2017-2018-1(A2017)线性代数期末考试试卷

线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。

1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。

x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。

4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。

5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。

二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。

a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。

2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。

第1页共4页 第2页共4页安徽工程大学2017——2018学年第 1学期(线性代数) 课程期末考试试卷 (B) 卷 考试时间 120 分钟,满分100 分要求：闭卷[√],开卷[ ]；答题纸上答题[√],卷面上答题[ ] (填入√)一、选择题 (每小题3分，满分15分)1. 已知A 、B 为n 阶方阵，E 为n 阶单位矩阵，则下列各式中正确的是 ( ).（A ）(A +B )2=A 2+2AB +B 2 （B ） AB =BA （C ）(A +E )(A −2E )=(A −2E )(A +E ) （D ） (AB )2=A 2B 22. 已知A 、B 为2阶方阵，则下列各式中不正确的是 ( ). （A ）|AB |=|A ||B | （B ）|2A |=2|A | （C ）|A T |=|A | （D ）|AB |=|BA |3. 已知 α1，α2，α3 为 R 3中向量，下列说法不正确的是 ( ).（A ）若 α1，α2，α3 线性相关，则 α1，α1+α2，α1+α2+α3 线性相关（B ）若 α1，α2，α3 线性无关，则 α1，α1+α2，α1+α2+α3 线性无关（C ）α1，α2，2α1−α2 线性相关（D ）(1，0，0)T ，(1，1，0)T ,(1，1，1)T线性相关 4．已知A 为 m ×n 矩阵，则非齐次方程 Ax =b 有无穷多解的充要条件是 ( ).（A ）r (A )<n （B ） r (A )=r (A |b )<n （C ）r (A )=r (A |b )=n （D ） r (A )<n,r (A |b )=n 5. 已知 x,y 为内积空间V 中向量，下列说法不正确的是 ( ). （A ）若 x ⊥y , 则 ‖x +y ‖2=‖x ‖2+‖y ‖2 （B ）若 x ⊥y , 则 ‖x −y ‖2=‖x ‖2+‖y ‖2 （C ） λ 为任意实数，‖λx ‖=λ‖x ‖ （D ）|〈x,y 〉|≤‖x ‖‖y ‖二、填空题（每空3分，满分15分）1. 已知矩阵 A =(1−2y−1x −32−42y)，且 r (A )=1，则x=____,y=____.2. 已知 A 为3阶方阵，A ∗ 为其伴随矩阵，且 |A |=2，则 |A ∗|=_____.3．齐次线性方程组 { x 1+x 3=0x 2−x 4=0 的解空间维数为______.4. 已知矩阵 (x 110y 1004) 相似于对角矩阵 (100020004)，则x 2+y 2=______.5. 二次型 f (x,y,z )=x 2+2y 2+2xy +4xz −2yz 的矩阵为第3页共4页 第4页共4页___________.三、计算题(每小题10分，满分60分)1. 已知矩阵 X 满足 XA =X +A ，其中 A =(001020002)，求 X .2. 计算行列式 D =|a 01−a b20−b3|. 3. λ为何值时，齐次线性方程组 { x 1+3x 2+5x 3=02x 1+x 2=03x 1+4x 2+λx 3=0有非零解，并求此时方程组的一般解.4. 求矩阵 A =(1−2−1221−442) 的秩 r (A )，以及列空间 R (A )的一组基。

线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题5分，共25分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。

3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。

4．已知矩阵A 为3⨯3的矩阵，且3||=A ，则=|2|A 。

5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

二、选择题 （每小题5分，共25分）6．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时，该二次型为正定？（ ） A.054<<-t B.5454<<-t C.540<<t D.2154-<<-t 7．已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，求x 的值（ ）A.3B.-2C.5D.-58．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ） A. 0≠A B. 01≠-AC.n A r =)(D.A 的行向量组线性相关9．过点（0，2，4）且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为（ ） A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y x C.14322+=+=-z y x D.24322+=+=z y x 10．已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1513A ,其特征值为（ ） A.4,221==λλ B.4,221-=-=λλ C.4,221=-=λλ D.4,221-==λλ 三、解答题 （每小题10分，共50分）11.设,1000110001100011⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2000120031204312C 且矩阵X 满足关系式E X B C T =-)(， 求X 。

