2-3-1_列方程解应用题.题库教师版

第七讲列方程解应用题（一）在小学数学中，列方程解应用题与用算术方法解应用题是有密切联系的。

它们都是以四则运算和常见的数量关系为基础，通过分析题目里的数量关系，根据四则运算的意义列式解答的。

但是，两种解答方法的解题思路却不同。

由于数量关系的多样性和叙述方式的不同，用算术方法解答应用题，时常要用逆向思考，列式比较困难，解法的变化也比较多。

用列方程的方法解答应用题，由于引进了字母表示未知数，可以使未知数直接参与运算，使题目中的数量关系更加清楚，把未知数当成已知数来用，使我们很容易理清数量关系，正确解决问题。

特别是在解比较复杂的或有特殊解法的应用题时，用方程往往比较容易。

1.基本概念：（1）像4x+2=9这样的等式，只含有一个未知数x，而且未知数x的指数为1的方程叫做一元一次方程；（2）像2x+y=8这样的等式，含有两个未知数x、y，而且未知数的指数都为1的方程叫做二元一次方程；把两个二元一次方程用“﹛”写在一起，就组成了一个二元一次方程组；（3）如果有两个未知数，一般需要两个方程才能求出唯一解，如果有三个未知数，一般需要三个方程才能求出唯一解.2.列方程解应用题的一般步骤是：①审清题意，弄清楚题目意思以及数量之间的关系；②合理设未知数x，设未知数的方法有两种：直接设未知数（问什么设什么），间接设未知数；③依题意确定等量关系，根据等量关系列出方程；④解方程；⑤将结果代入原题检验。

概括成五个字就是：“审、设、列、解、验”.列方程解应用题的关键是找到正确的等量关系。

寻找等量关系的常用方法是：根据题中“不变量”找等量关系。

1.理解一元一次方程、二元一次方程（组）及确定方程解的概念，会解一元一次方程、二元一次方程组；2.能根据题意列方程解答问题。

例1：解下列方程：（1）357x x +=+（2）452x x -=- （3）12(3)7x x +-=+ （4）132(23)5(2)x x --=--（5）5118()2352x x ⎡⎤⨯⨯-=⎢⎥⎣⎦ （6）1123x x +-= （7）527x y x y +=⎧⎨+=⎩（8）2311329x y x y +=⎧⎨+=⎩分析：（1）移项得：375x x -=-，注意把“同类”放在等号的同侧，移项过程中注意变号；化简得：22x =，等式两边同时除以2可得1x =，把1x =代入原式，满足等式。

1.会解一元一次方程2.根据题意寻找等量关系的方法来构建方程3.合理规划等量关系，设未知数、列方程知识点说明：一、 等式的基本性质1.等式的两边同时加上或减去同一个数，结果还是等式.2.等式的两边同时乘以或除以同一个不为零的数，结果还是等式. 二、解一元一次方程的基本步骤 1.去括号； 2.移项；3.未知数系数化为1，即求解。

三、列方程解应用题 （一）、列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，然后解出未知数的值．这个含有未知数的等式就是方程．列方程解应用题的优点在于可以使未知数直接参加运算．解这类应用题的关键在于能够正确地设立未知数，找出等量关系从而建立方程．（二）、列方程解应用题的主要步骤是：1.审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量，这个量最好能和题目中的其他量有着紧密的数量关系；2.设这个量为x ，用含x 的代数式来表示题目中的其他量；3.找到题目中的等量关系，建立方程；4.运用加减法、乘除法的互逆关系解方程；5.通过求到的关键量求得题目答案．板块一、直接设未知数【例 1】 长方形周长是64厘米，长比宽多3厘米，求长方形的长和宽各是多少厘米？【巩固】一个三角形的面积是18平方厘米，底是9厘米，求三角形的高是多少厘米？2-3-1列方程解应用题教学目标知识精讲例题精讲【巩固】(全国小学数学奥林匹克)一个半圆形区域的周长等于它的面积，这个半圆的半径是．(精确到0.01，π 3.14=)【例2】用边长相同的正六边形白色皮块、正五边形黑色皮块总计32块，缝制成一个足球，如图所示，每个黑色皮块邻接的都是白色皮块；每个白色皮块相间地与3个黑色皮块及3个白色皮块相邻接．问：这个足球上共有多少块白色皮块？【例3】(2003年全国小学数学奥林匹克)某八位数形如2abcdefg，它与3的乘积形如4abcdefg，则七位数abcdefg应是．【巩固】有一个六位数1abcde乘以3后变成1abcde，求这个六位数．【巩固】（第六届“迎春杯”刊赛试题）有一个五位数，在它后面写上一个7，得到一个六位数；在它前面写上一个7，也得到一个六位数．如果第二个六位数是第一个六位数的5倍，那么这个五位数是．【例4】有三个连续的整数，已知最小的数加上中间的数的两倍再加上最大的数的三倍的和是68，求这三个连续整数.【巩固】已知三个连续奇数之和为75，求这三个数。

第十二讲 列方程解应用题（一）知识要点：从三年级开始，我们学习了各种类型的应用题，如和倍差倍、植树、盈亏、鸡兔同笼、年龄、还原、行程等，总体说来，往往用的是逆向思维的方法，有利于我们训练逻辑思维能力。

而列方程解应用题，用的是顺向思维来思考问题，思路比较简单直接。

列方程解应用题的基本思路是：首先用字母代替待求的未知数，然后沿着题目的条件找出等量关系，并将字母当作已知数建立方程，进而算出未知数的值。

列方程解应用题的优点在于可以使未知数直接参加运算。

解这类应用题的关键在于能够正确地设立未知数，找出等量关系从而建立方程。

针对方程是代数思想的重要体现，我们在小学阶段四、五年级各设一讲，系统地讲解方程及其应用。

列方程解应用题的主要步骤是：(1)仔细审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量，这个量最好能和题目中的其他量有着紧密的数量关系；(2)设这个量为x ，用含x 的代数式来表示题目中的其它量；(3)找到题目中的等量关系，建立方程；(4)运用加减法、乘法的互逆关系解方程；(5)通过求到的关键量求得题目答案；(6)检验答案。

一、基础应用【例1】 大林请三名同学去看电影，买完票之后还剩下一张10元钱、一张5元钱和两张1元钱。

这时又来了两名同学，大林也想请他们一起看，可是他发现还差3元钱。

请问：大林一共有多少钱？【解析】 设一张电影票的价格是x 元；由题意，得()()31105123123x x ++++⨯=++-；解得10x =；所以大林一共有()1041051257⨯+++⨯=或()1042357⨯+-=元钱。

【例2】 有两款数码相机，一款是高档专业相机，一款是普通家用相机。

家用相机价格较低，比专业相机便宜了4600元。

买1台专业相机的钱足够买4台家用相机，而且还能剩下100元。

请问：专业相机的价格是多少？【解析】 设家用相机的价格是x 元，则专业相机的价格是()4100x +元；由题意，得()41004600x x +-=；解得1500x =元。

1．综合复习小学所学的多种类型的应用题解法；2．训练列方程解应用题的熟练程度，提高速度和准确度．（此环节设计时间在10－15分钟）在解决和差倍问题时，要注意找到“1倍量”，一般将其设为x后，根据总数的和或差的关系列出方程。

回顾上次课的预习思考内容写出下列应用题中的等量关系：(1) 故宫的面积是72万平方米，比天安门广场面积的2倍少16万平方米。

天安门广场的面积多少万平方米？___________________＝____________________________________________。

(2) 妈妈今年的年龄儿子的3倍，妈妈比儿子大24岁。

儿子和妈妈今年分别是多少岁？____________＝____________________；____________＝____________________。

(3) 甲、乙两人原来存款数相同。

后来甲取出250元，而乙又存入350元，这时乙的存款数正好是甲存款数的4倍。

原来每人存款多少元？（此环节设计时间在50－60分钟）例题1：有甲、乙、丙三所小学的同学来参加幼苗杯数学邀请赛，其中甲校参赛人数比乙校多5人，比丙校多7人．如果乙、丙两校一共有40人参加比赛，那么三所学校各有多少人参加比赛？教法说明：先让学生找出本题中的等量关系，再根据等量关系设未知数。

参考答案：设甲校有x人，则乙校有（x－5）人，丙校（x－7）人，x－5＋x－7＝40x＝26乙：x－5＝21（人），丙：x－7＝19（人）答：甲、乙、丙三所小学的分别有26、21、19人参加比赛。

试一试：甲、乙、丙三个人每人都有一些弹珠，其中甲的弹珠比乙多3颗，乙的弹珠比丙多9颗，如果甲、丙两人共有100颗弹珠，那么三人各有多少颗弹珠？参考答案：56、53、44试一试：一群黄鼠狼给鸡拜年，黄鼠狼和鸡一共有24只，鸡的总腿数比黄鼠狼的总腿数多18条，求黄鼠狼和鸡各有几只？参考答案：5只、19只此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习＋10分钟互动讲解）。

苏教版六年级上册《第1章方程》同步练习卷（2）一、列方程解应用题1. 甲有书的本数是乙有书的本数的3倍，甲、乙两人平均每人有82本书，求甲、乙两人各有书多少本？2. 一个两层的书架，上层放的书是下层的3倍，若把上层的书搬60本到下层，则两层的书相等。

原来上、下两层各有书多少本？（列方程解应用题）3. 有甲、乙两缸金鱼，甲缸的金鱼条数是乙缸的一半，如从乙缸里取出9条金鱼放入甲缸，这样两缸鱼的条数相等，求甲缸原有金鱼多少条？4. 汽车从甲地到乙地，去时每小时行60千米，比计划时间早到1小时；返回时，每小时行40千米，比计划时间迟到1小时。

求甲乙两地的距离。

提示：设计划x小时到，那么去时用了(x−1)小时，返回时用了(x+1)小时。

5. 新河口小学的同学去种向日葵，五年级种的棵数比四年级种的3倍少10棵，五年级比四年级多种62棵，两个年级各种多少棵？6. 熊猫电视机厂生产一批电视机，如果每天生产40台，要比原计划多生产6天，如果每天生产60台，可以比原计划提前4天完成，求原计划生产时间和这批电视机的总台数。

