北方民族大学 高数(上)期末考试试题A卷(06-07学年秋季8k横排不分开)[1]

宁夏高级中学(g āoj ízh ōngxu é)2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理一：选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，每一小题给出的四个选项，只有一项是哪一项符合题目要求的〕 1.命题“，〞的否认为〔 〕 A ．，B ．0x R ∃∈，C ．0x R ∃∈，3210x x -+≤D ．不存在，3210x x -+>2. 双曲线的一条渐近线方程为，那么双曲线的焦距为〔 〕 A ．B ．C ．D ．3.以下结论错误的选项是( )“假设x 2－3x －4＝0，那么x ＝4”的逆否命题为“假设x ≠4，那么x 2－3x －4≠0” B.“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件“假设m >0，那么方程x 2＋x －m ＝0有实根〞的逆命题为真命题“假设m 2＋n 2＝0，那么m ＝0且n ＝0”的否命题是“假设m 2＋n 2≠0，那么m ≠0或者n ≠0”展开式中的常数项是〔 〕A ．180B ．90C ．45D ．3605．某程序框图如右图所示,该程序运行后输出的的值是( ) A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 76．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作，那么选派方案一共有〔 〕A ． 180种B ． 360种C ． 15种D ． 30种 7．假设(ji ǎsh è)是从区间[0,20]中任取的一个实数,那么函数无零点的概率是( )A ． 0.3B ． 0.4C 8．在长方体中，=1，，那么异面直线与所成角的余弦值为( )A ．B ．C ．D ．9. 设椭圆的两个焦点分别为，，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，假设为等腰直角三角形，那么椭圆的离心率为 〔 〕A ．B ．C ．D ．10．A ，B 两名同学在5次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，假设A ，B 两人的平均成绩分别是，观察茎叶图，以下结论正确的选项是〔 〕A ．，B 比A 成绩稳定 B ．，B 比A 成绩稳定C ． A B x x <，A 比B 成绩稳定D ． A B x x >，A 比B 成绩稳定 11．如图，平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，那么线段的长为〔 〕A ．B ．1C．2 D．12．椭圆(tuǒyuán)的一条弦被点〔4，2〕平分，那么此弦所在的直线方程是〔〕A． B． C． D．二：填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，请把正确之答案填在题中的横线上13.有3名男生，4名女生，全体排成一行，其中男生必须排在一起，那么不同的排法种数有种。

北京北方交通大学2020年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知U=R，，则（C U A）∩B=（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．[1，3]D．（1，3）参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】首先整理集合A，解关于x的绝对值不等式，再根据指数函数的值域做出集合B 的范围，求出补集再写出交集．【解答】解：∵A={x||x﹣2|≤1}={x|1≤x≤3}∴C U A={x＜1或x＞3}，∵={x|x＞1}∴（C U A）∩B={x|x＞3}故选B．2. 设函数的导数为，且，，，则当时，（）A. 有极大值，无极小值B. 无极大值，有极小值C. 既有极大值又有极小值D. 既无极大值又无极小值参考答案：B【分析】由题设，结合条件可得存在使得，再由，可得在上单调递增，分析导数的正负，即可得原函数的极值情况.【详解】由题设，所以，，所以存在使得，又，所以在上单调递增.所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.因此，当时，取极小值，但无极大值，故选B.【点睛】本题主要考查了函数导数的应用：研究函数的极值，但函数一次求导后导函数的单调性不明确时，仍可以继续求导，即二次求导，属于常见的处理方式，考查了学生的分析问题的能力，属于难题.3. 定义在R上的可导函数，当时，恒成立，，, 则a，b，c的大小关系为（）A． B． C．D．参考答案：A4. 不等式的解集为,则函数的图象为（）参考答案：D5. 已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（）种A. 19B. 26C. 7D. 12参考答案：B分析：乙只能付现金，甲付现金或用支付宝与微信，然后按丙与甲乙相同的支付方式或不同的支付方式分类．详解：由题意支付方法数有．故选B．点睛：本题考查排列组合综合应用，属于特殊元素与特殊位置优先安排问题．解题时关键是怎么分类，本题可以按乙甲丙丁顺序分步分类安排它们的支付方式．有一定的难度．6. 某校有六间不同的电脑室，每天晚上至少开放两间，欲求不同安排方案的种数，现有3位同学分别给出了下列三个结果：①；②；③，其中正确的结论是（）A．①B．①与②C．②与③D．①②③参考答案：C7. 函数y=x2cosx的导数为（）A．y′=x2cosx-2xsinx B．y′=2xcosx+x2sinxC．y′=2xcosx-x2sinx D．y′=xcosx-x2sinx参考答案：C略8. 篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球。

宁夏平罗中学2021-2021学年高二数学上学期期末考试(qī mò kǎoshì)试题文〔含解析〕一、选择题〔每一小题5分，一共计60分〕1.一个田径队，有男运发动56人，女运发动42人，比赛后，立即用分层抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为28的样本进展尿样兴奋剂检查，其中男运发动应抽的人数为()A. 16B. 14C. 28D. 12 【答案】A【解析】因为每个个体被抽到的概率等于，根据分层抽样方法的原理可得样本中男运发动的人数为，应选A.2.原点到直线的间隔是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用点到直线间隔公式直接求解即可.【详解】由点到直线间隔公式得：应选：【点睛】此题考察点到直线间隔的求解问题，考察根底公式的应用.，那么它的否认是〔〕A. 存B. 任意(rènyì)C. 存在,sin 1x R x ∈≥D. 任意,sin 1x R x ∈>【答案】A 【解析】试题分析：因为命题:,sin 1p x R x ∀∈≤为全称命题，那么根据全称命题的否认是特称命题得，命题:,sin 1p x R x ∀∈≤的否认是存在,sin 1x R x ∈>，应选A. 考点：1、全称量词与存在量词；2、全称命题与特称命题. 4.“〞是“〞的 〔 〕A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】主要考察充要条件的概念及充要条件的断定方法．解：对于“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．应选A ．5.一容量为20的样本,其频率分布直方图如图,那么样本在上的概率为( )A. B. C. D.【答案(dá àn)】B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的特点，可计算出[)30,60的小矩形的面积之和即为数据落在[)30,60的频率，将此频率估算为概率即可. 【详解】数据落在[)30,60内的频率为：数据落在[)30,60内的频率估算为样本在[)30,60上的概率，即为0.65 应选：B【点睛】此题考察利用频率分布直方图计算频率的问题，属于根底题. 6.p ：2+2＝5；q ：3＞2，那么以下判断错误的选项是〔 〕 A. “p ∨q 〞为真，“￢q 〞为假 B. “p ∧q 〞为假，“￢p 〞为真 C. “p ∧q 〞为假，“￢p 〞为假 D. “p ∨q 〞为真，“￢p 〞为真【答案】C 【解析】【分析(fēnxī)】先断定命题为假命题，命题为真命题，再结合复合命题的真假断定，即可求解.【详解】由题意，命题为假命题，命题为真命题，所以命题为假命题，为真命题，命题为真命题，为假命题，应选：C.【点睛】此题主要考察了复合命题的真假断定，其中解答中正确断定命题的真假，熟记复合命题的真假断定方法是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题.7.以点P〔2，﹣3〕为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是〔〕A. 〔x+2〕2+〔y﹣3〕2＝4B. 〔x+2〕2+〔y﹣3〕2＝9C. 〔x﹣2〕2+〔y+3〕2＝4D. 〔x﹣2〕2+〔y+3〕2＝9【答案】C【解析】【分析】根据圆与轴相切，求得圆的半径，再利用原的HY方程，即可求解.【详解】由题意，设圆的方程为，因为圆与y轴相切，所以圆半径为圆心到y轴的间隔，即，所以圆的HY方程为.应选：C.【点睛(diǎn jīnɡ)】此题主要考察了圆的HY方程的求解，其中解答中熟记圆的HY方程，以及直线与圆的位置关系，合理准确计算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.8. 以下是全称命题且是真命题的是()A. ∀x∈R，x2>0B. ∀x∈Q，x2∈QC. ∃x∈Z，x>1 D. ∀x，y∈R，x2＋y2>0【答案】B【解析】主要考察全称量词和全称命题的概念．解：A、B、D中命题均为全称命题，但A、D中命题是假命题．应选B．9.某赛季，甲、乙两名篮球运发动都参加了11场比赛，他们每场得分的情况如下图的茎叶图表示，那么甲、乙两名运发动得分的中位数分别为A. 13、19B. 19、13C. 18、20D. 20、18【答案】B【解析】(fēnxī)由茎叶图分别得到甲、乙两运发动的得分，分别按照从小到大的顺序排列后可得所求的中位数．【详解】根据茎叶图中的数据，得甲运发动得分按从小到大的顺序排列为：6，8，9，15，17，19，23，24，26，32，41，所以甲运发动得分的中位数是19；乙运发动得分按从小到大的顺序排列为：5，7，8，11，11，13，20，22，30，31，40，所以乙运发动得分的中位数是13．应选B．【点睛】此题考察茎叶图和样本数据的中位数的概念，解题的关键是从敬业图中的两运发动的得分情况，然后再根据中位数的定义求解，属于根底题．项和为，假设，那么该数列的公差〔〕A. 2B. 3C. 6D. 7 【答案】B【解析】【详解】,11. 从1,2,3,4,5,6这6个数字中，不放回地任取两数，两数都是偶数的概率是〔〕A. B. C. D.【答案】D(jiě xī)从1，2，3，4，5，6这6个数中，不放回地任意取两个数，一共有C62=15种结果，其中满足条件两个数都是偶数的有〔2，4〕，〔2，6〕，〔4，6〕一共3种情况.不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率，应选D．12. 一个游戏转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6∶2∶1∶4，那么指针停在红色或者蓝色的区域的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：红色区域和蓝色区域的面积总和占面积的713，故所求概率为713.考点：几何概型.二．填空题〔每一小题5分,一共计20分〕13.某商店统计了最近个月某商品的进份与售价y〔单位：元〕的对应数据如表：xy63912假设得到的关于x和y之间的回归直线方程是，那么该直线必过的定点是________.【答案】(jiě xī) 【分析】根据回归方程必过点〔〕，计算出x y ，即可求得答案．【详解】，8，∵回归方程必过点〔x y ，〕，∴该直线必过的定点是()6.5,?8 故答案为()6.5,?8 【点睛】此题考察了回归方程，线性回归方程必过样本中心点〔x y ，〕，属于根底题．14.设变量满足约束条件,那么的最大值是_________.【答案】18 【解析】 【分析】画出可行域，通过向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目的函数的最大值.【详解】画出可行域如以下图所示，由图可知，目的函数23z x y =+在点处获得最大值，且最大值为.【点睛(diǎn jīnɡ)】本小题主要考察利用线性规划求线性目的函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目的函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于根底题. 15.假设“,〞是真命题,那么实数m 的取值范围是______ .【答案】【解析】 【分析】根据一元二次不等式在上恒成立可知其，由此构造不等式求得结果. 【详解】由命题为真可知：，解得：的取值范围为：(),1-∞- 故答案为：(),1-∞-【点睛(diǎn jīnɡ)】此题考察根据命题的真假性求解参数范围的问题，涉及到一元二次不等式在R上恒成立问题的求解；关键是明确假设一元二次不等式在R上恒成立，那么需确定开口方向和判别式.16. 以下四个命题：①∀x∈R，x2＋2x＋3>0；②假设命题“p∧q〞为真命题，那么命题p、q都是真命题；③假设p是q的充分而不必要条件，那么⌝p是q的必要而不充分条件．其中真命题的序号为________．(将符合条件的命题序号全填上)【答案】①②③【解析】主要考察全称量词和全称命题的概念、存在量词和特称命题的概念以及两种命题的否认命题的写法与判断，考察简单逻辑联结词．解：因为>0，∀x∈R都成立，所以①是真命题；p,q全真，p∧q才会真，所以②是真命题；由充要条件的定义知③也是真命题，故填①②③．三、解答题〔一共计70分〕∧为17.p:不等式的解集是；命题q:函数p q∨为真命题,求a的取值范围.假命题,p q【答案】【解析】【分析】根据(gēnjù)一元二次不等式的解集、指数函数单调性可分别求得,p q为真命题时的范围；由复合命题真假性可知,p q一真一假，那么分别讨论两种情况得到结果.【详解】假设命题p为真，那么，解得：假设命题q为真，那么，解得：为真命题一真一假为假命题，p q假设p真q假，那么；假设p假q真，那么的取值范围为【点睛】此题考察根据复合命题真假性求解参数范围的问题，涉及到根据一元二次不等式的解集求解参数范围、根据指数函数单调性求解参数范围的问题；关键是可以根据复合命题的真假性确定两个命题的真假性.18.某校学生社团组织活动丰富，学生会为理解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进展问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值〔百分制〕按照[40，50〕，[50，60〕，[60，70〕，…，[90，100]分成6组，制成如下图频率分布直方图．〔1〕求图中x的值；〔2〕求这组数据的中位数；〔3〕现从被调查的问卷满意度评分值在[60，80〕的学生中按分层抽样的方法抽取5人进展座谈理解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率．【答案(dá àn)】〔1〕【解析】【分析】〔1〕由面积和为1，可解得x的值；〔2〕由中位数两侧的面积相等，可解得中位数；〔3〕列出所有根本领件一共10个，其中符合条件的一共4个，从而可以解出所求概率．【详解】解：〔1〕由〔0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x〕×10=1，解得x．〔2〕中位数设为m，那么0.05+0.1+0.2+〔m-70〕，解得m=75．〔3〕可得满意度评分值在[60，70〕内有20人，抽得样本为2人，记为a1，a2满意度评分值在[70，80〕内有30人，抽得样本为3人，记为b1，b2，b3，记“5人中随机抽取2人作主题发言，抽出的2人恰在同一组〞为事件A，根本领件有〔a1，a2〕，〔a1，b1〕，〔a1，b2〕，〔a1，b3〕，〔a2，b1〕，〔a2，b2〕，〔a2，b3〕，〔b1，b2〕，〔b1，b3〕，〔b2，b3〕一共10个，A包含的根本领件个数为4个，利用古典概型概率公式可知P〔A〕．【点睛】此题主要考察频率分布直方图，中位数和古典概型，属于根底题．19.(1)经统计,在某储蓄所一个营业(yíngyè)窗口排队等候的人数及相应概率如下:排队人数012345人及5人以上概率0.30.1求至少3人排队等候的概率是多少?(2)在区间上随机取两个数m,n,求关于x的一元二次方程有实根的概率.【答案】(1);(2).【解析】【分析】〔1〕根据和事件概率公式可直接求得结果；〔2〕在平面直角坐标系中，点构成面积为的正方形区域；根据一元二次方程有实根，可确定，结合，可根据线性规划知识得到可行域，且其面积为；根据几何概型概率公式求得结果.【详解】〔1〕设至少3人排队等候的概率为P，有3人排队等候的概率为，有4人排队等候的概率为，有5人及5人以上排队等候的概率为那么〔2〕在平面直角坐标系中,以x轴和y轴分别表示的值在内与图中正方形内的点一一对应，即正方形内的所有点构成全部试验结果的区域，其面积为1设事件(shìjiàn)为“关于x的一元二次方程有实根〞，那么有所对应的区域为图中的阴影局部阴影局部的面积为故关于x的一元二次方程20x nx m-+=有实根的概率为1 8【点睛】此题考察概率局部的和事件概率问题的求解、几何概型面积型的求解；此题中的几何概型问题，关键是可以明确有两个变量时，采用面积的方式，结合线性规划的知识来进展求解?20.四面体ABCD中AB⊥面BCD，BC⊥DC，BE⊥AD垂足为E，F为CD中点，AB＝BD＝2，CD＝1．〔1〕求证：AC∥面BEF；〔2〕求点B到面ACD的间隔．【答案(dá àn)】〔1〕见解析；〔2〕.【解析】【分析】〔1〕先证得，然后利用直线与平面平行的断定定理，即可证得AC∥面BEF；〔2〕设点B到平面的间隔为，利用，即可求得点B到面ACD的间隔．【详解】〔1〕因为BE⊥AD，AB＝BD，所以E为AD中点，又因为F是CD中点，所以AC∥EF，而AC面BEF，EF⊂面BEF，所以AC∥面BEF.〔2〕由，可得BC，AD，AC，，因为，所以为直角三角形其面积，又由BC⊥DC，且，所以,BCD的面积，设点B到面ACD的间隔为h，因为V A﹣BCD＝V B﹣ACD，即，解得，所以点B到面ACD的间隔为．【点睛(diǎn jīnɡ)】此题主要考察了直线与平面平行的断定与证明，以及点到平面的间隔的求法，其中解答中熟记线面位置关系的断定定理，以及合理应用等积法求得点到平面的间隔是解答的关键，着重考察了推理与计算才能，属于根底题.21.圆O：x2+y2＝8内有一点P〔﹣1，2〕，AB为过点P且倾斜角为α的弦，〔1〕当α＝135°时，求AB的长；〔2〕当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．【答案】〔1〕；〔2〕．【解析】【分析】〔1〕过点O做OG⊥AB于G，连接OA，根据题意求得直线的斜率，求得的方程，利用点到直线的间隔公式求得，得到圆的半径，进而求得的长；〔2〕弦AB 被P 平分时，，求得的斜率，再利用点斜式方程，即可求解.【详解】〔1〕过点O 做OG ⊥AB 于G ，连接OA ， 当α＝135°时，直线AB 的斜率为k ＝tanα＝﹣1， 故直线(zhíxiàn)AB 的方程x +y ﹣1＝0，∴|OG |，∵r ＝2，∴|AG |，∴|AB |＝2|AG |；〔2〕当弦AB 被P 平分时，OP ⊥AB ，此时k OP ＝﹣2， ∵AB 为过点P ，∴AB 的点斜式方程为y ﹣2〔x +1〕，即直线AB 的方程250x y -+=．【点睛】此题主要考察了直线与圆的方程的综合应用，其中解答中熟记圆的性质，合理应用直线与圆的位置关系是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题. 22.等差数列的首项,公差,且第2项､第5项､第14项分别是一个等比数列的第2项､第3项､第4项. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设,,求n S.【答案】〔1〕；〔2〕【解析】【分析(fēnxī)】〔1〕利用等差数列通项公式和等比中项的定义可构造关于和的方程，由11a=和0d>可求得d，根据等差数列通项公式得到结果；〔2〕根据〔1〕的结果得到，采用裂项相消的方式求得结果.【详解】〔1〕由题意得：，整理得:，11a=〔2〕由〔1〕知：【点睛】此题考察等差数列通项公式的求解、裂项相消法求解数列的前n项和的问题，涉及到等比中项的应用；求和的关键是可以对通项公式进展准确的裂项，进而前后相消求得结果，属于常考题型.内容总结（1）②假设命题“p∧q〞为真命题，那么命题p、q都是真命题。

