六年级下册数学试题-小升初提升：钟表上的行程问题(无答案)全国通用

第八节 行程问题（一）知识提要：相遇与追及、环形跑道问题一、相遇与追及路程和=速度和×相遇时间；速度和=路程和÷相遇时间；相遇时间=路程和÷速度和；路程差=速度差×追及时间；速度差=路程差÷追击时间；追及时间=路程差÷速度差。

二、环形跑道环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次。

这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。

（1）甲、乙二人分别从东、西两镇同时出发相向而行。

出发2小时后，两人相距54千米；出发5小时后，两人还相距27千米。

问出发多少小时后两人相遇？（2）甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米。

两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，相遇后3时，甲车到达B 地。

求A 、B 两地的距离。

练习1：（1）甲、乙两辆汽车从A 、B 两地同时相向开出，出发后2小时，两车相距141千米；出发后5小时，两车相遇。

A 、B 两地相距多少千米？（2）甲、乙二人同时从A 地去B 地，甲每分钟行60米，乙每分钟行90米，乙到达B 地后立即返回，并与甲相遇，相遇时，甲还需行3分钟才能到达B 地。

A 、B 两地相距多少千米？（1）双胞胎姐妹在同一小学上学，妹妹以每分钟50米的速度从家走向学校，姐姐比妹妹晚10分钟出发，为了不迟到，她以每分钟150米的速度从家跑步上学，结果两人却同时到达学校，求家到学校的距离有多远？（2）小红和小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑20米，则小红跑5秒钟就可追上小蓝；若小红让小蓝先跑4秒钟，则小红跑6秒钟就能追上小蓝。

小红、小蓝二人的速度各是多少？练习2：（1）两辆汽车都从甲地开往乙地，第一辆以每小时30千米的速度从甲地开出，第二辆晚开12分钟，以每小时40千米的速度从甲地开出，结果两车同时到达乙地。

求甲、乙两地的路程。

（2）甲、乙二人练习跑步，若甲让先让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑2秒钟，则甲跑4秒钟就能追上乙。

2024年人教版六年级下册数学小升初专题训练：行程问题姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．从甲地到乙地，小明的平均速度是每分钟120米，已知他往返的平均速度是每分钟90米，那么他返回的平均速度是每分钟（ ）米。

A ．60B ．72C ．75D ．1052．李明小时行千米，求1小时行多少千米？正确的列式是（ ）。

A ．÷B ．÷C ．1÷D ．1÷3．甲乙两人，甲走的路程比乙多，乙用的时间比甲多，那么甲和乙的速度比是（ ）。

A ．11∶8B ．5∶2C ．25∶22D ．8∶114．甲、乙两人同时从A 地出发到B 地，甲在一半时间内每小时走5千米，另一半时间内每小时走4千米；乙在一半路程内每小时走5千米，另一半路程内每小时走4千米。

结果到达B 地的情况是（ ）。

A ．无法确定谁先到达B ．乙先到达C ．甲先到达D ．甲、乙同时到达5．芳芳5分钟步行千米，她用这样的速度在长千米的跑道上走一圈，要走几分钟？下面的算式，错误的是（ ）。

A ．B ．5×C ．6．如图，甲、乙两人沿着边长为90米的正方形，按A→B→C→D→A…方向，甲从A 以65米/分的速度，乙从B 以72米/分的速度同时行走，当乙第一次追上甲时在正方形的（ ）．A ．AB 边上B ．DA 边上C ．BC 边上D ．CD 边上二、填空题7．甲、乙两人同时从相距480米的两地相对而行，6分钟相遇，甲每分钟走35米，乙每分215452154545215215451411031025325105÷⨯310÷2523(5)510÷÷钟走( )米。

8．周泉从家出发到新华书店去买书后回家，去时每分钟走60米，回来时每分钟走40米。

那么往返的平均速度为每分钟( )米。

9．60米赛跑比赛时，李刚跑的最快，当他到终点时，王杰离终点10米，张强离终点20米。

第五讲行程问题例1.当甲在60 m赛跑中冲到终点时，比乙领先10 m，比丙领先20 m，如果乙和丙按原来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时将比丙领先多少?例2.甲、乙两车分别从A、B两地出发，相向而行。

出发时，甲、乙的速度比是5：4；相遇后，甲的速度减少20%，这样当甲到达B地时，乙离4地还有15千米。

问A、B两地相距多少千米？例3.①一辆汽车从甲地到乙地，如果把车速提高20%可比原来时间提早1小时到达；若以原速行驶120千米后，再将车速提高25%，则可提前40分钟到达。

问甲、乙两地相距多少千米？②一辆汽车从甲地运货去乙地，原计划8小时到达，当行驶了360千米时，由于路况不好，速度比原计划减慢了20%，结果比原计划推迟了半小时到达。

问甲、乙两地相距多少千米？例4. 一辆大货车与一辆小轿车同时从甲地开往乙地，小轿车到达乙地后立即返回，返回时速度提高50%，出发2小时后，小轿车与大货车第一次相遇，当大货车到达乙地时，小轿车刚好行驶到甲、乙两地的中点。

