《逻辑推理》用思维导图学数学(优选.)

数字推理思维导图：数字推理常见蒙法：1)根据数字变化趋势蒙2)根据数字属性蒙(奇偶属性，质数属性，合数属性)3)根据选项大小蒙，优大原则4)根据选项变化蒙，选最不可思议的选项5)蒙“1”法2013 吉林省考数字推理思维体系梳理1）代入排除法代入排除法是指将选项直接代入，验证选项是否符合条件，或者排除错误选项，从而得出正确答案。

代入排除法主要应用于多位数问题、不定方程问题、余数问题、年龄问题、复杂行程问题等。

（2）奇偶数字特性奇数±奇数=偶数，奇数±偶数=奇数。

奇偶特性主要用于不定方程以及多元方程的求解。

二元等式的奇偶特性：两数的和或差为奇数，则这两个数一奇一偶；两数的和或差为偶数，则这两个数同奇同偶。

两数的和为奇数，则其差一定也为奇数；两数的和为偶数，则其差一定也为偶数。

如：（1）x＋y=39，两数之和为奇数，则其差（x－y）也一定是奇数；（2）5x＋4y=430，由于4y一定是偶数，而430也是偶数，所以5x一定是偶数，进而可以得到x一定是偶数，且5x的尾数一定是0。

三元等式的奇偶特性：当运算数据的数量比较多时，判定思路是数奇数的个数：若奇数的个数为奇数个，则结果为奇数；若奇数的个数为偶数，则结果为偶数。

等式中含有三个量之间的加减运算时，往往还需要结合尾数判定来进一步地具体判定。

如：16x＋10y＋7z＝150（x＞y＞z，且都为非零自然数），分析可知：16x结果一定为偶数，10y结果一定为偶数，150为偶数，所以7z一定是偶数，也就是z为偶数。

z最小，所以可以假设z＝2，通过分析尾数可以得知x＝6，进而得到y＝4，即这个不定方程的解为：x＝6，y＝4，z＝2。

（3）整除数字特性（1）整除判断法一般用于数字计算类、等差数列等题型，以及解方程的过程中。

（2）当题干中出现了分数、比例、倍数、整除等明显特征，此时一定要考虑整除判断。

特殊数字整除判定：2（5）整除：观察数字的末位数字能否被2（5）整除。

绝招：3分钟搞定数学逻辑推理(不得不看)数学逻辑推理是许多人认为棘手的一门学科。

然而，通过采用一些简单的策略，我们可以在短短的3分钟内提高我们的数学逻辑推理能力。

本文将为您介绍一些有效的技巧，帮助您快速解决这类问题。

1. 了解逻辑关系在解决数学逻辑推理问题之前，我们首先需要熟悉逻辑关系的各种表达方式。

逻辑关系可以用符号表示，如“与”、“或”、“非”等。

了解这些符号的含义是解决问题的基础。

2. 利用图形和图表图形和图表是数学逻辑推理的重要工具。

当遇到问题时，我们可以尝试将问题用图形或图表的方式展示出来，这样可以帮助我们更直观地理解逻辑关系。

绘制图形或图表有助于梳理思路，从而更快地找到解决方案。

3. 分析选项在数学逻辑推理问题中，通常会给出几个选项供我们选择。

我们可以分析每个选项的逻辑关系，并利用排除法逐个排除不符合要求的选项。

这样可以将问题的复杂性降低，更迅速地找到正确答案。

4. 运用前提条件数学逻辑推理问题通常会提供一些前提条件。

我们可以根据这些前提条件进行逻辑推理。

如果我们能够充分理解和应用前提条件，就能够更快地推导出正确的结论。

5. 练题目最后，通过大量的练题目，我们可以提高数学逻辑推理的能力。

解题是研究的最佳方式，通过练我们可以熟悉不同类型的问题，逐渐掌握解题的技巧和方法。

以上就是绝招：3分钟搞定数学逻辑推理的一些简单策略。

希望通过这些方法，您能够提高自己的数学逻辑推理能力，解决问题变得更加轻松快捷。

祝您学有所成！。

逻辑推理用思维导图学数学It was last revised on January 2, 2021逻辑推理例1．一个正方体的6个面上分别标有1，2，3，4，5，6这6个数字，从3个不同角度看正方体如下图所示，问这个正方体每个数字的对面各是什么数字？练习1.下图是面上标有1、2、3、4、5、6的正方体的三种不同的摆法，问这个正方体每个数字的对面各是什么数字？例2. 甲、乙、丙分别在南京、西安、苏州工作，他们的职业分别是工人、农民和教师。

