个例独解：“不定方程”解题思路

数量关系对很多考生来说是不太好掌握的一个模块，而且大家普遍从心底上认为数学很难，其实不然，数量关系题目是有难度梯度的，也是有简单，普通难度的题目以及难题，难题大家可根据基础和学习的吸收程度来决定是否做，但是像简单的题目，根据以往的学习基础，基本可以解决，普通难度的题目，大家掌握一些技巧也可以很快的解决这些题目。

那么我们就来了解一下对于不定方程类题目的解题技巧。

一，什么是不定方程不定方程:未知数的个数大于独立方程，例如x+y=7，未知数有2个，而独立方程仅有1个。

【例题】某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师, 培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领, 刚好能够分完, 且每位老师所带的学生数量都是质数。

后来由于学生人数减少, 培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师, 但每名教师所带的学生数量不变, 那么目前培训中心还剩下学员多少人?（）A.36B.37C.39D.41根据题目要求出还剩多少人，需要知道钢琴教师和拉丁舞教师每人分别能带多少学生，这在题目中都没有给出，我们可以假设教师，钢琴教师每人可带x 人，拉丁舞教师可带y人，而其已知在之前共培训76人，可知5x+7y=76，这里仅能得到这样一个方程，却有两个未知数，即为不定方程的题目。

我们可以看到虽然方程的解很多，但是在我们的方程中的x，y它代表的是学生的人数，对于学生来说，它不可能取值为小数负数或者是零，取值大多数为正整数，解的范围就输小很多了，那如何来快速确定答案呢？我们了解几个解题技巧。

二，不定方程的解题技巧1，整除法例如:3x+7y=33，x，y为正整数，求y=？A.2B.3C.4D.5根据已知条件我们可以3x和33有一个共性都能被3整除，被3整除的数加上一个数还能被3整除，所以7y也是能被3除的,则y就要能被7整除，结合选项可知选则B。

2，尾数法例如:5x+7y=48，x，y为正整数，求y=？A.3B.4C.5D.6观察已知条件，对于5x而言。

高中数学解题技巧之不定方程求解不定方程在高中数学中是一个重要的概念，涉及到求解方程中的未知数的取值范围。

本文将介绍不定方程的求解方法和一些解题技巧，帮助高中学生更好地应对这类题目。

一、不定方程的定义和基本概念不定方程是指含有未知数的方程，但未知数的取值范围不确定，需要通过一定的条件来求解。

常见的不定方程包括线性不定方程、二次不定方程等。

例如，求解线性不定方程3x + 4y = 7，其中x和y为未知数。

这个方程的解是指满足条件的x和y的取值，使得等式成立。

二、线性不定方程的求解方法1. 列举法：对于简单的线性不定方程，可以通过列举的方法来求解。

例如，解线性不定方程3x + 4y = 7，我们可以列举出一些满足条件的整数解，如(1, 1)、(3, 1)等。

通过观察这些解的规律，我们可以发现解的特点，进而得到一般解。

2. 欧几里得算法：对于形如ax + by = c的线性不定方程，可以利用欧几里得算法来求解。

首先，我们需要找到一个特殊解(x0, y0)，然后利用欧几里得算法求出方程的通解。

例如，求解线性不定方程3x + 4y = 7。

我们可以先找到一个特殊解(3, -2)，然后利用欧几里得算法求出方程的通解。

具体步骤如下：步骤一：利用欧几里得算法求出3和4的最大公约数d，同时求出一组整数解(u0, v0)，使得3u0 + 4v0 = d。

步骤二：将方程两边同时除以d，得到(3/d)x + (4/d)y = 7/d。

步骤三：将特殊解(3, -2)代入上式，得到(3/d)x + (4/d)y = 7/d。

通过观察我们可以发现，方程的通解为x = 3 + 4k，y = -2 - 3k，其中k为整数。

三、二次不定方程的求解方法二次不定方程是指含有二次项的不定方程，例如x^2 + y^2 = 25。

对于这类方程，我们可以利用一些特定的方法来求解。

1. 分类讨论法：对于形如x^2 + y^2 = n的二次不定方程，我们可以通过分类讨论的方法来求解。

一招教你搞定不定方程一有关概念1.什么是不定方程未知数个数多于方程个数旳方程，叫做不定方程，例如:３ｘ+4ｙ=42就是一种二元一次方程。

在各类公务员考试中一般只讨论它旳整数解或正整数解。

在解不定方程问题时，我们可以运用整数旳奇偶性、自然数旳质合性、数旳整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等多种数学知识来得到答案。

