(完整版)不等式及其基本性质知识点复习及例题讲解

不等式的概念及性质知识点详解及练习一、不等式的概念及列不等式不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→→≤≥≠→→表示出不等关系列出代数式设未知数步骤列不等式””、“”、“”、“”、““不等号概念 1、不等式的概念及其分类（1）定义：用“＞”、“﹤”、“≠”、“≥”及“≤”等不等号把代数式连接起来，表示不等关系的式子。

a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b 。

?（2）分类：①矛盾不等式：不等式只是表示了某种不等关系，它表示的关系可能在任何条件下都不成立，这样的不等式叫矛盾不等式；如2＞3，x 2﹤0②绝对不等式：它表示的关系可能在任何条件下都成立，这样的不等式叫绝对不等式； ③条件不等式：在一定条件下才能成立的不等式叫条件不等式。

（3）不等号的类型：①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小； ②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；③“﹤”读作“小于”， 它表示左边的数比右边的数小；④“≥”读作“大于或等于”， 它表示左边的数不小于右边的数；⑤“≤”读作“小于或等于”， 它表示左边的数不大于右边的数；注意：要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。

（4）常见不等式基本语言的含义：①若x ＞0，则x 是正数；②若x ﹤0，则x 是负数；③若x ≥0，则x 是非负数；④若x ≤0，则x 是非正数；⑤若x-y ＞0，则x 大于y ；⑥若x-y ﹤0，则x 小于y ；⑦若x-y ≥0，则x 不小于y ；⑧若x-y ≤0，则x 不大于y ；⑨若xy ＞0（或yx ＞0），则x ，y 同号；⑩若xy ﹤0（或yx ﹤0），则x ，y 异号； （5）等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。

第九章 不等式与不等式组一、知识结构图 二、知识要点（一、）不等式的概念1、不等式：一般地，用不等符号（“＜”“＞”“≤”“≥”）表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。

不等号主要包括： ＞ 、 ＜ 、 ≥ 、 ≤ 、 ≠ 。

2、不等式的解：使不等式左右两边成立的未知数的值，叫做不等式的解。

3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（即未知数的取值范围）。

4、解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

5、不等式的解集可以在数轴上表示，分三步进行：①画数轴②定界点③定方向。

规律：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，等于用实心圆点，不等于用空心圆圈。

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧与实际问题组一元一次不等式法一元一次不等式组的解不等式组一元一次不等式组性质性质性质不等式的性质一元一次不等式不等式的解集不等式的解不等式不等式相关概念不等式与不等式组)(321（二、）不等式的基本性质不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向 不变 。

用字母表示为：如果b a >，那么c b c a ±>±；如果b a <，那么c b c a ±<± ； 不等式的性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不变 。

用字母表示为： 如果0,>>c b a ，那么bc ac >(或cb c a >)；如果0,><c b a ，不等号那么bc ac <(或cb c a <)； 不等式的性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 负数 ，的方向 改变 。

用字母表示为： 如果0,<>c b a ，那么bc ac <(或cb c a <)；如果0,<<c b a ，那么bc ac >(或cb c a >)； 解不等式思想——就是要将不等式逐步转化为x >a 或x ＜a 的形式。

第1讲 不等式及其基本性质一、要点概括：知识点1：认识不等号：≤≥≠<>、、、、知识点2：不等式基本性质：（1）a b b a <⇔>（2）c a c b b a >⇒>>，（3）c b c a b a +>+⇔>（4）bc ac c b a >⇒>>0，，bc ac c b a <⇒<>0，（5）d b c a d c b a +>+⇒>>，（6）bd ac d c b a >⇒>>>>00，（7）ba o ab b a 11<⇒>>， （8）n n b a N n b a >⇒∈>>+，0（9）n n b a N n b a >⇒∈>>+，0(10)||||||||||b a b a b a -≥+≥+二、例题赏析：例1：证明若0>>a b ，0>m ，则b a m b m a >++。

例2：比较下列各组两数P 与Q 的大小：（1）112++=a a P ， 12+-=a a Q （2）)12)(12(22+++-=x x x x P)1)(1(22+++-=x x x x Q例3：甲乙两人同时从A 地出发沿同一路线走到B 地。

甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，且n m ≠。

请问甲乙谁先到达B 地？三、练习巩固：1、实数c b a 、、满足2346a a a b +-=-，244a a b c +-=-，则c b a 、、的大小关系是（ ）A 、a b c >≥B 、b c a ≥>C 、a b c >>D 、b c a >>2、若z y x 、、互不相等，且0=++z y x ，则下面结论不正确的为（ ）A 、必有两数之和为负数B 、必有两数之和为正数C 、必有两数之积为负数D 、必有两数之积为正数3、（2007上海）已知b a 、为非零实数，且b a <，则下列命题成立的是（ ）A 、22b a <B 、22ab b a < C 、ba ab 2211< D 、b a a b < 4、（2006上海）如果0<a ，0>b ，那么下列不等式中正确的是（ ）A 、ba 11< B 、b a <- C 、22b a < D 、||||b a >。

完整版的不等式知识点和基本题型不等式是数学中一种重要的关系符号，它用来描述数值之间的大小关系。

以下是不等式的基本知识点和常见题型：1. 不等式基本概念- 不等式是指在两个数之间用不同的关系符号来表示大小关系，比如大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。

- 不等式的解集是使不等式成立的所有实数的集合。

2. 不等式的性质- 若 a > b，则 b < a。

- 若 a > b 且 b > c，则 a > c。

- 若 a > b 且 a > 0，则 ac > bc（c > 0）。

- 若 a > b 且 c < 0，则 ac < bc（c < 0）。

- 若 a > b 且c ≠ 0，则 ac > bc。

3. 不等式的解法- 在不等式两边同时加（减）相同的数，不等式的方向不变。

- 在不等式两边同时乘（除）正数，不等式的方向不变。

- 在不等式两边同时乘（除）负数，不等式的方向反向。

- 若不等式两边有平方根，应考虑正负情况。

4. 不等式的常见题型4.1. 一元一次不等式- 形如 ax + b > c 或 ax + b < c 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x 为变量。

- 解法类似一元一次方程，通过移项和化简来求解。

4.2. 一元一次绝对值不等式- 形如 |ax + b| > c 或 |ax + b| < c 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x 为变量。

- 需要根据绝对值的定义来分情况讨论和求解。

4.3. 二元一次不等式- 形如 ax + by > c 或 ax + by < c 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x、y 为变量。

