设F (x )＝kx ，其中x 表示弹簧伸长的厘米数，F (x )表示加在弹簧上的力，则依题意，使弹簧伸长5 cm 需力100 N ，即100＝5k ，k ＝20，于是，现在需要计算由x ＝0到x ＝15所做的功W ＝ʃ15020x d x ＝10x 2|150＝2 250 (N·cm)＝22.5 (J)． 22．解 在AB 段运动时F 在运动方向上的分力F 1＝F cos 30°，在BC 段运动时F 在运动方向上的分力F 2＝F cos 45°.由变力作功公式得：W ＝ʃ500⎝⎛⎭⎫14x ＋5cos 30°d x ＋ʃ9050⎝⎛⎭⎫14x ＋5cos 45°d x ＋600 ＝38⎝⎛⎭⎫12x 2＋20x |500＋28⎝⎛⎭⎫12x 2＋20x |9050＋600＝1 12543＋4502＋600≈1 723.所以物体由A运动到D所作的功约为1 723 J.。

第四章综合测试答案一、1.【答案】B2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】B7.【答案】A8.【答案】D9.【答案】D10.【答案】D11.【答案】B12.【答案】B二、13.【答案】114.【答案】15.【答案】216.【答案】1- (1,)+∞三、17.【答案】解：（1）212+12=+-11022=-= （2）13(0)a a a -+=∵＞，21122125a a a a --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭∴，1122a a +()222127a a a a --+=+-=，112222a a a a -+=+∴ 18.【答案】解：（1）()3x f x =∵，2(2)318a f a ++==∴，32a =∴，()24x g x =-∴，[0,1]x ∈.（2）设1x ，2x 为区间[0,1]上任意两个值，且12x x ＜，则()()()()2221212124242222x x x x x x g x g x -=--+=-+.1201x x ∵＜ ，21221x x ∴＞ .()()21g x g x ∴＜∴函数()g x 在[0,1]上是减函数.19.【答案】解：（1）()f x 是奇函数.证明：要使函数有意义，则1010x x +⎧⎨-⎩＞＞，即11x x -⎧⎨⎩＞＜，即11x -＜＜，即函数的定义域为(1,1)-.由[]()log (1)log (1)log (1)log (1)()a a a a f x x x x x f x -=-+-+=-+--=-，知函数()f x 是奇函数.（2）若1a ＞，则由()0f x ＞得log (1)log (1)0a a x x +--＞，即log (1)log (1)a a x x +-＞，即11x x +-＞，则0x ＞. ∵定义域为(1,1)-，01x <<∴，即不等式的解集为(0,1).20.【答案】解：（1）由题意，当2m =时，12225x x -⋅+=，解得1x =或1x =-.由0x ≥，得1x =，故经过1分钟，该物质的温度为5摄氏度.（2）由题意得1222x x m -⋅+≥对一切0x ≥恒成立，则由20x＞，得1222xx m -- ，即12222x x m --⋅-≥. 令2x t -=则01t ＜≤，则2211()22222f t t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭ 当12t =时取得最大值为12，所以12m ≥. 21.【答案】解：（1）由1030x x -⎧⎨+⎩＞＞，得31x -＜＜，所以函数的定义域为{}|31x x -＜＜，()log (1)(3)a f x x x =-+. 设2(1)(3)4(1)t x x x =-+=-+，则4t ≤，又0t ＞，则04t ＜ .当1a ＞时，()log 4a y f x =≤，值域为{}log 4a y y ≤.当01a ＜＜时，()log 4a y f x =≥，值域为{}log 4a y y ≥.（2）由题意及（1）知，当01a ＜＜时，函数有最小值，所以log 42a =-，解得12a =. 22.【答案】解：（1）因为函数()f x 的图像过点(0,1)P ，所以()02log 21k +=，解得1k =.则()2()log 21x f x =+.因为211x +>，所以()2()log 210x f x =+＞， 所以函数()f x 的值域为(0,)+∞.（2）方程有实根，即()m f x x =-有实根，构造函数()2()()log 21x h x f x x x =-=+-，. 则()()()222221log 21log 2log log 212x x xx x h x -+=+-==+ 因为函数21x y -=+在R 上单调递减，而log z y x =在(0,1)上单调递增， 所以复合函数()2()log 21x h x -=+是R 上的单调递减函数. 所以()h x 在[0,1]上的最小值为()122(1)log 21log 31h -=+=-，最大值为()02(0)log 211h -=+=， 即()2()log 31,1h x ∈-，所以当()2log 31,1m ∈-时，方程有实根.。

章末检测一、选择题1.已知圆 C： x2＋ y2－ 4x－ 5＝ 0，则过点P(1,2)的最短弦所在直线l 的方程是 ()A.3 x＋ 2y－ 7＝ 0B.2 x＋y－ 4＝ 0C.x－ 2y－3＝ 0D. x－2y＋ 3＝ 0答案D分析将圆 C 的一般方程化成标准方程为(x－ 2)2＋ y2＝ 9，∴ C(2,0).由题意知，过点P(1,2)的最短弦所在的直线l 应与 PC 垂直，故有 k l·k PC＝－ 1.由 k PC＝2－0＝－ 2，得 k l＝1.∴直线1－ 221l 的方程为y－ 2＝2(x－ 1)，即 x－ 2y＋ 3＝ 0.2.若直线 y＝ kx＋ 1 与圆 x2＋y2＋kx－ y－ 9＝0 的两个交点恰巧对于y 轴对称，则 k 等于 ()A.0B.1C.2D.3答案Ay＝ kx＋ 1，分析联立得(1＋k2)x2＋2kx－9＝0.设直线与圆的两交点的横坐标x2＋ y2＋ kx－ y－ 9＝ 0，为 x1，x2 .∵ x1，x2对于 y 轴对称，∴x1＋ x2＝－2k2＝0，∴k＝0.1＋ k3.空间直角坐标系中，点A(－ 3,4,0)与 B(x，－ 1,6)的距离为 86，则 x 的值为 ()A.2B.－ 8C.2 或－ 8D.8 或－ 2答案C分析由空间中两点的距离公式，得 (x＋ 3)2＋ (－ 1－ 4)2＋ (6－ 0)2＝ (86)2.解得 x＝ 2 或 x＝－8.4.圆 O1： x2＋ y2－ 2x＝ 0 和圆 O2： x2＋ y2－ 4y＝0 的地点关系是 ()A. 外离B. 订交C.外切D.内切答案B分析由圆的方程，知O1(1,0)， O2(0,2)， r 1＝ 1， r2＝ 2.所以 |O1O2|＝－2＋－2＝ 5.又由于 |r1－ r2 |＜5＜r 1＋ r2，所以两圆订交.5.已知直线x－ 2y－ 3＝0 与圆 (x－ 2)2＋ (y＋ 3)2＝ 9 交于 E，F 两点，则△EOF (O 是原点 )的面积为()3365A. 2B.4C.2 5D.5答案D分析该圆的圆心为 A(2，－ 3)，半径长 r＝ 3，圆心到直线的距离d＝ |2＋ 6－3|＝5，弦长1＋ 4为 2r 2－ d2＝ 29－ 5＝ 4.由于原点到直线的距离为|0－0－ 3|＝ 3，1＋45所以 S＝1×4×3＝6 5. 2556.若 P(2，－ 1) 为圆 (x－ 1)2＋ y2＝ 25 的弦 AB 的中点，则弦 AB 所在直线的方程是 ()A.2 x＋ y－3＝ 0B. x＋y－ 1＝ 0C.x－ y－ 3＝ 0D.2 x－ y－ 5＝ 0答案C－1－0设圆心为C，则C点坐标为(1,0)且AB⊥ CP，k CP＝＝－1，∴ k AB＝1，直线AB2－ 1的方程为y＋1＝ x－ 2 即 x－ y－ 3＝ 0.7.过点 P(－2,4)作圆 O： (x－ 2)2＋ (y－1)2＝25 的切线 l，直线 m： ax－ 3y＝ 0 与直线 l 平行，则直线 l 与 m 的距离为 ()812A.4B.2C.5D. 5答案A4－ 134分析P 为圆上一点，则有k OP·k l＝－ 1，而k OP＝－2－2＝－4，∴kl＝3.∴ a＝ 4，∴ m： 4x－3y＝ 0， l ： 4x－3y＋ 20＝ 0.∴ l 与 m 的距离为2|20|2＝ 4.4 ＋－8.直线 l：ax－ y＋b＝ 0，圆 M：x2＋ y2－ 2ax＋ 2by＝0，则 l 与 M 在同一坐标系中的图形可能是()答案B分析由题意，得圆M： (x－ a)2＋ (y＋ b)2＝a2＋ b2.∵圆 M 过原点 (0,0)，∴清除 A ， C 选项 .选项 B ，D 中，圆心 M (a，－ b)在第一象限，∴ a＞ 0，b＜ 0，∴ 直线 ax－ y＋b＝ 0 经过第一、三、四象限，故 B 选项切合 .2 2 － 2x ＋ 4y － 2 2 )9.若 x ， y 知足 x ＋ y 20＝ 0，则 x ＋ y 的最小值是 ( A. 5－5 B.5－ 5C.30－ 10 5D. 没法确立答案 C分析设 P(x ， y)是圆 C 上一点 .配方，得 (x － 1)2＋ (y ＋ 2)2＝ 25，圆心坐标为 C(1，－ 2)，半径 r ＝ 5.∵ x 2＋ y 2＝x －2＋ y －2，∴ 要使 x 2＋ y 2最小，则线段 PO 最短 .如图，当点 P ， O ， C 在同向来线上时， |PO |min ＝ |PC |－ |OC|＝ 5－ 12＋－2＝ 5－ 5，即 (x 2＋y 2)min ＝ 30－ 10 5.10.