(山西地区)2017版中考数学总复习第四章三角形第15讲三角形及其基本性质试题
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1、图形基础(1)余角、补角、对顶角互余:如果两个角的和是90°,则这两个角互为余角.互补:如果两个角的和是180°,则这两个角互为补角.同角或等角的余角相等.同角或等角的补角相等.对顶角相等.(2)度分秒计算1度=60分,1分=60秒.(3)角平分线性质角平分线上的点到角两边的距离相等;反之,角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.(4)线段垂直平分线①线段的中点:点C把线段AB分成相等的两条线段AC与CB,点C叫做线段AB的中点.②平面内,过一点有且只有一条直线垂直于已知直线;直线外一点与直线上各点所连的线段中,垂线段最短.③经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.④线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;反之,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.(5)平行线①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.②平行线的判定和性质①平行于同一条直线的两直线互相平行;②在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线互相平行.(6)几何体的三视图①几何体的三视图是指几何体的主视图、俯视图、左视图②三视图中三个视图的位置关系是:俯视图在主视图的正下方,左视图在主视图的正右方.③大小关系是:主视图与俯视图长对正,主视图与左视图高平齐,左视图与俯视图宽相等.这里的长、宽、高分别对应三视图所示物体的左右之间、上下之间、前后之间的长度.(7)几何体的展开图①直棱柱的(侧面)展开图.例如将正方体的表面沿某些棱剪开,把各个面展开在同一平面内,就得到正方体的平面展开图,展开图中的每个正方形至少有一条边与其他正方形的边相连.②圆锥的侧面展开图是一个扇形,扇形的弧长等于圆锥体的底面周长,扇形的半径等于圆锥体母线长.③圆柱体的侧面展开图是一个矩形,它的一边长等于圆柱体的母线长,另一边长等于圆柱体的底面周长.2、三角形(1)三角形边、角关系①三角形任意两边之和大于第三边.②三角形任意两边之差小于第三边.③三角形三个内角的和等于180°.④三角形三个外角的和等于360°.⑤三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和⑥三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(2)三角形的主要线段、外心、内心、重心①三角形三边的垂直平分线交于一点,这个点叫做三角形的外心,三角形的外心到各顶点的距离相等.②三角形三条角平分线交于一点,这个点叫做三角形的内心,三角形的内心到三边的距离相等.③三角形的重心是三角形三边中线的交点.④外心、内心、重心示意图(3)三角形中位线定理①连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.②三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.(4)等腰三角形性质与判定等腰三角形的性质:①等边对等角;②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一);③等腰三角形是轴对称图形,底边的中垂线是它的对称轴等腰三角形的判定:①有两边相等的三角形是等腰三角形;②有两角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)(5)等边三角形等边三角形的性质:等边三角形的三个内角都等于60°.等边三角形的判定:①三边相等的三角形是等边三角形;②三个角都相等的三角形是等边三角形;③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.(6)直角三角形①勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.②勾股定理的逆定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.③直角三角形的判定:a.有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形;b.有两个内角互余的三角形是直角三角形;c.勾股定理的逆定理.④直角三角形的性质:a.直角三角形的两个锐角互余;b.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;c.直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半;d.勾股定理.3、四边形(1)多边形及其内角和n边形的内角和等于(n-2)x180°;n边形的外角和等于360°.①正n边形都是轴对称图形,有n条对称轴;②当n为偶数时,正n边形还是中心对称图形.(2)平行四边形的概念,性质及其判定①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形;②平行四边形是以对角线的交点为中心的中心对称图形,但不一定是轴对称图形;①两组对角分别相等的四边形是平行四边形;②四边形具有不稳定性.(3)矩形的概念、性质及其判定①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.②矩形的性质:a.矩形的四个角都是直角;b.矩形的对角线相等;③矩形的判定:a.有三个角是直角的四边形是矩形;b.对角线相等的平行四边形是矩形.①平行四边形的所有性质,矩形都具有;②矩形的定义既是矩形的性质也是矩形的判定.(4)菱形的概念、性质及其判定①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.②菱形的性质:a.菱形的四条边都相等;b.菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.③菱形的判定:a.四条边都相等的四边形是菱形;b.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.①平行四边形的所有性质,菱形都具有;②菱形的定义既是菱形的性质也是菱形的判定;③菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半.(5)正方形的概念、性质及其判定①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.②正方形的性质:a.正方形的四条边都相等,四个角是直角;b.正方形的对角线互相垂直且相等,并且每条对角线平分一组对角.③正方形的判定:a.有一组邻边相等的矩形是正方形;b.对角线互相垂直的矩形是正方形;c.有一个角是直角的菱形是矩形;d.对角线相等的菱形是正方形①正方形的定义既是其性质也是其判定;②正方形具有矩形和菱形的所有性质;③平行四边形是中心对称图形,对称中心为两条对角线的交点;菱形,矩形、正方形既是中心对称图形又是轴对称图形.4、图形变换(1)轴对称的概念和性质①两个图形成轴对称:把一个图形沿着一条直线折叠,如果它能够与另一个图形完全重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称.两个图形中的对应点叫做关于直线的对称点,这条直线叫做对称轴,两个图形关于直线对称叫做轴对称.②轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形.这条直线叫做这个图形的对称轴.③轴对称的性质:如果两个图形关于某一条直线对称,那么对应线段相等,对应角相等.对应点所连的线段被对称轴垂直平分.图形折叠后出现轴对称图形.最短线路问题通常运用轴对称知识解决.(2)平移的概念和性质①平移:在平面内,将某一图形沿着某个方向移动一定的距离,这种图形运动称为平移;平移不改变图形的大小和形状.②平移的性质:平移后的图形与原来图形的对应线段平行(或在同一直线上)且相等,对应角相等,对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等.(3)旋转的概念和性质①旋转:在平面内,把一个图形绕一个定点,沿某个方向旋转一个角度,这样的图形运动称为旋转;这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角;旋转不改变图形的大小和形状.②旋转的性质:图形的旋转使图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动相同角度,对应点到旋转中心的距离相等,任意一对对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角.(4)中心对称的概念和性质①中心对称图形:在平面内,把一个图形绕某个点旋转180°,如果旋转后的图形和原图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做图形的对称中心,在中心对称图形上,每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分.②中心对称:把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够和另一个图形重合,那么我们称这两个图形成中心对称,这个点叫做对称中心,这两个图形中的对应点,叫做关于对称中心的对称点.5、全等相似(1)全等三角形性质与判定全等三角形的性质:全等三角形的对应角相等,对应边相等.全等三角形的判定:一般三角形的判定有四种:SAS,ASA,AAS,SSS;直角三角形除了以上方法外,还有HL.“AAA”和“SSA”不能判定两个三角形全等.(2)线段的比和成比例线段①成比例线段a.两条线段的比:如果用同一长度单位量得两条线段的长度分别为m,n,那么我们就说这两条线段的比是m:n或m/nb.成比例线段:已知四条线段a,b,c,d,若a/b=c/d或a:b=c:d,那么a,b ,c ,d叫做成比例线段;a,d叫做比例外项,b,c叫做比例内项.c.比例的基本性质:如果a/b=c/d,则ad=bc.②黄金分割:如图,将一条线段AB分割成两条线段AP,PB,若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比,即PB/PA=AP/AB.