但是措施越是繁多,我们在备考过程中学习旳压力就越大，为了让大伙更好旳地理解和掌握不定方程旳求解问题,这里我们简介一种“万能”旳措施——运用同余性质求解不定方程。

2.什么是余数被除数减去商和除数旳积,成果叫做余数。

例如：19除以３，如果商6，余数就是1；如果商是５,余数就是4;如果商是7，余数就是-2.（注意，这里余数旳概念指旳是广义上旳概念，即余数不再是比除数小旳正整数)。

3．有关同余特性①余数旳和决定和旳余数例:23,1６除以５旳余数分别是3和1，因此２3+16=３9除以5旳余数等于4，即两个余数旳和3+１；23,24除以5旳余数分别是3和4,因此２3+24除以5旳余数等于余数和7，正余数是2.②余数旳差决定差旳余数；例：2３，１６除以5旳余数分别是3和1，因此23-１6=7除以5旳余数等于2,即两个余数旳差３－1;1６-23除以５旳负余数为－２，正余数为3.③余数旳积决定积旳余数；例：23，1６除以5旳余数分别是3和1,因此23×１6除以５旳余数等于3×1＝3。

二运用同余性质解不定方程例1：解不定方程x＋3y=１00，x，y皆为整数。

Ａ41 Ｂ42 C 43 D 44解析：由于３y可以被3整除，100除以3余１，根据余数旳和决定和旳余数,x除以3必然是余1旳,因此答案为C。

例2:：今有桃9５个，分给甲，乙两个工作组旳工人吃,甲组分到旳桃有２/９是坏旳，其他是好旳,乙组分到旳桃有3／16是坏旳，其他是好旳。

甲，乙两组分到旳好桃共有多少个？A.６３ﻩB.75 ﻩC．７９ﻩﻩ D.8６解析：由题意,甲组分到旳桃旳个数是9旳倍数,乙组分到旳桃旳个数是16旳倍数。

不定方程的求解方法汇总不定方程的求解方法汇总行测数量运算的考查中，不定方程是计算问题的常考题型，难度不大，易求解。

但是想要快速正确的求解出结果，还是需要一些技巧和方法的。

专家认为，掌握了技巧和方法，经过大量练题一定可以实现有效的提升，不定方程的题目必定成为你的送分题。

一、不定方程的概念在学习之前，首先了解一下不定方程的概念：指对于一个方程或者方程组，未知数的个数大于独立方程的个数，便将其称为不定方程或者不定方程组。

在这里解释一下独立方程。

看个例子大家便可以明白了:4x+3y=26①,8x+6y=52②因为①×2=②，相互之间可以进行转化得到，所以①、②两个式子并不是两个独立的方程，。

二、求解不定方程的方法1、奇偶性奇数+奇数=偶数奇数×奇数=奇数偶数+偶数=偶数偶数×偶数=偶数奇数+偶数=奇数奇数×偶数=偶数性质：奇偶奇7x为奇数，x也为奇数。

