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2020年呼伦贝尔市普通高中第一次统考理科数学（附答案）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若{}{}0,1,2,|2,a A B x x a A ===∈，则A B =U （ ）A ．{0,1,2}B. {0,1,23}，C. {0,1,24}，D. {1,24}，2．复数（ ） A. i B. C.D.3.在△ABC 中， 则= （ ）A ． 31B ．31-C ．21-D ．214.在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有（ ） A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种5. 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF|＝3，则直线AB 的斜率为（ ）A.2±B.2-C. 2 2 D ．22± 6.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，公比1q >，352620,64,a a a a +==则5S =（ ）A.31B.36C. 42D.487.函数1)(3+=x e x x f 的图象大致是（ ）8.在天文学中，天体明暗的程度可以用星等或亮度来描述。
两颗星的星等与亮度满足=-+ii221i +1i -i -1AC AB BP PD AP DC BD μλ+===,2,μλ+其中星等为的星的亮度为.已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度比值为( )A. B. C. D. 9．把函数)6sin(y π+=x 图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为 A ．（3π，0） B ．（4π，0） C ．（12π，0） D ．（0，0）10.在棱长均相等的正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，D 为BB 1的中点，F 在AC 1上，且DF ⊥AC 1，则下述结论：① AC 1⊥BC ；②AF ＝FC 1；③平面DAC 1⊥平面ACC 1A 1; ④异面直线AC 1与CD 所成角为60°.其中正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．411．已知双曲线C ：,)0,0(12222>>=-b a by a x 以点),0(b P 为圆心a 为半径作圆，圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若∠MPN ＝90°,则双曲线C 的离心率为（ ）A.27 B. 25C. 2D. 312.已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<<--+=10,201,1)1(1)(x x x x f x f ，若方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{}),1(8+∞⋃-B ．{}),2(]1,21(16+∞⋃⋃- C ．{}),2(]1,21[8+∞⋃⋃-D ．{}),4(]2,1[32+∞⋃⋃-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．的展开式中的系数为______.14.设实数x 、y 满足约束条件，则的最小值为_______.,lg 252112E E m m =-k m )2,1(=k E k 1.10101.101.10lg 1.1010-5)2)((y x y x -+33y x ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+4210x y x y x y x z 32+=15.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O -xyz 中的坐标A ,B ,C D，则该四面体的外接球的体积为_______.16. 数列的前项和为，数列的前项和为， 满足，，且1+=n b a n n . 若任意n n T T N n -≤∈2*,λ成立，则实数的取值范围为_______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
内蒙古呼和浩特市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.把正确选项的代号填在答题卡上）1．设全集为实数集R，M={x|x∈R|x≤}，N={1，2，3，4}，则∁R M∩N=（）A．{4}B．{3，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}2．已知复数z满足（3+i）z=10i（其中i是虚数单位，满足i2=﹣1），则复数z的共轭复数是（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．1+3i D．﹣1﹣3i3．已知a，b为实数，则“a+b≤2”是“a≤1且b≤1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．设直线y=kx与椭圆相交于A、B两点，分别过A、B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于（）A．B．C．D．±25．如图，长方形的四个顶点为O（0，0），A（4，0），B（4，2），C（0，2），曲线经过点B，现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A．B．C．D．6．如图是函数f（x）=sin2x和函数g（x）的部分图象，则g（x）的图象可能是由f（x）的图象（）A．向右平移个单位得到B．向右平移个单位得到C．向右平移个单位得到D．向右平移个单位得到7．一个棱锥的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A．16 B．24 C．30 D．328．在△ABC中，BC=1，ccosA+acosC=2bcosB，△ABC的面积S=，则AC等于（）A． B．4 C．3 D．9．某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1，a2，…a N，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（）A．A＞0，V=S﹣T B．A＜0，V=S﹣T C．A＞0，V=S+T D．A＜0，V=S+T10．不等式组表示的平面区域为D，若对数函数y=log a x（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是（）A．[1，3]B．（0，1）∪（1，3] C．[3，+∞）D．（，1）∪[3，+∞）11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=c2（c=）交A、B、C、D四点，若四边形ABCD是正方形，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x12．已知函数y=f（x﹣1）的图象关于x=1对称，y=f′（x）是y=f（x）的导数，且当x∈（﹣∞，0）时，f （x）+xf′（x）＜0成立，已知a=f（log32）log32，b=（log52）log52，c=2f（2），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b本题包括必考题和选考题两部分。
2020年呼伦贝尔市高考模拟统一考试（一）理科综合能力测试可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 Na-23 Mg-24 S-32 Cu-64第Ⅰ卷一、选择题：本大题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于微生物的叙述中，正确的是A．鼠疫是由鼠疫杆菌引起的，其遗传物质一定是DNAB．肺炎双球菌合成蛋白质需要核仁的参与C．蓝藻进行光合作用的场所是叶绿体D．小球藻、酵母菌和T2噬菌体共有的结构是核糖体2．下列关于物质运输的叙述，正确的是A．促胰液素是由核糖体→内质网→高尔基体→细胞膜以囊泡形式运输到细胞外B．胚芽鞘尖端产生的生长素运输到尖端以下的方式为主动运输C．无机盐离子均是逆浓度梯度进行跨膜运输D．细胞中运输氨基酸的物质只有载体蛋白3．糖酵解是葡萄糖或糖原在组织细胞中进行类似发酵的降解反应过程，最终会形成乳酸或丙酮酸。
下列有关糖酵解的说法，不合理．．．的是A．慢跑等有氧运动可防止肌肉细胞的糖酵解产生乳酸B．通过糖酵解，有机物中的能量大部分转化为热能C．溴麝香草酚蓝水溶液不能用于糖酵解产物的检测D．糖酵解过程中会产生NADH4．下列关于内环境稳态与动物生命活动调节的叙述，正确的是A．HIV侵入人体后可刺激T细胞分泌淋巴因子并与HIV结合B．严重焦虑时肾上腺素会定向运输到靶细胞，参与细胞代谢C．糖尿病患者的血浆渗透压一般高于正常人D．产生动作电位时，神经元的细胞膜只进行Na+的运输，没有其他物质的运输5．下列关于遗传和变异的叙述,正确的是A. DNA分子上发生碱基对的增添、缺失或替换，导致基因数量的改变B. 基因型为Aa的个体连续自交3次，子代中aa个体所占的比例为7/8C. 单基因遗传病是指受一个基因控制的遗传病D. 正常情况下，父亲通过儿子将其细胞中的染色体传至孙子体细胞中，最少可能有1条，最多可能有23条6. 相对于自然生态系统，城市生态系统无论在物质上还是在能量上都是一个高度开放的生态系统。
2020年呼伦贝尔市普通高中第一次统考理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1,2A =，{}2,aB x x a A ==∈，则A B =U ( )A. {}0,1,2B. {}0,1,2,3C. {}0,1,2,4D. {}1,2,42.复数12i2i+=-（ ）． A. iB. 1i +C. i -D. 1i -3.在ABC ∆中，,2,BD DC AP PD BP AB AC λμ===+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则λμ+= （ ）A. 13-B.13C. 12-D.124.在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有( ) A. 60种B. 70种C. 75种D. 150种5.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若3AF =，则直线AB 的斜率为( )A. B.C.D. ±6.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，3520a a +=，2664a a =，则5S =（ ） A. 48B. 36C. 42D. 317.函数3()e 1=+xx f x 的图象大致是（ ） A. B.C. D.8.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10–10.19.把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ） A. (,0)3πB. (,0)4πC. (,0)12πD. (0,0)10.在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C =中，D 为1BB 的中点，F 在1AC 上，且1DF AC ⊥，则下述结论：①1AC BC ⊥；②1AF FC =；③平面1DAC ⊥平面11ACC A ：④异面直线1AC 与CD 所成角为60︒其中正确命题的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 411.已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >），以点P （,0b ）为圆心，a 为半径作圆P ，圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若90MPN ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A.B.C.D.212.已知()()11,101,012x f x f x x x ⎧--<<⎪+⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，若方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a 取值范围是( )A. {}()81,-⋃+∞B. {}()116,12,2⎛⎤-⋃⋃+∞⎥⎝⎦C. {}()18,12,2⎡⎤-⋃⋃+∞⎢⎥⎣⎦D. {}[]()321,24,-⋃⋃+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为________.14.设实数,x y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则23z x y =+的最大值为______.15.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是A，B ，(0,1,0)C，D ，则该四面体的外接球的体积为__________．16.数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足12a =，()()*3N ,n n S n m a n m R =+∈∈，且1n n a b n =+.若任意*N n ∈，2n n T T λ≤-成立，则实数λ的取值范围为__________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020年高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．若A＝{0，1，2}，B＝{x＝2a，a∈A}，则A∪B＝（）A．{0，1，2}B．{0，1，2，3}C．{0，1，2，4}D．{1，2，4}2．复数＝（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i3．在△ABC中，＝，＝2，＝，则λ+μ＝（）A．B．C．D．4．在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种5．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则直线AB的斜率为（）A．B．C．2D．6．等比数列{a n}每项都是正数，设其前n项和为S n，若满足q＞1，a3+a5＝20，a2a6＝64，则S5＝（）A．31B．36C．42D．487．函数的图象大致是（）A．B．C．D．8．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1＝lg，其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10﹣10.19．把函数y＝sin（x+）图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一个对称中心为（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（0，0）10．