此时线段AP叫做PB,AB的比例中项,则可得这一比值等于√5-1)/2=0.618…,这种分割称为黄金分割,点P 叫做线段AB的黄金分割点.基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.③相似三角形相似三角形的判定:a.两角对应相等,两三角形相似;b.两边对应成比例,且夹角相等,两三角形相似;c.三边对应成比例,两三角形相似;相似三角形的性质:a.相似三角形的对应角相等,对应边成比例;b.相似三角形的周长的比等于相似比;c.相似三角形的面积的比等于相似比的平方.6、三角函数7、圆(1)圆的有关性质①圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线②圆是中心对称图形,其对称中心是圆心;③圆具有旋转不变性;④不在同一直线上的三点确定一个圆.一个三角形有且只有一个外接圆;⑤在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等;⑥在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条劣弧(优弧)两条弦中有一组量对应相等,那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等(2)圆周角定理及其推论①圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半;②同弧或等弧所对的圆周角相等;③半圆(或直径)所对的圆周角是直角, 90°的圆周角所对的弦是直径;④圆内接四边形对角互补.(3)点与圆的位置关系有三种:设点与圆心的距离为d,圆的半径为r,则①点在圆外,即d>r;②点在圆上,即d=r;③点在圆内,即d<r.(4)直线和圆的位置关系:设圆心到直线l的距离为d ,圆的半径为r,则①直线和圆相交,即d<r;②直线和圆相切,即d=r;③直线和圆相离,即d>r.(5)三角形的内切圆和外接圆三角形的内切圆:①三角形的内心是三角形三条角平分线的交点.②三角形的内心到三角形三边的距离相等.三角形的外接圆:①三角形的外心是三角形三边中垂线的交点②三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.(6)切线的性质及判疋切线的性质:与圆只有一个公共点;圆心到切线的距离等于半径;圆的切线垂直于过切点的半径.切线的判定:①如果一条直线与圆只有一个公共点,那么这条直线叫做圆的切线;②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;③)经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(7)圆的周长、弧长公式周长公式:在半径为R的圆中,圆的周长计算公式为C=2TR.弧长公式:在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长计算公式为l=nπR/180(8)圆、扇形面积公式圆面积:S=πR2如果扇形的半径为R,圆心角为n°,那么扇形面积的计算公式为S扇形=nπR2/360比较扇形面积公式与弧长公式,用弧长来表示扇形的面积S扇形=lr/2(9)正多边形与圆各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.正多边形与外接圆的关系:设正n边形的边长为a,中心角②d(边心距),R(圆半径),a(正n边形边长)的关系③正n边形周长l=na;正n边形面积(d为边心距).8、尺规作图5种基本的尺规作图。
17年中考数学基本定理总结230、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)31、推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33、推论3等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)35、推论1三个角都相等的三角形是等边三角形36、推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37、在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42、定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形43、定理2如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44、定理3两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上45、逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称46、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a2+b2=c247、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形48、定理四边形的内角和等于360°49、四边形的外角和等于360°50、多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180°51、推论任意多边的外角和等于360°52、平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等53、平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等54、推论夹在两条平行线间的平行线段相等55、平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分56、平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形57、平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形58、平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形59、平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形60、矩形性质定理1矩形的四个角都是直角61、矩形性质定理2矩形的对角线相等62、矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形63、矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形64、菱形性质定理1菱形的四条边都相等65、菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角66、菱形面积=对角线乘积的一半,即S=(a×b)÷267、菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形68、菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形69、正方形性质定理1正方形的四个角都是直角,四条边都相等70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角71、定理1关于中心对称的两个图形是全等的72、定理2关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分73、逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称74、等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75、等腰梯形的两条对角线相等76、等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77、对角线相等的梯形是等腰梯形78、平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等79、推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰80、推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边81、三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半82、梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半L=(a+b)÷2S=L×h83、(1)比例的基本性质:如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d84、(2)合比性质:如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d85、(3)等比性质:如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b86、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例87、推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例88、定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边89、平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
