【配套K12】高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数余弦函数的图象课堂导

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质备课资料一、近几年三角函数知识的变动情况三角函数一直是高中固定的传统内容,但近几年对这部分内容的具体要求变化较大.1998年4月21日,国家教育部专门调整了高中数学的部分教学内容,其中的调整意见第(7)条为:“对三角函数中的和差化积、积化和差的8个公式,不要求记忆”.1998年全国高考数学卷中,已尽可能减少了这8个公式的出现次数,在仅有的一次应用中,还将公式印在试卷上,以供查阅.而当时调整意见尚未生效(应在1999年生效),这不能不说对和积互化的8个公式的要求是大大降低了.但是,如果认为这次调整的仅仅是8个公式,仅仅是降低了对8公式的要求,那就太表面、太肤浅了.我们知道,三角中的和积互化历来是三角部分的重点内容之一,相当部分的三角题都是围绕它们而设计的,它们也确实在很大程度上体现了公式变形的技巧和魅力.现在要求降低了,有关的题目已不再适合作为例(习)题选用了.这样一来,三角部分还要我们教些什么呢?又该怎样教?立刻成了部分教师心头的一大困惑.有鉴于此,我们认为很有必要重新审视这部分的知识体系,理清新的教学思路,以便真正落实这次调整的意见,实现“三个有利于(有利于减轻学生过重的课业负担,有利于深化普通高中的课程改革,有利于稳定普通高中的教育教学秩序)”的既定目标.1.是“三角”还是“函数”应当说,三角函数是由“三角”和“函数”两部分知识构成的.三角本是几何学的衍生物,起始于古希腊的希帕克,经由托勒玫、利提克思等至欧拉而终于成为一门形态完备、枝繁叶茂的古典数学学科,历史上的很长一段时期,只有《三角学》盛行于世,却无“三角函数”之名.“三角函数”概念的出现,自然是在有了函数概念之后,从时间上看距今不过300余年.但是,此概念一经引入,立刻极大地改变了三角学的面貌,特别是经过罗巴切夫斯基的开拓性工作,致使三角函数可以完全独立于三角形之外,而成为分析学的一个分支,其中的角也不限于正角,而是任意实数了.有的学者甚至认为可将它更名为角函数,这是有见地的,所以,作为一门学科的《三角学》已经不再独立存在.现行中学教材也取消了原来的《代数》《三角》《几何》的格局,将三角并入了代数内容.这本身即足以说明“函数”在“三角”中应占有的比重.从《代数学》的历史演变来看,在相当长的历史时期内,“式与方程”一直是它的核心内容,那时的教材都是围绕着它们展开的.所以,书中的分式变形、根式变形、指数式变形和对数式变形可谓连篇累牍,所在皆是.这是由当时的数学认知水平决定的.而现在,函数已取代了式与方程成为代数的核心内容,比起运算技巧和变形套路来,人们更关注函数思想的认识价值和应用价值.1963年颁布的《数学教学大纲》提出数学三大能力时,首要强调的是“形式演算能力”,1990年的大纲突出强调的则是“逻辑思维能力”.现行高中《代数》课本中,充分阐发了幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质及应用,对这三种代数式的变形却轻描淡写.所以,三角函数部分应重在“函数的图象和性质”是无疑的,这也是国际上普遍认可的观点.2.是“图象”还是“变换”现行高中三角函数部分,单列了一章专讲三角函数,这是与数学发展的潮流相一致的.大多数师生头脑中反映出来的,还是“众多的公式,纷繁的变换”,而三角函数的“图象和性质”倒是在其次的,这一点,与前面所述的“幂、指、对”函数有着极大的反差.调整以后,降低这部分的要求,大面积地减少了题量.把“函数”作为关键词,将目光放在“图象和性质”上,应当是正确的选择,负担轻了,障碍小了,这更方便于我们将注意力转移到对函数图象和性质的关注上,这才是“三个有利于”得以贯彻的根本.3.国外的观点及启示下面来看一下美国和德国的观点:美国没有全国统一的教材和《考试说明》,只有一个《课程标准》,在《课程标准》中,他们对三角函数提出了下面的要求:“会用三角学的知识解三角形;会用正弦、余弦函数研究客观实际中的周期现象;掌握三角函数图象;会解三角函数方程;会证基本的和简单的三角恒等式;懂得三角函数同极坐标、复数等之间的联系”.他们还特别指出,不要在推导三角恒等式上花费过多的时间,只要掌握一些简单的恒等式推导就可以了,比较复杂的恒等式就应该完全避免了.德国在10到12年级(相当于中国的高一到高三)每年都有三角内容,10年级要求如下:(1)一个角的弧度;(2)三角函数sinx 、cosx 、tanx 和它们的图象周期性;(3)三角形中角和边的计算;(4)重要关系(特指同角三角函数的平方关系、商数关系和倒数关系).另外,在11年级和12年级的“无穷小分析”中,继续研究三角函数的图象变换、求导、求积分、求极限.从以上罗列,我们可以看出下面的共同点:第一,突出强调三角函数的图象和性质;第二,淡化三角式的变形,仅涉及同角变换,而且要求较低,8公式根本不予介绍;第三,明确变换的目的是为了三角形中的实际计算;第四,注意三角函数和其他知识的联系.这带给我们的启示还是很强烈的,美国和德国的中学教育以实用为主,并不太在乎教材体系是否严谨,知识系统是否完整;我国的教材虽作调整,怎样实施且不去细说,有一个意图是可猜到的,那就是要让学生知道教材是严谨与完整的.现在看来严谨的东西,在更高的观点下是否还严谨?在圈内看是完整的,跳出圈子看,是否还完整?在一个小地方钻得太深,在另外更大的地方就可能无暇顾及.人家能在中学学到向量、行列式、微分、积分,我们却热衷于在个别地方穷追不舍,这早已引起行家的注意,从这个意义上说,此次调整应当只是第一步.在中学阶段即试图严谨与完整,其实是受前苏联教育家赞可夫的三高(高速度、高难度、高理论)影响太深的缘故.二、备用习题1.函数y=sin(3π-2x)的单调减区间是( ) A.[2kπ-12π,2kπ+125π](k∈Z ) B.[4kπ-35π,4kπ+311π](k∈Z ) C.[kπ-125π,kπ+1211π](k∈Z ) D.[kπ12π-,kπ+125π](k∈Z ) 2.满足sin(x-4π)≥21的x 的集合是( ) A.{x|2kπ+125π≤x≤2kπ+1213π,k∈Z } B.{x|2kπ12π-≤x≤2kπ+127π,k∈Z } C.{x|2kπ+6π≤x≤2kπ+65π,k∈Z }D.{x|2kπ≤x≤2kπ+6π,k∈Z }∪{x|2kπ+65π≤x≤(2k+1)π,k∈Z } 3.求下列函数的定义域和值域: (1)y=lgsinx;(2)y=2cos3x .4.