问小轿车在甲、乙两地往返一次需要多长时间？例5.米老鼠和唐老鸭进行越野赛跑，按原定的速度，它们目时出发以后，米老鼠将比唐老鸭早到终点1分钟，在比赛前，米老鼠喝兴奋剂使自己的速度提高了20%，唐老鸭穿上了一种特殊的魔力鞋使自己的速度提高了25%，在比赛中魔力鞋发生故障原地修理了2分钟，最后比赛结果为：唐老鸭比米老鼠早到1分钟，那么唐老鸭跑完全程实际一共用了多少分钟？例6.从甲市到乙市有一条公路，它分成三段，在第一段路上，汽车速度是40千米/时；在第二段路上，汽车速度是90千米／时；在第三段路上，汽车速度是50千米／时。

已知第一段路的长恰好是第三段路的2倍，现有两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行，l小时20分后，在第二段路的13处（从甲到乙方向的13处）相遇。

那么甲、乙两市相距多少千米？例7.小明和小亮分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，小明速度是小亮的56，两人分别到达乙地与甲地后，立刻返回各自的出发地。

钟表上的行程时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是时钟对于正常的时钟，具体为：整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。

分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度1时针速度：每分钟走1 【例1】⑴现在是4点，至少再经过多少分钟，时针与分针重合？2小格，每分钟走0.5度【例1】⑵2点钟以后，什么时刻分针与时针第一次成直角？【例2】小红在9点与10点之间开始解一道数学题，当时时针和分针正好成一条直线，当小红解完这道题时，时针和分针刚好第一次重合，小红解这道题用了多少时间？【例3】一部动画片放映的时间不足1时，小明发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。

这部动画片放映了多长时间？【例4】(北京市第11届迎春杯小学数学竞赛决赛试题)有一座时钟现在显示10时整，那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合？再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？经典例题妙解【例5】钟面上3点几分钟时，时针与分针到3 的距离相等？测试题1．2点几分时，分针与时针的夹角是150 ？2．小明在两点到三点之间解一道题目，开始时时针与分针正好重合，解完题时时针与分针正好在一条直线上。

求小明解题用了多少时间？3．钟面上5点到6点之间，分针与时针夹角是直角的是什么时候？4．星期天，豆豆和爸爸、妈妈去动物园。

上午8点多从家里出发，临出门，豆豆看了墙上的挂钟，钟面上的时针和分针恰好重合。

下午3点多，豆豆回家后，又看了看挂钟，这时，时针和分针恰好反向成一条直线。

问：他们是几点从家出发，几点回家的？共出去了多长时间？5．吴老师看一集电视剧，他在刚播出时看了一下手表，结束时又看了一下手表，他发现时针与分针刚好交换了一下位置。

已知电视剧时间不足一个小时，求电视剧播出了多长时间？答案1．答案：从两点开始计算，此时夹角是60 ，那么分针需要比时针多走150 + 60 = 210度或者是360 - (150 - 60) = 270度，2 1 2 1分针与时针的夹角是150 。

奥数思维训练题库---行程问题【基础】【2】从A到B有两条路可走，小王骑车从A过C到B比走另一条路少用3分钟，而从A出发到B，再经过C返回到A要53分钟，小王骑车速度为每小时36千米。

求：小王从A经过C到B所走过的路程。

【答案】15千米【基础】【2】从小明的家到长途汽车站有3千米。

现在从家往车站去，如果用每小时4千米的速度行走，在汽车发车前17分钟到达车站；如果想在汽车发车前2分钟到达车站，那么需用每小时多少千米的速度行走？【答案】每小时3千米【基础】【1】小明以一固定的速度从甲地跑到乙地，上午8时，他离乙地20千米，上午9时半他离乙地8千米，小明几点到达乙地？【答案】十点半【相遇追及】【2】兄弟两人同时从家里出发到学校，路程是1400米。

哥哥骑自行车每分钟行200米，弟弟步行每分钟行80米，在行进中弟弟与刚到学校就立即返回来的哥哥相遇。

从出发到相遇，弟弟走了多少分钟？【答案】10分钟【相遇追及】【3】如图，有两只蜗牛同时一个等腰三角形的顶点A出发，分别沿着两腰爬行。

一只蜗牛每分钟行2.5米，另一只蜗牛每分钟行2米，8分钟后在离C点6米处的P点相遇，则线段BP的长度是多少？【答案】2米(2.5－2)×8=4米，6－4=2米。

则BP长是2米。

【相遇追及】【2】甲、乙二人练习跑歩，若甲让乙先跑10米则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑2秒钟，则甲跑4秒钟就能追上乙.问：甲、乙二人的速度各是________、________。

【答案】6米/秒，4米/秒【相遇追及】【2】甲走一段路用40分钟，乙走同样一段路用30分钟。

从同一地点出发，甲先走5分钟，乙再开始追，乙________分钟才能追上甲。

【答案】20【多次相遇】【1】甲乙两车同时从A、B两地相向而行，甲车每小时行驶36千米，乙车每小时行驶34千米，两车分别到达目的地后立即返回，第二次相遇时共行驶了12小时，两地相距________米。

【答案】280【多次相遇】【2】甲，乙两车分别同时从A,B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇，相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇，AB两地间距离为________。