在棱长均相等的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为BB1的中点，F在AC1上，且DF⊥AC1，则下述结论：①AC1⊥BC；②AF＝FC1；③平面DAC1⊥平面ACC1A1；④异面直线AC1与CD所成角为60°．其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．411．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0），以点P（b，0）为圆心，a为半径作圆P，圆P与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若∠MPN＝90°，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．已知，若方程f（x）﹣2ax＝a﹣1有唯一解，则实数a的取值范围是（）A．{﹣8}∪（1，+∞）B．C．D．{﹣32}∪[1，2]∪（4，+∞）二、填空题13．（x+y）（2x﹣y）5的展开式中x3y3的系数为．（用数字填写答案）14．设实数x和y满足约束条件，则z＝2x+3y的最小值为．15．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是，，C（0，1，0），，则该四面体的外接球的体积为．16．数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n项和为T n，满足a1＝2，3S n＝（n+m）a n（n∈N*，m∈R），且a n b n＝n+1．若任意n∈N*，λ≤T2n﹣T n成立，则实数λ的取值范围为．三、解答题17．在△ABC中，角A、B、C的对应边分别为a、b、c，已知a＝2，c＝2，cos C＝﹣．（1）求A；（2）设M为BC中点，求AM的长．18．万众瞩目的第14届全国冬季运动运会（简称“十四冬”）于2020年2月16日在呼伦贝尔市盛大开幕，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校100名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如图频数分布直方图：男女合计冰雪迷20非冰雪迷20合计（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”，否则定义为“非冰雪迷”，请根据频率分布直方图补全2×2列联表；并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关；（2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座．记其中女职工的人数为ξ，求的ξ分布列与数学期望．附表及公式：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828，n＝a+b+c+d19．在如图所示的四棱锥F﹣ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC＝60°，FC⊥平面ABCD，AC⊥BF，CB＝CD＝1，（1）求证：AC⊥平面BCF；（2）已知二面角F﹣BD﹣C的余弦值为，求直线AF与平面DFB所成角的正弦值．20．已知点M（x0，y0）为椭圆C：+y2＝1上任意一点，直线l：x0x+2y0y＝2与圆（x ﹣1）2+y2＝6交于A，B两点，点F为椭圆C的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标；（Ⅱ）求证：直线l与椭圆C相切；（Ⅲ）判断∠AFB是否为定值，并说明理由．21．已知函数．（1）当a＝1时①求函数f（x）在（2，f（2））处的切线方程；②定义其中n∈N*，求S2020；（2）当a≠2时，设t（x）＝f（x）﹣ln（4x﹣x2），g（x）＝xe1﹣x（e为自然对数的底数），若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i＝1，2），使得t（x i）＝g（x0）成立，求a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分.[选修4-4：极坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若A＝{0，1，2}，B＝{x＝2a，a∈A}，则A∪B＝（）A．{0，1，2}B．{0，1，2，3}C．{0，1，2，4}D．{1，2，4}【分析】求出A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B．解：∵A＝{0，1，2}，B＝{x＝2a，a∈A}＝（1，2，4），则A∪B＝（0，1，2，4）故选：C．2．复数＝（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i【分析】将分子分线同乘2+i，整理可得答案．解：＝＝＝i，故选：A．3．在△ABC中，＝，＝2，＝，则λ+μ＝（）A．B．C．D．【分析】由平面向量的基本定理得：P为△ABC的重心，则＝＝（）＝﹣+，所以，，所以，得解．解：由在△ABC中，＝，＝2，则P为△ABC的重心，则＝＝（）＝﹣+，所以，，所以，故选：A．4．在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种【分析】根据题意，分别计算“从6名男干部中选出2名男干部”和“从5名女干部中选出1名女干部”的取法数，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，从6名男干部中选出2名男干部，有C62＝15种取法，从5名女干部中选出1名女干部，有C51＝15种取法，则有15×5＝75种不同的选法；故选：C．5．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则直线AB的斜率为（）A．B．C．2D．【分析】根据抛物线的定义，结合|AF|＝3，求出A的坐标，然后求出AF的斜率即可．解：抛物线的焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，设A（x，y），则|AF|＝x+1＝3，故x＝2，此时y＝，即A（2，）．则直线AF的斜率k＝．故选：D．6．等比数列{a n}每项都是正数，设其前n项和为S n，若满足q＞1，a3+a5＝20，a2a6＝64，则S5＝（）A．31B．36C．42D．48【分析】利用等比中项的性质求得a3a5＝a2a6，进而根据a3+a5＝20，构造出一元二次方程求得a3和a5，则a1和q可求得，最后利用等比数列的求和公式求得答案．解：a3a5＝a2a6＝64，∵a3+a5＝20，∴a3和a5为方程x2﹣20x+64＝0的两根，∵a n＞0，q＞1，∴a3＜a5，∴a5＝16，a3＝4，∴q＝＝＝2，∴a1＝＝＝1，∴S5＝＝31．故选：A．7．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，f（x）→0，排除B，由此得答案．解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．8．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1＝lg，其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10﹣10.1【分析】把已知熟记代入m2﹣m1＝lg，化简后利用对数的运算性质求解．解：设太阳的星等是m1＝﹣26.7，天狼星的星等是m2＝﹣1.45，由题意可得：，∴，则．故选：A．9．把函数y＝sin（x+）图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一个对称中心为（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（0，0）【分析】由条件利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．解：把函数y＝sin（x+）图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得函数y＝sin（x+）的图象；再将图象向右平移个单位，可得y＝sin[（x﹣）+]＝sin x的图象，令x＝kπ，求得x＝2kπ，k∈Z，那么所得图象的对称中心为（2kπ，0）k∈Z，故选：D．10．在棱长均相等的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为BB1的中点，F在AC1上，且DF⊥AC1，则下述结论：①AC1⊥BC；②AF＝FC1；③平面DAC1⊥平面ACC1A1；④异面直线AC1与CD所成角为60°．其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断F是AC1的中点推出②正的误；利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误；建立空间直角坐标系求出异面直线AC1与CD所成角判断④的正误．解：不妨设棱长为：2，对于①连结AB1，则AB1＝AC1＝2，∴∠AC1B1≠90°即AC1与B1C1不垂直，又BC∥B1C1，∴①不正确；对于②，连结AD，DC1，在△ADC1中，AD＝DC1＝，而DF⊥AC1，∴F是AC1的中点，AF＝FC1；∴②正确；对于③由②可知，在△ADC1中，DF＝，连结CF，易知CF＝，而在Rt△CBD中，CD ＝，∴DF2+CF2＝CD2，即DF⊥CF，又DF⊥AC1，∴DF⊥面ACC1A1，∴平面DAC1⊥平面ACC1A1，∴③正确；以A1为坐标原点，平面A1B1C1上过A1点垂直于A1C1的直线为x轴，A1C1所在的直线为y轴，A1A所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系；A1（0，0，0），B1（，1，0），C1（0，2，0），A（0，0，2），C（0，2，2），D （，1，1）；＝（0，2，﹣2），＝（，﹣1，﹣1）；异面直线AC1与CD所成角为θ，cosθ＝＝0，故θ＝90°．④不正确．故选：B．11．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0），以点P（b，0）为圆心，a为半径作圆P，圆P与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若∠MPN＝90°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆P与双曲线C的一条渐近线交于M，N 两点，若∠MPN＝90°，列出方程，求解离心率即可．解：不妨设双曲线C的一条渐近线bx﹣ay＝0与圆P交于M，N，因为∠MPN＝90°，所以圆心P到bx﹣ay＝0的距离为：＝a，即2c2﹣2a2＝ac，e＝＞1，解得e＝．故选：A．12．已知，若方程f（x）﹣2ax＝a﹣1有唯一解，则实数a的取值范围是（）A．{﹣8}∪（1，+∞）B．C．D．{﹣32}∪[1，2]∪（4，+∞）【分析】求出f（x）的表达式，画出函数图象，结合图象以及二次方程实根的分布，求出a的范围即可．解：令﹣1＜x＜0，则0＜x+1＜1，则f（x+1）＝，故f（x）＝，如图示：由f（x）﹣2ax＝a﹣1，得f（x）＝a（2x+1）﹣1，函数y＝a（2x+1）﹣1恒过A（﹣，﹣1），由B（1，），C（0，1），可得k AB＝＝1，k OA＝2，k AC＝＝4，若方程f（x）﹣2ax＝a﹣1有唯一解，则1＜2a≤2或2a＞4，即＜a≤1或a＞2；当2ax+a﹣1＝﹣1即图象相切时，根据△＝0，9a2﹣8a（a﹣2）＝0，解得a＝﹣16（0舍去），则a的范围是{﹣16}∪（，1]∪（2，+∞），故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（x+y）（2x﹣y）5的展开式中x3y3的系数为40．（用数字填写答案）【分析】由二项式定理及分类讨论思想得：（2x﹣y）5的展开式的通项为T r+1＝（2x）5﹣r（﹣y）r，则（x+y）（2x﹣y）5的展开式中x3y3的系数为﹣22+＝40，得解．解：由（2x﹣y）5的展开式的通项为T r+1＝（2x）5﹣r（﹣y）r，则（x+y）（2x﹣y）5的展开式中x3y3的系数为﹣22+＝40，故答案为：40．14．设实数x和y满足约束条件，则z＝2x+3y的最小值为14．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z＝2x+3y对应的直线进行平移，可得当x＝4且y＝2时，z＝2x+3y取得最小值．解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（4，2），B（4，6），C（6，4）设z＝F（x，y）＝2x+3y，将直线l：z＝2x+3y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最小值＝F（4，2）＝14故答案为：1415．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是，，C（0，1，0），，则该四面体的外接球的体积为．【分析】由题意，四面体的外接球就是长方体的外接球，其直径为长方体的对角线OD，求出半径，即可求出四面体的外接球的体积解：由题意，四面体的外接球就是长方体的外接球，其直径为长方体的对角线OD＝＝3，可得四面体的外接球的半径R＝，可得四面体的外接球的体积为V＝π•（）3＝．故答案为：．16．数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n项和为T n，满足a1＝2，3S n＝（n+m）a n（n∈N*，m∈R），且a n b n＝n+1．若任意n∈N*，λ≤T2n﹣T n成立，则实数λ的取值范围为（﹣∞，]．【分析】当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，可得到＝，再用累乘法求出a n，再求出b n，根据定义求出T n，再借助单调性求解．解：当n＝1时，3S1＝（1+m）a1＝3a1，则m＝2，3S n＝（n+2）a n，当n≥2时，3S n﹣1＝（n+1）a n﹣1，∴3a n＝（n+2）a n﹣（n+1）a n﹣1，∴＝，∴a n＝a1••…＝2×××…•＝n（n+1），∴b n＝＝，∴T2n﹣T n＝++…+≥（当且仅当n＝1时等号成立），∴λ≤，故答案为：（﹣∞，]．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．在△ABC中，角A、B、C的对应边分别为a、b、c，已知a＝2，c＝2，cos C＝﹣．（1）求A；（2）设M为BC中点，求AM的长．【分析】（1）直接根据特殊角的三角函数值求出C，结合正弦定理求出A；（2）结合第一问的结论以及余弦定理即可求解．解：（1）∵△ABC中，角A、B、C的对应边分别为a、b、c；a＝2，c＝2，cos C＝﹣，∴C＝120°；∴sin C＝，∵＝⇒sin A＝＝⇒A＝30°；（2）由（1）得：B＝30°，∴AC＝BC＝2；∴CM＝1；∴AM2＝AC2+CM2﹣2AC•CM•cos∠ACM＝22+12﹣2×2×1×cos120°＝7；∴AM＝．18．