已知函数y=f(x)的定义域是[0,41],求下列函数的定义域: (1)f(cos 2x);(2)f(sin 2x-21). 5.已知函数f(x)=21log |sinx-cosx|.(1)求出它的定义域和值域;(2)指出它的单调区间;(3)判断它的奇偶性;(4)求出它的周期.6.若cos 2θ+2msinθ-2m-2<0恒成立,试求实数m 的取值范围.7.求函数y=lgsin(4π-2x )的单调增区间,以下甲、乙、丙有三种解法,请给予评判. 同学甲:令t=sin(4π-2x ),则y=lgt. ∵y=lgt 是增函数,∴原函数的单调增区间就是t=sin(4π-2x )的增区间. 又sinμ的增区间为[2π-+2kπ,2π+2kπ](k∈Z ), ∴2π-+2kπ≤4π-2x ≤2π+2kπ(k∈Z ), 解得4kπ-2π≤x≤4kπ+23π(k∈Z ). ∴原函数的增区间为[4kπ-2π,4kπ+23π](k∈Z ). 同学乙:令t=sin(4π-2x ),则y=lgt. ∵y=lgt 是增函数,∴原函数的单调区间就是t 的增区间. ∵t=sin(4π-2x )=cos(4π+2x ), ∴只需求出cos(4π+2x )的增区间. 由于cosμ的增区间为[2kπ-π,2kπ](k∈Z ).∴2kπ-π≤4π+2x ≤2kπ⇒4kπ25π-≤x≤4kπ-2π(k∈Z ). ∴原函数的增区间为[4kπ25π-,4kπ-2π](k∈Z ).同学丙:令t=sin(4π-2x ),则y=lgt. ∵y=lgt 是增函数,∴原函数的单调增区间是使t>0且t 为增函数的x 的范围. ∵t=sin(4π-2x )=cos(4π+2x ), ∴只需求出使t=cos(4π+2x )>0且t 为增函数的x 的区间. 于是有2kπ-2π<4π+2x ≤2kπ⇒4kπ-23π<x≤4kπ-2π(k∈Z ), ∴原函数的增区间为(4kπ-23π,4kπ-2π］(k∈Z ). 参考答案:1.D2.A3.解:(1)由题意得sinx>0,∴2kπ<x<(2k+1)π,k∈Z .又∵0<sinx≤1,∴lgsinx≤0.故函数的定义域为[2kπ,(2k+1)π],k∈Z ，值域为(-∞,0］.(2)由题意得cos3x≥0,∴2kπ-2π≤3x≤2kπ+2π,k∈Z . ∴32πk -6π≤x≤32πk +6π,k∈Z . 又∵0≤cosx≤1,∴0≤2cos3x ≤2.故函数的定义域为[32πk -6π,32πk +6π],k∈Z ,值域为[0,2]. 4.解:(1)由题意得0≤cos 2x≤41,∴-21≤cosx≤21. 利用单位圆中的三角函数线或余弦函数图象,可得 x∈[kπ+3π,kπ+32π],k∈Z . (2)由题意得0≤sin 2x-21≤41,∴23-≤sinx≤22-或22≤sinx≤23. ∴x∈[kπ+4π,kπ+3π]∪[kπ+32π,kπ+43π],k∈Z . 5.解:f(x)=21log |sinx-cosx|=21log |2sin(x-4π)|. (1)它的定义域应满足2sin(x-4π)≠0,x -4π≠kπ,x≠kπ+4π(k∈Z ), 故定义域为{x|x≠kπ+4π,k∈Z }. ∵|sinx -cosx|=|2sin(x-4π)|,∴0≤|sinx -cosx|≤2.根据y=21log |t,t∈(0,+∞)是减函数,可知21log ||sinx-cosx|≥21log |2=-21, 故值域为［-21，+∞). (2)函数的单调增区间是［kπ-4π,kπ+4π］(k∈Z ),单调减区间是（kπ+4π,kπ+43π］(k∈Z ).(3)由于其定义域关于原点不对称,所以此函数非奇非偶.(4)由于y=|sinx|的周期为π,故原函数的周期为π.6.解:令sinθ=t,则-1≤t≤1.要使cos 2+2msinθ-2m-2<0恒成立,即sin 2θ-2msinθ+2m+1>0恒成立.设f(t)=t 2-2mt+2m+1,则只要f(t)>0在[-1,1]上恒成立即可,由于f(t)=(t-m)2+2m+1-m 2(-1≤t≤1),所以只要f(t)的最小值大于零即可.若m<-1,则当t=-1时,f(t)min =2+4m,令2+4m>0,得m>-21,这与m<-1矛盾,故舍去; 若-1≤m≤1,则当t=m 时,f(t)min =-m 2+2m+1,令-m 2+2m+1>0,解得1-2<m<1+2,∴1-2<m≤1;若m>1,则当t=1时,f(t)min =2>0,∴m>1.综上所述,m>1-2.7.解:由于函数的单调区间是其定义域的子区间,该函数的定义域是使sin(4π-2x )>0的x 的取值范围,甲、乙两名同学都没有考虑到定义域,因此其解法是错误的;同时,甲同学还有一处错误,即sinμ的增区间不是t 的增区间(因为μ=4π-2x 中μ是自变量x 的减函数).丙生既考虑了函数的定义域,也考虑到将x 的系数变为正数,其解法是正确的.。

1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象互动课堂疏导引导1.正弦函数的图象(1)用单位圆中的正弦线,作出函数y=sinx 在x∈［0,2π］上的图象,步骤如下: ①在x 轴上任取一点O 1,以O 1为圆心作单位圆; ②从这个圆与x 轴交点A 起把圆分成12等份; ③过圆上各点作x 轴的垂线,可得对应于0,6π,3π,…,2π的正弦线; ④相应地,再把x 轴上从原点O 开始,把0~2π这段分成12等份; ⑤把角的正弦线平移,使正弦线的起点与x 轴上对应的点重合; ⑥用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来即得,如图1-4-1.图1-4-1(2)正弦函数y=sinx,x∈R 的图象——正弦曲线.因为sin(x+k·2π)=sinx,k∈Z ,所以正弦函数y=sinx 在x∈［-2π,0］,x∈［2π,4π］,x∈［4π,6π］,…时的图象与x∈［0,2π］的形状完全一样,只是位置不同,因此我们把y=sinx 在x∈［0,2π］的图象沿x 轴平移±2π,±4π,…,就可得到y=sinx,x∈R 的图象,如图1-4-2.图1-4-22.作正弦函数简图的方法——五点法 观察正弦函数的图象,可以看出(0,0),(2π,1),(π,0),(23π,-1),(2π,0)这五点在确定图象形状时起着关键作用.这五点描出后,正弦函数y=sinx,x∈［0,2π］的图象的形状就基本上确定了.在精确度要求不高的情况下,我们常用“五点法”作y=sinx 在［0,2π］上的近似曲线.3.余弦函数的图象 把正弦曲线向左平移2π个单位就可以得到余弦函数的图象,余弦函数y=cosx 的图象叫做余弦曲线.如图1-4-3.