2.3 数值微分(9)

第五章 数值微积分一、内容分析与教学建议本章内容是数值微积分。

数值微分包括：用插值多项式求数值微分、用三次样条函数求数值微分和用Richardson 外推法求数值微分。

数值积分包括：常见的Newton-Cotes 求积公式，如：梯形公式、Simpson 公式和Cotes 公式；复化求积公式；Romberg 求积公式和Gauss 型求积公式等内容。

（一） 数值微分1、利用Taylor 展开式建立数值微分公式，实际上是利用导数的离散化，即用差商近似代替导数，在由Taylor 公式的余项估计误差；由于当步长h 很小时，回出现两个非常接近的数相减，因此，在实际运用中往往采用事后估计的方法来估计误差。

2、用插值多项式求数值微分，主要是求插值节点处的导数的近似值。

借助第二章的Lagrange 插值公式及其余项公式，确定插值节点处的导数的近似值及其误差。

常用的有三点公式和五点公式。

3、阐明用三次样条函数()s x 求数值微分的优点：由第三章的三次样条函数()s x 的性质知：只要()f x 的4阶导数连续，则当步长0h →时，()s x 收敛到()f x ，()s x '收敛到()f x '，()s x ''收敛到()f x ''. 因此，用三次样条函数()s x 求数值微分，效果是很好的。

指出其缺点是：需要解方程组，当h 很小时，计算量较大。

4、讲解用Richardson 外推法求数值微分时，首先阐明方法的理论基础是导数的离散化，即用差商近似代替导数；然后重点讲解外推法的思想和推导过程，因为这种方法和思路在后面的数值积分和微分方程数值解中还要用到。

（二） 数值积分的一般概念1、由定积分的几何意义引入数值积分的思想，介绍求积公式、求积节点、求积系数、余项等基本概念。

2、重点介绍代数精度以及如何求一个判定积公式的代数精度，并举例说明。

3、介绍插值型求积公式以及插值型求积公式的代数精度的特点。

现代科学工程计算基础课后答案《现代科学与工程计算基础》较为详细地介绍了科学与工程计算中常用的数值计算方法、基本概念及有关的理论和应用。

全书共分八章，主要内容有误差分析，函数的插值与逼近，数值积分与数值微分，线性代数方程组的直接解法与迭代解法，非线性方程及非线性方程组的数值解法，矩阵特征值和特征向量的数值解法，以及常微分方程初、边值问题的数值解法等。

使用对象为高等院校工科类研究生及理工科类非“信息与计算科学”专业本科生，也可供从事科学与工程计算的科技工作者参考。

《现代科学与工程计算基础》讲授由浅人深，通俗易懂，具备高等数学、线性代数知识者均可学习。

基本信息出版社: 四川大学出版社; 第1版 (2003年9月1日)平装: 378页语种：简体中文开本: 32ISBN: 7561426879条形码: 9787561426876商品尺寸: 20 x 13.8 x 1.6 cm商品重量: 399 g品牌: 四川大学出版社ASIN: B004XLDT8C《研究生系列教材:现代科学与工程计算基础》是我们在长期从事数值分析教学和研究工作的基础上，根据多年的教学经验和实际计算经验编写而成。

其目的是使大学生和研究生了解数值计算的重要性及其基本内容，熟悉基本算法并能在计算机上实现，掌握如何构造、评估、选取、甚至改进算法的数学理论依据，培养和提高读者独立解决数值计算问题的能力。