x可能的取值有1、3、5。

当x=1时，y=9，满足题干要求，凳子数量大于桌子数量，其余情况不符合要求，故答案选择B。

2、尾数法当看到未知数前面的系数为0或者5结尾时，考虑尾数法。

任何正整数与5的乘积尾数只有两种可能0或5。

性质：奇偶奇5x 为奇数，则其尾数必定为5，则4y的尾数为4，y可能为1、6、11，这三种可能。

但已知乙部门人数超过10人，则y=11,求得x=3,故答案选择C。

3、整除法当未知数前面的系数与和或差有除1之外的公因数时，考虑用整除法。

4、特值法当题目考察不定方程组，且一般情况下，求解(x+y+z)之和时考虑特值法。

不定方程组拥有无数组解，而(x+y+z)的结果是唯一的，那么我们便可以随便找一组解代入即可。

同时要使计算相对简单，便可以将系数较为复杂的未知数设为特值0，简化运算。

行测考试中不定方程解法都在这不定方程是公务员行测笔试题中经常出现的一类题型。

很多考生在面对这个拦路虎时,往往凭运气，能看出来的就做，不能看出来就放弃了。

然而实际上这类题型在解决的时候是有固定套路的，只要你能掌握好这些套路，基本上大部分的不定方程问题都能搞定。

今天专家就为各位考生梳理一遍:不定方程的那些解法。

不定方程的解法具体可以分为两类.第一类:代入排除法。

所谓的代入排除法就是将选项代入题干里面,看看能够符合题目意思。

这种方法相对简单,考生也非常容易掌握,下面以一道例题来稍微解释一下.【例题1】办公室工作人员使用红、蓝两种颜色的文件袋装29份相同的文件.每个文件袋可以装7份文件,每个蓝色文件袋可以装４份文件.要使每个文件袋都恰好装满，需要、蓝色文件袋的数量分别为（ )个。

A。

1、6 B.２、4Ｃ。

3、２ D。

4、1【华图解析】看完题目之后，大家浮现在脑海中的是不是就这么一句话，恰好装满，OK，那我们就可以根据这句话的逻辑关系去列式子了。

假设文件袋x个,蓝色文件袋y个，则有7ｘ4ｙ＝29。

在这个式子中出现了x、y两个未知数,只有一个式子，典型的不定方程问题.考生如果能注意到题目中所要求的就是x、ｙ的具体值，在有选项的情况的，直接进行代入排除即可,很容易得出C为正确选项。

当然需要给考生总结的一点是:在不定方程问题中，当题目直接求列出方程关系中的未知数，利用代入排除方法能快速代入选项,选出答案。

第二类：数字特性法.数字特性法又包括三类小方法：1。

奇偶性；2．尾数法；3。

倍数法。

【例题2】超市将99个苹果装进两种包装盒,大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装５个苹果,共用了十多个盒子刚好装完。

问两种包装盒相差多少个？()Ａ。

3 B。

４C。

7 D.13【华图解析】根据题意，设大包装盒ｘ个,小包装盒y个,可得12x5y=９9。

此时题目中要求的是x-y的数值，代入排除法就不那么好用了.在这种情况下,要想快速解出该不定方程，就得从数字特性角度入手了。

行测数学运算：不定方程的求解方法汇总一、不定方程的概念在学习之前，首先了解一下不定方程的概念：指对于一个方程或者方程组，未知数的个数大于独立方程的个数，便将其称为不定方程或者不定方程组。

在这里解释一下独立方程。

看个例子大家便可以明白了:4x+3y=26①,8x+6y=52②因为①×2=②，相互之间可以进行转化得到，所以①、②两个式子并不是两个独立的方程，。

二、求解不定方程的方法1、奇偶性奇数+奇数=偶数奇数×奇数=奇数偶数+偶数=偶数偶数×偶数=偶数奇数+偶数=奇数奇数×偶数=偶数【例题】某学校购买桌凳，已知每张桌子单价70元，每张凳子单价40元，且购买凳子的数量大于购买的桌子的数量，购买桌凳共花费了430元，问购买凳子多少张?A.8B.9C.10D.11【解析】B。

设桌子和凳子的单价分别为x元、y元，得到式子：70x+40y=430,化简得7x+4y=43。

7x+4y=43。

性质：奇偶奇7x为奇数，x也为奇数。

x可能的取值有1、3、5。

当x=1时，y=9，满足题干要求，凳子数量大于桌子数量，其余情况不符合要求，故答案选择B。

2、尾数法当看到未知数前面的系数为0或者5结尾时，考虑尾数法。

任何正整数与5的乘积尾数只有两种可能0或5。

【例题】某单位分发报纸，共有59份。

甲部门每人分的5份，乙部门每人分的4份，且已知乙单位人员超过十人，问甲部门人数为多少?A.1B.2C.3D.4【解析】C。

设甲部门的人数为x人，乙部门的人数为y人，得到方程为：5x+4y=59，性质：奇偶奇5x为奇数，则其尾数必定为5，则4y的尾数为4，y可能为1、6、11，这三种可能。