图1-4-3从上图可以看出,余弦曲线上有五个点起关键作用,这五个点是:(0,1),(2π,0),(π,-1),( 23π,0),(2π,1).活学巧用1.作函数y=tanx·cosx 的图象.解析:首先将函数的解析式变形,化为最简形式,然后作函数的图象. 当cosx≠0,即x≠2π+k π(k∈Z )时,有y=tanx·cosx=sinx,即y=sinx(x≠2π+k π,k∈Z ). 其图象如图1-4-4.图1-4-4点评:函数y=tanx·cosx 的图象是y=sinx(x≠2π+k π,k∈Z )的图象,因此作出y=sinx 的图象后,要把x=2π+k π(k∈Z )的这些点去掉. 2.作函数y=x 2cos 1-的图象.解析:同第2题,首先将y=x 2cos 1-变形,然后作图.y=x 2cos 1-化为y=|sinx|, 即y=πππππππ222,22,sin ,sin +<<++≤≤⎩⎨⎧-k x k k x k x x k∈Z .其图象如图1-4-5.图1-4-53.用“五点法”画函数y=-1+sinx ，x∈［0,2π］的简图. 画法一:按五个关键点列表.图1-4-6画法二:可先用“五点法”画y=sinx,x∈［0,2π］的图象（如图中的虚线图），再将其向下平移1个单位也得到y=-1+sinx,x∈［0,2π］的图象.4.用五点法画出函数y=-cosx,x∈［0,2π］的图象.解析:画法一:按五个点列表.描点画图,如图1-4-6.图1-4-7画法二:先用五点法画y=cosx的图象,再作它关于x轴的对称图.。

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第一章 1.4 1.4。

1 正弦函数、余弦函数的图象A级基础巩固一、选择题1．对于正弦函数y＝sin x的图象，下列说法错误的是（ D )A．向左右无限伸展B．与y＝cos x的图象形状相同，只是位置不同C．与x轴有无数个交点D．关于y轴对称2．从函数y＝cos x,x∈[0，2π)的图象来看，对应于cos x＝错误!的x有( B ) A．1个值B．2个值C．3个值D．4个值［解析]如图所示，y＝cos x,x∈［0,2π]与y＝错误!的图象,有2个交点，∴方程有2个解．3．在[0,2π］上，满足sin x≥错误!的x的取值范围是（ B ）A．[0,错误!］B．[错误!，错误!］C．［错误!，错误!] D．[错误!，π］［解析]由图象得:x的取值范围是[π4，错误!π]．4．函数y＝－cos x(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为（ B ) A．(错误!，1) B．(π,1)C．(0，1）D．(2π，1）［解析]用五点法作出函数y＝－cos x，x〉0的图象如图所示．5．函数y＝|sin x|的图象（ B )A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于坐标轴对称［解析]y＝｜sin x｜＝错误!k∈Z，其图象如图：6．函数y＝1sin x的定义域为（ B )A．R B．{x｜x≠kπ,k∈Z}C．[－1,0）∪(0，1］D．{x|x≠0｝［解析］由sin x≠0,得x≠kπ(k∈Z），故选B．二、填空题7．已知函数f(x)＝3＋2cos x的图象经过点（错误!,b)，则b＝__4__．［解析］b＝f(错误!）＝3＋2cos错误!＝4．8．下列各组函数中，图象相同的是__(4)__．（1）y＝cos x与y＝cos(π＋x）；（2）y＝sin（x－π2)与y＝sin（错误!－x）；（3）y＝sin x与y＝sin(－x）；（4)y＝sin(2π＋x)与y＝sin x．[解析］本题所有函数的定义域是R．cos（π＋x）＝－cos x,则（1)不同；sin(x－错误!)＝－sin（错误!－x）＝－cos x，sin（错误!－x)＝cos x，则(2)不同;sin（－x）＝－sin x，则（3）不同;sin(2π＋x）＝sin x,则(4）相同．三、解答题9．在［0，2π]内用五点法作出y＝－sin x－1的简图．［解析］(1)按五个关键点列表x0错误!π错误!2πy－1－2－10－1(2）描点并用光滑曲线连接可得其图象，如图所示．10．判断方程x2－cos x＝0的根的个数．[解析]设f(x）＝x2，g（x）＝cos x，在同一直角坐标系中画出f(x）和g(x）的图象,如图所示．由图知f（x)和g(x）的图象有两个交点,则方程x2－cos x＝0有两个根．B级素养提升一、选择题1．若cos x＝0，则角x等于（ B )A．kπ(k∈Z）B．π2＋kπ（k∈Z)C．错误!＋2kπ（k∈Z) D．－错误!＋2kπ（k∈Z）2．当x∈［0，2π]时，满足sin(错误!－x)≥－错误!的x的取值范围是( C ）A．［0，错误!］B．［错误!，2π]C．［0,错误!］∪［错误!，2π］D．［错误!，错误!]［解析]由诱导公式化简可得cos x≥－错误!,结合余弦函数的图象可知选C．3．函数y＝cos x＋｜cos x｜x∈[0，2π］的大致图象为( D )[解析]y＝cos x＋|cos x|＝错误!，故选D．4．在(0，2π）上使cos x>sin x成立的x的取值范围是( A ）A．(0，错误!)∪(错误!，2π）B．(错误!，错误!）∪（π，错误!）C．（错误!,错误!) D．(－错误!,错误!）[解析]第一、三象限角平分线为分界线，终边在下方的角满足cos x>sin x．∵x∈(0，2π），∴cos x〉sin x的x范围不能用一个区间表示，必须是两个区间的并集．二、填空题5．若sin x＝2m＋1，则m的取值范围是__{m|－1≤m≤0｝__．［解析］由－1≤2m＋1≤1，解得－1≤m≤0．6．函数f（x)＝错误!则不等式f(x)〉错误!的解集是错误!．[解析]在同一平面直角坐标系中画出函数f（x)和函数y＝错误!的图象，如图所示，当f(x)>12时，函数f(x）的图象位于函数y＝错误!的图象上方，此时有－错误!〈x<0或错误!＋2kπ<x〈错误!＋2kπ(k∈N)．三、解答题7．若集合M＝｛θ｜sinθ≥错误!｝,N＝｛θ｜cosθ≤错误!｝，θ∈［0,2π],求M∩N．[解析］首先作出正弦函数，余弦函数在[0,2π］上的图象以及直线y＝错误!,如图所示．由图象可知，在［0，2π］内，sinθ≥错误!，错误!≤θ≤错误!,cosθ≤错误!时，错误!≤θ≤错误!．所以在[0，2π］内，同时满足sinθ≥错误!与cosθ≤错误!时，错误!≤θ≤错误!．所以M∩N＝｛θ｜错误!≤θ≤错误!}．8．已知函数f（x)＝错误!试画出f（x)的图象．[解析]在同一坐标系内分别画出正、余弦曲线，再比较两个函数的图象，上方的画成实线，下方的画面虚线,则实线部分即为f（x)的图象．C级能力拔高若函数y＝2cos x（0≤x≤2π）的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，求这个封闭图形的面积．［解析]观察图可知：图形S1与S2，S3与S4是两个对称图形,有S1＝S2，S3＝S4，因此函数y＝2cos x的图象与直线y＝2所围成的图形面积可以转化为求矩形OABC的面积．因为｜OA|＝2，|OC｜＝2π，所以S矩形OABC＝2×2π＝4π．故所求封闭图形的面积为4π．。

