2021学年高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率学案含解析人教A版必修2.doc

2021人教A版数学必修二3.1.1《直线的倾斜角与斜率》导学案----5c92a198-6ea1-11ec-a8ae-7cb59b590d7d3.1.1《直线的倾斜角与斜率》导学案[学习目标]知识与技能：正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．理解直线的倾斜角的唯一性.掌握直线的倾斜角与斜率的关系.过程和方法：了解直线斜率的存在及斜率公式的推导过程，掌握直线通过两点的斜率公式情感态度与价值观：通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．【重点难点】学习重点：直线倾角和斜率的概念及斜率公式的应用学习难点：直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围.【学法指导】1.认真学习82-85页教材，仔细思考，独立定期回答，认真完成每个问题和练习。

如果你做不到，先绕过它，做个标记。

2.及时将学习计划中容易遗忘、容易出错的知识点、疑难问题和解决问题的方法整理到解题书中，并多复习记忆（尤其要记住切线三角函数值和斜率的计算公式）。

答：自主学习；b：合作调查；c:能力提升4。

小班和重点班全部完成，平行班至少完成A班。

平行班的B年级学生应完成80%以上的B、70%~80%的C，并努力完成60%以上的[knowledge link]：一：一次函数的图象的形状是---（一条直线）2：确定一次函数的图象的条件是---（两个点）3：锐角正切函数的定义---（对边比邻边）【学习过程】问题的导入：让我们想想当两个人，一个高一个矮，举起一根圆木时会发生什么？在本课中，我们将重点讨论直线的倾斜a问题1：对平面直角坐标系内的一条直线，它的位置由那些条件确定？（两点）问题2：一个点能决定一条直线吗？一条直线通过一个点的位置可以确定吗？它的位置是什么？（通过观察可以发现，在一个点上有无数条直线，并且它们倾斜到不同的程度）当直线倾斜时，它与这个量有关吗？如何描述直线的倾斜度？a问题3：什么是直线的倾斜角？它的范围怎样？写出并背熟，记牢倾斜角及范围！当直线l与x轴垂直时,??问题4：除了倾斜角，还有其他的量来确定直线的倾斜度吗？直线的斜率是多少？只有倾角或斜率才能确定直线的位置吗？如果没有，需要添加哪些条件？b问题5：直线的倾斜角和斜率有什么关系？它们是一一对应的吗？（牢记公式）[温馨提示]（1）当??(0,当??(?2)时，k?0,k随?的增大而增大，k也随?的增大而增大；?2，?)时，k?0,k随?的增大而增大，但k随?的增大而减小；当??0时，k?0;当???2时，斜率不存在。

山东省沂水县高中数学第三章直线与方程3.1.1 倾斜角与斜率学案（含解析）新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（山东省沂水县高中数学第三章直线与方程3.1.1 倾斜角与斜率学案（含解析）新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为山东省沂水县高中数学第三章直线与方程3.1.1 倾斜角与斜率学案（含解析）新人教A版必修2的全部内容。

3．1。

1 倾斜角与斜率学习目标1。

理解直线的斜率和倾斜角的概念；2.理解直线倾斜角的惟一性及直线斜率的存在性；3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．知识点一直线的倾斜角思考1 在平面直角坐标系中,只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？答案不能．思考2 在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？答案不同．1．倾斜角的定义（1)当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．（2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.3．确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角．知识点二直线的斜率与倾斜角的关系思考1 在日常生活中，我们常用“升高量前进量”表示“坡度”，图(1）(2)中的坡度相同吗?答案不同，因为错误!≠错误!.思考2 思考1中图的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？答案存在，图(1)中，坡度＝tan α，图(2)中,坡度＝tan β.1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示,即k＝tan_α。