己知:①甲不在南京工作，②乙不在苏州工作，③在苏州工作的是工人④在南京工作的不是教师⑤乙不是农民。

三人各在什么地方工作各是什么职业练习2. 甲、乙、丙三人分别是跳伞、游泳和田径运动员。

又知:①乙从未上过天②跳伞运动员己得过两块金牌③丙还没得过第一名，他比田径运动员的年龄小一点。

请判断甲、乙、丙各是什么运动员?练习3.张、王、李三个人在甲、乙、丙三个工厂里，分别当车工、钳工、电工。

已知：A 、张不在甲厂; B、王不在乙厂; C、在甲厂的不是钳工; D 、在乙厂的是车工;E 、王不是电工。

这三个人分别在哪个工厂干什么工种练习4. 甲、乙、丙三人在一起谈话。

他们当中一位是校长，一位是教师，一位是学生家长。

现在只知道:①丙比家长年龄大，②甲和教师不同岁，③老师比乙年龄小。

你能确定谁是校长，谁是老师，谁是家长吗？例3. 李老师、王老师、张老师在语文、数学、思想品德、科学、音乐和图画六门课中，每人分别都教两门。

已知：（1）思想品德老师与数学老师是好朋友;（2）王老师最年轻;（3）科学老师比语文老师年纪大;（4）李老师常向科学老师和数学老师说起他的学生;（5）王老师、音乐老师和语文老师常在一起下棋。