- 解法类似于解一元一次不等式，通过移项和化简来求解。

4.4. 二次不等式- 形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x 为变量。

□▲○○○《不等式》考点及题型总结第一节 不等式一、知识要点：（一）不等式的定义：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。

（二）不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

（三）不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

（四）不等式的性质：1、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变2、不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

，3、不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

二、题型分析：题型一： 不等式的概念和表达例1： x 的21与5的差不小于3，用不等式可表示为__________. 答案：1532x -≥例2：设“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“○”、“□”、“△”这样的物体，按质量从大到小的顺序排列为（ ）…A 、○□△B 、○△□C 、□○△D 、△□○ 答案：A题型二：不等式性质的考察]A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个分析：由a﹤b﹤0得，a、b同为负数并且︱a︱﹥︱b︱。

可取特殊值代入，如取a=－2，b=－1代入式子中。

答案：C例2：若a﹥b，则下列式子一定成立的是（）。

A、a＋3﹥b＋5，B、a－9﹥b－9，C、－10a﹥－10b，D、a2c﹥b2c分析：由于不等式的两边乘除同一个数时存在变号的问题，因此需要对a，b的符号进行分类讨论。

或者此题也可以取特殊值代入验证，通过排除法来求解。

A、C取0，-1即可排除，D将常数取0也可排除。

答案：B例3：下列结论：①若a﹤b，则a2c﹤b2c；②若a c﹥b c，则a﹥b；③若a﹥b且若c=d，则a c﹥b d；④若a2c﹤b2c，则a﹤b。

正确的有（）。

'A、4个B、3个C、2个D、1个分析：①2c=0，即可排除；②若a、b、c都为负数即可否定；③任用前两种方法都可以排除；只有④正确。

完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。

②传递性：a>b。

b>c则a>c。

③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。

同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。

异向可减性：a>b，cb-d。

④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。

⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。

异向正数可除性：a>b>0，0bc。

a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。

⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。

2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。

a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。

a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。

a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。

a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。

a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。

a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。

a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。

3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。

初中数学不等式及不等式组知识点一、不等式的基本概念和性质：1.不等式的定义：不等式是含有“大于”（>）、“小于”（<）、“大于等于”（≥）、“小于等于”（≤）等关系符号的数学表达式，用来表示两个数之间的大小关系。

2.不等式的解：对于一个不等式，使得该不等式成立的数值称为该不等式的解。

例如，对于不等式3x+2>10，当x>2时，不等式成立，所以x>2是不等式的解。

3.不等式的性质：a.相等的不等式，其解集相同。

例如，2x<10与2x≤9的解集相同，都是x<5b.不等式两边同时加减一个数，不等号方向不变。

例如，若a<b，则a+c<b+c，且a-c<b-c。

c. 不等式两边同时乘以（或除以）一个正数，则不等号方向不变。

例如，若a<b且c>0，则ac<bc。

d. 不等式两边同时乘以（或除以）一个负数，则不等号方向改变。

例如，若a<b且c<0，则ac>bc。

e.在不等式两边同时开平方时，需注意正负号问题。

例如，对于不等式x^2<4，开平方后得到，x，<2，解集为x>-2且x<2二、一元不等式求解方法：1.由不等式的基本性质，可以得到一元不等式的求解方法：a.将不等式看作等式求解，确定不等式中的未知数的取值范围。

b.根据等式求解的结果，确定不等号的方向，确定不等式的解集。

三、一元一次不等式及一元一次不等式组：1. 一元一次不等式：形如ax+b>0（或<0）的不等式，其中a、b为已知实数，且a≠0。

一元一次不等式的解集是一个实数区间。

解法：将不等式化为等式ax+b=0，求得等式的解x0，然后根据不等号的方向，确定不等式的解集：当a>0时，如果0≤x0≤+∞，则解集为(x0,+∞)；如果x0<0，则解集为(-∞,+∞)；当a<0时，如果-∞≤x0≤0，则解集为(-∞,x0)；如果x0>0，则解集为(-∞,+∞)。

基本不等式知识点1、不等式的基本性质①（对称性）a b b a >⇔>②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>,（异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式）2a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式：a b +≥2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤≤+，,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n +++≥+++③二维形式的三角不等式：≥1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a ab b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式： 2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++ ⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)kk k <- 211,(1)k k k>+=⇒<*,1)k N k >∈>等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或 2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑴2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩⑵2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧<>⇔⎨<⎩⑶2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或⑷2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩⑸()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔< 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f xg x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ①当0a =时 0,0;b c ⇒=>②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=<②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩ ⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x =或;y b z x a -=-③“距离”型：22z x y =+或z = 22()()z x a y b =-+-或z =在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。

不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>,(3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加)(4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘)(5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且(7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。

()()()如：x x x +--<1120233、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。

高一数学不等式知识点总结及例题一、不等式知识点总结。

（一）不等式的基本性质。

1. 对称性：如果a > b，那么b < a；如果b < a，那么a > b。

2. 传递性：如果a > b，b > c，那么a > c。

3. 加法单调性：如果a > b，那么a + c>b + c。

- 推论1：移项法则，如果a + b>c，那么a>c - b。

- 推论2：同向不等式可加性，如果a > b，c > d，那么a + c>b + d。

4. 乘法单调性：如果a > b，c>0，那么ac > bc；如果a > b，c < 0，那么ac < bc。

- 推论1：同向正数不等式可乘性，如果a > b>0，c > d>0，那么ac > bd。

- 推论2：乘方法则，如果a > b>0，那么a^n>b^n(n∈ N,n≥slant1)。

- 推论3：开方法则，如果a > b>0，那么sqrt[n]{a}>sqrt[n]{b}(n∈N,n≥slant2)。

（二）一元二次不等式及其解法。

1. 一元二次不等式的一般形式。

- ax^2+bx + c>0(a≠0)或ax^2+bx + c < 0(a≠0)。

2. 一元二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象与一元二次不等式的解集关系。

- 当a>0时，Δ=b^2-4ac：- 若Δ>0，方程ax^2+bx + c = 0有两个不同的实根x_1,x_2(x_1，则不等式ax^2+bx + c>0的解集为{xx < x_1或x>x_2}，不等式ax^2+bx + c < 0的解集为{xx_1。

- 若Δ = 0，方程ax^2+bx + c = 0有两个相同的实根x_0=-(b)/(2a)，则不等式ax^2+bx + c>0的解集为{xx≠-(b)/(2a)}，不等式ax^2+bx + c < 0的解集为varnothing。