万众瞩目的第14届全国冬季运动运会（简称“十四冬”）于2020年2月16日在呼伦贝尔市盛大开幕，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校100名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如图频数分布直方图：男女合计冰雪迷20非冰雪迷20合计（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”，否则定义为“非冰雪迷”，请根据频率分布直方图补全2×2列联表；并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关；（2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座．记其中女职工的人数为ξ，求的ξ分布列与数学期望．附表及公式：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828，n＝a+b+c+d【分析】（1）根据频率分布直方图补全2×2列联表，求出k2≈2.778＞2.706，从而有90%的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关．（2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，则抽中男教工：6×＝4人，抽中女教工：6×＝2人，从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座．记其中女职工的人数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．解：（1）将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”，否则定义为“非冰雪迷”，根据频率分布直方图补全2×2列联表：男女合计冰雪迷402060非冰雪迷202040合计6040100＝≈2.778＞2.706，∴有90%的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关．（2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，则抽中男教工：6×＝4人，抽中女教工：6×＝2人，从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座．记其中女职工的人数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ012P数学期望E（ξ）＝＝．19．在如图所示的四棱锥F﹣ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC＝60°，FC⊥平面ABCD，AC⊥BF，CB＝CD＝1，（1）求证：AC⊥平面BCF；（2）已知二面角F﹣BD﹣C的余弦值为，求直线AF与平面DFB所成角的正弦值．【分析】（1）由已知可得CF⊥AC，结合AC⊥BF，由直线与平面垂直的判定可得AC ⊥平面BCF；（2）由（1）知，AC⊥CB，则CA，CB，CF两两互相垂直，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设F（0，0，a），由二面角F﹣BD﹣C的余弦值为求解a，再由空间向量求解直线AF与平面DFB所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵FC⊥平面ABCD，∴CF⊥AC，又AC⊥BF，BF∩CF＝F，∴AC⊥平面BCF；（2）解：由（1）知，AC⊥CB，则CA，CB，CF两两互相垂直，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由CB＝CD＝1，∠ABC＝60°，得C（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），D（，﹣，0），设F（0，0，a），则，，设平面BDF的一个法向量为，由，取x＝，得．平面BCD的一个法向量为．由cos＜＞＝＝，解得a＝1．∴，又，∴直线AF与平面DFB所成角的正弦值为|cos＜＞|＝＝．20．已知点M（x0，y0）为椭圆C：+y2＝1上任意一点，直线l：x0x+2y0y＝2与圆（x ﹣1）2+y2＝6交于A，B两点，点F为椭圆C的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标；（Ⅱ）求证：直线l与椭圆C相切；（Ⅲ）判断∠AFB是否为定值，并说明理由．【分析】（Ⅰ）根据椭圆的离心率公式即可求出，（Ⅱ）根据判别式即可证明．（Ⅲ）根据向量的数量积和韦达定理即可证明，需要分类讨论，解：（Ⅰ）由题意可得a＝，b＝1，则c＝＝1，∴椭圆C的离心率e＝＝，左焦点F的坐标（﹣1，0），证明：（Ⅱ）由题意可得+y02＝1，当y0＝0时，直线l的方程为x＝或x＝﹣，直线l与椭圆相切，当y0≠0时，由可得（2y02+x02）x2﹣4x0x+4﹣4y02＝0，即x2﹣2xx0+2﹣2y02＝0，∴△＝（﹣2x0）2﹣4（2﹣2y02）＝4x02+8y02﹣8＝0，故直线l与椭圆C相切．（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），当y0＝0时，x1＝x2，y1＝﹣y2，x1＝±，∴•＝（x1+1）2﹣y12＝（x1+1）2﹣6+（x1﹣1）2＝2x12﹣4＝0，∴⊥，即∠AFB＝90°当y0≠0时，由，（y02+1）x2﹣2（2y02+x0x）x+2﹣10y02＝0，则x1+x2＝，x1x2＝，∴y1y2＝x1x2﹣（x1+x2）+＝，∴•＝（x1+1，y1）•（x2+1，y2）＝x1x2+x1+x2+1+y1y2＝++＝＝0，∴⊥，即∠AFB＝90°综上所述∠AFB为定值90°．21．已知函数．（1）当a＝1时①求函数f（x）在（2，f（2））处的切线方程；②定义其中n∈N*，求S2020；（2）当a≠2时，设t（x）＝f（x）﹣ln（4x﹣x2），g（x）＝xe1﹣x（e为自然对数的底数），若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i＝1，2），使得t（x i）＝g（x0）成立，求a的取值范围．【分析】（1）①a＝1时，+x﹣1，f′（x）＝，利用导数的几何意义能求出函数f（x）在（2，f（2））处的切线方程．②由+x﹣1，得f（x）+f（4﹣x）＝2，由此能求出S2020＝f（）+f（）+…+f（）的值．（2）根据若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的x i（i＝1，2），使得t（x i）＝g（x0）成立，得到函数t（x）在区间（0，e]上不单调，从而求得a的取值范围．解：（1）①a＝1时，+x﹣1，f′（x）＝+1＝，＝0，f（2）＝ln1+2﹣1＝1，∴函数f（x）在（2，f（2））处的切线方程为y﹣1＝0，即y＝1．②∵，其中n∈N*，∴S2020＝f（）+f（）+…+f（），∵+x﹣1，∴f（x）+f（4﹣x）＝ln+x﹣1+ln+4﹣x﹣1＝2，∴S2020＝f（）+f（）+…+f（）＝2×4039+f（2）＝8078+1＝8079．（2）∵t（x）＝f（x）﹣ln（4x﹣x2）＝（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）＝xe1﹣x，g'（x）＝（1﹣x）e1﹣x，∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减，又因为g（0）＝0，g（1）＝1，g（e）＝e2﹣e＞0，∴g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．t′（x）＝2﹣a﹣＝，当x＝时，t′（x）＝0，t（x）在x＝处取得最小值t（）＝a﹣2ln，由题意知，t（x）在（0，e]上不单调，所以0＜，解得a＜，所以对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i＝1，2），使得t（x i）＝g（x0）成立，当且仅当a满足条件t（）≤0且f（e）≥1，∵t（1）＝0，∴t（）恒成立，由t（e）≥1，解得a≤，综上所述，a的取值范围是（﹣∞，）．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分.[选修4-4：极坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【分析】（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2＝1．把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入化简即可得到此圆的极坐标方程．（II）由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）＝3，射线OM：θ＝．可得普通方程：直线l，射线OM．分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．解：（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2＝1．把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入化简得：ρ＝2cosθ，即为此圆的极坐标方程．（II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）＝3，射线OM：θ＝．可得普通方程：直线l，射线OM．联立，解得，即Q．联立，解得或．∴P．∴|PQ|＝＝2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．【分析】（Ⅰ）根据f（x）+f（x+4）＝|x﹣1|+|x+3|＝，分类讨论求得不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集．（Ⅱ）要证的不等式即|ab﹣1|＞|a﹣b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2 ＞0，从而得到所证不等式成立．解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）＝|x﹣1|+|x+3|＝，当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；当﹣3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．所以，不等式f（x）+f（x+4）≤4的解集为{x|x≤﹣5，或x≥3}．（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|．因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2＝（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）＝（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，所以|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立．。
2020年呼伦贝尔市数学高考第一次模拟试卷含答案一、选择题1．定义运算()()a ab a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x =⊕的图象是（ ）． A ． B ．C ．D ．2．()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） A ．15B ．20C ．30D ．353．已知平面向量a r=（1，－3），b r=（4，－2），a b λ+rr与a r垂直，则λ是（ ） A ．2 B ．1C ．－2D ．－14．若满足sin cos cos A B C a b c==，则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．有一个内角为30°的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形5．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A |B)P 等于（ ） A ．49B ．29C ．12D ．136．数列2,5,11,20，x ，47...中的x 等于（ ） A ．28 B ．32C ．33D ．277．下列各组函数是同一函数的是（ ）①()32f x x =-与()2f x x x =-()3f x 2x y x 2x 与=-=-()f x x =与()2g x x =③()0f x x =与()01g x x=；④()221f x x x =--与()221g t t t =--． A ．① ② B ．① ③C ．③ ④D ．① ④8．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（ ）A BC ．D ．9．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。
老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A ．乙、丁可以知道自己的成绩 B ．乙可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．丁可以知道四人的成绩10．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，则下列结论错误的是（ ）A ．产品的生产能耗与产量呈正相关B ．回归直线一定过4.5,3.5（） C ．A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨 D ．t 的值是3.1511．在△ABC 中，AB=2，AC=3，1AB BC ⋅=u u u r u u u r则BC=______A BCD 12．在等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅=（ ） A ．4B ．16C ．8D ．32二、填空题13．若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --共线，则m 的值为 ． 14．i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 . 15．若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______.16．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 17．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.18．在体积为9的斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S —ABC 的体积为2，则三棱锥S —A 1B 1C 1的体积为___．19．如图，已知P 是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB 上一点，2A B B C =u u u v u u u v ，则PC PA ⋅u u u v u u u v的最小值为_______．20．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ．三、解答题21．已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+. （1）设2nn na b =，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）记()()211422nnn n n nn c a a +-++=，求数列{}n c 的前n 项和n T .22．