1.4.4 正切函数的图象与性质课堂导学三点剖析1.正切函数的图象和性质. 【例1】 已知函数y=tan )621(π-x ,（1）作此函数在一个周期开区间上的简图； （2）求出此函数的定义域、周期和单调区间；（3）写出此函数图象的渐近线方程和所有对称中心的坐标. 思路分析：解决本题的关键是利用换元法（令x 21-6π=z ）将问题转化到正切函数y=tanZ 的图象和性质上处理，在这里体现出了化归这一重要的数学思想方法.解：（1）列表：（2）∵x 21-6π≠2π+k π,k∈Z . ∴x≠π34+2k π,从而函数的定义域是{x∈R ｜x≠34π+2k π,k∈Z }. 函数的周期是T=21π=2π. 又∵-2π+k π＜x 21-6π＜2π+k π,k∈Z ,∴-π32+2k π＜x ＜34π+2k π.故函数的单调增区间是 （-π32+2k π，34π+2k π），k∈Z ；无减区间.（3）由x 21-6π=2π+k π，k∈Z 得 x=ππk 234+, 故函数图象的渐近线为x=34π+2k π,k∈Z ； 再由x 21-6π=2πk ，k∈Z ，得x=3π+k π, 故函数图象的对称中心为（3π+k π，0），k∈Z . 2.正切函数图象与性质的应用【例2】求满足下面条件的x 的集合3tan(2x-3π)+3＞0. 思路分析：本题可将2x-3π看作一个整体，利用y=tanx 的图象及单调性求解. 解：原不等式可化为tan （2x-3π）＞3-，设z=2x-3π.如下图，在（-2π，2π）上满足tanz ＞3-的角的范围是-3π＜z ＜2π,所以在整个定义域上有-3π+k π＜z ＜2π+k π,k∈Z ,即-3π+k π＜2x-3π＜2π+k π,k∈Z . 解得2πk ＜x ＜125π+2πk ,k∈Z .所以原不等式的解集是 {x ｜2πk ＜x ＜125π+2πk ,k∈Z }. 温馨提示本题是运用整体换元思想与数形结合思想解决的.首先将2x-3π看作一个变量Z ，然后结合正切函数的图象得到Z 的范围，最后用2x-3π替换Z ，解得x 即可.3.对正切函数的定义域及其单调区间的理解. 【例3】若A={x ｜tanx ＞0}， B={x ｜33tan tan -+x x ≥0}， 试求A∩B.解：由B 得⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥,033tan ,0tan x x ∴tanx≥33. ∴A∩B={x｜tanx≥33}， 而正切函数在每一个区间（k π-2π,k π+2π)(k∈Z )上是增函数， 所以tanx≥33的解为 k π+6π≤x＜k π+2π,k∈Z ， 故A∩B={x｜k π+6π≤x＜k π+2π,k∈Z }.温馨提示 由tanx≥33易解得x≥k π+6π，k∈Z.此种解法认为正切函数是增函数，是错误的.正切函数应在每一区间（k π-2π,k π+2π），k∈Z 上是增函数. 各个击破类题演练1求下列函数的定义域 （1）y=tan （2x-3π）; (2)y=xtan 11+.解：（1）函数的自变量x 应满足：2x-3π≠k π+2π,k∈Z , 即x≠2πk +π125(k∈Z ). 所以,函数的定义域为{x ｜x≠2πk +125π,k∈Z }.(2)要使函数y=xtan 11+有意义，则有⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠≠+).(2,0tan 1Z k k x x ππ 即x≠k π-4π，且x≠k π+2π(k∈Z ). ∴函数的定义域为， {x ｜x∈R 且x≠k π-4π,x≠k π+2π,k∈Z }. 变式提升1y=｜tanx ｜的最小正周期为（ ） A.2πB.πC.2πD.4π 解析：作出y=｜tanx ｜的图象，如下图所示.故y=｜tanx ｜的周期为π. 答案：B 温馨提示 （1）y=｜sinx ｜,y=｜cosx ｜的周期都是y=sinx,y=cosx 的周期缩短了一半，而y=｜tanx ｜的周期与y=tanx 的周期相同，同学们不要盲目地由y=｜sinx ｜,y=｜cosx ｜的周期是由原函数的周期缩短了一半推到y=｜tanx ｜的周期是2π. （2）注意正切函数的定义域、单调性.尽管y=tanx 在每一个开区间(k π-2π,k π+2π)(k∈Z )内都是增函数，但在整个定义域内不是增函数.类题演练2 求函数y=x tan 3-的定义域.解：⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠≥-).(2,0tan 3Z k k x x ππ∴tanx≤3,如右图∴k π-2π＜x≤k π+3π(k∈Z ). ∴函数的定义域为{x ｜k π-2π＜x≤k π+3π,k∈Z}.变式提升2 在区间（-23π，23π）范围内，函数y=tanx 与函数y=sinx 的图象交点的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解：在同一坐标系中，首先作出y=sinx 与y=tanx ，在（-2π，2π）内的图象，须明确x∈（0，2π）时，有sinx ＜x ＜tanx （利用单位圆中的正弦线，正切线就可证明），然后利用对称性作用x∈（-23π，23π）的两函数的图象如下图，由图象可知它们有三个交点. ∴应选C.答案：C类题演练3以下三个描述不正确的是（ ） ①正切函数为定义域上增函数②正切函数存在闭区间［a,b ］,使y=tanx 为其上增函数 ③正切函数存在闭区间［a,b ］,使y=tanx 为其上减函数A.0个B.1个C.2个D.3个 解析：只有②正确. 答案：C 变式提升3比较tan1,tan2,tan3,tan4的大小.解：tan2=tan （2-π),tan3=tan(3-π), tan4=tan(4-π), 又∵-2π＜2-π＜3-π＜4-π＜1＜2π,且y=tanx 在（-2π，2π）上是增函数. ∴tan(2-π)＜tan(3-π)＜tan(4-π)＜tan1.即tan2＜tan3＜tan4＜tan1.。