请分析一下，三位都是各教哪两门功课？练习5. 一次羽毛球邀请赛中，来自湖北、广东、福建、北京和上海的五名运动员相遇在一起。

据了解:①李兵和两名运动员比赛过。

②上海运动员和三名运动员比赛过。

数学的逻辑与推理从一到无穷大的数学思维数学是一门基础学科，它不仅仅局限于计算与应用，更体现了丰富而深邃的逻辑与推理思维。

从一到无穷大，数学中的思维方式和推理方法贯穿了整个数学领域，展现了其独特的魅力和重要性。

一、从基础开始的数学思维数学思维的起源可以追溯至人类最早的数数、计算和分类的能力。

从最基础的数学概念出发，我们可以看到数学思维的直观与抽象结合。

比如，我们可以通过观察和数数来形成直观的数量概念，然后通过抽象和归纳总结来建立数学的基础概念，如自然数、整数、有理数等。

这种思维方式就是从一到无穷大的数学思维的起点。

基于基础概念的建立，数学思维开始从具体的问题解决中升华到一般性的推理和证明。

在数学中，证明是非常重要的一环，可以验证一个命题的真实性以及建立新的数学定理。

通过推理和证明，数学家们能够展示出数学的逻辑和严谨性。

从一到无穷大的数学思维，无一不体现了数学的逻辑与推理。

二、演绎与归纳：数学推理的两大方法在数学中，演绎与归纳是两种常用的推理方法。

演绎是从已知的前提出发，通过逻辑推理得出结论的过程。

演绎推理常采用“如果……那么……”的形式，通过逻辑推理得出新的结论。

比如，在几何学中，我们可以通过已知一些几何定理，来推导出新的结论和定理。

演绎推理在数学中扮演了非常重要的角色，它能够提供一种严密的推理框架，用于建立和验证各种数学定理。

另一方面，归纳推理则是通过观察和总结已知情况，再由特例推广到一般情况的推理方法。

它是从实例中得出普遍规律的过程。

比如，我们观察到前几个自然数的和，发现了规律1+2+3+...+n = n(n+1)/2，然后我们可以通过归纳推理证明这个和式对于所有自然数都成立。

归纳推理直接从实际事例出发，通过总结和归纳建立起普遍的数学结论。

三、数学思维与现实应用数学思维的逻辑与推理不仅仅在学术领域有重要地位，而且在现实生活中也发挥着巨大的作用。

数学是一门极富应用性的学科，几乎渗透到各个领域。

第二章推理与证明章末小结一、知识梳理1．思维导图2．知识梳理1.归纳推理和类比推理都是合情推理，归纳推理是由特殊到一般，由部分到整体的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理．二者都能由已知推测未知，都能用于猜测，得出新规律，但推理的结论其正确性有待于去证明．2．演绎推理与合情推理不同，演绎推理是由一般到特殊的推理，是数学证明中的基本推理形式，只要前提正确，推理形式正确，得到的结论就正确．3．合情推理与演绎推理既有联系，又有区别，它们相辅相成，前者为人们探索未知提出猜想提供科学的方法，后者为人们证明猜想的正确性提供科学的推理依据．4．综合法、分析法、反证法都是数学证明的基本方法．综合法常用于由已知出发进行推理较易找到思路的问题；分析法常用于条件复杂，思考方向不明确的问题，但单纯用分析法证明的情形较少，通常是“分析找思路，综合写过程”；分析法的证明过程充分体现了转化的思想，而反证法则是正难则反思想的体现．另外用反证法证题时，原命题的反面不止一种情形时，要注意分类讨论．二、重难点突破1.进行类比推理时，可以从①问题的外在结构特征，②图形的性质或维数．③处理一类问题的方法．④事物的相似性质等入手进行类比．要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．2．进行归纳推理时，要把作为归纳基础的条件变形为有规律的统一的形式，以便于作出归纳猜想．3．推理证明过程叙述要完整、严谨、逻辑关系清晰、不跳步．4．注意区分演绎推理和合情推理，当前提为真时，前者结论一定为真，后者结论可能为真！合情推理得到的结论其正确性需要进一步推证，合情推理中运用猜想时要有依据．5．用反证法证明数学命题时，必须把反设作为推理依据．书写证明过程时，一定要注意不能把“假设”误写为“设”，还要注意一些常见用语的否定形式．6．分析法的过程仅需要寻求某结论成立的充分条件即可，而不是充要条件．分析法是逆推证明，故在利用分析法证明问题时应注意逻辑性与规范性．一般地，用分析法书写解题步骤的基本格式是：要证：……，只需证……，只需证……，……，……显然成立，所以……成立．三、题型探究（一）合情推理与演绎推理运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的．在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳、类比的方法进行探索，提出猜想；最后用演绎推理的方法进行验证．例1观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个点，第n个图案中圆点的总数是S n.••••，• • •• •• • •，• • • •• •• •• • • •，…，n＝2，S2＝4；n＝3，S3＝8；n＝4，S4＝12；…，按此规律，推出S n与n的关系式为________．【知识点：归纳推理】详解：依图的构造规律可以看出：S2＝2×4－4，S3＝3×4－4，S4＝4×4－4(正方形四个顶点重复计算一次，应减去)．…猜想：S n＝4n－4(n≥2，n∈N*)．答案：S n＝4n－4(n≥2，n∈N*)例2 若数列{a n }是等比数列，且a n >0，则有数列n b =b (n ∈N *)也为等比数列，类比上述性质，相应地，数列{}n c 是等差数列，则有数列n d =________也是等差数列． 