第2节三角形及其性质课时1一般三角形及等腰三角形(建议答题时间:40分钟)1. (2017泰州)三角形的重心是()A. 三角形三条边上中线的交点B. 三角形三条边上高线的交点C. 三角形三条边垂直平分线的交点D. 三角形三条内角平分线的交点2. (2017金华)下列各组数中,不可能成为一个三角形三边长的是()A. 2,3,4B. 5,7,7C. 5,6,12D. 6,8,103. (2017株洲)如图,在△ABC中,∠BAC=x,∠B=2x,∠C=3x,则∠BAD的度数是()A. 145°B. 150°C. 155°D. 160°第3题图4. (2017甘肃)已知a,b,c是△ABC的三条边长,化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为()A. 2a+2b-2cB. 2a+2bC. 2cD. 05. (2017德阳)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,BE平分∠ABC交AC边于E,∠BAC=60°,∠ABE=25°,则∠DAC的大小是()A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°第5题图第6题图6. (2017滨州)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD=BA,则∠B的大小为()A. 40°B. 36°C. 30°D. 25°7. (2017荆州)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,AB的垂直平分线l交AC 于点D,则∠CBD的度数为()A. 30°B. 45°C. 50°D. 75°第7题图第8题图第9题图8. (2017郴州)小明把一副含45°,30°的直角三角板如图摆放,其中∠C=∠F=90°,∠A=45°,∠D=30°,则∠α+∠β等于()A. 180°B. 210°C. 360°D. 270°9. (2017天津)如图,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列线段的长等于BP+EP最小值的是().A. BCB. CEC. ADD. AC10. (2017泰州)将一副三角板如图叠放,则图中∠α的度数为________.第10题图第12题图第13题图11. (2017成都)在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则∠A的度数为________.12. (2017江西)如图①是一把园林剪刀,把它抽象为图②,其中OA=OB,若剪刀张开的角为30°,则∠A=________度.13. (2017湘潭)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,DE垂直平分AB,垂足为点E,请任意写出一组相等的线段________.14. (2017徐州)△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,DE=7,则BC=________.15. (2017丽水)等腰三角形的一个内角为100°,则顶角的度数是________.16. (2017陕西)如图,在△ABC中,BD和CE是△ABC的两条角平分线.若∠A =52°,则∠1+∠2的度数为________.第16题图第18题图17. (2017淄博)在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF=________. 18. (2017宁夏)在△ABC中,AB=6,点D是AB的中点,过点D作DE∥BC,交AC于点E,点M在DE上,且ME=13DM,当AM⊥BM时,则BC的长为________.19. (2017达州)△ABC中,AB=5,AC=3,AD是△ABC的中线,设AD长为m,则m的取值范围是________.20. (2017内江)如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC.求证:△BDE是等腰三角形.第20题图21. (2017北京)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC 于点D.求证:AD=BC.第21题图22. (2017连云港)如图,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上,且AD=AE,连接BE、CD交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由;(2)求证:过点A、F的直线垂直平分线段BC.第22题图课时2直角三角形及勾股定理(建议答题时间:40分钟)1. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是()A. 3,4,5B. 1,2, 3C. 6,7,8D. 2,3,42. (2016沈阳)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,则BC的长是()A. 433 B.4 C. 83 D. 4 3第2题图第3题图3. (2017大连)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,点E是AB的中点,CD=DE=a,则AB的长为()A. 2aB. 22aC. 3aD. 43 3a4. (2017黄石)如图,在△ABC中,E为BC边的中点,CD⊥AB,AB=2,AC=1,DE=32,则∠CDE+∠ACD=()A. 60°B. 75°C. 90°D. 105°第4题图第5题图5. (2017重庆巴蜀月考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,边AB的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E.若BC=4,AC=8,则BD=()A. 3B. 4C. 5D. 66. (2017陕西)如图,将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起,其中点A′与点A重合,点C′落在边AB上,连接B′C.若∠ACB=∠AC′B′=90°,AC=BC=3,则B′C的长为()A. 3 3B. 6C. 3 2D. 21第6题图第7题图7. 关注数学文化(2017襄阳)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若(a+b)2=21,大正方形的面积为13,则小正方形的面积为()A. 3B. 4C. 5D. 68. (2017株洲)如图,在Rt△ABC中,∠B的度数是________度.第8题图第11题图第12题图9. (2017安顺)三角形三边长分别为3,4,5,那么最长边上的中线长等于________.10. (2017岳阳)在△ABC中,BC=2,AB=23,AC=b,且关于x的方程x2-4x +b=0有两个相等的实数根,则AC边上的中线长为________.11. (2017常德)如图,已知Rt△ABE中∠A=90°,∠B=60°,BE=10,D是线段AE上的一动点,过D作CD交BE于C,并使得∠CDE=30°,则CD长度的取值范围是________.12. (2017娄底)如图,在等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=CB=2,点D为AC的中点,点E,F分别是线段AB,CB上的动点,且∠EDF=90°,若ED的长为m,则△BEF的周长是________.(用含m的代数式表示)13. (2017杭州)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=15,AC=20,点D在边AC上,AD=5,DE⊥BC于点E,连接AE,则△ABE的面积等于________.第13题图第14题图14. (2017武汉)如图,在△ABC中,AB=AC=23,∠BAC=120°,点D,E都在边BC上,∠DAE=60°,BD=2CE,则DE的长为________.15. (2017山西)一副三角板按如图方式摆放,得到△ABD和△BCD,其中∠ADB =∠BCD=90°,∠A=60°,∠CBD=45°.E为AB的中点,过点E作EF⊥CD于点F.若AD=4 cm,则EF的长为________cm.第15题图第16题图16. (2017河南)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=2+1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B′始终..落在边AC上,若△MB′C为直角三角形,则BM的长为________.17. (2018原创)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠A=30°,D是边AB上一点,∠BDC=45°,AD=4,求BC的长.(结果保留根号)第17题图18. (2018原创)如图,在△ABC中,D为AC边的中点,且DB⊥BC,BC=4,CD=5.(1)求DB的长;(2)在△ABC中,求BC边上高的长.第18题图19. 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AC=20,BC=15,(1)求AB的长;(2)求CD的长.第19题图20. (2017徐州)如图,已知AC⊥BC,垂足为C,AC=4,BC=33,将线段AC 绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AD,连接DC、DB.(1)线段DC=________;(2)求线段DB的长度.第20题图答案课时1 一般三角形及等腰三角形1. A2. C3. B4. D【解析】由三角形中任意两边之和大于第三边,得:a+b>c,∴c-a-b =c-(a+b)<0,∴|c-a-b|=a+b-c,|a+b-c|=a+b-c,∴|a+b-c|-|c-a -b|=0.5. B【解析】∵BE是∠ABC的角平分线,∴∠ABC=2∠ABE=50°,又∵∠BAC =60°,则∠C=70°,又∵∠ADC=90°,∴∠DAC=20°.6.B【解析】设∠C=x°,∵AD=DC,∴∠DAC=∠C=x°,∴∠ADB=2x°,∵AB=BD,∴∠BAD=∠ADB=2x°,∴∠B=180°-4x°,∵AB=AC,∴∠B=∠C=x°,∴180°-4x°=x°,解得x=36,∴∠B=∠C=36°.7.B【解析】∵∠A=30°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=75°,又∵l为AB的垂直平分线,∴DB=DA,∠DBA=∠A=30°∴∠CBD=∠CBA-∠DBA=75°-30°=45°.8. B【解析】如解图,∵∠C=∠F=90°,∴∠3+∠4=90°,∠2+∠5=90°,又∵∠2=∠4,∴∠3=∠5,∵∠1=∠3,∴∠1=∠5=180°-∠β,∵∠α=∠D+∠1=∠D+180°-∠β,∴∠α+∠β=∠D+180°=30°+180°=210°.第8题解图9. B【解析】∵AB=AC,AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,∴AD是BC的垂直平分线,∴点B关于AD的对应点为点C,∴CE等于BP+EP的最小值.10. 