如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD =3BAD =90°． （Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．23．在△ABC中，a=7，b=8，cos B= –17．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．24．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷，现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：(1)已知抽取的100个使用A未订餐软件的商家中，甲商家的“平均送达时间”为18分钟，现从使用A未订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研，求甲商家被抽到的概率；(2)试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数；(3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？25．某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y（单位：百万元）与月份代码x 之间的关系，求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有,A B 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对,A B 两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表： 使用寿命/材料类型 1个月 2个月 3个月 4个月 总计 A 20 35 35 10 100 B10304020100如果你是甲公司的负责人，你会选择采购哪款新型材料？ 参考数据：6196ii y==∑ 61371i i i x y ==∑参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()()1122211ˆ=n niii ii i nniii i x x y y x y nxyb x x xnx====---=--∑∑∑∑26．如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为11D C ，11C B 的中点，AC BD P =I ，11A C EF Q =I .求证：（1）D B F E ，，，四点共面；（2）若1A C 交平面DBEF 于R 点，则P Q R ，，三点共线.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】 【详解】由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值， 因此函数()1,0122,0xxx f x x >⎧=⊕=⎨≤⎩， 只有选项A 中的图象符合要求，故选A.2．C解析：C 【解析】 【分析】利用多项式乘法将式子展开,根据二项式定理展开式的通项即可求得2x 的系数. 【详解】根据二项式定理展开式通项为1C r n r rr n T a b -+=()()()66622111111x x x x x ⎛⎫++=++⋅+ ⎪⎝⎭则()61x +展开式的通项为16r rr T C x +=则()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 展开式中2x 的项为22446621C x C x x ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭ 则()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为2466151530C C +=+= 故选:C【点睛】本题考查了二项定理展开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题.3．D解析：D 【解析】【详解】试题分析：()()(),34,24,32a b λλλλλ+=-+-=+--r r ，由a b λ+r r 与a r 垂直可知()()()·0433201a b a λλλλ+=∴+---=∴=-r r r考点：向量垂直与坐标运算4．C解析：C 【解析】 【分析】由正弦定理结合条件可得tan tan 1B C ==，从而得三角形的三个内角，进而得三角形的形状. 【详解】由正弦定理可知sin sin sin A B Ca b c ==，又sin cos cos A B C a b c==， 所以cos sin ,cos sin B B C C ==，有tan tan 1B C ==.所以45B C ==o .所以180454590A =--=o o o o . 所以ABC ∆为等腰直角三角形. 故选C. 【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.5．C解析：C 【解析】 【分析】这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应的基本事件的个数，即可得出结果. 【详解】甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙、丙只能在剩下的两个景点选择，根据分步乘法计数原理可得，对应的基本事件有32212⨯⨯=种；另外，三个人去不同景点对应的基本事件有3216⨯⨯=种，所以61(/)122P A B ==，故选C. 【点睛】本题主要考查条件概率，确定相应的基本事件个数是解决本题的关键.6．B解析：B 【解析】 【分析】通过观察，得出该数列从第二项起，后一项与前一项的差分别是3的倍数，由此可求得x 的值.因为数列的前几项为2,5,11,20,,47x ， 其中5213,11523,201133-=⨯-=⨯-=⨯， 可得2043x -=⨯，解得32x =，故选B. 【点睛】本题主要考查了数列的概念及其应用，其中解答中根据题意发现数列中数字的排布规律是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．C解析：C 【解析】 【分析】定义域相同，对应关系一致的函数是同一函数，由此逐项判断即可. 【详解】①中()f x =的定义域为(),0∞-，()f x =(),0∞-，但()f x ==-与()f x =②中()f x x =与()g x =R ，但()g x x ==与()f x x =对应关系不一致，所以②不是同一函数；③中()0f x x =与()01g x x =定义域都是{}|0x x ≠，且()01f x x ==，()11g x x ==对应关系一致，所以③是同一函数；④中()221f x x x =--与()221g t t t =--定义域和对应关系都一致，所以④是同一函数.故选C 【点睛】本题主要考查同一函数的概念，只需定义域和对应关系都一致即可，属于基础题型.8．C解析：C 【解析】 【分析】两圆方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后利用其中一个圆，结合弦长公式求解. 【详解】因为圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0， 两式相减得20x y --=，即公共弦所在的直线方程. 圆C 1：x 2+y 2＝4，圆心到公共弦的距离为d =，所以公共弦长为：l ==. 故选：C本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9．A解析：A 【解析】 【分析】根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果. 【详解】因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩. 因此，乙、丁知道自己的成绩，故选：A. 【点睛】本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题.10．D解析：D 【解析】 由题意，x =34564+++=4.5， ∵ˆy=0.7x+0.35， ∴y =0.7×4.5+0.35=3.5， ∴t=4×3.5﹣2.5﹣4﹣4.5=3， 故选D ．11．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】2222149||||cos ()122BC AB BC AB BC B AB BC AC +-⋅=-⋅=-+-=-=u u u r u u u r Q|BC ∴故选：A 【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.12．B解析：B 【解析】等比数列的性质可知226416a a a ⋅==,故选B .二、填空题13．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线 解析：12【解析】试题分析：依题意有AB AC k k =，即531522m --=+，解得12m =. 考点：三点共线．14．【解析】试题分析：由复数的运算可知是纯虚数则其实部必为零即所以考点：复数的运算 解析：2-【解析】试题分析：由复数的运算可知，()()12i a i -+是纯虚数，则其实部必为零，即，所以.考点：复数的运算.15．【解析】【分析】【详解】试题分析：当时的最大值为令解得所以a 的取值范围是考点：利用导数判断函数的单调性解析：1(,)9-+∞【解析】 【分析】 【详解】试题分析：2211()2224f x x x a x a ⎛⎫=-++=--++ ⎪⎝⎭'．当23x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，时，()f x '的最大值为22239f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭'，令2209a +>，解得19a >-，所以a 的取值范围是1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．考点：利用导数判断函数的单调性．16．【解析】【分析】【详解】设AB=2作CO⊥面ABDEOH⊥AB 则CH⊥AB∠CHO 为二面角C −AB −D 的平面角CH=3√OH=CHcos∠CHO=1结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为解析：16【解析】 【分析】 【详解】设AB =2,作CO ⊥面ABDEOH ⊥AB ，则CH ⊥AB ，∠CHO 为二面角C −AB −D 的平面角， CH =3√，OH =CH cos ∠CHO =1，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，3,11(),2212AN EM CH ANAC AB EM AC AEAN EM ====+=-∴⋅=u u u ru u ur u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r 故EM ,AN 112633=⋅，17．【解析】【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积【详解】因为长方体的体积为120所以因为为的中点所以由长方体的性质知底面所以是三棱锥的底面上的高所以三棱锥的体积【点睛】本题蕴解析：【解析】 【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积. 【详解】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120， 所以1120AB BC CC ⋅⋅=， 因为E 为1CC 的中点，所以112CE CC =， 由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ， 所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高， 所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=.【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.18．【解析】【分析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得S 到下底面距离与棱柱高的关系进一步得到S 到上底面距离与棱锥高的关系则答案可求【详解】设三棱柱的底面积为高为则再设到底面的距离为则得所以则到上底面的距离为所 解析：1【解析】 【分析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得S 到下底面距离与棱柱高的关系，进一步得到S 到上底面距离与棱锥高的关系，则答案可求． 【详解】设三棱柱111ABC A B C -的底面积为'S ，高为h ， 则9'9'S h S h==，， 再设S 到底面ABC 的距离为'h ，则1''23S h =，得19'23h h⋅⋅=， 所以'23h h =， 则S 到上底面111A B C 的距离为13h ， 所以三棱锥111S A B C -的体积为111'91339S h ⋅=⋅=． 故答案为1． 【点睛】本题考查棱柱、棱锥体积的求法，考查空间想象能力、思维能力与计算能力，考查数形结合思想，三棱锥体积为1V 3S h =n 底，本题是中档题． 19．5﹣【解析】【分析】设圆心为OAB 中点为D 先求出再求PM 的最小值得解【详解】设圆心为OAB 中点为D 由题得取AC 中点M 由题得两方程平方相减得要使取最小值就是PM 最小当圆弧AB 的圆心与点PM 共线时PM 最解析：5﹣【解析】 【分析】设圆心为O,AB 中点为D,先求出2221944PC PA PM AC PM ⋅=-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，再求PM 的最小值得解. 【详解】设圆心为O,AB 中点为D,由题得22sin2,36AB AC π=⋅⋅=∴=.取AC 中点M ，由题得2PA PC PM PC PA AC ⎧+=⎨-=⎩u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v , 两方程平方相减得2221944PC PA PM AC PM ⋅=-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，要使PC PA ⋅u u u r u u u r取最小值，就是PM 最小，当圆弧AB 的圆心与点P 、M 共线时，PM 最小. 此时DM=1,22DM ∴==, 所以PM 有最小值为2， 代入求得PC PA ⋅u u u r u u u r的最小值为5﹣ 故答案为5﹣【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查平面向量的数量积及其最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．【解析】试题分析：设等比数列的公比为由得解得所以于是当或时取得最大值考点：等比数列及其应用 解析：64【解析】试题分析：设等比数列的公比为q ，由132410{5a a a a +=+=得，2121(1)10{(1)5a q a q q +=+=，解得18{12a q ==.