7. 甲仓存粮32吨，乙仓存粮57吨，以后甲仓每天存人4吨，乙仓每天存人9吨。

几天后，乙仓存粮是甲仓的2倍？8. 一把直尺和一把小刀共1.9元，4把直尺和6把小刀共9元，每把直尺和每把小刀各多少元？9. 甲、乙两个粮仓存粮数相等，从甲仓运出130吨、从乙仓运出230吨后，甲粮仓剩粮是乙粮仓剩粮的3倍，原来每个粮仓各存粮多少吨？参考答案与试题解析苏教版六年级上册《第1章方程》同步练习卷（2）一、列方程解应用题1.【答案】乙的书本数是41本，甲的书本数是123本【考点】列方程解含有两个未知数的应用题【解析】此题用方程解，设乙有书x本，因“甲有书的本数是乙有书的本数的3倍”可表示出甲有书3x本，由题意“甲、乙两人平均每人有82本书”，能算出两人共有书的本数是160本，据此等量列方程求解。

【解答】设乙有书x本，则甲有书3x本，由题意列方程得；x+3x＝82×2，4x＝164，x＝41，把x＝41代入3x，＝3×41，＝123；2.【答案】上层数有180本，下层书有60本【考点】列方程解含有两个未知数的应用题【解析】根据上层放的书是下层的3倍，可设下层书有x本，那么上层数就有3x本，根据上层的书搬60本到下层，则两层的书相等可列方程：3x−60＝x++60，然后解答即可。

《数与代数-列方程解三步应用题》一、填空题1.甲乙两地相距972km，一列火车从甲地开出，每小时行驶162km，另一列从乙地开出，每小时行驶108km．这两列火车同时开出，经过几小时相遇？可设经过x小时相遇，列方程是，求得x的值是．2．根据题意把方程补充完整．甲、乙两辆汽车同时从相距270千米的两地相对开出3小时后相遇，甲车每小时行驶48千米，乙车每小时行驶多少千米？（1）根据甲车行驶的路程+乙车行驶的路程=总路程，设乙车每小时行驶x千米，列方程：=+270（2）根据（甲车每小时行驶的路程+乙车每小时行驶的路程）3⨯=总路程，设乙车每小时行驶x千米，列方程：⨯=(+)3270二、选择题1.两辆汽车同时从相距522千米的两地相向而行，甲车每小时行50千米，乙车每小时行40千米，行了几小时后两车________？设行了x小时后两车．根据方程选择合适的信息．++=；504072522x x+-=．x x504072522A．离中点72千米处相遇B．还相距72千米C．又相距72千米2．甲乙两地间的铁路长480千米，客车和货车同时从两地相对开出，经过4小时相遇．已知客车每小时行65千米，货车每小时行x千米．不正确的方程是()A．6544480+480+=÷D．654x=xx⨯+= B．4480654x=-⨯C．6548043．两地相距128千米，甲、乙两人骑自行车同时从两地出发，相对而行4小时后相遇，甲每小时行14.5千米，甲每小时比乙慢()A．32千米B．17.5千米C．5千米D．3千米4．两艘轮船分别从福建港口和中华台北港口同时出发，相向而行，已知两港口的距离是411km ，从中华台北港口出发的轮船每小时行驶73km ，从福建港口出发的轮船每小时行驶64km ．经过多少小时两船相遇？解：设经过x 小时两船相遇，可列方程为( )A ．(7364)411x +=B ．(7364)411x -=C ．7364411x +=5．货车和客车从A 、B 两地同时相向而行，货车每小时行60千米，客车每小时行80千米，问几小时后两车在离中点40千米处相遇？（解：设x 小时后两车在离中点40千米处相遇．)下面正确的算式或方程共有( )个．（1）604080x x += （2）8060402x x -=⨯ （3）806040x x -=（4）402(8060)⨯÷-（5）40(8060)÷-（6）80402÷⨯．A ．1B ．2C ．3D ．4三、解决问题1．A 、B 两船，分别从甲、乙两港同时向对方港口开出，经过6小时后，两船相遇，相遇后两船继续向前行驶，A 船又经4小时到达乙港，B 船又经几小时到达甲港？（用多种方法解）2.福州到厦门的距离是260千米，一辆动车和一辆快速列车同时从两地相对开出，经过0.8小时相遇，动车平均每小时行200千米，快速列车平均每小时行多少千米？（用方程解）3.两地间的距离是540千米．甲、乙两辆汽车同时从两地开出，相向而行，经过3小时相遇．甲车每小时行88千米，乙车每小时行多少千米？（用方程解）4.杭州到衢州的杭金衢高速全长290km ，甲、乙两辆汽车分别从杭州和衢州同时出发相向而行，甲车每小时行105km ，经过1.4小时两车还未相遇，此时两车相距17km ，乙车每小时行多少千米？（用方程解）5.甲、乙两地相距362.5千米，一辆客车和一辆货车同时从两地相对开出，经过2.5小时相遇．已知货车每小时行65千米，请你算一算客车每小时行多少千米？（列方程解答）6.列方程解答．A、B两地间的公路全长480千米．甲、乙两辆货车从A、B两地同时出发，相向而行，经过4小时两车相遇，甲货车的速度是64千米/时，乙货车的速度是多少千米/时？7.甲、乙两地之间的高速公路全长820千米．一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两地出发，相向而行，经过4小时相遇．如果客车的速度是110千米/时，货车的速度是多少千米/时（列方程解）8.甲乙两地相距280千米，两车分别从两地相对开出，经过3.5小时相遇．已知客车每小时行42千米，货车每小时行多少千米？（列方程解）9．甲、乙两车从相距320千米的两地同时出发，相向而行，经过4小时两车相遇．甲每小时行30千米，乙车每小时行多少千米？（列方程解答）10.甲、乙两辆汽车同时从相距225千米的两地相对开出，经过2.5小时相遇，甲车每小时行48千米，乙车每小时行多少千米？（列方程解）11.两个码头之间相距100千米，甲、乙两艘轮船分别同时从两个码头出发向相反方向开出，甲船每小时行38千米，乙船每小时行32千米．经过几小时两船相距450千米？（列方程解）12.甲、乙两船由相距384千米的两个码头同时相向而行，甲船每小时行21千米，乙船每小时行27千米．几小时后两船相遇？（方程解）13.奇思和妙想家相距1120米，奇思要把一盒学习用具还给妙想，两人相约同时从各自家里出发，奇思每分钟走76米，妙想每分钟走84米，经过几分钟两人相遇？（列方程解答）14.甲乙两辆汽车从相距324千米的两地同时相对开出，经6小时后在途中相遇，甲车的速度是乙车的2倍．甲车每小时行多少千米？（用方程解）15.两列火车从相距570千米的两地同时相对开出．甲车每小时行110km，乙车每小时行80km．经过几小时两车相遇？（用方程解）16.甲、乙和丙同时由东、西两城出发，甲、乙两人由东城到西城，甲步行每小时走5千米，乙骑自行车每小时行15千米，丙也骑自行车每小时20千米，已知丙在途中遇到乙后，又经过1小时才遇到甲，求东、西城相距多少千米？17.成渝高速路长330千米，一辆大客车从重庆开往成都，一辆小轿车同时从成都开往重庆．2小时在途中相遇，已知小轿车的速度是大客车的1.2倍．两车每小时各行多少千米？18.淘气家和笑笑家相距1240m．一天，两人约定在两家之间的路上会合．淘气每分走80m，笑笑每分走75m．两人同时从家出发，多长时间后能相遇？（列方程解答）答案一、填空题1.(162108)972x +⨯=；3.6．2.（1）4833270x ⨯+=（2）(48)3270x +⨯=二、选择题1.B ；C ．2.D ．3．D ．4．A ．5．B ．三、解决问题1.解：（1）111()6664÷--+11615=÷-156=-9=（小时）答：B 船又经9小时到达甲港．（2）设B 船又经x 小时到达甲港， 则1116466x +=++ 1111110610610x +-=-+ 11615x =+615x +=66156x +-=-9x =答：B 船又经9小时到达甲港．2.解：设另一列火车平均每小时行x 少千米，(200)0.8260x +⨯=1600.8260x +=0.8100x=x=125答：快速列车平均每小时行125千米．3.解：设乙车每小时行x千米，可得方程：(88)3540+⨯=x+=2643540xx=3276x=92答：乙车每小时行92千米．4.解：设乙车每小时行x千米，则：x⨯++=105 1.4 1.417290x++=147 1.417290x+=1.4164290x=1.4126x=90答：乙车每小时行90千米．5.解：设客车每小时行x千米，由题意得，+⨯=(65) 2.5362.5x+=65145xx=80答：客车每小时行80千米．6.解：设乙车每小时行x千米，x⨯+=6444480x+=2564480+-=-x2564256480256x=422456x=答：乙车每小时行56千米．7.解：设货车的速度每小时x千米，可得方程：+⨯=x(110)4820110205+=xx=95答：货车每小时行95千米．8.解：设货车每小时行x千米，x+⨯=则(42) 3.5280x+⨯÷=÷(42) 3.5 3.5280 3.5x+=4280x+-=-42428042x=38答：货车每小时行38千米．9.解：设乙车每小时行x千米，4430320x+⨯=x+=4120320x=4200x=50答：乙车每小时行50千米．10.解：设乙车每小时行x千米+⨯=(48) 2.5225x+=120 2.5225xx=2.5105x=42答：乙车每小时行42千米．11.解：设经过x小时两船相距450千米，x+=-(3832)450100x=70350x=5答：经过5小时两船相距450千米．12.解：设x小时后两船x相遇，由题意得，+=，2127384x x48384x =，8x =；答：8小时后两船相遇．13.解：设两人同时从家出发，x 分钟相遇，则根据(7684)1120x +⨯=1601120x =1601601120160x ÷=÷7x =答：经过7分钟相遇．14.解：设乙车的速度为每小时x 千米，则甲车的速度是每小时2x 千米， (2)6324x x +⨯=354x =18x =21836⨯=（千米）答：甲车每小时行36千米．15.解：设经过x 小时两车相遇11080570x x +=190570x =3x =答：经过3小时两车相遇．16.解：乙丙经过x 小时相遇，根据总路程相等列出方程：(1520)(520)(1)x x +=++352525x x =+2.5x =总路程：(1520) 2.5+⨯35 2.5=⨯87.5=（千米）答：东、西城相距87.5千米．17.解：大客车每小时行x千米，则小轿车每小时行1.2x千米，x x+⨯=( 1.2)2330x=4.4330x=75⨯=（千米）75 1.290答：大客车每小时行75千米，小轿车每小时行90千米．18.解：设两人同时从家出发，x分钟后能相遇，x+=(8075)1240x=1551240x=8答：两人同时从家出发，8分钟后能相遇．。

