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数学体系
数学体系是指由一系列数学概念、定理和公式组成的知识体系，它是数学研究的基础和框架。
数学体系通常包括基础数学、应用数学、纯数学等多个分支领域。
基础数学是数学体系的基础部分，它包括算术、代数、几何、数论等学科。
基础数学研究的是人类思维与数学之间的关系，旨在推导出基本规律和概念，为其他数学分支提供基础知识。
应用数学是将数学知识应用于实际问题解决的学科，它包括概率论、数理统计、微分方程、线性代数等学科。
应用数学研究的是如何将数学知识应用到实际问题中，以获得更加准确和实用的解决方案。
纯数学是数学体系中最抽象和深奥的部分，它包括代数学、函数论、数论、拓扑学等学科。
纯数学研究的是人类思维与数学之间的关系，旨在推导出基本规律和概念，探索数学的本质和内在结构。
总之，数学体系是一个庞大而复杂的知识体系，它涵盖了多个分支领域，每个分支领域都有其独特的研究对象和研究目的。
数学体系的建立和发展是数学
发展的重要标志，也是推动数学研究向前发展的重要动力。
高数知识体系
高等数学知识体系是高等教育中不可或缺的一部分，它包括微积分、线性代数、概率论等内容，对于学生来说，掌握这些知识体系是成为一名合格的高等教育人才所必须的。
微积分作为高等数学的基础知识，对于学生来说，掌握它对于理解高等数学其他知识点有着至关重要的作用。
微积分不仅可以帮助学生更好地理解高等数学中的一些概念，还可以为学生以后的学习和研究提供帮助。
线性代数是高等数学中另一门重要的学科，它包括向量、矩阵和线性变换等内容。
这些知识点对于学生来说，在理解和应用高等数学中的一些概念时都有着重要的作用。
概率论是高等数学中一个重要的学科，它包括概率的基本定义、概率的计算和条件概率等内容。
概率论可以帮助学生更好地理解高等数学中的一些概念，同时还可以为学生的统计学和金融学等相关领域提供帮助。
高等数学知识体系不仅对于学生来说非常重要，同时对于社会的发展也有着重要的作用。
高等数学知识体系可以帮助学生更好地理解高等数学中的一些概念，从而提高学生们的研究能力和应用能力。
此外，高等数学知识体系也可以为学生的未来发展提供帮助，使得学生可以更好地应对社会的挑战。
总之，高等数学知识体系对于学生来说非常重要。
通过学习高等数学知识体系，学生可以更好地理解高等数学中的一些概念，为以后的学习和研究提供帮助。
小学数学知识体系小学数学知识体系数学内容结构表学段第一学段（1～3年级）数的认识与代数：这一学段的内容主要是数的认识和代数。
学生将研究20以内、100以内和万以内数的认识，以及分数和小数的初步认识。
他们还将研究符号＜，＝，＞的含义。
数的运算：此外，学生还将研究数的运算，包括10以内加减法，20以内进位加法，20以内退位减法，100以内的加法和减法，表内乘法，表内除法，万以内的加法和减法，估算，有余数的除法等。
图形与空间：学生将研究图形的认识和空间的概念。
他们将研究探索规律，测量，图形与变换，图形与位置以及统计与概率。
第二学段（4～6年级）数的认识：在第二学段，学生将进一步研究数的认识，包括大数的认识，十进制计数法，小数的意义和性质，因数与倍数，合数和质数等。
数的运算：学生将研究数的运算，包括分数、小数的互化及大小比较，比和按比例分配，负数的初步认识，百分数，正比例和反比例等。
图形与空间：此外，学生还将研究图形的认识，测量，图形与变换，图形与位置以及简单数据统计过程和可能性。
第三学段（7～9年级）数与代数：在第三学段，学生将研究数与式，方程与不等式，函数等代数概念。
图形与空间：此外，学生还将研究图形的认识，图形与变换，图形与坐标，图形与证明以及统计和概率等知识。
实践活动：学生将通过课题研究实践和综合应用，进行实践活动，提高他们的数学能力。
总体来说，小学数学知识体系包括数的认识与代数，数的运算，图形与空间以及实践活动等方面，帮助学生逐步建立完整的数学知识体系。
1.学会读时钟和计算时间认识小时、分钟、和秒钟，知道1小时等于60分钟，1分钟等于60秒钟。
能够读写时间，例如几点几分。
2.重量和单位换算认识XXX，以及不同的进率和单位换算。
3.日期和时间的关系认识年、月、日，了解它们之间的关系。