行程问题进阶1.甲乙两地相距12千米，上午10：45一位乘客乘出租车从甲地出发前往乙地，途中，乘客问司机距乙地还有多远，司机看了计程表后告诉乘客：已走路程的13加上未走路程的2倍，恰好等于已走的路程，又知出租车的速度是30千米/小时，那么现在的时间是多少？2.上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？3.甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B 两地间的距离？4.地铁有A，B两站，甲、乙二人都要在两站间往返行走.两人分别从A，B两站同时出发，他们第一次相遇时距A站800米，第二次相遇时距B站500米.问：两站相距多远？5.如右图，A，B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇.已知C离A有80米，D离B有60米，求这个圆的周长.6.甲、乙两人从相距490米的A、B两地同时步行出发，相向而行，丙与甲同时从A出发，在甲、乙二人之间来回跑步(遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回)．已知丙每分钟跑240米，甲每分钟走40米，当丙第一次折返回来并与甲相遇时，甲、乙二人相距210米，那么乙每分钟走________米；甲下一次遇到丙时，甲、乙相距________米．7.甲、乙两车同时从A地出发，不停地往返行驶于A、B两地之间．已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地．甲车的速度是乙车速度的多少倍？8.甲、乙两人同时A地出发，在A、B两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度，甲每次到达A地、B地或遇到乙都会调头往回走，除此以外，两人在AB之间行走方向不会改变，已知两人第一次相遇的地点距离B地1800米，第三次的相遇点距离B地800米，那么第二次相遇的地点距离B地。

行程问题综合姓名 : ___________ 日期 : ___________典型例题例1 两条公路呈十字交叉。

甲从十字路口南1350米处向北直行，乙从十字路口出向东直行。

同时出发10分钟后，二人离十字路口的距离相等；二人仍保持原来速度直行，又过了80分钟，这时二人离十字路口的距离又相等。

求甲、乙二人的速度。

例2 东东放学回家需走10分钟，西西放学回家需走14分钟。

已知西西回家的路程比东东的路程多16，东东每分钟比西西多走12米，那么西西回家的路程是多少米？例3 如图，摩托车和汽车同时从A 地出发，沿长方形的路两边行使，结果在B 地相遇。

已知B 地与C 地的距离是4千米，且小汽车的速度为摩托车速度的23。

这条长方形路的全长是多少千米？例4 甲、乙两车分别从A 、B 两地同时相向而行。

第一次相遇距A 地100千米，相遇后两车继续以原速前进，到达对方出发点后，按原速返回，第二次相遇离AB 中点偏A 地60千米处。

求A 、B 两地的距离。

A B例5 小明在420米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑8米，后一半时间每秒跑6米。

求他前一半路程用了多少时间？例6 公路上同向行驶着三辆汽车，客车在前，货车在中，小轿车在后，在某一时刻，货车同客车、小轿车的距离相等；走了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车。

再过多少分钟，货车追上客车？例7 甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发相向而行，出发时，甲和乙的速度比是5 : 4，相遇后，甲的速度减少51，乙的速度增加51，这样，当甲到达B 地时，乙离A 地还有10千米，那么A 、B 两地相距多少千米？课后练习1、一条笔直的马路通过A 、B 两地，甲、乙两人同时从A 、B 两地出发，若相向行走，12分钟相遇；若同向行走，8分钟甲就落在乙后面1864米。

已知A 、B 两地相距1800米。

甲、乙每分钟各行多少米？2、老虎和狐狸二人放学回家，都要走20分钟，但老虎回家的路比狐狸多14，又知狐狸比老虎每分钟少走10米，求老虎家离校多少米？3、甲、乙两辆汽车同时从东西两城相向开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行56千米，两车距中点16千米处相遇。

行程问题之环形赛道一、问题导读在封闭的环形上，如果是同时同地背向而行，合走一个周长相遇一次。

相遇时间是：环形周长÷速度和=相遇时间。

如果是同时同地同向而行，速度快的追上速度慢的时候，正好比速度慢的多行一个周长的路程，一周的长度就是追及距离，追上一次。

追及时间是：环形周长÷速度差=追及时间二、典例精析例1．小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米/分。

（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？（2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？解：（1）75秒=1.25分，两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程。

小张的速度是：500÷1.25－180=220（米/分）。

（2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是：500÷（220－180）＝12.5（分）；220×12.5÷500＝5.5（圈）。

答：（1）小张的速度是220米/分；（2）小张跑5.5圈后才能追上小王。

例2．如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点60米.求这个圆的周长。

解：第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一圈。

从出发开始算，两个人合起来走了一周半。

因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，那么从A到D的距离，应该是从A到C距离的3倍，即A到D是80×3＝240（米）；240－60=180（米）；180×2＝360（米）。

答：这个圆的周长是360米。

例3．甲、乙两人在周长600米的水池边上玩，两人从一点出发（甲速度比乙快），同向而行30分钟后又走到一起，背向而行4分钟相遇。

【本节知识框架】知识点一：行船问题知识点二：行程问题（提高）【本节内容】知识点一：行船问题知识点：船在流水中航行的问题叫做行船问题。

船在江、河里航行时，除了它本身的前进速度外，还会受到流水的顺推或逆阻。

除了行程问题中路程、速度和时间之间的基本数量关系在这里要反复用到外，行船问题还有几个基本公式要用到。

①顺水速度 = 船速 + 水速；②逆水速度 = 船速－水速如果已知顺水速度和逆水速度，由和差问题的解题方法，我们可以求出船速和水速。

①船速=（顺水速度+逆水速度）÷2 ；②水速=（顺水速度－逆水速度）÷2（一）简单的顺水、逆水问题例题1 船在静水中的速度为每小时13千米，水流的速度为每小时3千米，船从甲港顺流而下到达乙港用了15小时，从乙港返回甲港需要多少小时？【变式练习】一只船在静水中每小时行12千米，在一段河中逆水航行4小时行了36千米。