【例1】一种药品经过两次降价后，每盒的价格从原来的60元降到现在的48.6元，设平均每次的降低率是x 元，则可以列方程：_____________，降低率是________． 【难度】★【答案】()260148.6x -=，10%．【解析】设平均每次的降低率为x ，依题意可得：()260148.6x -=，解得：10.1x =，2 1.9x =（舍），即得降低率是10%．【总结】考查降低（增长）率问题的应用．【例2】某公司2014年各项经营收入中，经营电脑配件收入为500万元，占全部经营总收入的13，该公司预计2016年经营总收入达到2160万元，求从2014年到2016年每年经营总收入的平均年增长率． 【难度】★★【答案】()2150012160x +=，20%．【解析】设从2014年到2016年每年经营总收入的平均年增长率为x ，依题意可得： ()2150012160x +=，解得：10.2x =，2 2.2x =-（舍），即得平均增长率是20%． 【总结】考查降低（增长）率问题的应用．【例3】一辆汽车，新车的购买价是20万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同．已知在第三年年末，这辆车折旧后的价值是 11.56万元，求这辆车第二、三年的折旧率． 【难度】★★ 【答案】15%．【解析】设这辆车第二、三年的折旧率为x ，依题意可得：()()220120%111.56x --=， 解得：10.15x =，2 1.85x =（舍），即得这辆车第二、三年的折旧率是15%． 【总结】考查降低（增长）率问题的应用．【例4】某工厂甲、乙两个车间在6月份共生产231台仪器，每个车间都比上月增产，且增产的百分率相同，已知甲车间上个月月产量不少于100台，6月份比上个月增产5台，乙车间上月生产120台．问：甲车间上月生产多少台?6月份每个车间增产的百分率是多少?例题解析【难度】★★【答案】甲车间上月生产100台，增产百分率是5%【解析】设甲车间上月生产x 台，则6月份生产()5x +台，依题意可得：551201231x x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，整理得21066000x x -+=，解得：1100x =，26x =（舍），即得甲车间上月生产100台，每个车间增产百分率为5100%5%100⨯=． 【总结】考查降低（增长）率问题的应用．【例5】某农户种植花生，原来种植的亩产量为200千克，出油率为50%，现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量增长率的12，求新产品花生亩产量的增长率? 【难度】★★ 【答案】20%．【解析】设新产品花生亩产量的增长率x ，则出油率增长率为12x ，依题意可得：()1200150%11322x x ⎛⎫+⨯+= ⎪⎝⎭，整理得22575160x x +-=，解得：10.2x =，2 3.2x =-（舍），即得新产品花生亩产量增长率是20%． 【总结】考查降低（增长）率问题的应用．【例6】某工厂今年头三个月生产甲、乙两种产品，已知甲种产品1月份生产16件，以后每月比上月增长相同的百分率；乙种产品每月比上月增产10件．又知2月份的甲、乙两种产品的产量之比为2:3，且3月份的两种产品的产量之和为65件，求甲种产品每月的增长率和乙种产品1月份的产量． 【难度】★★★【答案】甲产品每月产量增长率是25%，乙产品1月份的产量为20件．【解析】设甲种产品每月的增长率为x ，则甲2月份的产量为()161x +，3月份的产量为()2161x +，则乙3月份产量为()265161x -+，2月份的产量为()26516110x -+-，依题意可得：()()2161:65161102:3x x ⎡⎤+-+-=⎣⎦，整理得21656150x x +-=，解得：10.25x =，2 3.75x =-（舍），即得甲产品每月产量增长率是25%， 乙产品1月份的产量为()26516125%101020-⨯+--=件． 【总结】考查降低（增长）率问题的应用，注意各个月份产量的表示．【例7】（1）一项工程甲单独做需要a 天完成，乙单独做需要b 天完成，则甲乙合作需要_____天完成；（2）甲、乙两个工程队合作修筑一条通道，已知甲工程队比乙工程队每天多修5米，甲工程队修筑80米所用的时间与乙工程队修筑70米所用的时间相同，那么甲工程队每天修________米，如果设甲工程队每天修x 米，则可列出方程__________． 【难度】★ 【答案】（1）ab a b +；（2）40，80705x x =-． 【解析】（1）设工程量为1，则甲的工作效率为1a ，乙的工作效率为1b， 合作完成需要的天数为111aba ba b=++； （2）依题意可得80705x x =-，解得：40x =，经检验40x =是原方程的解，且符合题意， 故甲工程队每天修40米．【总结】考查工程问题和相应工作效率的表示，注意分式方程解完要检验．【例8】某服装厂准备加工300套演出服，在加工了60套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用了9天完成任务，求该厂原来每天加工多少套演出服． 【难度】★ 【答案】20【解析】设该厂原来每天加工x 套演出服，依题意可得：603006092x x-+=， 解得：20x =，经检验20x =是原方程的解，且符合题意， 即该厂原来每天加工20套演出服．【总结】考查工程问题一个量作设一个量列式，注意分式方程要检验．【例9】汛期到来之前，某施工队承接了一段长300米的河提加固任务，加固80米后，接到防汛指挥部的指示，要求加快施工速度，为此施工队在保证质量的前提下，每天多加工15米，这样一共用了6天完成了任务，问接到指示后，施工队每天加固河堤多少米． 【难度】★ 【答案】55．【解析】设指示后施工队每天加固河堤x 米，则指示前每天加工()15x -米，依题意可得：8030080615x x-+=-，解得：55x =， 经检验55x =是原方程的解，且符合题意，故接到指示后施工队每天加固河堤55米． 【总结】考查工程问题一个量作设一个量列式，注意分式方程要检验．【例10】有一项工程，甲单独做比甲、乙合作的天数多5天，如果甲、乙先合作4天，再由乙单独做3天，才能完成全部工作的一半，问甲、乙单独完成此项工程各需要多少天． 【难度】★★【答案】甲单独完成需要15天，乙单独完成需要30天．【解析】设甲单独完成需要x 天，则甲乙合作完成需要()5x -天，乙单独完成需要2151155x x x x -=--天，依题意可得215143552x x x ⋅+⋅=--，整理得213300x x -+=，解得：115x =，22x =-（舍），经检验均是原方程的解，但22x =-不符合题意，舍去，即甲单独完成需要15天，乙单独完成需要215515305-⨯=天． 【总结】考查工程问题一个量作设一个量列式，注意分式方程要检验．【例11】某工厂甲、乙两个车间各生产300个零件，按原来的工效，乙车间需要比甲车间多用一天的时间完成，现在甲、乙两车间都提高了工效，其中甲车间工效提高了20%，而乙车间提高了一倍，结果生产同样的300个零件，乙车间比甲车间少用了2天就可完成，问甲、乙两车间原来生产300个零件各需要多少天? 【难度】★★★【答案】甲车间原来生产300个零件需要7.5天，乙车间需要8.5天． 【解析】设甲原来需要x 天，则乙原来需要()1x +天，依题意可得：12120%2x x +-=+，解得：7.5x =，即甲车间原来生产300个零件需要7.5天，乙车间需要8.5天． 【总结】考查工程问题一个量作设一个量列式．【例12】已知甲、乙、丙三人做某项工作，甲独做所需要的时间是乙、丙两人合做这件工作的a 倍，乙独做需要的时间是甲、丙两人合做这件工作的b 倍，求丙独做所用的时间是甲、乙两人合做此工作的几倍． 【难度】★★★【答案】21a b ab ++-．【解析】设甲、乙、丙需要的工作时间分别为x ，y ，z ，依题意可得111x a y z=⋅+，111y b x z=⋅+，分别整理可得()111a x ab z +=-，()111b y ab z+=-， 相加得()1121a b x y ab z+++=-，由此得2111a b z ab x y ⎛⎫++=+ ⎪-⎝⎭．【总结】考查工程问题的应用，注意找准字母之间的关系．【例13】一个水池有甲、乙两个进水管，单独开放甲管注满水池比单独开放乙管少用10小时，如果单独开放甲管10个小时后，加入乙管，需要6个小时把水池注满，那么单独开放一个水管，需要多少小时才可以把水池注满? 【难度】★★★【答案】单独开放甲注水管需要20小时注满水池，单独开放乙注水管需要30小时注满水池．【解析】设甲需要xh ，则乙需要()10x h +，依题意可得10116110x x x ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，整理得2121600x x --=，解得：120x =，28x =-， 经检验均是原方程的解，但28x =-不符合题意，舍去，故单独开放甲注水管需要20小时注满水池，单独开放乙注水管需要30小时注满水池． 【总结】考查工程问题的应用，合作加独做合为单位“1”，注意分式方程要检验．．【例14】某各个体户以2元/kg 的价格购进一种食品，以3元/kg 的价格出售，每天可售出200kg ，为促销，该个体户决定降价销售，经调查，这种食品每降价0.1元/kg ，每天可多售出40kg ，另外每天房租等固定成本24元，此人想每天盈利200元，应将售价降低为多少元/kg ? 【难度】★★【答案】应将售价降低为2.7元/千克．【解析】设应将售价降低为x 元/kg ，依题意可得：()3220040242000.1x x -⎛⎫-+⋅-= ⎪⎝⎭， 整理得2502753780x x -+=，即()()51410270x x --=，解得：1 2.7x =，2 2.8x =， 因为是促销，即应将售价每千克应降低为2.7元． 【总结】考查利润问题的应用，总利润=单个利润×总销量．【例15】甲、乙两家便利店到批发站采购一批饮料，共25箱，由于两店所处的地理位置不同，因此甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元．当两店将所进的饮料全部售完后，甲店的营业额为1000元，比乙店少350元，求甲乙两店各进货多少箱饮料? 【难度】★★【答案】甲店进货10箱饮料，乙店进货15箱饮料． 【解析】设甲店进货x 箱饮料，则乙店进货()25x -箱饮料，依题意可得100010003501025x x+-=-，整理得226025000x x -+=， 解得：110x =，2250x =，经检验均是原方程的解，但2250x =不符合题意，舍去， 故甲店进货10箱饮料，乙店进货15箱饮料． 【总结】考查销售问题，注意对题意的准确理解．【例16】某水果店在水果批发市场用100元购进一批甲种水果，再用100元购进一批乙种水果，已知购进的乙种水果比甲种水果多10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价低 0.5元/千克．（1） 求甲乙两种水果各购进了多少千克?（2） 购进水货当天，甲乙两种水果都按照2.8元/千克出售，乙种水果很快售完，而甲种水果先售出35，剩余的按售价打5折出售，这一天的水果买卖是否赚钱?如果赚钱了，赚多少?如果不赚钱，那么赔了多少?【难度】★★★【答案】（1）甲种水果购进40千克，乙种水果购进50千克；（2）赚了29.6元【解析】（1）设购进甲种水果x 千克，乙种水果x +10千克，由题意得1001000.510x x -=+，解得：x =40，经检验x =40是原方程的解，且符合题意，故购进甲种水果是40千克，乙种水果是40+10=50千克；（2）利润为：3250(2.82)40(2.8 2.5)40(1.4 2.5)29.6055⨯-+⨯-+⨯-=>，故赚了29.6元．【总结】本题主要考察了利润问题，找出题目中的等量关系再列方程．【例17】某中学库存960套旧课桌椅，准备修理后捐助给贫困山区学校，现在有甲乙两个木工小组都希望承揽这项业务，经协商研究得知：甲小组单独修理这批桌椅比乙小组单独修理要多用20天；乙小组每天比甲小组多修理8套；学校每天需要付甲乙小组修理费分别是80元和120元；（1）求甲乙两个小组每天各修理课桌椅多少套?（2）在修理桌椅的过程中，学校委派一名维修工进行质量监控，由学校每天发出10元钱作为生活补贴；现在有三种修理方案：方案一由甲单独修理；方案二由乙单独修理；方案三由甲乙共同修理；选择哪种方案，更省钱?【难度】★★★【答案】（1）甲小组每天修理16套旧桌椅，则乙小组每天修理24套旧桌椅；（2）方案三．【解析】（1）设甲小组每天修理x套旧桌椅，则乙小组每天修理()8x+套旧桌椅，依题意可得960960208x x-=+，整理得283840x x+-=，解得：116x=，224x=-，经检验均是原方程的解，但224x=-不符合题意，舍去，即得甲小组每天修理16套旧桌椅，则乙小组每天修理24套旧桌椅；（2）方案一需要的费用为(8010)960165400+⨯÷=元；方案二需要的费用为(12010)960245200+⨯÷=元；方案三需要的费用为(8012010)960(1624)5040++⨯÷+=元，可知方案三更省钱．【总结】考查工程问题的应用，注意分式方程要检验．【例18】小王从甲地到乙地需要m分钟，若小李同时从乙地到甲地，则两人经过n分钟相遇，则小李从乙地到甲地需要_________分钟（用含m、n的代数式表示）．【难度】★★【答案】mnm n-．【解析】小李需要的分钟数为111mnm nn m=--．【总结】考查行程问题的应用，注意平均速度的求解．【例19】甲、乙二人同时从张庄出发，步行15千米到李庄，甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时，二人每小时各走多少米?【难度】★★【答案】甲每小时走6千米，乙每小时走5千米．【解析】设甲每小时走x 千米，则乙每小时走()1x -千米，依题意可得：1515112x x -=-， 整理得2300x x --=，解得：16x =，25x =-（舍）， 经检验均是原方程的解，但25x =-不符合题意，故舍去， 所以甲每小时走6千米，乙每小时走5千米． 【总结】考查行程问题的应用，注意分式方程要检验．．【例20】已知A 、B 两地相距125km ，甲乙两人同时A 、B 两地出发，相向而行，每走10km 甲比乙快36分钟，经5小时两人相遇，求甲乙两人的速度． 【难度】★★ 【答案】甲的速度为50/3km h ，乙的速度为25/3km h ． 【解析】设甲的速度为/xkm h ，依题意可得1051251035x x +=+（），整理得232512500x x +-=， 解得：1503x =，225x =-，经检验均是原方程的解，但225x =-不符合题意，故舍去， 所以甲的速度为50/3km h ，乙的速度为1255025/533km h -=． 【总结】考查行程问题的应用，注意分式方程要检验．【例21】甲、乙两人分别从相距27千米的A 、B 两地同时出发，相向而行，3小时相遇，随后两人按照原来的速度继续前进，甲到达B 地比乙到达A 地少用1小时21分钟，求两人的速度． 【难度】★★★【答案】甲的速度为5/km h ，乙的速度为4/km h ． 【解析】设甲的速度为/xkm h ，乙的速度为/ykm h ．依题意可得()32727272720x y y x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得：54x y =⎧⎨=⎩，经检验54x y =⎧⎨=⎩是原方程组的解，且符合题意，故甲的速度为5/km h ，乙的速度为4/km h ．【总结】考查行程问题的应用，，注意分式方程组要检验．．【例22】函数y =2x 图像上一点P 到点A （5，0）的距离是5，求点P 的坐标． 【难度】★【答案】()124P ，，()200P ，． 