课题不等式的基本性质1．经历不等式基本性质的研究过程，初步领悟不等式与等式的异同。

授课目的2．掌握不等式的基本性质，并会运用这些基本性质将不等式变形。

重点、难点不等式的基本性质的掌握与应用。

考点及考试要求领悟不等式与等式的异同。

掌握不等式的基本性质授课内容一、知识点：不等式的基本性质：（1）不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

用式子表示：若是a>b，那 a+c>b+c（或 a–c>b– c）（2）不等式的基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

用式子表示：若是a>b，且 c>0，那么 ac>bc，a b。

c c（3）不等式的基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

用式子表示：若是a>b，且 c<0，那么 ac<bc，a b。

c c（4）对称性：若是 a>b，那么 b<a。

（5）同向传达性： a>b，b>c 那么 a>c。

注意：不等式的基本性质是对不等式变形的重要依照。

不等式的性质与等式的性质近似，但等式的结论是“仍是等式”，而不等式的结论则是“不等号方向不变或改变”。

在运用性质（2）和性质（ 3）时，要特别注意不等式的两边乘以或除以同一个数，第一认清这个数的性质符号，从而确定不等号的方向可否改变。

说明：常有不等式所表示的基本语言与含义还有：①若 a－b＞0，则 a 大于 b ；②若 a－b＜0，则 a 小于 b ；③若 a－b≥0，则 a 不小于 b ；④若 a－b≤0，则 a 不大于 b ；⑤若 ab＞ 0 或a0 ，则a、b同号；b⑥若 ab＜ 0 或a 0 ，则、异号。

a bb随意两个实数 a、b 的大小关系：①a-b>O a>b；②a-b=O a=b；③a-b<O a<b．不等号拥有方向性，其左右两边不能够随意交换; 但 a＜b 可变换为 b＞ a，c≥ d 可变换为 d≤c。