这条河水流的速度是多少千米？（二）稍复杂的顺水、逆水问题（与和差问题相结合）例题3 甲、乙两港相距200千米。

一艘轮船从甲港顺流而下10小时到达乙港，已知船速是水速的9倍。

这艘轮船从乙港返回甲港用多少个小时？分析：解这道题，关键是分析题目中的条件“船速是水速的9倍”，算出水速。

【变式练习】A、B两个码头相距112千米，一艘船从B码头逆水而上，行了8小时到达A码头。

已知船速是水速的15倍，这只船从A码头返回B码头需要几小时？例题4 从甲地到乙地的水路有120千米，水流速度是每小时2500米，某船在静水中每小时行7500米，则它在甲、乙两地之间往返一次需要小时。

【变式练习】甲、乙两地相距420千米，一艘轮船从甲地到乙地是顺水航行，船在静水中的速度是每小时24千米，水流速度是每小时4千米。

求这艘轮船在甲、乙两地间往返一次需要多少小时？例题5 大运河上游有码头甲，下游有码头乙，甲、乙码头之间的水路是260千米。

某船从甲码头到乙码头需10小时，从乙码头返回甲码头需13小时，求船速和水速每小时各为多少千米？【变式练习】甲、乙两地之间的水路长234千米，一艘船从甲地到乙地需9小时，从乙地返回甲地需13小时，那么水速是千米/时。

行程问题导入：教学重点：理解行程中的数量关系。

教学难点：概括行程问题中的数量关系。

学法指导：概括行程问题中的数量关系。

速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度一、填空。

1、一只蜗牛用4分钟爬行了24米，它每分钟爬6米。

4分钟是（），24米是（），6米是（）。

2、路程= ( )__( ) 速度= ( )__( ) 时间= ( )__( )二、选择。

1、甲乙两地相距300千米，小华骑车从甲地出发去乙地，每小时行50千米，多少小时能到达目的地？这个题是求（）A、时间B、速度C、路程2、一辆汽车速度是22千米每小时，5小时行（）。

A、100千米B、90千米C、110千米3、一只蜗牛用4分钟爬行了24米，照这样的速度，爬行72米要用几分钟？列式是（）A、24×（72÷4）B、24÷（72÷4）C、72×（24÷4）D、72÷（24÷4）精讲题型一：甲乙两城相距360千米。

一辆小轿车从甲城出发，每小时行90千米，几小时后到达乙城？训练题（1）笑笑每天早上步行20分钟到学校，她每分钟能行50米，笑笑家到学校有多少米？（2）工程队修一条公路，每天修4千米，修了21天，这条公路长多少千米？精讲题型二：甲、乙两个县城相距22千米，小明从甲城到乙城，每小时行6千米，行了4千米后，到乙城还需要多少小时？训练题：（1）A、B两地相距340千米，一列慢车从B地开往A地，每小时行50千米，6小时后，离A地还有多少千米？（2）一工程队开凿一条隧道，每天开凿130米，开凿了7天，还有500米没有开凿，这条隧道总长多少米？精讲题型三：小东和小秋分别住在一条街东西两头，两人同时从家中相向而行，小秋每分钟走40 米，小东每分钟走50米，9分钟后两人相遇，两家相距多少米？训练题：（1）甲、乙二人同时从两个县城相对而行，甲每小时行6千米，乙每小时行5千米，2小时后相遇，两个县城相距多远？（2）甲乙两城相距425千米，一辆客车和一辆货车分别从两地同时相向而行，客车每小时行45千米，货车每小时40千米，经过多少小时两车相遇？（3）甲、乙两地相距240千米，一辆汽车和一辆自行车同时从两地相向出发，汽车每小时行45千米，自行车每小时行15千米，多少小时后两车在途中相遇？精讲题型四：：一列火车从车头到车尾全长240米，以每秒15米的速度通过一座长600米的大桥，一共用了几秒？训练题：（1）一列火车从车头到车尾全长180米，以每秒12米的速度通过一座长1200米的隧道，一共用了多少秒？（2）一列火车以25米每秒的速度行驶，用了3.2分钟完全通过了一个长4500米的隧道，这列火车的车身长多少米？（2）小明站在铁路道口的一边，这时一列火车正好用了15秒经过，火车长225米，求火车的速度？（3）一列火车的速度是每秒20米，小可看见这列火车经过一根电杆用时15秒，这列火车车身有多少米？一、选择题（4×5分=20分）1、大卡车3小时行120千米，照这样计算，8小时行了多少千米？列式是（）。

小升初数学专题之行程问题行程问题（一）-----相遇问题1、小冬从甲地向乙地走，小青同时从乙地向甲地走，当各自到达终点后，又迅速返回，各自速度不变，两人第一次相遇在距甲地40米处，第二次相遇在距乙地15米处，问甲、乙两地相距多少米？2、甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）。