【知识点：类比推理】 详解 ：12n c c c n +++L 类比猜想可得12nn c c c d n+++=L 也成等差数列，若设等差数列{}n c 的公差为x ，则12nn c c c d n+++=L 11(1)2(1)2n n xnc x c n n -+==+-g可见{d n }是一个以c 1为首项，x 2为公差的等差数列，故猜想是正确的．答案：12nc c c n +++L ．例3 已知函数1133()5x x f x --=，1133()5x x g x -+=(1)证明f (x )是奇函数，并求f (x )的单调区间；(2)分别计算(4)5(2)(2)f f g -g 和(9)5(3)(3)f f g -g 的值，由此概括出涉及函数f (x )和g (x )的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明．【知识点：函数的奇偶性，函数的单调性，指数的运算，不等式的性质】 详解：(1)证明：函数f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又11113333()()()()55x x x x f x f x -------==-=-，∴f (x )是奇函数．任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，设x 1<x 2，1111113333112233121211331211()()()1555x x x x f x f x x x x x --⎛⎫-- ⎪-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭g ， ∵1133120x x -<，113312110x x +>g ，∴12()()0f x f x -<∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．(2)解析：计算得(4)5(2)(2)0f f g -=g ，(9)5(3)(3)0f f g -=g ． 由此概括出对所有不等于零的实数x 有2()5()()0f x f x g x -=g ． ∵221111222233333333332()5()()5055555x x x x x x x x x x f x f x g x -------+---=-=-=g g g∴该等式成立．点评：问题(1)的大前提为函数奇偶性和单调性的定义．问题(2)实际上是合情推理在高考中的体现，有一定的创新性． （二）直接证明与间接证明 1．综合法和分析法综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等．应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法综合起来使用． 例4 设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.【知识点：不等式的证明，综合法与分析法】 详解：证法一(综合法)∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4. 又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥4，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8.证法二(分析法) ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴要证1a ＋1b ＋1ab ≥8，只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋a ＋bab ≥8，即证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8，即证1a ＋1b ≥4，即证a ＋b a ＋a ＋b b ≥4，即证b a ＋a b ≥2.由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋ab ≥2成立，∴原不等式成立． 2．反证法反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑的角度看，命题：“若p 则q ”的否定是“若p 则¬q ”由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p 则¬q ”为假，从而可以导出“若p 则q ”为真，从而达到证明的目的，反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要．例5 求证：两条相交直线有且只有一个交点．【知识点：反证法，两条直线的位置关系；数学思想：分类的思想】 详解：假设结论不成立，即有两种可能：①无交点；②不只有一个交点．(1)若直线a 、b 无交点，那么a ∥b 或a 与b 异面，与已知矛盾；(2)若直线a 、b 不只有一个交点，则至少有两个交点A 和B ，这样同时经过点A 、B 就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾． 综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．点拔：结论本身是否定形式或关于唯一性的命题、存在性的命题时，常用反证法． 例6 已知0<a ≤3，函数3()f x x ax =-在区间[1，＋∞)上是增函数，设当x 0≥1，f (x 0)≥1时，有00(())f f x x =.求证：f (x 0)＝x 0.【知识点：反证法，函数的单调性；数学思想：分类的思想】 证明：假设f (x 0)≠x 0，则必有f (x 0)>x 0或f (x 0)<x 0.