15°11. 40°12. 7513. CD=DE14. 1415. 100°【解析】由三角形内角和定理可知,若等腰三角形的一个内角为100°,则这个内角为顶角,此时两底角均为40°,即该三角形顶角的度数是100°. 16. 64°【解析】∵在△ABC中,BD和CE是△ABC的两条角平分线,∴∠1=∠ABD=12∠ABC,∠2=∠ACE=12∠ACB,∴∠1+∠2=12(∠ABC+∠ACB),∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°,∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-52°=128°,∴∠1+∠2=12(∠ABC+∠ACB)=12×128°=64°.17. 23【解析】假设点D与点B重合,可得DE+DF为等边三角形AC边上的高,再由等边三角形的边长为4,可求AC边上的高为23,故DE+DF=2 3.18. 8【解析】∵AM⊥BM,∴∠AMB=90°,在Rt△ABM中,∵D是AB的中点,∴DM=12AB=3,∵ME=13DM,∴ME=1,DE=4,又∵DE∥BC,∴DE是△ABC的中位线,∴BC=8.19. 1<m<4【解析】如解图,延长AD到点E,使AD=ED,连接CE,∵AD 是△ABC的中线,∴BD=CD,∵在△ABD和△ECD中,BD=CD,DE=AD,∠ADB=∠EDC,∴△ABD≌△ECD(SAS),∴AB=EC,在△AEC中,∵AC+EC>AE,且EC-AC<AE,即AB+AC>2AD,AB-AC<2AD,∴2<2AD<8,∴1<AD<4即1<m<4.第11题解图20. 证明:∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC,∵DE∥AC,∴∠ADE=∠DAC.∴∠BAD=∠ADE,∵AD⊥BD,∴∠ADB=90°,∴∠BAD+∠B=90°.∵∠BDE+∠ADE=90°,∴∠B=∠BDE,∴BE=DE,∴△BDE是等腰三角形.21. 解:∵AB=AC∴在△ABC中,∠ABC=∠C=12(180°-∠A)=12×(180°-36°)=72°,又∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=12×72°=36°,∴∠ABD=∠A,∴AD=BD,又∵在△ABC中,∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°,∴∠BDC=∠C,∴BD=BC,∴AD=BC.22. (1)解:∠ABE=∠ACD.理由如下:∵AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD,∴△ABE≌△ACD(SAS).∴∠ABE=∠ACD;(2)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.由(1)可知∠ABE=∠ACD,∴∠FBC=∠FCB,∴FB=FC.又∵AB=AC,∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上,即过点A、F的直线垂直平分线段BC.课时2直角三角形及勾股定理1. B2. D3. B【解析】∵CD⊥AB,CD=DE=a,∴CE=2a,∵在△ABC中,∠ACB =90°,点E是AB的中点,∴AB=2CE=22a.4. C 【解析】∵点E 为BC 边的中点,CD ⊥AB ,DE =32,∴BE =CE =DE =32,∴∠CDE =∠DCE ,BC = 3.在△ABC 中,AC 2+BC 2=1+(3)2=4=AB 2,∴∠ACB =90°,∴∠CDE +∠ACD =∠DCE +∠ACD =90°.5. C 【解析】设BD =x ,∵边AB 的垂直平分线交AC 于点D ,∴AD =BD =x ,则CD =8-x ,在Rt △BCD 中,根据勾股定理,得x 2-(8-x )2=42,解得x =5.6. A 【解析】∵∠ACB =∠A ′C ′B ′=90°,AC =BC =3,∴△ABC 是等腰直角三角形,∴∠CAB =45°,在Rt △ABC 中,AB =AC 2+BC 2=32+32=32,又∵△ABC ≌△A ′B ′C ′, ∴A ′B ′= AB =32, ∠C ′A ′B ′=∠CAB =45°,∴∠CAB ′=∠C ′AB ′+∠CAB = 45°+45°=90°,在Rt △CAB ′中,AC =3,AB ′=32,∴B ′C =AC 2+AB′2=32+(32)2=3 3.7. C 【解析】如解图,∵S 正方形ABCD =13,∴AB =13,∵AG =a ,BG =b ,∴a 2+b 2=AB 2=13,∵(a +b )2=a 2+2ab +b 2=21,∴2ab =(a +b )2-a 2-b 2=21-13=8,∴ab =4,∴S △ABG =12ab =12×4=2,∴S 小正方形=S 大正方形-4S △ABG =13-4×2=5.第7题解图8. 25 9. 5210. 2 【解析】∵方程x 2-4x +b =0有两个相等的实数根,∴b 2-4ac =16-4b =0,解得b =4.又∵BC =2,AB =23,AC =b =4,∴AB 2+BC 2=(23)2+22=42=AC 2,∴∠B =90°,∴AC 边上的中线长为2.11. 0<CD ≤5 【解析】如解图,取BE 的中点F ,连接AF ,∵∠A =90°,则AF =12BE =EF =5,∴∠EAF =∠E =90°-∠B =30°,又∵∠CDE =30°,∴∠CDE=∠EAF,∴CD∥AF,∴CDAF=EDEA.当D与A重合时,CD与AF重合,取得最大值为5,当D接近于E时,DE越小,CD越小,∵线段CD不能为0,∴0<CD ≤5.第11题解图12. 2+2m【解析】如解图,连接BD,∵D为AC的中点,∴BD⊥AC,BD 平分∠ABC,∴∠BDC=90°,∠ABD=∠C=45°,∴∠BDF+∠FDC=90°,又∵∠EDF=90°,∴∠BDF+∠BDE=90°,∴∠CDF=∠BDE,∴△BED≌△CFD(ASA),∴BE=CF,DE=DF,则BE+BF+EF=BC+EF=2+EF,而Rt △DEF中,DE=DF=m,∴EF=2m,则△BEF的周长为2+ 2 m.第12题解图13. 78【解析】如解图,过点A作AH⊥BC于点H,∵AB=15,AC=20,∠BAC=90°,∴由勾股定理得,BC=152+202=25,∵AD=5,∴DC=20-5=15,∵DE⊥BC,∠BAC=90°,∴△CDE∽△CBA,∴CECA=CDCB,∴CE=1525×20=12.第13题解图14. 33-3【解析】∵AB=AC=23,∠BAC=120°,∴BC=6,∠B=∠BCA=30°,如解图,将△ABD 绕点A 逆时针旋转120°得到△ACD ′,∴∠D ′CA =∠B =30°,AD =AD ′,∴∠D ′CE =60°,∵∠DAE =60°,∠DAD ′=120°,∴∠EAD ′=60°,∴△EAD ′≌∠EAD (SAS ),∴ED ′=ED ,∴ED ′+BD +EC =6,∴EC =6-DE 3,∵CD ′=BD =2CE ,∠D ′CE =60°,∴∠D ′EC =90°,∴D ′E 2+EC 2=D ′C 2,即DE 2+(6-DE 3)2=(6-DE 3×2)2,解得DE =33-3(负根舍去).第14题解图15. 2+6 【解析】如解图,连接DE ,在EF 上找一点G ,使得DG =EG ,连接DG ,在Rt △ABD 中,∠A =60°, ∴AD =12AB ,又∵E 为AB 的中点,∴AE =12AB =DE ,∴AD =AE =DE ,∴△ADE 为等边三角形 ,∴DE =AD =4 cm ,∠DEA =60°,又∵EF ⊥CD ,∠C =90°,∴EF ∥CB ,∴∠AEF =∠ABC =75°,∴∠DEF =15°,在Rt △EFD 中,∠EFD =90°,∵DG =EG ,∴∠GDE =∠DEF =15°,∴∠DGF =30°,设DF =x ,则EG =DG =2x ,FG =3x ,EF =(2+3)x ,根据勾股定理得DF 2+EF 2=DE 2,即x 2+(2+3)2x 2=16,解得x =6-2,∴EF =(2+6) cm .第15题解图16.2+12或1 【解析】(1)当∠B ′MC 为直角时,此时点M 在BC 的中点位置,点B ′与点A 重合,如解图①,则BM 长度为12BC =2+12;(2)当∠MB ′C 为直角时,如解图②,根据折叠性质得,BM=B′M,BN=B′N,B′M∥BA,∴MCBC=B′MAB,即MCB′M=BCAB=2,∴MCB′M=2,即MC+BMBM=2+11,即BCBM=2+11,∵BC=2+1,∴BM=1.故BM长为2+12或1.第16题解图17. 解:∵∠BDC=45°,∠ABC=90°,∴△BDC为等腰直角三角形,∴BD=BC,∵∠A=30°,∴BC=12AC,在Rt△ABC中,根据勾股定理得AC2=AB2+BC2,即(2BC)2=(4+BD)2+BC2,解得BC=BD=2+23(负根舍去).18. 解:(1)∵DB⊥BC,BC=4,CD=5,∴BD=52-42=3;(2)如解图,延长CB,过点A作AE⊥CB交CB延长线于点E,∵DB⊥BC,AE⊥BC,∴AE∥DB,∵D为AC边的中点,∴BD=12AE,∴AE=6,即BC边上高的长为6.第18题解图19. 解:(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=15,AC=20,∴AB=AC2+BC2=202+152=25,即AB的长是25;(2)∵S△ABC=12AC·BC=12AB·CD,∴20×15=25·CD,∴CD=12.20. 解:(1) 4;【解法提示】在△ACD中,∵∠A=60°,AC=AD,∴△ACD是等边三角形,∴DC=AC=4.(2)如解图,过点D作DE⊥BC于点E.第20题解图在△CDE中,∠DCE=∠ACB-∠ACD=90°-60°=30°,CD=4,∴DE=2,根据勾股定理得CE=CD2-DE2=23,∴BE=BC-CE=33-23=3,∴DB=BE2+DE2=(3)2+22=7.。
