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研究生《生物统计学》课程第五讲方差分析主要内容：一、单因素方差分析二、两因素方差分析三、多因素方差分析一、单因素方差分析[Analyze]=>[Compare Means]=>[ One-Way ANOV A]（1）建立数据文件，在Variable Vew中定义变量“饲料”、“增重”，“饲料”小数位数为0，用1、2、3、4分别代表甲、乙、丙、丁4种饲料。
输入数据。
（2）方差分析：[Analyze]=>[Compare Means]=>[ One-Way ANOVA]，打开[One-Way ANOVA]主对话框。
选定“增重”使之进入[Dependent List]（样本观测值）框，选定“饲料”使之进入[Factor]（因素）框（3）单击[Options]进入“选项”对话框，选择[Descriptive]要求输出描述统计量，[Homogeneity of Variance tese]（方差齐性检验），[Continue]返回；（4）单击[Post Hoc]打开[One-Way ANOV A: Post Hoc Multiple Comparisions]（单因素方差分析：验后多重比较）对话框，可选择确定多重比较方法，如LSD法、Duncan 法，[Continue]返回；（5）单击[OK]，运行单因素方差分析。
结果显示：方差分析表：（P＝0.005<0.01 不同饲料对鱼增重的作用差异极显著）多重比较：LSD法（解释：甲与其他三种饲料都具有显著差异，乙、丙、丁间差异不显著）Duncan法（解释：用Duncan法划分的相似性子集，在显著性水平为0.05的情况下，第一组包括丙乙丁，组内相似的概率为0.123；第二组包括甲，说明甲的均值与其他三个具有显著性差异）2、练习：某灯泡厂用四种配料方案制成的灯丝生产了四批灯泡，在每批灯泡中作随机抽样，测量其使用寿命（单位：小时），数据如下：问不同灯丝制成的灯泡的使用寿命是否有显著差异，存在差异则做多重比较。
第五章 方差分析一、教学大纲要求（一）掌握内容 1．方差分析基本思想（1） 多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。
（2） 多组均数比较的检验假设与F 值的意义。
（3） 方差分析的应用条件。
2．常见实验设计资料的方差分析（1）完全随机设计的单因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。
（2）随机区组设计资料的两因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。
（3）多个样本均数间的多重比较方法： LSD-t 检验法；Dunnett-t 检验法；SNK-q 检验法。
（二）熟悉内容多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。
（三）了解内容两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。
二、教学内容精要(一) 方差分析的基本思想 1． 基本思想方差分析（analysis of variance ，ANOV A ）的基本思想就是根据资料的设计类型，即变异的不同来源将全部观察值总的离均差平方和（sum of squares of deviations from mean ，SS ）和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）加以解释，如各组均数的变异SS 组间可由处理因素的作用加以解释。
通过各变异来源的均方与误差均方比值的大小，借助F 分布作出统计推断，判断各因素对各组均数有无影响。
2．分析三种变异（1）组间变异：各处理组均数之间不尽相同，这种变异叫做组间变异（variation among groups ），组间变异反映了处理因素的作用（处理确有作用时 ），也包括了随机误差（ 包括个体差异及测定误差 ）, 其大小可用组间均方（MS 组间）表示，即 MS 组间= 组间组间ν/SS ， 其中，SS 组间=21)(x xn ki ii -∑= ，组间ν=k -1为组间自由度。
第五章方差分析序号:5-004题型:名词解释题章节:方差分析题目:方差分析的任务答案:①求参数μ、μj 、α1、α2……αm的估计值（参数估计）②分析观测值的偏差③检验各水平效应α1、α2……αm（等价μ1、μ2……μm）有无显著差异难度:高评分标准:每题2分，少一条扣去1分。