2017~2018学年第二学期《线性代数及其应用》期末考试试卷（2018 年 6 月15日）A 卷一、填空题（共15分，每小题3分）1、设向量组[][][]T T T1231,2,5,3,3,1,4,1,7,1,2,k ==-=--ααα线性相关，则k =_________.2、设123,,ααα是n 元线性方程组=0AX 的一个基础解系，且1223,,t t ++αααα31t +αα也是=0AX 的一个基础解系，则t 的取值范围是___________________________ .3、设3阶方阵A 的特征值为1,2,3，*A 为A 的伴随矩阵，则2tr(+)*=A A _____________.4、设矩阵A 与2102B ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦相似，则10.A =5、设A 为3阶实对称矩阵，且满足22+=A A O ，≠A O ，已知3k +A E 为正定矩阵，则实数k 的取值范围是_____________________.二、单项选择题（共15分，每小题3分）1、设向量组(I)含有非零向量，且向量组(II)是(I)的一个部分组，则下列说法中正确的是( ).(A) 若(I)线性相关，则(II)线性相关(B) 若(I)线性无关，则(II)线性无关(C) 若(II)线性无关，则(I)线性无关(D) 若(I)可由(II)线性表示，则(II)是(I)的极大无关组2、设W 是线性空间V 的子空间，则下列说法中错误的是( ).(A) V 中的零向量必然也在W 中(B) 若12,,,s ααα与12,,,t βββ均为W 的基，则s t = (C) 若12,,,s ααα是W 中线性无关的向量组，则dim s W ≤ (D) 若12,,,s ααα可以生成W ，则12,,,s ααα是W 的一个基3、设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，且=AB C ，其中C 为可逆矩阵，则( ).(A) A 的列向量组线性无关，B 的列向量组线性无关(B) A 的列向量组线性无关，B 的行向量组线性无关(C) A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性无关(D) A 的行向量组线性无关，B 的行向量组线性无关4、设3元列向量[]T1,2,3α=，矩阵T αα=A , 则下列叙述中错误的是( ). (A) A 是实对称矩阵 (B) A 的特征值为14, 0, 0(C) α不是A 的特征向量 (D) A 与diag(1,0,0)合同5、设123,,ααα为矩阵A 的分别属于特征值1237,2,3λλλ===的特征向量，而[]2313,7,2=-αααS ，则1S AS -=( ).(A) 700020003⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (B) 700030002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (C) 200030007⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (D)60002100014⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦三、 解答题 （共16分，每小题8分）1、设232321234()12,()12,()27,()56f x x x f x x x f x x x x f x x x =+-=++=+++=+- 39x +，求向量组1234(),(),(),()f x f x f x f x 的秩和一个极大无关组.2、 设011α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是矩阵1012213a b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的特征向量，且A 可对角化，求参数,a b 的值. 四、（11分）设[]T 1,6,t =β可由向量组[][][]T T T 12341,2,4,1,1,5,1,4,2,αααα=== []T 1,5,1=线性表示. 求参数t 的值，并求出全部线性表示关系式.五、（11分）已知线性空间3的两个基 (I) [][][]T T T 1231,1,1,1,2,3,1,3,4ααα===；(II) [][][]T T T 1231,4,6,1,2,2,1,0,0βββ===.(1) 求由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵S ；(2) 求3中满足在基123,,ααα和基123,,βββ下具有相同坐标的向量.六、（11分）设σ是线性空间3上的线性变换，规定()[][]T T 312323123,,,,,x x x x x x x x αα=+-∀=∈σ. (1) 求σ在标准基[][][]T T T1231,0,0,0,1,0,0,0,1εεε===下的矩阵A ； (2) 求σ在基[][][]T T T 1231,0,0,0,2,1,0,5,3ααα===下的矩阵B .七、（15分）设实二次型222123123121323(,,)222f x x x x x x x x x x x x =++---.(1) 求一个正交线性替换，将二次型123(,,)f x x x 化为标准形，并写出其标准形；(2) 求二次型123(,,)f x x x 的正惯性指数和秩.八、（6分）设123,,ααα是欧氏空间3的一个标准正交基，且111121231321212223233131232333,,,s s s s s s s s s βαααβαααβααα=++=++=++ 令33[]ij s ⨯=S . 证明：(1) 若S 为可逆矩阵， 则123,,βββ是3的一个基； (2) 若S 为正交矩阵， 则123,,βββ也是3的一个标准正交基.。