第四单元《图形的初步认识与三角形》中考知识点梳理第14讲平面图形与相交线、平行线一、知识清单梳理第15讲一般三角形及其性质知识点一:三角形的分类及性质关键点拨与对应举例1.三角形的分类(1)按角的关系分类(2)按边的关系分类⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形失分点警示:在运用分类讨论思想计算等腰三角形周长时,必须考虑三角形三边关系.例:等腰三角形两边长分别是3和6,则该三角形的周长为15.2.三边关系三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.3.角的关系(1)内角和定理:①三角形的内角和等180°;②推论:直角三角形的两锐角互余.(2)外角的性质:①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.利用三角形的内、外角的性质求角度时,若所给条件含比例,倍分关系等,列方程求解会更简便.有时也会结合平行、折叠、等腰(边)三角形的性质求解.4.三角形中的重要线段四线性质(1)角平分线、高结合求角度时,注意运用三角形的内角和为180°这一隐含条件.(2)当同一个三角形中出现两条高,求长度时,注意运用面积这个中间量来列方才能够求解. 角平分线(1)角平线上的点到角两边的距离相等(2)三角形的三条角平分线的相交于一点(内心)中线(1)将三角形的面积等分(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半高锐角三角形的三条高相交于三角形内部;直角三角形的三条高相交于直角顶点;钝角三角形的三条高相交于三角形的外部中位线平行于第三边,且等于第三边的一半5.三角形中内、外角与角平分线的规律总结如图①,AD平分∠BAC,AE⊥BC,则∠α=12∠BAC-∠CAE=12(180°-∠B-∠C)-(90°-∠C)=12(∠C-∠B);如图②,BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线,则有∠O=12∠A+90°;如图③,BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线,则∠O=12∠A,∠O’=12∠O;如图④,BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线,则∠O=90°-12∠A.对于解答选择、填空题,可以直接通过结论解题,会起到事半功倍的效果.知识点二 :三角形全等的性质与判定6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等.(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等. (3)全等三角形的周长等、面积等. 失分点警示:运用全等三角形的性质时,要注意找准对应边与对应角.7.三角形全等的判定一般三角形全等 SSS (三边对应相等)SAS (两边和它们的夹角对应相等)ASA (两角和它们的夹角对应相等)AAS (两角和其中一个角的对边对应相等)失分点警示如图,SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等(HL )(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA 和AAS.8.全等三角形的运用(1)利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度:将特征的边或角放到两个全等的三角形中,通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时,注意公共角、公共边、对顶角等银行条件. (2)全等三角形中的辅助线的作法:①直接连接法:如图①,连接公共边,构造全等.②倍长中线法:用于证明线段的不等关系,如图②,由SAS 可得△ACD ≌△EBD ,则AC=BE.在△ABE 中,AB+BE >AE ,即AB+AC >2AD. ③截长补短法:适合证明线段的和差关系,如图③、④.例:如图,在△ABC 中,已知∠1=∠2,BE=CD,AB=5,AE=2,则CE=3.第16讲 等腰、等边及直角三角形三、 知识清单梳理知识点一:等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形(1)性质①等边对等角:两腰相等,底角相等,即AB =AC ∠B =∠C ;②三线合一:顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高 互相重合;③对称性:等腰三角形是轴对称图形,直线AD 是对称轴. (2)判定(1)三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中,只要满足其中两个,其余均成立. 如:如左图,已知AD ⊥BC,D 为BC 的中点,则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示:当等腰三角形的腰和底不明确时,需分类讨论. 如若等腰三角形ABC 的一个内角为①定义:有两边相等的三角形是等腰三角形;②等角对等边:即若∠B=∠C,则△ABC是等腰三角形. 30°,则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.2.等边三角形(1)性质①边角关系:三边相等,三角都相等且都等于60°.即AB=BC=AC,∠BAC=∠B=∠C=60°;②对称性:等边三角形是轴对称图形,三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.(2)判定①定义:三边都相等的三角形是等边三角形;②三个角都相等(均为60°)的三角形是等边三角形;③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB=AC,且∠B=60°,则△ABC是等边三角形.(1)等边三角形是特殊的等腰三角形,所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.(2)等边三角形有一个特殊的角60°,所以当等边三角形出现高时,会结合直角三角形30°角的性质,即BD=1/2AB.例:△ABC中,∠B=60°,AB=AC,BC=3,则△ABC的周长为9.知识点二:角平分线和垂直平分线3.角平分线(1)性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等.即若∠1 =∠2,PA⊥OA,PB⊥OB,则PA=PB.(2)判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上.例:如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线交AC于D,交AB于E,CD=2,则AC=6.4.垂直平分线图形(1)性质:线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等.即若OP垂直且平分AB,则PA=PB.(2)判定:到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.知识点三:直角三角形的判定与性质5.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A+∠B=90°;(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B=30°则AC=12AB;(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半.即若CD是中线,则CD=12AB.(4)勾股定理:两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.即a2+b2=c2 .(1)直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边,c为斜边,h是斜边上的高),可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.(2)已知两边,利用勾股定理求长度,若斜边不明确,应分类讨论.(3)在折叠问题中,求长度,往往需要结合勾股定理来列方程解决.6.直角三角形的判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C=90°,则△ABC是Rt△;(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形.即若AD=BD=CD,则△ABC是Rt△(3) 勾股定理的逆定理:若a2+b2=c2,则△ABC是Rt△.21P COBAPCO BADABC abcDABC abc第17讲 相似三角形知识点一:比例线段关键点拨与对应举例1. 比例线段在四条线段a ,b ,c ,d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即a cb d=,那么这四条线段a ,b ,c ,d 叫做成比例线段,简称比例线段.列比例等式时,注意四条线段的大小顺序,防止出现比例混乱. 2.比例的基本性质(1)基本性质:a cb d =⇔ ad =bc ;(b 、d ≠0)(2)合比性质:a c b d =⇔a b b ±=c dd ±;(b 、d ≠0)(3)等比性质:a c b d ==…=mn =k (b +d +…+n ≠0)⇔......a c mb d n++++++=k .(b 、d 、···、n ≠0)已知比例式的值,求相关字母代数式的值,常用引入参数法,将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示,再求代数式的值,也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母,再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k ,再代入所求式子,也可以把原式变形得a=3/5b 代入求解. 例:若35a b =,则a b b +=85. 3.平行线分线段成比例定理(1)两条直线被一组平行线所截,所得的对应线 段成比例.即如图所示,若l 3∥l 4∥l 5,则AB DEBC EF=. 利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时,注意根据图形列出比例等式,灵活运用比例基本性质求解. 例:如图,已知D ,E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点,AE=2,CE=3,要使DE ∥AB ,那么BC :CD 应等于53.(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线),所得的对应线段成比例.即如图所示,若AB ∥CD ,则OA OBOD OC=. (3)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形和原三角形相似.