序号:5-002题型: 判断题章节:方差分析题目:方差分析是一种比较总体方差差异的统计方法。
（）答案:错误难度:中评分标准:1分序号:5-003题型:综合题章节:方差分析题目:设有三个车间以不同的工艺生产同一种产品，为考察不同工艺对产品产量的影响，现对每个车间各纪录5天的日产量，如表所示，问三个车间的日产量是否有显著差异？（取α=0.05）。
将最终的计算结果填入下表：F ＞)12,2(05.0F 存在显著差异。
解：（1）计算各水平均值和总平均值，46546484745441=++++=X ，同理46,5232==X X ，483465246=++=X （2’分）（2）计算总离差平方和S T ，组内平方和S E ，组间平方和S A 。
S T =（44－48）2+（46－48）2+……（45－48）2＝172（1’分）S A =Σ120)4846(5)4852(5)4846(5)(2222j =-+-⨯+-=-X X （1’分） S E =S T －S A =172－120=52（1’分）（3）计算方差MS A =6013120=- MS E =33.431552=-（1’分） （4）作F 检验85.1333.460===E A MS MSF （1’分） 89.3)21,2(),1(05.02==--F m n m F （1’分）难度:中评分标准: 每题8分序号:5-004 题型:综合题 章节:方差分析题目: 有重复双因素方差分析，A 因素有3个水平，B 因素有3个水平，在A i 、B j 所有可能组合条件下，重复观测2次。
第6章方差分析一、单项选择题1．一张方差分析表中的P－value＝0.4544，给定的显著性水平α＝0.05，则（）。
A．认为因子作用不显著B．接受因子各种水平下有差异的假设C．认为因子存在显著影响D．拒绝因子各种水平下有差异的假设【答案】A【解析】方差分析中α>p，则不能拒绝原假设（因子各种水平下没有差异的假设），值认为因子没有显著影响。
2．以下的方差分析假设中哪一个是正确的？（）A．H0：μ1＝μ2＝…＝μk，H1：μ1，μ2，…，μk全不等B．H0：μ1＝μ2＝…＝μk，H1：μ1，μ2，…，μk不全等C．H0：μ1，μ2，…，μk不全等，H1：μ1＝μ2＝…＝μkD．H0：μ1，μ2，…，μk全不等，H1：μ1＝μ2＝…＝μk【答案】B【解析】方差分析是检验多个总体的均值是否相等的一种统计方法。
因此原假设为各个总体的均值是相等的，备择假设为各个总体的均值不全相等。
3．设ij X 是在A i 水平上，第j 个样本单位的数据。
则以下各式中不正确的是（ ）。
A ．()2ij j SST X X =-∑∑B ．()2iSSA XX=-∑∑C ．()∑∑-=i ijX XSSED ．SST SSE SSA =+ 【答案】A 【解析】()()()22i ij ij i SST X XX X X XSSE SSA =-=-+-=+∑∑∑∑∑∑。
4．设在因子共有r 个水平，每个水平下抽n 个单位的样本数据。
则（ ）。
A ．SST 、SSA 和SSE 的自由度分别是：（nr －r ）、（r －1）、（nr －r ） B ．SST 、SSA 和SSE 的自由度分别是：（nr －1）、（r －r ）、（nr －1） C ．SST 、SSA 和SSE 的自由度分别是：（nr －1）、（r －1）、（nr －r ） D ．SST 、SSA 和SSE 的自由度分别是：（nr －1）、（nr －r ）、（r －1） 【答案】C5．方差分析中的F 统计量是决策的根据，一般说来（ ）。
统计学原理教案中的方差分析揭示学生如何使用方差分析来比较多个组之间的差异在统计学原理教案中，方差分析是一种重要的统计方法，用于比较多个组之间的差异。
它能够帮助学生有效地分析数据，并得出准确的结论。
本文将从方差分析的基本原理、应用步骤及实例等方面揭示学生如何运用方差分析来比较多个组之间的差异。
一、方差分析的基本原理方差分析是一种通过比较组内和组间变异来推断组间差异是否显著的统计方法。
其基本原理是基于对总差异的分解，将总方差分解为组内方差和组间方差，通过计算组间方差和组内方差的比值F值，来判断组间差异是否显著。
二、方差分析的应用步骤1. 确定研究目的：首先需要明确研究目的，确定要比较的不同组别。
2. 收集数据：根据研究目的，收集各个组别的相关数据。
3. 建立假设：根据实际情况，建立相应的假设，如原假设（组间差异不显著）和备择假设（组间差异显著）。
4. 计算方差分析：通过计算总平方和、组间平方和和组内平方和，得出F值。