4.代数方程和规律学会用字母表示数、等式、方程、解方程。
探索给定事物中隐含的规律或变化趋势。
5.图形的认识和分类辨认常见的立体图形和平面图形，并能分类。
数学的语言与符号体系数学是一门基础科学，它通过符号和语言来描述和解决各种问题。
数学的语言与符号体系既简洁又精确，为人们沟通和理解数学概念提供了有效的工具。
本文将探讨数学的语言和符号体系，并介绍它们在数学领域中的重要性。
一、数学语言的特点数学语言具有以下特点：1. 精确性：数学语言要求准确表达数学概念和关系，避免歧义和模棱两可的表达。
例如，当我们说“两个角相等”，我们指的是它们的度数相同，而不仅仅是它们看起来相等。
2. 抽象性：数学语言通过抽象符号来表示问题和概念，从而抽象出普遍规律和原则。
例如，用字母表示未知数，可以将具体的问题归纳为一般的公式或方程式。
3. 约定性：数学语言中存在一些约定和规则，这些约定使得数学陈述更加简洁和清晰。
例如，我们约定加法符号“+”表示两个数的求和操作，乘法符号“×”表示两个数的相乘操作。
4. 良定义性：数学语言要求准确和明确地定义数学概念，避免歧义和矛盾。
例如，我们定义了加法和乘法的运算规则，确保它们具有唯一性和一致性。
二、数学符号体系数学符号体系是数学语言的重要组成部分，它包括数字、字母、运算符号和数学符号等。
数学符号体系的使用使得数学表达更加简洁、明确和易于理解。
1. 数字：数字是数学的基本符号，用来表示数量和大小。
阿拉伯数字“0、1、2、3、4、5、6、7、8、9”是我们最常用的数字符号。
2. 字母：字母在数学中有重要的作用，它们用来表示未知量、变量和常数等。
例如，用“x”表示未知数，用“a、b、c”表示常数等。
3. 运算符号：运算符号用来表示数学运算，如加法“+”、减法“-”、乘法“×”和除法“÷”等。
这些符号使得数学运算更加简洁明了。
4. 数学符号：数学符号用来表示特定的数学概念和关系，如不等号“≠”、大于号“>”、小于号“<”、集合符号“∪”和“∩”等。
这些符号方便了数学概念的表达和交流。
三、数学语言和符号体系的重要性数学语言和符号体系在数学领域中起到了重要的作用，具有以下几个方面的重要性：1. 沟通与交流：数学语言和符号体系使得人们能够准确地表达和交流数学概念和思想。
奥数知识体系奥数，即奥林匹克数学竞赛，是一项广泛开展的数学竞赛活动，旨在培养学生的数学思维能力和创造性解决问题的能力。
奥数知识体系是指在奥数竞赛中所涉及的数学知识和技巧的总称。
下面将从几个方面介绍奥数知识体系的重要内容。
一、数与代数数与代数是奥数竞赛中最基础的内容。
在数与代数这一部分，主要包括整数、分数、小数、正数和负数等数的性质与运算，以及一次方程、二次方程、不等式、函数和方程组等代数表达式的性质与运算。
通过深入学习数与代数的知识，能够培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力，提高他们的数学素养。
二、几何与图形几何与图形是奥数竞赛中的另一个重要内容。
在几何与图形这一部分，主要包括平面几何、立体几何、坐标几何以及各种图形的性质与运算。
学习几何与图形的知识，能够培养学生的空间想象能力和几何推理能力，帮助他们更好地理解和解决几何问题。
三、概率与统计概率与统计是奥数竞赛中的另一个重要内容。
在概率与统计这一部分，主要包括事件的概率、排列组合、统计调查和数据分析等内容。
通过学习概率与统计的知识，能够培养学生的统计思维能力和数据分析能力，使他们能够更好地应用数学知识解决实际问题。
四、数论与逻辑数论与逻辑是奥数竞赛中的高级内容。
在数论与逻辑这一部分，主要包括数列、整除性质、模运算、逻辑推理和证明等内容。
学习数论与逻辑的知识，能够培养学生的抽象思维能力和推理能力，提高他们的数学思维和创造性解决问题的能力。
五、计算机与编程计算机与编程是奥数竞赛中的新兴内容。
在计算机与编程这一部分，主要包括计算机基础知识、算法设计和编程语言等内容。
学习计算机与编程的知识，能够培养学生的计算思维能力和算法设计能力，帮助他们更好地理解和运用计算机科学技术。
六、解题技巧与策略解题技巧与策略是奥数竞赛中的关键内容。