所以2(1)1712(1)22212118()22n n n n n n nn a a a a qL L --++++-==⨯=，于是当3n =或4时，12na a a L 取得最大值6264=. 考点：等比数列及其应用三、解答题21．（1）n b n =（2）()1122n n S n +=-+（3）()()()114123312n n n n +++---+⋅ 【解析】 【分析】 【详解】（1）由1122n n n a a ++=+得11n n b b +=+，得n b n =；（2）易得2nn a n =g ，1223112222,212222,n n n n S n S n +=⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯L L错位相减得12111222222212nn n n n S n n ++--=+++-⨯=⨯-⨯-L所以其前n 项和()1122n n S n +=-+； （3）()()()()()()()()()()2221111422142121·2?12?12?12nnnnn n n n n n n n n nn n nc n n n n n n +++-++-++-++++===+++()()()()()()1111111111112?21?222?21?2nn n n nn n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫---⎛⎫ ⎪=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()()()2231212231111111*********?22?22?23?2?21?2n n n n n n T n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪=-+-++-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L ()()1112113621?2n nn n ++-⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭或写成()()()11412331?2n n n n +++---+.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 22．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ(Ⅲ．【解析】分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面ABC ，则AD ⊥BC ．（Ⅱ）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．由几何关系可知∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD所成的角．计算可得1226MNcos DMN DM ∠==．则异面直线BC 与MD 所． （Ⅲ）连接CM ．由题意可知CM ⊥平面ABD ．则∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．计算可得3 4CMsin CDMCD∠==．即直线CD与平面ABD所成角的正弦值为34．详解：（Ⅰ）证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．在Rt△DAM中，AM=1，故DM22=13AD AM+AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．在Rt△DAN中，AN=1，故DN22=13AD AN+．在等腰三角形DMN中，MN=1，可得1132cosMNDMNDM∠==．所以，异面直线BC与MD13．（Ⅲ）连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM3ABC⊥平面ABD，而CM⊂平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．在Rt△CAD中，CD22AC AD+．在Rt△CMD中，3sinCMCDMCD∠==．所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为34．点睛：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．23．(1) ∠A=π3(2) AC33【解析】分析：（1）先根据平方关系求sin B,再根据正弦定理求sin A，即得A∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin22ab C hb=，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C，解得AC边上的高．详解：解：（1）在△ABC中，∵cos B=–17，∴B∈（π2，π），∴sin B =2431cos 7B -=．由正弦定理得sin sin a b A B = ⇒ 7sin A =437，∴sin A =32．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A =311432727⎛⎫⨯-+⨯⎪⎝⎭=3314． 如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=33337⨯=，∴AC 边上的高为33．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 24．（1）12； （2）40； （3）选B 款订餐软件. 【解析】 【分析】⑴运用列举法给出所有情况，求出结果 ⑵由众数结合题意求出平均数⑶分别计算出使用A 款订餐、使用B 款订餐的平均数进行比较，从而判定 【详解】（1）使用A 款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家共有1000.006106⨯⨯=个，分别记为甲，,,,,,a b c d e从中随机抽取3个商家的情况如下：共20种.{},a b 甲，,{},a c 甲，,{},a d 甲，,{},a e 甲，,{},b c 甲，,{},b d 甲，,{},b e 甲，,{}{},,c d c e 甲，甲，,{},d e 甲，,{},,a b c ,{},,a b d ,{},,a b e ,{},,a c d ,{},,a c e ,{},,a d e ,{},,b c d ,{},,b c e ,{},,b d e ,{},,c d e .甲商家被抽到的情况如下：共10种．{},a b 甲，,{},a c 甲，,{},a d 甲，,{},a e 甲，,{},b c 甲，,{},b d 甲，,{},b e 甲，,{},c d 甲，,{},c e 甲，,{},d e 甲，记事件A 为甲商家被抽到，则()101202P A ==.（2）依题意可得，使用A 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为55，平均数为150.06250.34350.12450.04550.4650.0440⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=. （3）使用B 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为150.04250.2350.56450.14550.04650.023540⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=< 所以选B 款订餐软件． 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，平均数和众数，古典概率等基础知识，考查了数据处理能力以及运算求解能力和应用意识，属于基础题．25．(1) ˆ29yx =+ , 31百万元；(2) B 型新材料. 【解析】 【分析】(1)根据所给的数据，做出变量,x y 的平均数，求出最小二乘法所需要的数据，可得线性回归方程的系数b ,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出a 的值，写出线性回归方程；将11x =代入所求线性回归方程，求出对应的y 的值即可得结果； (2)求出A 型新材料对应产品的使用寿命的平均数与B 型新材料对应产品的使用寿命的平均数，比较其大小即可得结果. 【详解】（1）由折线图可知统计数据(),x y 共有6组，即(1,11)，(2,13)，(3,16)，(4,15)，(5,20)，(6,21)， 计算可得1234563.56x +++++==，611191666ii y ==⨯=∑ 所以()1221ˆni i i n ii x y nxybx n x ==-==-∑∑37163.516217.5-⋅⋅=，1ˆˆ62 3.59ˆay bx =-=-⨯=， 所以月度利润y 与月份代码x 之间的线性回归方程为ˆ29yx =+. 当11x =时，211931ˆy=⨯+=. 故预计甲公司2019年3月份的利润为31百万元.（2）A 型新材料对应产品的使用寿命的平均数为1 2.35x =，B 型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为2 2.7x =，12x x <Q ∴，应该采购B 型新材料. 【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算,x y 的值；③计算回归系数ˆˆ,ab ；④写出回归直线方程为ˆˆˆybx a =+； 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势. 26．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由中位线定理可知//EF BD ，故四点共面（2）PQ 是平面11AAC C 与平面DBFE 的交线，可证R 是两平面公共点，故PQ 过R ，得证. 【详解】证明：（1）EF Q 是111D B C ∆的中位线，11//EF B D ∴.在正方体1AC 中，11//B D BD ，//EF BD ∴.,EF BD ∴确定一个平面，即D B F E ，，，四点共面.（2）正方体1AC 中，设11A ACC 确定的平面为α， 又设平面BDEF 为β.11,Q AC Q α∈∴∈Q .又Q EF ∈，Q β∴∈， 则Q 是α与β的公共点，a PQ β∴⋂=.又11,AC R R AC β⋂=∴∈.R a ∴∈，且R β∈，则R PQ ∈，故P Q R ，，三点共线. 【点睛】本题主要考查了多点共面及多点共线问题，主要利用平面的基本性质解决，属于中档题.。
2020年内蒙古呼和浩特市高考数学一模试卷（理科）高考数学一模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集为R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2≥1}，则A∩（?R B）=（）A. {x|0＜x≤1}B. {x|0＜x＜1}C. {x|l≤x＜2}D. {x|0＜x＜2}2.若复数（2a+i）（1+i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a为（）A. -2B. 2C.D.3.已知正方形ABCD的边长为2，以AB中点O为圆心，1为半径画圆，从正方形ABCD中任取一点P，则点P落在该圆中的概率为（）A. B. C. D.4.函数f（x）=x cosx-x3的大致图象为( )A. B. C. D.5.在等比数列{a n}中，a2-a1=2，且2a2为3a1和a3的等差中项，则a4为（）A. 9B. 27C. 54D. 816.政府为了调查市民对A、B两服务部门的服务满意度情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分评分越高表明市民的满意度越高绘制的茎叶图如图：则下列说法正确的是A. 这50位市民对A、B两部门评分的方差，A部门的评分方差大B. 估计市民对A、B两部门的评分高于90的概率相同C. 这50位市民对A部门的评分其众数大于中位数D. 该市的市民对B部门评分中位数的估计值是677.函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin（ωx+）的图象，只需将f（x）的图象上所有点（）A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度8.《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为（）A. 7B. 4C. 5D. 119.圆柱被一个平面截去一部分后与半径为1的半球组成一个几何体．该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为（）A. 6π+4B. 5π+2C. 5π+4D. 20π+1610.设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l、m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时（）A. 乙是丙的充分而不必要条件B. 乙是丙的必要而不充分条件C. 乙是丙的充分且必要条件D. 乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件11.已知函数f（x）=2x-1+2x+3与g（x）=x-x-1的零点分别为x1，x2，h（x）=（）x且h（x3）=，则x1，x2，x3的大小关系为（）A. x1＜x2＜x3B. x1＜x3＜x2C. x2＜x3＜x1D. x3＜x1＜x212.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点分别为F2，F1，过F1且倾斜角为锐角的直线1与圆x2+y2=a2相切，与双曲线的上支交于点M．若线段MF1的垂直平分线过点F2，则该双曲线的渐近线的方程为（）A. y=B. y=C. y=D. y=二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知||=2，是单位向量，且与夹角为60°，则?（-）等于______．14.在（2x-）5的展开式中，x2的系数为______．15.设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为L，P为抛物线上一点，PA⊥L，A为垂足．如果直线AF的斜率为-，那么以PF为直径的圆的标准方程为______．16.已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．令b n=（-1）n-1，则数列{b n}的前100的项和为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，．(1)若∠BAD＝60°，求∠ADC的大小；(2)若BD＝2DC，且，求AD的长．18.如图，平面四边形ABCD，AB⊥BD，AB=BC=CD=2，BD=2，将△ABD沿BD翻折到与面BCD垂直的位置．（Ⅰ）证明：CD⊥面ABC；（Ⅱ）若E为AD中点，求二面角E-BC=A的大小．19.某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为100瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（Ⅰ）求六月份这种饮料一天的需求量X（单位：瓶）的分布列，并求出期望EX；（Ⅱ）设六月份一天销售这种饮料的利润为Y（单位：元），且六月份这种饮料一天的进货量为n（单位：瓶），请判断Y的数学期望是否在n=EX时取得最大值？