宁夏源上游2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕1.设命题:0p x ∀>，x x =,那么p ⌝为〔 〕A. 0x ∀>，x x ≠B. 00x ∀≤，00x x =C. 0x ∀≤，x x =D. 00x ∃>，00x x ≠【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否认是特称命题写出结果即可.【详解】因为全称命题的否认是特称命题，所以p ⌝：00x ∃>，00x x ≠.应选：D.【点睛】此题考察命题的否认，考察特称命题和全称命题，考察学生对根底知识的理解和掌握，属于根底题. 321i i -〔i 为虚数单位〕的一共轭复数是 〔 〕 A. 2155i -+ B. 2133i + C. 2155i -- D. 2133i - 【答案】C【解析】试题分析：由题；3(21)22121(21)(21)555i i i i i i i i -+-===-+--+-，那么一共轭复数为：2155i --． 考点：复数的运算及一共轭复数的概念.3.a ＝〔2，0，3〕，b ＝〔4，-2，1〕，c ＝〔-2，x ，2〕，假设〔a -b 〕⊥c ，那么x =A. 4B. —4C. 2D. —2 【答案】B【解析】此题考察空间向量的运算．点拨：向量垂直那么其数量积为零．解答：由得：()()()2,0,34,2,12,2,2a b -=--=-又()a b c -⊥所以()0a b c -⋅=即()()222220x -⨯-++⨯=所以4x =-． 4.假设x ，y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，， 那么x + 2y 的最大值为A. 1B. 3C. 5D. 9【答案】D【解析】试题分析：如图，画出可行域，2z x y =+表示斜率为12-的一组平行线，当2z x y =+过点()3,3C 时，目的函数获得最大值max 3239z =+⨯=，应选D.【名师点睛】此题主要考察简单的线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目的函数赋予几何意义.求目的函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求．常见的目的函数类型有：〔1〕截距型：形如z ax by =+.求这类目的函数的最值时常将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a z y x b b=-+，通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值；〔2〕间隔 型：形如()()22z x a y b =-+-；〔3〕斜率型：形如y b z x a -=-，而此题属于截距形式.5.以下说法正确的选项是〔 〕．A. a R ∈，“11a<〞是“1a >〞的必要不充分条件 B. “p 且q 为真命题〞是“p 或者q 为真命题〞 的必要不充分条件C. 命题“x R ∃∈，使得2230x x ++<〞的否认是：“2,230R x x x ++∀>∈〞D. 命题p ：“,sin cos 2x R x x ∀∈+≤p ⌝是真命题【答案】A【解析】A. 由11a <得a >1或者a <0,那么“11a<〞是“a >1”的必要不充分条件，正确， B. 假设p ∧q 为真命题，那么p ，q 都是真命题，此时p ∨q 为真命题，即充分性成立，反之当p 假q 真时，p ∨q 为真命题，但p ∧q 为假命题，故“p ∧q 为真命题〞是“p ∨q 为真命题〞的充分不必要条件，故B 错误，C. 命题“∃x ∈R 使得2230x x ++<〞的否认是：“∀x ∈R ,2 23x x ++⩾0”，故C 错误，D. ∵sin x +cos x x +π4)⩽p 是真命题，那么p ⌝是假命题，故D 错误，应选A.6.函数f 〔x 〕=x 2﹣8lnx 的单调递减区间为〔 〕A. [2，+∞〕B. 〔﹣∞，2]C. 〔0，2]D. 〔﹣2，2〕【答案】C【解析】 8()20,002f x x x x x'=-∴<<,因此单调递减区间为〔0，2],选C. 7.假设20sin a xdx π=⎰，那么函数1()x f x ax e -=+的图象在1x =处的切线方程为〔 〕A. 20x y -=B. 20x y +=C. 20x y -=D. 20x y +=【答案】A【解析】【分析】由微积分根本定理求得a 值，再根据导函数求切线方程.【详解】2200sin d (cos )1a x x x ππ==-=⎰，1()x f x x e -=+，1()1x f x e -='+，(1)2f '=， 那么切线方程为22(1)y x -=-，即20x y -=．【点睛】此题考察微积分根本定理和由导函数求切线方程，属于根底题.8.各项均不为0的等差数列{}n a ，满足23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，那么68b b ⋅=〔 〕A. 11B. 12C. 14D. 16【答案】D【解析】【分析】根据等差数列和等比数列的性质进展计算即可.【详解】由等差数列的性质得31172a a a +=，∴23711220a a a -+=， ()2311720a a a +-=，27704a a =-，解之得：70a = (舍)，74a =，∴774b a ==，由等比数列的性质得：22687416b b b ==⋅=.应选：D.【点睛】此题主要考察等差数列与等比数列的性质的应用，考察计算才能，属于常考题.9.?聊斋志异?中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．〞在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术〞：====那么按照以上规律，假设=n=〔 〕 A. 7B. 35C. 48D. 63 【答案】D【解析】【分析】由题意结合所给的等式归纳推理得到规律即可确定n 的值.【详解】考察所给的等式的特征，归纳其性质有：假设等式左侧根号外面的数为m ，那么根号内部的分子为m ，分母为21m -， 据此归纳推理可知：28163n =-=.此题选择D 选项.【点睛】归纳推理是由局部到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．10.实数a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线33y x x =-的极大值点为b ，极小值为c ，那么ad =〔 〕A. 4B. 4-C. 2D. 2-【答案】D【解析】【分析】求出函数的极值，利用等比数列的性质求解即可．【详解】曲线33y x x =-，可得233y x '=-，令2330x -=，可得函数的极值点为：1-，1，当1x =-时，函数获得极小值2c =-，当1x =时，函数获得极大值2b =，由于实数a ，b ，c ，d 成等比数列，可得2ad bc ==-.应选：D.【点睛】此题考察利用导数研究函数的极值，考察等比数列的知识，考察计算才能，属于根底题.11.假设双曲线C:22221x y a b-=〔0a >，0b >〕的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截 得的弦长为2，那么C 的离心率为 〔 〕A. 2【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线间隔为d =，那么点()2,0到直线0bx ay +=的间隔为2b d c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．应选A ． 点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或者离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或者a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．12.函数()f x 的定义域为()0,∞+，且满足()()0f x xf x '+>〔()f x '是()f x 的导函数〕，那么不等式()()()2111x f x f x --<+的解集为〔 〕 A. (),2-∞B. ()1,+∞C. ()1,2-D. ()1,2【答案】D【解析】【分析】 构造函数()()g x xf x =，利用导数分析函数()y g x =在()0,∞+上的单调性，在不等式()()()2111x f x f x --<+两边同时乘以1x +化为()()()()221111x f x x f x --<++，即()()211g x g x -<+，然后利用函数()y g x =在()0,∞+上的单调性进展求解即可. 【详解】构造函数()()g x xf x =，其中0x >，那么()()()0g x f x xf x ''=+>， 所以，函数()y g x =在定义域()0,∞+上为增函数，在不等式()()()2111x f x f x --<+两边同时乘以1x +得()()()()221111x f x x f x --<++，即()()211g x g x -<+，所以22111010x x x x ⎧-<+⎪->⎨⎪+>⎩，解得12x <<，因此，不等式()()()2111x f x f x --<+的解集为()1,2，应选D. 【点睛】此题考察利用构造新函数求解函数不等式问题，其解法步骤如下：〔1〕根据导数不等式的构造构造新函数()y g x =；〔2〕利用导数分析函数()y g x =的单调性，必要时分析该函数的奇偶性；〔3〕将不等式变形为()()12g x g x <，利用函数()y g x =的单调性与奇偶性求解.二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13.正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为AB ，11B C 中点，那么异面直线1A E 与BF 所成角的余弦值为____________. 【答案】45【解析】【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1A E 与BF 所成角余弦值．【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，如以下图：那么()12,0,2A ，()2,1,0E ，()2,2,0B ，()1,2,2F ，()10,1,2A E =-，()1,0,2BF =-， 设异面直线1A E 与BF 所成角为θ，那么11|4555|A E BF cos A E BF θ⋅===⋅⋅， ∴异面直线1A E 与BF 所成角余弦值为45. 故答案为：45.【点睛】此题考察用空间向量法求异面直线所成的角，考察空间想象才能和运算才能，属于常考题.14.抛物线2:4C y x =-的焦点为F ，()2,1A-，P 为抛物线C 上的动点，那么PF PA +的最小值为____________. 【答案】3 【解析】 【分析】 设点P 在准线上的射影为D ，由抛物线的定义把问题转化为求PD PA +的最小值，同时可推断出当D ，P ，A 三点一共线时，PD PA +最小，答案可得． 【详解】设点A 在准线上的射影为D ，()2,1A-在抛物线内部， 由抛物线的定义可知PF PD =，抛物线2:4C y x =-，1p =，∴要求PF PA +的最小值，即求PD PA +的最小值，只有当D ，P ，A 三点一共线时，PD PA +最小，且最小值为()123--= 〔准线方程为1x =〕.故答案为：3.【点睛】此题考察抛物线知识的应用，解题关键是根据抛物线的定义将求PF PA +的最小值的问题转化为求PD PA +的最小值的问题，考察逻辑思维才能和转化才能，属于中档题.15.0x >，0y >，且3622x y+=．假设247x y m m +>-成立，那么m 的取值范围为________．【答案】(,3)(4,)-∞⋃+∞ 【解析】 【分析】根据均值不等式的“1”的妙用得最值求解.【详解】因为136132414(4)12(12236)1222222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当32x =，6y =时，取等号， 由题意得2127m m >-，解得4m >或者3m <． 故得解.【点睛】此题考察均值不等式，属于中档题.16.如以下图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，……，假设按此规律继续下去，那么n a = .【答案】232n n-【解析】试题分析：由题观察所给的图形，对应的点分别为：1,1+4,1+4+7,1+4+7+10，….可得为点的个数为一个首项为1，公差为3的等差数列的和．那么23(1)322n n n n n na S n --==+=考点：观察推理才能及等差数列的求和． 三、解答题〔一共70分〕17.1234iz i+=-. 〔1〕求z ；〔2〕23i -是关于x 的一元二次实系数方程20x px q ++=的一个根，务实数p ，q 的值.【答案】〔1〕z =；〔2〕4p =-，13q =. 【解析】 【分析】〔1〕利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由复数求模公式计算得答案； 〔2〕把23i -代入方程20x px q ++=中，求解即可得答案．【详解】〔1〕由()()()()123451012343425512354i i i i i i z i i ++-+=+=-==-+-+，得5z ==；〔2〕把23i -代入方程20x px q ++=中，得到：()()521230p q p i -++++=，即520p q -++=且1230p +=，解得4p =-，13q =.【点睛】此题考察复数的概念，考察复数的运算性质，考察计算才能，属于常考题. 18.函数()()322f x ax a x =-+〔a 为实数〕.〔1〕假设1a =，求函数()f x 在区间[]1,3上的值域；〔2〕假设函数()f x 在区间[]1,3上是增函数，求a 的取值范围. 【答案】〔1〕[]4,0-；〔2〕4a ≥. 【解析】【分析】〔1〕求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的值域即可；〔2〕求出函数的导数，问题转化为432a x ≥-，记4()32g x x =-，那么()max a g x ≥，从而求出a 的范围即可．【详解】〔1〕当1a =时，()323f x x x =-，()236f x x x '=-，令()0f x '=，解得0x =或者2，又12f ，()24f =-，()30f =，所以()f x 在[]1,3上的值域为[]4,0-；〔2〕()()2322f x ax a x '=-+，由于()f x 在区间[]1,3上是增函数，那么()()23220f x ax a x '=-+≥对于13x ≤≤恒成立，即不等式()324a x -≥对于13x ≤≤恒成立， 因320x ->，别离变量得：432a x ≥-，记4()32g x x =-，那么()max a g x ≥， 而函数()g x 在[]1,3上为减函数，那么()()14max g x g ==，所以4a ≥.【点睛】此题考察函数的导数的应用，详细考察判断函数的单调性以及单调性求解函数中的变量的范围，考察逻辑思维才能和运算才能，属于常考题.19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，122AA =，D 为棱BC 的中点.〔1〕求直线1DB 与平面11AAC C 所成角的正弦值； 〔2〕求平面11AAC C 与平面1ADB 所成二面角的余弦值.【答案】〔1〕1010；〔2〕105-.【解析】 【分析】以点A 为坐标原点，分别以AC 、AB 、1AA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，〔1〕设平面11AAC C 的一个法向量为(,,)m x y z =，那么10AC m AA m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，列出方程得出m ，直线1DB 与平面11AAC C 所成角的正弦值即为1cos ,DB m <>的值，计算即可； 〔2〕设平面1ADB 的一个法向量为111(,,)n x y z =，那么10AD n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，列出方程得出n ，再计算cos ,m n <>即可.【详解】那么(0,0,0)A ，1(0,0,22)A ，(2,0,0)C ，(0,2,0)B ，(1,1,0)D ，1(0,2,22)B ，所以(2,0,0)AC =，1(0,0,22)AA =，(1,1,0)AD =，1(1,1,22)DB =-，如以下图：〔1〕设平面11AAC C 的一个法向量为(,,)m x y z =，那么100AC m AA m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220x z =⎧⎪⎨=⎪⎩，取(0,1,0)m =，所以111110cos ,110DB m DB m DB m⋅<>===⨯⋅ 所以直线1DB 与平面11AAC C 10 〔2〕设平面1ADB 的一个法向量为111(,,)n x y z =，那么100AD n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111110220x y x y z +=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，取2(1,1,n =-，所以110cos ,512m n m n m n⋅-<>===⋅⨯，所以求平面11AAC C 与平面1ADB 所成二面角的余弦值10. 【点睛】此题考察利用向量法解决线面角和面面角的问题，考察逻辑思维才能和运算才能，属于常考题.20.n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且4333S S a =+，29a =. 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】〔1〕3nn a =；〔2〕()1133n n T n +=-⋅+.【解析】 【分析】〔1〕设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，由可得关于1a 和q 的方程组，求得1a 和q ，代入等比数列的通项公式得答案；〔2〕把数列{}n a 的通项公式代入()21n n b n a =-，利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n T .【详解】〔1〕设等比数列{}n a 的首项为首项为1a ，公比为q ，由4333S S a =+，29a =，得()2321111139a q q q a a qa q ⎧+++=+⎪⎨=⎪⎩，解得：13a q ==，∴1333n n n a -=⨯=；〔2〕()()21213n n n b n a n =-=-⋅，∴()21333213n n T n =⨯+⨯+⋯+-⋅，① ∴()23131333213n n T n +=⨯+⨯+⋯+-⋅，②①-②，得：()231232333213n n n T n +-=+⨯++⋯+--⋅⎡⎤⎣⎦()()()1111913322136321313n n n n n n -+++-=+⨯--⋅=-+--⋅-，故()1133n n T n +=-⋅+.【点睛】此题考察等比数列通项公式的求法，考察错位相减法求和，考察逻辑思维才能和运算才能，属于常考题.21.椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，离心率为12.设过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于不同两点,A B ，1ABF ∆周长为8. 〔Ⅰ〕求椭圆C 的HY 方程；〔Ⅱ〕点()4,0T ，证明：当直线l 变化时，总有TA 与TB 的斜率之和为定值．【答案】〔1〕22143x y += 〔2〕见解析【解析】试题分析：〔Ⅰ〕根据题意列出关于a 、b 、c 的方程组，结合性质222a b c =+ ， ，求出a 、b 、c ，即可得结果；(II) 当直线垂直于轴时，显然直线与的斜率之和为0； 当直线不垂直于轴时，设的方程为()1y k x =- 与椭圆方程联立，根据两点间的斜率公式及韦达定理将TA TB k k + 用参数k 表示，化简消去k 即可得结论. 试题解析：〔Ⅰ〕由条件得，所以椭圆C 的HY 方程为〔Ⅱ〕当直线垂直于轴时，显然直线与的斜率之和为0； 当直线不垂直于轴时，设的方程为，与椭圆方程联立得那么， ，其中恒成立．==因为=所以综上：直线与的斜率之和为定值.【方法点睛】此题主要考察待定待定系数法椭圆HY 方程方程、圆锥曲线的定值问题以及韦达定理的应用，属于难题. 探究圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 22.函数2()ln 2a f x x x x =-，直线l ：(2)1y k x k =--+，且k Z ∈． 〔1〕假设20,x e e ⎡⎤∃∈⎣⎦，使得0()0f x >成立，务实数a 的取值范围；〔2〕设0a =，当1x >时，函数()f x 的图象恒在直线l 的上方，求k 的最大值． 【答案】〔1〕2(,)e-∞；〔2〕k 的最大值为4. 【解析】 〔1〕由题意可得2ln 2a x x x <，即2ln x a x<， 令()2ln x h x x=，2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦， ∴()222ln 'xh x x-=， 令()'0h x >，解得0x e <<，∴()h x 在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上递减，∴当x e =时，()max 2h x e=，∴2a e <，即a 的取值范围是2,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．〔2〕由题意可知()ln 21x x x k k >--+在()1,x ∈+∞上恒成立，即ln 211x x x k x +-<-，令()ln 21(1)1x x x h x x x +-=>-，∴()()2ln 2'1x x h x x --=-，令()ln 2(1)x x x x ϕ=-->，()11'10x x x xϕ-=-=>， ∴()x ϕ在()1,x ∈+∞上递增，又()31ln30ϕ=-<，()42ln40ϕ=->， ∴存在唯一实数()03,4x ∈，使得()00x ϕ=，即00ln 20x x --=，〔*〕 ∴()h x 在()01,x x ∈上递减，在()0,x x ∈+∞上递增， ∴()()()()00000000min 00221ln 2114,511x x x x x x h x h x x x x -+-+-====+∈--，∴()min k h x <，又k Z ∈，∴k 的最大值为4．点睛：此题以含参数的函数解析式为背景，精心设置了两道问题，旨在考察运用导数与函数的单调性之间的关系等有关知识的综合运用．解答第一问时，先将不等式进展转化，再构造函数运用导数求其最值，使得问题获解；求解第二问时，先将参数从不等式中别离出来，再构造函数，运用导数知识求出其最值，使得问题巧妙获解．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

