《线性代数期末复习》吕 代数ch4习题课新共30页文档

线性代数期末复习题及参考答案复习题之判断题(√)1. 若行列式的每一行元素之和全为零，则行列式的值等于零. ( )2. 设A ，B 为n 阶矩阵，则22))((B A B A B A −=−+. (√)3. 方阵A 可逆的充要条件是A E ~.( )4. 若n 阶矩阵A 相似于对角矩阵，则A 必有n 个互不相同的特征值. (√)5. 二次型222123123(,,)4f x x x x x x =++是正定二次型. (√ )6. 若B A 、为n 阶方阵，则AB BA =. ( )7. 设A 为任意n 阶矩阵，则A —A T 为对称阵. ( )8. 若n 阶矩阵A 能对角化, 则A 必有n 个不同的特征值. (√)9. 实对称矩阵A 对应不同特征值的特征向量必正交. (√)10. 设AB=0，若A 为列满秩矩阵，则B=0.( )11. 对于任何矩阵Amxn ，不能经过有限次初等列变换把它变为列阶梯形矩阵和列最简形矩阵.( )12. 奇排列变成标准排列的对换次数为偶数.( )13. 在秩是r 的矩阵中，存在等于0的r-1阶子式，但是不存在等于0的r+1阶子式.复习题之填空题1．设向量()1,0,3,Tαλ=−，()4,2,0,1Tβ=−−，若α与β正交，则λ= - 4 ． 2. 当A 为任意的n 阶矩阵时，下列矩阵A A T +;T A A −;T AA ;A A T 中, 对称矩阵是T T T A A AA A A +，，，反对称矩阵是T A A −. 3. 设00B A C⎛⎫=⎪⎝⎭，B ，C 均为可逆矩阵，则1A −=1100C B−−⎛⎫⎪⎝⎭.4．设A 是n 阶矩阵（2n ≥），且A 的行列式det 2A =, 则它的伴随矩阵*A 的行列式*det A =12n −5．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−=466353331A 的所有特征值之和等于0.6. 设,A B 为n 阶对称矩阵，则AB 是对称矩阵的充分必要条件AB=BA.7．设向量11,,0,132Tα⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，()3,2,1,1T β=−−，则α与β的内积为 1 ．8．设方阵A 满足2240A A E −+=，且A E +可逆，则1()A E −+＝37A E−−. 9. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，若0A =，则*A =0.10．设向量()1,2,0,1T α=−，()3,1,1,2Tβ=−−，则α与β的内积为 -1 ． 11．设方阵A 满足220A A E −−=，且A 可逆，则1A −＝2A E−.12．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−=269643932A 的所有特征值之和等于0 ．13.2103111113423122−−−−的代数余子式之和31323334-2A A A A ++= -33 ___ .14. 设n 阶矩阵A 满足0322=+−E A A ，则()12−−E A=3A −15. 若4阶方阵A 的行列式A =3, *A 是A 的伴随矩阵，则*A = 27 ___ . 16 向量α=()1,1,1,5T−−−与()4,2,1,Tβλ=−−正交，则λ=-1.17. 二次型2221231231223(,,)4324f x x x x x x x x x x =−+−+−对应的对称矩阵是110142023A −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−−⎝⎭_________________．18.3023111110560122−−−−−的代数余子式之和31323334A A A A +++= 0 .19. 设n 阶矩阵A 满足02A 2=−−E A ，则1)3(A −−E =2A E +−.20. 设A 是4阶方阵，4A =−，则*A =-64.21. 向量(2,2,3),(3,3,)T T t αβ=−=−−与正交，则t = 0 .22. 二次型22123131223(,,)224f x x x x x x x x x =++−对应的对称矩阵是110102022A ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭．复习题之计算题1a ．设3111131111311113A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 122212221B ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭．（1）计算矩阵A 的行列式．（2）求矩阵B 的逆． 1a.(1)解：=D 31111311113111136111631161316113=11111311611311113=11110200600200002==48.(2).解：()122100************A E ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭122100036210063201⎛⎫⎪→−−− ⎪ ⎪−−−⎝⎭122100036210009221⎛⎫ ⎪→−−− ⎪ ⎪−⎝⎭12211021012033221001999⎛⎫ ⎪⎪→− ⎪⎪ ⎪−⎝⎭122100999212010999221001999⎛⎫⎪ ⎪→− ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭ 从而有112212129221A −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭。