5. 判断显著性：根据给定的显著性水平和自由度，查表比较计算得到的F值，判断组间差异是否显著。
6. 提出结论：根据判断结果，给出相应的结论，并解释统计结果的实际意义。
三、方差分析的实例以某校学生英语成绩为例，我们希望比较三个班级之间的平均成绩是否存在差异。
我们先收集了三个班级的英语成绩数据，按照上述步骤进行方差分析。
1. 确定研究目的：比较三个班级之间的平均成绩差异。
2. 收集数据：收集了A班、B班和C班的英语成绩数据。
3. 建立假设：假设各班级之间的平均成绩没有显著差异（原假设），备择假设为各班级之间的平均成绩存在显著差异。
4. 计算方差分析：计算总平方和、组间平方和和组内平方和，得出F值。
5. 判断显著性：根据给定的显著性水平和自由度，查表比较计算得到的F值，判断组间差异是否显著。
6. 提出结论：根据统计结果，如果计算得到的F值大于临界值，即可推翻原假设，认为各班级之间的平均成绩存在显著差异；反之，我们无法推翻原假设，即认为各班级之间的平均成绩没有显著差异。
方差分析习题及答案方差分析习题及答案方差分析是一种统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异。
它可以帮助我们确定是否存在显著的差异，并进一步了解这些差异的来源。
在本文中，我们将介绍一些方差分析的习题，并提供相应的答案。
习题一：某研究人员想要比较三种不同的肥料对植物生长的影响。
他随机选择了30个植物，并将它们分成三组，每组10个。
每组植物分别使用不同的肥料进行施肥。
研究人员在10天后测量了每组植物的平均生长高度（单位：厘米）。
下面是测量结果：组1：12, 14, 15, 16, 17, 13, 14, 15, 16, 18组2：10, 11, 13, 12, 14, 15, 13, 12, 11, 10组3：9, 10, 8, 11, 12, 13, 10, 9, 11, 12请使用方差分析方法，判断这三种肥料是否对植物生长有显著影响。
答案：首先，我们需要计算每组的平均值和总体平均值。
组1的平均值为15.0，组2的平均值为11.1，组3的平均值为10.5。
总体平均值为12.2。
接下来，我们计算组内平方和（SS_within），组间平方和（SS_between）和总体平方和（SS_total）。
根据公式，我们有：SS_within = Σ(xi - x̄i)^2SS_between = Σ(ni * (x̄i - x̄)^2)SS_total = Σ(xi - x̄)^2其中，xi代表第i组的观测值，x̄i代表第i组的平均值，x̄代表总体平均值，ni代表第i组的样本量。
计算得到：SS_within = 23.0SS_between = 48.6SS_total = 71.6接下来，我们计算均方（mean square）：MS_within = SS_within / (n - k)MS_between = SS_between / (k - 1)其中，n代表总样本量，k代表组数。
计算得到：MS_within = 2.56MS_between = 24.3最后，我们计算F值：F = MS_between / MS_within计算得到：F = 9.49根据F分布表，自由度为2和27时，F临界值为3.35。
研究生统计学教案：应用方差分析解决实际问题引言本文档旨在提供一份研究生统计学教案，深入介绍了方差分析的基本概念、原理和应用。
方差分析是一种常用的统计方法，可以用于比较多个组或处理之间的均值差异，并判断这些差异是否具有统计学意义。
我们将重点讨论如何应用方差分析解决实际问题，并提供示例来帮助读者更好地理解。
目录1.方差分析的基本原理2.单因素方差分析1.模型假设2.方差分析表及其解释3.F检验与显著性水平3.多因素方差分析1.主效应和交互作用效应2.双因素方差分析表及其解释4.方差分析的前提条件及检验方法5.方差分析在实际问题中的应用案例1. 方差分析的基本原理方差分析是一种统计方法，旨在评估不同组或处理之间的均值是否存在显著差异。
其基本原理是通过计算观测值与组内和组间均值之间的差异程度来评估这些差异是否具有统计学意义。
2. 单因素方差分析2.1 模型假设在单因素方差分析中，我们假设只有一个主要因素会对观测值产生影响，而其他影响因素可以忽略不计。
通过将总体均值、组内均值及组间均值进行比较，我们可以确定各组之间的显著性差异。
2.2 方差分析表及其解释方差分析表是用于展示统计结果的重要工具，在表中我们可以找到各种统计量、自由度和p-value（显著性水平）。