宁大附中2012-2013学年第一学期期末考试高二数学（文）试卷命题人：张会军一、选择题（每小题5分，共60分） 1、不等式102x x ->+的解集是（ ） A ．{}21x x x <->或 B ．{}21x x -<< C ．{}12x x x <->或 D ．{}12x x -<< 2、已知一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题，在这四个命题中（ ） A ．真命题的个数一定是奇数 B ．真命题的个数一定是偶数C ．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数D ．以上判断均不正确 3、若22:,:p x y q x y ==，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4、“a a ^，则a 垂直于a 内任一条直线”是（ ）A ．全称命题B ．特称命题C ．不是命题D ．假命题5、平面内一动点M 到两定点1F 、2F 的距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为（ ）A ．椭圆B ．圆C ．无轨迹D ．椭圆或线段或无轨迹6、双曲线22221124x y m m -=+-的焦距是（ ） A ．4 B． C ．8 D ．与m 有关7、已知,x y 满足约束条件50,0,3,x y x y x ì-+?ïïï+?íïï£ïïî则2z x y =+的最小值为（ ）A ．3-B ．3C ．5-D ．5 8、如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ）A ．3,9b ac =-=-B ．3,9b ac ==-C ．3,9b ac =-=D ．3,9b ac ==9、已知点(,)x y 在抛物线24y x =上，则22132z x y =++的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．010、探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，灯口直径为60cm ，灯深40cm ，则光源到反射镜顶点的距离是（ ）A ．20cmB ．11.25cmC ． 10cmD ．5.625cm11、双曲线22221x y a b-=的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心是（ ）A ．2B ．3C ．43D ．5312、已知命题:p “R,R x m "??，使4210x x m ++=”。

- 1 -通原10B 试卷一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题中的括号内。

每小题2分，共30分)1、已知二进制离散信源（0，1），每一符号波形等概独立发送，传送二进制波形之一的信息量为（B ）A ． 1 bit/sB ． 1 bitC ． 2 bit/sD ． 2 bit2、设一数字传输系统传送八进制码元的速率为1200B ，那么该系统的信息速率为( C )。

A ． 1200 bit/sB ． 24000BC ． 3600 bit/sD ． 1200B 3、平稳随机过程的数学期望值是（ A ）。

A ． 与时间有关的常数B ．与时间有关的变数C ．与时间间无关的常数D ．与时间有关的随机变量4、设一恒参信道的幅频特性和相频特性分别为，其中和都是常数。

那么信号通过该信道后的输出信号的时域表示式为：( D ) A 、B 、C 、D 、7、设某信道具有均匀的双边噪声功率谱密度P n (f)=n 0/2(ω/HZ) ， 在该信道中传输抑制载波的双边带信号，并设调制信号的频带限制在5kHz ，而载波为100kHz ，已调信号的功率为10kW 。

若接收机的输入信号在加至解调器之前，先经过一理想带通滤波器滤波。

那么解调器输入端的信噪功率比为（A ） 。

A ．2/n 0B ．n 0C ．n 0/2D ． 1/n 08、在数字基带传输系统中，系统带宽为5000HZ ，采用升余弦脉冲传输，则该系统无码间干扰的最高符号传输速率为( B )。

A ． 2500波特B ． 5000波特C ．7500波特D ． 10000波特 9、实验中，我们可以通过眼图观察：（B ）。

A ． 量化信噪比的大小B ． 码间干扰的情况C ．时钟同步情况D ． 以上三者皆可10、在数字基带传输系统，设发送1符号和0符号的概率分别为P （1）和P （0），抽样时刻样值分别为A 和-A ，当1、0等概发送时，为了使输出误码率最小，最佳判决门限应为（ A ）。

--------------------------装----------------------------订---------------------------线------------------------------第 - 1 - 页 共 -2- 页2005-2006学年秋季学期《高等数学》（下）课程期末考试试题试题说明：学生必须将答案全部写在答题纸上，凡写在试题上的一律无效。

学生可随身携带计算器。

一、填空题（每题4分，共20分） 1．已知→→→→→→→→+-=-+=kj i b k j i a5,432,则向量→→→-=ba c2在z 轴方向上的分向量是 . 2．设∑是柱面222ayx =+在hz ≤≤0之间的部分，则积分=⎰⎰∑dsx 2 . 3．设),(v u f z =具有一阶连续偏导数，其中22,y x v xy u +==，则=∂∂xz .4．∑∞=1n nnx在1||≤x 的和函数是 .5．设∑是球面2222azy x =++的内侧，则曲线积分=++⎰⎰∑dydz z y x )(222.二、计算题（每题7分，共21分）6．设3222z x yz xy u ++=，求yx u∂∂∂2和yz u ∂∂∂2的值。

7．计算二重积分⎰⎰-+Ddxdyx y x )(22,其中D 为由xy x y y 2,,2===所围成的区域8．已知两点)1,2,7(--A 和)10,4,3(B 求一平面,使其通过点B ,且垂直AB .三、计算题（每题8分，共32分）9．设),(y x f 是连续函数,改变⎰⎰-xxx dyy x f dx2212),(的积分次序.10．在曲线xyz=上求一点,使该点的法线垂直于平面093=+++z y x ,并写出所求--------------------------装----------------------------订---------------------------线------------------------------第 - 2 - 页 共 -2- 页法线方程.11． 求函数)2(),(22y y x e y x f x ++=的极大值点或极小值点.12．设),(3xy xy f x z =，其中f具有二阶连续偏导数，求22yz ∂∂的值。

宁夏2021-2022学年高二上学期期末数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）某几何体的三视图如右图所示，则它的表面积是（）A .B .C .D .2. （2分） (2015高二下·金台期中) 下列叙述中正确的是（）A . 若a，b，c∈R，则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”B . 若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C . “直线a∥b”是“直线a⊥平面α，直线b⊥平面α”的必要条件D . b2=ac是a，b，c成等比数列的充要条件3. （2分）已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程是（）A .B .C .D .4. （2分）(2019·永州模拟) 正方体被切去一个角后得到的几何体如图所示，其侧视图（由左往右看）是（）A .B .C .D .5. （2分） (2020高三下·浙江开学考) 四面体中，，其余棱长均为4，，分别为，上的点（不含端点），则（）A . 不存在，使得B . 存在，使得C . 存在，使得平面D . 存在，，使得平面平面6. （2分）已知双曲线﹣=1（b＞0）的离心率等于b，则该双曲线的焦距为（）A . 2B . 2C . 6D . 87. （2分） (2016高二下·阳高开学考) 已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高一上·长沙月考) 在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共7分)9. （1分） (2018高二上·镇江期中) 已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为________．10. （1分）已知F是抛物线y2=4x的焦点，M是这条抛物线上的一个动点，P（3，1）是一个定点，则|MP|+|MF|的最小值是________11. （1分） (2019高三上·深圳月考) 已知三棱锥的所有棱长都相等，现沿三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥的内切球的体积为________.12. （1分） (2015·河北模拟) 在平面直角坐标系xOy中，将直线y=x与直线x=1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥= πx2dx= x3| = ．据此类比：将曲线y=2lnx与直线y=1及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V=________．13. （1分） (2015高三上·潮州期末) 已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC= ，则球O的表面积等于________．14. （1分） (2015高三上·盐城期中) 如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=4．点P是DC边的中点，则的值为________．15. （1分）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________ .三、解答题 (共5题；共35分)16. （10分） (2016高二上·定州期中) 设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+ a）定义域为R；命题q：不等式3x﹣9x＜a对任意x∈R恒成立．（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；（2）如果命题“p或q”为真命题且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．17. （5分） (2017高二上·太原月考) 双曲线与椭圆有相同的焦点，直线为的一条渐近线，求双曲线的方程．18. （5分）(2019·大连模拟) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD ， PD=DC ，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F ．（Ⅰ）证明 PA//平面EDB；（Ⅱ）证明PB⊥平面EFD.19. （5分） (2015高二上·莆田期末) 已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴，且抛物线上点P（2，m）到焦点的距离为3，斜率为2的直线L与抛物线相交于A，B两点且|AB|=3 ，求抛物线和直线L的方程．20. （10分） (2017高三下·银川模拟) 已知斜率为k(k≠0)的直线交椭圆于两点。