若f (x 0)>x 0≥1，由于f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则00(())f f x x >． 又00(())f f x x =，∴00()x f x >，与假设矛盾． 若00()1x f x >≥，则00()(())f x f f x >． 又00(())f f x x =，∴f (x 0)>x 0，也与假设矛盾．综上所述，当x 0≥1，f (x 0)≥1且00(())f f x x =时有f (x 0)＝x 0.点拔： (1)对于f (f (x 0))的性质知之甚少，直接证明有困难，因而用反证法来证明，增加了反设这一条件，为我们利用函数的单调性创造了可能． (2)反设中有两种情况，必须逐一否定． 四．课后作业（一）选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理( )A ．正确B ．推理形式不正确C ．两个“自然数”概念不一致D ．“两个整数”概念不一致 【知识点：演绎推理】解：A 三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的． 2．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是( ) A ．假设2是有理数 B ．假设3是有理数 C ．假设2或3是有理数D ．假设2＋3是有理数【知识点：反证法】解析：D假设应为“2＋3不是无理数”，即“2＋3是有理数”．3．下列推理过程属于演绎推理的为()A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验B．由1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32…得出1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点D．通项公式形如a n＝cq n(cq≠0)的数列{a n}为等比数列，则数列{－2n}为等比数列【知识点：归纳推理，类比推理，演绎推理】解析：D A是类比推理，B是归纳推理，C是类比推理，D为演绎推理．4．用反证法证明命题“已知x，y∈N*，如果xy可被7整除，那么x，y至少有一个能被7整除”时，假设的内容是()A．x，y都不能被7整除B．x，y都能被7整除C．x，y只有一个能被7整除D．只有x不能被7整除【知识点：反证法】解析：A用反证法证明命题时，先假设命题的否定成立，再进行推证．“x，y至少有一个能被7整除”的否定是“x，y都不能被7整除”．5．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如图)．试求第n个正方形数是()A．n(n－1) B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2【知识点：归纳推理】解：C观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.6. 函数f(x)在[－1,1]上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式正确的是( )A ．f (cos α)>f (sin β)B ．f (sin α)>f (sin β)C ．f (cos α)<f (cos β)D ．f (sin α)<f (sin β)【知识点： 函数的单调性，三角函数的单调性，演绎推理】解：A α，β是锐角三角形的两个内角，这就意味着α，β为锐角，另外第三个角π－(α＋β)为锐角．所以0<α<π2，0<β<π2，π2<α＋β<π，所以π2>β>π2－α>0.，所以0<cos β<cos(π2－α)＝sin α<1， 1>sin β>sin(π2－α)＝cos α>0，又因为f (x )在[－1,1]上为减函数，所以f (sin β)<f (cos α)．故选A.7．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0D ．不大于0【知识点：不等式的性质，不等式的证明，演绎推理】解：D 法一：因为a ＋b ＋c ＝0，所以a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， 所以ab ＋bc ＋ca ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.法二：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ca ＝0，否则a 、b 异号，所以ab ＋bc ＋ca ＝ab <0，排除A 、B 、C ，选项D 正确．8．已知对正数a 和b ，有下列命题：①若a ＋b ＝1，则ab ≤12；②若a ＋b ＝3，则ab ≤32；③若a ＋b ＝6，则ab ≤3.根据以上三个命题提供的规律猜想：若a ＋b ＝9，则ab ≤( )A ．2 B.92 C ．4D ．5【知识点：归纳推理】解：B 从已知的三个不等式的右边可以看出，其表现形式为12，32，62，所以，若a ＋b ＝9，则ab ≤92.9．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－3，4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1，2，3)，且法向量为m ＝(－1，－2，1)的平面的方程为( )A ．x ＋2y －z －2＝0B ．x －2y －z －2＝0C ．x ＋2y ＋z －2＝0D ．x ＋2y ＋z ＋2＝0【知识点：归纳推理】解：A 所求的平面方程为－1×(x －1)＋(－2)×(y －2)＋1×(z －3)＝0.