在解题技巧与策略这一部分，主要包括问题分析、解题方法选择、答题技巧和时间管理等内容。
通过学习解题技巧与策略，能够帮助学生提高解题效率和准确性，培养他们的竞赛心理和应试能力。
解说数学体系
数学体系是指数学研究领域内的基本概念、原理、定理、方法等的有机组成整体。
它是数学研究的基础，也是数学应用的理论依据。
数学体系包含了多个分支，如代数、几何、数论、数学分析、拓扑学等。
这些分支相互独立，但它们之间也存在着深刻的联系和相互渗透的现象。
在数学体系中，最基本的是数与代数学。
数学是研究数的性质、关系和变化规律的学科，而代数学则是研究代数系统和其本质特点的学科。
代数学包括了线性代数、群论、环论、域论等。
几何学是研究空间形状、大小、位置及其性质的学科。
它包括了欧氏几何、非欧几何、拓扑学等。
几何学与代数学之间存在着深刻的联系，如代数几何、微分几何等。
数论是研究整数和其性质的学科。
它包括了初等数论、代数数论、解析数论等。
数论与代数学、几何学之间也存在着深刻的联系，如算术几何等。
数学分析是研究函数、极限、微积分等的学科。
它包括了实分析和复分析。
数学分析是应用数学中最重要的分支之一，它与物理学、工程学、计算机科学等有着广泛的应用。
拓扑学是研究空间形态不变性和连续变化的学科。
它包括了点集拓扑学、代数拓扑学等。
拓扑学与几何学、代数学、数学分析等都有着密切的联系。
总的来说，数学体系是一套相互关联、相互支撑、不断发展的知识体系，其基础是数学基本概念、公理和定理。
在实际应用中，数学体系为各个领域提供了强有力的数学工具，为人类认识和改造世界提供了重要的理论基础。
初中数学知识体系总结数学作为一门科学，是一种逻辑性和抽象性极强的学科。
在初中阶段，数学知识体系的建立对学生的数学学习至关重要。
下面将对初中数学知识进行全面总结，以帮助学生更好地理解和应用数学知识。
一、基础知识类1. 整数：包括正整数、零和负整数，整数的加减、乘除运算，整数的比较和大小关系。
2. 分数与小数：分数的基本概念与运算，小数的读写与计算，分数和小数之间的转化。
3. 百分数与比例：百分数的意义与计算，百分数与小数的互相转化，比例的基本概念与应用。
4. 带分数与混合数：带分数和混合数的概念、运算和应用。
5. 平方与开方：平方数的概念与特点，平方根和开方的概念与计算。
二、代数与方程类1. 代数运算：数的加减乘除运算及其性质，求和与求积。
2. 一元一次方程：一元一次方程的概念与解法，方程问题的建立与解答。
3. 一元一次不等式：一元一次不等式的概念与解法，不等式问题的建立与解答。
4. 算术平方根：算术平方根的概念与运算，平方根的应用。
5. 平面直角坐标系：平面直角坐标系的概念与性质，平面图形的表示与运动。
三、几何类1. 图形的基本性质：点、线、面、角的概念与性质，相交线的判定与性质。
2. 直线和角：直线的分割与延长，角的种类和性质。
3. 三角形：三角形的分类与性质，三角形内角和定理，三角形面积计算。
4. 四边形与多边形：四边形的分类和性质，平行四边形的性质与判定，多边形的名称和特点。
5. 圆与圆的性质：圆的基本概念与性质，圆的切线与切点，圆的面积和弧长的计算。
四、数据统计与概率类1. 统计图表分析：条形图、折线图、饼图的表示与解读，数据统计和分析方法。
2. 概率与事件：概率的基本概念和计算，事件的概念与性质，概率与事件的关系。
3. 抽样调查与统计：随机抽样的方法和步骤，统计调查和数据分析的应用。
4. 排列与组合：排列和组合的基本概念与计算，排列和组合问题的应用。
五、函数与图像类1. 函数的概念：函数的定义与性质，自变量和函数值的关系。
初中数学知识体系梳理
1. 数的概念和运算：自然数、整数、有理数、小数等数的定义和分类，以及数的加减乘除、整除、幂次运算等基本运算法则。
2. 代数式与方程式：代数式的定义、化简、合并等基本操作。
一元一次方程式的解法，同时也涉及到同解方程、比例方程、三角函数等方程式解法。
3. 几何图形的性质及基本运算：这部分知识涵盖平面几何和立体几何两大类。
平面几何的内容包括直线、角度、三角形、四边形、圆等常见图形的性质和运算。
立体几何的内容则包括立体图形的分类、计算体积和表面积等基本运算。