2021-2022学年北京民族学校高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 正方体ABCD A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值是参考答案：B略2. 某同学在研究函数时，给出下列结论：①对任意成立；②函数的值域是；③若，则一定有；④函数在上有三个零点．则正确结论的序号是（）A．②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④参考答案：C3. 设双曲线的虚轴长为２，焦距为，则双曲线的渐近线方程为A． B．C． D．参考答案：A4. 下面的程序框图（如图所示）能判断任意输入的数的奇偶性：其中判断框内的条件是（）A． B． C．D．参考答案：D5. 已知双曲线﹣=1上一点P到左焦点F1的距离为10，则当PF1的中点N到坐标原点O的距离为（）A．3或7 B．6或14 C．3 D．7参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】连接ON，利用ON是三角形PF1F2的中位线，及双曲线的定义即可求得ON的大小．【解答】解：依题意，连接ON，ON是△PF1F2的中位线，∴ON=PF2，∵|PF1﹣PF2|=4，PF1=10，∴PF2=14或6，∴ON=PF2=7或3；故答案选：A．6. 已知函数则等于（）A．2009 B．2010 C ．2011 D．2012参考答案：C略7. 若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( )A．5 B．4 C．3D．2参考答案：C略8. 已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆的一个动点，如果M是线段F1P的中点，则动点M的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P（acosθ，bsinθ），由F1（﹣c，0），知线段PF1的中点M（，），由此求出线段PF1的中点M的轨迹是椭圆．【解答】解：由题意的参数方程可设P（acosθ，bsinθ），∵F1（﹣c，0），∴线段PF1的中点M（，），∴x=，y=，∴cosθ=，sinθ=，∴点P的轨迹方程为+=1，∴线段PF1的中点M的轨迹是椭圆．故选：B．9. 如图所示，在三棱柱中，底面，，，点、分别是棱、的中点，则直线和所成的角是A． B． C． D．参考答案：B略10. 已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=则关于x的方程6[f（x）]2﹣f（x）﹣1=0的实数根个数为( )A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：B考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：先设t=f（x），求出方程6[f（x）]2﹣f（x）﹣1=0的解，利用函数的奇偶性作出函数在x＞0时的图象，利用数形结合即可得到结论．解答：解：设t=f（x），则关于x的方程6[f（x）]2﹣f（x）﹣1=0，等价6t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=，当x=0时，f（0）=0，此时不满足方程．若2＜x≤4，则0＜x﹣2≤2，即f（x）==（2|x﹣3|﹣1），若4＜x≤6，则2＜x﹣2≤4，即f（x）==（2|x﹣5|﹣1），作出当x＞0时，f（x）=的图象如图：当t=时，f（x）=对应3个交点．∵函数f（x）是奇函数，∴当x＜0时，由f（x）=，可得当x＞0时，f（x）=，此时函数图象对应4个交点，综上共有7个交点，即方程有7个根．故选：B点评：本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设点P是双曲线上一点，焦点F（2，0），点A（3，2），使4|PA|+2|PF|有最小值时，则点P的坐标是．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意算出双曲线的离心率e=2，右准线方程为x=．连结PF，过P作右准线的垂线，垂足为M，由双曲线第二定义得|PM|=|PF|，从而得出|PA|+|PF|=|PA|+|PM|，利用平面几何知识可得当P、A、M三点共线时，|PA|+|PM|=|AM|达到最小值．由此利用双曲线的方程加以计算，可得满足条件的点P的坐标．【解答】解：∵双曲线中，a=1，b=，∴c=2，可得双曲线的离心率e=2，右准线方程为x=，设右准线为l，过P作PM⊥l于M点，连结PF，由双曲线的第二定义，可得|PM|=|PF|．∴|PA|+|PF|=|PA|+|PM|，运动点P，可得当P、A、M三点共线时，|PA|+|PM|=|AM|达到最小值．此时经过P、A、M三点的直线与x轴平行，设P（m，2），代入双曲线方程得m=，得点P（，2）．∴满足使4|PA|+2|PF|=4（|PA|+|PF|）有最小值的点P坐标为．故答案为：．【点评】本题给出定点A与双曲线上的动点P，求4|PA|+2|PF|有最小值时点P的坐标．着重考查了双曲线的定义与标准方程、简单几何性质等知识，属于中档题．12. 设，（为虚数单位），则的值为．参考答案：2略13. 设P是椭圆上任意一点，、是椭圆的两个焦点，则cos∠P的最小值是___________________参考答案：14. 设数列。

一、选择题1．(0分)[ID ：13311]我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是源于其思想的一个程序框图，若输出的2S =（单位：升），则输入k 的值为A ．6B ．7C ．8D ．92．(0分)[ID ：13310]如图是把二进制的数11111化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A ．4i >？B ．5i >？C ．4i ≤？D ．5i ≤？3．(0分)[ID ：13308]执行如图所示的程序框图，若输入8x =，则输出的y 值为（ ）A ．3B ．52C ．12D ．34-4．(0分)[ID ：13304]如图所给的程序运行结果为41S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．7k ≥？B ．6k ≥？C ．5k ≥？D ．6k >？5．(0分)[ID ：13284]下列赋值语句正确的是( ) A ．s ＝a ＋1 B ．a ＋1＝s C ．s －1＝a D ．s －a ＝16．(0分)[ID ：13283]把8810化为五进制数是（ ）A ．324(5)B ．323(5)C ．233(5)D ．332(5) 7．(0分)[ID ：13277]在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（ ）． A ．151B ．168C ．1306D ．14088．(0分)[ID ：13270]在R 上定义运算：A()1B A B =-，若不等式()x a -()1x a +<对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是()A ．11a -<<B ．02a <<C ．1322a -<< D ．3122a -<<9．(0分)[ID：13268]执行如图所示的程序框图，如果输入的1a=-，则输出的S=A．2B．3C．4D．510．(0分)[ID：13255]类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设D为BE中点，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）A．17B．14C．13D．41311．(0分)[ID：13250]一位学生在计算20个数据的平均数时，错把68输成86，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为()A．−0.9B．0.9C．3.4D．4.312．(0分)[ID：13243]执行如图所示的程序框图，若输入2x=-，则输出的y=（）A ．8-B ．4-C ．4D ．813．(0分)[ID ：13232]执行如图的程序框图，若输出的4n =，则输入的整数p 的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．1514．(0分)[ID ：13324]如图，ABC ∆和DEF ∆都是圆内接正三角形，且//BC EF ，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在ABC ∆内”，B 表示事件“豆子落在DEF ∆内”，则(|)P B A =（ ）A ．334πB ．32πC ．13D ．2315．(0分)[ID ：13246]在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为（ ） A ．13B ．2πC ．12D ．23二、填空题16．(0分)[ID ：13412]执行如图所示的程序框图若输人x 的值为3，则输出y 的值为______．17．(0分)[ID ：13400]某程序框图如图所示，若输入的4t =，则输出的k =______．18．(0分)[ID ：13384]如图是某算法流程图，则程序运行后输出S 的值为____．19．(0分)[ID ：13372]在[0,1]上随机取两个实数,a b ，则,a b 满足不等式221a b +≤的概率为________．20．(0分)[ID ：13371]执行如图所示的程序框图，输出的值为__________．21．(0分)[ID ：13364]如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ．则点M 恰好取自阴影部分的概率是 ．22．(0分)[ID ：13353]已知下列命题：①ˆ856yx =+意味着每增加一个单位,y 平均增加8个单位 ②投掷一颗骰子实验，有掷出的点数为奇数和掷出的点数为偶数两个基本事件 ③互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件④在适宜的条件下种下一颗种子，观察它是否发芽，这个实验为古典概型 其中正确的命题有__________________.23．(0分)[ID ：13342]向面积为20的ABC ∆内任投一点M ，则使MBC ∆的面积小于5的概率是__________．24．(0分)[ID ：13338]执行如图所示的程序框图，若1ln 2a =，22b e =，ln 22c =（其中e 是自然对数的底），则输出的结果是__________．U=2，3，⋯，}n，集合A、B是集合U的子集，若25．(0分)[ID：13366]已知集合{1,⊆，则称“集合A紧跟集合B”，那么任取集合U的两个子集A、B，“集合A紧跟集A B合B”的概率为______．三、解答题26．(0分)[ID：13527]某中学高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86．（1）求出x，y的值，且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差、，并根据结果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？（2）从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名．求至少有1名来自甲班的概率．27．(0分)[ID：13509]市政府为了节约用水，调查了100位居民某年的月均用水量（单位：t），频数分布如下：分组 [0,0.5) [0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5) [2.5,3) [3,3.5)[3.5,4) [4,4.5]频数4815222514642（1）根据所给数据将频率分布直方图补充完整（不必说明理由）； （2）根据频率分布直方图估计本市居民月均用水量的中位数；（3）根据频率分布直方图估计本市居民月均用水量的平均数（同一组数据由该组区间的中点值作为代表）.28．(0分)[ID ：13483]为了解贵州省某州2020届高三理科生的化学成绩的情况，该州教育局组织高三理科生进行了摸底考试，现从参加考试的学生中随机抽取了100名理科生，，将他们的化学成绩（满分为100分）分为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]6组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求a 的值；（2）记A 表示事件“从参加考试的所有理科生中随机抽取一名学生，该学生的化学成绩不低于70分”，试估计事件A 发生的概率；（3）在抽取的100名理科生中，采用分层抽样的方法从成绩在[60,80)内的学生中抽取10名，再从这10名学生中随机抽取4名，记这4名理科生成绩在[60,70)内的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.29．(0分)[ID ：13463]某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，现用一种新配方做试验，生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： 质量指标值[)75,85 [)85,95 [)95,105 [)105,115 [)115,125频数 6 26 38 22 8（1）将答题卡上列出的这些数据的频率分布表填写完整，并补齐频率分布直方图； （2）估计这种产品质量指标值的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）与中位数（结果精确到0.1）. 质量指标值分组频数 频率 [)75,8560.06[)85,95[)95,105 [)105,115 [)115,125合计100130．(0分)[ID ：13444]设关于x 的一元二次方程2220x bx a -+=，其中,a b 是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求上述方程有实根的概率. （1）若随机数,{1,2,3,4}a b ∈；（2）若a 是从区间[0,4]中任取的一个数，b 是从区间[1,3]中任取的一个数.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．C3．C4．B5．A6．B7．B8．C9．B10．A11．B12．C13．A14．D15．A二、填空题16．63【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值模拟程序的运行过程分析循环中各变量值的变化情况可得答案【详解】解：模拟程序的运行可得x=3y=7不满足条件|17．【解析】【分析】根据题意执行循环结构的程序框图逐次计算即可得到答案【详解】由题意执行程序框图：可得；第一循环不满足条件；第二次循环不满足条件；第三次循环不满足条件；第四次循环不满足条件；第五次循环不18．41【解析】【分析】根据给定的程序框图计算逐次循环的结果即可得到输出的值得到答案【详解】由题意运行程序框图可得第一次循环不满足判断框的条件；第二次循环不满足判断框的条件；第三次循环不满足判断框的条件19．【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域结合图形利用几何概型的概率公式可求得对应的概率【详解】根据题意画出不等式组表示的平面区域如图所示在上随机取两个实数则满足不等式的概率为故答案为【点睛】本题主20．【解析】【分析】模拟执行程序框图只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算直到达到输出条件即可得到输出的的值【详解】输入第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环；第五次循环；第六次循环退出循环输出21．【解析】试题分析：根据题意正方形的面积为而阴影部分由函数与围成其面积为则正方形中任取一点点取自阴影部分的概率为则正方形中任取一点点取自阴影部分的概率为考点：定积分在求面积中的应用几何概型点评:本题考22．①③【解析】【分析】由回归直线的方程的意义可判断①；由基本事件的定义可判断②；由互斥事件与对立事件的定义可判断③；由古典概型的定义可判断④【详解】①由回归直线的方程的意义可知意味着每增加一个单位平均23．【解析】分析：在内任投一点要使的面积小于5根据几何关系求解出它们的比例即可详解：记事件{的面积大于5}基本事件是的面积如图：事件A的几何度量为图中阴影部分的面积（DE分别是三角形的边上的四等分点）且24．（注：填也得分）【解析】分析：执行如图所示的程序框图可知该程序的功能是输出三个数的大小之中位于中间的数的数值再根据指数函数与对数函数的性质得到即可得到输出结果详解：由题意执行如图所示的程序框图可知该25．【解析】【分析】由题意可知集合U的子集有个然后求出任取集合U的两个子集AB的个数m及时AB的所有个数n根据可求结果【详解】解：集合23的子集有个集合AB是集合U的子集任取集合U的两个子集AB的所有个三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】 分析：执行程序框图，得到输出值4k S =，令24k =，可得8k . 详解：阅读程序框图，初始化数值1,n S k ==， 循环结果执行如下：第一次：14n =<成立，2,22k k n S k ==-=； 第二次：24n =<成立，3,263k k k n S ==-=； 第三次：34n =<成立，4,3124k k k n S ==-=； 第四次：44n =<不成立，输出24k S ==，解得8k . 故选C.点睛：解决循环结构程序框图问题的核心在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数.2．C解析：C【解析】【分析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】根据程序框图：1,1S i ==；3,2S i ==；7,3S i ==；15,4S i ==；31,5S i ==，结束.故选：C .【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.3．C解析：C【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环计算y 值并输出，模拟程序的运行过程，直到达到输出条件即可.【详解】输入8，第一次执行循环：3y =，此时5y x -=，不满足退出循环的条件，则3x =， 第二次执行循环：12y =，此时52y x -=， 满足退出循环的条件， 故输出的y 值为12，故选C . 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 4．B解析：B【解析】【分析】程序运行结果为41S =,执行程序,当6k =时,判断条件成立,当5k =时,判断条件不成立,输出41S =,即可选出答案.【详解】根据程序框图,运行如下:初始10,1k S ==,判断条件成立,得到11011S =+=,1019k =-=;判断条件成立,得到11920S =+=,918k =-=;判断条件成立,得到20828S =+=,817k =-=;判断条件成立,得到28735S =+=,716k =-=;判断条件成立,得到35641S =+=,615k =-=;判断条件不成立,输出41S =,退出循环,即6k ≥符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了程序框图的识别与判断,弄清进入循环体和跳出循环体的条件是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.5．A解析：A【解析】赋值语句的格式为“变量＝表达式”，“＝”的左侧只能是单个变量，B 、C 、D 都不正确．选A.6．B解析：B【解析】【分析】利用倒取余数法可得8810化为五进制数. 【详解】因为88÷5=17…3,17÷5=3...23÷5=0 (3)所以用倒取余数法得323，故选：B.【点睛】本题考查十进制数和五进制数之间的转化，利用倒取余数法可解决此类问题.7．B解析：B【解析】【分析】【详解】分析：利用组合数列总事件数，根据等差数列通项公式确定所求事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：共有318C 17163=⨯⨯种事件数，选出火炬手编号为13(1)n a a n =+-，由1、4、7、10、13、16，可得4种，由2、5、8、11、14、17，可得4种，由3、6、9、12、15、18，可得4种，4311716368p ⨯==⨯⨯． 选B ． 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.8．C解析：C【分析】根据新运算的定义, ()x a -()x a +22x x a a =-++-,即求221x x a a -++-<恒成立,整理后利用判别式求出a 范围即可【详解】 A ()1B A B =-∴()x a -()x a +()()()()22=11x a x a x a x a x x a a --+=--+-=-++-⎡⎤⎣⎦ ()x a -()1x a +<对于任意的实数x ∈R 恒成立,221x x a a ∴-++-<,即2210x x a a -++--<恒成立,()()2214110a a ∴∆=-⨯-⨯--<,1322a ∴-<< 故选：C【点睛】本题考查新定义运算,考查一元二次不等式中的恒成立问题, 当x ∈R 时,利用判别式是解题关键9．B解析：B【解析】【详解】阅读流程图，初始化数值1,1,0a k S =-==.循环结果执行如下：第一次：011,1,2S a k =-=-==；第二次：121,1,3S a k =-+==-=；第三次：132,1,4S a k =-=-==；第四次：242,1,5S a k =-+==-=；第五次：253,1,6S a k =-=-==；第六次：363,1,7S a k =-+==-=，结束循环，输出3S =.故选B.点睛:算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.求解时，先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，如：是求和还是求项.10．A解析：A【解析】根据几何概型的概率计算公式，求出中间小三角形的面积与大三角形的面积的比值即可【详解】设DE x =，因为D 为BE 中点，且图形是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形 所以2BE x =，CE x =，120CEB ∠=︒所以由余弦定理得：2222cos BC BE CE BE CE CEB =+-⋅⋅∠222142272x x x x x ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭即BC =，设DEF 的面积为1S ，ABC 的面积为2S因为DEF 与ABC 相似 所以21217S DE P S BC ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 故选：A11．B解析：B【解析】【分析】应用平均数计算方法，设出两个平均数表达式，相减，即可。