通过解读方差分析表，我们能够得出关于各组之间存在显著性差异的结论。
2.3 F检验与显著性水平F检验是判断两个或多个样本均值是否存在显著性差异的常用方法。
通过将组间平均平方和与组内平均平方和进行比较，我们可以计算得到F统计量，并据此判断各组之间的显著性差异。
3. 多因素方差分析3.1 主效应和交互作用效应在多因素方差分析中，我们考虑了多个主要因素对观测值的影响，并且还关注不同因素之间的交互作用效应。
通过分析主效应和交互作用效应，我们能够更全面地评估各组之间的差异性。
3.2 双因素方差分析表及其解释双因素方差分析表是在考虑两个主要因素和它们之间的交互作用后得到的结果展示表格。
一、单选题1、方差分析的主要目的是（）。
A.研究类别自变量对数值因变量的影响是否显著B.比较各总体的方差是否相等C.判断各总体是否存在有限方差D.分析各样本数据之间是否有显著差异正确答案：A2、在方差分析中，一组内每个数据减去该组均值后所得结果的平方和叫做（）A.组间离差平方和B.组内离差平方和C.以上都不是D.总离差平方和正确答案：C3、在单因素方差分析中，若原假设是H0: α1=α2=⋯=αr=0，则备择假设是（）A. α1>α2>⋯>αrB. α1<α2<⋯<αrC.不全为0D. α1≠α2≠⋯≠αr正确答案：C4、下面选项中，不属于方差分析所包含的假定前提是（）。
A.等方差假定B.独立性假定C.非负性假定D.正态性假定正确答案：C5、只考虑主效应的双因素方差分析是指用于检验的两个因素（）A. 对因变量的影响是有交互作用的B.对自变量的影响是独立的C.对因变量的影响是独立的D. 对自变量的影响是有交互作用的正确答案：C6、下列不属于检验正态分布的方法是（）A.Shapiro-Wilk统计检验法B.饼图C.K-S统计检验法D. 正态概率图正确答案：B7、在单因素方差分析中，用于检验的F统计量的计算公式是（）A.[(n-r)SSA]/[(r-1)SSE]B.SSA/SSEC. SSA/SSTD.[(n-1)SSE]/[(r-1)SSA]正确答案：A8、在只考虑主效应的双因素方差分析中，因素A有r个水平，因素B有s个水平，因素A和B每个水平组合只有一个观测值，观测值共rs个，下面结论正确的是（）A.随机误差的均方差为SSE/(rs-1)B. 因素A检验统计量[SSA/(r-1)]/[SSE/(rs-r-s+1)]C. SSA+SSB=SSTD.因素A的均方差为SSA/r正确答案：B9、在考虑交互效应的双因素方差分析中，因素A有r个水平，因素B有s个水平，因素A、B每个水平组合都有m个观测值，下面结论正确的是（）A.因素A检验统计量[SSA/(r-1)]/[SSE/(rs-r-s+1)]B.SSA+SSB+SSE≤SSTC.SSAB≤SSED.随机误差的均方差为SSE/(rsm-rs+1)正确答案：B10、只考虑主效应的双因素方差分析中，因素A、B的水平数分别是3和4，因素A和B每个水平组合只有一个观测值，则随机误差的自由度等于（）A. 3B.6C.12D.11正确答案：B二、多选题1、对于方差分析法，叙述正确的有（）A.是用于多个总体的方差是否相等的检验B.是用于多个总体是否相互独立的检验C.是区分观测值变化主要受因素水平还是随机性影响的检验D.是用于多个总体的均值是否相等的检验正确答案：C、D2、应用方差分析的前提条件是（）A.各个总体相互独立B.各个总体具有相同的方差C.各个总体均值不等D.各个总体服从正态分布正确答案：A、B、D3、对于方差分析，下面哪些说法是对的？（）A.双因素方差分析一定存在交互效应B.组内均方差一定小于组间均方差C.组内均方差消除了观测值多少对误差平方和的影响D.综合比较了随机因素和系统因素的影响正确答案：C、D4、为研究教学方法和本科生年级对教学效果的影响，将教学方法分为三个水平，本科生年级分为四个水平，对这种方差分析叙述正确的是（）A.双因素方差分析B. 没有交互效应C.三因素方差分析D.未知方差齐性正确答案：A、D5、在只考虑A、B主效应的双因素方差分析中，已知SSA=13004.55，自由度为3；SSE=2872.7，自由度为12；SST=17888.95，自由度为19，则下列结论中正确的有：（）A.统计量FB的值等于2.1008B.因素B的自由度为4C.统计量FA的值等于8.6193D.SSB=2011.7正确答案：A、B、D三、判断题1、在双因素方差分析中，总离差平方和自由度等于因素A的自由度、因素B的自由度、交互作用的自由度、随机误差的自由度相加减去4。