【解析】设()2P x x ，，依题意可得()()22525x x -+=，解得：12x =，20x =，经检验12x =，20x =均是原方程的解，故得()124P ，或()200P ，． 【总结】考查点坐标的求取，根据点所在的直线设点坐标，注意无理方程要验根．【例23】已知直角三角形的两条直角边的差是2cm ，它的面积是12cm 2，求这两条直角边的长． 【难度】★【答案】两直角边长分别为6cm 和4cm 、【解析】设较长一边为xcm ，则另一直角边为()2x cm -，依题意可得()12122x x -=，整理得22240x x --=，解得：16x =，24x =-（舍），即得一边长为6cm ，另一边长为624cm -=． 【总结】考查根据面积的相应表示进行列方程求解．【例24】将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度围成一个正方形，两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗?若能，求出两段铁丝的长度，若不能，请说明理由． 【难度】★★ 【答案】不能．【解析】设一个正方形边长为xcm ，则另一个边长为()5x cm -，依题意可得()512x x -=， 方程无解，即不可能．【总结】考查面积问题的应用，一边作设，一边相应表示出来列方程求解即可．例题解析【例25】如图，笔直公路上A、B两点相距10千米，C、D为两居民区，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=6千米，CB=8千米，现要在公路AB段上建一超市E，使C、D两居民区到E的距离相等，则超市E应建在离A处多远处．【难度】★★【答案】离A处处【解析】设AE xkm=，则10BE x=-，6.4x=，经检验 6.4x=是原方程的解，故超市应建在离A处6.4km处．【总结】考查根据勾股定理确定相应长度表示进行求解．【例26】有一块长x米，宽120米（x>120）的长方形，投资方计划将它分成甲乙丙三部分，其中甲和乙为正方形，甲为住宅区，乙为商场，丙为公司，若已知丙地的面积为3200米，求x的值．【难度】★★【答案】160或200．【解析】依题意可得()()1201201203200x x---=⎡⎤⎣⎦，整理得2360320000x x-+=，解得：1160x=，2200x=，即x的值为160或200．【总结】考查根据面积的相应表示进行列方程求解．【例27】有一块长为80米，宽为50米的长方形绿地，其中有三条直路（图中的阴影部分，道路的一边AD与长方形绿地的一边平行，且道路的出入口AB、CD、EF、KI、GH、IJ的长度都相等，其余部分种植绿化）．已知道路的面积为352平方米，求道路出入口的边的长度【难度】★★【答案】2m【解析】设边的长度为xm，依题意可得2802502352x x x+⋅-=，整理得2901760x x-+=，解得：12x=，288x=（舍），即得路宽为2m．【总结】考查根据面积的相应表示进行列方程求解．A BCDEAB甲乙丙【例28】等腰Rt △ABC 中，8 cm AB BC ==，动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 移动.通过点P引平行于BC 、AC 的直线与AC 、BC 分别交于点R 、Q ，问：AP 等于多少厘米时，平行四边形PQCR 的面积等于16cm 2． 【难度】★★ 【答案】4cm【解析】设AP xcm =，则8BP x =-，由题意可知APR ∆和PBQ ∆ 均为等腰直角三角形，依题意可得()816x x -=， 解得：124x x ==，即AP 长为4cm ． 【总结】考查动点问题的应用求解．【例29】m 、n 为两条互相垂直的笔直公路，工厂A 在公路n 上，距公路m 为1千米，B 与工厂A 在公路m 的同侧，且距公路m 为2千米，距公路n 为3千米．现要在公路m 上建造一个车站P ，使它与A 、B的距离之和为P【难度】★★★【答案】点P 在两道路交点上下方2km 或211km 处． 【解析】以公路n 、m 分别为x 、y 依题意得()10A ，，()123B ，或()23B -，，设()0P y ，整理得2112440y y -+=或2112440y y ++=， 解得：12y =，2211y =，32y =-，4211y =-，经检验均是原方程的解，但32y =-，4211y =-不符合题意，故舍去， 所以点P 在两道路交点上下方2km 或211km 处． 【总结】考查根据题目条件建立平面直角坐标系进行点坐标的确定进而确定相应位置．【例30】已知A （0，-1），B （0，4），点P 在坐标轴上，且P A +PB =P 的坐标． 【难度】★★★【答案】()120P ，，()220P -，，30P ⎛ ⎝⎭，40P ⎛ ⎝⎭． ABC QR【解析】当P 在x 轴上时，设()0P x ，= 解得：12x =，22x =-，即得()120P ，，()220P -，；当P 在y 轴上时，设()0P x ，，依题意可得41x x -++=解得：1x 2x =30P ⎛ ⎝⎭，40P ⎛ ⎝⎭． 【总结】考查根据题目条件进行相应作设求解，注意分类讨论．【例31】有一个非零数，它与4的和的正平方根再加上2后恰好等于它本身，求这个数． 【难度】★ 【答案】5【解析】设这个数为x ，2x =，解得：15x =，20x =（舍），即这个数是5． 【总结】考查数位问题根据题目条件作设求解．【例32】有一个两位数，如果个位上的数与十位上的数的和是5，并且个位上的数的平方比十位上的数大1，求这个两位数． 【难度】★ 【答案】32．【解析】设十位数为x ，则个位数为5x -，依题意可得()251x x --=，整理得211240x x -+=，解得：13x =，28x =（舍）， 则这个数个位上是2，这个数是32． 【总结】考查数位问题根据题目条件作设求解．【例33】某剧场有座位800个，每排的座位数一样多，在每排增加5个座位，并增加2排后就有座位1020个，问原来座位多少排?原每排多少个座位． 【难度】★★【答案】这个剧院有10排，每排有80个座位；或这个剧院有32排，每排有25个座位．【解析】设原来有x 排，则每排有800x 个座位，依题意可得()800251020x x ⎛⎫++=⎪⎝⎭， 整理得2423200x x -+=，解得：110x =，232x =，经检验均是方程的解且符合题意．即这个剧院有10排，每排有8008010=个座位； 或这个剧院有32排，每排有8002532=个座位． 【总结】考查根据题目条件进行相应方程求解列式的应用，注意两种解都成立，另分式方程解完别忘记检验．【例34】植树节前，园林局把植数1600棵的任务交给了一个小队，小队被分成若干个组，计划每个组植树的棵树相同，但后来又4个组另有任务不能参加，所以其他组就要比原计划多植树20棵，每个小分队共分成了多少个组． 【难度】★★ 【答案】20【解析】设共分成了x 个小组，依题意可得16001600204x x-=-， 整理得243200x x --=，解得：120x =，216x =-（舍），即共分成了20个小组． 【总结】考查工程问题的应用，解完别忘记检验．【例35】学校甲、乙、丙三个摄影兴趣小组进行了一次摄影作品交流活动，活动时，每位同学向不同组的每个组员送一张摄影作品，这样互相交流的摄影作品共310张，已知甲组人数是丙组人数的2倍，乙组比甲组少3人，这三个摄影小组各有多少人? 【难度】★★【答案】甲组有10人，乙组有7人，丙组有5人．【解析】设丙组有x 人，则甲组有2x 人，乙组有()23x -人，依题意可得()()()()223232232310x x x x x x x x x +-+-++-+=，整理得2891550x x --=，即()()58310x x -+=，解得：15x =，2318x =-（舍）， 即丙组有5人，甲组有10人，乙组有7人． 【总结】考查握手问题的应用．【例36】小强放学回家后，向爸爸、妈妈询问火箭队与雄鹿队的当天的篮球比赛的结果，妈妈说：“本场比赛火箭队的姚明比雄鹿的易建联多得了12分”．爸爸说：“如果把姚明的分数乘以易建联的得分再加上36分，恰好等于他们两人的得分之和的15倍，并且，如果姚明的得分不超过30分，则雄鹿队胜，否则，火箭队胜”，请你帮小强算一下，这场比赛，究竟是哪个队胜了?姚明和易建联各得了多少分? 【难度】★★【答案】姚明得分为36分，易建联得分为24分，火箭队获胜． 【解析】设姚明得分为x 分，则易建联得分为()12x -分，依题意可得()()12361512x x x x -+=+-，整理得242+2160x x -=， 解得：136x =，26x =（舍），即姚明得分为36分，则易建联得分为24分，可知火箭队获胜． 【总结】考查根据题意列方程进行方程的求解．【习题1】 某公司1996年出口创收135万元，1997年、1998年每年都比上一年增加a %，那么1998年这个公司出口创收_________元． 【难度】★【答案】()21351%a +．【解析】考查增长率问题的应用．【习题2】 甲、乙两个工程队合修一条路要6天完成，如果各队单独修路，则甲队比乙队少用5天，设甲、乙两队单独修路所需天数分别为x 天和y 天，则可列方程组为（ ）A ．65x y x y +=⎧⎨=-⎩B ．65x y x y +=⎧⎨=+⎩C ．11165x y x y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩D ．11165x y x y ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩【难度】★随堂检测【答案】C【解析】考查工程问题的应用．【习题3】 已知点A （12，2），B （3，-1），在x 轴上找一点P ，使P A =2PB ． 【难度】★【答案】()160P ，，()260P -，【解析】设()0P x ，=，整理得236x =，解得：16x =，26x =-，即得()160P ，或()260P -，． 【总结】考查满足一定条件的点坐标求取的应用．【习题4】 甲、乙两组工人合做某项工作，10天以后，因甲组另有任务，乙组再单独做2天才完成，如果单独完成这项工作，甲组比乙组可以快4天，求各组单独完成这项工作所需要的天数． 【难度】★★【答案】甲单独做需要20天，则乙单独做需要24天． 【解析】设甲单独做需要x 天，则乙单独做需要()4x +天，依题意可得111102144x x x ⎛⎫++⋅= ⎪++⎝⎭，整理得218400x x --=， 解得：120x =，22x =-，经检验均是原方程的解，但22x =-不符合题意，故舍去． 即甲单独做需要20天，则乙单独做需要20424+=天． 【总结】考查工程问题的应用，注意分式方程解完要检验．【习题5】 有一面积为150平方米的长方形饲养场，饲养场一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35米，求饲养场的长和宽． 【难度】★★【答案】饲养场长为15m ，宽为10m ．【解析】设饲养场长为xm ，依题意可得351502xx -⋅=，整理得2353000x x -+=，解得：115x =，220x =（舍），即饲养场长为15m ，宽为10m ． 【总结】考查面积问题的应用．【习题6】 修建360米长的一段高速公路,甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，甲工程队每天比乙工程队少修建6米.甲工程队每天修建的费用为2万元,乙工程队每天修建的费用为3.2万元.（1）求甲、乙两个工程队每天各修建多少米；（2）为在35天内完成修建任务应请哪个工程队修建这段高速公路才能在按时完成任务的前提下所花费用较少?并说明理由 【难度】★★【答案】（1）甲每天修12m ，则乙每天修18m ；（2）甲． 【解析】（1）设甲每天修xm ，则乙每天修()6x m +，依题意可得360360106x x -=+，整理得262160x x +-=， 解得：112x =，218x =-（舍）， 即甲每天修12m ，则乙每天修18m ；（2）甲需要30天，乙需要20天，所以在35天内都可以完成．甲所需的费用为30260⨯=万元，乙所需的费用为20 3.264⨯=万元，6064<，所以选择甲． 【总结】考查工程问题的应用．【习题7】 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛． 【难度】★★ 【答案】8【解析】设应邀请需要x 个队参赛， 依题意可得()1472x x -=⨯，整理得2560x x --=，解得：18x =，27x =-（舍）， 即应邀请6个队参赛．【总结】考查比赛问题，注意赛制是单循环还是双循环．【习题8】 初二（1）班班委会主动为班级上一位生病住院的同学筹集部分医药费，计划筹集600元，由全体班委同学分担，后来又6位同学知道消息后也自愿参加了捐助和班委同学一起分担，因此每个班委的同学比原来少分担了50元，问：该班委有几个人?按照原计划每个班委平均分摊多少元． 【难度】★★【答案】班委有6个人，原计划每个班委分摊100元【解析】设班委有x 个人，依题意可得600600506x x -=+，整理得26720x x +-=，解得：16x =，212x =-，经检验均是原方程的解，但212x =-不符合题意，故舍去． 即班委有6个人，原计划每个班委分摊6001006=元． 【总结】考查列方程解应用题的应用，注意分式方程解完要检验．【习题9】 制造一种产品，原来每件的成本是500元，销售价是625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月将比第一个月提高6%，为了使两个月后的原销售利润不变，该产品的成本价平均每月应降低多少? 【难度】★★ 【答案】10%【解析】设成本价平均每月降低x ，依题意可得：()()()2625120%16%5001625500x -+--=-， 解得：10.1x =，2 1.9x =（舍），即成本价平均每月降低10%． 【总结】考查利润问题的应用，根据题目条件找到等量关系．【习题10】 一汽艇用一定速度驶完一段路程，若汽艇每小时少走8千米，则走完全程要多用4小时，若汽艇每小时多走8千米，则走完全程可少用2小时，试求这段路的长度以及汽艇原来的速度． 【难度】★★【答案】这段路长192km ，汽艇原来速度为24/km h ． 【解析】设这段路长为xkm ，汽艇原来的速度为/ykm h ，依题意可得4828x x y y x x y y ⎧-=⎪-⎪⎨⎪-=⎪+⎩，即得()()84828x y y y y =-=+，解得：12121920240x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，， 经检验220x y =⎧⎨=⎩不是原方程组的解，故舍去，即这段路长192km ，汽艇原来速度为24/km h ．【总结】考查行程问题的应用，注意这是一个分式方程组，解完后要检验．【习题11】 有两块正方形的木板，其中大块的面积比小块的面积大45平方分米，已知小木块的边长比大木块的边长短3分米，求这两块木板的面积分别是多少． 【难度】★★【答案】大块木板面积为281dm ，小块木板的面积为236dm ． 【解析】设小块木板的边长为xdm ，则大块木板的边长为()3x dm +，依题意可得()22345x x +-=，解得：6x =，即得大块木板面积为()226381dm +=，小块木板的面积为22636dm =． 【总结】考查面积问题的应用．【习题12】 坐标轴上有B 、C 两动点．B 从P (4，0)点以1B v =的速度沿x 轴负方向运动，同时C 点从y 轴某处以2C v =的速度直线运动．问两点能否在OP 的中点A 处相遇，若能，求C 点的起始坐标；若不能，说明原因． 【难度】★★★【答案】(10C，(20C -，．【解析】依题意可得运动时间2t =，则有224BC =⨯=，此时2OA =，设()0C y ，，4=，解得：y =±(10C或(20C -，． 【总结】考查简单的图形运动问题的结合应用．。