1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象疱工巧解牛知识•巧学一、正弦函数、余弦函数的图象1.利用单位圆中正弦线表示正弦值的方法，作出点(α，sin α)，α∈［0，2π］. 由单位圆中的正弦线,可知只要能作出角α，就能利用几何法作出对应的正弦值sin α.如图1-4-1，当0≤α≤2π时，在单位圆中对任意的角α，它的弧度数恰好等于角α所对的弧长AP ，我们可设想把单位圆的圆周拉直到x 轴上，使A 点与原点重合，这时点P 就落到x 轴上的(α，0)点，由于sin α=MP ，所以平移MP 至此，就可得到一点(α，sin α).也就是说，要画出点P(α，sin α)，只需把角α的正弦线MP 向右平移，使M 点与x 轴上表示数α的点M 1重合，得到线段M 1P 1，由于点P 和P 1的纵坐标相同，都等于sin α，所以点P 1(α，sin α)是以弧AP 的长为横坐标，正弦线MP 的数量为纵坐标的点.图1-4-12.正弦函数y=sinx ，x∈［0，2π］的图象(1)利用单位圆中的正弦线作y=sinx ，x∈［0，2π］的图象.如图1-4-2，在直角坐标系的x 轴的负半轴上任取一点O 1，以O 1为圆心作单位圆，从圆O 1与x 轴的交点A 起把圆弧分成12等份，过圆O 1上各分点分别作x 轴的垂线，得到对应于角0，6π，3π，2π，…，2π等分点的正弦线.相应地，再把x 轴上从0到2π这一段分成12等份,再把角x 所对应的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上表示数x 的点重合，最后用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到了函数y=sinx ，x∈［0，2π］的图象.图1-4-2(2)正弦曲线根据诱导公式一，终边相同的角的三角函数值相等,可知对于长度为2π的函数y=sinx ，x∈［2k π，2(k+1)π］，k∈Z 且k≠0的图象，与函数y=sinx ，x∈［0，2π］的图象的形状完全一致，只是位置不同.我们只需把y=sinx ，x∈［0，2π］的图象左、右平移(每次2π个单位)，就可得到正弦函数y=sinx ，x∈R 的图象(如图1-4-3).图1-4-3正弦函数的图象叫做正弦曲线.(3)余弦曲线根据诱导公式y=cosx=sin(x+2π)，可知y=cosx 与y=sin(x+2π)是同一函数，而y=sin(x+2π)的图象可由y=sinx 的图象向左平移2π个单位得到，即余弦函数的图象是由正弦函数的图象向左平移2π个单位而得到的.如图1-4-4.图1-4-4余弦函数的图象叫做余弦曲线.事实上，y=cosx=sin(x-23π)，可知余弦函数y=cosx ，x∈R 与函数y=sin(x-23π)也是同一函数，余弦函数的图象也可以通过将正弦曲线向右平移23π个单位而得到.学法一得 作图象时，函数的自变量要用弧度制，只有自变量与函数值均为实数(即x 轴、y 轴上的单位统一)，作出的图象才正规，且利于应用.利用正弦线为端点连线作函数图象时，份数越多，图象越精确，取6的倍数最为适宜，它既保证了点的个数足够多，又取到了图象上关键的最值点和图象与坐标轴的交点. 由y=sinx 的图象变换得到y=cosx 的图象，平移的量是不唯一的，平移的方向也是可左可右的.二、“五点法”作草图 通过正弦曲线、余弦曲线可以发现，这些曲线可以按照闭区间…，［-4π，-2π］，［-2π，0］，［0，2π］，［2π，4π］，…分段，这些闭区间的长度都等于2π个单位长度，并且在每一个闭区间上曲线的形状完全一致.因此，要研究曲线的形状，只需选一个闭区间，在这里，我们不妨选择［0，2π］，显然，有五个点在确定其对应图象的形状时起着关键作用.对于正弦曲线，它们是(0，0)，(2π，1)，(π，0)，(23π，-1)，(2π，0)；对于余弦曲线，它们是(0，1)，(2π，0)，(π，-1)，(23π，0)，(2π，1).因此，在精确度要求不太高时，可先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，就得到相应函数的简图.这种方法称为“五点法”.学法一得 “五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点.典题•热题知识点一 “五点法”作图例1 用“五点法”画出下列函数在区间［0，2π］上的简图. (1)y=2sinx ；(2)y=1-sinx ；(3)y=cosx-1.思路分析：在区间［0，2π］上按五个关键点列表、描点、连线，并用光滑的曲线将它们连接起来.解：(1)按五个关键点列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图1-4-5).图1-4-5方法归纳函数y=2sinx的图象是把y=sinx图象上所有点的纵坐标伸长到原来的二倍而得到的.描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图1-4-6).图1-4-6方法归纳y=f(x)y=f(x)+a(a＞0)，y=f(x)y=f(x)-a(a＞0)，记忆的口诀是“上加下减”.知识点二图象的应用例2 方程sinx=lgx的实根的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.无穷多个思路分析：如图1-4-7，在同一直角坐标系中作函数y=sinx与y=lgx的图象.图1-4-7由图中看出两函数图象有三个交点(x i，y i)，其中x i∈(1，10)(i=1，2，3)是方程sinx=lgx 的解，此方程再无别的解.答案：C方法归纳像这种含有三角式、指数式、对数式的方程叫做超越方程，用初等解方程的方法不能求它的解,通常把这类方程分解成两个函数，把求方程的解转化为求两个函数的交点问题.例3 写出使sinx≥21(x∈R )成立的x 的取值集合. 思路分析：可借助于单位圆或正弦曲线求解.图1-4-8解：如图1-4-8，在0≤x＜2π中满足sinx≥21的角x 的集合为{x|6π≤x≤65π}；当x∈R 时集合为{x|2k π+6π≤x≤2k π+65π,k∈Z }.巧解提示：由y=sinx 在［0,2π］,(2π,π)两区间中取值为正且分别是单调增与单调减函数.又sinx≥21，则有sinx≥sin 6π或sinx≥sin 65π，所有在［0,2π］中，满足sinx≥21的角的集合为{x|6π≤x≤2π}∪{x|2π＜x≤65π}={x|6π≤x≤65π}.