在出发后40分钟两人第一次相遇。

小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇。

问小张和小王两人的速度各是多少？3、小张与小王分别从甲、乙两村出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）。

他们离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇。

问他们两人第四次相遇的地点离乙村有多远？（相遇指迎面相遇）4、老李和老刘同时从两地相对出发，老李步行每分钟走8米，老刘骑自行车的速度是老李步行的3倍，经过5分钟后两人相遇，问这两地相距多少米？5、在一条笔直的公路上，王辉和李明骑车从相距900米的A、B两地同时出发，王辉每分钟行200米，李明每分钟行250米，经过多少时间两人相距2700米？（分析各种情况）6、客货两车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行44千米，货车每小时行52千米，两车相遇后继续以原速度前进，到达乙、甲两地后立即返回，第二次相遇时，货车比客车多行60千米。

问甲、乙两地相距多千米？7、甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行56千米，乙每小时行48千米，两车在离两地中点32千米处相遇。

问：东西两地间的距离是多少千米？8、甲、乙两地相距15千米，小聪和小明分别从甲、乙两地同时相向而行，2小时后在离中点0.5千米处相遇，求小聪和小明的速度。

9、甲、乙两人同时从相距50千米的两地同时出发相向而行，甲每小时行3千米，乙每小时行2千米，与甲同时同向而行的一条小狗，每小时行5千米，小狗在甲、乙之间不停往返，直到两人相遇为止。

问小狗跑了多米？【课后演练】1、甲、乙两辆车同时从相距675千米的两地对开，经过5 小时相遇。

行程问题综合【知识精讲】1、基本行程问题2、相遇与追及问题3、其他经典的行程问题一、基本行程问题1. 行程三要素：路程、时间、速度;2. 三要素的关系：路程=时间×速度时间=路程÷速度速度=路程÷时间例1.（1） 一辆汽车从甲地往乙地送货，去时每小时行驶44千米，用了6小时，回来时用了5.5小时，汽车回来时每小时行驶多少千米?（2） 一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行750米，预计50分钟到达，但汽车行驶到53的路程时，出了故障，用5分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快多少米?二、相遇与追及问题1.相遇问题:路程和=相遇时间×速度和相遇时间=路程和÷速度和速度和=路程和÷相遇时间2.追及问题:路程差=追及时间×速度差追及时间=路程差÷速度差速度差=路程差÷追及时间3.多次往返问题（1）从两端出发，相向而行：第1，2，3，4，......次迎面相遇的路程和分别为1，3，5，7，......个全程；（2）从两端出发，相向而行：第1，2，3，4，......次背后追及的路程差分别为1，3，5，7，......个全程；（3）从同一端点出发，同向而行：第1，2，3，4，......次迎面相遇的路程和为2，4，6，8，......个全程；（4）从同一端点出发，同向而行：第1，2，3，4，......次背后追及的路程差为2，4，6，8，......个全程；（5）特别地：在端点处相遇，既算迎面相遇也算追及.例2.快、慢两车分别从甲、乙两站同时开出，相对而行.经过2.5小时相遇，相遇地点距离中点25千米，已知慢车每小时行驶40千米，问快车走到乙站还需要多长时间?例3.小强每分钟走70米，小李每分钟走60米，两人同时从同一地点背向走了3分钟后，小强掉头去追小李，追上小李时小强共走了多少米? 例4.A、B两地相距13.5平米，甲、乙两人分别由A、B两地同时相向而行，各在A、B之间往返一次，甲比乙先返回原地，途中两人第一次迎面相遇于点C, 第二次迎面相遇遇于点D，已知两次相遇时间间隔为3小时，C.、D两地相距3千米，则甲和乙的速度分别是多少?三、其他经典的行程问题1.火车行程问题：(完全通过)火车车长+桥(隧道)长度=火车速度×通过的时间;2.流水行船问题:(1) 顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速;(2) 船速=(顺水速度+逆水速度)÷2；水速=(顺水速度-逆水速度)÷2.3.环形路线问题:(1) 从同一点出发反向而行：相遇的路程和为环形路线一圈的长度;(2) 从同一点出发同向而行：追及的路程差为环形路线一圈的长度;(3) 在环形问题中，运动总是呈现出很强的周期性.例5.(1) 一辆列车通过300米长的隧道用15秒，通过180米长的桥梁用12秒，那么这辆列车的车身长是多少米?(2)轮船从甲地到乙地，顺水每小时行驶25千米，逆水每小时行驶15千米，来回一次共行驶4小时，甲、乙两地相距多少千米?例6.绕小山一周的公路长1920米，甲、乙两人沿公路竞走，两人同时同地出发，反方向行走，甲比乙走得快，12 分钟后两人相遇，如果两人每分钟多走16米，则相遇地点与上次相差20米。