1. 分析找出试题中经济问题核心量。

2. 建立条件之间联系，列出等量关系式。

3. 用解方程办法求解。

4. 运用分数应当题办法进行解题一、经济问题重要有关公式：=+售价成本利润，100%100%-=⨯=⨯售价成本利润率利润成本成本； 1=⨯+售价成本（利润率），1=+售价成本利润率 其他惯用等量关系：售价=成本×（1+利润百分数）；成本=卖价÷（1+利润百分数）；本金：储蓄金额；利率：利息和本金比；利息=本金×利率×期数；含税价格=不含税价格×（1+增值税税率）；二、经济问题普通题型(1)直接与利润有关问题：直接与利润有关问题，无非是找成本与销售价格差价。

(2)与利润无直接联系，但是涉及价格变动问题：知识点拨教学目的6-2-2经济问题涉及价格变动，虽然没有直接提到利润问题，但是最后还是转化成(1)状况。

三、解题重要办法1．抓不变量(普通状况下成本是不变量)；2．列方程解应用题．【例 1】 某商店从阳光皮具厂以每个80元价格购进了60个皮箱，这些皮箱共卖了6300元。

这个商店从这60个皮箱上共获得多少利润？【解析】 6300-60×80=1500（元）【例 2】 李师傅以1元钱3个苹果价格买进苹果若干个，以1元钱2个苹果价格将这些苹果卖出，卖出一半后，由于苹果降价只能以2元钱7个苹果价格将剩余苹果卖出．但是最后她不但赚了24元钱，还剩余了1个苹果，那么她买了多少个苹果？【解析】 经济问题都是和成本、利润有关，因此只要分别考虑先后利润即可．1元钱3个苹果，也就是一种苹果13元；1元钱2个苹果，也就是一种苹果12元；卖出一半后，苹果降价只能以2元钱7个苹果价格卖出，也就是每个27元． 在前一半每个苹果可以挣111236-=(元)，而后一半每个苹果亏1213721-=(元)．假设后一半也全卖完了，即剩余1个苹果统一按亏价卖得27元，就会共赚取2247元钱． 如果从前、后两半中各取一种苹果，合在一起销售，这样可赚得11562142-=(元)，因此每一半苹果有2524204742÷=个，那么苹果总数为2042408⨯=个．【巩固】 某商品价格因市场变化而降价，当时按赚钱27%定价，卖出时如果比原价便宜4元，则仍可赚钱25%，求原价是多少元？【解析】 依照量率相应得到成本为：()427%25%200÷-=，当时利润为：20027%54⨯=（元）因此原价为：20054254+=（元）例题精讲【例 3】 (清华附中考题)王老板以2元/个成本买入菠萝若干个，按照定价卖出了所有菠萝45后，被迫降价为：5个菠萝只卖2元，直至卖完剩余菠萝，最后一算，发现居然不亏也不赚，那么王老板一开始卖出菠萝定价为 元/个．【解析】 降价后5个菠萝卖2元，相称于每个菠萝卖0.4元，则降价后每个菠萝亏20.4 1.6-=元，由于最后不亏也不赚，因此开始按定价卖出菠萝赚得与降价后亏损相等，而开始按定价卖出菠萝量为降价后卖出菠萝4倍，因此按定价卖出菠萝每个菠萝赚：1.640.4÷=元，开始定价为：20.4 2.4+=元．【例 4】 （难度级别 ※※※）某人在某国用5元钱买了两块鸡腿和一瓶啤酒，当物价上涨20％后，5元钱正好可买一块鸡腿和一瓶啤酒，当物价又上涨20％，这5元钱能否够买一瓶啤酒？【解析】 办法一：以本来鸡腿和啤酒价格为基准，因此可列下面式子：两块鸡腿+一瓶啤酒=5元(一块鸡腿+一瓶啤酒）×(1+20%)＝5元；1瓶啤酒=4块鸡腿，因此本来一瓶啤酒要20/6元。

能教学目标1设未知数的主要技巧和手段：找出与其他量的数量关系紧密的关键量2、用代数法来表示各个量：利用’X,y ”表示出所有未知量或变量3、找准等量关系，构建方程（明显的等量关系与隐含的等量关系）目删归知识精讲一、列方程解应用题的主要步骤1. 审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量，这个量最好能和题目中的其他量有着紧密数量关系;2. 用字母来表示关键量，用含字母的代数式来表示题目中的其他量；3. 找到题目中的等量关系，建立方程；4. 解方程；5. 通过求到的关键量求得题目最终答案.二、解二元一次方程（多元一次方程）消元目的：即将二元一次方程或多元一次方程化为一元一次方程•消元方法主要有代入消元和加减消元.模块一、列方程组解应用题【例1】30辆小车和3辆卡车一次运货75吨，45辆小车和6辆卡车一次运货120吨。

每辆卡车和每辆小车每次各运货多少吨？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设每辆卡车和每辆小车每次各运货x、y吨，根据题意可得：30x 3y =75 x = 22 解得245x 6y=120，解得y =5所以，每辆卡车每次运货2吨，每辆小车每次运货5吨。