第五章方差分析习题一、选择题1．完全随机设计资料的方差分析中，必然有（）。
A.组内组间SS SS >B.组内组间MS MS <C.组内组间总＋＝SS SS SS D.组内组间总＋MS MS MS =E.组内组间νν>2．当组数等于2时，对于同一资料，方差分析结果与t 检验结果（）。
A.完全等价且tF = B.方差分析结果更准确C.t 检验结果更准确D.完全等价且Ft =E.理论上不一致3．在随机区组设计的方差分析中，若),(05.021ννF F >处理，则统计推论是（）。
A.各处理组间的总体均数不全相等B.各处理组间的总体均数都不相等C.各处理组间的样本均数都不相等D.处理组的各样本均数间的差别均有显著性E.各处理组间的总体方差不全相等4．随机区组设计方差分析的实例中有（）。
A.处理SS 不会小于区组SSB.处理MS 不会小于区组MSC.处理F 值不会小于1D.区组F 值不会小于1E.F 值不会是负数5．完全随机设计方差分析中的组间均方是（）的统计量。
A.表示抽样误差大小B.表示某处理因素的效应作用大小C.表示某处理因素的效应和随机误差两者综合影响的结果。
D.表示n 个数据的离散程度E.表示随机因素的效应大小6．完全随机设计资料，若满足正态性和方差齐性。
要对两小样本均数的差别做比较，可选择（）。
A.完全随机设计的方差分析B.u 检验C.配对t 检验D.2χ检验E.秩和检验7．配对设计资料，若满足正态性和方差齐性。
要对两样本均数的差别做比较，可选择（）。
A.随机区组设计的方差分析B.u 检验C.成组t 检验D.2χ检验E.秩和检验8．对k 个组进行多个样本的方差齐性检验（Bartlett 法），得2,05.02νχχ>，05.0<P 按05.0=α检验，可认为（）。
A.22221,,,k σσσ 全不相等B.22221,,,k σσσ 不全相等C.k S S S ,,,21 不全相等D.k X X X ,,,21 不全相等E.k μμμ,,,21 不全相等9．变量变换中的对数变换（X x lg =或)1lg(+=X x ），适用于（）：A.使服从Poisson 分布的计数资料正态化B.使方差不齐的资料达到方差齐的要求C.使服从对数正态分布的资料正态化D.使轻度偏态的资料正态化E.使率较小（<30%）的二分类资料达到正态的要求10．变量变换中的平方根变换（X x =或5.0+=X x ），适用于（）：A.使服从Poisson 分布的计数资料或轻度偏态的资料正态化B.使服从对数正态分布的资料正态化C.使方差不齐的资料达到方差齐的要求D.使曲线直线化E.使率较大（>70%）的二分类资料达到正态的要求二、简答题1、方差分析的基本思想及应用条件2、在完全随机设计资料的方差分析与随机区组设计资料的方差分析在试验设计和变异分解上有什么不同？3、为何多个均数的比较不能直接做两两比较的t 检验？4、SNK-q 检验和Dunnett-t 检验都可用于均数的多重比较，它们有何不同？三、计算题1、某课题研究四种衣料内棉花吸附十硼氢量。
第五章 方差分析一、教学大纲要求（一）掌握内容 1．方差分析基本思想（1） 多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。
（2） 多组均数比较的检验假设和F 值的意义。
（3） 方差分析的使用条件。
2．常见实验设计资料的方差分析（1）完全随机设计的单因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。
（2）随机区组设计资料的两因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。
（3）多个样本均数间的多重比较方法： LSD-t 检验法；Dunnett-t 检验法；SNK-q 检验法。
（二）熟悉内容多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。
（三）了解内容两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。
二、教学内容精要(一) 方差分析的基本思想 1． 基本思想方差分析（analysis of variance ，ANOV A ）的基本思想就是根据资料的设计类型，即变异的不同来源将全部观察值总的离均差平方和（sum of squares of deviations from mean ，SS ）和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）加以解释，如各组均数的变异SS 组间可由处理因素的作用加以解释。