2023-2024学年庆阳市华池县高二数学上学期期末试卷（考试时间120分钟，试卷满分150分）2024.1试卷命题范围：湘教版选择性必修第一册.一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．抛物线y2=4x 的焦点坐标是A．（0,2）B．（0,1）C．（2,0）D．（1,0）2．直线10x -=的倾斜角α=A．30︒B．60︒C．120︒D．150︒3．在等差数列{}n a 中，131,3a a =-=，则10a =（）A．10B．17C．21D．354．已知1F ，2F 分别是双曲线2213y x -=的左右焦点，点P 在该双曲线上，若15PF =，则2PF =（）A．4B．4或6C．3D．3或75．在等比数列{}n a 中，22a =，1348a a +=，n S 是{}n a的前n 项和，则5S =（）A．15B．31C．48D．636．若椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的短轴长是焦距的2倍，则C 的离心率为（）A．12B．C．227．设()929012913x a a x a x a x -=++++ ，则0129a a a a ++++ 的值为（）A．29B．49C．39D．598．分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道，要求4名水暖工都分配出去，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有A．34A 种B．3133A A 种C．2343C A 种D．113433C C A 种二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（）A．已知2251818C C x x +-=，则x 可能取值为6B．已知2251818C C x x +-=，则x 可能取值为7C．在921x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项是84D．在921x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项是504-10．已知曲线C的方程为221()123x y mm m+=∈++R，则（）A．曲线C可以表示圆B．曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆C．曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆D．曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线11．设等比数列{}na的前n项和为n S，若2580a a+=，则下列式子中数值为常数的是（）A．53aa B．53SS C．1nnaa+D．1nnSS+12．从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所组成的数中（）A．偶数有60个B．比300大的奇数有48个C．个位和百位数字之和为7的数有24个D．能被3整除的数有48个三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13．若直线210x y-+=与直线30x ay++=平行，则=a.14．已知{}na是等比数列，12n nT a a a=⋅，若()3913kT a a a=⋅⋅，则实数k=．15．二项式252()xx-的展开式中4x的系数是16．已知抛物线21:12C y x=的焦点为F，圆222:60C x y x+-=，过F的直线l与1C交于,A B两点，与2C交于,M N两点，且,A M在同一象限，则||4||AM BN+的最小值为．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字㙂明、证明过程及演算步骤. 17．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x轴上，实轴长为2，其离心率2e=；(2)渐近线方程为12y x=±，经过点(2,2)P．18．解答下列各题(1)求()101x-的展开式中所有奇数项的二项式系数和；(2)已知二项式72x⎛-⎝，求展开式中含x项的系数.19．已知过()4,0M的直线l与圆O：224x y+=相交于不同两点A，B，且点A，B在x轴下方，点()1,0N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)证明：2MA NA=.20．有5名男生和甲、乙2名女生排成一排，求下列情况各有多少种不同的排法？(1)女生甲排在正中间；(2)2名女生不相邻；(3)女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）；(4)2名女生中间恰有1名男生．21．已知数列{}n a 满足14a =，()*144n na n a +=-∈N ．(1)求证：12na ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；(2)若()*2(1)n n a b n n =+∈N ，求数列{}2nb nb ⋅的前n 项和nS ．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为，直线1l 与椭圆C 相切于点(2,1)P ．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线2l 与椭圆C 交于不同的两点M，N，与直线1l 交于点Q（P，Q，M，N 均不重合），记12,l l的斜率分别为12,k k ，若1214k k =-．证明：2||PQ QM QN 为定值．1．D【详解】试题分析：24y x =的焦点坐标为(1,0)，故选D.【考点】抛物线的性质【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单几何性质是我们要重点掌握的内容，一定要熟记掌握．2．A【解析】先求得直线的斜率，然后根据斜率和倾斜角的关系，求得α.【详解】可得直线10x -=的斜率为A kB =-=，由斜率和倾斜角的关系可得tan α=，又∵0180a 鞍£<∴30α=故选：A.【点睛】本小题主要考查直线倾斜角与斜率，属于基础题.3．B【分析】由已知求出公差即可求解.【详解】设等差数列的公差为d ，则312a a d=+，即312d =-+，解得2d =，所以101919217a a d =+=-+⨯=.故选：B.4．D【分析】根据双曲线的定义有12||||||2PF PF a-=，注意1PF 、2PF 范围，即可得结果.【详解】由双曲线定义知：12||||||22PF PF a -==，而15PF =，又1c a -=且3c a +=，∴2PF =3或7，故选：D.5．B【分析】利用等比数列通项公式，结合已知条件求基本量，进而由等比数列前n 项和公式求5S .【详解】令{}n a 的公比为q ，则212a a q ==，21314(4)8a a a q +=+=，∴11a =，2q =，故55123112S -==-.故选：B.6．B【解析】记椭圆的焦距为2c ，根据题中条件，得到2b c =，进而可求出离心率.【详解】记椭圆的焦距为2c ，因为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的短轴长是焦距的2倍，所以24b c =，即2b c =，所以224b c =，即2224a c c -=，即225a c =，所以a =，因此椭圆的离心率为5c e a ===.故选：B.7．B【解析】根据二项式特点知，a ，2a ，4a ，6a ，8a 为正，1a ，3a ，5a ，7a ，9a 为负，令=1x -，得()901238901913a a a a a a a a a +=-+-++-=+++ .【详解】因为0a ，2a ，4a ，6a ，8a 为正，1a ，3a ，5a ，7a ，9a 为负，令=1x -，得()99012389134a a a a a a +=-+-++-= ，90190123894a a a a a a a a a +++=-+-++-= 故选：B.【点睛】本题主要考查了二项式的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8．C【详解】C试题分析：由题意得：有个居民家去两名水暖工，其他两个居民家各去一名水暖工，因此分配的方案共有2343C A 种，选C.考点：排列组合9．BC【分析】对于选项A 和选项B，根据组合数公式2251818C C x x +-=，有两种情况：225x x +=-，或22518x x -=++，求解即可；对于选项C 和选项D，根据二项展开式的通项公式()()()921183199C 1C k kkkk kk T x x x---+=-=-，当1830k -=时为常数项，代入6k =求解即可.【详解】对于选项A 和选项B，因为2251818C C x x +-=，故225x x +=-，或22518x x -=++，得7x =，故A 错误，B 正确；对于选项C 和选项D，根据二项展开式的通项公式()()()921183199C 1C k kkkk kk T x x x---+=-=-，令1830k -=，解得6k =，∴()66791C 84T =-=，故C 正确、D 错误.故选：BC.10．CD【分析】根据圆，椭圆，双曲线的相关知识，对每个选项逐一分析即可.【详解】若曲线C 表示圆，则123m m +=+，解得2m =-，则曲线C 的方程为221x y +=-，无意义，A不正确；若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1230m m +>+>，不等式无解，B 不正确；若曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，则2310m m +>+>，解得1m >-，C 正确；若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则230,10,m m +>⎧⎨+<⎩解得312m -<<-，D 正确.故选：CD 11．ABC【分析】设公比为q，依题意可得2q =-，再根据等比数列通项公式及前n 项和公式计算可得；【详解】解：因为在等比数列{}n a 中满足2580a a +=，设公比为q ，所以32280a a q +=，即38q =-，解得2q =-，所以253334a a qa a ==，12n n a q a +==-，()()()()()111212123nnn a a S ----==--，所以()()()()513153123312311a a S S --=-=-，()()()()()()111111221321123n n n n nnS S a a +++==--------，故选：ABC 12．ACD【分析】结合简单的排列数计算对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A，其个位数字为2或4或6，有3种情况，在剩余5个数字中任选2个，安排在百位和十位，有2520A =种情况，则有3×20＝60个三位偶数，A 正确；对于B，分2种情况讨论，若百位数字为3或5，有2×2×4＝16个三位奇数，若百位数字为4或6，有2×3×4＝24个三位奇数，则符合题意的三位数有16+24＝40个，B 错误；对于C，个位和百位数字之和为7有（1，6），（2，5），（3，4），共3种情况，则符合题意的三位数有2124324A A =个，故C 正确；对于D，能把3整除，则三个数字之和为3的倍数，共有（1，2，3），（1，2，6），（1，3，5），（1，5，6），（2，3，4），（2，4，6），（3，4，5），（4，5，6）八种选择，故能被3整除的数有23848A =个，故D 正确；故选：ACD13．12-##0.5-【分析】两直线1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=平行，满足12210A B A B -=且12210AC AC -≠或12210B C B C -≠【详解】由题意得：210a +=，解得：12a =-，经检验符合要求.故答案为：12-14．11【分析】由等比数列通项公式及已知条件可得93631311()k a q a q +=，即可求参数k.【详解】由题设，()1931392...k T a a a a a a ==，∴936313933111()k k a q a q a q ++==，则3336k +=，可得11k =.故答案为：11.15．40【分析】求得二项式展开式的通项公式，由此求得4x 的系数.【详解】依题意，二项式展开式的通项公式为()()()52110315522rrrr r rr T C x x C x ---+=⋅-=-⋅⋅，当1034,2r r -==，故4x 的系数是()225240C -⋅=.【点睛】本小题主要考查二项式展开式指定项系数的求法，属于基础题.16．12【分析】设直线:3l x my =+，联立抛物线方程可得到129x x =，利用焦半径公式化简||4||AM BN +，结合基本不等式，即可求得答案.【详解】抛物线21:12C y x =的焦点为()2223,0,:60F C x y x +-=以F 为圆心以3为半径，由题意可知直线l 不与y 轴垂直，设直线:3l x my =+，联立2123y xx my ⎧=⎨=+⎩，得212360y my --=，2Δ=144(1)0m +>．设()()1122,,,A x y B x y ，则221212121212,36,9144y y y y m y y x x +==-==，∴||4||AM BN +=12(||3)4(||3)412AF BF x x -+-=+≥=，当且仅当1246x x ==时，等号成立，即||4||AM BN +的最小值为12，故答案为：1217．(1)2213y x -=(2)221312y x -=【分析】（1）首先根据题意设双曲线的标准方程为：()222210,0x y a b a b -=>>，得到222222a c a c a b =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，再解方程组即可.（2）首先根据题意设双曲线方程为：()2240x y λλ-=≠，再将()2,2P 代入求解即可.【详解】（1）设双曲线的标准方程为：()222210,0x y a b a b -=>>，由题知：22222122a a c b a c c a b =⎧=⎧⎪⎪⎪=⇒⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎩，双曲线方程为：2213y x -=.（2）设双曲线方程为：()2240x y λλ-=≠，将()2,2P 代入()2240x y λλ-=≠，解得12λ=-，所以双曲线方程为：221312y x -=.18．（1）512；（2）14【分析】（1）根据二项式中奇数项的二项式系数和为12n -从而求解.（2）根据二项式展开式()477317C 21k kkkk T x--+=⋅⋅-⋅，求出含有x 项时的k 值，从而求解.【详解】（1）()101x -的展开式中所有奇数项的二项式系数和为1025122=.（2）展开式的通项是()()71477331772C 1C 21kkk kk k k k k T x x x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-⋅=⋅⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令4713k-=，解得6k =，即()6677C 2114T x x=⋅⋅-⋅=，即展开式中含x 项的系数为14.19．(1)⎛ ⎝⎭(2)证明见解析【分析】（1）设直线l 的方程，联立直线与圆方程，根据0∆>结合0k >得到答案.（2）设A 点坐标，利用两点间距离公式及A 点在圆上可证明结论.【详解】（1）由题知0k >，故设直线l 的方程为()4y k x =-，联立()2244y k x x y ⎧=-⎨+=⎩，故()2222181640k x k x k +-+-=，依题意有()()2222(8)411640k k k ∆=--+->，化简得2130k ->，即k <<，综上：直线l 的斜率k的取值范围为03k <<，即0,3k ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.（2）设()11,A x y ，则22114x y +=，2MANA====，故2MA NA=.20．(1)720种；(2)3600种；(3)2520种；(4)1200种.【分析】（1）根据特殊元素优先排，其余元素再利用全排列即可求解；（2）不相邻问题利用“插空法”即可求解；（3）固定顺序问题即是所有元素全排列种类数的一半；（4）相邻问题用“捆绑法”，其余元素再利用全排列即可.【详解】（1）女生甲排在正中间，其余6人有66A 种排法，因此不同排法种数为66A 720=种；（2）将5名男生排成一排，有55A 种排法，2名女生可以在每2名男生之间及两端共6个位置中选出2个排，有26A 种排法，因此不同排法种数为5256A A 3600=种；（3）对7名学生全排列有77A种排法，因此不同排法种数为771A 25202=种；（4）选1名男生排在2名女生中间，有15C 种排法，将3人看成1个元素，与4名男生共5个元素排成一排，不同的排法有55A 种，又因为2名女生有22A 种排法，因此不同排法种数为125525C A A 1200=种.21．(1)证明见解析；(2)1(1)22n n S n +=-+，*n ∈N .【分析】（1）应用作差法可得111111222()4n n n n n n n n a a a a a a a a ++++--=---++，结合已知条件即可证结论.（2）由（1）得22n a n =+，再求{}n b 通项公式，可得22n nb n b n ⋅=⋅，利用错位相减法求n S 即可.【详解】（1）由111111222()4n n n n n n n n a a a a a a a a ++++--=---++，又()*144n na n a +=-∈N ，∴1440n n n a a a +-+=，故111111222()2n n n n n n a a a a a a +++--==---，且11122a =-，∴12na ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项、公差均为12的等差数列.（2）由（1），111(1)2222n n n a =+-=-，则22n a n =+，又()*2(1)n n a b n n =+∈N ，∴2(1)n nn b na +==，则22n n b nb n ⋅=⋅，∴12322232...2n nn S =+⋅+⋅++⋅，234122232...()2212n n n n n S +=+⋅+⋅++-⋅+⋅，则1231112(12)222 (22)2(1)2212n n n n n n n n S n +++-=++++-⋅=-⋅=----，∴1(1)22n n S n +=-+，*n ∈N .22．(1)22182x y +=；(2)证明见解析.【分析】（1）根据椭圆离心率和椭圆经过的点建立方程组，求解方程组可得椭圆的方程；（2）先根据相切求出直线1l 的斜率，结合2214k k =-可得212k =，再逐个求解2||PQ ，QM QN ⋅，然后可证结论.【详解】（1）解：由题意22222411c a a b a b c ⎧⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2228,2,6.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩故椭圆C 的方程为22182x y +=.（2）证明：设直线1l 的方程为11(2)y k x -=-，联立1221(2),48,y k x x y -=-⎧⎨+=⎩得()()2221111141821161640kx k k x k k +--+--=，因为直线1l与椭圆C 相切，所以判别式Δ0=，即()()()2222111116421441161640k k k k k --+--=，整理得()21210k +=，所以112k =-，故直线1l 的方程为122y x =-+，11因为1214k k =-，所以212k =，设直线2l 的方程为1(0)2y x m m =+≠，联立方程组1,212,2y x m y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解得212x m m y =-⎧⎪⎨=+⎪⎩．故点Q 坐标为2,12m m ⎛⎫-+ ⎝⎭，225||4m PQ =．联立方程组224812x y y x m ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，化简得222240x mx m ++-=．设点()()1122,,,M x y N x y ．因为判别式()2Δ440m =-+>，得22m -<<．又212122,24x x m x x m +=-=-，所以12,QM m x QN m x =--=--．故125224QM QN m x m x ⋅=--⋅--()22121255(2)(2)44m m m x x x x =---++=，于是2||1PQ QM QN =为定值.【点睛】直线与椭圆的相切问题一般是联立方程，结合判别式为零求解；定值问题的求解一般结合目标式中的项，逐个求解，代入验证即可.。