4. 概率与统计：包括事件的概念、概率的定义和计算、样本空间、频率、均值、中位数、众数等统计学中的基本概念和分析方法。
5. 函数的概念与应用：数学中最重要也最普遍的概念之一，包括函数的定义、图像、性质、运算、应用等。
6. 数列的概念与性质：数列即由一系列确定的数字所组成的序列，章内容包括数列的定义、性质、等差数列、等比数列等基本概念。
7. 集合与映射：集合与映射是实现函数与数列的关键，同时集合与映射也是最基本的数学概念之一。
整个数学体系的构建也是基于集合论的。
8. 三角函数及其应用：三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等等，涵盖三角函数的定义、性质、图像、运算、公式证明及其在数学和物理学中的应用等。
数学体系
一、数学的定义
数学作为一门独立的学科，集合了几何、代数、分析等多个领域，是研究数量、结构、变化和空间等概念的学科。
数学的基础概念包括数、集合、函数等，这些概念共同构建了数学体系的基石。
二、数学的历史
数学的历史可以追溯至古埃及、古希腊等文明时期。
古代数学家如毕达哥拉斯、欧几里得等提出了许多基础性理论，奠定了数学的基础。
随着历史的发展，数学逐渐演化，形成了今天的数学学科体系。
三、数学的分支
数学包含多个分支，如几何学、代数学、概率论、数论等。
每个分支都有自己
的研究对象和方法，共同构成了数学的完整体系。
不同分支之间通过交叉学科研究，促进了数学的发展和应用。
四、数学的应用
数学作为一门基础学科，在自然科学、工程技术、经济管理等领域都有着广泛
的应用。
数学模型和方法被广泛运用于科学研究、生产实践等领域，推动了人类社会的进步和发展。
五、数学的未来
随着科学技术的发展，数学作为一门基础学科依然具有重要地位。
未来数学将
继续探索更深层次的数学理论，拓展数学应用领域，为人类社会的可持续发展作出更大的贡献。
六、结语
数学作为一门古老而又充满活力的学科，构建了丰富而精密的体系，影响着人
类文明的方方面面。
通过对数学的学习和研究，我们能更好地理解世界的本质，解决实际问题，推动社会的发展。
让我们一起探索数学的奥秘，感受数学的魅力！。
解说数学体系目录1. 为什么要深入数学的世界2. 集合论：现代数学的共同基础3. 分析：在极限基础上建立的宏伟大厦3.1 微积分：分析的古典时代——从牛顿到柯西3.2 实分析：在实数理论和测度理论上建立起现代分析3.2.1 现代概率论：在现代分析基础上再生3.3 拓扑学：分析从实数轴推广到一般空间——现代分析的抽象基础3.4 微分几何：流形上的分析——在拓扑空间上引入微分结构4. 代数：一个抽象的世界4.1 关于抽象代数4.2 线性代数：“线性”的基础地位4.2.1 泛函分析：从有限维向无限维迈进4.2.2 继续往前：巴拿赫代数，调和分析，和李代数5. 分析与代数结合1、为什么要深入数学的世界作为计算机的学生，我没有任何企图要成为一个数学家。
我学习数学的目的，是要想爬上巨人的肩膀，希望站在更高的高度，能把我自己研究的东西看得更深广一些。
说起来，我在刚来这个学校的时候，并没有预料到我将会有一个深入数学的旅程。
我的导师最初希望我去做的题目，是对appearance和motion建立一个unified的model。
这个题目在当今Computer Vision中百花齐放的世界中并没有任何特别的地方。
事实上，使用各种Graphical Model把各种东西联合在一起framework，在近年的论文中并不少见。
我不否认现在广泛流行的Graphical Model是对复杂现象建模的有力工具，但是，我认为它不是panacea，并不能取代对于所研究的问题的深入的钻研。
如果统计学习包治百病，那么很多“下游”的学科也就没有存在的必要了。
事实上，开始的时候，我也是和Vision中很多人一样，想着去做一个Graphical Model——我的导师指出，这样的做法只是重复一些标准的流程，并没有很大的价值。
经过很长时间的反复，另外一个路径慢慢被确立下来——我们相信，一个图像是通过大量“原子”的某种空间分布构成的，原子群的运动形成了动态的可视过程。
微观意义下的单个原子运动，和宏观意义下的整体分布的变换存在着深刻的联系——这需要我们去发掘。