目录第一章绪论§1 研究对象§2 误差的来源及其基本概念2.1 误差的来源2.2 误差的基本概念2.3 和、差、积、商的误差§3 数值计算中几点注意事项习题第二章函数的插值与逼近§1 引言1.1 多项式插值1.2 最佳逼近1.3 曲线拟合§2 Lagrange插值2.1 线性插值与抛物插值2.2 n次Lagrange插值多项式2.3 插值余项§3 迭代插值§4 Newton插值4.1 Newton均差插值公式4.2 Newton差分插值公式§5 Hermite插值§6 分段多项式插值6.1 分段线性插值6.2 分段三次Hermite插值§7 样条插值7.1 三次样条插值函数的定义7.2 插值函数的构造7.3 三次样条插值的算法7.4 三次样条插值的收敛性§8 最小二乘曲线拟合8.1 问题的引入及最小二乘原理8.2 一般情形的最小二乘曲线拟合8.3 用关于点集的正交函数系作最小二乘拟合8.4 多变量的最小二乘拟合§9 连续函数的量佳平方逼近9.1 利用多项式作平方逼近9.2 利用正交函数组作平方逼近§10 富利叶变换及快速富利叶变换10.1 最佳平方三角逼近与离散富利叶变换10.2 快速富利叶变换习题第三章数值积分与数值微分§1 数值积分的基本概念1.1 数值求积的基本思想1.2 代数精度的概念1.3 插值型求积公式§2 等距节点求积公式2.1 Newton—CoteS公式2.2 复化求积法及其收敛性2.3 求积步长的自适应选取§3 Romberg 求积法3.1 Romberg求积公式3.2 Richardson外推加速技术§4 Gauss型求积公式4.1 Gauss型求积公式的一般理论4.2几种常见的Gauss型求积公式§5 奇异积分和振荡函数积分的计算5.1 奇异积分的计算5.2 振荡函数积分的计算§6 多重积分的计算6.1 基本思想6.2 复化求积公式6.3 Gauss型求积公式§7 数值微分7.1 Taylor级数展开法7.2 插值型求导公式习题第四章解线性代数方程组的直接法§1 Gauss消去法§2 主元素消去法2.1 全主元素消去法2.2 列主元素消去法§3 矩阵三角分解法3.1 Doolittle分解法（或LU分解）3.2 列主元素三角分解法3.3 平方根法3.4 三对角方程组的追赶法§4 向量范数、矩阵范数及条件数4.1 向量和矩阵的范数4.2 矩阵条件数及方程组性态习题第五章解线性代数方程组的迭代法§1 Jacobi迭代法§2 Gauss-Seidel迭代法§3 超松弛迭代法§4 共轭梯度法习题第六章非线性方程求根§1 逐步搜索法及二分法1.1 逐步搜索法1.2 二分法§2 迭代法2.1 迭代法的算法2.2 迭代法的基本理论2.3 局部收敛性及收敛阶§3 迭代收敛的加速3.1 松弛法3.2 Aitken方法§4 New-ton迭代法4.1 Newton迭代法及收敛性4.2 Newton迭代法的修正4.3 重根的处理§5 弦割法与抛物线法5.1 弦割法5.2 抛物线法§6 代数方程求根6.1 多项式方程求根的Newton法6.2 劈因子法§7 解非线性方程组的Newton迭代法习题……第七章矩阵特征值和特征向量的计算第八章常微方分程数值解法附录参考文献欢迎下载，资料仅供参考!!!资料仅供参考!!!资料仅供参考!!!。

数值微分与积分算法数值微分和积分算法是计算数学中常用的数值计算方法，它们通过离散化数学函数来估计导数和定积分的值。

本文将介绍数值微分和积分的基本概念，并介绍几种常用的数值方法。

1. 数值微分数值微分是计算函数导数的数值方法。

导数表示了函数在某一点的斜率或变化率。

常见的数值微分方法有：向前差分、向后差分和中心差分。

1.1 向前差分向前差分计算导数的方法是通过近似函数在某一点的切线斜率。

假设有函数f(x)，可选取小的增量h，并使用如下公式计算导数：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x)) / h1.2 向后差分向后差分与向前差分类似，也是通过近似函数在某一点的切线斜率。

使用如下公式计算导数：f'(x) ≈ (f(x) - f(x-h)) / h1.3 中心差分中心差分是向前差分和向后差分的结合，计算导数时使用函数在点前后进行采样。

使用如下公式计算导数：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x-h)) / (2h)2. 数值积分数值积分是计算函数定积分的数值方法。

定积分表示函数在某一区间上的面积。

常见的数值积分方法有：矩形法、梯形法和辛普森法则。

2.1 矩形法矩形法是通过将函数曲线分割成若干个矩形，然后计算每个矩形的面积之和来近似定积分。

常见的矩形法有：左矩形法、右矩形法和中矩形法。

2.2 梯形法梯形法是通过将函数曲线分割成若干个梯形，然后计算每个梯形的面积之和来近似定积分。

使用如下公式计算：∫[a,b] f(x)dx ≈ (h/2) * [f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(x(n-1)) + f(xn)]2.3 辛普森法则辛普森法则是通过将函数曲线分割成若干个抛物线来近似定积分。