线性代数期末试卷一一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）（5）设矩阵210120001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，矩阵B 满足*2=+ABA BA E ，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则||=B __________.解：||=B 19.显然||3=A ，在等式*2=+ABA BA E 两端右乘A 得36=+AB B A (36)-=A E B A 上式取行列式03030||3003=-B故 1||9=B . 方法二：因||3=A ，则*31||||9-==A A将**2=+ABA BA E 移项得 *(2)-=A E BA E 两端取行列式得1||91⋅⋅=B ，故1||9=B .二、选择题（本题8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（11）设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B ，再把B 的第2列加到第3列得C ，则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为（A ）010100.101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.解：（D ）正确. 由题意12=AE B ，其中12010100001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E 为第一种类型初等矩阵，23(1)=BE C ，其中23100(1)011001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E 为第三种类型初等矩阵.于是有 1223(1)==AE E C AQ则 1223010100011(1)100011100001001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q E E与所给答案比较，选（D ）.（12）设,A B 为满足=AB 0的任意两个非零矩阵，则必有 （A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. （D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. 解：（A ）正确.设A 为m n ⨯矩阵，B 为n p ⨯矩阵，因为 =AB 0故 ()()r r n +≤A B ，其中(),()r r A B 分别表示矩阵,A B 的秩.又因为,A B 皆是非零矩阵，故()0,()0r r >>A B ，所以()r n <A ，()r n <B .因此A 的列秩数，B 的行秩数小于n ，这说明A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，故选（A ）.取101000⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，100110⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭B ，则0000⎛⎫= ⎪⎝⎭AB ， 由B 的列向量组线性无关知（B ）、（D ）错误.取101010-⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，100110⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B ，则0000⎛⎫= ⎪⎝⎭AB ，由A 的行向量组线性无关知（C ）错误.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （20）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2)()0,n nn a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩L L L L L试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.解法1 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有11111111222220000aa a a a n n n n a na a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A B L L L L L L L L L L. 当0a =时，()1r n =<A ，故方程组有非零解，其同解方程组为120n x x x +++=L ， 由此得基础解系为T T T121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n -=-=-=-ηηηL L L L ，于是方程组的通解为1111n n x k k --=++ηηL ，其中11,,n k k -L 为任意常数. 当0a ≠时，对矩阵B 作初等行变换，有(1)1111000221002100.001001n n a a n n +⎛⎫++⎛⎫ ⎪⎪⎪-⎪-→→⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎝⎭-⎝⎭B L L L L L L L L LL可知(1)2n n a +=-时，()1r n n =-<A ，故方程组也有非零解，其同解方程组为 1213120,30,0,n x x x x nx x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩M由此得基础解系为T(1,2,,)n =ηL ， 于是方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. 解法2 方程组的系数行列式为111112222(1)||.2n aa n n a a nnn n a-+++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭+A L L L LL当||0=A ，即0a =或(1)2n n a +=-时，方程组有非零解.当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有1111111122220000,0000n n n n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A L L L L L L L L L L 故方程组的同解方程组为120,n x x x +++=L 由此得基础解系为T T T121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n -=-=-=-ηηηL L L L ，于是方程组的通解为1111n n x k k --=++ηηL ，其中11,,n k k -L 为任意常数.当(1)2n n a +=-时，对系数矩阵A 作初等行变换，有 11111111222220000aa a a an n n n a na a ++⎛⎫⎛⎫⎪⎪+-⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A L L LLL L L L L L . 1111000021002100.00101a n n +⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭L L LL L L L L L L 故方程组的同解方程组为1213120,30,0,n x x x x nx x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩M由此得基础解系为T(1,2,,)n =ηL ， 于是方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. （21）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化.解：A 的特征多项式为1232201431431515a aλλλλλλλ-----=-------11010(2)143(2)13315115aa λλλλλλ-=--=---------2(2)(8183)a λλλ=--++.若2λ=是特征方程的二重根，则有22161830a -++=，解得2a =-.当2a =-时，A 的特征值为2,2,6，矩阵1232123123-⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪--⎝⎭E A 的秩为1，故2λ=对应的线性无关的特征向量有两个，从而A 可相似对角化.若2λ=不是特征方程的二重根，则28183a λλ-++为完全平方，从而18316a +=，解得23 a=-.当23a=-时，A的特征值为2,4,4，矩阵32341032113⎛⎫⎪-⎪-= ⎪⎪--⎪⎝⎭E A的秩为2，故4λ=对应的线性我关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化.线性代数期末试卷二一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中的横线上.） （6）同数学（一）一、（5）.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项目前的字母填在题后的括号内.） （13）同数学（一）二、（11）. （14）同数学（一）二、（12）.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.解法1 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有111111112222200.33333004444400aa a a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A B 当0a =时，()14r =<A ，故方程组有非零解，其同解方程组为 12340x x x x +++=.由此得基础解系为T T T123(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)=-=-=-ηηη，于是所求方程组的通解为112233k k k =++x ηηη，其中123,,k k k 为任意常数. 当0a ≠时，11111000021002100,3010301040014001a a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭B 可知10a =-时，()34r =<A ，故方程组也有非零解，其同解方程组为12131420,30,40,x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩由此得基础解系为 T(1,2,3,4)=η，于是所求方程组的通解为 k =x η，其中k 为任意常数. 解法2 方程组的系数行列式311112222||(10)33334444aa a a a a++==+++A .当||0=A ，即0a =或10a =-时，方程组有零解. 当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有11111111222200003333000044450000⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ， 故方程组的同解方程组为12340.x x x x +++= 其基础解系为T T T123(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)=-=-=-ηηη，于是所求方程组的通解为112233k k k =++x ηηη，其中123,,k k k 为任意常数. 当10a =-时，对A 作初等行变换，有911191112822201000337330010*******0010--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪=→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A91110000210021003010301040014001-⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 故方程组的同解方程组为2131412,3,4,x x x x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩其基础解系为T(1,2,3,4)=η，于是所求方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. （23）（本题满分9分） 同数学（一）三、（21）.线性代数期末试卷三一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（4）二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++的秩为_________.解：秩为 2 .222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++ 222123121323222222x x x x x x x x x =++++-于是二次型f 的表示矩阵为211121112⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A易求得()2r =A ，故二次型f 的秩为2.