但已知乙部门人数超过10人，则y=11,求得x=3,故答案选择C。

3、整除法当未知数前面的系数与和或差有除1之外的公因数时，考虑用整除法。

【例题】某单位分发办公笔用具，甲部门每人分的4个办公用具，乙部门每人分的3个办公用具，正好将32个办公用具分完。

不定方程求解方法一、不定方程是啥。

1.1 不定方程呢，就是方程的个数比未知数的个数少的方程。

比如说，x + y = 5，这里就两个未知数x和y，但是就一个方程。

这就像你要去猜两个东西是啥，但是只给了你一个线索，有点像雾里看花，摸不着头脑。

1.2 这种方程在数学里可是很常见的。

它的解不是唯一确定的，往往有好多组解。

这就好比一个大宝藏，有好多条路可以通向它。

二、求解不定方程的一些常用方法。

2.1 枚举法。

这就像一个一个去试。

比如说对于简单的不定方程2x + 3y = 10，我们可以从x = 0开始试。

当x = 0的时候，y就不是整数了；当x = 1的时候，y也不是整数；当x = 2的时候，y = 2。

就这么一个一个试，虽然有点笨，但是对于一些简单的不定方程还是很有效的。

就像我们找东西，有时候没有捷径，那就只能一个角落一个角落地找，这就叫笨鸟先飞嘛。

2.2 利用数的性质。

比如说奇偶性。

如果方程是x + y = 11，我们知道两个数相加是奇数，那么这两个数必定是一奇一偶。

这就像给我们开了一个小窗户，能看到一点里面的情况。

再比如说倍数关系，如果方程是3x + 6y = 18，我们可以先把方程化简成x + 2y = 6，因为6y肯定是3的倍数，18也是3的倍数，所以x也得是3的倍数。

这就像是在一团乱麻里找到了一个线头，顺着这个线头就能把麻理清楚。

2.3 换元法。

就拿方程x²+ y²+ 2x 4y = 20来说，我们可以设u = x + 1，v = y 2，这样方程就变成了u²+ v²= 25。

这就像给方程换了一身衣服，让它看起来更顺眼，更容易解决。

这就好比我们整理房间，把东西重新摆放一下，看起来就整齐多了。

三、实际应用中的不定方程求解。

3.1 在生活里有很多地方会用到不定方程求解。

比如说你去买水果，苹果一个3元，香蕉一根2元，你带了10元钱，设买苹果x个，买香蕉y根，那方程就是3x + 2y = 10。

不定方程的求解技巧例题求解不定方程是数学中的重要内容之一，在数学的应用中经常会出现各种各样的不定方程，因此掌握不定方程的求解技巧是非常必要的。

下面以一些例题来介绍不定方程的求解技巧。

例题1：求解不定方程x + y = 10，其中x和y都是正整数。

解法：首先我们可以观察到，当x = 1时，y = 10 - 1 = 9；当x = 2时，y = 10 - 2 = 8；当x = 3时，y = 10 - 3 = 7……因此我们可以得到一组解：{1, 9}，{2, 8}，{3, 7}，{4, 6}，{5, 5}。

但这并不是唯一的解，我们可以继续观察，当x = 6时，y = 10 - 6 = 4；当x = 7时，y = 10 - 7 = 3；当x = 8时，y = 10 - 8 = 2；当x = 9时，y = 10 - 9 = 1。

因此我们可以得到另一组解：{6, 4}，{7, 3}，{8, 2}，{9, 1}。

所以这个不定方程的解是：{1, 9}，{2, 8}，{3, 7}，{4, 6}，{5, 5}，{6, 4}，{7, 3}，{8, 2}，{9, 1}。

例题2：求解不定方程x^2 + y^2 = 25，其中x和y 都是正整数。

解法：对于这个问题，我们可以采用穷举法来求解。

我们可以从0开始往上穷举，看看哪些正整数满足方程。

当x = 0时，y = ±5；当x = 1时，y = ±√(25 - 1) = ±4；当x = 2时，y = ±√(25 - 4) = ±3；当x = 3时，y = ±√(25 - 9) = ±√16 = ±4；当x = 4时，y = ±√(25 - 16) = ±√9 = ±3；当x = 5时，y = ±√(25 - 25) = 0。

综上所述，满足条件的正整数解有：{(0，5)，(0，-5)，(1，4)，(1，-4)，(2，3)，(2，-3)，(3，4)，(3，-4)，(4，3)，(4，-3)，(5，0)}。