以下同解.方法归纳 利于单位圆或正弦曲线解简单三角不等式时，可先在长度为［0,2π］的区间上找到适合不等式的解，再把它扩展到整个定义域上去. 问题•探究 思想方法探究问题 三角函数最重要的特征之一就是它的周期性，推广到一般的情况，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期.那么是否所有周期函数都有最小正周期？对于周期函数的学习还应该注意什么问题？探究过程：首先，周期函数的定义是对定义域中的每一个x 值来说的，只有个别的x 值满足f(x+T)=f(x)或只差个别的x 值不满足f(x+T)=f(x)都不能说T 是f(x)的周期.例如sin(4π+2π)=sin 4π，但是sin(3π+2π)≠sin 3π.就是说，2π不能对x 在定义域内的每一个值都有sin(x+2π)=sinx ，因此2π不是sinx 的周期.其次，从等式f(x+T)=f(x)来看，应强调的是给自变量x 本身加的常数才是周期，如f(2x+T)=f(2x)，T 不是周期，而应写成f(2x+T)=f ［2(x+2T )］=f(2x)，则2T是f(x)的周期.第三，对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期.但并不是所有的周期函数都存在最小正周期.例如常数函数f(x)=x(C 为常数)，x∈R ，当x为定义域内的任何值时，函数值都是C，即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x，都有f(x+T)=C，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)没有最小正周期.对于周期函数还应当注意，“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式，即它对定义域内的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值；周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(k∈N*)一定也是周期；在周期函数y=f(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x+kT也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集.探究结论：周期函数并不都有最小正周期；周期函数的定义域一定无上界或无下界.。

1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象学习目标：1.了解正弦函数、余弦函数图象的来历，掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象的方法．(重点)2.正、余弦函数图象的简单应用．(难点)3.正、余弦函数图象的区别与联系．(易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．正弦曲线正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象叫正弦曲线．图1­4­12．正弦函数图象的画法 (1)几何法：①利用单位圆中正弦线画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象； ②将图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)． (2)五点法：①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)，用光滑的曲线连接；②将所得图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)． 3．余弦曲线余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 的图象叫余弦曲线．图1­4­24．余弦函数图象的画法(1)要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度即可．(2)用“五点法”画余弦曲线y ＝cos x 在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)，再用光滑的曲线连接． 思考：y ＝cos x (x ∈R )的图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象平移得到的原因是什么？[提示] 因为cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，所以y ＝sin x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位可得y ＝cos x (x ∈R )的图象．[基础自测]1．思考辨析(1)正弦函数y ＝sin x 的图象在x ∈[2k π，2k π＋2π](k ∈Z )上的图象形状相同，只是位置不同．( )(2)正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图象关于x 轴对称．( ) (3)余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象关于原点成中心对称．( ) [解析] 由y ＝sin x (x ∈R )图象可知(1)正确，(2)错误； 由y ＝cos x (x ∈R )图象可知(3)错误． [答案] (1)√ (2)× (3)×2．请补充完整下面用“五点法”作出y ＝－sin x (0≤x ≤2π)的图象时的列表．①π 0 1 [用“五点法”作y ＝－sin x (0≤x ≤2π)的图象的五个关键点为(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，1，(2π，0)故①为π，②为0，③为1.] 3．函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－12的交点有________个．