【答案】每辆卡车每次运货2吨，每辆小车每次运货5吨【巩固】甲、乙二人2时共可加工54个零件，甲加工3时的零件比乙加工4时的零件还多4个.问：甲每2-3-2.列方程组解应用题.题库教师版page 1 of 19时加工多少个零件?【例2】 已知练习本每本0.40元，铅笔每支0.32元，老师让小虎买一些练习本和铅笔，总价正好是老师 所给的10元钱.但小虎将练习本的数量与铅笔的数量记混了， 结果找回来0.56元，那么老师原 来打算让小虎买多少本练习本？ 【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设老师原本打算让小虎买 x 本练习本和y 支铅笔，则由题意可列方程组：0.4x 0.32y =10 士 40x 32 y =1000 5x 4y =125 (1) f，整理得2，即f ,0.4y 0.32x =10 —0.5640y 32x =9445y 4x =118|川H (2)将两式相加，得 9(x y^243，则x ，y =27(川||(2), ⑴ _4⑶，得x =17 •所以，老师原打算让小虎买 17本练习本.【答案】老师原打算让小虎买 17本练习本【巩固】 商店有胶鞋、布鞋共 45双，胶鞋每双3.5元，布鞋每双2.4元，全部卖出后，胶鞋比布鞋收入多 10元.问：两种鞋各多少双？ 【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设布鞋有x 双，胶鞋有y 双.x y =45 x = 20，解得3.5x -2.4y =10l y =25所以布鞋有20双，胶鞋有25双.【答案】布鞋有20双，胶鞋有25双【例3】 松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采 20个，雨天每天可以采12个，它一连几天采了 112个松子，平均每天采14个，问这几天当中有几天是下雨天？ 【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】根据题意，松鼠妈妈采的松子有晴天采的，也有雨天采的，总的采集数可以求得，采集天数也确定，因此可列方程组来求解.设晴天有x 天，雨天有y 天，则可列得方程组： 20x 12y =112 朴 11|1 1 112x y 二晋川川|||||| 21化简为5x 3^28 (3)用加减法消元： 2 5-3 得：5(x y)-(5x ，3y) =40-28 解得y =6 .所以其中6天下雨•【答案】其中6天下雨【解析】设甲每小时加工x 个零件，乙每小时加工 y 个零件.则根据题目条件有:2x 2y =54” 中 x =162 y，解得2 3x —4y =4 y =11 所以甲每小时加工16个零件，乙每小时加工11个零件. 【答案】甲每小时加工16个零件【考点】列方程组解应用题 【难度】3星【题型】解答【例4】运来三车苹果，甲车比乙车多4箱，乙车比丙车多4箱，甲车比乙车每箱少3个苹果，乙车比丙车每箱少5个苹果，甲车比乙车总共多3个苹果，乙车比丙车总共多5个苹果，这三车苹果x 4 y -3 - xy =3rA }，化简为xy - x -4 y 5 =5⑴•⑵，得： 2x 二30，于是 x 二将x =15代入⑴或⑵，可得：y =15 .所以甲车运19箱，每箱12个；乙车运15箱，每箱15个；丙车运11箱，每箱20个. 三车苹果的总数是：19 12 15 15 11 20=673（个）.【答案】三车苹果的总数是： 673个 【例5】 有大、中、小三种包装的筷子 27盒，它们分别装有18双、12双、8双筷子，一共装有330双筷子，其中小盒数是中盒数的 2倍•问：三种盒各有多少盒？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设中盒数为x ，大盒数为y ，那么小盒数为2x ，根据题目条件有两个等量关系：2x x y =27 18y 12x 8 2x =330f x 二 6该方程组解得 ，所以大盒有9个，中盒有6个，小盒有12个.y =9【答案】大盒有9个，中盒有6个，小盒有12个.一23x 4亍…x = 4x 亠该方程组解得：疗§，所以 三角形、正方形、五边形分别有4、5、6个【例6】 有1克、2克、5克三种砝码共16个，总重量为50克；如果把1克的砝码和5克的砝码的个数对 调一下，这时总重量变为 34克.那么1克、2克、5克的砝码有多少个？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】5克砝码比1克砝码每多1个，对调后总重量将减少5-1=4克，所以5克砝码比1克砝码多50 -34 亠4 =4 （个）.共有多少个?【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答4y _3x=15|H ⑴5x-4y=15⑵【巩固】 【考点】【解析】 用62根同样长的木条钉制出正三角形、设三角形的个y =15=5，因此三角形、正方形、五边形分别有 4、5、6个.在原来的砝码中减掉4个5克砝码，此时剩下12个砝码，且1克砝码与5克同样多，总重量为30克.设剩下1克、5克各x 个，2克砝码y 个，则所以原有1克砝码3个，2克砝码6个，5克砝码3*4=7个.【答案】原有1克砝码3个，2克砝码6个，5克砝码3 • 4 =7个【巩固】 某份月刊，全年共出12期，每期定价2.5元•某小学六年级组织集体订阅，有些学生订半年而另一些学生订全年，共需订费 1320元；若订全年的同学都改订半年，而订半年的同学都改订全年， 则共需订费1245元•则该小学六年级订阅这份月刊的学生共有 _____________ 人. 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星【题型】解答x -「2y =88 得，两式相加，得2x y =83所以x • y =57，即该小学六年级订阅这份月刊的学生共有57人.【答案】小学六年级订阅这份月刊的学生共有57人【例7】 有两辆卡车要将几十筐水果运到另一个城市，由于可能超载，所以要将两辆卡车中的一部分转移到另外一辆车上去，如果第一辆卡车转移出 20筐，第二辆卡车转移出 30筐，那么第一辆卡车剩下的水果筐数是第二辆的 1.2倍，如果第一辆卡车转移出 21筐，第二辆卡车转移出 25筐,那么第三辆车上的水果筐数是前面两辆车水果筐数和的一半，求原来两辆车上有多少筐水果？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设第一辆卡车上的水果有 x 筐，第二辆卡车上的水果有y 筐，—fx —20=(y —30卜1.2|川||川川(1) 则有 ,,,|x _21 +y -25=(21 +25 卜 2|||(2)由⑴得x =1.2y -16，代入⑵得2.2y -62 =92，解得y =70 , 所以x =1.2y -16 =68，原来两辆车上分别装有68筐水果和70筐水果.【答案】两辆车上分别装有 68筐水果和70筐水果【巩固】 大、小两个水池都未注满水.若从小池抽水将大池注满，则小池还剩 5吨水；若从大池抽水将小池注满，则大池还剩 30吨水.已知大池容量是小池的 1.5倍，问：两池中共有多少吨水？ 【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设大池中有x 吨水，小池中有y 吨水.则根据题目条件，两池一共有x y 吨水，大池可装x ，y-5 吨水，小池可装x'y-30吨水，所 以可列得方程x ^^(x y -30) 1.5 ,方程化简为 x • y =80，所以两池中共有 80吨水.【答案】两池中共有 80吨水【例8】 某公司花了 44000元给办公室中添置了一些计算机和空调， 办公室每月用电增加了 480千瓦时， 已知，计算机的价格为每台 5000元，空调的价格为 2000元，计算机每小时用电 0.2千瓦时，平 均每天使用5小时，空调每小时用电0.8千瓦时，平均每天运行5小时，如果一个月以30天计， 求公司一共添置了多少台计算机，多少台空调？ 【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设添置了 x 台计算机，y 台空调.2x y =12 (1 5)x 2y =30，解得x = 3 y =6【解析】设订半年的x 人，订全年的y 人，则: 2.5 (6x 12y) =1320 2.5 (12x 6y) =1245 3(x y) =171 ,0000x+2000y =440001 川川 |川川)(1) 则0.2 5 30x 0.8 5 30y=480||l(2)⑵式整理得x - 4y =16，则x =16 -4y ;代入⑴得 5000 16 -4y 2000y =44000 ,解得 y =2，则 x =8 , 所以公司一共添置了 8台计算机和2台空调.【答案】8台计算机和2台空调根据题意，有方程组: x y =600 x(1 45%)0.8 y (1 40%) 0.9 -600 =110所以成本较高的那件商品的成本是 460元.【答案】成本较高的那件商品的成本是 460元【巩固】 某市现有720万人口，计划一年后城镇人口增涨0.4%，农村人口增长0.7%，这样全市人口增加0.6%，求这个城市现在的城镇人口和农村人口.【解析】 假设这个城市现在的城镇人口是 x 万人，农村人口是 y 万人，得：x y =720 x = 240*，解得* ,0.4%x 0.7% y =720 0.6%y = 480即这个城市现在的城镇人口有 240万，农村人口有 480万.【答案】城镇人口有 240万，农村人口有480万【例9】 某次数学竞赛，分两种方法给分 .一种是先给40分，每答对一题给4分，不答题不给分，答错扣 1分，另一种是先给60分，每答对一题给3分，不答题不给分，答错扣 3分，小明在考试中只有 2道题没有答，以两种方式计分他都得102分，求考试一共有多少道题？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设小明答对了 x 道题，答错了 y 道题.由题目条件两种计分方式，他都得102分，可得到两条等量关系式： 40 4x - y =102 60 3x -3y =102x =16 解得，所以考试一共有16 2 * 2 =20道题.|_y =2【答案】考试一共有16 2 * 2 =20道题【巩固】 某次数学比赛，分两种方法给分•一种是答对一题给5分，不答给2分，答错不给分；另一种是 先给40分，答对一题给 3分，不答不给分，答错扣 1分•某考生按两种判分方法均得 81分，这次比赛共多少道题？ 【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设答对a 道题，未答b 道题，答错c 道题，由条件可列方程5a 2b =81川川 140 3a-c =81 川小 2由1式知，a 是奇数，且小于17 •2式可化简为【巩固】 甲、乙两件商品成本共 600元，已知甲商品按 来甲打8折出售，乙打9折出售，结果共获利多少？ 45%的利润定价，乙商品按 40%的利润定价；后 110元.两件商品中，成本较高的那件商品的成本是【考点】列方程组解应用题【难度】3星 【题型】解答【解析】设甲、乙两件商品成本分别为 x 元、y 元. 解得x"60J y =140c =3a - 4111 3由3式知，a大于13 •综合上面的分析，a是大于13小于17的奇数，所以a =15 •再由1 3式得到b =3, c =4 • a b c =15 3 ^22，所以共有22道题.【答案】共有22道题【巩固】 下表是某班40名同学参加数学竞赛的分数表，如果全班平均成绩是2.5分，那么得3分和5分的各有多少人？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】根据题意，只要设得3分和5分的各有多少人，即可利用总人数和总分数而列方程组求解，等量关系有两条：一是各分数段人数之和等于总人数， 各分数段所有人得分之和等于总分数•设得3分的人数有x 人，得5分的人数有y 人,那么： $+7+10+x+8+y=40化简为：］x+y=11 川|(1) 1 7 2 10 3x 4 8 5y =40 2.5，间、： 3x 5y=41 川|||2f x 二 42 - 1 3，得到2y =8，即y =4，再代入1，最后得到方程组得解，所以40名学生当』=7中得3分的有7人，得5分的有4人.【答案】得3分的有7人，得5分的有4人【例10】在S 岛上居住着100个人，其中一些人总是说假话，其余人则永远说真话，岛上的每一位居民 崇拜三个神之一：太阳神、月亮神和地球神•向岛上的每一位居民提三个问题：⑴您崇拜太阳 神吗？⑵您崇拜月亮神吗？⑶您崇拜地球神吗？对第一个问题有 60人回答： 是”；对第二个问 题有40人回答： 是”对第三个问题有30人回答： 是”他们中有多少人说的是假话？ 【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】我们将永远说真话的人称为老实人， 把总说假话的人称为骗子.每个老实人都只会对一个问题是”而每个骗子则 都对两个问题 答’是”将老实 人的数目 计为x ，将骗子的数目计 为y .于是 x 2^130.又由于在S 岛上居住着100个人，所以x ，y=100，联立两条方程，解得 y=30 .所 以岛上有30个人说的是假话.【答案】30个人说的是假话【例11】甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个A 配件与一个B 配件组成•甲每天生产 300个A 配 件，或生产150个B 配件；乙每天生产 120个A 配件，或生产 48个B 配件.为了在10天内生 产出更多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】 假设甲、乙分别有 x 天和y 天在生产A 配件，则他们生产 B 配件所用的时间分别为 (10-x)天和(10-y)天，那么10天内共生产了 A 配件(300x 120y)个，共生产了 B 配件 150 (10 —x) 48 (10-y) =1980 -150x - 48y 个.要将它们配成套， A 配件与 B 配件的数量应相等，即 300x T20y =1980T50x-48y ，得到此时生产的产品的套数为 300x 120^300 330型 120^1320 8y ,要使生产的产品最多, 75 就要使得y 最大，而y 最大为10,所以最多能生产出1320 8 10 = 1400套产品.