二、选择题（本题8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.） （12）设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有 （A ）当||(0)a a =≠A 时，||a =B . （B ）当||(0)a a =≠A 时，||a =-B . （C ）当||0≠A 时，||0=B . （D ）当||0=A 时，||0=B . 解：（D ）正确.因为n 阶矩阵A 与B 等价，故存在n 阶可逆矩阵,P Q 使 =PAP B故 ||||||||=B P A Q当||0=A 时，自然有||0=B ，故（D ）正确.当||0≠A 时，由||,||P Q 皆不为零，故||0≠B ，所以（C ）错误.当||0a =≠A 时，||||||a =B P Q ，仅由A 与B 等价，无法推出||||1=±P Q ，故（A ）、（B ）不正确.当,A B 相似时，（A ）才正确.（13）设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*≠A 0，若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组=Ax b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组=Ax 0的基础解系.（A ）不存在. （B ）仅含一个非零解向量. （C ）含有两个线性无关的解向量. （D ）含有三个线性无关的解向量. 解：（B ）正确.因*=A 0，故*A 中至少有一个非零元素. 由于*A 中元素恰为A 的1n -阶代数余子式所组成，故A 至少有一个1n -阶子式非零，这表明()1r n ≥-A .现断言()r n ≠A ，否则A 可逆，则线性方程组=Ax b 有惟一解，这与12,ξξ是非齐次线性方程组=Ax b 不同的解矛盾.由此必有()1r n =-A ，所以齐次线性方程组=Ax 0的解空间维数为(1)1n n --=，即=Ax 0的基础解仅含一个非零解向量. 可见（B ）正确，（A ）错误.尽管从1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组=Ax b 的互不相等的解，可以得出=Ax 0有三个不同的非零解，如121314,,,---ξξξξξξ但是它们是成比例的线性相关解，也就是说=Ax 0不会有两个，更不会有三个线性无关的解向量，即（C ）、（D ）不正确.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （20）（本题分13分）设T T T 123(1,2,0),(1,2,3),(1,2,2)a a b a b ==+-=---+ααα，T(1,3,3)=-β. 试讨论当,a b为何值时，（I ）β不能由123,,ααα线性表示；（II ）β可由123,,ααα惟一地线性表示，并求出表示式；（III ）β可由123,,ααα线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式. 解：设有数123,,k k k ，使得112233k k k ++=αααβ. （*） 记123(,,)=A ααα. 对矩阵()Aβ施以初等行变换，有1111()22230323a b a a b -⎛⎫ ⎪=+-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭A β111101000a b a b -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭.（I ）当0,a b =为任意常数时，有1111()0010001b -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A β.可知()()r r ≠A A β. 故方程组（*）无解，β不能由123,,ααα线性表示.（II ）当0a ≠，且a b ≠时()()3r r ==A A β，故方程组（*）有惟一解 123111,,0,k k k a a=-== 则β可由123,,ααα惟一地线性表示，其表示式为1211(1)a a=-+βαα.（III ）当0a b =≠时，对()A β施以初等行变换，有110011()011.0000a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A β. 可知()()2r r ==A A β，故方程组（*）有无穷多解，其全部解为123111,(),k k c k c a a=-=+=，其中c 为任意常数.β可由123,,ααα线性表示，但表示式不惟一，其表示式为12311(1)()c c a a=-+++βααα. （21）（本题满分13分）111b b bb b b ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A L L M M M L. （I ）求A 的特征值和特征向量；（II ）求可逆矩阵P ，使得1-P AP 为对角矩阵. 解：（I ）1º当0b ≠时，11||1b b b b bbλλλλ-------=---E A L LM M ML1[1(1)][(1)]n n b b λλ-=-----.故A 的特征值为121(1),1n n b b λλλ=+-===-L .对于11(1)/n b λ=+-，设A 的属于特征值1λ的一个特征向量为1ξ，则1111[1(1)]1b b b b n b b b ⎛⎫⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξξL L M M M L ， 解得T1(1,1,,1)=ξL ，所以全部特征向量为T1(1,1,,1)k k =ξL （k 为任意非零常数）.对于21n b λλ===-L ，解齐次线性方程组[(1)]0b --=E A x ，由111000(1)000b b b b b b b b b b ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪--=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭E A L L LL M M M M M M L L， 解得基础解系T2(1,1,0,,0)=-ξL ，T3(1,0,1,,0)=-ξL ，… …T(1,0,0,,1)n =-ξL .故全部特征向量为2233n n k k k +++ξξξL （2,,n k k L 是不全为零的常数）. 2º当0b =时，特征值11n λλ===L ，任意非零列向量均为特征向量. （II ）1º当0b ≠时，A 有n 个线性无关的特征向量，令12(,,,)n =P ξξξL ，则 1diag{1(1),1,,1}.n b b b -=+---P AP L 2º当0b =时，=A E ，对任意可逆矩阵P ，均有 1-=P AP E .注：T1(1,1,,1)=ξL 也可由求解齐次线性方程组1()λ-=E A x 0得出.线性代数期末试卷四一、填空题（本题共6小题，每小4分，满分24分. 把答案填在题中横线上.）（4）设1010100,001--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭A B P AP ，其中P 为三阶可逆矩阵，则200422-=B A _________. 解：300030001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. 由010100001-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 得2100010001-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，故4=A E ，其中E 是3阶单位阵，所以2004=A E .由1-=B P AP 得200412004-==B P A P E于是 20042210020030022010020030001002001-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭BA E A . （5）设33()ij a ⨯=A 是实正交矩阵，且T 111,(1,0,0)a b ==，则线性方程组=Ax b 的解是__________.解：T (1,0,0).在方程=Ax b 两端左乘TAT T =A Ax A b 则 2131T 122232121323331311100a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x A b将 12131a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x 代回=Ax b 有2131122232121323331311100a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由此得22121311a a ++=因A 为实矩阵，故12130a a ==，因此=Ax b 的解为100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（12）同数学（三）二、（12）.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（20）（本题满分13分）设线性方程组1234123412340,220,3(2)(4)41,x x x x x x x x x x x x λμλμ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++++=⎩已知T(1,1,1,1)--是该方程组的一个解. 试求（I ）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； （II ）该方程组满足23x x =的全部解.解：将T (1,11,1)--代入方程组，得λμ=. 对方程组的增广矩阵施以初等变换，得 1102112032441λλλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪++⎝⎭A 102101311.002(21)2121λλλλλλ---⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪---⎝⎭（I ）当12λ≠时，有 1001011010.221100122⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 因()()34r r ==<A A ，故方程组有无穷多解，全部解为T T 11(0,,,0)(2,1,1,2)22k =-+--ξ， 其中k 为任意常数.当12λ=时，有 11101220131100000⎛⎫-- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A .因()()24r r ==<A A ，故方程组有无穷多解，全部解为T T T 121(,1,0,0)(1,3,1,0)(1,2,0,2)2k k =-+-+--ξ， 其中12,k k 为任意常数.（II ）当12λ≠时，由于23x x =，即 1122k k -+=-. 解得12k =，方程组的解为T T T 111(0,,,0)(2,1,1,2)(1,0,0,1)222=-+--=-ξ. 当12λ=时，由于23x x =，即 121132k k k --=. 解得121142k k =-，故全部解为 T T 2111311(,,,0)(,,,2)444222k =-+---ξ， 其中2k 为任意常数.[注]：在题（II ）中，12λ=时，解得21122k k =-时，全部解也可以表示为 T T 1(1,0,0,1)(3,1,1,4)k =-+-ξ，其中1k 为任意常数.（21）（本题满分13分）设三阶实对称矩阵A 的秩为122,6λλ==是A 的二重特征值. 若T T T 123(1,1,0),(2,1,1),(1,2,3)===--ααα都是A 的属于特征值6的特征向量. （I ）求A 的另一特征值和对应的特征向量；（II ）求矩阵A .解：（I ）因为126λλ==是A 的二重特征值，故A 的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个. 由题设可得123,,ααα的一个极大无关组为12,αα，故12,αα为A 的属于特征值6的线性无关的特征向量.由()2r =A 可知，||0=A ，所以A 的另一特征值30λ=. 设30λ=所对应的特征向量为T 123(,,)x x x =α，则有T T120,0==αααα，即 121230,20.x x x x x +=⎧⎨++=⎩ 解得此方程组的基础解系为T (1,1,1)=-α，即A 的属于特征值30λ=的特征向量为T (1,1,1)c c =-α，（c 为不为零的任意常数）.（II ）令矩阵123(,,)=P ααα，则1600060000-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ，所以 1600060000-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A P P .又1011112333111333-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭P ， 故422242.224⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A。