化简得x ＋2y －z －2＝0.10．下列不等式中一定成立的是( ) A ．lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 【知识点：不等式的性质，不等式的证明，演绎推理】 解：C A 项中，因为x 2＋14≥x ，所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x ；B 项中sin x ＋1sin x ≥2只有在sin x >0时才成立；C 项中由不等式a 2＋b 2≥2ab 可知成立；D 项中因为x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1.11．已知f (x )＝sin x ＋cos x ，定义f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′(n ∈N *)，经计算，f 1(x )＝cos x －sin x ，f 2(x )＝－sin x －cos x ，f 3(x )＝－cos x ＋sin x ，…，照此规律，则f 100(x )＝( )A ．－cos x ＋sin xB ．cos x －sin xC ．sin x ＋cos xD ．－sin x －cos x【知识点：归纳推理】解：C 根据题意， f 4(x )＝[f 3(x )]′＝sin x ＋cos x ，f 5(x )＝[f 4(x )]′＝cos x －sin x ，f 6(x )＝[f 5(x )]′＝－sin x －cos x ，…，观察知f n (x )的值呈周期性变化，周期为4，所以f 100(x )＝f 96＋4(x )＝f 4(x )＝sin x ＋cos x .12．请阅读下列材料：若两个正实数a 1，a 2满足a 21＋a 22＝1，求证：a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1，因为对一切实数x ，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，即4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤ 2.根据上述证明方法，若n个正实数a1，a2，…，a n满足a21＋a22＋…＋a2n＝n时，你能得到的结论是()A．a1＋a2＋…＋a n≤2n B．a1＋a2＋…＋a n≤n2C．a1＋a2＋…＋a n≤n D．a1＋a2＋…＋a n≤n【知识点：归纳推理】解：C构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－a n)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋a n)x＋n，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0；即4(a1＋a2＋…＋a n)2－4n2≤0，所以a1＋a2＋…＋a n≤n.（二）填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．“因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC，BD互相垂直且平分．”补充以上推理的大前提是________．【知识点：演绎推理】解：菱形的对角线互相垂直且平分大前提是“菱形的对角线互相垂直且平分”．14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时：甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可以判断乙去过的城市为________．【知识点：反证法；数学思想：分类思想】解：A易知三人同去的城市为A，又甲去过城市比乙去过的城市多，且甲没去过B城，∴甲去过A城，C城，乙只去过A城．15．通过圆与球的类比，由“半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为2R2.”猜想关于球的相应命题为________．【知识点：类比推理】解：半径为R的内接六面体中以正方体的体积为最大，最大值为839R3. “圆中正方形的面积“类比为“球中正方体的体积”，可得结论．16.如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1，过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3……依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．【知识点：归纳推理】解：14 根据题意易得a 1＝2，a 2＝2，a 3＝1，∴{a n }构成以a 1＝2，q ＝22的等比数列，∴a 7＝a 1q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14. （三）解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝xx ＋2(x >0)．如下定义一列函数：f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f (f 1(x ))，f 3(x )＝f (f 2(x ))，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))，…，n ∈N *，那么由归纳推理求函数f n (x )的解析式．