不等式与不等式组一、不等式的概念、性质及解集表示1．不等式：一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．2．不等式的基本性质注意：不等式的性质是解不等式的重要依据，在解不等式时，应注意：在不等式的两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变．3．不等式的解集及表示方法（1）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不等式的解集．（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．二、一元一次不等式及其解法1．一元一次不等式：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式．2．解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（注意不等号方向是否改变）．三、一元一次不等式组及其解法1．一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组．2．一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．3．一元一次不等式组的解法：先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解．<，a，b是常数，关于x的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号4．几种常见的不等式组的解集：设a b取不到时在数轴上用空心圆点表示）：不等式组 （其中a b <）数轴表示解集口诀x ax b ≥⎧⎨≥⎩ x b ≥同大取大x ax b ≤⎧⎨≤⎩ x a ≤同小取小x ax b ≥⎧⎨≤⎩ a x b ≤≤大小、小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩ 无解 大大、小小取不了考情总结：一元一次不等式（组）的解法及其解集表示的考查形式如下： （1）一元一次不等式（组）的解法及其解集在数轴上的表示； （2）利用一次函数图象解一元一次不等式； （3）求一元一次不等式组的最小整数解； （4）求一元一次不等式组的所有整数解的和． 四、列不等式（组）解决实际问题 列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：①审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案．考情总结：列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等．列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用“≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接．经典例题 不等式的定义及性质1．语句“x 的18与x 的和不超过5”可以表示为（ ） A ．58x x +≤ B ．58x x +≥ C ．855x ≤+ D ．58xx += 【答案】A【分析】x 的18即18x ，不超过5是小于或等于5的数，由此列出式子即可． 【解析】 “x 的18与x 的和不超过5”用不等式表示为18x +x ≤5．故选A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 2．若a ＞b ，则下列等式一定成立的是（ ） A ．a ＞b +2B ．a +1＞b +1C ．﹣a ＞﹣bD ．|a |＞|b |【答案】B【分析】利用不等式的基本性质判断即可．【解析】A 、由a ＞b 不一定能得出a ＞b +2，故本选项不合题意； B 、若a ＞b ，则a +1＞b +1，故本选项符合题意； C 、若a ＞b ，则﹣a ＜﹣b ，故本选项不合题意；D 、由a ＞b 不一定能得出|a |＞|b |，故本选项不合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．1．若a ＞b ，则（ ） A ．a ﹣1≥b B ．b +1≥aC ．a +1＞b ﹣1D ．a ﹣1＞b +1【答案】C【分析】举出反例即可判断A 、B 、D ，根据不等式的传递性即可判断C ． 【解析】解：A 、a ＝0.5，b ＝0.4，a ＞b ，但是a ﹣1＜b ，不符合题意； B 、a ＝3，b ＝1，a ＞b ，但是b +1＜a ，不符合题意；C 、∵a ＞b ，∴a +1＞b +1，∵b +1＞b ﹣1，∴a +1＞b ﹣1，符合题意；D 、a ＝0.5，b ＝0.4，a ＞b ，但是a ﹣1＜b +1，不符合题意．故选：C ． 【点睛】此题考查不等式的性质，对性质的理解是关键．2．用一组a ，b ，c 的值说明命题“若a b <，则ac bc <”是错误的，这组值可以是a =_____，b =______，c =_______．【答案】2 3 -1分析：根据不等式的性质3，举出例子即可.【解析】根据不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 满足a b <，0c ≤即可，例如：2，3，1-.故答案为：2，3，1-. 点睛：考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键.经典例题 一元一次不等式的解集及数轴表示1．解不等式31212x x -->． 解：去分母，得2(21)31x x ->-． ……（1）请完成上述解不等式的余下步骤：（2）解题回顾：本题“去分母”这一步的变形依据是 （填“A ”或“B ”） A ．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；B ．不等式两边都乘（或除以）同一个负数【答案】（1）余下步骤见解析；（2）A ．【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类【解析】（1）31212x x -->去分母，得移项，得4312x x ->-+ 合并同类项（2）不等式的性质：不等式两边都乘（31212x x -->两边同乘以正数2，不等号【点睛】本题考查了解一元一次不等式、2．不等式3（1﹣x ）＞2﹣4x 的解在数轴上A ． C ．【答案】A【分析】根据解一元一次不等式基本步骤【解析】解：去括号，得：3﹣3x ＞2﹣【点睛】本题考查了解一元一次不等式及用“＜”向左，带等号用实心，不带等号用空1．不等式5131x x +>-的解集是______【答案】1x >-【分析】根据不等式的性质移项，合并同类【解析】解：5131x x +>-n 5x x 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式2．不等式417x x +>+的解集在数轴上表A ．C ．【答案】A【分析】先将不等式移项、合并同类项、不包括端点用空心”的原则即可判断答案个负数，不等号的方向改变． ． 并同类项的步骤进行补充即可；（2）根据不等式的性得2(21)31x x ->-去括号，得4231x x ->- 类项，得1x >；（或除以）同一个正数，不等号的方向不变不等号的方向不变，即可得到2(21)31x x ->-故选、不等式的性质，熟练掌握一元一次不等式的解法数轴上表示正确的是（ ） B ． D ．步骤：去括号、移项、合并同类项可得不等式的解集4x ，移项，得：﹣3x +4x ＞2﹣3，合并，得：x ＞﹣式及用数轴表示不等式的解集，正确解不等式是解题号用空心．_____． 并同类项，系数化为一即可．311->-- 22x >- 1x >- 故答案为1x >- 不等式，熟练运用不等式的性质运算是解题的关键轴上表示正确的是（ ）B ．D ．、系数化为1求得其解集，再根据“大于向右，小于答案．式的性质即可得． 故选：A ． 的解法是解题关键． 的解集，继而可得答案． 1，故选：A ．是解题关键，注意“＞”向右，关键．小于向左，包括端点用实心，【解析】解：解不等式：41x x +>系数化为1得：2x >，数轴上表示如图所【点睛】本题主要考查解一元一次不等式及点用实心，不包括端点用空心”的原则是解经典例题1．解不等式组：212541x x x x -+⎧⎨+<-⎩…．【答案】x ≥3【分析】根据解不等式组的解法步骤解出即【解析】212541x x x x -+⎧⎨+<-⎩①②…由①可得x 【点睛】本题考查解不等式组,关键在于熟2．不等式组()12256x x +≥⎧⎨-<-⎩的解集在数轴A ． B ．【答案】D【分析】直接求解一元一次不等式组即可排【解析】解：不等式组()12256x x +≥⎧⎪⎨-<⎪⎩①∴不等式组的解集为1≤x ＜2．数轴上表示【点睛】本题主要考查一元一次不等式组关键．1．不等式组13293x x -<-⎧⎨+≥⎩的解集是（A ．33x -≤< B ．2x >-【答案】C【分析】分别求出每个不等式的解集，再求【解析】解13293x x -<-⎧⎨+≥⎩①②由①得， x7+，移项得：471x x ->- 合并同类项得：3x 如图所示，故选等式及再数轴上表示不等式解集的能力，掌握“大于则是解题的关键．一元一次不等式组的解集及数轴表示解出即可．≥3,由②可得x>2,∴不等式的解集为：x ≥3．在于熟练掌握解法步骤．在数轴上表示为（ ）C ．D ．即可排除选项．-②，由①得：x ≥1，由②得：x ＜2，上表示如图：，故选：D ．式组，熟练掌握求解不等式组的方法及在数轴上表示 ）C ．32x -≤<-D ．3x ≤-再求其公共部分即可． ＜−2；由②得，x ≥−3，6> 故选：A ．大于向右，小于向左，包括端表示上表示出不等式组解集是解题的所以不等式组的解集为32x -≤<-．故选【点睛】本题的实质是求不等式的公共解大大小小解不了．2．不等式组1031212x x x +>⎧⎪⎨+-⎪⎩…，的解集在以A ．C ．【答案】B【分析】先求出每个不等式的解集，再求出【解析】解：10(1)3121(2)2x x x +>⎧⎪⎨+-⎪⎩…，∵解不等式①得：x ＞﹣1，解不等式②得在数轴上表示为：【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和经典例题1．解不等式组4(1)713843x x x x +≤+⎧⎪-⎨-<⎪⎩，并求【答案】−3⩽x<2，-5【分析】先求出两个不等式的解集，再求其【解析】解不等式4(1)713x x ++…，得所以，不等式组的解集为32x -<…．该不所以，该不等式组的所有整数解的和为【点睛】本题考查了解一元一次不等式组然后根据限制条件求出不等式的整数解．2．不等式12x -≤的非负整数解有（ A ．1个B ．2个故选：C ．共解，解答时要遵循以下原则：同大取较大，同小取集在以下数轴表示中正确的是（ ）B ．D ．再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可得：x ≤3，∴不等式组的解集是﹣1＜x ≤3， ，故选：B ．式组和在数轴上表示不等式组的解集，能求出不等式组 一元一次不等式（组）的整数解问题并求它的所有整数解的和． 再求其公共部分，然后找出整数解，即可求解． 得3x -…； 解不等式843x x --<，得2x <该不等式组的所有整数解为-3，-2，-1，0，1． (3)(2)(1)015-+-+-++=-．式组、一元一次不等式组的整数解，解决的关键是正确． ） C ．3个D ．4个同小取较小，小大大小中间找，来即可．等式组的解集是解此题的关键． 解问题． 是正确解出每个不等式的解集，【答案】D【分析】直接解不等式，进而利用非负整数的定义分析得出答案．【解析】解：12x -≤，解得：3x ≤，则不等式12x -≤的非负整数解有：0，1，2，3共4个．故选D ． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，正确把握非负整数的定义是解题关键．1．不等式组1051x x ->⎧⎨-≥⎩的整数解共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案.【解析】解：解不等式x ﹣1＞0，得：x ＞1，解不等式5﹣x ≥1，得：x ≤4， 则不等式组的解集为1＜x ≤4，所以不等式组的整数解有2、3、4这3个，故选：C .【点睛】此题考查求不等式组的整数解，正确求出每个不等式的解集得到不等式组的解集是解题的关键.2．不等式组523(1)131722x x x x +>-⎧⎪⎨-≤-⎪⎩的所有非负整数解的和是（ ）A ．10B ．7C ．6D ．0【答案】A【分析】分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集，继而可得知不等式组的非负整数解．【解析】523(1)131722x x x x +>-⎧⎪⎨-≤-⎪⎩①②，解不等式①得： 2.5x >-，解不等式②得：4x ≤， ∴不等式组的解集为： 2.54x -<≤，∴不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4， ∴不等式组的所有非负整数解的和是0123410++++=，故选A ．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组的基本技能，准确求出每个不等式的解集是解题的根本，确定不等式组得解集及其非负整数解是关键．经典例题 求参数的值或取值范围1．若关于x 的一元一次不等式组1020x x a ->⎧⎨-<⎩有2个整数解，则a 的取值范围是______．【答案】68a <≤【分析】先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案即可．【解析】解：1020x x a ->⎧⎨-<⎩①②解不等式①得：x>1，解不等式②得：x<2a ，∴不等式组的解集是1＜x ＜2a，∵x 的一元一次不等式组有2个整数解，∴x 只能取2和3，∴342a<≤，解得：68a <≤故答案为：68a <≤． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于a 的取值范围．2．若关于x 的不等式组2242332x x x x a--⎧>⎪⎨⎪->--⎩的解集是2x <，则a 的取值范围是（ ）A ．2a ≥B ．2a <-C ．2a >D ．2a ≤【答案】A【分析】分别求出每个不等式的解集，根据不等式组的解集为2x <可得关于a 的不等式，解之可得． 