使用如下公式计算：∫[a,b] f(x)dx ≈ (h/3) * [f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + ... + 4f(x(n-1))+ f(xn)]3. 总结数值微分和积分是实际计算中常用的数值方法，它们通过将连续的数学问题离散化来进行数值计算。

数值微分计算方法数值微分是微积分中的一个重要概念，用于近似计算函数的导数。

它在实际问题中具有广泛的应用，特别是在数值求解微分方程、优化问题以及实时数据处理等领域。

数值微分最基本的思想是通过两个离得很近的点，利用函数值的变化情况来估计导数的变化情况。

常见的数值微分方法包括有限差分法和插值法。

有限差分法是一种简单且直接的数值微分方法，常用的有前向差分法、后向差分法和中心差分法。

前向差分法用于近似计算函数的导数，通过函数在特定点上和该点之后的一点的差值来估计导数的值。

设函数在点x处的导数为f'(x)，则前向差分法的计算公式为：f'(x)≈(f(x+h)-f(x))/h其中，h为一个小常数，表示两个点之间的距离。

后向差分法与前向差分法的思想类似，只是对应的计算公式稍有不同。

后向差分法通过函数在特定点上和该点之前的一点的差值来估计导数的值。

计算公式为：f'(x)≈(f(x)-f(x-h))/h中心差分法是一种更加精确的数值微分方法，通过函数在特定点的前后两点的差值来估计导数的值。

计算公式为：f'(x)≈(f(x+h)-f(x-h))/(2h)中心差分法相对于前向差分法和后向差分法来说，误差更小，计算结果更稳定。

除了有限差分法，插值法也是一种常用的数值微分方法。

它通过利用已知点的函数值来估计未知点上的函数值，从而近似计算函数的导数。

常见的插值法包括拉格朗日插值法和牛顿插值法。

拉格朗日插值法通过构造一个次数为n的多项式来逼近给定的函数，然后求该多项式的导数。

牛顿插值法则是通过利用已知点的函数值来构造一个插值多项式，然后求该多项式的导数。

插值法在实践中广泛应用，能够提供更精确的数值微分结果。

总的来说，数值微分是一种基于离散点求导数的近似计算方法，可以通过有限差分法和插值法来进行计算。

不同的方法在精度和稳定性上有所差异，具体的选择需根据实际情况进行考虑。

数值微分在科学计算和工程应用中具有重要的地位和作用，是了解和掌握的必备技巧之一。

数值积分与数值微分数值积分和数值微分是数值计算中重要的概念和方法，它们在科学、工程和统计等领域有广泛的应用。

本文将介绍数值积分和数值微分的基本概念、原理和方法，并对其在实际问题中的应用进行讨论。

一、数值积分数值积分是求解定积分的数值近似值的方法。

定积分是函数在给定区间内的面积，表示为∫f(x)dx。

在实际计算中，由于很多函数的原函数求解十分困难或不可求得，因此需要借助数值积分方法来进行求解。

1.1 矩形法矩形法是最基本的数值积分方法之一。

它将积分区间等分为若干小区间，并在每个小区间上取一点，然后用这些小区间上的函数值的平均值来近似积分值。

具体而言，对于等分为n个小区间的积分，矩形法可以表示为：∫f(x)dx ≈ Δx * (f(x0) + f(x1) + ... + f(xn-1))其中，Δx为每个小区间的长度，xi为每个小区间上的取点。

矩形法的计算简单，但精度较低。

1.2 梯形法梯形法是另一种常用的数值积分方法，它通过用梯形面积来逼近积分值。

类似于矩形法，梯形法将积分区间等分为若干小区间，并在每个小区间上取两个点，然后用这些小区间上的梯形面积之和来逼近积分值。

具体而言，梯形法可以表示为：∫f(x)dx ≈ Δx/2 * (f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(xn-1) + f(xn))其中，Δx为每个小区间的长度，xi为每个小区间上的取点。

梯形法相对于矩形法有更高的精度，但计算复杂度也相应提高。

1.3 辛普森法则辛普森法则是一种更加精确的数值积分方法，它利用三次多项式来逼近积分值。

辛普森法则将积分区间等分为若干小区间，并在每个小区间上取三个点，然后通过构造一个三次多项式，利用多项式的积分近似面积来逼近积分值。

具体而言，辛普森法则可以表示为：∫f(x)dx ≈ Δx/3 * (f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + ... + 2f(xn-2) +4f(xn-1) + f(xn))其中，Δx为每个小区间的长度，xi为每个小区间上的取点。