当曲线 y ＝ 1＋4－ x 2与直线 y ＝ k(x － 2)＋4 有两个相异交点时， 实数 k 的取值范围是 ()51， 3 A. 0，12B. 3 45 35 C. 12，4 D.12，＋ ∞答案 C分析曲线 y ＝ 1＋4－ x 2是以 (0,1)为圆心， 2 为半径的半圆 (如图 )，直线 y ＝ k(x －2) ＋4 是过定点 (2,4)的直线 .设切线 PC 的斜率为 k 0，则切线 PC 的方程为 y ＝ k 0(x － 2)＋ 4，圆心 (0,1) 到直线 PC 的距离等|－ 1－ 2k 0＋ 4| 5于半径 2，即 2 ＝ 2， k 0＝ 12.1＋ k 0直线 PA 的斜率为k 1＝ 34.所以，实数 k 的取值范围是5 312<k ≤ .4二、填空题11.已知 M(3,0) 是圆 x 2＋ y 2－ 8x － 2y ＋ 10＝0 内一点，则过点 M 的最长的弦所在直线方程为________.答案 x － y －3＝ 0分析由于直径是圆的最长的弦，所以圆心(4,1)在所求的直线上.y－ 0x－ 3所以所求的直线方程为＝，即 x－ y－ 3＝0.12.对于随意实数k，直线 (3k＋ 2)x－ ky－ 2 ＝ 0 与圆 x2＋ y2－ 2x－ 2y－ 2＝ 0 的地点关系是________.答案相切或订交分析∵ (3x－ y)k＋ 2x－ 2＝ 0，∴直线恒过点 (1,3).又∵点 (1,3)在圆上，∴直线与圆相切或相交.13.以原点 O 为圆心且截直线3x＋ 4y＋15＝ 0 所得弦长为8 的圆的方程是________.答案x2＋ y2＝ 25原点O到直线的距离d＝15＝3，设圆的半径为r，∴r2＝32＋42＝25，∴圆的方32＋42程是 x2＋ y2＝ 25.14.过点 M(3,2)作圆 O： x2＋ y2＋ 4x－ 2y＋ 4＝0 的切线方程是________________.答案y＝ 2 或 5x－ 12y＋9＝ 0分析由圆的方程可知，圆心为(－ 2,1)，半径为 1，明显所求直线斜率存在，设直线的方程为 y－ 2＝ k(x－ 3)，|－ 2k－ 1－ 3k＋ 2|即 kx－ y－ 3k＋2＝ 0，由＝1，k2＋－2解得 k＝ 0 或 k＝5，所以所求直线的方程为y＝ 2 和 5x－ 12y＋ 9＝ 0. 12三、解答题15.已知圆 C： (x－ 1)2＋ y2＝ 9 内有一点P(2,2) ，过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A， B 两点 .(1)当直线 l 经过圆心 C 时，求直线 l 的方程；(2) 当弦 AB 被点 P 均分时，写出直线l 的方程 .解 (1) 已知圆 C： (x－ 1)2＋ y2＝9 的圆心为 C(1,0)，由于直线 l 过点 P，C，所以直线 l 的斜率为 2，直线 l 的方程为 y＝ 2(x－ 1)，即 2x－y－ 2＝0.1(2)当弦 AB 被点 P 均分时，直线 l 垂直于 PC，直线 l 的方程为 y－2＝－2(x－ 2)，即 x＋ 2y－6＝ 0.16.已知圆 C： x2＋ (y－ 1)2＝ 5，直线 l ： mx－y＋ 1－ m＝ 0(m∈R).(1)判断直线 l 与圆 C 的地点关系；(2)设直线 l 与圆 C 交于 A， B 两点，若直线 l 的倾斜角为 120 °，求弦 AB 的长 .解 (1) 直线 l 可变形为 y－ 1＝m(x－ 1)，所以直线 l 过定点 D(1,1) ，又12＋－2＝1< 5，所以点 D 在圆 C 内，则直线l 与圆 C 必订交 .(2)由题意知 m≠0，所以直线 l 的斜率 k＝ m，又 k＝ tan 120 °＝－ 3，即 m＝－ 3.C(0,1)到直线 l：3x＋ y－3－ 1＝ 0 的距离 d＝|－ 3|3此时，圆心32＋12＝2，又圆 C 的半径 r＝ 5，所以 |AB|＝ 2r 2－ d2＝ 25－32＝ 17. 217.已知圆 C： x2＋ y2＋ 2x－4y＋ 3＝ 0.(1)若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等，求此切线的方程；(2) 从圆 C 外一点 P(x1， y1)向该圆引一条切线，切点为M， O 为坐标原点，且有|PM |＝ |PO|，求使得 |PM |获得最小值时点 P 的坐标 .解 (1) 将圆 C 整理，得 (x＋ 1)2＋ ( y－2)2＝2.①当切线在两坐标轴上的截距为0时，设切线方程为 y＝ kx，∴圆心到切线的距离为|－k－2|＝ 2，即 k2－ 4k－ 2＝ 0，解得 k＝ 2± 6.∴切线k2＋ 1方程为 y＝ (2 ± 6)x.②当切线在两坐标轴上的截距不为0 时，设切线方程为x＋ y－ a＝ 0，∴圆心到切线的距离为|－1＋2－a|＝2，即 |a－ 1|＝ 2，解得 a＝ 3 或－ 1.2∴切线方程为x＋ y＋ 1＝ 0 或x＋ y－3＝ 0.综上所述，所求切线方程为y＝ (2 ± 6)x 或x＋y＋ 1＝0 或x＋ y－3＝ 0.(2) ∵ |PO|＝ |PM |，∴ x21＋ y21＝ (x1＋ 1)2＋ (y1－ 2)2－2，即 2x1－ 4y1＋ 3＝0，即点 P 在直线 l： 2x －4y＋ 3＝ 0 上 .当 |PM |取最小值时， |OP|获得最小值，此时直线OP ⊥l ，∴直线 OP 的方程为2x＋ y＝ 0，3 ，3 3 x＝－10∴点 P 的坐标为－2x＋ y＝ 0.联立方程组2x－ 4y＋ 3＝ 0，解得3，10，5.y＝518.如图，已知圆心坐标为( 3， 1)的圆 M 与 x 轴及直线 y＝3x 分别相切于 A， B 两点，另一圆 N 与圆 M 外切，且与x 轴及直线 y＝ 3x 分别相切于 C， D 两点 .(1)求圆 M 与圆 N 的方程；(2)过点 B 作直线 MN 的平行线 l，求直线 l 被圆 N 截得的弦的长度 .解 (1) 由于点 M 的坐标为 ( 3， 1)，所以点 M 到 x 轴的距离为1，即圆 M 的半径长为1，则圆 M 的方程为 (x－3) 2＋ (y－ 1)2＝ 1.设圆 N 的半径长为r，连结 MA ， NC，OM ，如下图，则 MA⊥ x 轴， NC⊥ x 轴 .由题意，知点M， N 都在∠ COD 的均分线上，所以 O，M， N 三点共线 .由 Rt△ OAM ∽ Rt△OCN 可知，OM∶ON＝MA∶NC，即2＝1? r ＝3. 3＋ r r则|OC|＝ 3 3， N(3 3， 3)，则圆 N 的方程为 (x－ 3 3)2＋ (y－ 3)2＝9.(2) 由对称性可知，所求的弦长等于过点 A 与 MN 平行的直线被圆N 截得的弦的长度，此弦的方程是y＝3－ 1( x－ 3)＝3(x－3)，即 x－ 3y－3＝ 0，333－3圆心 N 到该直线的距离d＝|33－3×3－ 3|＝3，1＋322则弦长为 2 r2－ d2＝ 33.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第四章 章末检测(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2－15＝0相切，则实数k 的取值范围是( )A ．k >2B ．－3<k <2C ．k <－3或k >2D ．以上都不对2．点A (3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是( )A ．(－3,4，－10)B ．(－3,2，－4)C ．⎝⎛⎭⎫32，－12，12 D ．(6，－5,11) 3．过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 间的距离为( )A ．4B ．2C ．85D ．1254．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是( )A ．4x －y －4＝0B ．4x ＋y －4＝0C ．4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝05．直线l ：ax －y ＋b ＝0，圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋2by ＝0，则l 与M 在同一坐标系中的图形可能是( )6．若圆C 1：(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则实数a ，b 应满足的关系式是( )A ．a 2－2a －2b －3＝0B ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0C ．a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0D ．3a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝07．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程是( )A ．(x －1)2＋y 2＝4B ．(x －1)2＋y 2＝2C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x8．设直线2x －y －3＝0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x ＋1)2＋y 2＝25的直径分为两段，则这两段之比为( )A ．73或37B ．74或47C ．75或57D ．76或679．若x 、y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是( )A ．