【解析】解：解不等式22x -＞243x -，得：2x <，解不等式-3x ＞-2x-a ，得：x ＜a ，∵不等式组的解集为2x <，∴2a ≥，故选：A ．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．3．若关于x 的不等式组35128x x a -⎧⎨-<⎩…有且只有3个整数解，则a 的取值范围是（ ）A ．02a ≤≤B ．02a ≤<C ．02a <≤D ．02a <<【答案】C【分析】先求出不等式组的解集（含有字母a ），利用不等式组有三个整数解，逆推出a 的取值范围即可．【解析】解：解不等式351x -…得：2x ≥，解不等式28x a -<得：82ax +<， ∴不等式组的解集为：822ax +≤<， ∵不等式组35128x x a -⎧⎨-<⎩…有三个整数解，∴三个整数解为：2，3，4，∴8452a+<≤，解得：02a <≤，故选：C ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键就是根据整数解的个数得出关于a 的不等式组．4．若数a 使关于x 的分式方程2311x a x x ++=--的解为非负数，且使关于y 的不等式组()3113431220y y y a -+⎧-≥-⎪⎨⎪-<⎩的解集为0y ≤，则符合条件的所有整数a 的积为_____________ 【答案】40【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a ≤5且a≠3，根据不等式组的解集为0y ≤，即可得出a>0，找出0<a ≤5且a≠3中所有的整数，将其相乘即可得出结论． 【解析】解：分式方程2311x a x x ++=--的解为x=52a-且x≠1， ∵分式方程2311x a x x ++=--的解为非负数，∴502a -≥且52a -≠1.∴a ≤5且a≠3. ()3113431220y y y a -+⎧-≥-⎪⎨⎪-<⎩①②解不等式①，得0y ≤.解不等式②，得y<a. ∵关于y 的不等式组()3113431220y y y a -+⎧-≥-⎪⎨⎪-<⎩的解集为0y ≤，∴a>0.∴0<a ≤5且a≠3. 又a 为整数，则a 的值为1，2，4，5.符合条件的所有整数a 的积为124540⨯⨯⨯=.故答案为：40.【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为0y ≤，找出a 的取值范围是解题的关键． 5．若关于x 的不等式组26040x m x m -+⎧⎨-⎩＜＞有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组有解，求出m ＜4，然后分别取m=2，0，-1，得出整数解的个数，即可求解．【解析】解不等式2x ﹣6+m ＜0，得：x 62m -＜，解不等式4x ﹣m ＞0，得：x 4m＞， ∵不等式组有解，∴642m m-＜，解得m ＜4， 如果m ＝2，则不等式组的解集为12＜x ＜2，整数解为x ＝1，有1个；如果m ＝0，则不等式组的解集为0＜x ＜3，整数解为x ＝1，2，有2个； 如果m ＝﹣1，则不等式组的解集为14-＜x 72＜，整数解为x ＝0，1，2，3，有4个；故选C ． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．6．若关于x 的不等式组12420x a x ⎧->⎪⎨⎪-≥⎩无解，则a 的取值范围为________．【答案】1a ≥【分析】先解不等式组中的两个不等式，【解析】解：对不等式组1242x a x ⎧->⎪⎨⎪-≥⎩∵原不等式组无解，∴22a ≥，解得：【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法是关键．1．若不等式组2120x xx m ->-⎧⎨+≤⎩有解，则A ．1m >- B ．1m ≥-【答案】D【分析】本题考查不等式解集的表示方法再确定n 的范围．【解析】由2120x xx m ->-⎧⎨+≤⎩得1,x m >因为不等式组2120x xx m ->-⎧⎨+≤⎩有解，则【点睛】本题考查不等式组解集的表示方法2．关于的不等式组无解A ．B ．【答案】A【解析】解不等式x ﹣m ＜0，得x ＜m ，由不等式组无解，可得m≤﹣1，故选A.考点：解一元一次不等式组．经典例题1．阅读下面的材料：对于实数，我们，如：（2）当时,a b min{,}a b b =min{4,2}mi -=2322min ,233x x x -++⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，然后根据不等式组无解可得关于a 的不等式，00①②，解不等式①，得2x a >，解不等式②，得x ：1a ≥．故答案为：1a ≥．组的解法，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握则m 的取值范围是（ ）C ．1m ≤-D ．1m <-方法，根据比大的小比小的大取中间，因为有解，也就x ≤-m 的取值范围是-m>1,即m<-1故选：D示方法，也可以画数轴出来再求解，比较简单． 无解，那么的取值范围为( )C ．D ．，解不等式3x ﹣1＞2（x ﹣1），得x ＞﹣1， A. 例题 一元一次不等式（组）的应用我们定义符号的意义为：当时，．根据上面的材料回答下列问题：（时，求x的取值范围． min{,}a b a b <2,min{5,5}5-=，解不等式即得答案．2≤，练掌握解一元一次不等式组的方也就是有中间（公共部分），，；当时，：1）______；min{,}a b a =a b …min{1,3}-=【答案】（1）﹣1 ；（2）x≥【分析】（1）比较大小，即得出答案；（2）根据题意判断出解不等式即可判断x 的取值范围． 【解析】解：（1）由题意得﹣1故答案为：﹣1；（2）由题意得：3（2x －3）≥2（x+2） 6x －9≥2x+4 4x≥13 x ≥ ∴x 的取值范围为x≥．【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．2．某品牌衬衫进价为120元，标价为240元，商家规定可以打折销售，但其利润率不能低于20%，则这种品牌衬衫最多可以打几折？（ ） A ．8 B ．6C ．7D ．9【答案】B【分析】根据售价-进价=利润，利润=进价⨯利润率可得不等式，解之即可． 【解析】设可以打x 折出售此商品， 由题意得：24012012020%10x⨯-≥⨯，解得x ≥6，故选：B 【点睛】此题考查了销售问题，注意销售问题中量之间的数量关系是列不等式的关键．3．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m 元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n 元，售价每千克18元．（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求m ，n 的值．（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x 千克，求有哪几种购买方案．（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a 元，乙种蔬菜每千克捐出a 元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a 的最大值．【答案】（1）m 的值为10，n 的值为14；（2）有3种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克；（3）a 的最大值为1.8．【分析】（1）根据“购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元”，即可得出关于m ，n 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据总价＝单价×数量结合投入资金不少于1160元又不多于1168元，即可得出关于x 的一元一次不等式组，解之即可得出x 的取值范围，再结合x 为正整数即可得出各购买方案；（3）求出（2）中各购买方案的总利润，比较后可得出获得最大利润时售出甲、乙两种蔬菜的重量，再根据总利润＝每千克利润×销售数量结合捐款后的利润率不低于20%，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．1342x 3x+223－min{1,3}-=2x 3x+223－≥134134【解析】（1）依题意，得：105170610200m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：1014m n =⎧⎨=⎩.答：m 的值为10，n 的值为14. （2）设购买甲种蔬菜x 千克，则购买乙种蔬菜(100)x -千克，依题意，得：1014(100)11601014(100)1168x x x x +-≥⎧⎨+-≤⎩，解得：5860x ≤≤.∵x 为正整数，∴58,59,60x =，∴有3种购买方案， 方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克； 方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克； 方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克.（3）设超市获得的利润为y 元，则(1610)(1814)(100)2400y x x x =-+--=+. ∵20k =>，∴y 随x 的增大而增大，∴当60x =时，y 取得最大值，最大值为260400520⨯+=.依题意，得：(16102)60(1814)40(10601440)20%a a --⨯+--⨯≥⨯+⨯⨯， 解得： 1.8a ≤.答：a 的最大值为1.8．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．1．某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A 型和B 型两种分类垃圾桶，A 型分类垃圾桶500元/个，B 型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（ ） A ．2种 B ．3种C ．4种D ．5种【答案】B【分析】设购买A 型分类垃圾桶x 个，则购买B 型垃圾桶（6-x ），然后根据题意列出不等式组，确定不等式组整数解的个数即可．【解析】解：设购买A 型分类垃圾桶x 个，则购买B 型垃圾桶（6-x ）个 由题意得：500550631006x x x +-≤⎧⎨≤⎩（），解得4≤x ≤6则x 可取4、5、6，即有三种不同的购买方式．故答案为B ．【点睛】本题考查了一元一次方程组的应用，弄清题意、列出不等式组并确定不等式组的整数解是解答本题的关键． 2．某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？【答案】（1）每千克苹果售价8元，每千克梨6千克；（2）最多购买5千克苹果【分析】（1）设每千克苹果售价x 元，每千克梨y 千克，由题意列出x 、y 的方程组，解之即可； （2）设购买苹果a 千克，则购买梨（15-a ）千克，由题意列出a 的不等式，解之即可解答． 【解析】（1）设每千克苹果售价x 元，每千克梨y 千克，由题意， 得：326222x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：86x y =⎧⎨=⎩，答：每千克苹果售价8元，每千克梨6千克，（2）设购买苹果a 千克，则购买梨（15-a ）千克，由题意，得：8a+6(15-a)≤100，解得：a ≤5，∴a 最大值为5，答：最多购买5千克苹果．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答的关键是认真审题，分析相关信息，正确列出方程组和不等式．3．小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第i 组有首，i =1，2，3，4；②对于第i 组诗词，第i 天背诵第一遍，第（）天背诵第二遍，第（）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，1，2，3，4；—— 第1天第2天第3天 第4天第5天 第6天 第7天 第1组第2组第3组第4组③每天最多背诵14首，最少背诵4首．解答下列问题：（1）填入补全上表；（2）若，，，则的所有可能取值为______；（3）7天后，小云背诵的诗词最多为______首． 【答案】（1）如表所示，见解析；（2）4，5，6；（3）23.【分析】（1）根据表中的规律即可得到结论；（2）根据题意列不等式即可得到结论；（3）根据题意列不等式，即可得到结论． 【解析】解：（1）—— 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组x 1x 1x 1i x 1i +3i +i =1x 1x 1x 2x 2x 2x 4x 4x 4x 3x 14x =23x =34x =4x第2组 x 2 x 2 x 2 第3组 x 3 x 3 x 3 第4组x 4x 4x 4（2）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，∴x 1≥4，x 3≥4，x 4≥4，∴x 1+x 3≥8①，∵x 1+x 3+x 4≤14②，把①代入②得，x 4≤6，∴4≤x 4≤6，∴x 4的所有可能取值为4，5，6，故答案为：4，5，6； （3）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，∴由第2天，第3天，第4天，第5天得， x 1+x 2≤14①，x 2+x 3≤14②，x 1+x 3+x 4≤14③，x 2+x 4≤14④，①+②+④-③得，3x 2≤28，， ， ∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首，故答案为：23．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．2283∴x …123428701433∴++++=x x x x …12341233∴+++x x x x …。