复旦大学数学科学学院2012～2013学年第一学期期末考试试卷A 卷数学科学学院1.设函数 )(x f y =由方程1=-+xy ey x 确定，求二阶导数)0(f '' ;2.计算⎰+++dx x x x 54642;3.计算⎰+∞+12211dx x x ;4.求x x dtxt x x sin tan )1ln(lim 00-+⎰→.二. （本题共24分，每小题6分）1.求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=2311112313522231A 的秩;2.设矩阵B ,A 满足B 3A AB +=，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=120210002A ，求矩阵B ;3.设A 是一个43⨯的矩阵，2)A (rank =，方程组b A =x 有三个特解T )3(T )2(T )1(1)3,2,(1,4)3,1,(2,3)2,1,(1,-=-=-=x ,x ,x ,求方程组b A =x 的通解。

4.设=)(x f 81212sin 41111sin 21010sin 842xx xe x e x e x ，求)0(f '的值。

三. （本题8分）（1）求极限()3233231212lim++--+-++∞→x x x x x x x 。

四. （本题10分）讨论方程a xex =-的根的个数。

五. （本题10分）设有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.93,3,4321321321x bx x x bx x x x ax ，问b a ,为何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？有无穷多解时请求出其通解。

六. （本题10分）设A 是一个三阶实对称阵，其特征值为3,1,1，对应于特征值3=λ的特征向量为T)0,1,1(-。

（1） 求矩阵A ；（2） 设3R 上的线性变换A 由Ax x =)(A 所确定，求A 在基T )0,0,1(，T )0,1,1(，T )1,1,1(下的表示矩阵B ，问A 与B 是否相似，为什么？七. （本题8分）平面图形D 由曲线2,1,2y ==-=y x x 所围， 将上述图形D 绕轴1=x 旋转一周得到一个旋转体，求此旋转体的体积和表面积。

宁夏2021版数学高二上学期理数期末考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题表示（）A . 甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米B . 甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米C . 甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米D . 甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米2. （1分） (2019高二上·西安月考) 若，则（）A . -4B . -2C . 0D . 23. （1分）(2020·安庆模拟) 设p：，q：，则p是q成立的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （1分） (2019高二下·湘潭月考) 设向量，，向量与的夹角为锐角，则的范围为（）A .B .C .D .5. （1分）已知函数y=，输入自变量x的值，输出对应的函数值的算法中所用到的基本逻辑结构是（）A . 顺序结构B . 条件结构C . 顺序结构、条件结构D . 顺序结构、循环结构6. （1分） (2017高二上·佳木斯期末) 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的的比值（）.A . 1B . 3C .D .7. （1分） (2020高一下·鸡西期末) 已知直线，直线，且∥ ，若均为正数，则的最小值是（）A .B .C . 8D . 248. （1分） (2019高一下·集宁月考) 从集合的所有子集中，任取一个，这个集合恰是集合子集的概率是（）A .B .C .D .9. （1分）已知平面直角坐标系xoy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上动点，点A的坐标为（， 1）．则的最大值为（）A .B .C . 4D . 310. （1分） (2018高二上·黑龙江月考) 双曲线的焦距是（）A .B .C .D .11. （1分） (2019高二上·新蔡月考) 如图，在正四棱柱，中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为（）．A . 2B . 3C . 4D . 512. （1分）函数y=log3x+ ﹣1的值域是（）A . （﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）B . （﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）C . [1，+∞）D . [2，+∞）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·姜堰期中) 如图，边长为2的正方形内有一不规则阴影部分，随机向正方形内投入200粒芝麻，恰好60粒落入阴影部分，则不规则图形的面积为________．14. （1分）已知某商场新进6000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为________．15. （1分）给出下列四个命题：①半径为，圆心角的弧度数为的扇形面积为；②若为锐角，，，则或；③函数图象的一条对称轴是 .其中真命题是________．16. （1分）(2017·山东) 在平面直角坐标系xOy中，双曲线 =1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F 的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．三、解答题 (共6题；共12分)17. （2分）(2017·湖北模拟) 已知抛物线C：x2=2y的焦点为F，过抛物线上一点M作抛物线C的切线l，l 交y轴于点N．（1）判断△MFN的形状；（2）若A，B两点在抛物线C上，点D（1，1）满足 + = ，若抛物线C上存在异于A，B的点E，使得经过A，B，E三点的圆与抛物线在点E处的有相同的切线，求点E的坐标．18. （2分）为了了解某校高一女生的身高情况，随机抽取M个高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布如表：组别频数频率[146，150）60.12[150，154）80.16[154，158）140.28[158，162）100.20[162，166）80.16[166，170）m n合计M1（Ⅰ）求出表中字母m，n所对应的数值；（Ⅱ）在图中补全频率分布直方图；（Ⅲ）根据频率分布直方图估计该校高一女生身高的中位数（保留两位小数）19. （2分） (2015高二下·上饶期中) 设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8在x=1及x=2时取得极值．（1）求a，b的值；（2）求曲线f（x）在x=0处的切线方程．20. （2分） (2018高二上·太和月考) 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)标准煤的几组对照数据参考公式：（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(1)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?21. （2分）(2018·百色模拟) 如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，为直角三角形且，是等边三角形.（1）求证：；（2）若，求二面角的正弦值.22. （2分） (2020·泉州模拟) 直角坐标系中，圆（为参数）上的每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到曲线．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求的普通方程和l的直角坐标方程；（2）设l与两坐标轴分别相交于两点，点Q在上，求的面积的最大值．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共12分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