基本概念下方是正文1. 余子式ij M 和代数余子式ij A ，(1)i j ij ij A M +=-，(1)i j ij ij M A +=-。

2. 对称矩阵：T A A =。

3. 伴随矩阵111*1n n nn A A A A A ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，组成元素ij A ，书写格式：行元素的代数余子式写在列。

4. 逆矩阵AB BA E ==，称A 可逆。

若A 可逆，则11AA A A E --==.5. 分块对角阵12A O A O A ⎛⎫=⎪⎝⎭，12A A A =⋅，11112A O A O A ---⎛⎫= ⎪⎝⎭。

6. 初等行（列）变换：① 对换两行或两列；② 某行或某列乘以非零常数k ；③ 某行（列）的k 倍加到另一行（列）。

7. 等价矩阵：① 初等变换得来的矩阵；② 存在可逆矩阵,P Q ，使得PAQ B =。

8. 初等矩阵：初等变换经过一次初等变换得来的矩阵，① (,)E i j ；② (())E i k ；③(,())E j i k 。

9. 矩阵的秩：最高阶非零子式的阶数。

1()0,0k k r A k D D +=⇔∃≠∀=。

10. 线性表示：存在12,,,n k k k 使得1122n n k k k βααα=+++，等价于非齐次方程组Ax β=有解12,,,n k k k 。

11. 线性相关：存在不全为0的数12,,,n k k k ，使得11220n n k k k ααα+++=，等价于齐次方程组0Ax =有非零解。

12. 线性无关：11220n n k k k ααα+++=成立120n k k k ⇒====，等价于齐次方程组0Ax =仅有零解。

13. 极大无关组：12,,,n ααα中r 个向量12,,,r βββ满足：① 线性无关；②12,,,n ααα中任意向量可由其表示或12,,,n ααα中任意1r +个向量线性相关，则称12,,,rβββ为12,,,n ααα的极大无关组。

第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ）.（A) 24315 （B) 14325 （C ） 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是（ ）. (A ）k (B ）k n - （C)k n -2! （D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项。

(A) 0 （B ）2-n （C ） )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ）。

(A ） 0 (B)1- (C) 1 （D) 25. =0001100000100100( ）.(A) 0 (B)1- (C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ）.(A) 0 （B ）1- (C) 1 （D) 27。

若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ）. (A ） 4 (B) 4- (C) 2 （D ） 2-8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ）。

（A)ka (B)ka - (C ）a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-， 则=x （ )。

（A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A ）1- (B ）2- (C ）3- （D ）011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ）。

线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。

（转置行列式TD D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。

推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。

③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。

推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。

④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。

克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。

化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵n （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注：把分出来的小块矩阵看成是元素N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆倍乘阵 倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩 若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。

《线性代数》复习题一一、单项选择题⒈已知11122122b b b b =2，则11122111221222b b b b b b -- =( )A.0B.1C.2D.4⒉行列式1 02 1中元素12a 的代数余子式为（）A.0B.1C.2D.-2⒊已知A=a b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭ d ,则*A =（ ） A.⎛⎫⎪⎝⎭d -b -c a B.⎛⎫⎪⎝⎭d c b a C.⎛⎫⎪⎝⎭a cb d D.⎛⎫⎪⎝⎭-a c b -d ⒋E 为三阶单位矩阵，E=(,,εεε123)则下列错误的是（ ）A. ,,εεε123为3R 中的一组基。

B. ,,εεε123两两正交。

C. ,,εεε123线性无关。

D.j T i εε =1 （i j ≠）⒌若β可被1s αα线性表示，则下列各式一定成立的有（ ）A.11,s βαα线性无关。

B. 11,s βαα线性相关。

C. 1s αα线性相关。

D.β一定是零向量。

⒍有m 个方程组成的n 元齐次线性方程组AX=0仅有零解，则（ ） A.()()r A r A ≠。

B.()r A n =。

C.det 0A ≠。

D.()0r A =。

⒎若向量(1,1,1)(2,5,)k αβ=-=-、,若0=βαT ，则k=( ) A.3B.2C.-3D.-7⒏若B A ~，则下列各式不完全正确的是 ( )A.det det A B =B.det det T A B =C.1det det A B -=D.det det T A B =⒐若n 阶矩阵A 合同于B ，则（ ） A. 存在n 阶可逆矩阵p 使得T p Ap B =。