2 [由图象可知：函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－12有两个交点．][合 作 探 究·攻 重 难]①y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象关于点P (π，0)成中心对称； ②y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象关于直线x ＝π成轴对称； ③正、余弦函数的图象不超过直线y ＝1和y ＝－1所夹的范围. A ．0 B ．1个 C ．2个D ．3个(2)函数y ＝sin|x |的图象是( )(1)D (2)B [(1)分别画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]和y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．(2)y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x ＜0，结合选项可知选B.][规律方法] 1.解决正、余弦函数的图象问题，关键是要正确的画出正、余弦曲线． 2．正、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到． 3．正、余弦曲线的对称性[跟踪训练]1．关于三角函数的图象，有下列说法：①y ＝sin x ＋1.1的图象与x 轴有无限多个公共点； ②y ＝cos(－x )与y ＝cos |x |的图象相同；③y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图象关于x 轴对称； ④y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图象关于y 轴对称． 其中正确的序号是________．②④ [对②，y ＝cos(－x )＝cos x ，y ＝cos |x |＝cos x ，故其图象相同；对④，y ＝cos(－x )＝cos x ，故其图象关于y 轴对称；作图(略)可知①③均不正确．](1)y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)；(2)y ＝－1＋cos x (0≤x ≤2π). 【导学号：84352075】[思路探究] 列表：让x 的值依次取0，π2，π，3π2，2π→描点→用平滑曲线连接[解] (1)①取值列表如下：(2)①取值列表如下：[规律方法] 用“五点法”画函数y ＝A sin x ＋b (A ≠0)或y ＝A cos x ＋b (A ≠0)在[0,2π]上简图的步骤(1)列表：(2)描点：在平面直角坐标系中描出五个点(0，y 1)，⎝⎛⎭⎪⎫2，y 2，(π，y 3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，y 4，(2π，y 5)，这里的y i (i ＝1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的．(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，就得到正(余)弦函数y ＝A sin x ＋b (y ＝A cos x ＋b )(A ≠0)的图象．提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，x 轴、y 轴上尽量统一单位长度． [跟踪训练]2．用“五点法”画出函数y ＝12＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象．[解] 取值列表如下：[1．方程sin x ＝x 的实根个数有多少个？提示：在同一坐标系内分别作出y ＝sin x ，y ＝x 图象(略)可知在x ∈[0,1]内，sin x <x 没有交点，当x >1时不会相交，所以方程只有一个实根为0.2．函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内有多少个零点？提示：令f (x )＝0，所以x ＝cos x ，分别作出y ＝x ，y ＝cos x 的图象(略)，可知两函数只有一个交点，所以f (x )在[0，＋∞)内只有一个零点．(1)函数y ＝2sin x －1的定义域为________．(2)在同一坐标系中，作函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图象，根据图象判断出方程sin x ＝lg x 的解的个数. 【导学号：84352076】[思路探究] (1)列出不等式→画出函数图象→写出解集 (2)画出y ＝sin x 和y ＝lg x 的图象→找准关键点，→判断两个函数图象的公共点个数→判断方程sin x ＝lg x的解的个数(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z[(1)由2sin x －1≥0得sin x ≥12，画出y ＝sin x 的图象和直线y ＝12.可知sin x ≥12的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z. (2)建立平面直角坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象． 描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示．由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．]母题探究：1.本例(1)中的“sin x ”改为“cos x ”，应如何解答？ [解] 由2cos x －1≥0得cos x ≥12，画出y ＝cos x 的图象和直线y ＝12.观察图象可知cos x ≥12的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z. 2．本例(1)中函数改为y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －12＋3－2sin x ，应如何解答？[解]要使原函数解析式有意义， 必须满足12＜sin x ≤32.首先作出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象，如图所示，作直线y ＝12，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π6和5π6；作直线y ＝32，该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π3和2π3. 