对应学生用书P57知识点一直线的倾斜角高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率练习含解析新人教A 版必修2081921871．给出下列命题：①任意一条直线有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x 轴；④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)；⑤若α是直线l 的倾斜角，且sinα＝22，则α＝45°． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 任意一条直线有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y 轴，因此①正确，②③错误． ④中α＝0°时sinα＝0，故④错误．⑤中α有可能为135°，故⑤错误．2．已知直线l 过点(m ，1)，(m ＋1，1－tanα)，则( ) A ．α一定是直线l 的倾斜角 B ．α一定不是直线l 的倾斜角 C ．180°－α不一定是直线l 的倾斜角 D ．180°－α一定是直线l 的倾斜角 答案 C解析 设θ为直线l 的倾斜角，则tanθ＝1－tanα－1m ＋1－m ＝－tanα．当α＝0°时，tanθ＝0，此时θ＝0°；当α＝30°时，tanθ＝－33，此时θ＝150°．比较各选项可知选C ．知识点二直线的斜率3．下列叙述不正确的是( )A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B．若直线的倾斜角为α，则必有斜率与之对应C．与y轴垂直的直线的斜率为0D．与x轴垂直的直线的斜率不存在答案 B解析每一条直线都有倾斜角且倾斜角唯一，但并不是每一条直线都有斜率；垂直于y 轴的直线的倾斜角为0°，其斜率为0；垂直于x轴的直线的倾斜角为90°，其斜率不存在，故A，C，D正确．4．如图，在平面直角坐标系中有三条直线l1，l2，l3，其对应的斜率分别为k1，k2，k3，则下列选项中正确的是( )A．k3>k1>k2B．k1－k2＞0C．k1·k2＜0D．k3＞k2＞k1答案 D解析由图可知，k1＜0，k2＜0，k3＞0，且k2＞k1，故选D．知识点三斜率公式的应用①A(－2，0)，B(－5，3)；②A(3，2)，B(5，2)；③A(3，－1)，B(3，3)；(2)已知直线l过点A(2，1)，B(m，3)，求直线l的斜率及倾斜角的范围．解(1)①∵A(－2，0)，B(－5，3)，∴k AB＝3－0－5－－2＝3－3＝－1，直线AB的倾斜角为135°．②∵A(3，2)，B(5，2)，∴k AB ＝2－25－3＝0．直线AB 的倾斜角为0°．③∵A(3，－1)，B(3，3)；∴直线AB 的倾斜角为90°，斜率不存在． (2)设直线l 的斜率为k ，倾斜角为α， 当m ＝2时，A(2，1)，B(2，3)．直线AB 的倾斜角为90°，斜率k 不存在； 当m ＞2时，k ＝3－1m －2＝2m －2＞0，此时，直线l 的倾斜角为锐角，即α∈(0°，90°)； 当m ＜2时，k ＝3－1m －2＝2m －2＜0，此时，直线l 的倾斜角为钝角，即α∈(90°，180°)．知识点四三点共线问题6．若A(a ，0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则a ＋b ＝________．答案 －12解析 由题意得b ＋22＝2a ＋2，ab ＋2(a ＋b)＝0，1a ＋1b ＝－12．对应学生用书P58一、选择题1．已知直线l 的倾斜角为β－15°，则下列结论中正确的是( ) A ．0°≤β＜180° B．15°＜β＜180° C ．15°≤β＜180° D．15°≤β＜195° 答案 D解析 因为直线l 的倾斜角为β－15°，所以0°≤β－15°＜180°，即15°≤β＜2．在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的BC 边所在直线的斜率是0，则AC ，AB 边所在直线的斜率之和为( )A ．－2 3B ．0C ． 3D ．2 3 答案 B解析 由BC 边所在直线的斜率是0，知直线BC 与x 轴平行，所以直线AC ，AB 的倾斜角互为补角，根据直线斜率的定义，知直线AC ，AB 的斜率之和为0．