第四讲行程之多人行程与钟面问题1．回顾基本相遇、追及问题与变速问题；2．精讲：一、钟面问题：钟面追及、钟面相遇、时钟校准。

二、多人行程：其本质是从两两关系中推出结论。

可以看作是多个两者运动关系在某一等量联系下的变化。

相遇与追及【例1】★★猎狗发现北边200米处有一点兔子正要逃跑，拔腿就追。

兔子的洞穴在兔子的北边480米，若兔子每秒跑13米，猎狗每秒跑18米，可怜的兔子能逃过这一劫吗？（判断“能”还是“不能”，并说明理由）【解】能。

因为猎狗要追上兔子要200÷(18-13)=40(秒)而兔子跑回洞穴要480÷13=361213（秒）所以兔子能逃过这一劫。

【例2】★★甲、乙两人的速度之比是5:4,乙先从B地出发行往A地，当走到离B地336米的地方时，甲从A 地出发行往B地。

结果两人相遇的地方离A、B两地距离之比是3:4,那么A，B两地的距离是米。

【解1】从甲出发到相遇两人走的路程之比是5︰4=15︰12,而相遇地点离A，B两地距离之比是3︰4=15︰20,说明乙走的336米占全程的20128 152035-=+，所以，全程为336÷835=1470（米）【解2】教学目标专题回顾在行程问题中，只出现两者的相对运动，可以表现为相遇和追及两大类，它的一种特殊形式表现为钟面问题。

在很多重点中学小升初的入学考试或者其它竞赛中，往往会出现三人或者说多人行程，对这样的专题进行归纳和总结是很有意义的。

如图，由题意知AD ︰DC=5︰4； AD ︰DB=3︰4所以可以把AD 看作“1”的量， BC=(43-45)AD所以AD=336÷(43-45)=630（米） 所以AB=630÷3×7=1470（米）【点评】本题综合运用了比例关系，解法1考虑通比，通比的要点的是“不变量”为中介，而解法2运用“量率对应”思想，要点在于“以不变量为单位‘1’”。

【例3】 ★★★甲、乙两车同时从A 地出发开往B 地，甲车的速度为每小时45千米，乙车的速度为每小时50千米。

小升初数学专卷：钟面行程问题能力达标卷钟面行程问题能力达标卷☆基础题（因被投诉，故不再发各校升学及分班试卷了，请理解。

）1、在钟面上，（1）下午5时时，时钟的时针和分针的夹角是多少度？（2）下午5时8分呢？2、从2点15分到2点55分，分针转了多少度？时针转了多少度？3、一个时钟现在显示的时间是3点整，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合。

4、一个时钟现在显示的时间是5点整，经过多少分钟后，时针与分针第一次垂直。

5、一个时钟现在显示的时间是8点整，经过多少分钟后，时针与分针第一次张开成一直线。

6、一个时钟现在显示的时间是1点整，当时针与分针第一次在同一直线上时，是几点几分？7、4点到5点之间，时针与分针第二次垂直是在几点几分？8、现在是11点12分，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合。

9、现在是10点24分，经过多少分钟后，时针与分针第一次垂直。

☆☆提高题1、有一只钟每小时慢2分钟，早上8点钟的时候，对准了标准时间，那么当钟走到12点整的时候，标准时间是多少？2、小刚晚上9时将手表的时间对准，可第二天早晨8时到校时，他以为能准时到校，却迟到了10分钟，那么小刚的手表每小时慢几分钟？3、小悦的手表比标准时间走得要快一些。

这天中午12点时，小悦把手表校准，但当标准时间是下午2点时，手表显示的时间是2点10分。

请问：当标准时间是下午5点时，手表显示的时间是几点几分？4、小朱的手表比标准时间走得要快一些．这天中午12点时，小朱把手表校准，但当标准时间是下午2点时，手表显示的时间是2点08分．请问：当标准时间是下午5点时，手表显示的时间是几点几分？5、小聪的闹钟比标准时间每小时慢1分钟．现在恰好是下午1点整，他把闹钟调准．过了一段时间，当闹钟显示的是下午3点57分时，标准时刻应该是下午几点几分？6、小丁的闹钟比标准时间每小时快2分钟。

现在恰好是下午1点整，他把闹钟调准．过了一段时间，当闹钟显示的是下午4点06分时，标准时刻应该是下午几点几分？7、在早晨6点到7点之间有一个时刻，钟面上的数字“9”恰好在时针与分针的正中央．请问：这时是6点几分？8、在下午3点到4点之间有一个时刻，分针恰好位于钟面上的“5”字和时针的正中央，请问：这一时刻是3点多少分？☆☆☆竞赛题1、小明发现自己的手表比家里的闹钟每小时快30秒，而闹钟却比标准时间每小时慢30秒，那么小明的手表一昼夜与标准时间差多少？2、小明在9点与10点之间开始做作业，当时钟面上时针与分针恰好成一条直线，做完作业时，发现时针与分针刚好重合，小明做作业共用了多少分钟？3、一只老式挂钟的时针与分针每隔66分钟重合一次，如果早晨8点将此闹钟调准，第二天早晨此钟指示8点时，实际的标准时间是几时几分？4、丝丝有两块旧手表，一块每天快20分，另一块每天慢30分，现在讲这两块旧手表同时调准到标准时间，它们至少要经过多少天才能再次同时显示标准时间？5、时针与分针两次垂直的间隔为多长时间？6、晓珊8时开始画一幅画，正好在时针与分针第三次垂直时完成，此时是几时几分？钟面行程问题能力达标卷答案解析☆基础题1、答案：（1）150°；（2）106°解析：对于m点n分，时针转过的度数是：m×30°＋n×0.5°，分针转过的度数是：n×6°，所以时针和分针的夹角是：m×30°＋n×0.5°—n×6°＝m×30°—n ×5.5°，若算得的结果大于180°，则时针与分针的夹角是360°减去上式子中的结果，根据这个公式，就可以求出本题的结果，在这里说一下，下午5时可以看成下午5点0分。