通过各变异来源的均方和误差均方比值的大小，借助F 分布作出统计推断，判断各因素对各组均数有无影响。
2．分析三种变异（1）组间变异：各处理组均数之间不尽相同，这种变异叫做组间变异（variation among groups ），组间变异反映了处理因素的作用（处理确有作用时 ），也包括了随机误差（ 包括个体差异及测定误差 ）, 其大小可用组间均方（MS 组间）表示，即 MS 组间= 组间组间ν/SS ， 其中，SS 组间=21)(x xn ki ii -∑= ，组间ν=k -1为组间自由度。
k 表示处理组数。
（2）组内变异：各处理组内部观察值之间不尽相同，这种变异叫做组内变异(variation within groups)，组内变异反映了随机误差的作用，其大小可用组内均方 (组内MS ) 表示， 组内组内组内ν/SS MS = ，其中∑∑==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ki n j i ij i x x SS 112)(组内, k N -=组内ν，为组内均方自由度。
（3）总变异：所有观察值之间的变异（不分组），这种变异叫做总变异(total variation)。
其大小可用全体数据的方差表示， 也称总均方(MS 总 )。
按方差的计算方法，MS 总= 总总ν/SS ，其中SS 总=211)(∑∑==-k i n j ijix x, k 为处理组数，in 为第i 组例数，总ν=N -1为总的自由度， N 表示总例数。
（二）方差分析的使用条件（1） 各样本是相互独立的随机样本，且来自正态分布总体。
（2） 各样本的总体方差相等，即方差齐性(homoscedasticity)。
（三）不同设计资料的方差分析 1．完全随机设计的单因素方差分析（1）资料类型：完全随机设计(completely random design)是将受试对象完全随机地分配到各个处理组。
设计因素中只考虑一个处理因素，目的是比较各组平均值之间的差别是否由处理因素造成。
(2) 方差分析表：见表5-1。
F ≥F α时，拒绝H 0: 12k μμμ===。
表5-1 完全随机设计方差分析计算表来源SSνMS F 值 组间SS 组间1-=k 组间νMS 组间=组间组间νSSF=组内组间MS MS组内 (误差) SS 组内=SS 总 － SS 组间组内ν=总ν-组内ν=N - kMS 组内=组内组内νSS总计SS 总总ν= N － 12．随机区组设计的两因素方差分析（1）资料类型：随机区组设计（randomized block design ）是将受试对象按自然属性（如实验动物的窝别、体重，病人的性别、年龄及病情等）相同或相近者组成单位组（区组），然后把每个组中的受试对象随机地分配给不同处理。
设计中有两个因素，一个是处理因素，另一个是按自然属性形成的单位组。
单位组的选择原则是“单位组间差别越大越好，单位组内差别越小越好”。
（2）方差分析表：见表5-2。
F 处理≥F α时，拒绝H 0: 12k μμμ===。
表5-2 随机区组设计方差分析计算表变异来源 SSνMS F 值处理组间SS 处理处理ν= k-1 MS 处理=处理处理νSS F 处理 =误差处理MS MS单位组间SS 单位单位ν= b -1MS 单位=单位单位νSSF 单位 =误差单位MS MS误差 SS 误差= SS 总- SS 处理- SS 单位误差ν=总ν-处理ν-单位ν=N-k-n+1MS 误差=误差误差νSS总计SS 总总ν = N -13．多个样本均数的多重比较如果方差分析结果表明各组间有显著差别，则需要进一步进行两两比较，也称均数间的多重比较（multiple comparison ）。
进行两两比较的方法主要有：（1） LSD-t 检验：称为最小显著差异t 检验。
适用于k 组中某一对或某几对在专业上有特殊意义的均数间差异的比较。
检验统计量为t 值，自由度为方差分析表中的误差自由度，查t 界值表。
ABd BA S X X t -=其中 )(11BAABn n dMS S +=误差 （5-1）（2）Dunnett-t 检验：它适用于k-1个试验组和一个对照组均数差别的多重比较，检验统计量为t 值，自由度为方差分析表中的误差自由度，查Dunnet-t 界值表。
xx i iS x x t --=，其中0x x i S -=)11(n n MS i +误差 （5-2） （3）SNK-q 检验：在方差分析结果拒绝H 0时采用。
适用于所有组均数的两两比较。