如图所示,若DE ∥BC ,则△ADE ∽△ABC.4.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ,如果ACAB ==5-12≈0.618,那么线段AB 被点C 黄金分割.其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比.例:把长为10cm 的线段进行黄金分割,那么较长线段长为5(5-1)cm .知识点二 :相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图,若∠A =∠D ,∠B =∠E ,则△ABC ∽△DEF.判定三角形相似的思路:①条件中若有平行 线,可用平行线找出相等的角而判定;②条件中若有一对等角,可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例;③条件中 若有两边对应成比例可找夹角相等;④条件中若有一对直角,可考虑再找一对等角或证 明直角边和斜边对应成比例;⑤条件中若有 等腰关系,可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例.(2) 两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似. 如图,若∠A =∠D ,AC AB DF DE=,则△ABC ∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似.如图,若AB AC BCDE DF EF==,则△ABC ∽△DEF. F E D CB A l 5l 4l 3l 2l 1ODCBAED CBAFEDC B AFEDC BAFE DC BA6.相似三角形的性质(1)对应角相等,对应边成比例.(2)周长之比等于相似比,面积之比等于相似比的平方.(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比.例:(1)已知△ABC∽△DEF,△ABC的周长为3,△DEF的周长为2,则△ABC与△DEF的面积之比为9:4.(2) 如图,DE∥BC,AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4,则AF:AG=1:2.7.相似三角形的基本模型(1)熟悉利用利用相似求解问题的基本图形,可以迅速找到解题思路,事半功倍.(2)证明等积式或者比例式的一般方法:经常把等积式化为比例式,把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后,通过证明这两个三角形相似,从而得出结果.第18讲解直角三角形五、知识清单梳理知识点一:锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A=∠A的对边斜边=ac余弦: cos A=∠A的邻边斜边=bc正切: tan A=∠A的对边∠A的邻边=ab.根据定义求三角函数值时,一定根据题目图形来理解,严格按照三角函数的定义求解,有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA122232 cosA322212 tanA331 3知识点二:解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形.科学选择解直角三角形的方法口诀:已知斜边求直边,正弦、余弦很方便;已知直边求直边,理所当然用正切;已知两边求一边,勾股定理最方便;已知两边求一角,函数关系要记牢;已知锐角求锐角,互余关系不能少;已知直边求斜边,用除还需正余弦.例:在Rt△ABC中,已知a=5,sinA=30°,则c=10,b=5.4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系:a2+b2=c2;(2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90°;(3)边角之间的关系:sin A==cosB=ac,cos A=sinB=bc,tan A=ab.知识点三:解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角:视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角.(如图①)(2)坡度:坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比),用字母i表示.坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,用α表示,则有i=tanα. (如图②)(3)方向角:平面上,通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向),则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角,叫做观测的方向角.(如图③)解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型:(1)叠合式(2)背靠式解题方法:这两种模型种都有一条公共的直角边,解题时,往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边,或通过公共边相等,列方程求解.6.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语,根据题意画出图形,建立数学模型;(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系,把实际问题转化为解直角三角形问题;(3)选择合适的边角关系式,使运算简便、准确;(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义,从而得到问题的解.。
直角三角形----知识讲解(提高)【学习目标】1. 掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用.理解原命题与其逆命题,原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系.2. 能够运用勾股定理解决简单的实际问题,会运用方程思想解决问题;能利用勾股定理的逆定理,由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3. 能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法(HL )及其应用.【要点梳理】要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a b ,,斜边长为c ,那么222a b c +=.要点诠释:(1)勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.(2)利用勾股定理,当设定一条直角边长为未知数后,根据题目中已知线段的长可以建立方程求解,这样就将数与形有机地结合起来,达到了解决问题的目的.(3)理解勾股定理的一些变式:222a c b =-,222b c a =-, ()222c a b ab =+-. (4)勾股数:满足不定方程222x y z +=的三个正整数,称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数),显然,以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数,对解题会很有帮助:① 3、4、5; 5、12、13; 8、15、17; 7、24、25; 9、40、41……② 如果a b c 、、是勾股数,当t 为正整数时,以at bt ct 、、为三角形的三边长,此三角形必为直角三角形.③22121n n n -+,,(1,n n >是自然数)是直角三角形的三条边长;④2222,21,221n n n n n ++++(n 是自然数)是直角三角形的三条边长; ⑤2222,,2m n m n mn -+ (,m n m n >、是自然数)是直角三角形的三条边长. 要点二、勾股定理的证明方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形.图(1)中,所以.方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形.图(2)中,所以.方法三:如图(3)所示,将两个直角三角形拼成直角梯形.,所以.要点三、勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长a b c ,,,满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释:(1)勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.(2)勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”,是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形(1) 首先确定最大边(如c ).(2) 验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+,则△ABC 是∠C =90°的直角三角形;若222c a b ≠+,则△ABC 不是直角三角形.要点诠释:当222a b c +<时,此三角形为钝角三角形;当222a b c +>时,此三角形为锐角三角形,其中c 为三角形的最大边.要点五、互逆命题与互逆定理如果两个命题的题设与结论正好相反,则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题,则另一个叫做它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.要点诠释:原命题正确,逆命题未必正确;原命题不正确,其逆命题也不一定错误;正确的命题我们称为真命题,错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题,每一个定理不一定有逆定理,如果这个定理存在着逆定理,则一定是真命题.要点六、直角三角形全等的判定(HL )在两个直角三角形中,有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简 称“斜边、直角边”或“HL ”).