5－5B ．5－ 5C ．30－10 5D ．无法确定10．过圆x 2＋y 2－4x ＝0外一点(m ，n )作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m 、n 满足的关系式是( )A ．(m －2)2＋n 2＝4B ．(m ＋2)2＋n 2＝4C ．(m －2)2＋n 2＝8D ．(m ＋2)2＋n 2＝811．若圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y ＝0B ．x ＋y －2＝0C ．x －y －2＝0D ．x －y ＋2＝012．直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且只有一个公共点，则b 的取值范围是( )A ．|b |＝ 2B ．－1<b <1或b ＝－ 2C ．－1<b ≤1D ．－1<b ≤1或b ＝－ 2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．点M (1,2，－3)关于原点的对称点是________．14．两圆x 2＋y 2＋4y ＝0，x 2＋y 2＋2(a －1)x ＋2y ＋a 2＝0在交点处的切线互相垂直，那么实数a 的值为________．15．已知P (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0内一点，则过点P 的最短弦所在直线方程是________，过点P 的最长弦所在直线方程是________．16．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知三条直线l 1：x －2y ＝0，l 2：y ＋1＝0，l 3：2x ＋y －1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程．18．(12分)在三棱柱ABO －A ′B ′O ′中，∠AOB ＝90°，侧棱OO ′⊥面OAB ，OA ＝OB ＝OO ′＝2．若C 为线段O ′A 的中点，在线段BB ′上求一点E ，使|EC |最小．19．(12分)已知A(3,5)，B(－1,3)，C(－3,1)为△ABC的三个顶点，O、M、N分别为边AB、BC、CA的中点，求△OMN的外接圆的方程，并求这个圆的圆心和半径．20．(12分)已知动直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9．(1)求证：无论m为何值，直线l与圆C总相交．(2)m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最小？请求出该最小值．21．(12分)矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y －6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．(1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD外接圆的方程．22．(12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．第四章圆与方程(B) 答案1．C [由题意知点在圆外，故12＋22＋k ＋2×2＋k 2－15>0，解得k <－3或k >2．]2．A [设点A 关于点(0,1，－3)的对称点为A ′(x ，y ，z )，则(0,1，－3)为线段AA ′的中点，即x ＋32＝0，y －22＝1，4＋z 2＝－3， ∴x ＝－3，y ＝4，z ＝－10．∴A ′(－3,4，－10)．]3．A [根据题意，知点P 在圆上，∴切线l 的斜率k ＝－1k OP ＝－11－42＋2＝43． ∴直线l 的方程为y －4＝43(x ＋2)． 即4x －3y ＋20＝0．又直线m 与l 平行，∴直线m 的方程为4x －3y ＝0．故直线l 与m 间的距离为d ＝|0－20|42＋32＝4．] 4．A [设两切线切点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则两切线方程为x 1x ＋y 1y ＝4， x 2x ＋y 2y ＝4．又M (4，－1)在两切线上，∴4x 1－y 1＝4,4x 2－y 2＝4．∴两切点的坐标满足方程4x －y ＝4．]5．B [由直线的斜率a 与在y 轴上的截距b 的符号，可判定圆心位置，又圆过原点，所以只有B 符合．]6．B [圆C 1与C 2方程相减得两圆公共弦方程，当圆C 2的圆心在公共弦上时，圆C 1始终平分圆C 2的周长，所以选B ．] 7．B [由题意知，圆心(1,0)到P 点的距离为2，所以点P 在以(1,0)为圆心，以2为半径的圆上，所以点P 的轨迹方程是(x －1)2＋y 2＝2，故选B ．]8．A [由题意知P (0，－3)．P 到圆心(－1,0)的距离为2，∴P 分直径所得两段为5－2和5＋2，即3和7．选A ．]9．C [配方得(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，圆心坐标为(1，－2)，半径r ＝5，所以x 2＋y 2的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即5－5，故可求x 2＋y 2的最小值为30－105．]10．C [由勾股定理，得(m －2)2＋n 2＝8．]11．D [l 为两圆圆心连线的垂直平分线，(0,0)与(－2,2)的中点为(－1,1)，k l ＝1， ∴y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0．]12．D [如图，由数形结合知，选D ．]13．(－1，－2,3)14．－2解析 两圆心与交点构成一直角三角形，由勾股定理和半径范围可知a ＝－2．15．x ＋y －3＝0，x －y －3＝0解析 点P 为弦的中点，即圆心和点P 的连线与弦垂直时，弦最短；过圆心即弦为直径时最长．16．(x ＋2)2＋y 2＝2解析 设圆心坐标为(a,0)(a <0)，则由圆心到直线的距离为2知|a |2＝2，故a ＝－2，因此圆O 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝2．17．解l 2平行于x 轴，l 1与l 3互相垂直．三交点A ，B ，C 构成直角三角形，经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB 为直径的圆．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝0，y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝－1. 所以点A 的坐标是(－2，－1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1＝0，y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 所以点B 的坐标是(1，－1)．线段AB 的中点坐标是⎝⎛⎭⎫－12，－1，又|AB |＝(－2－1)2＋(－1＋1)2＝3． 所求圆的标准方程是⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝94． 18．解如图所示，以三棱原点，以OA 、OB 、OO ′所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ．由OA ＝OB ＝OO ′＝2，得A (2,0,0)、B (0,2,0)、O (0,0,0)，A ′(2,0,2)、B ′(0,2,2)、O ′(0,0,2)． 由C 为线段O ′A 的中点得C 点坐标为(1,0,1)，设E 点坐标为(0,2，z )， ∴|EC |＝(0－1)2＋(2－0)2＋(z －1)2＝(z －1)2＋5．故当z ＝1时，|EC |取得最小值为5．此时E (0,2,1)为线段BB ′的中点．19．解 ∵点O 、M 、N 分别为AB 、BC 、CA 的中点且A (3,5)，B (－1,3)，C (－3,1)， ∴O (1,4)，M (－2,2)，N (0,3)．∵所求圆经过点O 、M 、N ，∴设△OMN 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，把点O 、M 、N 的坐标分别代入圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋42＋D ＋4E ＋F ＝0(－2)2＋22－2D ＋2E ＋F ＝002＋32＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝7E ＝－15F ＝35． ∴△OMN 外接圆的方程为x 2＋y 2＋7x －15y ＋36＝0，圆心为⎝⎛⎭⎫－72，152，半径r ＝12130． 20．(1)证明 直线l 变形为m (x －y ＋1)＋(3x －2y )＝0．令⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，3x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.如图所示，故动直线l 恒过定点A (2,3)．而|AC |＝(2－3)2＋(3－4)2＝2<3(半径)．