20.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点P（2，1），其左右焦点分别为F1，F2，三角形PF1F2的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知A，B是椭圆C上的两个动点且不与坐标原点O共线，若∠APB的角平分线总垂直于x轴，求证：直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形．21.已知函数f（x）=x2-2x+m ln x+2，m∈R．（Ⅰ）当m＜1时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证1-≤＜1．22.在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ，不与坐标轴重合的直线1的极坐标方程为θ=θ0（ρ∈R），设1与曲线C1，C2异于极点的交点分别为A，B．（Ⅰ）当θ0=时，求|AB|；（Ⅱ）求AB中点轨迹的直角坐标方程．23.已知函数f（x）=|2x+1|+|x-3|．（1）在给出的直角坐标系中画出函数f（x）的图象；（2）若关于x的不等式f（x）≥|x-m|的解集包含[4，5]，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x|0＜x＜2}，B={x|x2≥1}={x|x≥1或x≤-1}，∴?R B={x|-1＜x＜1}，∴A∩（?R B）={x|0＜x＜1}．故选：B．根据补集、交集的定义即可求出．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.【答案】D【解析】解：∵（2a+i）（1+i）=（2a-1）+（2a+1）i在复平面内所对应的点在虚轴上，∴2a-1=0，即a=．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】B【解析】解：设“从正方形ABCD中任取一点P，则点P落在该圆中“为事件A，由几何概型中的面积型可得：P（A）===，故选：B．由几何概型中的面积型及圆、正方形的面积公式得：P（A）===，得解．本题考查了几何概型中的面积型及圆、正方形的面积公式，属中档题．4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系以及特殊值，结合排除法是解决本题的关键，属于基础题．判断函数的奇偶性和图象的对称性，利用特殊值进行排除即可．【解答】解：函数f（-x）=-x cos（-x）-（-x）3=-x cosx+x3=-f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，f（）=cos-（）3=-（）3＜0，排除B，故选：A．5.【答案】B【解析】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若2a2为3a1和a3的等差中项，则有2×2a2=3a1+a3，变形可得4a1q=3a1+a1q2，即q2-4q+3=0，解得q=1或3；又a2-a1=2，即a1（q-1）=2，则q=3，a1=1，则a n=3n-1，则有a4=33=27；故选：B．根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由2a2为3a1和a3的等差中项，可得2×2a2=3a1+a3，利用等比数列的通项公式代入化简为q2-4q+3=0，解得q，又a2-a1=2，即a1（q-1）=2，q≠1，分析可得a1、q的值，解可得数列{a n}的通项公式，将n=4代入计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大，由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为=0.1，=0.16，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1，0.16，故A，B，C错误；由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是=67，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67，故D正确；故选：D．根据茎叶图的知识以及样本来估计总体，进行合理的评价，恰当的描述即可．本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：根据函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象，可得A=1，?=-，∴ω=2．再利用五点法作图可得2?+φ=π，求得φ=，∴f（x）=sin （2x+）．为了得到g（x）=sin（ωx+）=sin（2x+）的图象，只需将f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，即可，故选：A．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x ）得解析式，再利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由程序框图可得：m=2a-3，当i的值为1时，m=2（2a-3）-3=4a-9，当i的值为2时，m=2（4a-9）-3=8a-21，当i的值为3时，m=2（8a-21）-3=16a-45，当i的值为4时，m=2（16a-45）-3=32a-93，此时不满足循环条件，输出m=32a-93=67，解得：a=5．故选：C．模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出m值时对应a的值．本题考查了模拟实验法解程序框图的应用问题，是基础题．9.【答案】C【解析】解：该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，视图表示的是几何体水平放置时的情形，其表面积S=2π×12+π×12+π×2+2×2=4+5π．故选：C．该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，利用三视图的数据求解几何体的表面积，然后推出结果．本题考查三视图求解几何体的表面积，考查空间想象能力以及计算能力．10.【答案】C【解析】解：当甲成立，即“相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“l、m中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交”成立；若“平面α与平面β相交”，则“l、m中至少有一条与平面β相交”也成立故选：C．判断乙是丙的什么条件，即看乙?丙、丙?乙是否成立．当乙成立时，直线l、m中至少有一条与平面β相交，则平面α与平面β至少有一个公共点，故相交相交．反之丙成立时，若l、m中至少有一条与平面β相交，则l∥m，由已知矛盾，故乙成立．本题考查空间两条直线、两个平面的位置关系判断、充要条件的判断，考查逻辑推理能力．11.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为两个函数图象交点问题，利用数形结合求出对应究x1，x2，x3的范围是解决本题的关键．【解答】解：由f（x）=2x-1+2x+3=0得2x-1=-2x-3，即2x=-4x-6，作出函数y=2x与y=-4x-6的图象如图，（黑色图象），由图象知两个图象交点的横坐标x1满足-2＜x1＜-1，由g（x）=x-x-1=0得x-1=x，作出y=x-1和y=x的图象如图（红色图象）由图象知两个图象交点的横坐标x2满足2＜x2＜3，作出h（x）=（）x和y=，的图象如图（蓝色图象）由图象知两个图象交点的横坐标x3满足1＜x2＜2，综上x1，x2，x3的大小关系为x1＜x3＜x2，故选B．12.【答案】B【解析】解：设MF1与圆相切于点E，因为|MF2|=|F1F2|=2c，所以△MF1F2为等腰三角形，N为MF1的中点，所以|F1E|=|MF1|，又因为在直角△F1EO中，|F1E|2=|F1O|2-a2=c2-a2，所以|F1E|=b=|MF1|①又|MF1|=|MF2|+2a=2c+2a②，c2=a2+b2③由①②③可得c2-a2=（）2，即为4（c-a）=c+a，即3c=5a，b===a，则双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故选：B．先设MF1与圆相切于点E，利用|MF2|=|F1F2|，及直线MF1与圆x2+y2=a2相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的渐近线方程．本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，注意运用平面几何的性质，考查运算能力，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：∵||=2，是单位向量，且与夹角为60°，∴?（-）=-?=4-2×1×=3，故答案为：3．依题意，利用平面向量的数量积即可求得?（-）的值．本题考查平面向量数量积的运算，掌握平面向量的数量积的运算性质及定义是解决问题的关键，属于中档题．14.【答案】80【解析】解：（2x-）5的展开式中，通项公式T r+1=（2x）5-r=（-1）r25-r，令5-r=2，解得r=2．∴x2的系数=23=80．故答案为：80．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】（x-2）2+（y-）2=4【解析】解：∵抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，∴|PF|=|PA|，F（1，0），准线l的方程为：x=-1；设F在l上的射影为F′，又PA⊥l，依题意，∠AFF′=60°，|FF′|=2，∴|AF′|=2，PA∥x轴，∴点P的纵坐标为2，设点P的横坐标为x0，（2）2=4x0，∴x0=3，∴|PF|=|PA|=x0-（-1）=3-（-1）=4．故以PF为直径的圆的圆心为（2，），半径为2．以PF为直径的圆的标准方程为（x-2）2+（y-）2=4故答案为：（x-2）2+（y-）2=4．利用抛物线的定义，|PF|=|PA|，设F在l上的射影为F′，依题意，可求得|FF′|，|AF′|，从而可求得点P的纵坐标，代入抛物线方程可求得点P的横坐标，从而可求得|PA|．本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想，考查解三角形的能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．则：，解得：a1=1，所以：a n=1+2（n-1）=2n-1，所以：b n=（-1）n-1=，所以：，==，故答案为：首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．17.【答案】解：（Ⅰ）∵∠BAD=60°，∠BAC=90°，∴∠DAC=30°，在△ADC中，由正弦定理可得：，∴sin∠ADC=sin∠DAC=，∴∠ADC=120°，或60°，又∠BAD=60°，∴∠ADC=120°；（Ⅱ）∵BD=2DC，∴BC=3DC，在△ABC中，由勾股定理可得：BC2=AB2+AC2，可得：9DC2=6+3DC2，∴DC=1，BD=2，AC=，令∠ADB=θ，由余弦定理：在△ADB中，AB2=AD2+BD2-2AD?BD?cosθ，在△ADC中，AC2=AD2+CD2-2AD?CD?cos（π-θ）,可得：，∴解得：AD2=2，可得：AD=.【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．（Ⅰ）由已知可求∠DAC=30°，在△ADC中，由正弦定理可得sin∠ADC=，即可解得∠ADC=120°．（Ⅱ）由已知在△ABC中，由勾股定理可得DC=1，BD=2，AC=，令∠ADB=θ，由余弦定理，即可解得AD的值．18.【答案】证明：（1）∵平面四边形ABCD，AB⊥BD，AB=BC=CD=2，BD=2，面ABD⊥面BCD，AB⊥BD，面ABD∩平面BCD=BD，∴AB⊥面BCD，∴AB⊥CD，又AC2=AB2+BC2=8，AD2=AB2+BD2=12，AD2=AC2+CD2=12，∴AB⊥BC，AB⊥BD，AC⊥CD，∵AC∩AB=A，∴CD⊥平面ABC．解：（2）AB⊥面BCD，如图以B为原点，在平面BCD中，过B 作BD的垂线为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（0，0，2），C（，0），D（0，2，0），∵E是AD的中点，∴E（0，，1），∴=（，0），=（0，，1），令平面BCE的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-1，），∵CD⊥面ABC，∴平面ABC的一个法向量为=（-，0），∴cos＜，＞==，∴二面角E-BC=A的大小为45°．【解析】（1）推导出AB⊥面BCD，从而AB⊥CD，再求出AB⊥BC，AB⊥BD，AC⊥CD，由此能证明CD⊥平面ABC．（2）以B为原点，在平面BCD中，过B作BD的垂线为x轴，以BD为y轴，以BA 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-BC=A的大小．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意知X的可能取值为100，300，500，P（X=100）==0.2，P（X=300）=，P（X=500）=，∴X的分布列为：X 100 300 500P 0.2 0.4 0.4E（X）=100×0.2+300×0.4+500×0.4=340．（Ⅱ）由题意知六月份这种饮料的进货量n满足100≤n≤500，当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y=5n-3n=2n，若最高气温位于[20，25），则Y=5×300+2（n-300）-3n=900-n，若最高气温低于20，则Y=5×100+2（n-100）-3n=300-n，∴E（Y）=2n×0.4+（900-n）×0.4+（300-n）×0.2=420+0.2n，此时，n=500时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元，当100≤n≤300时，若最高气温不低于25，则Y=5n-3n=2n，若最高气温位于[20，25），则Y=5n-3n=2n，若最高气温低于20，则Y=5×100-（n-100）-300=300-n，∴E（Y）=2n×（0.4+0.4）+（300-n）×0.2=60+1.4n，此时，n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为480元，∴n=340时，Y的数学期望值为：420+0.2×340=488不是最大值，n=500时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元．【解析】（Ⅰ）由题意知X的可能取值为100，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．