【知识点：归纳推理，函数的解析式】 解：依题意得，f 1(x )＝xx ＋2，f 2(x )＝x x ＋2x x ＋2＋2＝x 3x ＋4＝x（22－1）x ＋22f 3(x )＝x 3x ＋4x 3x ＋4＋2＝x 7x ＋8＝x（23－1）x ＋23，…，由此归纳可得f n (x )＝x（2n －1）x ＋2n(x >0)．18．(本小题满分12分)已知A ＋B ＝π3，且A ，B ≠k π＋π2(k ∈Z )．求证：(1＋3tan A )(1＋3tan B )＝4.【知识点：演绎推理，诱导公式，两角和的正切】证明：由A ＋B ＝π3得tan(A ＋B )＝tan π3，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝3，所以tan A ＋tan B ＝3－3tan A tan B.所以(1＋3tan A )(1＋3tan B )＝1＋3(tan A ＋tan B )＋3tan A tan B ＝1＋3(3－3tanA tanB )＋3tan A tan B ＝4.故原等式成立．19．(本小题满分12分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立．(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．【知识点：类比推理，反证法，直线与平面平行的性质】解：(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交． 结论是正确的，证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a ，则必有γ∩β＝b ，若γ与β不相交，则必有γ∥β.又α∥β，所以α∥γ，与γ∩α＝a 矛盾，所以必有γ∩β＝b .(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．20．(本小题满分12分)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS n n 2＋c，n ∈N *，其中c 为实数．若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)．【知识点：演绎推理，等差数列的前n 项和，等比 中项】证明：由题意得，S n ＝na ＋n （n －1）2d . 由c ＝0，得b n ＝S n n ＝a ＋n －12d .又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ， 化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a .因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝1x ＋2，a ，b 为正实数．(1)用分析法证明：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23； (2)设a ＋b >4，求证：af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.【知识点：不等式的证明，分析法，反证法】证明：(1)欲证f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23，即证b a ＋2b ＋a b ＋2a ≤23，只要证a 2＋b 2＋4ab 2a 2＋2b 2＋5ab ≤23. 因为a ，b 为正实数，只要证3(a 2＋b 2＋4ab )≤2(2a 2＋2b 2＋5ab )，即a 2＋b 2≥2ab ， 因为a 2＋b 2≥2ab 显然成立，故原不等式成立．(2)假设af (b )＝a b ＋2≤12，bf (a )＝b a ＋2≤12， 由于a ，b 为正实数，所以2＋b ≥2a ，2＋a ≥2b ，两式相加得：4＋a ＋b ≥2a ＋2b ，即a ＋b ≤4，与条件a ＋b >4矛盾，故af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.22．(本小题满分12分)如图①，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起图②中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1-BCDE .(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1-BCDE 的体积为362，求a 的值．【知识点：演绎推理，线面垂直的判定，面面垂直的性质，锥体的体积】(1)证明：在图①中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点， ∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC ，即在图②中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ，从而BE ⊥平面A 1O C.又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1O C.(2)解：由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ， 又由(1)知，A 1O ⊥BE ， 所以A 1O ⊥平面BCDE ， 则A 1O 是四棱锥A 1-BCDE 的高．由图①知，A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2.从而四棱锥A 1-BCDE 的体积V ＝13×S ·A 1O ＝13a 2·22a ＝26a 3. 由26a 3＝362，得a ＝6.。