故选B ．3．若直线l 的斜率为k ，且二次函数y ＝x 2－2kx ＋1的图象与x 轴没有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．(0°，90°) B．(135°，180°)C ．[0°，45°)∪(135°，180°) D．[0°，180°) 答案 C解析 由抛物线y ＝x 2－2kx ＋1与x 轴没有交点，得(－2k)2－4＜0，解得－1<k<1，所以直线l 的倾斜角的取值范围是[0°，45°)∪(135°，180°)，故选C ．4．如果直线l 先沿x 轴负方向平移2个单位长度，再沿y 轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案 B解析 设A(a ，b)是直线l 上任意一点，则平移后得点A′(a－2，b ＋2)，于是直线l 的斜率k ＝k AA′＝b ＋2－b a －2－a＝－1．故选B ．5．已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l 过点P(1，1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 满足( )A ．k≥34或k≤－4B ．k≥34或k≤－14C ．－4≤k≤34D ．34≤k≤4答案 A解析 如图所示，过点P 作直线PC⊥x 轴交线段AB 于点C ，作出直线PA ，PB ．①直线l 与线段AB 的交点在线段AC(除去点C)上时，直线l 的倾斜角为钝角，斜率的范围是k≤k PA ．②直线l 与线段AB 的交点在线段BC(除去点C)上时，直线l 的倾斜角为锐角，斜率的范围是因为k PA ＝－3－12－1＝－4，k PB ＝－2－1－3－1＝34，所以直线l 的斜率k 满足k≥34或k≤－4．二、填空题6．已知M(2m ，m ＋1)，N(m －2，1)，则当m ＝________时，直线MN 的倾斜角为直角． 答案 －2解析 由题意得，直线MN 的倾斜角为直角，则2m ＝m －2，解得m ＝－2．7．已知点M(5，3)和点N(－3，2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和－74，则点P 的坐标为________．答案 (1，－5)解析 设P 点坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧y －3x －5＝2，y －2x ＋3＝－74，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－5，即P 点坐标为(1，－5)．8．若经过点P(1－a ，1)和Q(2a ，3)的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13解析 ∵直线PQ 的斜率k ＝3－12a －1－a ＝23a －1，且直线的倾斜角为钝角，∴23a －1<0，解得a<13．三、解答题9．已知点A(1，2)，在坐标轴上有一点P ，使得直线PA 的倾斜角为60 °，求点P 的坐标．解 ①当点P 在x 轴上时，设点P(a ，0)． ∵A(1，2)，∴k PA ＝0－2a －1＝－2a －1．又直线PA 的倾斜角为60 °， ∴－2a －1＝3，解得a ＝1－233， ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0．②当点P 在y 轴上时，设点P(0，b)． 同理可得b ＝2－3， ∴点P 的坐标为(0，2－3)．综上，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0或(0，2－3)．10．已知实数x ，y 满足关系式x ＋2y ＝6，当1≤x≤3且x≠2时，求y －1x －2的取值范围．解y －1x －2的几何意义是过M(x ，y)，N(2，1)两点的直线的斜率．因为点M 在y ＝3－12x 的图象上，且1≤x≤3，所以可设该线段为AB ，其中A1，52，B3，32．由于k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值范围是－∞，－32∪12，＋∞．。