（Ⅱ）六月份这种饮料的进货量n满足100≤n≤500，当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y=5n-3n=2n，若最高气温位于[20，25），则Y=5×300+2（n-300）-3n=900-n，若最高气温低于20，则Y=5×100+2（n-100）-3n=300-n，求出E（Y）=420+0.2n，当n=500时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元；当100≤n≤300时，若最高气温不低于25，则Y=5n-3n=2n，若最高气温位于[20，25），则Y=5n-3n=2n，若最高气温低于20，则Y=5×100-（n-100）-300=300-n，E（Y）=60+1.4n，n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为480元．由此能求出n=500时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得，解得a2=6，b2=3，故椭圆C的方程为+=1，证明（Ⅱ）：设直线AP的斜率为k，则直线BP的斜率为-k，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线PA的方程为y+1=k（x-2），即y=kx+1-2k联立，得（1+2k2）x2+4（k-2k2）x+8k2-8k-4=0．∴2x1=，即x1=设直线PB的方程为y+1=-k（x-2），同理求得x2=∴x2-x1=-∴y1-y2=k（x1+x2）+2-4k=，∴直线AB的斜率k AB==1，易知l与在两坐标轴的截距绝对值相等且都不为0，∴直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形【解析】（Ⅰ）由题意可得，解得a2=6，b2=3，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设直线PA的方程为y+1=k（x-2），联立直线方程和椭圆方程，求得A的横坐标，同理求得B的横坐标，进一步求得A、B的纵坐标的差，代入斜率公式得答案．本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．21.【答案】解：（1）∵，∴，令g（x）=x2-2x+m，∵m＜1，∴△=4-4m＞0，令f’（x）=0则，当，即m≤0时，令f’（x）＜0则；令f’（x）＞0则．此时函数在上单调递减；在上单调递增．当，即0＜m＜1时，令f’（x）＜0，则；令f’（x）＞0则，此时函数在上单调递减；在和上单调递增．（2）由（1）知，若f（x）有两个极值点，则0＜m＜1且，又x1，x2是x2-2x+m=0的两个根，则，∴，令，则，令h’（t）＜0，则，令h’（t）＞0，则，所以h（t）在上单调递减；在上单调递增．∴，∵，∴h（t）＜1，得证．【解析】（1）首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的单调性即可；（2）首先确定x1，x2的范围，然后结合题意证明题中的不等式即可．本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的极值，利用导数证明不等式的方法等知识，属于中等题．22.【答案】解：（Ⅰ）当θ0=时，联立得A（-2，）；同理得B（2，），由极径的几何意义有|AB|=2-（-2）=2+2．（Ⅱ）由已知令P（ρ，θ），A（ρ1，θ），B（ρ2，θ），∵ρ1=4cosθ，ρ2=4sinθ，P为AB的中点，∴ρ==2cosθ+2sinθ，即ρ2=2ρcosθ+2sinθ，所以P点的轨迹的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y=0，因为直线l不与坐标轴重合，所以需去掉（1，0），（0，）．【解析】（Ⅰ）用直线l的极坐标方程分别代入C1，C2的极坐标方程，再根据极径的几何意义可得；（Ⅱ）先求出AB的中点的轨迹的极坐标方程，再化成直角坐标方程．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）f（x）=，其图象为（2）关于x的不等式f（x）≥|x-m|的解集包含[4，5]，即|2x+1|+|x-3|≥|x-m|在x∈[4，5]上恒成立，∴|x-m|≤3x-2，即2-3x≤m-x≤3x-2，∴2-2x≤m≤4x-2，x∈[4，5]上恒成立，∴-6≤m≤14，故m∈[-6，14]．【解析】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，数形结合思想，是一道常规题．（1）f（x）=，画图即可，（2）关于x的不等式f（x）≥|x-m|的解集包含[4，5]，可得|x-m|≤3x-2在x∈[4，5]上恒成立，解得即可.。
迫注意事项：1. 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2. 回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3. 答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效4. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回第I卷一、单项选择题（本题共i2小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知集合A=lxE Z I O�x�3 f ,B={xl (x+l)(x-2)冬O},则AnB =A.l0,1,2/ • ·• B .!I,2/· C. 国O�x 冬2/ D.国-1冬x:::::;3f 2. 若复数z=cosa +isin a , 则当'lT <a<'lT时复数z在复平面内对应的点在2 A.第一象限 B.第二象限C .第三象限 D.第四象限3.如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类》问题的调查问卷统计图（每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个）由此可知，以下结论错误的是．． A回答该问卷的总人数不可能是100个B. 回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶＂的入数最多书兄牛贮什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类心公益广告＠学校要求＠学校团委会宣传＠垃圾分类运输环节得到改善＠设置分类明确的垃圾桶'c 回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少°争D 回答该间卷的受访者中喝；择“公益广告”的人数比选择“学校要求＂的少8个-·---4. 已知I a 1=1, I b 1=2, 向量a ,b的夹角为严＿3，则了国可）＝A.v T-1 B.1 C.2 D. V 了+l 5. 记S n 为数列(a n }的前n 项和，且S n =-2a "+l,则况的值为, '- 6.A 。
2020年内蒙古呼和浩特市高考数学一模试卷（理科）一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|0≤x≤3}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）≤0}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{x|0≤x≤2}D．{x|﹣1≤x≤3}2．（5分）若复数z＝cosα+isinα，则当时，复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类》问题的统计图（每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个），以下结论错误的是（）A．回答该问卷的总人数不可能是100个B．回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多C．回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少D．回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8个4．（5分）已知，，向量的夹角为，则＝（）A．B．1C．2D．5．（5分）记S n为数列{a n}的前n项和，且S n＝﹣2a n+1，则S6的值为（）A．B．C．D．6．（5分）如图是某空间几何体的三视图，该几何体的表面积为（）A．πB．2πC．3πD．4π7．（5分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2sin2x+1，给出下列四个结论：①函数f（x）的最小正周期是π；②函数f（x）在区间上是减函数；③函数f（x）的图象关于直线对称；④函数f（x）的图象可由函数的图象向左平移个单位得到．其中所有正确结论的编号是（）A．①②B．①③C．①②③D．①③④8．（5分）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：已知x∈[150，300]且x是整数，则满足能被3除余1且被5除余3的所有x的取值的和为（）A．2020B．2305C．4610D．4675 9．（5分）已知0＜a＜b＜1，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．alna＜blnb D．a a＞b b 10．（5分）F是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若2＝，则C的离心率是（）A．B．2C．D．11．（5分）表面积为60π的球面上有四点S，A，B，C，且△ABC 是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若平面SAB⊥平面ABC，则三棱锥S﹣ABC体积的最大值为（）A．B．18C．27D．12．（5分）已知f（x）＝．若f2（x）+（1﹣a）f（x）﹣a ＝0恰有两个实数根x1，x2，则x1+x2的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，2ln2﹣2]C．（﹣∞，2﹣2ln2]D．（﹣∞，2ln2﹣2]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的相应位置.）13．（5分）在（2x+）6的二项式中，常数项等于（结果用数值表示）．14．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），当x＜0时，f（x）＝﹣2cosx﹣sinx，则f（x）在点处的切线方程为．15．（5分）若10件产品包含2件次品，今在其中任取两件，已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的概率为．16．（5分）已知抛物线方程y2＝4x，F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与抛物线的交点，定义：．已知点，则d（P）＝；设点P（﹣1，t）（t＞0），则2d（P）﹣|PF|的值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，已知在△ABC中，D为BC上一点，AB＝2AC，．（Ⅰ）若BD＝AD，求的值；（Ⅱ）若AD为∠BAC的角平分线，且，求△ADC的面积．18．（12分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E在DC边上，且DE＝1，将△ADE沿AE折到△AD'E的位置，使得平面AD'E ⊥平面ABCE．（Ⅰ）求证：AE⊥BD'；（Ⅱ）求二面角D'﹣AB﹣E的余弦值．19．（12分）检验中心为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，对n（n∈N*）份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验n次；②混合检验，即将其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，再对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0＜p＜1）．（Ⅰ）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（Ⅱ）现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为点ξ2．当时，根据ξ1和ξ2的期望值大小，讨论当k取何值时，采用逐份检验方式好？（参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln5≈1.61，e≈2.72，e2≈7.39，e3≈20.09．）20．（12分）已知椭圆的离心率为，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上一点，△F1PF2面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A（4，0）作关于x轴对称的两条不同直线l1，l2分别交椭圆于M（x1，y1）与N（x2，y2），且x1≠x2，证明直线MN过定点，并求△AMN的面积S的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣a）ln（ax）（a＞0且a≠1）的零点是x1，x2．（Ⅰ）设曲线y＝f（x）在零点处的切线斜率分别为k1，k2，判断k1+k2的单调性；（Ⅱ）设x0是f（x）的极值点，求证：x1+x2＞2x0．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22．（10分）已知椭圆C1的普通方程为：，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：ρ＝4，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A、B、C、D逆时针依次排列，点A的极坐标为．（Ⅰ）写出曲线C1的参数方程，及点B、C、D的直角坐标；（Ⅱ）设P为椭圆C1上的任意一点，求：|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的最大值．23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+2|x+1|．（Ⅰ）当a＝1时，解关于x的不等式f（x）≤6；（Ⅱ）已知g（x）＝|x﹣1|+2，若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数a的取值范围．2020年内蒙古呼和浩特市高考数学一模试卷（理科）答案与解析一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A＝{x∈Z|0≤x≤3}＝{0，1，2，3}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}，∴A∩B＝{0，1，2}．故选：A．2．【分析】由已知求得z的坐标，再由三角函数的象限符号得答案．【解答】解：复数z＝cosα+isinα在复平面内对应的点的坐标为（cosα，sinα），∵，∴cosα＜0，sinα＞0，则复数z在复平面内对应的点在第二象限．故选：B．3．【分析】先对图表数据分析处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．【解答】解：对于选项A，若回答该问卷的总人数不可能是100个，则选择③④⑤的同学人数不为整数，故A正确，对于选项B，由统计图可知，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多，故B正确，对于选项C，由统计图可知，选择“学校团委会宣传”的人数最少，故C正确，对于选项D，由统计图可知，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8%，故D错误，故选：D．