最实用的不定方程解题方法最实用的不定方程解题一、欧几里德算法•概述：欧几里德算法也被称为辗转相除法，用于求解两个数的最大公约数。

•步骤：1.输入两个整数a和b。

2.若b等于0，则a即为最大公约数。

3.若b不等于0，则令c等于a除以b的余数，再将b赋值给a，c赋值给b，继续执行第2步。

4.重复第2步和第3步，直到b等于0。

•示例：解不定方程11x + 15y = 1二、穷举法•概述：穷举法是一种简单直接的方法，通过对可能的解进行遍历来求解不定方程。

•步骤：1.确定解的范围，可以根据方程中的系数来进行估算。

2.使用两层循环，穷举所有可能的解。

3.在每次循环中，代入方程并判断是否满足。

4.若满足方程，则输出解。

5.若不满足方程，则继续下一次循环。

•示例：解不定方程3x + 5y = 7三、贝祖等式•概述：贝祖等式是一种特殊的不定方程解法，可以用来判断不定方程是否有整数解以及如何找出解。

•步骤：1.确定a和b的最大公约数g。

2.判断c是否为g的倍数，若不是则方程无整数解。

3.若c为g的倍数，则存在整数解。

4.通过扩展欧几里德算法，求出方程的一组特解(x0, y0)。

5.方程的通解为(x, y) = (x0 + k * b / g, y0 - k * a /g)，其中k为任意整数。

•示例：解不定方程12x + 16y = 4四、线性同余方程•概述：线性同余方程是一种特殊的不定方程形式，可以通过模运算求解。

•步骤：1.确定方程形式为ax ≡ b (mod m)。

2.使用扩展欧几里德算法，求解方程ax + my = 1，得到一组解(x0, y0)。

3.解为x ≡ b * x0 (mod m)。

•示例：解不定方程7x ≡ 3 (mod 5)五、数学建模软件•概述：除了手工计算，还可以借助数学建模软件进行不定方程的求解。

•步骤：1.安装并打开数学建模软件，如Mathematica、Matlab等。

2.输入不定方程表达式。

不定方程的解题思路-2022国家公务员考试行测解题技巧不定方程(组)是指未知数个数多于方程个数，不能通过一般的消元法直接得到唯一解，常与差倍比问题、利润问题等热门考点相结合，故需要考生们在备考的过程中加以重视。

今日与大家一起探讨一下公务员行测考试中不定方程(组)的解题思路。

不定方程(组)包含不定方程与不定方程组，而依据题目条件对未知数是否必需为整数的限制，可以将不定方程组分为限定性不定方程组和非限定性不定方程组。

前者指未知数必需为正整数，后者则无此要求。

两种类型的不定方程组问题都有其固定的解题思路，方法性与技巧性比较强，把握相应的思路去解题便会事半功倍。

不定方程题型特征：依据题干可列出一个包含两个未知数的方程解题方法：首先分析奇偶、倍数、尾数等数字特性，然后尝试代入排解例1.【2022联考】每年三月某单位都要组织员工去A、B两地参与植树活动，已知去A地每人来回车费20元，人均植树5棵，去B 地每人来回车费30元，人均植树3棵，设到A地有员工x人，A、B 两地共植树y棵，y与x之间满意y=8x-15，若来回车费总和不超过3000元时，那么，最多可植树多少棵?A.498B.400C.489D.500【解题思路】已知植树棵数 y=8x-15，一个方程两个未知数为不定方程，8x为偶数，15为奇数，偶数-奇数=奇数，则y为奇数，排解A、B、D项，正确答案为C。

【点评】本题若采纳常规解方程的方法也可解题，但耗费时间久，不适合考场使用。

本题不需要算车费等其他数值，因此可利用数字特性直接锁定答案。

不定方程组1.限定性不定方程组题型特征：可依据题意列出方程组，未知数多于方程数，且未知数必需为正整数，常用来表示人数、盒子或者其他物体的个数等解题方法：先消元转化为不定方程，再按不定方程求解例1.【2022江苏】小王打靶共用了10发子弹，全部命中，都在10环、8环和5环上，总成果为75环，则命中10环的子弹数是：A.1 发B.2 发C.3 发D.4 发【解题思路】设命中10环、8环、5环的子弹数分别为正整数x、y、z。