数学的数值微分方程数值微分方程（Numerical Differential Equations）是数学中一个重要的研究领域，它探讨的是通过数值方法求解微分方程的问题。

微分方程是数学模型中常见的一种描述自然现象和工程问题的方程形式，而数值方法则是将微分方程转化为离散的计算问题，并通过计算机进行求解。

数值微分方程的研究由来已久，早在17世纪，数学家Newton、Euler等人就提出了一些基本的数值方法。

随着计算机的发展和数值计算技术的进步，数值微分方程的求解方法也得到了极大的发展和应用。

目前，数值微分方程的应用领域非常广泛，包括物理学、工程学、生物学、经济学等等。

数值微分方程求解的基本思想是将微分方程离散化，即将连续函数转化为离散的数值数据。

为了实现这一转化，需要将时间和空间分割成若干个小区间，在每个小区间内求解微分方程的近似解。

为了提高求解的精度，需要选择合适的离散方法，常用的方法包括有限差分法、有限元法、辛方法等。

有限差分法是数值微分方程求解中最常用的方法之一。

它的基本思想是将微分方程中的导数项用差商来近似表示，通过求解差分方程来获得微分方程的数值解。

有限差分法简单易行，计算效率高，在许多情况下能够提供较好的数值解。

有限元法是一种比较通用的数值方法，它适用于各种不规则的几何形状和复杂的边界条件。

有限元法的基本思想是将求解区域分解为有限个几何单元，通过对每个单元的逼近来得到整个区域的逼近解。

有限元法具有较高的逼近精度和灵活性，适用于一些复杂的物理问题。

辛方法是一种用于保持哈密顿系统能量守恒的数值方法，它在模拟长时间演化的系统中表现出了出色的稳定性和长期保持能量守恒的特点。

辛方法广泛应用于天体力学、分子动力学等领域的模拟计算中。

除了以上提到的方法，还有一些其他的数值方法，如龙格-库塔法、多步法、多项式插值法等，它们在不同的问题和应用中具有各自的优势和适用范围。

总之，数值微分方程是数学中重要的研究内容，通过数值方法求解微分方程可以有效地获得问题的数值解。

数值微分第4章数值积分与数值微分4.1 引⾔4.1.1 数值求积的基本思想实际问题当中常常需要计算积分．有些数值⽅法，如微分⽅程和积分⽅程的求解，也都和积分计算相联系．依据⼈们所熟知的微积分基本定理，对于积分．只要找到被积函数的原函数，便有下列⽜顿－莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式：但实际使⽤这种积分⽅法往往有困难，因为⼤量的被积函数，诸如等等，我们找不到⽤初等函数表⽰的原函数；另外，当是由测量或数值计算给出的⼀张数据表时，⽜顿－莱布尼兹公式也不能直接使⽤．因此有必要研究积分的数值计算问题．积分中值定理告诉我们，在积分区间内存在⼀点，成⽴就是说，底为⽽⾼为的矩形⾯积恰等于所求曲边梯形的⾯积（图４－１）．问题在于点的具体位置⼀般是不知道的，因⽽难准确算出的值．我们将称为区间上的平均⾼度．这样，只要对平均⾼度提供⼀种算法，相应地便获得⼀种数值求积⽅法．如果我们⽤两端点“⾼度”和的算术平均平均作为平均⾼度的近似值，这样导出的求积公式（4.1.1）便是我们所熟悉的梯形公式（⼏何意义参看图４－２）．⽽如果改⽤区间中点的“⾼度”近似地取代平均⾼度，则⼜可导出所谓中矩形公式（今后简称矩形公式）（4.1.2）更⼀般地，我们可以在区间上适当选取某些节点，然后⽤加权平均得到平均⾼度的近似值，这样构造出的求积公式具有下列形式：（4.1.3）式中称为求积节点；称为求积系数，亦称伴随节点的权．权仅仅与节点的选取有关，⽽不依赖于被积函数的具体形式．这类数值积分⽅法通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了⽜顿－莱布尼兹公式需要求原函数的困难．4.1.2 代数精度的概念数值求积⽅法是近似⽅法，为要保证精度，我们⾃然希望求积公式能对“尽可能多”的函数准确地成⽴，这就提出了所谓代数精度的概念．定义１如果某个求积公式对于次数不超过的多项式均能准确地成⽴，但对于次多项式就不准确成⽴，则称该求积公式具有次代数精度．不难验证，梯形公式（4.1.1）的矩形公式（4.1.2）均具有⼀次代数精度．