∴点A 在圆内，故无论m 取何值，直线l 与圆C 总相交．(2)解 由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小，即当AC 垂直直线l 时，弦长最小，此时k l ·k AC ＝－1，即m ＋3m ＋2·4－33－2＝－1，∴m ＝－52． 最小值为232－(2)2＝27．故m 为－52时，直线l 被圆C 所截得的弦长最小，最小值为27． 21．解 (1)∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－3．又∵点T (－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋2＝0．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－2， ∴点A 的坐标为(0，－2)，∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)，∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又|AM |＝(2－0)2＋(0＋2)2＝22，∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．22．解 (1)将圆C 整理得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2．①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y ＝kx ， ∴圆心到切线的距离为|－k －2|k 2＋1＝2，即k 2－4k －2＝0，解得k ＝2±6． ∴y ＝(2±6)x ；②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x ＋y －a ＝0， ∴圆心到切线的距离为|－1＋2－a |2＝2，即|a －1|＝2，解得a ＝3或－1． ∴x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0．综上所述，所求切线方程为y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0．(2)∵|PO |＝|PM |，∴x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2，即2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上．当|PM |取最小值时，即|OP |取得最小值，此时直线OP ⊥l ，∴直线OP 的方程为：2x ＋y ＝0，解得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0得⎩⎨⎧ x ＝－310，y ＝35，∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35．。

章末检测一、选择题1．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形是( )A ．以(a ，b )为圆心的圆B ．以(－a ，－b )为圆心的圆C ．点(a ，b )D ．点(－a ，－b )2．点P (m,3)与圆(x －2)2＋(y －1)2＝2的位置关系为( )A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．与m 的值有关 3．空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)和B (x ，－1,6)的距离为86，则x 的值为 ( ) A ．2B ．－8C ．2或－8D ．8或－2 4．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．[－3，－1] B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 5．设A 、B 是直线3x ＋4y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＋4y ＝0的两个交点，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )A ．4x －3y －2＝0B ．4x －3y －6＝0C ．3x ＋4y ＋6＝0D ．3x ＋4y ＋8＝06．圆x 2＋y 2－4x ＝0过点P (1，3)的切线方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x ＋3y －4＝0C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝07．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( )A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心 8．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．5B ．10C.252D.2549．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( ) A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或1110．已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( )A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能 11．若直线mx ＋2ny －4＝0(m 、n ∈R ，n ≠m )始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0的周长，则mn 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0，－1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1) 12．过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 的距离为( )A ．4B ．2C.85D.125二、填空题13．与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程为________． 14．过点P (－2,0)作直线l 交圆x 2＋y 2＝1于A 、B 两点，则|P A |·|PB |＝________.15．若垂直于直线2x ＋y ＝0，且与圆x 2＋y 2＝5相切的切线方程为ax ＋2y ＋c ＝0，则ac 的值为________．16．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 三、解答题17．自点A (－3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程．18． 已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0相交于P ，Q 两点，O 为原点，若OP ⊥OQ ，求实数m 的值．19．已知圆x 2＋y 2－6mx －2(m －1)y ＋10m 2－2m －24＝0(m ∈R )．(1)求证：不论m 为何值，圆心在同一直线l 上； (2)与l 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；(3)求证：任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等． 20．如图，已知圆O ：x 2＋y 2＝1和定点A (2,1)，由圆O 外一点P (a ，b )向圆O 引切线PQ ，切点为Q ， 且有|PQ |＝|P A |. (1)求a 、b 间关系； (2)求|PQ |的最小值；(3)以P 为圆心作圆，使它与圆O 有公共点，试在其中求出半径最 小的圆的方程．答案章末检测1．D 2．A 3．C 4．C 5．B 6．D 7．C 8．D 9．A 10．A 11．C 12．A 13．2x ＋3y ＋8＝0 14．3 15．±5 16.4317．解 如图所示，已知圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0关于x 轴对称的圆为C 1：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，其圆心C 1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切．设l 的方程为y －3＝k (x ＋3)， 即kx －y ＋3＋3k ＝0. 则|5k ＋5|1＋k2＝1，即12k 2＋25k ＋12＝0. ∴k 1＝－43，k 2＝－34.则l 的方程为4x ＋3y ＋3＝0或3x ＋4y －3＝0.18．解 设P ，Q 两点坐标为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，由OP ⊥OQ 可得 x 1x 2＋y 1y 2＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，x ＋2y －3＝0， 可得5y 2－20y ＋12＋m ＝0.