【答案】最多能生产出1400套产品某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣16件或裤子20件；乙车间每天能生75x 28y =330，贝U x =330 -28y75【巩固】产上衣18件或裤子24件.现在要上衣和裤子配套，两车间合作21天，最多能生产多少套衣服？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】假设甲、乙两个车间用于生产上衣的时间分别为x天和y天，则他们用于生产裤子的天数分别为(21 —X)天和(21 _y)天，那么总共生产了上衣(16x 18y)件，生产了裤子20 (21 _x) 24 (21 _y) =924 _20x _24y 件.根据题意，裤子和上衣的件数相等，所以16x，18y =924 - 20x -24 y ,即6x 7y = 154，即x =空7/ •那么共生产了16x・18y=16 154一7丫 18^410- -- y套衣服•要使生产的衣服6 6 3 3最多，就要使得y最小，贝U x应最大，而x最大为21，此时y =4 .故最多可以生产出2 2410 4 =408套衣服.3 3【答案】最多可以生产出408套衣服【例12】一片青草，每天长草的速度相等，可供10头牛单独吃20天，供60只羊单独吃10天•如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么，10头牛与60只羊一起吃草，这片草可以吃_____________ 无【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】填空【解析】把1只羊每天的吃草量当作单位 1 ”，则1头牛每天的吃草量为4，设原有草量为x，每天的长草量为y，那么：x 20y =4 10 20x 10y =1 60 10 解得x=400, y=20, 如果10头牛与60只羊一起吃草，这片草可以吃400"(4 10 1 60-20) =5 (天).【答案】5【例13】甲、乙、丙沿着环形操场跑步，乙与甲、丙的方向相反.甲每隔19分钟追上丙一次，乙每隔5分钟与丙相遇一次•如果甲4分钟跑的路程与乙5分钟跑的路程相同，那么甲的速度是丙的速度的多少倍？甲与乙多长时间相遇一次？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】把环形操场的周长看作 1，设甲每分钟跑的路程为 x ，丙每分钟跑的路程为y .根据题意可知乙每分钟跑的路程为 -x .有: 51x -y =4 191，解得 5x 丫鳥8x —57 5 y = 57所以甲的速度是丙的速度的 甲与乙相遇一次所用的时间为—-1.6 倍； 57 57r-(——罕3空分钟.57 57 5 24【答案】甲的速度是丙的速度的 1.6倍；甲与乙相遇一次所用的时间为233 一分钟 24【例14】甲、乙二人从相距60千米的两地同时出发，沿同一条公路相向而行，6小时后在途中相遇•如果两人每小时所行走的路程各增加 1千米，则相遇地点距前一次地点差 1千米.求甲、乙两人的速度.【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设甲速为每小时x 千米，乙速为每小时 y 千米•根据第一次相遇的条件，可知： 6 x y =60，则 x y =10 ,即甲、乙两人的速度和为10千米/小时，所以第二次相遇两人的速度和为12千米/小时.第二次相遇时，甲走的路程可能比第一次少1千米或多1千米，即（6x-1）千米，或（6x 1）千米.由此可列第二条方程： 5（x ，1）=6x-1或5（x 1^6x 1 .因此可列的方程组有： x y =10x = 6x y =10x = 4 解得 ，或解得.5（x T ）=6x -1 y =4 5（xT ）=6xT y=6所以甲、乙（或乙、甲）两人的速度分别为6千米/小时和4千米/小时.【答案】甲、乙（或乙、甲）两人的速度分别为6千米/小时和4千米/小时【例15】从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路•一辆汽车上坡时每小时行驶 20千米, 下坡时每小时行驶 35千米•车从甲地开往乙地需 9小时，从乙地到甲地需 7.5小时，问：甲乙 两地公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？ 【考点】列方程组解应用题 【难度】3星【题型】解答【关键词】华杯赛，复赛【解析】（法1）从甲地到乙地的上坡路，就是从乙地到甲地的下坡路；从甲地到乙地下坡路，就是从乙地到甲地的上坡路.设从甲地到乙地的上坡路为x 千米，下坡路为 y 千米，依题意得：J x ±=9 20 35 上丄川 35 202解得 x =140, y =70 ,140*70=210千米，从甲地到乙地须行驶 140千米的上坡路.210千米，从甲地到乙地须行驶 140千米的上坡路.【答案】甲、乙两地间的公路有 210千米，从甲地到乙地须行驶 140千米的上坡路【巩固】 从A 村到B 村必须经过C 村，其中A 村至C 村为上坡路，C 村至B 村为下坡路， A 村至B 村的 总路程为20千米•某人骑自行车从 A 村到B 村用了 2小时，再从B 村返回A 村又用了 1小时45 分.已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变， 而且下坡时的速度是上坡时速度的 2倍.求A 、C 之间的路程及自行车上坡时的速度.【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答故A 、C 之间的路程为12千米，自行车上坡时的速度为每小时 A 、C 之间的路程为12千米，自行车上坡时的速度为每小时【巩固】 华医生下午2时离开诊所出诊，走了一段平路后爬上一个山坡，给病人看病用了半小时，然后原路返回，下午 6时回到诊所•医生走平路的速度是每小时4千米，上山的速度是每小时 3千所以甲、乙两地间的公路有 答：甲、乙两地间的公路有【解析】设A 、C 之间的路程为x 千米，自行车上坡速度为每小时 千米，自行车下坡速度为每小时 2y 千米•依题意得：l x 20 -x 2 y 2y 20 -x x 3 ，1- .y2y 420 20 3两式相加，得：4 •旦=2 • 13，解得y =8 ;代入得 y 2y4y 千米，则C 、B 之间的路程为（20 - x ）x =12•【答案】8千米.8千米米，下山的速度是每小时6千米，华医生这次出诊一共走了__________ 千米. 【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】填空【关键词】2004年，南京市，冬令营【解析】设平路长a 千米，山坡长b 千米，则共走了 2(a b)千米，根据题意，列方程 a b a b3.5 ,4 3 4 61(a b) =3.5, 22(a b) =14 .所以，华医生这次出诊一共走了 14千米.【答案】14【例16】小明从自己家到奶奶家时，前一半路程步行，后一半路程乘车；他从奶奶家回家时，前-时间 3乘车，后2时间步行.结果去奶奶家的时间比回家所用的时间多2小时.已知小明步行每小时3行5千米，乘车每小时行 15千米，那么小明从自己家到奶奶家的路程是多少千米？【考点】列方程组解应用题 【难度】3星【题型】解答【关键词】迎春杯， 决赛【解析】设小明家到奶奶家的路程为 x 千米，而小明从奶奶家返回家里所需要的时间是y 小时，那么根据题意有：答：小明从自己家到奶奶家的路程是150千米.【答案】小明从自己家到奶奶家的路程是150千米【例17】(保良局亚洲区城市小学数学邀请赛)米老鼠从A 到B ，唐老鸭从B 到A ，米老鼠与唐老鸭行走速度之比是6：5，如下图所示.26 ” 4 —A C M DBM 是A 、B 的中点，离M 点26千米的C 点有一个魔鬼，谁从它处经过就要减速 25%，离M 点 4千米的D 点有一个仙人，谁从它处经过就能加速 25% .现在米老鼠与唐老鸭同时出发， 同时到 达，那么A 与B 之间的距离是 _______ 千米.【考点】列方程组解应用题【难度】3星 【题型】填空【解析】设AM =MB =x ，米老鼠的行走速度为 6k ，则唐老鸭的行走速度为 5k (k=0),如下图，则有米 老鼠从A 到B需要时间 ,X- 26 30.X- 4A C M D Bx -2630_________ x -46k 6k (1-25%) 6k (1-25%) (1 25%) 二丄 x 14 叫x-4) 6k . 15 唐老鸭从B 到A 需要时间1 1 _x _x515=y 2，解得:x Jy 15 2y 5 3 3x =150 J y =18x 「430 x 「26------ + ------------------ + ----------------------------------5k 5k (1 25%) 5k (1—25%) (1 25%)1 16 x 20(x 26).5k15因为米老鼠与唐老鸭用的时间相同，所以列方程 1匚161匚 16x 14 (x -4) x 20 (x-26), 6k155k15解得x =46 •所以，A 、B 两地相距92千米. 【答案】A 、B 两地相距92千米【例18】甲、乙两人分别从 A 、B 两地同时出发相向而行， 5小时后相遇在C 点.如果甲速度不变，乙每小时多行4千米，且甲、乙还从 A 、B 两地同时出发相向而行，则相遇点 D 距C 点10千米•如果乙速度不变，甲每小时多行3千米，且甲、乙还从A 、B 两地同时出发相向而行， 则相遇点E距C 点5千米.问：甲原来的速度是每小时多少千米？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】甲速度不变，乙每小时多行 4千米，相遇点D 距C 点10千米，出发后5小时，甲到达C ,乙到达F ，因为乙每小时多行 4千米，所以FC =4 5 =20千米，那么FD 二DC =10千米，也就是说相遇后相同的时间内甲、乙走的路程相同，也就是说原来甲比乙每小时多行4千米•乙速度不变，甲每小时多行 3千米，相遇点E 距C 点5千米，出发后5小时乙到达C ，甲到达G , 因为甲每小时多行 3千米，所以GC =3 5=15千米•那么GE =10千米，EC=5千米•所以EG -2EC ，即相遇后在相同的时间甲走的路程是乙的2倍，所以甲每小时多行 3千米后，速度是乙的两倍•2甲=\乙+ 4°甲=11于是可列得方程组：，解得，所以甲原来每小时11千米•y 甲+ 3 =2吃 $乙=7【答案】甲原来每小时11千米 【例19】甲、乙二人共存款100元，如果甲取出-，乙取出-，那么两人存款还剩 60元.问甲、乙二人各97有存款多少元? 列方程组解应用题【难度】3星设甲存款x 元，乙存款y 元，根据题目条件有两条等量关系 是取钱后两人存款加起来有 60元.由此可列得方程组： x y =100 -x -y =100-60 9 7 x =72方程组最终解得 cc ，所以甲存款72元，乙存款28元.y =28甲存款72兀，乙存款28兀【考点】 【解【答案】 【题型】解答,—是两人存款加起来等于 100兀，二-【巩固】【考点】 甲、乙两个容器共有溶液 2600克,从甲容器取出 丄的溶液,4器共剩下2000克.问：两个容器原来各有多少溶液？列方程组解应用题【难度】3星从乙容器取出 【题型】解答1的溶液，结果两个容5设甲容器有溶液x 克，乙容器有溶液 y 克，根据题目条件有两条等量关系 等于2600克，二是取溶液后两容器加起来有2000克•由此可列得方程组：【解析】是两容器溶液加起来x y 二 26001 11 x T 1 y =2000 ..45方程组最终解得x =1600，所以甲容器中有溶液1600克，乙容器中有溶液1000克.y =1000【答案】甲容器中有溶液 1600克，乙容器中有溶液 1000克【例20】某班有45名同学，其中有 6名男生和女生的-参加了数学竞赛，剩下的男女生人数正好相等7问：这个班有多少名男生？ 【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答【解析】设有x 名男生和y 名女生，那么根据题目条件有两条等量关系：一是原来男女生人数和为45人,二是剩下的男女生人数相等，由此可列得方程组： x 亠y =45 < r 1) x -6 二y I 1 l I 7丿x 二 24 该方程组解得 ，所以这个班有24名男生.』=21【答案】这个班有24名男生 【巩固】 甲、乙两班人数都是 44人，两班各有一些同学参加了数学小组的活动，甲班参加的人数恰好是乙班未参加人数的 1，乙班参加的人数恰好是甲班未参加人数的1,那么共有多少人未参加数34学小组？【考点】列方程组解应用题 【难度】3星 【题型】解答由题设已知条件可以得到： [1X 可(44 - y)x=123，解之得1y =8-(44 —x)二 y 4所以未参加兴趣小组的人数 =44-x 〕「44-y =68人.【答案】未参加兴趣小组的人数 68人【例21】一群小朋友去春游，男孩戴小黄帽，女孩戴小红帽.在每个男孩看来，黄帽子比红帽子多在每个女孩看来，黄帽子是红帽子的2倍•问：男孩、女孩各有多少人？【考点】列方程组解应用题【难度】3星【题型】解答(x -1) - y = 5【解析】设男孩有x 人，女孩有y 人.根据条件可列方程：由第一条方程可以得到|_x =2(y —1)代入第二条方程得到 6 y =2(y -1).解得y =8，再代入第一条方程•方程解得 有14人，女孩有8人.【答案】男孩有14人，女孩有8人 【巩固】 有大小两盘苹果，如果从大盘中拿出一个苹果放在小盘里，两盘【解析】 设甲、乙两班参加数学小组的人数分别为 x 人、y 人，未参加人数分别为 44-X 人、44 一 y 人, 5顶;(x=；4.所以男孩 y =8苹果一样多；如果从小盘里拿出一个苹果放在大盘里，大盘苹果的个数是小盘苹果数的3倍.大、小两盘苹果原来各有多少个?【解析】设原来大盘有苹果x 个，小盘有苹果 y 个•那么可列方程组:所以大盘原来有苹果 5个，小盘原来有苹果 3个.【答案】大盘原来有苹果 5个，小盘原来有苹果 3个【巩固】 教室里有若干学生，走了 10名女生后，男生是女生人数的2倍，又走了 9名男生后，女生是男生人数的5倍。