自学资料一、不等式及其基本性质【知识探索】1．不等式性质：（1）不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含字母的式子，不等号的方向不变．即：①如果，那么（或）；②如果，那么（或）．（2）不等式性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．即：①如果，，那么（或）；②如果，，那么（或）．（3）不等式性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．即：①如果，，那么（或）；②如果，，那么（或）．第1页共16页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训【说明】不等式两边同时乘以0，则原不等式变为等式．【错题精练】例1．若a＞b，且c为任意实数，下列各式：①ac≥bc；②ac≤bc；③ac2＞bc2；④ac2≥bc2；⑤，一定成立的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A例2．已知x=1满足不等式组{3x−5≤2x−4a3（x−a）＜4（x+2）−5，求a的取值范围．【答案】解：将x=1代入3x-5≤2x-4a，得4a≤4，解得a≤1；将x=1代入3（x-a）＜4（x+2）-5，得a＞-43．不等式组{3x−5≤2x−4a3（x−a）＜4（x+2）−5解集是-43＜a≤1，a的取值范围是-43＜a≤1．【举一反三】1．解不等式组：{2（x+1）＜3x+44x3−3x−14≤2.，并把解集在数轴上表示出来．【答案】解：由2（x+1）＜3x+4，得-x＜2．第2页共16页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训第3页 共16页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训解得x ＞-2． 由4x3−3x−14≤2，得7x≤21． 解得：x≤3．在数轴上可表示为：所以，原不等式组的解集为-2＜x≤3． 在数轴上画出不等式组的解集正确．2．不等式组{x +9＜5x +1x ＞a +1的解集是x ＞2，则a 的取值范围是（ ）A. a≤2B. a≥2C. a≤1D. a ＞1【解答】解：{x +9＜5x +1①x ＞a +1②，∵解不等式①得：x ＞2， 解不等式②得：x ＞a+1，又∵不等式组的解集是x ＞2， ∴a+1≤2， ∴a≤1． 故选：C ．【答案】C二、一元一次不等式（组）【知识探索】1．解一元一次不等式的一般步骤： （1）去分母； （2）去括号； （3）移项； （4）化为（或）的形式（其中）； （5）两边同时除以未知数的系数，得到不等式的解集． 2．解一元一次不等式组的一般步骤： （1）求出不等式组中各个不等式的解集； （2）在数轴上表示各个不等式的解集；（3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集．【错题精练】例1．已知不等式3x ﹣a≤0的正整数解恰是1，2，3，4，那么a 的取值范围是（ ） A. a ＞12 B. 12≤a≤15 C. 12＜a≤15D. 12≤a＜15【答案】D例2．根据图2和图3所示，对三种物体的重量判断不正确的是（）A.B.C.D.【解答】略【答案】C例3．在关于x、y的方程组中，未知数满足x≥0，y＞0，那么m的取值范围在数轴上应表示为（）A.B.C.D.【答案】C例4．对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）==b，已知T（1，1）=2.5，T（4，﹣2）=4．（1）求a，b的值；（2）若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数P的取值范围．第4页共16页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训第5页 共16页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训【答案】解：（1）根据题意得：①+②得：3a=9，即a=3， 把a=3代入①得：b=2， 故a ，b 的值分别为3和2；（2）根据题意得：由①得：m≤ 由②得：m ＞p ﹣3，∴不等式组的解集为p ﹣3＜m≤∵不等式组恰好有2个整数解，即m=0，1， ∴﹣1≤p ﹣3＜0， 解得≤p ＜2，即实数P 的取值范围是≤p ＜2．例5．是否存在这样的整数m ，使方程组{x +y =m +24x −5y =6m +3的解x 、y 为非负数，若存在，求m 的取值；若不存在，则说明理由．【答案】解：解方程组{x +y =m +24x −5y =6m +3得：{x =11m+139y =5−2m 9∵x ，y 为非负数，即{x ≥0y ≥0．∴{11m+139≥05−2m 9≥0解得-1311≤m≤52 ∵m 为整数第6页共16页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训∴x＞ab，∴x＞2，故答案为x＞2．【答案】x＞2【举一反三】1．已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范是__________ .【答案】﹣3＜a≤﹣22．使代数式4x﹣的值不大于3x+5的值的x的最大整数值是（）A. 4B. 6C. 7D. 8【答案】B3．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]=1，[3]=3，[﹣2.5]=﹣3，若[]=5，则x的取值可以是（）A. 36B. 40C. 45D. 46【答案】B4．解关于x的不等式组：{a（x−2）＞x−39（a+x）＞9a+8．第7页共16页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训第8页共16页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训第9页共16页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训第10页共16页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训∵y 、z 都是正整数，∴x 是偶数，∴有以下几种方案：方案一：甲22台，乙15台，丙3台，方案二：甲24台，乙10台，丙6台，方案三：甲26台，乙5台，丙9台；（3）设获利W 元，则W=200x+150×140−5x 2+100×3x−602， =200x+10500-375x+150x-3000，=-25x+7500，∵-25＜0，∴W 随x 的增大而减小，∴选取方案一，即当x=22时，获利最大，最大获利为-25×22+7500=6950元．1．若a ＜b ＜0，把1，1-a ，1-b 这三个数按由小到大的顺序用“＜”连接起来：______【解答】解：若a ＜b ＜0，把1，1-a ，1-b 这三个数按由小到大的顺序用“＜”连接起来：1＜1-b ＜1-a ． 故填1＜1-b ＜1-a ．【答案】1＜1-b ＜1-a2．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．（1）1-3（x-1）＜8-x ；（2）2x−13-9x+26≤1．【答案】解：（1）去括号，得：x-3x+3＜8-x ，移项、合并同类项，得：-x ＜5，则x ＞-5；（2）去分母，得：2（2x-1）-（9x+2）≤6，去括号，得：4x-2-9x-2≤6，移项，得：4x-9x≤6+2+2，合并同类项，得：-5x≤10，系数化成1得：x≥-2．3．关于x 的不等式x-a ＞0有2个负整数解，则a 的取值范围是______．【解答】解：∵x-a ＞0，∴x ＞a ，∵不等式x-a ＞0恰有两个负整数解，∴-3≤a ＜-2．故答案为-3≤a ＜-2．【答案】-3≤a ＜-24．对于三个数a ，b ，c ，用M{a ，b ，c}表示这三个数的平均数，用min{a ，b ，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{-1，0，2}=−1+0+23=13；min{-1，0，2}=-1；min{-1，0，a}={a （a ≤−1）−1（a ＞−1）．如果M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，则x 的值是______．【解答】解：∵M{a ，b ，c}表示这三个数的平均数，∴2+x+1+2x3=x +1，∵min{a ，b ，c}表示这三个数中最小的数，且M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，∴{x +1≤2x x +1≤2， 即{x ≥1x ≤1， ∴x=1．故答案为：1．【答案】15．若关于x 的不等式组{x−123≥2+x x ＞2m −1，有且仅有三个整数解，则m 的取值范围是______．【解答】解：由x−123≥2+x ，解得：x≤-9，由关于x 的不等式组{x−123≥2+xx ＞2m −1，有且仅有三个整数解， 解得：-12≤2m -1＜-11，解得-5.5≤m ＜-5，65≤7x+7≤70≤x≤9解得：587∵x是整数，∴x=9答：共有9人．（2）设共有x人，由题意得7x+7=10（x-1）+8解得x=3则7x+7=28答：这些书有28本，共有3人．（3）设共有x人，由题意得{7x+7＞10（x−1）7x+7＜10（x−1）+5解得：4＜x＜173∵x是整数，∴x=57x+7=42答：这些书有42本，共有5人．● 1、不等式的求解方法2、特别注意含参不等式处理时的注意点以及含不含等号的判断3、注意不等式的实际应用中字母所代表的实际量的数学意义和实际意义。