①所以y 1y 2＝12＋m5，y 1＋y 2＝4.又x 1x 2＝(3－2y 1)(3－2y 2) ＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝9－24＋45(12＋m )，所以x 1x 2＋y 1y 2＝9－24＋45(12＋m )＋12＋m 5＝0，解得m ＝3.将m ＝3代入方程①，可得Δ＝202－4×5×15＝100>0，可知m ＝3满足题意，即3为所求m 的值．19．(1)证明 配方得：(x －3m )2＋[y －(m －1)]2＝25，设圆心为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m y ＝m －1， 消去m 得x －3y －3＝0，则圆心恒在直线l ：x －3y －3＝0上．(2)解 设与l 平行的直线是l 1：x －3y ＋b ＝0， 则圆心到直线l 1的距离为 d ＝|3m －3(m －1)＋b |10＝|3＋b |10.∵圆的半径为r ＝5，∴当d <r ，即－510－3<b <510－3时，直线与圆相交； 当d ＝r ，即b ＝±510－3时，直线与圆相切；当d >r ，即b <－510－3或b >510－3时，直线与圆相离．(3)证明 对于任一条平行于l 且与圆相交的直线l 1：x －3y ＋b ＝0，由于圆心到直线l 1的距离d ＝|3＋b |10，弦长＝2r 2－d 2且r 和d 均为常量．∴任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等． 20．解 (1)连接OQ 、OP ，则△OQP 为直角三角形，又|PQ |＝|P A |，所以|OP |2＝|OQ |2＋|PQ |2＝1＋|P A |2，所以a 2＋b 2＝1＋(a －2)2＋(b －1)2，故2a ＋b －3＝0.(2)由|PQ |2＝|OP |2－1＝a 2＋b 2－1＝a 2＋9－12a ＋4a 2－1＝5a 2－ 12a ＋8＝5(a －1.2)2＋0.8，得|PQ |min ＝255.(3)以P 为圆心的圆与圆O 有公共点，半径最小时为与圆O 相切的情形，而这些半径的最小值为圆O 到直线l 的距离减去圆O 的半径，圆心P 为过原点且与l 垂直的直线l ′与l 的交点P 0，所以r ＝322＋12－1＝355－1，又l ′：x －2y ＝0，联立l ：2x ＋y －3＝0得P 0(65，35)．所以所求圆的方程为(x －65)2＋(y －35)2＝(355－1)2.高中数学学习技巧： 在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。

同步学典（9）第四章章末检测1、若函数1(0,1)x y a b a a =+->≠且的图像经过第二、三、四象限,则一定有( ) A.01a <<,且0b > B.1a >,且0b > C.01a <<,且0b <D.1a >,且0b <2、若函数2(33)x y a a a =-+是指数函数,则有( ) A.1a =或2a = B.1a = C.2a =D.1a >,且2a ≠3、若函数()0,1)f x a a =>≠的定义域和值域都是[0,1]，则711log log 1114aa +=( ) A.-2 B.-1 C.0 D.14、当102x <≤时,1log 4xa x ⎛⎫< ⎪⎝⎭,那么a 的取值范围是( ) A. 10,4⎛⎫⎪⎝⎭B. 1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()1,4D.()2,45、已知0.81.2512,,2log 22a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<6、函数y =( ) A ．{}02x x << B ．{}0112x x x <<<<或 C ．{}02x x <≤D ．{}0112x x x <<<≤或7、已知,,x y z 都是大于1的正数,0,log 24,log 40,log 12x y xyz m m m m >===，则log z m 的值为( )A ．160B ．60C ．2003D ．3208、光线通过一块玻璃,强度要损失10%.设光线原来的强度为k ,通过x 块这样的玻璃以后强度为y ,则经过x 块这样的玻璃后光线强度为:0.9x y k =⋅,那么至少通过多少块这样的玻璃,光线强度能减弱到原来的14以下( )(lg30.477,lg20.3≈≈) A.12 B.13C.14D.159、幂函数yx α=中α的取值集合C 是11,0,,1,2,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的子集,当幂函数的值域与定义域相同时,集合C 为( )A. 11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B. 1,1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭C. 11,,1,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D. 1,1,2,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭10、已知幂函数12()f x x -=，若(1)(102)f a f a +<-，则a 的取值范围为（ ）A.(3,5)-B.(3,5)-C.(3,5)--D.(3,5)11、函数log a y x =在[]2,3上最大值比最小值大1，则a =______ ．12、函数22log (2)y x ax a =-+的值域为R ，则的取值范围是________.13、函数12y ⎛= ⎪⎝⎭的单调递增区间是____________.14、已知幂函数()223m m f x x-++=()Z m ∈为偶函数,且在区间()0,+∞上是增函数,则函数()f x 的解析式为_______15、已知幂函数()()93*m x x f m N -=∈的图像关于原点对称,且在R 上函数值随x 的增大而增大. 1. 求()f x 的解析式;2. 求满足()()1340f a f a ++-<的a 的取值范围.答案以及解析1答案及解析： 答案：C解析：因为函数1x y a b =+-的图像经过第二、三、四象限,所以001,10a a b <<+-<,即0b <.2答案及解析： 答案：C解析：由指数函数的概念,得2331a a -+=,解得1a =或2a =.当1a =时,底数是1,不符合题意,舍去;当2a =时,符合题意,故选C.3答案及解析：答案：B解析：由指数函数的单调性可得，()0,1)f x a a =>≠是单调递增函数或者是单调递减函数，因为(1)0f =，所以()f x 为[0,1]上的递减函数，所以(0)1f ==，解得2a =，22227117111log log log ()log 1111411142+=⨯-=-∴，故选B ．4答案及解析： 答案：B 解析：5答案及解析： 答案：A解析：因为0.80.8 1.21()=2<22b -=,所以1b a <<,因为25552log 2log 2log 41c ===<,所以c b a <<，故选A6答案及解析： 答案：D解析：根据题意可得200lg 0x x x -≥⎧⎪>⎨⎪≠⎩，解得0112x x <<<≤或，所以函数y ={}0112x x x <<<≤或故选D.7答案及解析： 答案：B解析：∵log 24,log 40,log 12,x y xyz m m m ===,∴11124,40,12log log log log log x y x y zm m m m m===++. ∴11211log 2440zm =++,解得1log 60zm =. ∴log 60z m =. 故选B.8答案及解析： 答案：C解析：光线经过1块玻璃后,强度变为(110%)0.9y k k =-=,光线经过2块玻璃后,强度变为2(110%)0.90.9y k k =-=,光线经过x 块玻璃后,强度变为0.9x y k =.由题意得0.94xk k <,即10.94x <,两边取对数,可得1lg0.9lg 4x <.∵lg0.9lg10<=,∴1lg2lg 220.3413.1lg 0.92lg3120.4771x --⨯>=≈≈-⨯-. ∵N x +∈,∴min 14x =.即至少通过14块玻璃,故选C.9答案及解析： 答案：C解析：根据幂函数1y x -=,0y x =,12y x =,y x =,2y x =,3y x =的图象和解析式可知,当1α=-,12α=,1α=,3α=时,相应幂函数的值域与定义域相同, 故选C.10答案及解析：答案：D 解析：11答案及解析：答案：2332或 解析：解：若1a >，则函数a y log x =在[]23，上为增函数， 则32312a a alog log log -==，则32a =， 若01a <<，则函数a y log x =在[]23，上为减函数， 则23123a a alog log log -==，则23a =， 故答案为：2332或12答案及解析：答案：01a ≤≤ 解析：13答案及解析：答案：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：由题意得函数满足220x x -++≥,结合相应二次函数的图像得12x -≤≤,又函数2()2f x x x =-++在区间1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递增,在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减,根据复合函数的单调性,可得12y ⎛= ⎪⎝⎭的单调递增区间为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.14答案及解析： 答案：()4f x x =解析：因为幂函数()223m m f x x -++=()m Z ∈为偶函数,所以223mm -++为偶数.又()f x 在区间()0,+∞上是增函数,所以223m m -++,0∆>,所以13m -<<,又Z m ∈,223m m -++为偶数, 所以1m =,故所求解析式为()4f x x =15答案及解析：答案：1.由题可知,函数在R 上单调递增,∴930m ->,解得3m < 又*m N ∈,∴1,2m = 又函数图像关于原点对称, ∴93m -为奇数,故2m =, ∴()3f x x =.2.∵()()1340f a f a ++-<,∴()()134f a f a +<--,∵()f x 为奇函数,∴()()143f a f a +<-又函数在R 上单调递增, ∴143a a +<-,∴34a <. 解析：。