在深入探索这个题目的过程中，遇到了很多很多的问题，如何描述一个一般的运动过程，如何建立一个稳定并且广泛适用的原子表达，如何刻画微观运动和宏观分布变换的联系，还有很多。
在这个过程中，我发现了两个事情：●我原有的数学基础已经远远不能适应我对这些问题的深入研究。
●在数学中，有很多思想和工具，是非常适合解决这些问题的，只是没有被很多的应用科学的研究者重视。
于是，我决心开始深入数学这个浩瀚大海，希望在我再次走出来的时候，我已经有了更强大的武器去面对这些问题的挑战。
我的游历并没有结束，我的视野相比于这个博大精深的世界的依旧显得非常狭窄。
在这里，我只是说说，在我的眼中，数学如何一步步从初级向高级发展，更高级别的数学对于具体应用究竟有何好处。
2、集合论：现代数学的共同基础现代数学有数不清的分支，但是，它们都有一个共同的基础——集合论——因为它，数学这个庞大的家族有个共同的语言。
集合论中有一些最基本的概念：集合(set)，关系(relation)，函数(function)，等价 (equivalence)，是在其它数学分支的语言中几乎必然存在的。
对于这些简单概念的理解，是进一步学些别的数学的基础。
我相信，理工科大学生对于这些都不会陌生。
不过，有一个很重要的东西就不见得那么家喻户晓了——那就是“选择公理”(Axiom of Choice)。
这个公理的意思是“任意的一群非空集合，一定可以从每个集合中各拿出一个元素。
”——似乎是显然得不能再显然的命题。
不过，这个貌似平常的公理却能演绎出一些比较奇怪的结论，比如巴拿赫-塔斯基分球定理——“一个球，能分成五个部分，对它们进行一系列刚性变换（平移旋转）后，能组合成两个一样大小的球”。
正因为这些完全有悖常识的结论，导致数学界曾经在相当长时间里对于是否接受它有着激烈争论。
现在，主流数学家对于它应该是基本接受的，因为很多数学分支的重要定理都依赖于它。
在我们后面要回说到的学科里面，下面的定理依赖于选择公理：●拓扑学：Baire Category Theorem●实分析（测度理论）：Lebesgue 不可测集的存在性●泛函分析四个主要定理：Hahn-Banach Extension Theorem, Banach-Steinhaus Theorem (Uniform boundedness principle), Open Mapping Theorem, Closed Graph Theorem在集合论的基础上，现代数学有两大家族：分析(Analysis)和代数(Algebra)。
至于其它的，比如几何和概率论，在古典数学时代，它们是和代数并列的，但是它们的现代版本则基本是建立在分析或者代数的基础上，因此从现代意义说，它们和分析与代数并不是平行的关系。
3、分析：在极限基础上建立的宏伟大厦3.1 微积分：分析的古典时代——从牛顿到柯西先说说分析(Analysis)吧，它是从微积分(Caculus)发展起来的——这也是有些微积分教材名字叫“数学分析”的原因。
不过，分析的范畴远不只是这些，我们在大学一年级学习的微积分只能算是对古典分析的入门。
分析研究的对象很多，包括导数(derivatives)，积分(integral)，微分方程(differential equation)，还有级数(infinite series)——这些基本的概念，在初等的微积分里面都有介绍。
如果说有一个思想贯穿其中，那就是极限——这是整个分析（不仅仅是微积分）的灵魂。
一个很多人都听说过的故事，就是牛顿(Newton)和莱布尼茨 (Leibniz)关于微积分发明权的争论。
事实上，在他们的时代，很多微积分的工具开始运用在科学和工程之中，但是，微积分的基础并没有真正建立。
那个长时间一直解释不清楚的“无穷小量”的幽灵，困扰了数学界一百多年的时间——这就是“第二次数学危机”。
直到柯西用极限的观点重新建立了微积分的基本概念，这门学科才开始有了一个比较坚实的基础。
直到今天，整个分析的大厦还是建立在极限的基石之上。
柯西(Cauchy)为分析的发展提供了一种严密的语言，但是他并没有解决微积分的全部问题。
在19世纪的时候，分析的世界仍然有着一些挥之不去的乌云。
而其中最重要的一个没有解决的是“函数是否可积的问题”。