⼀般地，欲使求积公式（4.１.３）具有次代数精度，只要令它对于都能精确成⽴，这就要求(4.1.4) 为简洁起见，这⾥省略了符号中的上下标．如果我们事先选定求积节点，臂如，以区间的等距分点作为节点，这时取求解⽅程组(4.1.4)即可确定求积系数，⽽使求积公式(4.1.3)⾄少具有次代数精度．本章第２节介绍这样⼀类求积公式，梯形公式是其中的⼀个特例．为了构造出形如(4.1.3)的求积公式，原则上是⼀个确定参数和的代数问题．4.1.3 插值型的求积公式设给定⼀组节点且已知函数在节点上的值，作插值函数（参见第２章(2.9)式）．由于代数多项式的原函数是容易求出的，我们取作为积分的近似值，这样构造出的求积公式(4.1.5)称为是插值型的，式中求积系数通过插值基函数的积分得出(4.1.6)由插值余项定理（第２章的定理２）即知，对于插值型的求积公式(4.1.5)，其余项(4.1.7) 式中与变量有关，．如果求积公式(4.1.5)是插值型的，按式(4.1.7)，对于次数不超过的多项式，其余项等于零，因⽽这时求积公式⾄少具有次代数精度．反之，如果求积公式(4.1.5)⾄少具有次代数精度，则它必定是插值型的．事实上，这时公式(4.1.5)对于插值基函数应准确成⽴，即有注意到，上式右端实际上即等于，因⽽式(4.1.6)成⽴．综上所述，我们的结论是：定理１形如(4.1.5)的求积公式⾄少具有次代数精度的充分必要条件是，它是插值型的．4.1.4 求积公式的收敛性与稳定性定义２在求积公式(4.1.3)中，若．其中，则称求积公式(4.1.3)是收敛的．在求积公式(4.1.3)中，由于计算可能产⽣误差，实际得到，即．记．如果对任给⼩正数，只要误差充分⼩就有，(4.1.8) 它表明求积公式(4.1.3)计算是稳定的，由此给出：定义３在任给，若，只要就有(4.1.8)成⽴，则称求积公式(4.1.3)是稳定的．定理２若求积公式(4.1.3)中系数，则此求积公式是稳定的．证明对任给，若取，对都有，则有由定义３可知求积公式(4.1.3)是稳定的．证毕．定理２表明只要求积系数，就能保证计算的稳定性．4.2 ⽜顿－4.3 柯特斯公式4.2.1 柯特斯系数设将积分区间划分为等分，步长，选取等距节点构造出的插值型求积公式(4.2.1)称为⽜顿－柯特斯(Newton-Cotes)公式，式中称为柯特斯系数．按(4.1.6)式，引进变换，则有(4.2.2) 由于是多项式的积分，柯特斯系数的计算不会遇到实质性的困难．当时，这时的求积公式就是我们所熟悉的梯形公式(4.1.1)．当时，按(4.2.2)式，这时柯特斯系数为相应的求积公式是下列⾟普森(Simpson)公式， (4.2.3) ⽽当的⽜顿－柯特斯公式则特别称为柯特斯公式，其形式是(4.2.4)为⾥．下表列出柯特斯系数表开头的⼀部分．从表中看到时，出现负值，于是有，特别地，假定，且，则有它表明初始数据误差将会引起计算结果误差增⼤，即计算不稳定，故时的⽜顿－柯特斯公式是不⽤的．4.2.2 偶阶求积公式的代数精度作为插值型的求积公式，阶的⽜顿－柯特斯公式⾄少具有次代数精度（定理１）．实际的代数精度能否进⼀步提⾼呢？先看⾟普森公式(4.2.3)，它是⼆阶⽜顿－柯特斯公式，因此⾄少具有⼆次代数精度．进⼀步⽤进⾏检验，按⾟普森公式计算得另⼀⽅⾯，直接求积得．这时有，即⾟普森公式即对次数不超过三次的多项式均能准确成⽴，⼜容易验证它对通常是不准确的，因此，⾟普森公式实际上具有三次代数精度．⼀般地，我们可以证明下述论断：定理３当阶为偶数时，⽜顿－柯特斯公式(4.2.1)⾄少具有次代数精度．证明我们只要验证，当为偶数时，⽜顿－柯特斯公式对的余项为零．按余项公式(4.1.7)，由于这⾥，从⽽有．引进变换，并注意到，有，若为偶数，则为整数，再令，进⼀步有，据此可以断定，因为被积函数是个奇函数．证毕．4.2.3 ⼏种低阶求积公式的余项⾸先考虑梯形公式，按余项公式(4.1.7)，梯形公式(4.1.1)的余项，这⾥积分的核函数在区间上保号（⾮正），应⽤积分中值定理，在内存在⼀点，使．(4.2.5) 再研究⾟普森公式(4.2.3)的余项．为此构造次数不超过３的多项式，使满⾜(4.2.6)这⾥．