观察图象可知，在[0,2π]上，当π6＜x ≤π3或2π3≤x ＜5π6时，不等式12＜sin x ≤32成立，所以12＜sin x ≤32的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ π6＋2k π＜x ≤π3＋2k π或⎭⎪⎬⎪⎫2π3＋2k π≤x ＜5π6＋2k π，k ∈Z . [规律方法] 1.用三角函数的图象解sin x ＞a (或cos x ＞a )的方法 (1)作出y ＝a ，y ＝sin x (或y ＝cos x )的图象． (2)确定sin x ＝a (或cos x ＝a )的x 值． (3)确定sin x ＞a (或cos x ＞a )的解集．2．利用三角函数线解sin x ＞a (或cos x ＞a )的方法(1)找出使sin x ＝a (或cos x ＝a )的两个x 值的终边所在的位置． (2)根据变化趋势，确定不等式的解集．[当 堂 达 标·固 双 基]1．用五点法画y ＝3sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3 C ．(π，0)D ．(2π，0)A [五个关键点的横坐标依次是0，π2，π，3π2，2π.]2．函数y ＝cos x 与函数y ＝－cos x 的图象( ) A ．关于直线x ＝1对称 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称C [由解析式可知y ＝cos x 的图象过点(a ，b )，则y ＝－cos x 的图象必过点(a ，－b )，由此推断两个函数的图象关于x 轴对称．]3．函数y ＝sin x ，x ∈[0，π]的图象与直线y ＝0.99的交点有( )【导学号：84352077】A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B [观察图象(略)易知：有两个交点．]4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＜0，π2≤x ≤5的解集是________．(π，5] [当π2≤x ≤π时0≤sin x ≤1，当π＜x ≤5时sin x ＜0， 所以原不等式的解集为(π，5]．]5．用“五点法”画出y ＝－2cos x ＋3(0≤x ≤2π)的简图.【导学号：84352078】[解] 列表：。

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.(高考辽宁卷，文1)函数y=sin(x+3)的最小正周期是( )A. B.π C.2π D.4π解析：函数y=Asin(ωx+φ)的最小正周期为T=，该函数最小正周期为T==4π.答案：D2.(高考北京卷，文2)函数y=1+cosx的图象( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线x=对称解析：函数y=1+cosx是偶函数，所以关于y轴对称.答案：B3.如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期是T，且当x=2时取得最大值，那么…( )A.T=2，θ=B.T=1，θ=πC.T=2，θ=πD.T=1，θ=解析：T==2，又当x=2时，sin(π·2+θ)=sin(2π+θ)=sinθ，要使上式取得最大值，可取θ=.答案：A4.若弹簧振子对平衡位置的位移x(cm)与时间t的函数关系如图1-4-1所示：图1-4-1(1)求该函数的周期；(2)求t=10.5 s时弹簧振子对平衡位置的位移.解：(1)由图象可知该函数的周期为4 s.(2)设x=f(t)，由函数的周期为4 s，可知f(10.5)=f(2.5+2×4)=f(2.5)=-8.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.(2005高考浙江卷,文1)函数y=sin(2x+)的最小正周期是( )A. B.πC.2πD.4π解析：函数y=Asin(ωx+φ)的最小正周期T=.答案：B2.下列函数中，周期为π，图象关于直线x=对称的函数是( )A.y=2sin(+)B.y=2sin(-)C.y=sin(2x+)D.y=sin(2x-)解析：sin(ωx+φ)的周期为，对称轴方程为ωx+φ=kπ+(k∈Z)，由周期为π，排除A、B；将x=代入2x+得，将x=代入2x-得，故选D.答案：D3.在下列各区间中，函数y=sin(x+)的单调递增区间是( )A.[，π]B.[0，]C.[-π，0]D.[,]解析：y=sin(x+)的递增区间是2kπ-≤x+≤2kπ+,即-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.当k=0时，区间是［-,］,已知区间［0，］是它的子区间，故应选B.答案：B4.设函数f(x)=A+Bsinx，若B＜0时，f(x)的最大值是，最小值是，则。

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1、4、1正弦函数、余弦函数的图像我们知道，实数集与角的集合之间可以建立一一对应的关系，而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦（或余弦）值。

这样，任意给定一个实数x,有唯一确定的值sinx(或cosx）与之对应.由这个对应法则所确定的函数y=sinx（或y=cosx）叫做正弦函数（或余弦函数）,其定义域是R.遇到一个新的函数，非常自然的是画出它的图像，观察图像的形状,看看有什么特殊点,并借助图像研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最值、对称性、周期性等等。

特别地，从前面的学习中我们可以看到，三角函数具有“周而复始”的变化规律。

下面我们就来研究正弦函数、余弦函数的图像和性质。

首先,我们来看一下本章章头图表示的“简谐振动”的实验.将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆.在漏斗下方放一块纸板,板的中间画一条直线作为坐标轴的横轴。

把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可以在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图像.物理中把简谐运动的图像叫做“正弦曲线”或“余弦曲线".它表示了漏斗对平衡位置的位移s （纵坐标）随时间t（横坐标）的变化的情况。