3.1.1 直线的倾斜角与斜率教学目标一、知识与技能1. 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念；2. 斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.二、过程与方法经历将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题的过程，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，不断体会“数形结合”的思想方法.三、情感、态度与价值观1. 通过把直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系，提高观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力；2. 通过建立斜率概念和推导斜率公式，进一步理解数形结合的思想，树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神.教学重点、难点教学重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式.教学难点：斜率的计算方法.教学关键：直线斜率的两种计算方法.教学突破方法：结合图形，使学生理解直线倾斜角的概念，抓住直线的倾斜角与斜率的联系，引导学生掌握直线斜率的计算方法.教法与学法导航教学方法：启发、引导、讨论.学习方法：探究、思考、讨论、练习.教学准备教师准备：多媒体课件（用于展示问题、引导讨论、出示答案）.学生准备：一次函数与直线的关系、特殊角的正切值.教学过程详见下页表格.教学环节教学内容师生互动设计意图创设情景导入新课我们知道，经过两点有且只有（确定）一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图，过一点P可作无数多条直线a，b，c，…易见，答案是否定的，这些直线有什么联系呢？学生回答（不能确定）（1）它们都经过点P.（2）它们的倾斜程度不同.接着教师提出：怎样描述这种倾斜程度的不同？由此引入课题.设疑激趣导入课题．概念形成1．直线倾斜角的概念当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定0α=o.教师提问：倾斜角α的取值范围是什么？0°≤α＜180°当直线l与x轴垂直时90α=o（由学生结合图形回答）概念因为平面直角坐标系内的每教师提问：通过概念形成3．直线的斜率公式2121.y ykx x-=-对于上面的斜率公式要注意下面四点：（1）当x1 = x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°，直线与x轴垂直；（2）k与P1、P2的顺序无关，即y1、y2和x1、x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；（3）斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；教师提出问题：给定两点P1 （x1，y1），P2（x2，y2），x1≠x2，如何用两点的坐标来表示直线P1、P2的斜率？可用计算机作动画演示：直线P1P2的四种情况，并引导学生如何作辅助线，共同完成斜率公式的推导.借助多媒体演示让学生亲自体会斜率公式的推导过程.深化一条直线都有确定的倾斜程度，引入直线的倾斜角之后，我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角α.如左图，直线a∥b∥c，那么它们的倾斜角α相等吗？学生回答后作出结论.一个倾斜角α不能确定一条直线，进而得出确定一条直线位置的几何要素.这种师生互动引导学生明确确定一条直线位置的两个几何要素．概念形成2．直线的斜率一条直线的倾斜角α（α≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即tankα=.由此可知，一条直线l的倾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在. 例如α= 45°时，k= tan45°= 1；α= 135°时，k= tan135°=–1 .教师提问：（由学生讨论后回答）（1）当直线l与x轴平行或重合时，k为多少？k= tan0°= 0.（2）当直线l与x轴垂直时，k还存在吗？α= 90°，k不存在.设疑激发学生思考得出结论．yabcxO（4）当y1= y2时，斜率k= 0，直线的倾斜角α= 0°，直线与x 轴平行或重合；（5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.应用举例例1已知A （3，2），B（–4，1），C （0，–1），求直线AB，BC，CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.（用计算机作直线，图略）【分析】已知两点坐标，而且x1≠ x-2，由斜率公式代入即可求得k的值；而当tan0kα=<时，倾斜角α是钝角；而当tan0kα=>时，倾斜角α是锐角；而当tan0kα==时，倾斜角α是0°.学生分析求解，教师板书例1 略解：直线AB的斜率k1= 1/7＞0，所以它的倾斜角α是锐角.直线BC的斜率k2 =–0.5＜0，所以它的倾斜角α是钝角.通过应用进一步理解倾斜角，斜率的有关定义例2在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，–1，2及–3的直线a，b，c，1.【分析】要画出经过原点的直线a，只要再找出a上的另个一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定；或者k = ta nα=1是特殊值，所以也可以以原点为角的顶点，x轴的正半轴为角的一边，在x轴的上方作45°的角，再把所作的这一边反向延长成直线即可.例2 略解：设直线a上的另一个点M的坐标为（x，y），根据斜率公式有1 = （y–0）/（x–0），所以 x = y.可令x= 1，则y= 1，于是点M的坐标为（1，1）.此时过原点和点M（1，1），可作直线a.同理，可作直线b，c，1.（用计算机作动画演示画直线过程）小结（1）直线的倾斜角和斜率的概念.（2）直线的斜率公式.师生共同总结交流完善.引导学生学会自己总结.课堂作业1. 求下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.（1）（1，1），（2，4）； （2）（–3，5），（0，2）； （3）（2，3），（2，5）； （4）（3，–2），（6，–2） 【解析】（1）413021k -==>-，所以倾斜角是锐角； （2）25100(3)k -==-<--，所以倾斜角是钝角；（3）由x 1 = x 2 = 2得：k 不存在，倾斜角是90°； （4）2(2)063k ---==-，所以倾斜角为0°.2. 已知点P (，点Q 在y 轴上，直线PQ 的倾斜角为120°，则Q 点的坐标为.【解析】因为点Q 在y 轴上，则可设其坐标为（0，b ）直线PQ 的斜率k = tan120°=∴k = ， ∴b = –2，即Q 点坐标为(02)-，.。