由于⾟普森公式具有三次代数精度，它对于构造出的三次多项式是准确的，即，⽽利⽤插值条件(4.2.6)知，上式右端实际上等于按⾟普森公式(4.2.3)求得的积分值Ｓ，因此积分余项．对于满⾜条件(4.2.6)的多项式，其插值余项由第２章(2.5.11)得，故有．这时积分的核函数在上保号（⾮正），再⽤积分中值定理有．(4.2.7) 关于柯特斯公式(4.2.4)的积分余项，这⾥不再具体推导，仅列出结果如下：．(4.2.8)4.3 复4.4 化求积公式前⾯已经指出⾼阶⽜顿－柯特斯求公式不稳定的，因此，不可能通过提⾼阶的⽅法来提⾼求积精度．为了提⾼精度通常可把积分区间分成若⼲⼦区间（通常是等分），再在每个⼦区间上⽤低阶求积公式．这种⽅法称为复化求积法．本节讨论复化梯形公式与复化⾟普森公式．4.4.1 复4.4.2 化梯形公式将区间划分为等分，分点，在每个⼦区间上采⽤梯形公式(4.1.1)，则得(4.3.1) 记，(4.3.2) 称为复化梯形公式，其余项可由(4.2.5)得．由于，且．所以使．于是复化梯形公式余项为．(4.3.3) 可以看出误差是阶，且由(4.3.3)⽴即得到，当，则，即复化梯形公式是收敛的．事实上只要设，则可得到收敛性，因为只要把改写为．当时，上式右端括号内的两个和式均收敛到积分，所以复化梯形公式(4.3.2)收敛．此外，的求积系数为正，由定理２知复化梯形公式是稳定的．4.4.3 复4.4.4 化⾟普森求积公式将区间分为等分，在每个⼦区间上采⽤⾟普森公式(4.2.3)，若记，则得(4.3.4) 记(4.3.5) 称为复化⾟普森求积公式．其余项由(4.2.7)得，于是当时，与复化梯形公式相似有． (4.3.6)由(4.3.6)看出，误差阶为，收敛性是显然的，实际上，只要则可得收敛性，即此外，由于中求积系数均为正数，故知复化⾟普森公式计算稳定．例１对于函数，给出的函数表（见表４－２），试⽤复化梯形公式(4.3.2)及复化⾟普森公式(4.3.5)计算积分，并估计误差．解将积分区间[0,1]划分为８等分，求得；⽽如果将[0,1]分为４等分，应⽤复化⾟普森法有．⽐较上⾯两个结果和的函数值，计算量基本相同，然⽽精度却差别很⼤，同积分的准确值I=0.9460831⽐较，复化梯形公式的结果只有两位有效数字，⽽复化⾟普森的结果却有六位有效数字．为了利⽤余项公式估计误差，要求的⾼阶导数，由于，所以有，于是．由(4.3.3)得复化梯形公式的误差．对复化⾟普森公式误差，由(4.3.6)得．4.5 ⾼斯求积公式4.5.1 ⼀般理论形如(1.3)的机械求积公式含有个待定参数．当为等距节点时得到的插值求积公式其代数精度⾄少为次，如果适当选取，有可能使求积公式具有次代数精度，这类求积公式称为⾼斯(Gauss)求积公式．为使问题更具有⼀般性，我们研究带权积分，这⾥为权函数，类似(4.1.3)，它的求积公式为，(4.5.1) 为不依赖于的求积系数，为求积节点，可适当选取及使(4.5.1)具有次代数精度．定义４如果求积公式(4.5.1)具有次代数精度，则称其节点为⾼斯点，相应公式(4.5.1)称为⾼斯求积公式．根据定义要使使(4.5.1)具有次代数精度，只要取，对，(4.5.1)精确成⽴，则得．(4.5.2) 当给定权函数，求出右端积分，则可由(4.5.2)解得及．例５试构造下列积分的⾼斯求积公式：．(4.5.3) 解令公式(4.5.3)对于准确成⽴，得(4.5.4) 由于，利⽤(4.5.4)的第１式，可将第２式化为．同样地，利⽤第２式化第３式，利⽤第３式化第４式，分别得到从上⾯三式⼦消去，有进⼀步整理得由此解出，从⽽求出于是形如(4.5.3)的⾼斯求积公式是．从此例看到求解⾮线性⽅程组(4.5.2)较为复杂，通常就很难求解．故⼀般不通过求解⽅程(4.5.2)求及，⽽从分析⾼斯点的特性来构造⾼斯求积公式．定理５插值型求积公式(4.5.1)的节点是⾼斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式与任何次数不超过的多项式带权正交，即．(4.5.5) 证明必要性．设，则，因此，如果是⾼斯点，则求积公式(4.5.1)对于精确成⽴，即有。