1 -6 已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为32262t t x -+=,式中x 的单位为m,t 的单位为 s ．求：(1) 质点在运动开始后4.0 s 内的位移的大小； (2) 质点在该时间内所通过的路程；(3) t ＝4 s 时质点的速度和加速度．分析 位移和路程是两个完全不同的概念．只有当质点作直线运动且运动方向不改变时,位移的大小才会与路程相等．质点在t 时间内的位移Δx 的大小可直接由运动方程得到：0Δx x x t -=,而在求路程时,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时,位移的大小和路程就不同了．为此,需根据0d d =tx来确定其运动方向改变的时刻t p ,求出0～t p 和t p ～t 内的位移大小Δx 1 、Δx 2 ,则t 时间内的路程21x x s ∆+∆=,如图所示,至于t ＝4.0 s 时质点速度和加速度可用tx d d 和22d d t x两式计算．解 (1) 质点在4.0 s 内位移的大小m 32Δ04-=-=x x x(2) 由 0d d =tx得知质点的换向时刻为s 2=p t (t ＝0不合题意)则m 0.8Δ021=-=x x xm 40Δ242-=-=x x x所以,质点在4.0 s 时间间隔内的路程为m 48ΔΔ21=+=x x s(3) t ＝4.0 s 时1s0.4s m 48d d -=⋅-==t t xv 2s0.422m.s 36d d -=-==t t x a1 -8 已知质点的运动方程为j i r )2(22t t -+=,式中r 的单位为m,t 的单位为ｓ．求： (1) 质点的运动轨迹；(2) t ＝0 及t ＝2ｓ时,质点的位矢；(3) 由t ＝0 到t ＝2ｓ内质点的位移Δr 和径向增量Δr ；*(4) 2 ｓ 内质点所走过的路程s ．分析 质点的轨迹方程为y ＝f (x ),可由运动方程的两个分量式x (t )和y (t )中消去t 即可得到．对于r 、Δr 、Δr 、Δs 来说,物理含义不同,可根据其定义计算．其中对s 的求解用到积分方法,先在轨迹上任取一段微元d s ,则22)d ()d (d y x s +=,最后用⎰=s s d 积分求ｓ．解 (1) 由x (t )和y (t )中消去t 后得质点轨迹方程为2412x y -=这是一个抛物线方程,轨迹如图(a)所示．(2) 将t ＝0ｓ和t ＝2ｓ分别代入运动方程,可得相应位矢分别为j r 20= , j i r 242-=图(a)中的P 、Q 两点,即为t ＝0ｓ和t ＝2ｓ时质点所在位置． (3) 由位移表达式,得j i j i r r r 24)()(Δ020212-=-+-=-=y y x x其中位移大小m 66.5)(Δ)(ΔΔ22=+=y x r而径向增量m 47.2ΔΔ2020222202=+-+=-==y x y x r r r r*(4) 如图(B)所示,所求Δs 即为图中PQ 段长度,先在其间任意处取AB 微元d s ,则22)d ()d (d y x s +=,由轨道方程可得x x y d 21d -=,代入d s ,则2ｓ内路程为m 91.5d 4d 42=+==⎰⎰x x s s Q P1 -9 质点的运动方程为23010t t x +-= 22015t t y -=式中x ,y 的单位为m,t 的单位为ｓ．试求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向．分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向．解 (1) 速度的分量式为t txx 6010d d +-==vt tyy 4015d d -==v 当t ＝0 时, v o x ＝-10 m·ｓ-1 , v o y ＝15 m·ｓ-1 ,则初速度大小为120200s m 0.18-⋅=+=y x v v v设v o 与x 轴的夹角为α,则23tan 00-==xy αv vα＝123°41′(2) 加速度的分量式为2s m 60d d -⋅==ta xx v , 2s m 40d d -⋅-==t a y y v则加速度的大小为222s m 1.72-⋅=+=y x a a a设a 与x 轴的夹角为β,则32tan -==x ya a β β＝-33°41′(或326°19′)1 -13 质点沿直线运动,加速度a ＝4 -t2 ,式中a 的单位为m·ｓ-2 ,t 的单位为ｓ．如果当t ＝3ｓ时,x ＝9 m,v ＝2 m·ｓ-1 ,求质点的运动方程．分析 本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决．由t a d d v =和txd d =v 可得t a d d =v 和t x d d v =．如a ＝a (t )或v ＝v (t ),则可两边直接积分．如果a 或v 不是时间t 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分．解 由分析知,应有⎰⎰=tt a 0d d 0vv v得 03314v v +-=t t (1)由⎰⎰=txx t x 0d d 0v得 00421212x t t t x ++-=v (2) 将t ＝3ｓ时,x ＝9 m,v ＝2 m·ｓ-1代入(1) (2)得v 0＝-1 m·ｓ-1,x 0＝0.75 m ．于是可得质点运动方程为75.0121242+-=t t x1 -15 一质点具有恒定加速度a ＝6i ＋4j ,式中a 的单位为m·ｓ-2 ．在t ＝0时,其速度为零,位置矢量r 0 ＝10 m i ．求：(1) 在任意时刻的速度和位置矢量；(2) 质点在Oxy 平面上的轨迹方程,并画出轨迹的示意图．分析 与上两题不同处在于质点作平面曲线运动,根据叠加原理,求解时需根据加速度的两个分量a x 和a y 分别积分,从而得到运动方程r 的两个分量式x (t )和y (t )．由于本题中质点加速度为恒矢量,故两次积分后所得运动方程为固定形式,即20021t a t x x x x ++=v 和20021t a t y y y y ++=v ,两个分运动均为匀变速直线运动．读者不妨自己验证一下．解 由加速度定义式,根据初始条件t 0 ＝0时v 0 ＝0,积分可得⎰⎰⎰+==tt t t 0)d 46(d d j i a v vj i t t 46+=v又由td d r=v 及初始条件t ＝0 时,r 0＝(10 m)i ,积分可得 ⎰⎰⎰+==tt rr t t t t 0)d 46(d d 0j i r vj i r 222)310(t t ++=由上述结果可得质点运动方程的分量式,即x ＝10＋3t 2y ＝2t 2消去参数t ,可得运动的轨迹方程3y ＝2x -20 m这是一个直线方程．直线斜率32tan d d ===αx y k ,α＝33°41′．轨迹如图所示． 1 -17 质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为r ＝2.0t i ＋(19.0 -2.0t 2 )j ,式中r 的单位为m,t 的单位为s ．求：(1)质点的轨迹方程；(2) 在t 1＝1.0s 到t 2 ＝2.0s 时间内的平均速度；(3) t 1 ＝1.0ｓ时的速度及切向和法向加速度；(4) t ＝1.0s 时质点所在处轨道的曲率半径ρ．分析 根据运动方程可直接写出其分量式x ＝x (t )和y ＝y (t ),从中消去参数t ,即得质点的轨迹方程．平均速度是反映质点在一段时间内位置的变化率,即tΔΔr=v ,它与时间间隔Δt 的大小有关,当Δt →0 时,平均速度的极限即瞬时速度td d r =v ．切向和法向加速度是指在自然坐标下的分矢量a ｔ 和a n ,前者只反映质点在切线方向速度大小的变化率,即tt te a d d v =,后者只反映质点速度方向的变化,它可由总加速度a 和a ｔ 得到．在求得t 1 时刻质点的速度和法向加速度的大小后,可由公式ρa n 2v =求ρ．解 (1) 由参数方程x ＝2.0t , y ＝19.0-2.0t 2消去t 得质点的轨迹方程：y ＝19.0 -0.50x 2(2) 在t 1 ＝1.00ｓ 到t 2 ＝2.0ｓ时间内的平均速度j i r r 0.60.2ΔΔ1212-=--==t t t r v (3) 质点在任意时刻的速度和加速度分别为j i j i j i t ty t x t y x 0.40.2d d d d )(-=+=+=v v v j j i a 222220.4d d d d )(-⋅-=+=s m tyt x t则t 1 ＝1.00ｓ时的速度v (t )｜t ＝1ｓ＝2.0i -4.0j切向和法向加速度分别为t t y x t t tt t e e e a 222s1s m 58.3)(d d d d -=⋅=+==v v v n n t n a a e e a 222s m 79.1-⋅=-=(4) t ＝1.0ｓ质点的速度大小为122s m 47.4-⋅=+=y x v v v则m 17.112==na ρv 1 -23 一半径为0.50 m 的飞轮在启动时的短时间内,其角速度与时间的平方成正比．在t ＝2.0ｓ 时测得轮缘一点的速度值为4.0 m·ｓ-1．求：(1) 该轮在t′＝0.5ｓ的角速度,轮缘一点的切向加速度和总加速度；(2)该点在2.0ｓ内所转过的角度．分析 首先应该确定角速度的函数关系ω＝kt 2．依据角量与线量的关系由特定时刻的速度值可得相应的角速度,从而求出式中的比例系数k ,ω＝ω(t )确定后,注意到运动的角量描述与线量描述的相应关系,由运动学中两类问题求解的方法(微分法和积分法),即可得到特定时刻的角加速度、切向加速度和角位移．解 因ωR ＝v ,由题意ω∝t 2 得比例系数322s rad 2-⋅===Rtt ωk v 所以 22)(t t ωω==则t ′＝0.5ｓ 时的角速度、角加速度和切向加速度分别为12s rad 5.02-⋅='=t ω2s rad 0.24d d -⋅='==t tωα 2s m 0.1-⋅==R αa t总加速度n t t n R ωR αe e a a a 2+=+= ()()2222s m 01.1-⋅=+=R ωR αa在2.0ｓ内该点所转过的角度rad 33.532d 2d 203202200====-⎰⎰t t t t ωθθ1 -24 一质点在半径为0.10 m 的圆周上运动,其角位置为342t θ+=,式中θ 的单位为rad,t 的单位为ｓ．(1) 求在t ＝2.0ｓ时质点的法向加速度和切向加速度．(2) 当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时,θ 值为多少？(3) t 为多少时,法向加速度和切向加速度的值相等？分析 掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系,应用运动学求解的方法即可得到．解 (1) 由于342t θ+=,则角速度212d d t tθω==．在t ＝2 ｓ 时,法向加速度和切向加速度的数值分别为22s2s m 30.2-=⋅==ωr a t n2s2s m 80.4d d -=⋅==tωra t t(2) 当22212/t n t a a a a +==时,有223nt a a =,即 ()()422212243t r rt =得 3213=t此时刻的角位置为rad 15.3423=+=t θ(3) 要使t n a a =,则有()()422212243t r rt =t ＝0.55ｓ1 -25 一无风的下雨天,一列火车以v 1＝20.0 m·ｓ-1 的速度匀速前进,在车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成75°角下降．求雨滴下落的速度v2 ．(设下降的雨滴作匀速运动)分析 这是一个相对运动的问题．设雨滴为研究对象,地面为静止参考系Ｓ,火车为动参考系Ｓ′．v 1 为Ｓ′相对Ｓ 的速度,v 2 为雨滴相对Ｓ的速度,利用相对运动速度的关系即可解．解 以地面为参考系,火车相对地面运动的速度为v 1 ,雨滴相对地面竖直下落的速度为v 2 ,旅客看到雨滴下落的速度v 2′为相对速度,它们之间的关系为1'22v v v += (如图所示),于是可得1o12s m 36.575tan -⋅==v v 2 -8 如图(a)所示,已知两物体A 、B 的质量均为m ＝3.0kg 物体A 以加速度a ＝1.0 m·ｓ-2 运动,求物体B 与桌面间的摩擦力．(滑轮与连接绳的质量不计)分析 该题为连接体问题,同样可用隔离体法求解．分析时应注意到绳中张力大小处处相等是有条件的,即必须在绳的质量和伸长可忽略、滑轮与绳之间的摩擦不计的前提下成立．同时也要注意到张力方向是不同的．解 分别对物体和滑轮作受力分析［图(b)］．由牛顿定律分别对物体A 、B 及滑轮列动力学方程,有m A g -F Ｔ ＝m A a (1) F ′Ｔ1 -F ｆ ＝m B a ′ (2) F ′Ｔ -2F Ｔ1 ＝0 (3)考虑到m A ＝m B ＝m , F Ｔ ＝F′Ｔ , F Ｔ1 ＝F ′Ｔ1 ,a ′＝2a ,可联立解得物体与桌面的摩擦力()N am m mg F 2724f .=+-=讨论动力学问题的一般解题步骤可分为：(1) 分析题意,确定研究对象,分析受力,选定坐标；(2) 根据物理的定理和定律列出原始方程组；(3) 解方程组,得出文字结果；(4) 核对量纲,再代入数据,计算出结果来．2 -10如图(a)所示,在一只半径为R 的半球形碗内,有一粒质量为m的小钢球,当小球以角速度ω在水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动时,它距碗底有多高？分析 维持钢球在水平面内作匀角速度转动时,必须使钢球受到一与向心加速度相对应的力(向心力),而该力是由碗内壁对球的支持力F N 的分力来提供的,由于支持力F N 始终垂直于碗内壁,所以支持力的大小和方向是随ω而变的．取图示Oxy 坐标,列出动力学方程,即可求解钢球距碗底的高度．解 取钢球为隔离体,其受力分析如图(b)所示．在图示坐标中列动力学方程θωmR ma θF n N sin sin 2== (1)mg θF N =cos (2)且有 ()Rh R θ-=cos (3)由上述各式可解得钢球距碗底的高度为2ωg R h -= 可见,h 随ω的变化而变化．2 -13 一质点沿x 轴运动,其受力如图所示,设t ＝0 时,v 0＝5m·ｓ-1 ,x 0＝2 m,质点质量m ＝1kg,试求该质点7ｓ末的速度和位置坐标．分析 首先应由题图求得两个时间段的F (t )函数,进而求得相应的加速度函数,运用积分方法求解题目所问,积分时应注意积分上下限的取值应与两时间段相应的时刻相对应．解 由题图得()⎩⎨⎧<<-<<=7s t 5s ,5355s t 0 ,2t t t F由牛顿定律可得两时间段质点的加速度分别为5s t 0 ,2<<=t a 7s t 5s ,535<<-=t a对0 ＜t ＜5ｓ 时间段,由ta d d v =得 ⎰⎰=tt a 0d d 0vv v积分后得 25t +=v再由tx d d =v 得 ⎰⎰=tt x 0d d 0v xx积分后得33152t t x ++=将t ＝5ｓ 代入,得v 5＝30 m·ｓ-1 和x 5 ＝68.7 m 对5ｓ＜t ＜7ｓ 时间段,用同样方法有⎰⎰=tt a s 52d d 0vv v得 t t t 5.825.2352--=v再由 ⎰⎰=tx x t x s55d d v得x ＝17.5t 2 -0.83t 3 -82.5t ＋147.87将t ＝7ｓ代入分别得v 7＝40 m·ｓ-1 和 x 7 ＝142 m2 -14 一质量为10 kg 的质点在力F 的作用下沿x 轴作直线运动,已知F ＝120t ＋40,式中F 的单位为N,t 的单位的ｓ．在t ＝0 时,质点位于x ＝5.0 m 处,其速度v 0＝6.0 m·ｓ-1 ．求质点在任意时刻的速度和位置．分析 这是在变力作用下的动力学问题．由于力是时间的函数,而加速度a ＝d v /d t ,这时,动力学方程就成为速度对时间的一阶微分方程,解此微分方程可得质点的速度v (t )；由速度的定义v ＝d x /d t ,用积分的方法可求出质点的位置．解 因加速度a ＝d v /d t ,在直线运动中,根据牛顿运动定律有tmt d d 40120v=+依据质点运动的初始条件,即t 0 ＝0 时v 0 ＝6.0 m·ｓ-1 ,运用分离变量法对上式积分,得()⎰⎰+=tt t 0d 0.40.12d 0vv v v ＝6.0+4.0t+6.0t 2又因v ＝d x /d t ,并由质点运动的初始条件：t 0 ＝0 时x 0 ＝5.0 m,对上式分离变量后积分,有()⎰⎰++=t x x t t t x 020d 0.60.40.6d x ＝5.0+6.0t+2.0t 2 +2.0t 32 -15 轻型飞机连同驾驶员总质量为1.0 ×103 kg ．飞机以55.0 m·ｓ-1 的速率在水平跑道上着陆后,驾驶员开始制动,若阻力与时间成正比,比例系数α＝5.0 ×102 N·ｓ-1 ,空气对飞机升力不计,求：(1) 10ｓ后飞机的速率；(2) 飞机着陆后10ｓ内滑行的距离．分析 飞机连同驾驶员在水平跑道上运动可视为质点作直线运动．其水平方向所受制动力F 为变力,且是时间的函数．在求速率和距离时,可根据动力学方程和运动学规律,采用分离变量法求解．