2.1 等式性质与不等式性质（基础知识+基本题型）知识点一不等式的有关概念1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号，，≥，≤，连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子，叫做不等式．2．同向不等式和异向不等式对于两个不等式，如果每一个不等式的左边都大于（或大于等于）右边或每一个不等式的左边都小于（或小于等于）右边，那么这两个不等式叫做同向不等式．例如，f x g x 与S x T x是同向不等式，()()f x g x ≤与()()S x T x ≤也是同向不等式．对于两个不等式，如果一个不等式的左边都大于（或大于等于）右边，而另一个不等式的左边小于（或小于等于）右边，那么这两个不等式叫做异向不等式．例如，f x g x 与S x T x是异向不等式，()()f x g x ≤与()()S x T x ≥也是异向不等式．提示文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过符号语言≥≤知识点二比较实数大小的依据与方法1．比较实数大小的依据在数轴上，不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示（如图 3.11所示），可以看出a，b之间具有以下性质：如果a b-等于零，那么>；如果a b-是正数，那么a ba b；如果a b<．反之也成立．它是本章内容的理论基础，是不等式性质的证明、证-是负数，那么a b明不等式和解不等式的主要依据．2．比较两个实数大小的方法⑴作差法：对于两个实数a，b，通过比较a b-与0的大小关系，从而得到实数a，b的大小关系，具体方法如下：a b a b-=⇔=；0-<⇔<．a b a b->⇔>；0a b a b⑵作商法：对于任意两个正数a ，b ，通过比较a b与1的大小关系，从而得到正数a ，b 的大小关系，具体方法如下：当0a ，0b 时，1a a bb >⇔>；1aa b b=⇔=；1aa b b<⇔<．知识点三 等式的性质等式有下面的基本性质：性质1 如果a b =，那么b a =；性质2 如果a b =，b c =，那么a c =；性质3 如果a b =，那么a c b c ±=±；性质4 如果a b =，那么ac bc =；性质5 如果a b =，0c ≠，那么a b c c=． 知识点四 不等式的性质性质 具体名称 性质内容注意 1 对称性 a b b a >⇔< ⇔ 2 传递性 a b ，b c a c >⇒> ⇒ 3 可加性a b a c b c >⇔+>+ ⇔4 可乘性 0a b ac bc c >⎫⇒>⎬>⎭c 的符号0a b ac bc c >⎫⇒<⎬<⎭5 同向可加性 a b a c b d c d >⎫⇒+>+⎬>⎭⇒ 6 同向同正可乘性 00a b ac bd c d >>⎫⇒>⎬>>⎭⇒7 可乘方性 0n n a b a b >>⇒>（n N ∈，1n ≥） 同正8可开方性0n n a b a b >>⇒>（n N ∈，2n ≥）9 取倒数11a bab a b>⎫⇒<⎬>⎭a，b同号考点一：用不等式表示不等关系180m，拟分割成大、例1.某人有楼房一幢，室内面积共218m，小两类房间作为旅游客房，大房间面积为215m 可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为2，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.【思路点拨】把已知条件用等式或不等式列出来（代数化），把目标用代数式表示，再研究条件和目标的关系。