1、 熟练掌握不定方程的解题技巧2、 能够根据题意找到等量关系设未知数解方程3、 学会解不定方程的经典例题一、知识点说明历史概述 不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。

二、运用不定方程解应用题步骤1、根据题目叙述找到等量关系列出方程2、根据解不定方程方法解方程3、找到符合条件的解模块一、不定方程与数论【例 1】 把2001拆成两个正整数的和，一个是11的倍数（要尽量小），一个是13的倍数（要尽量大），求这两个数．【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 这是一道整数分拆的常规题．可设拆成的两个数分别为11x 和13y ，则有：11132001x y +=，要让x取最小值，y 取最大值．知识精讲教学目标列不定方程解应用题可把式子变形为：2001111315312132122153131313x x x x y x -⨯+-++===-+，可见12213x +是整数，满足这一条件的x 最小为7，且当7x =时，148y =． 则拆成的两个数分别是71177⨯=和148131924⨯=．【答案】则拆成的两个数分别是77和1924．【巩固】 甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，乙搬的砖数是23的倍数，两人共搬了300块砖．问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设甲搬的是18x 块，乙搬的是23y 块．那么1823300x y +=．观察发现18x 和300都是6的倍数，所以y 也是6的倍数．由于3002313y <÷≈，所以y 只能为6或12．6y =时18162x =，得到9x =；12y =时1824x =，此时x 不是整数，矛盾．所以甲搬了162块，乙搬了138块，甲比乙搬得多，多24块．【答案】甲比乙搬得多，多24块【巩固】 现有足够多的5角和8角的邮票，用来付4.7元的邮资，问8角的邮票需要多少张？【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设5角和8角的邮票分别有x 张和y 张，那么就有等量关系：5847x y +=．尝试y 的取值，当y 取4时，x 能取得整数3，当y 再增大，取大于等于6的数时，x 没有自然数解．所以8角的邮票需要4张．【答案】8角的邮票需要4张【例 2】 用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16倍，则满足条件的所有自然数之和为___________________.【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】北大附中，资优博雅杯【解析】 若是四位数abcd ，则()161636<1000a b c d ⨯+++⨯≤，矛盾，四位以上的自然数也不可能。