人教版高中数学选择性必修第二册第4章数列章末测试卷B(原卷版) [时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在数列2，9，23，44，72，…中，第6项是()A．82B．107C．100D．832．若在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝a n2－1(n∈N*)，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝()A．－1B．1C．0D．23．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是()A．33B．65C．66D．1294．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S8＝30，S4＝7，则a4＝()A.1 4B.9 4C.13 4D.17 45．设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝12，a n＝f(n)(n∈N*)，则数列{a n}的前n项和S n的取值范围为()A.12， B.12，2C.12， D.12，16．已知数列{a n}满足a1＝0，a n＋1＝a n－33a n＋1(n∈N*)，则a20＝()A．0B．－3 C.3 D.327．数列{a n}满足递推公式a n＝3a n－1＋3n－1(n≥2)，又a1＝5数λ＝()A．2B．5C．－12D.1 28．已知数列{a n}：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，那么数列n项和S n＝()A．B．C．1－1n＋1D.12－1n＋1二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．在公比q为整数的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，若a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是()A．q＝2B．数列{S n＋2}是等比数列C．S8＝510D．数列{lga n}是公差为2的等差数列10．已知等差数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*)，公差d≠0，S6＝90，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是()A．a1＝22B．d＝－2C．当n＝10或n＝11时，S n取得最大值D．当S n>0时，n的最大值为2011．设首项为1的数列{a n}的前n项和为S n，已知S n＋1＝2S n＋n－1，现有下面四个结论中，正确的有()A．数列{S n＋n}为等比数列B．数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1－1C．数列{a n＋1}为等比数列D．数列{2S n}的前n项和为2n＋2－n2－n－412．将n2个数排成n行n列的一个数阵，如下图：a11a12a13 (1)a21a22a23 (2)a31a32a33 (3)…a n1a n2a n3…a nn该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0)．已知a11＝2，a13＝a61＋1，记这n2个数的和为S.下列结论正确的有()A．m＝3B．a67＝17×37C．a ij＝(3i－1)×3j－1D．S＝14n(3n＋1)(3n－1)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________．14．设数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝a n＋n＋1，则通项a n＝________．15．等比数列{a n}的前n项和为S n，公比不为1.若a1＝1，且对任意的n∈N*，都有a n＋2＋a n ＋1－2a n＝0，则S5＝________．16．某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因此首层价格为a1元/平方米，顶层由于景观好价格为a2元/平方米，第2层价格为a元/平方米，从第3层开始每层在前1层价格上加价a100元/平方米，则该商品房各层的平均价格为________元/平方米．四、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)设等差数列{a n}的前n项和为S n，公比是正数的等比数列{b n}的前n项和为T n.已知a1＝1，b1＝3，a3＋b3＝17，T3－S3＝12，求{a n}，{b n}的通项公式．18．(12分)某城市环境噪声平均值见下表：年份2018201920202021噪声57.857.256.656.0如果噪声平均值依此规律逐年减少，那么从2021年起，至少经过多少年，噪声平均值将小于42dB?19．(12分)已知数列{a n}的首项a1＝5＝a n＋2，n∈N*.3，3a n＋1(1)求证：数列{a n－1}为等比数列；(2)若a1＋a2＋…＋a n<100，求最大的正整数n.20．(12分)在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n＋2n..求证：数列{b n}是等差数列；(1)设b n＝a n2n－1(2)求数列{a n}的前n项和S n.21．(12分)(2021·山东高密市高三模拟)在①a2，a3，a4－4成等差数列，②S1，S2＋2，S3成等差数列中任选一个，补充在下列的问题中，并解答．在公比为2的等比数列{a n}中，S n为其前n项和，________．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝(n＋1)log2a n n项和T n.22．(12分)在等比数列{a n}中，a n>0(n∈N*)，公比q∈(0，1)，且a3·a5＋2a4·a6＋a3·a9＝100，4是a4与a6的等比中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝log2a n，S n＝|b1|＋|b2|＋…＋|b n|，求S n.1．已知数列{a n}为等比数列，a5＝1，a9＝81，则a7＝()A．9或－9B．9C．27或－27D．－272．已知数列{a n}是首项为1的等比数列，设b n＝a n＋2n，若数列{b n}也是等比数列，则b1＋b2＋b3＝()A．9B．21C．42D．453．设等比数列{a n}的各项均为正数，若a12＋a22＝2a1＋2a2，a34＋a44＝4a3＋4a4，则a1·a5＝()A．242B．8 C．82D．164．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＋a3＝52，且a2＋a4＝54，则S na n＝()A．4n－1B．4n－1C．2n－1D．2n－15．已知数列{a n}，若点(n，a n)(n∈N*)在直线y－3＝k(x－6)上，则数列{a n}的前11项和S11＝________．6．已知数列{a n}对于任意p，q∈N*，有a p＋a q＝a p＋q，若a1＝19，则a36＝________．人教版高中数学选择性必修第二册第4章数列章末测试卷B(解析版)[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在数列2，9，23，44，72，…中，第6项是()A ．82B ．107C ．100D ．83答案B解析∵9－2＝1×7，23－9＝2×7，44－23＝3×7，72－44＝4×7，设第6项为x 时，x －72＝5×7＝35，∴x ＝107.2．若在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n 2－1(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝()A ．－1B ．1C ．0D ．2答案A解析由递推关系式得a 2＝0，a 3＝－1，a 4＝0，a 5＝－1.∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1.3．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是()A ．33B ．65C ．66D ．129答案B解析设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{a n }．1＝2，n ＋1＝2a n －1，即a n ＋1－1a n －1＝2.∴a n －1＝1·2n －1，∴a n ＝2n －1＋1，∴a 7＝65.4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 8＝30，S 4＝7，则a 4＝()A.14B.94C.134D.174答案C解析由题意可知1＋8×（8－1）d2＝30，1＋4×（4－1）d2＝7，1＝14，＝1.故a 4＝a 1＋3d ＝134.5．设f(x)是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数x ，y ，都有f(x)·f(y)＝f(x ＋y)，若a 1＝12，a n ＝f(n)(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围为()A.12，B.12，2C.12，D.12，1答案C解析依题意得f(n ＋1)＝f(n)·f(1)，即a n ＋1＝a n ·a 1＝12a n ，所以数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，所以S n ＝21－12＝1－12n ，所以S n ∈12，6．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 20＝()A ．0B ．－3C.3 D.32答案B解析由a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，得a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，…，由此可知数列{a n }是周期变化的，周期为3，∴a 20＝a 2＝－ 3.7．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n －1(n ≥2)，又a 1＝5数λ＝()A ．2B ．5C ．－12 D.12答案C解析a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令b n ＝a n ＋λ3n ，则b 1＝5＋λ3，b 2＝23＋λ9，b 3＝95＋λ27，∵b 1＋b 3＝2b 2，∴λ＝－12.8．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，那么数列n 项和S n ＝()A ．B ．C ．1－1n ＋1 D.12－1n ＋1答案A解析∵a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n （n ＋1）2n ＋1＝n 2，1a n a n ＋1＝4n （n ＋1）＝∴S n ＝4(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1)＝故选A.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．在公比q 为整数的等比数列{a n }中，S n 是数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则下列说法正确的是()A ．q ＝2B ．数列{S n ＋2}是等比数列C ．S 8＝510D ．数列{lga n }是公差为2的等差数列答案ABC解析设等比数列的公比为q ，∵a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12且公比q 为整数，∴a 1＋a 1q 3＝18，a 1q ＋a 1q 2＝12，∴a 1＝2，q ＝2，故A 正确；S n ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2，∴S 8＝510，故C 正确；∴S n ＋2＝2n ＋1，故数列{S n ＋2}是等比数列，故B 正确；而lga n ＝lg2n ＝nlg2，故数列{lga n }是公差为lg2的等差数列，故D 错误．故选ABC.10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，公差d ≠0，S 6＝90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是()A ．a 1＝22B ．d ＝－2C ．当n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为20答案BCD解析由条件可知(a 1＋6d)2＝(a 1＋2d)(a 1＋8d)，6a 1＋15d ＝90，解得a 1＝20，d ＝－2，所以a n ＝－2n ＋22，S n ＝－n 2＋21n ，则当n ＝10或11时，S n 取得最大值，当S n >0时，0＜n ＜21，n 最大为20，所以B 、C 、D 正确．11．设首项为1的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＋1＝2S n ＋n －1，现有下面四个结论中，正确的有()A ．数列{S n ＋n}为等比数列B ．数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1－1C ．数列{a n ＋1}为等比数列D ．数列{2S n }的前n 项和为2n ＋2－n 2－n －4答案AD解析因为S n ＋1＝2S n ＋n －1，则S n ＋1＋n ＋1S n ＋n ＝2S n ＋2nS n ＋n＝2，又因为S 1＋1＝2，所以数列{S n ＋n}为首项是2，公比是2的等比数列，所以S n ＋n ＝2n ，则S n ＝2n －n ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－1，又因为a 1≠21－1－1，所以A 正确，B 、C 错误；因为2S n ＝2n ＋1－2n ，所以{2S n }的前n 项和为2n ＋2－n 2－n －4，所以D 正确．故选AD.12．将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图：a 11a 12a 13…a 1n a 21a 22a 23…a 2n a 31a 32a 33…a 3n…a n1a n2a n3…a nn该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中m>0)．已知a 11＝2，a 13＝a 61＋1，记这n 2个数的和为S.下列结论正确的有()A ．m ＝3B ．a 67＝17×37C ．a ij ＝(3i －1)×3j －1D ．S ＝14n(3n ＋1)(3n －1)答案ACD解析由a 11＝2，可知a 13＝a 11m 2＝2m 2，a 61＝a 11＋5m ＝2＋5m ，又a 13＝a 61＋1，所以2m 2＝2＋5m ＋1，解得m ＝3或m ＝－12(舍去)．故A 正确；因为a ij ＝a i1·3j －1＝[2＋3(i －1)]3j －1＝(3i －1)3j －1.所以a 67＝17×36，故C 正确，B 错误；S ＝(a 11＋a 12＋…＋a 1n )＋(a 21＋a 22＋…＋a 2n )＋…＋(a n1＋a n2＋…＋a nn )＝a 11（1－3n ）1－3＋a 21（1－3n ）1－3＋…＋a n1（1－3n ）1－3＝12(3n －1)(a 11＋a 21＋a 31＋…＋a n1)＝12(3n －1)·（2＋3n －1）n 2＝14n(3n ＋1)(3n －1)．故D 正确．故选ACD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________．答案2414．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝________．答案n （n ＋1）2＋1解析∵a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，∴a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，a n －2－a n －3＝n －2，…，a 3－a 2＝3，a 2－a 1＝2，a 1＝2.将以上各式的两边分别相加，得a n ＝[n ＋(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋3＋2]＋2＝n （n ＋1）2＋1.15．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，且对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n＋1－2a n ＝0，则S 5＝________．答案11解析由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0.由q 2＋q －2＝0，解得q＝－2或q ＝1(舍去)，则S 5＝a 1（1－q 5）1－q＝1－（－2）53＝11.16．