一．不等式的性质：二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。

其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。

三．重要不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．5.a 3+b 3+c 3≥3abc （a,b,c ∈ R +）, a +b +c 3 a =b =c 时取等号）； 6. 1n (a 1+a 2+……+a n )2n a (a i ∈ R +,i=1,2,…，n)，当且仅当a 1=a 2=…=a n 取等号；变式：a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca; ab ≤( a +b 2 )2 (a,b ∈ R +) ; abc ≤( a +b +c 3)3(a,b,c ∈ R +)a ≤ 2ab a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 22 ≤b.(0<a ≤b) 7.浓度不等式：b －n a －n< b a < b +ma +m ,a>b>n>0,m>0; 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解题技巧：技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

不等式及其性质高一知识点不等式是数学中一种常见的数值比较关系表示方法，它在中学数学中占有重要的地位。

掌握不等式的性质和解不等式的方法对于高一学生来说非常关键。

下面将介绍不等式的基本性质和几种常见的解不等式的方法。

一、不等式的基本性质1. 加减性质：一个不等式两边同时加上（或减去）同一个数，不等式的关系不变。

例如：若a > b，则a + c > b + c，其中c为任意实数。

2. 倍数性质：如果不等式两边同乘（或同除）一个正数，不等式的关系不变；如果两边同乘（或同除）一个负数，不等式的关系发生改变，即需要转置不等号的方向。

例如：若a > b（a ≠ 0）, c > 0，则ac > bc；若a > b，c < 0，则ac < bc。

3. 乘方性质：如果将不等式两边同时乘以一个正数的相同幂次，不等式的关系不变；如果两边乘以一个负数的相同幂次，不等式的关系发生改变。

例如：若a > b > 0，则a² > b²；若a > b > 0，则a² < b²。

4. 变号性质：若不等式两边同时变号，不等式的关系不变。

例如：若a > b > 0，则-b > -a < 0。

二、解一元一次不等式解一元一次不等式的方法与解一元一次方程相似，但是需要注意不等号的方向。

1. 加减法解不等式：将含有未知数的项移到一边，然后按照加减性质进行运算，得到最终的解。

例如：解不等式2x - 3 > 5，将3移到不等号的另一边得到2x > 8，然后除以2得到x > 4。

2. 乘除法解不等式：对于乘法解不等式，需要考虑乘数的正负性，确定是否需要转置不等号的方向；对于除法解不等式，需要考虑除数的正负性以及不等式中未知数的范围，确定是否需要转置不等号的方向。

例如：解不等式3x + 4 ≤ 10，首先将4移到另一边得到3x ≤ 6，然后除以3得到x ≤ 2。

基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ （2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论（1）若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）（3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab ba +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式（1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+ 二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ba 112+2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2223、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、选修4—5：不等式选讲设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.7、选修4—5：不等式选讲： 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 223322-≥-题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域 （1）22213x x y += （2）)4(x x y -= （3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x xx y题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项） 1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数） 1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值； 变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。