数值微分数值微分(numerical differentiation)根据函数在一些离散点的函数值，推算它在某点的导数或高阶导数的近似值的方法。

通常用差商代替微商，或者用一个能够近似代替该函数的较简单的可微函数（如多项式或样条函数等）的相应导数作为能求导数的近似值。

例如一些常用的数值微分公式(如两点公式、三点公式等)就是在等距步长情形下用插值多项式的导数作为近似值的。

此外，还可以采用待定系数法建立各阶导数的数值微分公式，并且用外推技术来提高所求近似值的精确度。

当函数可微性不太好时，利用样条插值进行数值微分要比多项式插值更适宜。

如果离散点上的数据有不容忽视的随机误差，应该用曲线拟合代替函数插值，然后用拟合曲线的导数作为所求导数的近似值，这种做法可以起到减少随机误差的作用。

数值微分公式还是微分方程数值解法的重要依据。

7.1 数值微分7.1.1 差商与数值微分当函数是以离散点列给出时，当函数的表达式过于复杂时，常用数值微分近似计算的导数。

在微积分中，导数表示函数在某点上的瞬时变化率，它是平均变化率的极限；在几何上可解释为曲线的斜率；在物理上可解释为物体变化的速率。

以下是导数的三种定义形式：（7.1）在微积分中，用差商的极限定义导数；在数值计算中返璞归真，导数取用差商（平均变化率）作为其近似值。

最简单的计算数值微分的方法是用函数的差商近似函数的导数，即取极限的近似值。

下面是与式（7.1）相应的三种差商形式的数值微分公式以及相应的截断误差。

向前差商用向前差商（平均变化率）近似导数有：（7.2）其中的位置在的前面，因此称为向前差商。

同理可得向后差商、中心差商的定义。

由泰勒展开得向前差商的截断误差：向后差商用向后差商近似导数有：（7.3）与计算向前差商的方法类似，由泰勒展开得向后差商的截断误差：中心差商用中心差商（平均变化率）近似导数有：（7.4）由泰勒展开得中心差商的截断误差：差商的几何意义微积分中的极限定义，表示在处切线的斜率，即图7.1中直线的斜率；差商表示过和两点直线的斜率，是一条过的割线。

数值微分的计算方法内容摘要 求解数值微分问题,就是通过测量函数在一些离散点上的值,求得函数的近似导数。

本文就所学知识，归纳性地介绍了几种常用的数值微分计算方法。

并举例说明计算，实验结果表明了方法的有效性。

关键词 数值微分 Taylor 展开式 Lagrange 插值 三对角矩阵引言：数值微分即根据函数在一些离散点的函数值，推算它在某点的导数或高阶导数的近似值的方法。

常见的可以用一个能够近似代替该函数的较简单的可微函数（如多项式或样条函数等）的相应导数作为能求导数的近似值，由此也可导出多点数值微分计算公式。

当函数可微性不太好时，利用样条插值进行数值微分要比多项式插值更适宜。

1.Taylor 展开式方法理论基础：Taylor 展开式()()()()()()()()()000000022!!nnx x x x f x f x x x f x f x f x n --'''=+-++++我们借助Taylor 展开式，可以构造函数f x 在点0x x 的一阶导数和二阶导数的数值微分公式。

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