4．【分析】直接把已知条件代入数量积计算即可．【解答】解：因为，，向量的夹角为，则＝+＝12+1×2×cos＝2；故选：C．5．【分析】本题根据题意可应用公式a n＝进行计算即可判断出数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列，然后根据等比数列的求和公式计算出S6的值．【解答】解：由题意，当n＝1时，a1＝S1＝﹣2a1+1，解得a1＝，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣2a n+1+2a n﹣1﹣1，整理，得a n＝a n﹣1，∴数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列，∴S6＝＝．故选：A．6．【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆锥，圆锥的底面半径r＝1，高h＝，再由圆锥的表面积公式求解．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为圆锥，圆锥的底面半径r＝1，高h＝，则母线长l＝2．则圆锥的表面积为S＝π×12+π×1×2＝3π．故选：C．7．【分析】先利用余弦的二倍角公式、辅助角公式将函数化简成f（x）＝，再结合正弦函数的周期性、单调性、对称性和平移变换逐一判断每个选项即可．【解答】解：f（x）＝sin2x﹣2sin2x+1＝sin2x+cos2x＝，①最小正周期，即①正确；②令，则，这是函数f（x）的减区间，即②正确；③令，则，这是函数f（x）的对称轴，当k＝﹣1时，，即③正确；④的图象向左平移个单位得到，即④错误．∴正确的有①②③，故选：C．8．【分析】满足能被3除余1且被5除余3正整数构成首项为13，公差3×5＝15的等差数列，求其通项公式，由x∈[150，300]且x 是整数求得n值，再由等差数列的前n项和求解．【解答】解：满足能被3除余1且被5除余3正整数构成首项为13，公差3×5＝15的等差数列，记数列{a n}．则a n＝13+15（n﹣1）＝15n﹣2，∵x∈[150，300]，∴150≤15n﹣2≤300，解得≤n≤．故n从11开始，到20结束，∴a11＝163，a20＝298，∴该数列各项之和为＝＝2305，故选：B．9．【分析】0＜a＜b＜1，可得lna＜lnb＜0，进而判断出A，B，C 的正误．令y＝x x（1＞x＞0），lny＝xlnx，可得y′＝x x（lnx+1），利用单调性即可判断出D的正误．【解答】解：∵0＜a＜b＜1，∴lna＜lnb＜0，可得：0＞＞，∴＞＞，即＞；＞1；alna＞blnb；令y＝x x（1＞x＞0），则lny＝xlnx，∴y′＝x x（lnx+1），可得：函数y＝x x在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．∴x＝时函数取得最大值．∴a a与b b的大小关系不确定．综上可得：只有A正确．故选：A．10．【分析】设一渐近线OA的方程为y＝x，设A（m，m），B （n，﹣），由2＝，求得点A的坐标，再由FA⊥OA，斜率之积等于﹣1，求出a2＝3b2，代入e＝＝进行运算．【解答】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y＝x，则另一渐近线OB的方程为y＝﹣x，设A（m，），B（n，﹣），∵2＝，∴2（c﹣m，﹣）＝（n﹣c，﹣），∴2（c﹣m）＝n﹣c，﹣＝﹣，∴m＝c，n＝，∴A（，）．由FA⊥OA可得，斜率之积等于﹣1，即•＝﹣1，∴a2＝3b2，∴e＝＝＝．故选：C．11．【分析】由已知求得棱锥外接球的半径，进一步求得棱锥S﹣ABC 的底面积为定值，欲使棱锥S﹣ABC体积体积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值，由此能求出棱锥S﹣ABC体积的最大值．【解答】解：设球的半径为r，由球的表面积为60π，得4πr2＝60π，即r＝，设△ABC的中心为D，则OD＝，∴AD＝2，则AB＝6，棱锥S﹣ABC的底面积S＝，欲使其体积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值，又平面SAB⊥平面ABC，∴S在平面ABC上的射影落在直线AB上，而SO＝，点D到直线AB的距离为，则S到平面ABC的距离的最大值为3，∴V＝×9×3＝27．故选：C．12．【分析】根据f（x）的图象判断a的范围，用a表示出x1，x2，得出x1+x2关于a的函数，从而可得出x1+x2的取值范围．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，方程f2（x）+（1﹣a）f（x）﹣a＝0可化为[f（x）+1][f（x）﹣a]＝0，即有f（x）＝﹣1，f（x）＝a，由图可知f（x）＝﹣1无解，故条件等价于f（x）＝a（a＞1）有两个实数根x1，x2，不妨令x1＜x2，即有x12＝＝a，所以x1＝﹣，x2＝lna，则x1+x2＝﹣+lna，令g（x）＝﹣+lnx（x＞1），则g′（x）＝，∴当1＜x＜4时，g′（x）＞0，当x＞4时，g′（x）＜0，∴当x＝4时，g（x）取得最大值g（4）＝ln4﹣2＝2ln2﹣2．∴x1+x2≤2ln2﹣2．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的相应位置.）13．【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求．【解答】解：由（2x+）6，得＝．由6﹣3r＝0，得r＝2．∴常数项等于．故答案为：240．14．【分析】根据奇函数的性质，求出切点坐标，然后根据奇函数图象关于原点对称，则在关于原点对称的两点处的切线互相平行，求出切线的斜率．问题可解．【解答】解：因为f（x）是奇函数，所以，∵f′（x）＝2sinx﹣cosx，（x＜0），∴＝﹣2，∴．故切线方程，即：2x+y﹣π+1＝0．故答案为：2x+y﹣π+1＝0．15．【分析】利用条件概率公式，可得答案．【解答】解：设事件C＝“有一件不是废品”，事件D＝“另一件是废品”，则P（C）＝1﹣＝，P（C∩D）＝＝，∴P（D|C）＝＝＝，故答案为：16．【分析】（1）先根据P、F两点的坐标求出线段|PF|的长和直线PF的方程，再联立直线PF与抛物线的方程，解之可得点Q的坐标，然后结合抛物线的定义求得线段|FQ|的长，进而得解；（2）设直线PF的方程为x＝my+1（m＜0），代入点P的坐标，可得到m与t的关系，然后联立直线PF与抛物线的方程，求得y Q，同样地，根据P、F两点的坐标求出线段|PF|的长，并将其转化为关于m的代数式，最后，2d（P）﹣|PF|＝，将得到的结论均代入，化简整理后即可得解．【解答】解：（1）∵y2＝4x，∴焦点F的坐标为（1，0），∵点，∴|PF|＝，直线PF的方程为，联立，解得或2，∵Q为线段PF与抛物线的交点，∴，由抛物线的定义可知，|FQ|＝x+＝，∴＝．（2）设直线PF的方程为x＝my+1（m＜0），则﹣1＝mt+1，∴mt＝﹣2，联立得y2﹣4my﹣4＝0，解得，∵P（﹣1，t），F（1，0），∴|PF|＝＝，∴2d（P）﹣|PF|＝＝＝2．故答案为：4，2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，由正弦定理可得，结合BD＝AD，可得∠ADC＝2∠B，进而利用二倍角公式，正弦定理即可求解的值；（Ⅱ）设AC＝t，则AB＝2t，由余弦定理可得，解得或，又BD＝2DC，可求，又由（1）可求，进而分类讨论利用三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：（Ⅰ）∵，可得：，∵，AB＝2AC，∴，∵BD＝AD，可得∠ADC＝2∠B，∴sin∠ADC＝sin2B＝2sinBcosB，∴在△ADC中，可得．（Ⅱ）设AC＝t，则AB＝2t，在△ABC中由余弦定理可得：，解得或，因为BD＝2DC，所以，又由（1）知，所以，由（1）知当时，当时，综上△ACD的面积为或．18．【分析】（Ⅰ）连接BD交AE于点O，依题意得可得∠AOD＝90°，则AE⊥BD，由已知求得OD'⊥AE，利用线面垂直的判定可得AE⊥平面OBD'．从而得到AE⊥BD'；（Ⅱ）由平面AD'E⊥平面ABCE，且由（Ⅰ）知，OD'⊥平面ABCE，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz．求解三角形可得OD′，OA，OE，得到A，B，D′的坐标，分别求得平面ABD'与平面ABE的法向量，然后由两法向量所成角的余弦值可得二面角D'﹣AB﹣E的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AE于点O，依题意得，Rt△ABD～Rt△DAE，∴∠DAE＝∠ABD，得∠AOD＝90°，则AE⊥BD，即OB⊥AE，OD'⊥AE，又OB∩OD′＝O，OB，OD'⊂平面OBD'．∴AE⊥平面OBD'．又BD1⊂平面OBD'，∴AE⊥BD'；（Ⅱ）解：∵平面AD'E⊥平面ABCE，由（Ⅰ）知，OD'⊥平面ABCE，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz如图所示．在Rt△AD'E中，求得，，，∴，，，则，，设平面ABD'的法向量，则，即，解得，令y＝1，得，显然平面ABE的一个法向量为．∴＝，∴二面角D'﹣AB﹣E的余弦值为．19．【分析】（1）记恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来为A事件，求解概率．（2）E（ξ1）＝k，ξ2的取值为1，k+1，求出概率与期望，通过，即．设，利用导数与函数的单调性，转化求解即可．【解答】解：（1）记恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来为A事件，则．（2）E（ξ1）＝k，ξ2的取值为1，k+1，计算，，所以，又，，所以，即．设，，x＞0，当x∈（0，4）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，4）上单调递增；当x∈（4，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）在（4，+∞）上单调递减．且f（8）＝ln8﹣2＝3ln2﹣2＞0，，所以k的取值大于等于9时采用逐份检验方式好．20．【分析】（Ⅰ）根据题意，由椭圆的离心率公式可得，结合椭圆的几何性质可得bc＝，解可得a、b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；（Ⅱ）设MN方程为x＝ny+m，与椭圆的方程联立可得（n2+4）y2+2nmy+m2﹣4＝0，结合根与系数的关系分析可得即，解可得m的值，分析可得直线过定点，结合三角形面积公式分析可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆的离心率为，则，设P（x，y），则，∵．解得．所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）设MN方程为x＝ny+m，（n≠0），联立，得（n2+4）y2+2nmy+m2﹣4＝0，∴，因为关于x轴对称的两条不同直线l1，l2的斜率之和为0即，即，得2ny1y2+m（y1+y2）﹣4（y1+y2）＝0，即．解得：m＝1．直线MN方程为：x＝ny+1，所以直线MN过定点B（1，0）．又令，∴∴又．21．【分析】（Ⅰ）令f（x）＝0可得，x2＝a，进而可得k1，k2，进一步得到，构造g（x）＝2lnx﹣x2+1，利用导数研究其单调性即可；（Ⅱ）法一：令，作差后，构造，利用导数可知h （x）≥h（1）＝0，再结合f'（x）在（0，+∞）的单调性，即可得证；法二：可知x0是f（x）的极小值点，构造F（x）＝f（x0+x）﹣f （x0﹣x），求导研究可知F（x）在（0，x0）单调递减，故F（x）＜F（0）＝0，进而得到（x0+x）＜f（x0﹣x），设0＜x1＜x0＜x2，则f（x2）＝f（x1）＝f（x0﹣（x0﹣x1））＞f（2x0﹣x1），由此得到f（x2）＞f（2x0﹣x1），再结合f（x）的单调性即可得证．【解答】解：（Ⅰ）由（x﹣a）ln（ax）＝0，得，x2＝a．则，k2＝f'（x2）＝f'（a）＝2lna，所以，令F（x）＝2lnx﹣x2+1，则，所以当0＜x＜1时，F'（x）＞0；当x＞1时，F'（x）＜0，故F（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）递减，即k1+k2在（0，1）单调递增，在（1，+∞）递减；（Ⅱ）证明：法一、令，则，故f'（x）在（0，+∞）上单调递增．＝．令，则．所以当0＜x＜1时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x＞1时h'（x），h（x）单调递增，所以h（x）＞h（1）＝0，当且仅当x＝1时等号成立．又因为且，所以因此．即．因为f'（x）在（0，+∞）上单调递增，所以．即x1+x2＞2x0．法二、，在x＞0，f''（x）＞0恒成立，由题知x0为f（x）的极值点，所以且f（x）在（0，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，故x＝x0为f（x）的极小值点．令F（x）＝f（x0+x）﹣f（x0﹣x），则F'（x）＝f'（x0+x）+f'（x0﹣x）＝，故，因为0＜x＜x0，所以F''（x）＜0，所以F'（x）在（0，x0）单调递减，所以，所以F（x）在（0，x0）单调递减，所以F（x）＜F（0）＝0，所以（x0+x）＜f（x0﹣x），不妨设0＜x1＜x0＜x2，f（x2）＝f（x1）＝f（x1﹣x0+x0）＝f（x0﹣（x0﹣x1））＞f（x0+（x0﹣x1））＝f（2x0﹣x1），所以f（x2）＞f（2x0﹣x1），又f（x）在（0，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，所以x2＞2x0﹣x1，即x1+x2＞2x0．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．【解答】解：（1）椭圆C1的普通方程为：，转换为参数方程为（θ为参数）．曲线C2的极坐标方程为：ρ＝4，点A，B，C，D的极坐标分别为，，，点A，B，C，D的直角坐标分别为，，，；（2）设P（x0，y0）：则（θ为参数），．故当且仅当点P坐标为（0，3）或（0，﹣3）时|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的最大值为100．23．【分析】（Ⅰ）把a＝1代入函数解析式，对x分类去绝对值，转化为关于x的一元一次不等式求解，取并集得答案；（Ⅱ）把问题转化为{y|y＝f（x）}⊆{y|y＝g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|，即f（x）＝．当x＜﹣1时，﹣4x﹣1≤6，得﹣≤x＜﹣1；当﹣1时，f（x）≤6成立；当x＞时，4x+1≤6，解得．则f（x）≤6的解集为：；（Ⅱ）∵对任意x1∈R，都存在x2∈R使得f（x1）＝g（x2）成立，∴{y|y＝f（x）}⊆{y|y＝g（x）}．又f（x）＝|2x﹣a|+2|x+1|≥|2x﹣a﹣（2x+2）|＝|a+2|，（当且仅当（2x﹣a）（x+1）≤0时取等号）．g（x）＝|x﹣1|+2≥2．∴|a+2|≥2，解得a≤﹣4或a≥0，∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）．。