B. B A ~ C. detA=detBD. A 与B 有相同的特征值⒑二次型222221121...),...,,(n n n x d x d x d x x x f +++=为正定二次型的充分必要条件是（ ）A.0(1,2)i d i n <=B.二次型矩阵A 可逆C.detA=0D. 0(1)i d i n >=二.填空题⒈已知p 为n 阶初等矩阵，A 为n 阶可逆矩阵，则r(PA)=_________。

第一章 行列式复习要点：1. 会计算逆序数，余子式，代数余子式2. 熟练掌握行列式的性质，并能利用性质计算行列式3. 掌握克莱姆法则练习题：1. 排列1 6 5 3 4 2的逆序数是（ B ）.A. 8 B ．9 C ．7 D ． 6 0+0+1+2+2+4=92122.431235-的代数余子式12A 是（ C ）.A 2143-- B2143- C 4125--D4125-3. 排列32514的逆序数是（ C ）.0+1+0+3+1=5A. 3B. 4C. 5D. 64.关于行列式，下列命题错误的是（ B ）.A. 行列式第一行乘以2，同时第二列除以2，行列式的值不变 B ．互换行列式的第一行和第三行，行列式的值不变 C ．互换行列式的任意两列，行列式仅仅改变符号 D ． 行列式可以按任意一行展开5. 关于行列式，下列命题正确的是（ A ）.A. 任何一个行列式都与它的转置行列式相等B ．互换行列式的任意两行所得到的行列式一定与原行列式相等C ．如果行列式有一行的所有元素都是1，则这个行列式等于零D ． 以上命题都不对6. 关于行列式，下列正确的是（ C ）.A. 如果行列式有一行的所有元素都是1，则这个行列式等于零.B. 互换行列式的任意两行所得到的行列式一定与原行列式相等.C. 行列式中有两行对应成比例，则此行列式为零.D. 行列式与它的转置行列式互为相反数. 7. 下列命题错误的是（ B ）.A. 如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组有唯一解 B ．如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组无解 C ．如果齐次线性方程组的系数行列式等于零，则该方程组有非零解 D ．如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组只有零解8212431235-的余子式32M =|22−41|，代数余子式32A =−|22−41|.9. 已知k 341k 000k 1-=，则k =_1或3_________.10. 若52k 74356=，则k =_7_________.11. 计算行列式|12345006|=1×4×6=2412. 计算行列式|1111123413610141020||1111123413610141020|=|11110123013601410|=|111101230013014|=|11110123001301|=1 13.计算行列式53-120172520-23100-4-14002350D =解：255312231231023172=2(1)=10414=10072=-10(-2)0414662356623520(4212)1080D +-----⨯------⨯--=⨯--=-13. 计算行列式1234248737124088D =()()()()()()()24417564461754416517544010422457344212410004457334422121228804217378424321212123141413=⨯--⨯-⨯=--⨯-⨯-=---⨯-----⨯⨯-=----=++c c c c c c c c D15.计算行列式x y y xx x y y yx x y+++x y y xxx y y yx x y+++ =|2x +2yy x 2x +2yx +y y 2x +2y x x +y |=|2(x +y)yx 0x y −x 0x −y y|=2(x +y )|xy −x x −y y|=2(x +y )[xy +(x −y )2] =2(x 3+y 3) 或者：x yy x x x y y yxx y+++=1213222222x y y x c c x y x y y c c x yxx y+++++++11(22)1(22)010y x y x x y x yy x y xy x xx yx yy=++=+-+- 2233(22)2()()2()x y x x y x y x xy y x y x yy-=+=+-+=+-第二章 矩阵复习要点：1. 掌握矩阵的线性运算，矩阵乘法运算律，转置矩阵的运算律，2. 掌握矩阵的初等变换3. 掌握方阵行列式的性质，转置矩阵的性质，逆矩阵的性质4. 会求逆矩阵.了解待定系数法和伴随矩阵法，掌握用初等变换求解逆矩阵相关问题.能够证明矩阵的可逆性.5. 会用初等行变换求矩阵的秩6. 会求解矩阵方程练习题：1. 设A ，B 均为n 阶可逆阵，则下列公式成立的是( B ). A T T T B A AB =)( B T T T B A B A +=+)( C 111)(---=B A AB D 111)(---+=+B A B A2. A,B 均为n 阶方阵，若要22(A B)(A B)A B +-=-不成立，需满足（ D ）.A. A=E B ．B=O C ．A=B D ． AB ≠BA 3. 若方阵2A A,=A 不是单位方阵，则（ A ）.A. A 0= B ． A 0≠ C ．A O = D ．A O ≠解析 因为2A A,=，所以A A =2，所以01==A A 或.若.0可逆，则A A ≠在A A =2两边同时乘1-A ,A A A A ⋅=⋅--121,从而E A =，与A 不是单位方阵矛盾，所以.0不可逆，所以A A ≠所以0=A .4.若矩阵111A 121231⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪λ+⎝⎭的秩为2，则λ=（ C ）. A. 0 B ． 2 C ．1 D ． -1.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110010111λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→100010111λ01=-∴λ5.矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=32015431A 的秩是（ 2 ） 6. 110201211344⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭ 的秩是（ 2 ） 7. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321212113A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111012111B 求AB 和BA解 （1） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111012111321212113AB ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++---++++---++++---++=301321341202212222103113123=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---248016216⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=321212113111012111BA ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-+-+-+--+-+-+=321211123022012026321211123⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2220140048. 设矩阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1021A 求32A A ，. 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=104110002201102110212A⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=1061100042011021104123A A A9. 设矩阵521320A ,B 341201--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，求T T T(1)AB ;(2)B A;(3)A A.解 AB T=(5−2134−1)(−3−22001)=(−15−4+0−10+0+1−9+8+0−6+0−1)=(−19−9−1−7) B TA =(−3−22001)(5−2134−1)=(−15−66−8−3+210+0−4+02+00+30+40−1)=(−21−2−110−4234−1) A T A =(53−241−1)(5−2134−1)=(25+9−10+125−3−10+124+16−2−45−3−2−41+1)=(3422220−62−62)10.