线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。

4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。

5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。

（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。

（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。

（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。

( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=TA A （ ）。

① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。

① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，， 21中不含零向量3. 下列命题中正确的是( )。

① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。

线性代数第二学期期末测试试卷含答案班别_________ 姓名___________ 成绩_____________第一部分 客观题（共30分）一、单项选择题（共 10小题，每小题2分，共20分）1. 若行列式111213212223313233a a a a a a d a a a =，则212223111213313233232323a a a a a a a a a 等于 ( ) (A) 2d (B) 3d (C) 6d (D) 6d -2. 设123010111A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，ij M 是A 中元素ij a 的余子式，则313233M M M -+=（ ）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下列各式恒成立的是（ ） (A) |2|2||T A A = (B) 11(2)2A A --= (C) *1A A -= (D) 11[()][()]T T T T A A --= 4. 初等矩阵满足（ ）(A) 任两个之乘积仍是初等矩阵 (B) 任两个之和仍是初等矩阵 (C) 都是可逆矩阵 (D) 所对应的行列式的值为1 5. 下列不是．．n 阶矩阵A 可逆的充要条件为（ ）(A) 0≠A (B) A 可以表示成有限个初等阵的乘积 (C) 伴随矩阵存在 (D) A 的等价标准型为单位矩阵 6. 设A 为m n ⨯矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，B AC =，则 ( )。