解 以地面飞机滑行方向为坐标正方向,由牛顿运动定律及初始条件,有t αtmma F -===d d v ⎰⎰-=t t m t α0d d 0v v v得 202t m α-=v v 因此,飞机着陆10ｓ后的速率为v ＝30 m·ｓ-1又 ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t xx t t m αx 0200d 2d v 故飞机着陆后10ｓ内所滑行的距离m 4676300=-=-=t mαt x x s v 2 -19 光滑的水平桌面上放置一半径为R 的固定圆环,物体紧贴环的内侧作圆周运动,其摩擦因数为μ,开始时物体的速率为v 0 ,求：(1) t 时刻物体的速率；(2) 当物体速率从v 0减少到12 v 0时,物体所经历的时间及经过的路程．分析 运动学与动力学之间的联系是以加速度为桥梁的,因而,可先分析动力学问题．物体在作圆周运动的过程中,促使其运动状态发生变化的是圆环内侧对物体的支持力F N 和环与物体之间的摩擦力F ｆ ,而摩擦力大小与正压力F N ′成正比,且F N 与F N ′又是作用力与反作用力,这样,就可通过它们把切向和法向两个加速度联系起来了,从而可用运动学的积分关系式求解速率和路程．解 (1) 设物体质量为m ,取图中所示的自然坐标,按牛顿定律,有Rm ma F n N 2v == tma F t d d f v -=-= 由分析中可知,摩擦力的大小F ｆ＝μF N ,由上述各式可得tR μd d 2v v -= 取初始条件t ＝0 时v ＝v 0 ,并对上式进行积分,有⎰⎰-=v v v v 020d d μR t t tμR R 00v v v += (2) 当物体的速率从v 0 减少到1/2v 0时,由上式可得所需的时间为v μR t =' 物体在这段时间内所经过的路程 ⎰⎰''+==t t t tμR R t s 0000d d v v v 2ln μR s =3 -7 质量为m 的物体,由水平面上点O 以初速为v 0 抛出,v 0与水平面成仰角α．若不计空气阻力,求：(1) 物体从发射点O 到最高点的过程中,重力的冲量；(2) 物体从发射点到落回至同一水平面的过程中,重力的冲量．分析 重力是恒力,因此,求其在一段时间内的冲量时,只需求出时间间隔即可．由抛体运动规律可知,物体到达最高点的时间gαt sin Δ01v =,物体从出发到落回至同一水平面所需的时间是到达最高点时间的两倍．这样,按冲量的定义即可求得结果．另一种解的方法是根据过程的始、末动量,由动量定理求出．解1 物体从出发到达最高点所需的时间为gαt sin Δ01v =则物体落回地面的时间为 gαt t sin Δ2Δ012v == 于是,在相应的过程中重力的冲量分别为 j j F I αm t mg t t sin Δd 011Δ1v -=-==⎰ j j F I αm t mg t t sin 2Δd 022Δ2v -=-==⎰ 解2 根据动量定理,物体由发射点O 运动到点A 、B 的过程中,重力的冲量分别为j j j I αm y m mv Ay sin 001v v -=-=j j j I αm y m mv By sin 2002v v -=-=3 -8 F x ＝30＋4t (式中F x 的单位为N,t 的单位为s)的合外力作用在质量m ＝10 kg 的物体上,试求：(1) 在开始2ｓ 内此力的冲量；(2) 若冲量I ＝300 N·s,此力作用的时间；(3) 若物体的初速度v 1 ＝10 m·s -1 ,方向与Fx 相同,在t ＝6.86s 时,此物体的速度v 2 ．分析 本题可由冲量的定义式⎰=21d t t t F I ,求变力的冲量,继而根据动量定理求物体的速度v 2．解 (1) 由分析知()s N 68230d 43020220⋅=+=+=⎰t t t t I (2) 由I ＝300 ＝30t ＋2t 2 ,解此方程可得t ＝6．86 s(另一解不合题意已舍去)(3) 由动量定理,有I ＝m v 2- m v 1由(2)可知t ＝6．86 s 时I ＝300 N·s ,将I 、m 及v 1代入可得112s m 40-⋅=+=mm I v v 3 -10 质量为m 的小球,在合外力F ＝-kx 作用下运动,已知x ＝A cos ωt ,其中k 、ω、A 均为正常量,求在t ＝0 到ωt 2π= 时间内小球动量的增量． 分析 由冲量定义求得力F 的冲量后,根据动量原理,即为动量增量,注意用式⎰21d t t t F 积分前,应先将式中x 用x ＝A cos ωt 代之,方能积分．解 力F 的冲量为ωkA t t ωkA t kx t F I ωt t t t -=-=-==⎰⎰⎰2/π02121d cos d d 即 ()ωkA m -=v Δ 3 -11 如图所示,在水平地面上,有一横截面S ＝0.20 m 2 的直角弯管,管中有流速为v ＝3.0 m·ｓ-1 的水通过,求弯管所受力的大小和方向．分析 对于弯曲部分AB 段内的水而言,由于流速一定,在时间Δt 内,从其一端流入的水量等于从另一端流出的水量．因此,对这部分水来说,在时间Δt 内动量的增量也就是流入与流出水的动量的增量Δp ＝Δm (v B -v A )；此动量的变化是管壁在Δt 时间内对其作用冲量I 的结果．依据动量定理可求得该段水受到管壁的冲力F ；由牛顿第三定律,自然就得到水流对管壁的作用力F′＝-F ．解 在Δt 时间内,从管一端流入(或流出) 水的质量为Δm ＝ρυS Δt ,弯曲部分AB 的水的动量的增量则为Δp ＝Δm (v B -v A ) ＝ρυS Δt (v B -v A )依据动量定理I ＝Δp ,得到管壁对这部分水的平均冲力()A B t S ρtv v v -==ΔΔI F 从而可得水流对管壁作用力的大小为 N 105.2232⨯-=-=-='v S ρF F作用力的方向则沿直角平分线指向弯管外侧．3 -13 A 、B 两船在平静的湖面上平行逆向航行,当两船擦肩相遇时,两船各自向对方平稳地传递50 kg 的重物,结果是A 船停了下来,而B 船以3.4 m·s -1的速度继续向前驶去．A 、B 两船原有质量分别为0.5×103 kg 和1.0 ×103 kg,求在传递重物前两船的速度．(忽略水对船的阻力)分析 由于两船横向传递的速度可略去不计,则对搬出重物后的船A 与从船B 搬入的重物所组成的系统Ⅰ来讲,在水平方向上无外力作用,因此,它们相互作用的过程中应满足动量守恒；同样,对搬出重物后的船B 与从船A 搬入的重物所组成的系统Ⅱ亦是这样．由此,分别列出系统Ⅰ、Ⅱ的动量守恒方程即可解出结果．解 设A 、B 两船原有的速度分别以v A 、v B 表示,传递重物后船的速度分别以v A ′ 、v B ′ 表示,被搬运重物的质量以m 表示．分别对上述系统Ⅰ、Ⅱ应用动量守恒定律,则有()A A B A A m m m m v v v '=+- (1)()''=+-B B A B B m m m m v v v (2)由题意知v A ′ ＝0, v B ′ ＝3.4 m·s -1 代入数据后,可解得()()12s m 40.0-⋅-=---'-=mm m m m m m A B B B A v v ()()()12s m 6.3-⋅=---'-=m m m m m m m m B A B B A B v v 也可以选择不同的系统,例如,把A 、B 两船(包括传递的物体在内)视为系统,同样能满足动量守恒,也可列出相对应的方程求解． 3 -17 质量为m 的质点在外力F 的作用下沿Ox 轴运动,已知t ＝0 时质点位于原点,且初始速度为零．设外力F 随距离线性地减小,且x ＝0 时,F ＝F 0 ；当x ＝L 时,F ＝0．试求质点从x ＝0 处运动到x ＝L 处的过程中力F 对质点所作功和质点在x ＝L 处的速率．分析 由题意知质点是在变力作用下运动,因此要先找到力F 与位置x 的关系,由题给条件知x LF F F 00-=．则该力作的功可用式⎰L x F 0d 计算,然后由动能定理求质点速率． 解 由分析知x LF F F 00-=, 则在x ＝0 到x ＝L 过程中作功, 2d 0000L F x x L F F W L =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰由动能定理有 0212-=v m W 得x ＝L 处的质点速率为 m L F 0=v 此处也可用牛顿定律求质点速率,即xm t m x L F F d d d d 00v v v ==- 分离变量后,两边积分也可得同样结果．3 -18 如图所示,一绳索跨过无摩擦的滑轮,系在质量为1.00 kg 的物体上,起初物体静止在无摩擦的水平平面上．若用5.00 N 的恒力作用在绳索的另一端,使物体向右作加速运动,当系在物体上的绳索从与水平面成30°角变为37°角时,力对物体所作的功为多少？ 已知滑轮与水平面之间的距离d ＝1.00 m ．分析 该题中虽施以“恒力”,但是,作用在物体上的力的方向在不断变化．需按功的矢量定义式⎰⋅=s F d W 来求解．解 取图示坐标,绳索拉力对物体所作的功为 J 69.1d d cos d 2122=+-==⋅=⎰⎰⎰x x d Fx x θF W x x x F3 -19 一物体在介质中按规律x ＝ct 3 作直线运动,c 为一常量．设介质对物体的阻力正比于速度的平方．试求物体由x 0 ＝0 运动到x ＝l 时,阻力所作的功．(已知阻力系数为k )分析 本题是一维变力作功问题,仍需按功的定义式⎰⋅=x F d W 来求解．关键在于寻找力函数F ＝F (x )．根据运动学关系,可将已知力与速度的函数关系F (v ) ＝k v 2 变换到F (t ),进一步按x ＝ct 3 的关系把F (t )转换为F (x ),这样,就可按功的定义式求解．解 由运动学方程x ＝ct 3 ,可得物体的速度 23d d ct tx ==v 按题意及上述关系,物体所受阻力的大小为3/43/242299x kc t kc k F ===v则阻力的功为⎰⋅=x F W d 3/73/23/403/20727d 9d 180cos d l kc x x kc x W l o l -=-==⋅=⎰⎰⎰x F 3 -22 一质量为m 的质点,系在细绳的一端,绳的另一端固定在平面上．此质点在粗糙水平面上作半径为r 的圆周运动．设质点的最初速率是v 0 ．当它运动一周时,其速率为v 0 /2．求：(1) 摩擦力作的功；(2) 动摩擦因数；(3) 在静止以前质点运动了多少圈？分析 质点在运动过程中速度的减缓,意味着其动能减少；而减少的这部分动能则消耗在运动中克服摩擦力作功上．由此,可依据动能定理列式解之．解 (1) 摩擦力作功为20202k0k 832121v v v m m m E E W -=-=-= (1) (2) 由于摩擦力是一恒力,且F ｆ ＝μmg ,故有mg μr πs F W 2180cos o f -== (2)由式(1)、(2)可得动摩擦因数为rgπμ16320v = (3) 由于一周中损失的动能为2083v m ,则在静止前可运行的圈数为 34k0==W E n 圈 3 -23 如图(a)所示,A 和B 两块板用一轻弹簧连接起来,它们的质量分别为m 1 和m 2 ．问在A 板上需加多大的压力,方可在力停止作用后,恰能使A 在跳起来时B 稍被提起．(设弹簧的劲度系数为k )分析 运用守恒定律求解是解决力学问题最简捷的途径之一．因为它与过程的细节无关,也常常与特定力的细节无关．“守恒”则意味着在条件满足的前提下,过程中任何时刻守恒量不变．在具体应用时,必须恰当地选取研究对象(系统),注意守恒定律成立的条件．该题可用机械能守恒定律来解决．选取两块板、弹簧和地球为系统,该系统在外界所施压力撤除后(取作状态1),直到B 板刚被提起(取作状态2),在这一过程中,系统不受外力作用,而内力中又只有保守力(重力和弹力)作功,支持力不作功,因此,满足机械能守恒的条件．只需取状态1 和状态2,运用机械能守恒定律列出方程,并结合这两状态下受力的平衡,便可将所需压力求出．解 选取如图(b)所示坐标,取原点O 处为重力势能和弹性势能零点．作各状态下物体的受力图．对A 板而言,当施以外力F 时,根据受力平衡有F 1 ＝P 1 ＋F (1)当外力撤除后,按分析中所选的系统,由机械能守恒定律可得2221212121mgy ky mgy ky +=- 式中y 1 、y 2 为M 、N 两点对原点O 的位移．因为F 1 ＝ky 1 ,F 2 ＝ky 2 及P 1 ＝m 1g ,上式可写为F 1 -F 2 ＝2P 1 (2)由式(1)、(2)可得F ＝P 1 ＋F 2 (3)当A 板跳到N 点时,B 板刚被提起,此时弹性力F′2 ＝P 2 ,且F 2 ＝F′2 ．由式(3)可得F ＝P 1 ＋P 2 ＝(m 1 ＋m 2 )g应注意,势能的零点位置是可以任意选取的．为计算方便起见,通常取弹簧原长时的弹性势能为零点,也同时为重力势能的零点．3 -25 用铁锤把钉子敲入墙面木板．设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比．若第一次敲击,能把钉子钉入木板1.00 ×10 -2 m ．第二次敲击时,保持第一次敲击钉子的速度,那么第二次能把钉子钉入多深？分析 由于两次锤击的条件相同,锤击后钉子获得的速度也相同,所具有的初动能也相同．钉子钉入木板是将钉子的动能用于克服阻力作功,由功能原理可知钉子两次所作的功相等．由于阻力与进入木板的深度成正比,按变力的功的定义得两次功的表达式,并由功相等的关系即可求解．解 因阻力与深度成正比,则有F ＝kx (k 为阻力系数)．现令x 0＝1.00 ×10 -2 m,第二次钉入的深度为Δx ,由于钉子两次所作功相等,可得⎰⎰+=x x x x x kx x kx Δ0000d dΔx ＝0.41 ×10 -2 m3 -27 如图(a)所示,天文观测台有一半径为R 的半球形屋面,有一冰块从光滑屋面的最高点由静止沿屋面滑下,若摩擦力略去不计．求此冰块离开屋面的位置以及在该位置的速度．分析 取冰块、屋面和地球为系统,由于屋面对冰块的支持力FN 始终与冰块运动的方向垂直,故支持力不作功；而重力P 又是保守内力,所以,系统的机械能守恒．但是,仅有一个机械能守恒方程不能解出速度和位置两个物理量；因此,还需设法根据冰块在脱离屋面时支持力为零这一条件,由牛顿定律列出冰块沿径向的动力学方程．求解上述两方程即可得出结果．解 由系统的机械能守恒,有θmgR m mgR cos 212+=v (1) 根据牛顿定律,冰块沿径向的动力学方程为 Rm F θmgR 2N cos v =- (2) 冰块脱离球面时,支持力F N ＝0,由式(1)、(2)可得冰块的角位置o θ2.4832arccos == 冰块此时的速率为32cos Rg θgR ==v v 的方向与重力P 方向的夹角为α＝90°-θ ＝41.8°3 -28 如图所示,把质量m ＝0.20 kg 的小球放在位置A 时,弹簧被压缩Δl ＝7.5 ×10 -2 m ．然后在弹簧弹性力的作用下,小球从位置A 由静止被释放,小球沿轨道ABCD 运动．小球与轨道间的摩擦不计．已知 BCD是半径r ＝0.15 m 的半圆弧,AB 相距为2r ．求弹簧劲度系数的最小值．分析 若取小球、弹簧和地球为系统,小球在被释放后的运动过程中,只有重力和弹力这两个保守内力作功,轨道对球的支持力不作功,因此,在运动的过程中,系统的机械能守恒．运用守恒定律解题时,关键在于选好系统的初态和终态．为获取本题所求的结果,初态选在压缩弹簧刚被释放时刻,这样,可使弹簧的劲度系数与初态相联系；而终态则取在小球刚好能通过半圆弧时的最高点C 处,因为这时小球的速率正处于一种临界状态,若大于、等于此速率时,小球定能沿轨道继续向前运动；小于此速率时,小球将脱离轨道抛出．该速率则可根据重力提供圆弧运动中所需的向心力,由牛顿定律求出．这样,再由系统的机械能守恒定律即可解出该弹簧劲度系数的最小值．解 小球要刚好通过最高点C 时,轨道对小球支持力F N ＝0,因此,有rm mg c 2v = (1) 取小球开始时所在位置A 为重力势能的零点,由系统的机械能守恒定律,有()()22213Δ21c m r mg l k v += (2) 由式(1)、(2)可得()12m N 366Δ7-⋅==l mgr k 3 -29 如图所示,质量为m 、速度为v 的钢球,射向质量为m′的靶,靶中心有一小孔,内有劲度系数为k 的弹簧,此靶最初处于静止状态,但可在水平面上作无摩擦滑动．求子弹射入靶内弹簧后,弹簧的最大压缩距离．分析 这也是一种碰撞问题．碰撞的全过程是指小球刚与弹簧接触直至弹簧被压缩到最大,小球与靶刚好到达共同速度为止,在这过程中,小球和靶组成的系统在水平方向不受外力作用,外力的冲量为零,因此,在此方向动量守恒．但是,仅靠动量守恒定律还不能求出结果来．又考虑到无外力对系统作功,系统无非保守内力作功,故系统的机械能也守恒．应用上述两个守恒定律,并考虑到球与靶具有相同速度时,弹簧被压缩量最大这一条件,即可求解．应用守恒定律求解,可免除碰撞中的许多细节问题．解 设弹簧的最大压缩量为x 0 ．小球与靶共同运动的速度为v 1 ．由动量守恒定律,有()1v v m m m '+= (1)又由机械能守恒定律,有()20212212121kx m m m +'+=v v (2) 由式(1)、(2)可得 ()v m m k m m x '+'=0 3 -30 质量为m 的弹丸A ,穿过如图所示的摆锤B 后,速率由v 减少到v /2．已知摆锤的质量为m ′,摆线长度为l ,如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动,弹丸速度v 的最小值应为多少？分析 该题可分两个过程分析．首先是弹丸穿越摆锤的过程．就弹丸与摆锤所组成的系统而言,由于穿越过程的时间很短,重力和的张力在水平方向的冲量远小于冲击力的冲量,因此,可认为系统在水平方向不受外力的冲量作用,系统在该方向上满足动量守恒．摆锤在碰撞中获得了一定的速度,因而具有一定的动能,为使摆锤能在垂直平面内作圆周运动,必须使摆锤在最高点处有确定的速率,该速率可由其本身的重力提供圆周运动所需的向心力来确定；。