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=210111121A ，求逆矩阵()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100210010111001121E A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−-10021001103000112112r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−↔01103010021000112132r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−−→−-⨯01103010021000112112）（r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−−→−+311600100210001121233r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−-⨯216161100100210001121613）（r⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−-+2161611000313101021616502131322r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−−→−-21616110003131010216561001212r r ()1-=A E .所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-216161031312165611A11. 223110121⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭.，求逆矩阵.解 ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=10121010011001322E A −−→−↔21r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100121001322010011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−+-11011002134001001113122 r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−→−↔02134011011001001132 r r−−→−-234r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----461100110110010011 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−−→−-⨯+461100351010010011)1(332 r r r −−→−+21r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----461100351010341001 ()1-=A E , 所以 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-4613513411A12. 求矩阵X , 使B AX =, 其中.341352,343122321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A解 若A 可逆，则.1B A X -=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343431312252321)(B A 131232r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1226209152052321 2321r r r r -+ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------311009152041201323152r r r r -－⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----311006402023001 )1()2(32-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛311003*********－－，即得 .313223⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=X13. 求解矩阵方程,X A AX += 其中.010312022⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A解 把所给方程变形为,)(A X E A =-则.)(1A E A X --=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-010110312302022021)(A EA 32122r r r r ↔-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----332340010110022021 )1(4323-÷+r r r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--31-210001011002202132r r + ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---312100302010022021212r r - ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---312100302010622-001，即得.312302622⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=X.B AX X ,B ,A . 132231 113122214 14=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=使求设解 若A 可逆，则.1B A X -= ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231113122214B A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−→−↔13312211321412221r r⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------−−→−-40732225204301221312232r r r -r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------−−→−↔+73430402520222302323r rr r 1⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−−→−+-÷1341002045102223022332r r r ）（2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----−−→−÷13410020451011430121r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−−→−+-134100315010210001323153r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−-⨯4121031501021000143）（r即得.X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=412315210()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231113122214B A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----−−→−-13222211312210131r r⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−-59662-2-2103201-01131232r r r -r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−−→−↔4121005921022-1-0132322-r r rr⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−→−-⨯++41210315010210001)1(2r 33231r r r r即得.X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=41231521014. 已知n 阶方阵A 满足矩阵方程2A 3A 2E O --=,其中A 给定，E 为n 阶单位矩阵，证明A可逆，并求1A -.证明：3(3)2()2A E A A E E A E --==由得， 所以132A EA --=16. 设A 、B 为n 阶矩阵，2A B AB E --=，2A A =，其中E 为n 阶单位矩阵.证明：A B -为2132(3)23200A A E O A A E E A A E E A A ---=⇒-=⇒-=≠⇒≠所以存在。