检验统计量为q ，自由度为比较组数a 和方差分析表中的误差自由度，查q 界值表。
()A B dX X S q -=其中，11()2A B n n d MS S =+误差4．多组资料方差起行检验当各组标准差相差较大（如1.5倍）时，需检验资料是否满足方差齐性的条件。
5. 变量变换当资料不能满足方差分析的条件时，如果进行方差分析，可能造成错误的判断。
因此对于明显偏离上述使用条件的资料，可以通过变量变换的方法来加以改善。
常用的变量变换方法有：（1）对数变换 对数变换不仅可以将对数正态分布的数据正态化，还能使数据方差达到齐性，特别是各样本的标准差和均数成比例或变异系数接近于一个常数时。
变换公式为：X X lg =' (5-4)当原始数据中有小值或零时，可用)1lg(+='X X（2）平方根变换 常用于使服从Possion 分布的计数资料或轻度偏态的资料正态化；当各样本的方差和均数呈正相关时，可使资料达到方差齐性。
变换公式为：X X =' (5-5)当原始数据中有小值或零时，可用5.0+='X X（3）倒数变换 常用于数据两端波动较大的资料，可使极端值的影响减小。
变换公式为：X X /1=' (5-6)（4）平方根反正弦变换 常用于服从二项分布的率或百分比资料。
一般地，当总体率较小（<30%）或较大（>70%）时，通过平方根反正弦变换，可使资料接近正态，且达到方差齐性的要求。
变换公式为：X X 1sin-=' (5-7) （5）秩转换后，采用秩和检验比较组间差别（祥见第九章）。
6．两因素析因设计方差分析处理含有两因素两水平的全面组合。
例如治疗肿瘤术后病人，可采用4种方法：既不放疗也不化疗（a 0b 0）；放疗不化疗（a 1b 0）；不放疗化疗（a 0b 1）；既放疗又化疗（a 1b 1）。
设放疗为A 因素（两水平），化疗为B 因素（两水平），则构成2⨯2析因设计，目的是分析A 的主效应，B 的主效应及AB 的交互作用。
7．重复测量资料的方差分析受试对象随机分组后，多次测量某一观察指标，以比较处理效应在不同时间点有无变化。
如试验组和对照组的轻度高血压病人入院前、治疗后1天、2天、3天、4天的血压变化。
设处理分组为A 因素，重复测量的时间点为B 因素，目的是分析A 的主效应和AB 的交互作用。
三、典型试题分析1．完全随机设计资料的方差分析中，必然有（ ）A ．SS 组内<SS 组间B ．MS 组间<MS 组内C ．MS 总=MS 组间+MS 组内D ．SS 总=SS 组间+SS 组内 答案：D[评析] 本题考点：方差分析过程中离均差平方和的分解、离均差平方和和均方的关系。
方差分析时总变异的来源有：组间变异和组内变异，总离均差平方和等于组间离均差平方和和组内离均差平方差之和，因此，等式SS 总=SS 组间+SS 组内是成立的。
离均差平方和除以自由度之后的均方就不再有等式关系，因此C 选项不成立。
A 、B 选项不一定成立。
D 选项为正确答案。
2．单因素方差分析中，当P <0.05时，可认为（ ）。
A ．各样本均数都不相等B ．各总体均数不等或不全相等C ．各总体均数都不相等D ．各总体均数相等 答案：B[评析] 本题考点：方差分析的检验假设及统计推断。
方差分析用于多个样本均数的比较，它的备择假设（H 1）是各总体均数不等或不全相等，当P <0.05时，接受H 1，即认为总体均数不等或不全相等。
因此答案选B 。
3. 以下说法中不正确的是（ ）A ．方差除以其自由度就是均方B ．方差分析时要求各样本来自相互独立的正态总体C ．方差分析时要求各样本所在总体的方差相等D ．完全随机设计的方差分析时，组内均方就是误差均方 答案：A[评析] 本题考点：方差分析的使用条件及均方的概念。
方差就是标准差的平方，也就是均方，因此选项A 是错误的。
选项B 、C 是方差分析对资料的要求，因此选项B 和C 都是正确的。
在完全随机设计的方差分析中，组内均方就是误差均方，D 选项也是正确的。
4. 当组数等于2时，对于同一资料，方差分析结果和t 检验结果（ ） 。
A.完全等价且F = tB.方差分析结果更准确C.t 检验结果更准确D.完全等价且F t =答案：D[评析]本题考点：方差分析和t 检验的区别和联系。
对于同一资料，当处理组数为2时，t 检验和方差分析的结果一致且F t =，因此，正确答案为D 。
5. 完全随机设计和随机单位组设计相比较（ ）。
A.两种设计试验效率一样B.随机单位组设计的误差一定小于完全随机设计C.随机单位组设计的变异来源比完全随机设计分得更细D.以上说法都不对 答案：C 。
[评析]：本题考点：两种设计及其方差分析的区别。