这个判定方法是直角三角形所独有的,一般三角形不具备. 要点诠释:(1)“HL ”从顺序上讲是“边边角”对应相等,由于其中含有直角这个特殊条件,所以三角形的形状和大小就确定了.(2)判定两个直角三角形全等的方法共有5种:SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.证明两个直角三角形全等,首先考虑用斜边、直角边定理,再考虑用一般三角形全等的证明方法.(3)应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件,书写时必须在两个三角形前加上“Rt ”.【典型例题】类型一、勾股定理1、已知直角三角形斜边长为2,周长为2+【思路点拨】欲求直角三角形的面积,只需求两直角边之积,而由已知得两直角边之和为4,于是可转化为用方程求解.【答案与解析】解:设这个直角三角形的两直角边长分别为a b 、,则222222a b a b ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩即224a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩①②将①两边平方,得2226a ab b ++= ③ ③-②,得22ab =,所以1122ab = 因此这个直角三角形的面积为12. 【总结升华】此题通过设间接未知数a b 、,通过变形直接得出12ab 的值,而不需要分别求出a b 、 的值.本题运用了方程思想解决问题.2、(2015春•黔南州期末)长方形纸片ABCD 中,AD=4cm ,AB=10cm ,按如图方式折叠,使点B 与点D 重合,折痕为EF ,求DE 的长.【思路点拨】在折叠的过程中,BE=DE .从而设BE 即可表示AE .在直角三角形ADE 中,根据勾股定理列方程即可求解.【答案与解析】解:设DE=xcm ,则BE=DE=x ,AE=AB ﹣BE=10﹣x ,△ADE 中,DE 2=AE 2+AD 2,即x 2=(10﹣x )2+16. ∴x=(cm ).答:DE 的长为cm.【总结升华】注意此类题中,要能够发现折叠的对应线段相等.类型二、勾股定理的逆定理3、如图所示,四边形ABCD 中,AB ⊥AD ,AB =2,AD =CD =3,BC =5,求∠ADC 的度数.【答案与解析】解:∵ AB ⊥AD ,∴ ∠A =90°,在Rt △ABD 中,22222216BD AB AD =+=+=.∴ BD =4,∴ 12AB BD =,可知∠ADB =30°, 在△BDC 中,22216325BD CD +=+=,22525BC ==,∴ 222BD CD BC +=,∴ ∠BDC =90°,∴ ∠ADC =∠ADB+∠BDC =30°+90°=120°.【总结升华】利用勾股定理的逆定理时,条件是三角形的三边长,结论是直角三角形,即由边的条件得到角的结论,所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理. 举一反三:【高清课堂 勾股定理逆定理 例4】【变式1】△ABC 三边a b c ,,满足222338102426a b c a b c +++=++,则△ABC 是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形【答案】D ;提示:由题意()()()222512130a b c -+-+-=,51213a b c ===,,,因为222a b c +=,所以△ABC 为直角三角形.【变式2】(2015春•厦门校级期末)在四边形ABCD 中,AB=AD=2,∠A=60°,BC=2,CD=4.求∠ADC 的度数.【答案】解:连接BD ,∵AB=AD=2,∠A=60°,∴△ABD 是等边三角形,∴BD=2,∠ADB=60°, ∵BC=2,CD=4,则BD 2+CD 2=22+42=20,BC 2=(2)2=20, ∴BD 2+CD 2=BC 2,∴∠BDC=90°,∴∠ADC=150°.类型三、勾股定理、逆定理的实际应用4、如图所示,在一棵树的10m 高的B 处有两只猴子,一只爬下树走到离树20m 处的池塘A 处,另外一只爬到树顶D 后直接跃到A 处,距离的直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,试问这棵树有多高?【思路点拨】其中一只猴子从B →C →A 共走了(10+20)=30m ,另一只猴子从B →D →A 也共走了30m ,并且树垂直于地面,于是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决.【答案与解析】解:设树高CD 为x ,则BD =x -10,AD =30-(x -10)=40-x ,在Rt △ACD 中,22220(40)x x +=-,解得:x =15.答:这棵树高15m .【总结升华】本题利用距离相等用未知数来表示出DC 和DA ,然后利用勾股定理作等量关系列方程求解.举一反三:【变式】如图①,有一个圆柱,它的高等于12cm ,底面半径等于3cm ,在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物,需要爬行的最短路程是多少?(π取3)【答案】解:如图②所示,由题意可得:12AA '=,12392A B π'=⨯⨯= 在Rt △AA ′B 中,根据勾股定理得: 22222129225AB AA A B ''=+=+=则AB =15.所以需要爬行的最短路程是15cm .5、(2015春•武昌区期中)某港口位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口1小时后相距20海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?【答案与解析】解:1小时“远航”号的航行距离:OB=16×1=16海里;1小时“海天”号的航行距离:OA=12×1=12海里,因为AB=20海里,所以AB 2=OB 2+OA 2,即202=162+122,所以△OAB 是直角三角形,又因为∠1=45°,所以∠2=45°,故“海天”号沿西北方向航行或东南方向航行.【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理,在应用勾股定理的逆定理时,应先认真分析所给边的大小关系,确定最大边后,再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系,进而作出判断.类型四、原命题与逆命题6、下列命题中,逆命题错误的是()A.平行四边形的对角线互相平分B.有两对邻角互补的四边形是平行四边形C.平行四边形的一组对边平行,另一组对边相等D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形【答案】C;【解析】解:A的逆命题是:对角线互相平分的四边形是平行四边形.由平行四边形的判定可知这是真命题;B的逆命题是:平行四边形的两对邻角互补,由平行四边形的性质可知这是真命题;C的逆命题是:一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形,也可能是等腰梯形,故是错误的;D的逆命题是:平行四边形的两组对边分别相等地,由平行四边形的性质可知这是真命题;故选C.【总结升华】分别写出每个命题的逆命题,再判断其真假即可.此题主要考查学生对逆命题的定义的理解,要求学生对基础知识牢固掌握.举一反三:【变式】下列命题中,逆命题是真命题的是()A.对顶角相等B.如果两个实数相等,那么它们的平方数相等C.等腰三角形两底角相等D.两个全等三角形的对应角相等【答案】C;解:A的逆命题是:相等的角是对顶角是假命题,故本选项错误,B的逆命题是:如果两实数的平方相等,那么两实数相等是假命题,故本选项错误,C的逆命题是:两底角相等的三角形是等腰三角形是真命题,故本选项正确,D的逆命题是:对角线相等的两个三角形是全都三角形是假命题,故本选项错误,故选C.类型五、直角三角形全等的判定——“HL”7、已知:如图,AB=AC,点D是BC的中点,AB平分∠DAE,AE⊥BE,垂足为E.求证:AD=AE.【思路点拨】证明线段相等,可证线段所在的三角形全等,结合本题,证△ADB≌△AEB即可.【答案与解析】 证明:∵AB=AC ,点D 是BC 的中点,∴∠ADB=90°,∵AE ⊥EB ,∴∠E=∠ADB=90°,∵AB 平分∠DAE ,∴∠EAB=∠DAB ;在△ADB 与△AEB 中,90EAB DAB E ADB ABAB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△AEB (AAS ),∴AD=AE .【总结升华】此题考查线段相等,可以通过全等三角形来证明,要判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.8、如图,已知在△ABC 中,AB=AC ,∠BAC=90°,分别过B 、C 向过A 的直线作垂线,垂足分别为E 、F .(1)如图①过A 的直线与斜边BC 不相交时,求证:EF=BE+CF ;(2)如图②过A 的直线与斜边BC 相交时,其他条件不变,若BE=10,CF=3,求:FE 长.【答案与解析】(1)证明:∵BE ⊥EA ,CF ⊥AF ,∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°,∴∠EAB+∠CAF=90°,∠EBA+∠EAB=90°,∴∠CAF=∠EBA ,在△ABE 和△CAF 中,∠BEA=∠AFC=90°,∠EBA=∠CAF ,AB=AC ,∴△ABE ≌△CAF .∴EA=FC ,BE=AF .∴EF=EA+AF .(2)解:∵BE ⊥EA ,CF ⊥AF ,∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°,∴∠EAB+∠CAF=90°,∠ABE+∠EAB=90°,∴∠CAF=∠ABE,在△ABE和△CAF中,∠BEA=∠AFC=90°,∠EBA=∠CAF,AB=AC,∴△ABE≌△CAF.∴EA=FC=3,BE=AF=10.∴EF=AF-CF=10-3=7.【总结升华】此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC,然后利用对应边相等就可以证明题目的结论;(2)根据(1)知道△BEA≌△AFC仍然成立,再根据对应边相等就可以求出EF 了.此题主要考查了全等三角形的性质与判定,利用它们解决问题,经常用全等来证线段和的问题.。