某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因此首层价格为a 1元/平方米，顶层由于景观好价格为a 2元/平方米，第2层价格为a 元/平方米，从第3层开始每层在前1层价格上加价a100元/平方米，则该商品房各层的平均价格为________元/平方米．答案123(a 1＋a 2＋23.1a)解析设第2层到第22层的价格构成数列{b n }，则{b n }是等差数列，b 1＝a ，公差d ＝a100，共21项，所以其和为S 21＝21a ＋21×202·a 100＝23.1a ，故平均价格为123(a 1＋a 2＋23.1a)元/平方米．四、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公比是正数的等比数列{b n }的前n 项和为T n .已知a 1＝1，b 1＝3，a 3＋b 3＝17，T 3－S 3＝12，求{a n }，{b n }的通项公式．解析设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q.由a 3＋b 3＝17，得1＋2d ＋3q 2＝17，①由T 3－S 3＝12，得q 2＋q －d ＝4.②由①②及q>0，解得q ＝2，d ＝2.故所求的通项公式为a n ＝2n －1，b n ＝3×2n －1.18．(12分)某城市环境噪声平均值见下表：年份2018201920202021噪声57.857.256.656.0如果噪声平均值依此规律逐年减少，那么从2021年起，至少经过多少年，噪声平均值将小于42dB?解析由表可知，噪声平均值逐年减少0.6dB ，即噪声值构成等差数列{a n }，且a 1＝56.0，d ＝－0.6.∴a n ＝56＋(n －1)·(－0.6)＝－0.6n ＋56.6.由a n <42.得－0.6n ＋56.6<42，∴n>2413，故至少经过25年噪声平均值将小于42dB.19．(12分)已知数列{a n }的首项a 1＝53，3a n ＋1＝a n ＋2，n ∈N *.(1)求证：数列{a n －1}为等比数列；(2)若a 1＋a 2＋…＋a n <100，求最大的正整数n.解析(1)证明：∵3a n ＋1＝a n ＋2，a n ＋1－1＝13(a n －1)，且a 1－1＝23，∴数列{a n －1}是以23为首项，13为公比的等比数列．(2)由(1)可得a n －1＝23×－1，∴a n ＝2＋1.a 1＋a 2＋…＋a n ＝n ＋＋132＋…n ＋2×13－13n ＋11－13＝n ＋1－13n ，若n ＋1－13n <100，则n max ＝99.20．(12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .(1)设b n ＝a n2n －1.求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解析(1)证明：∵a n ＋1＝2a n ＋2n ，∴a n ＋12n＝a n2n －1＋1，即b n ＋1＝b n ＋1，∴b n ＋1－b n ＝1.故数列{b n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)知b n ＝n ，∴a n ＝n·2n －1.S n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n －1，2S n ＝1×21＋2×22＋…＋(n －1)·2n －1＋n·2n ，两式相减得－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n·2n＝1－2n1－2－n·2n ＝2n －1－n·2n ，∴S n ＝(n －1)2n ＋1.21．(12分)(2021·山东高密市高三模拟)在①a 2，a 3，a 4－4成等差数列，②S 1，S 2＋2，S 3成等差数列中任选一个，补充在下列的问题中，并解答．在公比为2的等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，________．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(n ＋1)log 2a n n 项和T n .解析(1)选①：因为a 2，a 3，a 4－4成等差数列，所以2a 3＝a 2＋a 4－4，所以8a 1＝2a 1＋8a 1－4，解得a 1＝2，所以a n ＝2n .选②：因为S 1，S 2＋2，S 3成等差数列，所以2(S 2＋2)＝S 1＋S 3，即a 2＋4＝a 3，所以2a 1＋4＝4a 1，解得a 1＝2，所以a n ＝2n .(2)因为a n ＝2n ，所以b n ＝(n ＋1)log 2a n ＝(n ＋1)log 22n ＝n(n ＋1)，所以4n ＋2b n 2＝2（2n ＋1）n 2（n ＋1）2＝21n 2－1（n ＋1）2，所以T n ＝…＋2[1n 2－1（n ＋1）2]＝21－122＋122－132＋…＋1n 2－1（n ＋1）2＝2－2（n ＋1）2.22．(12分)在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N *)，公比q ∈(0，1)，且a 3·a 5＋2a 4·a 6＋a 3·a 9＝100，4是a 4与a 6的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log 2a n ，S n ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |，求S n .解析(1)∵a 3a 5＋2a 4a 6＋a 3a 9＝100，∴a 42＋2a 4a 6＋a 62＝100，∴(a 4＋a 6)2＝100.又a n >0，∴a 4＋a 6＝10.∵4是a 4与a 6的等比中项，∴a 4a 6＝16，而q ∈(0，1)，∴a 4>a 6，∴a 4＝8，a 6＝2，∴q ＝12，a 1＝64，∴a n ＝－1＝27－n .(2)∵b n ＝log 2a n ＝7－n ，则数列{b n }的前n 项和为T n ＝n （13－n ）2，∴当1≤n ≤7时，b n ≥0，∴S n ＝n （13－n ）2.当n ≥8时，b n <0，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b 7－(b 8＋b 9＋…＋b n )＝－(b1＋b2＋…＋b n)＋2(b1＋b2＋…＋b7)＝－n（13－n）2＋2×7×62＝n2－13n＋842.∴S nn≤7且n∈N*），n≥8且n∈N*）.1．已知数列{a n}为等比数列，a5＝1，a9＝81，则a7＝()A．9或－9B．9C．27或－27D．－27答案B解析∵数列{a n}为等比数列，且a5＝1，a9＝81，∴a72＝a5a9＝1×81＝81，∴a7＝±9.当a7＝－9时，a62＝a5a7＝1×(－9)＝－9不成立，舍去．∴a7＝9.故选B.2．已知数列{a n}是首项为1的等比数列，设b n＝a n＋2n，若数列{b n}也是等比数列，则b1＋b2＋b3＝()A．9B．21C．42D．45答案B解析设数列{a n}的公比为q，则a2＝q，a3＝q2，∴b1＝a1＋21＝3，b2＝a2＋22＝q＋4，b3＝a3＋23＝q2＋8，∵数列{b n}也是等比数列，∴(q＋4)2＝3(q2＋8)，解得q＝2，∴b1＋b2＋b3＝3＋6＋12＝21.故选B.3．设等比数列{a n}的各项均为正数，若a12＋a22＝2a1＋2a2，a34＋a44＝4a3＋4a4，则a1·a5＝() A．242B．8C．82D．16答案C解析∵a12＋a22＝2a1＋2a2，∴a1＋a22＝2（a1＋a2）a1a2，∵等比数列{a n}的各项均为正数，∴a1a2＝4，同理可得a3a4＝16.∴q4＝4，q＝2，∴a1a5＝a3a4q＝162＝8 2.4．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝52，且a 2＋a 4＝54，则S na n ＝()A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n －1答案D解析设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝12，∴a 1＋a 3＝a 1(1＋q 2)＝a ＝52，解得a 1＝2，∴a n ＝2－1－2，S n1－12∴S n a n＝1－12－2＝2n －1.故选D.5．已知数列{a n }，若点(n ，a n )(n ∈N *)在直线y －3＝k(x －6)上，则数列{a n }的前11项和S 11＝________．答案33解析∵点(n ，a n )在直线y －3＝k(x －6)上，∴a n ＝3＋k(n －6)．∴a n ＋a 12－n ＝[3＋k(n －6)]＋[3＋k(6－n)]＝6，n ＝1，2，3，…，6，∴S 11＝a 1＋a 2＋…＋a 11＝5(a 1＋a 11)＋a 6＝5×6＋3＝33.6．已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，则a 36＝________．答案4解析∵a 1＝19，∴a 2＝a 1＋a 1＝29，a 4＝a 2＋a 2＝49，a 8＝a 4＋a 4＝89.∴a 36＝a 18＋a 18＝2a 18＝2(a 9＋a 9)＝4a 9＝4(a 1＋a 8)＝4 4.。