(A) 秩(A )> 秩(B ) (B) 秩(A )= 秩(B )(C) 秩(A )< 秩(B ) (D) 秩(A )与秩(B )的关系依C 而定 7. 如果向量β可由向量组12,,,s ααα线性表示,则下列结论中正确的是（ ） (A) 存在一组不全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立(B) 存在一组全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立(C) 存在一组数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立(D) 对β的线性表达式唯一8. 设12,ξξ是齐次线性方程组0AX =的解，12,ηη是非齐次线性方程组AX b =的解，则（ ）(A) 112ξη+为0AX =的解 (B) 12ηη+为AX b =的解 (C) 12ξξ+为0AX =的解 (D) 12ηη-为AX b =的解9. 设110101011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则A 的特征值是( )。

A. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα都不是零向量;B. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα中至少有一个向量可由其余向量线性表示;C. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα中任意两个向量都不成比例;D. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα中任一部分组线性无关.6. 若二次型222123123(,,)(1)(1)(2)f x x x k x k x k x =++-+-正定，则k 的取值范围为 ( A ). A. 2k > ; B. 1k >; C. 12k << ;D. 1k >-.二、填空题 （共22分,第1-6小题每小题3分，第7小题4分）1. 行列式是一个 数值 ，矩阵是一个 数表 。

（请填“数表或数值”）2. 100201100010140001201103010⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭=210104350⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 3. 行列式111111x x x= (x +2)(x -1)2 或x 3-3x +2 ．4. n 元齐次线性方程组A x =0只有零解的充要条件是 R(A)=n ．5. 设向量1-2-1⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α，β=22λ-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭正交，则λ= -6 ．6. 任意n +1个n 维向量 线性相关 .填（“线性相关”或“线性无关”）7. 已知三阶方阵A 的三个特征值分别为1,1,2,-则_-2_,A =1*132__.2A A -+=三、计算题 （共60分）1. （10分） 设122212221A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，1) 判断A 是否可逆；（4分）2) 如果A 可逆，请用初等行变换求出-1A .（6分）解：1） 由于||=-270A ≠，所以A 可逆。

(4分)2）用初等行变换求得11/92/92/92/91/9-2/92/9-2/91/9A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

（6分）2. （10分）计算行列式2004310050100232D =.解：将D 的第三行的-3倍加到第四行，得：2004200431003100501050100232-15202D ==（2分）对200431005010-15202按第三列展开，得：204310-1522D = （3分）将204310-1522第二行的-2倍加到第三行，得： 204310-2102D = （2分） 按第二列展开得2488-212D ==。