我们在现在的微积分课本中学到的那种通过“无限分割区间，取矩阵面积和的极限”的积分，是大约在1850年由黎曼(Riemann)提出的，叫做黎曼积分。
但是，什么函数存在黎曼积分呢（黎曼可积）？数学家们很早就证明了，定义在闭区间内的连续函数是黎曼可积的。
可是，这样的结果并不令人满意，工程师们需要对分段连续函数的函数积分。
3.2 实分析：在实数理论和测度理论上建立起现代分析在19世纪中后期，不连续函数的可积性问题一直是分析的重要课题。
对于定义在闭区间上的黎曼积分的研究发现，可积性的关键在于“不连续的点足够少”。
只有有限处不连续的函数是可积的，可是很多有数学家们构造出很多在无限处不连续的可积函数。
显然，在衡量点集大小的时候，有限和无限并不是一种合适的标准。
在探讨“点集大小”这个问题的过程中，数学家发现实数轴——这个他们曾经以为已经充分理解的东西——有着许多他们没有想到的特性。
在极限思想的支持下，实数理论在这个时候被建立起来，它的标志是对实数完备性进行刻画的几条等价的定理（确界定理，区间套定理，柯西收敛定理，Bolzano-Weierstrass Theorem 和Heine-Borel Theorem等等）——这些定理明确表达出实数和有理数的根本区别：完备性（很不严格的说，就是对极限运算封闭）。
随着对实数认识的深入，如何测量“点集大小”的问题也取得了突破，勒贝格创造性地把关于集合的代数，和Outer content（就是“外测度”的一个雏形）的概念结合起来，建立了测度理论(Measure Theory)，并且进一步建立了以测度为基础的积分——勒贝格(Lebesgue Integral)。
在这个新的积分概念的支持下，可积性问题变得一目了然。
上面说到的实数理论，测度理论和勒贝格积分，构成了我们现在称为实分析(Real Analysis)的数学分支，有些书也叫实变函数论。
对于应用科学来说，实分析似乎没有古典微积分那么“实用”——很难直接基于它得到什么算法。
而且，它要解决的某些“难题”——比如处处不连续的函数，或者处处连续而处处不可微的函数——在工程师的眼中，并不现实。
但是，我认为，它并不是一种纯数学概念游戏，它的现实意义在于为许多现代的应用数学分支提供坚实的基础。
下面，我仅仅列举几条它的用处：1、黎曼可积的函数空间不是完备的，但是勒贝格可积的函数空间是完备的。
简单的说，一个黎曼可积的函数列收敛到的那个函数不一定是黎曼可积的，但是勒贝格可积的函数列必定收敛到一个勒贝格可积的函数。
在泛函分析，还有逼近理论中，经常需要讨论“函数的极限”，或者“函数的级数”，如果用黎曼积分的概念，这种讨论几乎不可想像。
我们有时看一些paper中提到L^p函数空间，就是基于勒贝格积分。
2、勒贝格积分是傅立叶变换（这东西在工程中到处都是）的基础。
很多关于信号处理的初等教材，可能绕过了勒贝格积分，直接讲点面对实用的东西而不谈它的数学基础，但是，对于深层次的研究问题——特别是希望在理论中能做一些工作——这并不是总能绕过去。
3、在下面，我们还会看到，测度理论是现代概率论的基础。
3.2.1 现代概率论：在现代分析基础上再生自从Kolmogorov在上世纪30年代把测度引入概率论以来，测度理论就成为现代概率论的基础。
在这里，概率定义为测度，随机变量定义为可测函数，条件随机变量定义为可测函数在某个函数空间的投影，均值则是可测函数对于概率测度的积分。
值得注意的是，很多的现代观点，开始以泛函分析的思路看待概率论的基础概念，随机变量构成了一个向量空间，而带符号概率测度则构成了它的对偶空间，其中一方施加于对方就形成均值。
角度虽然不一样，不过这两种方式殊途同归，形成的基础是等价的。
在现代概率论的基础上，许多传统的分支得到了极大丰富，最有代表性的包括鞅论 (Martingale)——由研究赌博引发的理论，现在主要用于金融（这里可以看出赌博和金融的理论联系，:-P），布朗运动(Brownian Motion)——连续随机过程的基础，以及在此基础上建立的随机分析(Stochastic Calculus)，包括随机积分（对随机过程的路径进行积分，其中比较有代表性的叫伊藤积分(Ito Integral)），和随机微分方程。
对于连续几何运用建立概率模型以及对分布的变换的研究离不开这些方面的知识。