专题17 判定三角形形状的十种常用方法【专题综述】三角形既可以按边分类也可以按角分类,当我们得到了它们的边(或角)之间的关系或最大角的度数时,就能据此判定三角形的形状.这也是考试中的常考题型,本文就判定三角形形状的常用方法归纳介绍如下,供参考.【方法解读】一、利用因式分解例1 在△A BC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,且a2+2ab=c2+2bc,试判定△ABC的形状。
【举一反三】(2017秋•分宜县校级月考)已知a,b,c是△ABC的三边,且满足a2﹣b2+ac﹣bc=0,判断三角形的形状.二、利用配方法例2 已知a、b、c是△ABC的三边,且满足a4+b4+c4=a2b2+b2c2+c2a2,试判定三角形的形状.【举一反三】(2015春•六合区期末)已知a、b、c是△ABC的三边,且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=0,请你根据此条件判断这个三角形的形状,并说明理由.三、利用根的判别式例3 已知a、b、c是△ABC的三边,且方程(a2+b2+c2)x2-(a+b+c)x+34=0有实根,试判定△ABC的形状.【举一反三】已知a、b、c为△ABC的三边,且方程(x﹣a)(x﹣b)+(x﹣b)(x﹣c)+(x﹣c)(x﹣a)=0有两个相等的实根,试判断△ABC的形状.四、利用构造方程例4 已知k>1,b=2k,a+c=2k2,ac=k4-1,试判定以a、b、c为边的三角形形状.【举一反三】(2016春•雁塔区校级期末)已知△ABC的三条边a、b、c满足关系|a2﹣b2﹣c2|+=0,那么△ABC的形状为.五、利用公共根例5 设a、b、c是△ABC的三边长,方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有一个相同的根,求证:△ABC是直角三角形.【举一反三】已知△ABC的∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且关于x的方程a(x2﹣1)﹣2bx+c(x2+1)=0有两个相等的实数根,判断△ABC的形状并说明理由.六、利用韦达定理例6 如果方程x2-xbcos A+acosB=0的两根之积等于两根之和,a、b、c为三角形的三边,试判定△ABC 的形状.【举一反三】(2017秋•余干县校级月考)已知关于x的方程(a+c)x2+2bx﹣(c﹣a)=0的两根之和为﹣1,两根之差为1,其中a,b,c是△ABC的三边长.(1)求方程的根;(2)试判断△ABC的形状.七、利用三角形面积公式例7 已知△ABC中,若h a+h b+h c=9r,其中h a、h b、h c为三边上的高,r为三角形内切圆的半径,试判定△ABC的形状.【举一反三】(2015•潍坊)如图,三角形ABC的两个顶点B、C在圆上,顶点A在圆外,AB、AC分别交圆于E、D两点,连接EC、BD.(1)求证:△ABD∽△ACE;(2)若△BEC与△BDC的面积相等,试判定三角形ABC的形状.八、利用解方程组例8 已知△ABC的三条边是a、b、c,三个角是A、B、C.若b是a、c的比例中项,且a-b=b-c,试判定这个三角形的形状【举一反三】(2015春•相城区期末)(1)若a、b、c为一个三角形的三边,且满足(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2=0.探索这个三角形的形状,并说明理由;(2)若x、y、z为一个三角形的三个内角的度数,且满足36x2+9y2+4z2﹣18xy﹣6yz﹣12zx=0.探索这个三角形的形状,并说明理由.九、利用二次函数性质例9 设二次函数y=(a+b)x2+2cx-(a-b),当x=-12时,其最小值为-12b.若a、b、c是△ABC的三边长,试判定△A BC的形状.【举一反三】(2016•西湖区一模)设a,b,c是△ABC的三边长,二次函数(其中2a≠b),(1)当b=2a+8c时,求二次函数的对称轴;(2)当x=1时,二次函数最小值为b,试判断△ABC的形状,并说明理由.十、综合运用判定方法例10 已知:如图,D为△ABC的边AC上一点,F为AB延长线上一点,DF交BC于E.若E是DF的中点,CD=BF,试判定△ABC的形状.【举一反三】(2014秋•长清区期中)如图,在△ABC中,AB=13,BC=10,BC边上的中线AD=12,试判定△ABC的形状()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.以上都不对【强化训练】1.(2013秋•吴起县校级期中)△ABC中,三边长a、b、c满足,且关于x的方程有两个相等的实数根.(1)试判断△ABC的形状;(2)求△ABC的面积.2.已知在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边依次为a、b、c,且a2:b2:c2=1:2:3,判定△ABC的形状,并求出∠A、∠B、∠C的度数.3.(2015秋•自贡校级月考)已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足a(x2﹣1)﹣2bx+c(x2+1)=0有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状.4.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2﹣2b x﹣a+c=0有两个相等的实数根,试求以a、b、c为边能否构成三角形?若能,请判断三角形的形状.5.已知a,b,c是△ABC的三条边长,且方程(a2+b2)x2﹣2cx+1=0有两个相等的实数根,试判断△ABC 的形状.6.(2015秋•金乡县期末)已知a,b,c是△A BC的三边,且满足关系式a2+c2=2ab+2bc﹣2b2,试判断△ABC 的形状.7.已知a、b、c是△ABC的三边,且关于x的一元二次方程x2+2(b﹣c)x=(b﹣c)(a﹣b)有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状.8.(2016秋•简阳市期中)已知a、b、c是△ABC的三边的长,且满足a2+2b2+c2﹣2b(a+c)=0,试判断此三角形的形状.9.(2017春•惠民县校级月考)已知a,b,c为△ABC的三边,且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4,试判定△ABC的形状.10.(2016秋•荣成市期中)设a,b,c是△ABC的三边长,二次函数在x=1时取最小值,则△ABC是()A.等腰三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形。
第15讲三角形及其基本性质
一、选择题
1.(2016·长沙)若一个三角形的两边长分别为3和7,则第三边长可能是( A )
A.6 B.3 C.2 D.11
2.(2016·南京)下列长度的三条线段能够组成钝角三角形的是( C )
A.3,4,4 B.3,4,5 C.3,4,6 D.3,4,7
3.已知△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5,则∠A+∠B=( D )
A.45°B.60°C.75°D.90°
4.(2016·梧州)下列命题:
①对顶角相等;
②同位角相等,两直线平行;
③若a=b,则|a|=|b|;
④若x=0,则x2-2x=0.
它们的逆命题一定成立的有( D )
A.①②③④B.①④
C.②④D.②
(导学号02052260)
5.(2016·达州)如图,在△ABC中,BF平分∠ABC,AF⊥BF于点F,D为AB的中点,连接DF并延长交AC于点E.若AB=10,BC=16,则线段EF的长为( B )
A.2 B.3 C.4 D.5
第5题图
第6题图
6.(2016·乐山)如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,若∠B=35°,∠ACE=60°,则∠A=( C )
A.35°B.95°C.85°D.75°
(导学号02052261)
二、填空题
7.(2016·大庆)如图,在△ABC中,∠A=40°,D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点,则∠BDC=__110°__.
(导学号02052262)
第7题图
8.(2016·长沙)如图,△ABC中,AC=8,BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交边AC于E,则△BCE的周长为__13__.(导学号02052263)
9.
(2016·湖州改编)如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若AD=8,则点P到BC的距离是__4__.
三、解答题
10.如图,在△ABC中,AD是高,AE、BF是角平分线,它们相交于点O,∠CAB=50°,∠C
=60°,求∠DAE和∠BOA的度数.(导学号02052264)
解:∵∠CAB=50°,∠C=60°,∴∠ABC=180°-50°-60°=70°,又∵AD是BC边上的高,∴∠ADC=90°,∴∠DAC=90°-∠C=30°,∵AE、BF是角平分线,∴∠CBF=∠ABF =35°,∠EAF=∠EAB=25°,∴∠DAE=∠DAC-∠EAF=5°.∵∠AFB=∠C+∠CBF=60°
+35°=95°,∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°,故∠DAE=5°,∠BOA=120°
11. (2016·北京)如图,在四边形ABCD 中,∠ABC =90°,AC =AD ,M ,N 分别为AC ,CD 的中点,连接BM ,MN ,BN.
(1)求证:BM =MN;
(2)∠BAD=60°,AC 平分∠BAD,AC =2,求BN 的长.(导学号 02052265)
(1)证明:在△CAD 中,∵M 、N 分别是AC 、CD 的中点,∴MN ∥AD ,MN =12
AD ,在Rt △ABC 中,∵M 是AC 的中点,∴BM =12
AC ,∵AC =AD ,∴MN =BM (2)解:∵∠BAD=60°,AC 平分∠BAD,∴∠BAC =∠DAC=30°,∴∠BMC =∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°,∵MN ∥AD ,∴∠NMC =
∠DAC=30°,∴∠BMN =∠BMC+∠NMC=90°,∴BN 2=BM 2+MN 2,由(1)可知MN =BM =12
AC =1,∴BN = 2。