2017~2018学年秋季学期《线性代数》课程考试试题解析一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中）1.设100220345A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，*A 为A 的伴随矩阵，则1*1|()|4A A --=.解析：由于2211110,|10,,10A A A A A A A *-**=====则31*116(6)|()|441010A A A A A --**---=-==注释本题知识点：（1）1;n A A -*=（2）;AA A A A E **==（3）.n A A λλ=答案：3(6)10-2.设矩阵101112,011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭321,,ααα为线性无关的三维列向量组，则向量组123,,A A A ααα的秩为.解析：矩阵101112011A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭的秩为2,321,,ααα为线性无关的三维列向量组，因此，矩阵123(,,)ααα可逆，而123123(,,)(,,)A A A A αααααα=，则123,,A A A ααα的秩为2.注释本题知识点：(1)矩阵的秩的定义；(2)矩阵秩的性质:若=A PBQ ，其中,P Q 为可逆的矩阵，则=()()R A R B (3)向量组的秩与矩阵秩的关系:向量组321,,ααα的秩等于矩阵123(,,)ααα的秩．答案：2.3.设100020001A -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，要使A kE +为正定矩阵，k 应满足.解析：100020001A -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭特征值为1,2,1λ=-，则A kE +的特征值为1,2,1k k k λ=-+++，若A kE +为正定矩阵，则10,20,10k k k -+>+>+>，故1k >．注释本题知识点：（１）A 为正定矩阵的充要条件是A 的所有特征值大于零；答案：1k >4.设A 是三阶实对称矩阵，A 的秩()1,R A =若25A A O -=，则A 的非零特征值是.解析：由25A A O -=知矩阵A 的特征值为0λ=或5λ=，由A 的秩()1,R A =知A 的非零特征值是5.注释本题知识点：(1)特征值的定义；(2)正定矩阵的性质．答案：55.在四元非齐次线性方程组Ax b =中，A 的秩R (A )=3,且123,,ααα为它的三个解向量,已知()()1232,0,5,1,1,0,0,2,T Tααα=-+=则方程组Ax b =的通解可以写成.解析：由于A 的秩R (A )=3，则在四元齐次线性方程组0Ax =的基础解系中含有一个非零的解向量．又123,,ααα为Ax b =的三解向量,且()()1232,0,5,1,1,0,0,2,TTααα=-+=则231()2(1,0,0,2)2(2,0,5,1)(3,0,10,4),T T T ααα+-=--=--是齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系，则非齐次线性方程组Ax b =的通解为-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2300,51014k k R ．注释本题知识点：（１）线性方程组通解的结构答案：-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2300,51014k k R 二、选择题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1.设矩阵123456789A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，001010100P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100001010Q ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则PAQ 为（）(A)123456789⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)132465798⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(C)798465132⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭.(D)321987.654⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解析：001123100789100798010456001456001465100789010123010132PAQ ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭注释本题知识点：(1)初等矩阵在矩阵行列变换中的作用答案：C2.下列矩阵中,不能相似于对角阵的是（）(A)001010.100⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B)111022.003⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭(C)121242.121-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭(D)211020.403-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭解析：(A)中矩阵⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭001010100是实对称矩阵，能与对角阵相似；(B)中矩阵⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭111022003有三个不同的特征值1,2,3λ=，则能对角化；(C)中矩阵-⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎝⎭121242121特征值为0,0,3λ=，0λ=为二重特征值，但对应两个线性无关的特征向量，因此能对角化．(D)中矩阵-⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭211020403特征值2λ=为二重特征值，但对应一个线性无关的特征向量，因此不能能对角化．注释：本题知识点：(1)n 阶方阵对角化的充分必要条件是：存在n 个线性无关的特征向量；(2)实对称矩阵一定能对角化．答案：D3.设)(ij a A =是三阶方阵,满足*T A A =，其中*A 为A 的伴随矩阵,A 为A 的行列式，则||A ＝()(A)0.(B)0或1.(C)-1.(D)1.解析：由*T A A =得,T A A A *==,由于2A A *=，得(1)0A A -=,故0A =或1.注释本题知识点：(1)行列式性质TA A =；(2)行列式性质1n A A-*=．答案：B4.设123,,ξξξ是方程组0Ax =的基础解系，则下列向量组中也是方程组0Ax =的基础解系的是（）(A)122331,,ξξξξξξ+++.(B)122331,,ξξξξξξ+-+.(C)122331,,ξξξξξξ---.(D)1231312,,2ξξξξξξξ+-++.解析：（A）中122331123101(,,)(,,)110011ξξξξξξξξξ⎛⎫ ⎪+++= ⎪ ⎪⎝⎭，而矩阵101110011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭可逆，则122331,,ξξξξξξ+++线性无关，为方程组0Ax =的基础解系；（B）中122331123101(,,)(,,)110011ξξξξξξξξξ⎛⎫ ⎪+-+= ⎪ ⎪-⎝⎭，而矩阵101110011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭不可逆，则122331,,ξξξξξξ+++线性相关，不为方程组0Ax =的基础解系；(C)中122331123101(,,)(,,)110011ξξξξξξξξξ-⎛⎫ ⎪---=- ⎪ ⎪-⎝⎭，而矩阵101110011-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭不可逆，则122331,,ξξξξξξ---线性相关，不为方程组0Ax =的基础解系；（D）中1231312123112(,,2)(,,)101110ξξξξξξξξξξ⎛⎫ ⎪+-++= ⎪ ⎪-⎝⎭，而矩阵112101110⎛⎫⎪⎪⎪-⎝⎭不可逆，则1231312,,2ξξξξξξξ+-++线性相关，不为方程组0Ax =的基础解系；注释本题知识点：（１）线性方程组基础解系的定义；(2)向量组的秩与矩阵秩的关系；(3)矩阵秩的性质．