钟表上的行程问题
本讲重点
1．时钟问题在行程中的标准制定；
2．在时钟问题中时针与分针的追及与相遇问题的判断及计算；
3．时钟的周期问题。

【例1】(★★)
有一座时钟现在显示9时整。

那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？
【巩固】(★☆)
现在是3点，什么时候时针与分针第一次重合？
【例2】(★★★)
小红在9点与10点之间开始解一道数学题，当时时针和分针正好成一条直线，当小红解完这道题时，时针和分针刚好第一次重合，小红解这道题用了多少时间？
【拓展】(★★★)
王师傅2点多钟开始工作时，时针与分针正好重合在一起。

5点多钟完工时，时针与分针正好又重合在一起。

王师傅工作了多长时间？
【例3】(★★★)
小明1点多钟时开始做奥数题，当他做完题时，发现还没到2∶30，但此时的时针和分针与开始做题时正好交换了位置，你知道小明做完题用了多长时间？
【例4】(★★★)
8点过几分时，时针与分针在钟面上数字5的两侧并且与5的距离相等？
【例5】(★★★)
某科学家设计了只怪钟，这只怪钟每昼夜10时，每时100分。

当这只钟显示5点时，实际是中午12点；当这只钟显示6点75分时，实际是什么时间？
【拓展】(★★★)
小明家有一个闹钟，每时比标准时间慢2分。

有一天晚上9点，小明对准了闹钟，他想第二天早晨6∶40起床，于是他就将闹钟的铃定在了6∶40。

这个闹钟响铃的时间是标准时间的几点几分？。

; ; S v t v S t t S v =⨯=÷=÷和和和和和和模块一：相遇问题知识剖析一、相遇问题：两个物体从两地出发，相向而行，经过一段时间，必然会在途中相遇，这类题型就把它称为相遇问题．相遇问题是研究速度,时间和路程三者数量之间关系的问题．它和一般的行程问题区别在：不是一个物体的运动，它研究的速度包含两个物体的速度，也就是速度和．两人从两地同时出发，相向而行，经历了共同时间相遇，其中：两人经历的共同时间称为“相遇时间”，用t 表示；两人在共同时间里合走的路程，称为“路程和”，用S 和表示；两人单位时间内合走的路程称为“速度和”，用v 和表示；从而得到： ． 相遇问题的解题关键是：找到两个人在相同时间内的路程和．解答这类问题，要弄清题意，按照题意画出线段图，分析各数量之间的关系，选择解答方法．相遇问题除了要弄清路程，速度与相遇时间外，在审题时还要注意一些重要的问题：是否是同时出发：如果题目中有谁先出发，就把先行的路程去掉，找到同时行的路程和形驶的方向，是相向同向还是背向．是否相遇：有的题目行驶的物体并没有相遇,要把相距的路程去掉；有的题目是两者错过，要把多行的路程加上，得到同时行驶的路程．例题精讲【例1】甲车与乙车从相距360千米的两地同时出发，相向而行．已知甲车每小时行48千米，乙车每小时行72千米，两车的速度和是多少?经过多长时间相遇?两车相遇后继续向前行驶，5小时之后两车相距多少千米?行程问题【演练】肥羊与笨羊相距630千米，两人同时出发，相向而行．9小时后相遇，两人的速度和是多少?若肥羊每小时行34千米，那么笨羊每小时行多少千米?【例2】A、B两地相距780千米，货车每小时行56千米，客车每小时行74千米．（1）若货车和客车从两地同时出发，相向而行，两车从出发开始经过多久第一次距130千米? 从出发开始经过多久第二次相距130千米?（2）若两车同时从A地出发开往B地，到达B地后立即返回，那么经过多久两车第一次相遇? 相遇地点距离B地多少千米?【例3】甲、乙两人分别从相距260千米的A、B两地同时沿笔直的公路乘车相向而行，各自前往B地、A 地．甲每小时行32千米，乙每小时行48千米．甲、乙各有一个对讲机，当他们之间距离小于等于20千米时，两人可用对讲机联络．问：（1）两人出发后多久可以开始用对讲机联络?（2）他们用对讲机联络后，经过多长时间相遇?（3）他们可以用对讲机联络多长时间?【例4】甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发，相向而行．甲车每小时行48千米，乙车每小时行50千米．（1）若甲先出发1小时，再经过5小时与乙相遇，求A、B两地之间的距离．（2）若甲车先行3小时后，乙车从B地出发，乙车出发5小时后，两车相距15千米．求A、B两地之间的距离．【演练】甲、乙两车从相距942千米的两地相向而行，甲车每小时行45千米，乙车每小时行41千米，乙车先出发2小时后，甲车才出发．甲车行几小时后与乙车相遇?; ; S v t v S t t S v =⨯=÷=÷差差差差差差【例5】每天早上小武定时离家上班，赵大爷定时出家门散步，他们每天都相向而行，且准时在途中相遇．有一天小武因有事提早离家出门，所以他比平时早7分钟与赵大爷相遇．已知小武每分钟行70米，赵 大爷每分钟行40米，那么这一天小武比平时早出门多少分钟?【演练】甲、乙两车从A 、B 两地同时出发，相向而行，可在约定的时间相遇；若甲车提前一段时间出发，那么两车将比约定时间提前30分钟相遇．已知甲车的速度是40千米/小时，乙车速度是60千米/ 小时．那么甲车提前了多长时间出发?