数学思维逻辑推理与问题解决数学思维是指人们对于数学问题的思考方式和思维能力，它是一种能够帮助人们解决问题的重要思维方式。

数学思维注重逻辑推理和问题解决能力的培养，通过运用数学的知识和方法来分析和解决各种问题。

一、数学思维的特点数学思维具有以下几个特点：1. 逻辑思维：数学思维强调逻辑推理，要求严谨的思维过程。

在解决数学问题的过程中，人们需要通过合理的推理和演绎，由已知条件推导出未知结论。

2. 抽象思维：数学思维善于从具体情境中抽象出普遍规律。

例如，在解决几何问题时，人们可以通过将具体图形转化为符号和代数表达式，从而分析和解决问题。

3. 归纳思维：数学思维强调通过观察和分析已有的事实、现象，总结出普遍规律和定理。

归纳思维是数学思维中的重要环节，可以帮助人们在面对新问题时进行合理的猜测和推断。

二、数学思维对问题解决的作用数学思维在问题解决中发挥着重要作用：1. 有效分析问题：数学思维能够帮助人们对问题进行全面、深入的分析。

通过运用数学的知识和方法，可以将问题拆解、归类，从而更好地理解问题的本质和背后的规律。

2. 构建逻辑推理链条：数学思维要求逻辑严谨，能够帮助人们构建问题解决的逻辑推理链条。

通过推理和演绎，人们可以由已知条件逐步推导出问题的解决办法，确保解决过程的正确性。

3. 发现创新解决方法：数学思维强调抽象和归纳思维，能够激发人们的创造力。

通过不断总结和归纳已有的解决方法，人们可以发现新的解题思路和方法，提供更加高效和创新的解决方案。

三、数学思维与实际问题解决数学思维不仅在数学领域中有着广泛应用，还在各个领域中都能发挥重要作用，帮助人们解决实际问题。

1. 在物理学中，数学思维能够帮助人们分析和解决各种物理问题，例如运动学问题、力学问题等。

通过建立数学模型和运用数学公式，可以预测和描述物理现象的发生和变化。

2. 在经济学中，数学思维可以应用于经济模型的建立和分析。

通过建立各种数学模型，人们可以对经济现象进行量化和分析，为经济政策的制定提供科学依据。

数学学习的思维导如何通过思维导整理和理解数学知识数学学习从古至今一直是学生们最头疼的问题之一。

数学问题不仅需要我们掌握一定的计算方法和技巧，更需要我们具备一种合理的思维导师，以便能够整理和理解数学知识。

本文将从几个方面来阐述数学学习的思维导如何通过思维导整理和理解数学知识。

一、培养逻辑思维能力数学学习离不开严密的逻辑思维。

在解决数学问题时，要有条不紊地进行推理和推导。

可以通过逻辑思维导图的方式来整理和理解数学知识。

逻辑思维导图可以帮助我们将数学内容进行脉络清晰的整理，并能够直观地看出各个知识点之间的关联。

通过构建逻辑思维导图，我们可以更好地理解和记忆数学知识，提高解题能力。

二、注重数学思维的培养数学思维是数学学习的核心。

培养数学思维的关键在于学会发现问题、提出问题、解决问题的能力。

可以通过数学课堂上的思维导图来培养数学思维。

思维导图可以帮助我们整合各种信息，发现问题的本质，从而运用相应的数学方法解决问题。

通过思维导图的方式，我们可以将数学知识进行分类整理，形成思维的体系，进而更好地理解和掌握数学知识。

三、强化问题解决的思维导师在数学学习过程中，遇到问题是难免的。

如何有效地解决问题是数学学习过程中的关键。

思维导图可以帮助我们分析和解决数学问题。

当我们遇到一个数学问题时，可以先将问题进行思维导图的形式进行记录和整理。

通过思维导图，我们可以将问题的条件、要求等进行分类展示，找出问题的关键点，从而更好地进行解决。

思维导图可以帮助我们将问题分解为多个小问题，通过分析和求解小问题，最终解决整个数学问题。

四、掌握数学学习的方法和技巧数学学习既要有方法，又要有技巧。

学会运用合适的方法和技巧可以提高学习的效率和质量。

思维导图可以帮助我们总结和归纳数学学习的方法和技巧。

比如，我们可以通过思维导图的方式将数学学习中常见的解题技巧进行整理，形成一个思维导图，以备日后复习和应用。

在数学学习过程中，我们还可以通过思维导图将各个知识点的联系和差异进行整理，形成一个知识网络，以便能够更好地记忆和应用。

逻辑推理例1．一个正方体的6个面上分别标有1，2，3，4，5，6这6个数字，从3个不同角度看正方体如下图所示，问这个正方体每个数字的对面各是什么数字？练习1.下图是面上标有1、2、3、4、5、6的正方体的三种不同的摆法，问这个正方体每个数字的对面各是什么数字？例2. 甲、乙、丙分别在南京、西安、苏州工作，他们的职业分别是工人、农民和教师。

己知:①甲不在南京工作，②乙不在苏州工作，③在苏州工作的是工人④在南京工作的不是教师⑤乙不是农民。

三人各在什么地方工作？各是什么职业？练习2. 甲、乙、丙三人分别是跳伞、游泳和田径运动员。

又知:①乙从未上过天②跳伞运动员己得过两块金牌③丙还没得过第一名，他比田径运动员的年龄小一点。

请判断甲、乙、丙各是什么运动员?练习3.张、王、李三个人在甲、乙、丙三个工厂里，分别当车工、钳工、电工。

已知：A 、张不在甲厂; B、王不在乙厂; C、在甲厂的不是钳工; D 、在乙厂的是车工;E 、王不是电工。

这三个人分别在哪个工厂？干什么工种？练习4. 甲、乙、丙三人在一起谈话。

他们当中一位是校长，一位是教师，一位是学生家长。

现在只知道:①丙比家长年龄大，②甲和教师不同岁，③老师比乙年龄小。

你能确定谁是校长，谁是老师，谁是家长吗？例3. 李老师、王老师、张老师在语文、数学、思想品德、科学、音乐和图画六门课中，每人分别都教两门。

已知：（1）思想品德老师与数学老师是好朋友; （2）王老师最年轻;（3）科学老师比语文老师年纪大;（4）李老师常向科学老师和数学老师说起他的学生;（5）王老师、音乐老师和语文老师常在一起下棋。

请分析一下，三位都是各教哪两门功课？练习5. 一次羽毛球邀请赛中，来自湖北、广东、福建、北京和上海的五名运动员相遇在一起。

据了解:①李兵和两名运动员比赛过。

②上海运动员和三名运动员比赛过。

③陈强没有和广东运动员比赛过④福建运动员和李明比赛过。

⑤广东、福建、北京三名运动员相互比赛过。