答案：A5.设n 维列向量组1,,()m m n αα< 线性无关，则n 维列向量组1,,m ββ 线性无关的充分必要条件为（）(A)向量组1,,m αα 可由向量组1,,m ββ 线性表示.(B)向量组1,,m ββ 可由向量组1,,m αα 线性表示.(C)向量组1,,m αα 与向量组1,,m ββ 等价.(D)矩阵1(,,)m A αα= 的秩()R A 等于矩阵1(,,)m B ββ= 的秩()R B .解析：（A）中令12(1,0,0,0),(0,1,0,0)T T αα==;12(0,0,1,0),(0,0,0,1)T T ββ==,则（A）、(B)、(C)都不成立．在（D）中若矩阵1(,,)m A αα= 的秩()R A 等于矩阵1(,,)m B ββ= 的秩()R B ，则1,,m ββ 线性无关；反之1,,m ββ 线性无关，则矩阵1(,,)m A αα= 的秩()R A 等于矩阵1(,,)m B ββ= 的秩()R B ．注释本题知识点：（１）向量组的线性表示；（２）向量组的等价；（3）向量组秩的定义及性质．答案：D三、（本题满分14分）计算下列各题1.计算四阶行列式0052002112341326D =--.解析:()()00521234002113263254112340052132621D --===--=--2.设n 阶行列式=det()n ij D a ,其中||(1,)ij a i j i j n =-≤≤,求n D .解析：122301231111111012211111310131111132104111111234012340r r n r r n n n D n n n n n n n n n -----------==-------------213112100001200012200(1)(1)2.1222012324251c c n n c c n n n n n n +--+------==-----------注释本题知识点：（1）行列式性质；（2）行列式的计算方法．四、（本题满分16分）1.设三阶方阵A,B 满足16,A BA A BA -=+且131415A ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求B .解析：显然A 可逆，用1A -右乘方程两边，得--=+⇒-=116()6A B E B A E B E ，从而--=-116()B A E ．--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11324,354A A E --⎛⎫⎪⎪⎪-= ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭11121()314A E ．从而--⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭1136()232B A E 2.已知三阶方阵A 的三个特征值分别为1231,0,1,λλλ===-对应的特征向量依次为123(1,2,2),(2,2,1),(2,1,2),T T T p p p ==-=--求矩阵A .解析：由已知，A 可以对角化.令123122(,,)221212P p p p -⎛⎫⎪==-- ⎪⎪⎝⎭，则1101P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，从而1101A P P -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭．112212219212P -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，10210123220A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.注释本题知识点：（1）矩阵的运算；（2）特征值特征向量的定义与矩阵对角化的定义．五、（本题满分12分）设有向量组12341111101121,,,,,2324335185a a a a a b a β⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭问,a b 为何值时,1.β不能由1234,,,a a a a 线性表示.2.β能由1234,,,a a a a 线性表示，且表示式唯一.3.β能由1234,,,a a a a 线性表示，且表示式不唯一，并写出一般表示式.解析：设=++121233x a x a x a β，设1234(,,,)A a a a a =，对增广矩阵(,)A β实行初等行变换()11111111110112101121,2324300103518500010A r a b a b a a β⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪⎪= ⎪ ⎪+++ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，由此可见（1）当1,0a b =-≠时，方程组无解，即β不能由1234,,,a a a a 线性表示；（2）当1a ≠-时，β能由1234,,,a a a a 线性表示，且表示式唯一；（3）当1,0a b =-=，方程组有无穷多解，并且112212123142202112112010001x k k x k k k k x k x k -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即=-+++-++∈121122132412(2)(12),(,).k k a k k a k a k a k k R β．注释本题知识点：（1）向量的线性表示与线性方程组的关系；（2）线性方程组的求解过程与方法．六、（本题满分10分）设A 是n 阶方阵，,,123ααα是n 维列向量，且10α≠，11A αα=，212A ααα=+，323A ααα=+，证明：向量组,,123ααα线性无关.解析：设有三个数123,,k k k 使得1122330k k k ααα++=（1），（1）式两边同时左乘A,可得1122330k A k A k A ααα++=，即11212323()()0k k k ααααα++++=，整理得12123233()()0k k k k k ααα++++=．（2）（2）减（1）得21320k k αα+=，（3）（3）式两边左乘A,得2131320k k k ααα++=（4）（4）减（3）得310k α=，因为10α≠，可得30k =，代入（3）式，可得20k =，从而10k =，即123,,ααα线性无关．注释本题知识点：（1）向量组的线性无关性的定义；（2）证明向量组的线性相关性的方法．七、（本题满分12分）设二次型22212312313(,,)222(0)T f x x x x Ax ax x x bx x b ==+-+>中二次型的矩阵A 的特征值之和为1,特征值之积为-12.1.求,a b 的值.2.用正交变换将二次型f 化为标准形,并写出所用的正交变换及标准形.解析：(1)二次型f 的矩阵为002002a b A b ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭，设A 的特征值为123,,λλλ，由已知条件知123221a λλλ++=+-=，21230020421202a ba b b λλλ==--=--，得1,2a b ==（2）由矩阵A 的特征多项式2102||020(2)(3)202E A λλλλλλ---=-=-+-+，得到A 的特征值为1232,2,3λλλ===-，对于特征值122λλ==，解齐次线性方程组(2)0E A x -=，得基础解系12(2,0,1),(0,1,0)T T ξξ==，对于33λ=-，解齐次线性方程组(3)0E A x --=，得基础解系3(1,0,2),T ξ=-由于123,,ξξξ已经是正交向量组，故只需将其单位化123,(0,1,0),T T T ηηη===-令010Q ⎫⎪⎪= ⎪ ⎪，则Q 为正交矩阵，在正交变换x Qy =下，二次型的标准行为222123223f y y y =+-．注释本题知识点：（1）矩阵特征值、特征向量的定义与性质；（2）二次型化标准形的方法．八、（本题满分6分）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，求n 阶矩阵T A E αα=-的全部特征值并证明其不可逆.解析：因为-=T E A αα为对称矩阵，由=()1T R αα,知-=()1R E A ，则-=()1R A E .所以A-E 的特征值有一个是非零的，其余n -1个都是0．设矩阵A 的所有特征值为12,,n λλλ ，则A-E 的特征值为121,1,,1n λλλ--- ．因此，121,1,,1n λλλ--- 中有n -1个都是0，即12,,n λλλ 有n -1个都是1，由121,1,,1n λλλ--- 中有一个非零知，12,,n λλλ 中有一个不等于1．又因为0T A E ααααα=-=，所以0是A 的特征值．所以矩阵A 的所有特征值为1，1， ，1，0．因为0是A 的特征值,所以A 不可逆.注释本题知识点：（１）矩阵秩的有关结论：()1,0T R ααα=≠；（２）矩阵特征值、特征向量的定义与性质．。