知识剖析一、追及问题：两人从两地同时出发，同向而行，慢者在前，快者在后，经历了共同时间快者追上慢者，其中： 两人经历的共同时间称为“追及时间”，用t 表示；共同时间内快者比慢者多走的路程，称为“路程差”，用S 差表示；单位时间内快者比慢者多走的路程，称为“速度差”，用v 差表示；从而得到： ． 追及问题的解题关键是找到两人在相同时间内的路程差．例题精讲【例6】（1）A 、B 两地相距600米，甲乙两人分别从A 、B 两地同时出发，同向而行，乙在前甲在后．已知甲每分钟行100米，乙每分钟行80米，1分钟后，两人之间的距离缩短了多少米? 5分钟后，两人相距多少米? 甲多长时间能追上乙?（2）若甲的速度变为每分钟110米，甲多长时间能追上乙? 若甲想要在15分钟内追上乙，他的速度至少是每分钟多少米?模块二：追及问题【演练】学校和公园相距16千米，音乐和正正由学校骑车去公园，音乐每小时行12千米，正正每小时行15千米．当音乐走了3千米后，正正才出发．当正正追上音乐时，距公园还有多少千米?【例7】四年级同学从学校出发去春游，每分钟走72米，15分钟后，学校有急事要通知学生，派李老师骑自行车从学校出发，以每分钟132米的速度去追同学们，李老师需要多久才能追上? 若李老师想要9分钟追上，每分钟需行多少米?【例8】甲乙两车分别从A、B两地出发，同向而行，乙车在前，甲车在后．已知甲车比乙车提前出发1小时，甲车每小时行96千米，乙车每小时行80千米．甲车出发5小时后追上乙车，求A、B两地间的距离．【例9】甲、乙二人同时从A地去B地，甲每分钟行60米，乙每分钟行90米，乙到达B地后立即返回，并与甲相遇，相遇时，甲还需行3分钟才能到达B地，A、B两地相距多少米?【例10】有甲、乙、丙三人，甲每分钟走40米，乙每分钟走28米，丙每分钟走56米．如果甲和乙从A 地，丙从B地，三人同时出发，相向而行．丙和甲相遇后，过了5分钟又与乙相遇．求A、B两地的距离．模块三：常考问题知识剖析一、时钟问题：时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针．时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米/秒或者千米/小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”．对于正常的时钟，具体为：整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；有60个小格，每个小格为6度．分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度；时针速度：每分钟走十二分之一小格，每分钟走0.5度．注意：但是在许多时钟问题中，往往我们会遇到各种“怪钟”，或者是“坏了的钟”，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，这就需要我们要学会对不同的问题进行独立的分析．要把时钟问题当做行程问题来看，分针快，时针慢，所以分针与时针的问题，就是他们之间的追及问题．二、流水问题：船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水问题．流水问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到．此外，流水行船问题还有以下两个基本公式：（1）顺水速度=船速+水速；（2）逆水速度=船速-水速．船速：船本身的速度，即在静水中单位时间里所走过的路程．水速：水在单位时间里流过的路程．三、过桥问题：火车过桥问题是行程问题的一种，也有路程、速度与时间之间的数量关系，同时还涉及车长、桥长等问题．常用公式：火车速度×时间=车长+桥长；（桥长+列车长）÷速度=过桥时间；（桥长+列车长）÷过桥时间=速度；速度×过桥时间=桥、车长度之和．例题精讲【例11】现在是4点，什么时候，时针和分针第一次相遇?【例12】在10点与11点之间，钟面上时针和分针在什么时刻垂直?在什么时候在一条直线上?【例13】有一个闹钟每天快1.5分钟，现在将它的时间对准，这个钟下次显示准确的时间需要多少天?【例14】小明家有一个老时钟，它的时针与分针每隔66分钟重合一次．如果早晨8点将钟对准，到第二天早晨时钟再次指示8点时，实际时间是几点几分?【例15】一只渔船顺水行25千米，用了5小时，水流的速度是每小时1千米．此船在静水中的速度是多少?【例16】某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲港开往乙港共用8小时．已知水速为每小时3 千米，此船从乙港返回甲港需要多少小时?【例17】A、B两个码头相距180千米．甲船逆水行全程用18小时，乙船逆水行全程用15小时．甲船顺水行全程用10小时，则乙船顺水行全程用几小时?【例18】一列火车长300米，它以30米每秒的速度经过路边一棵树，需要多长的时间?【例19】一列火车匀速行驶，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒，经过一条长300米的隧道需要20秒的时间，则火车的长度是多少米?【例20】某人沿着铁路边的便道步行，一列客车从身后开来，在身旁通过的时间是15秒钟，客车长120米，每秒速度为10米．求步行人每秒行多少米?。