八年级数学上册《整式的乘法与因式分解》知识归纳

第十四章 整式的乘除与分解因式一、知识概念：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯= （m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．⑵幂的乘方：()n m mn a a =（m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．⑶幂的乘方：()nn n ab a b =（n 为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积．（4）幂的除法：n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ） 同底数幂相除，底数不变，指数相减．（5）零指数幂的概念： a 0＝1 （a ≠0） 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．（6）负指数幂的概念：a －p ＝p a 1（a ≠0，p 是正整数）任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：pp n m m n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数） 2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式.⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式.⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷多项式：用其中一个多项式除以另一个多项式再把所得的商相加4.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++； ()2222a b a ab b -=-+ 二、因式分解：因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点归纳总结(精华版)单选题1、若(2020×2020×…×2020⏟ 共2020个)×(2020+2020+⋯+2020⏟ 共2020个)=2020n ，则n ＝（ ）A ．2022B ．2021C ．2020D ．2019 答案：A分析：2020个2020相乘，可以写成20202020，2020个2020相加，可以写成2020×2020=20202，计算即可得到答案．∵2020×2020×⋯×2020=20202020⏟ 2020，2020+2020+⋯+2020⏟ 2020=2020×2020=20202，∴原式左边=20202020×20202=20202022， 即2020n =20202022， ∴n =2022． 故选：A ．小提示：本题考查了乘方的意义，以及同底数幂的乘法运算．注意：求n 个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．2、如图，阶梯型平面图形的面积可以表示为（ ）A ．ad +bcB ．ad +c (b −d )C ．ab −cdD ．c (b −d )+d (a −c ) 答案：B分析：把阶梯型的图形看成是两个长方形的面积之和或面积之差即可求解．解：S 阶梯型＝bc +（a ﹣c ）d 或S 阶梯型＝ab ﹣（a ﹣c ）（b ﹣d ） 或S 阶梯型＝ad +c （b ﹣d ）， 故选：B ．小提示：本题主要考查列代数式，整式的混合运算，解答的关键是把所求的面积看作是两个长方形的面积之和或面积之差．3、将多项式x ﹣x3因式分解正确的是（ ）A ．x （x2﹣1）B ．x （1﹣x2）C ．x （x+1）（x ﹣1）D ．x （1+x ）（1﹣x ） 答案：D分析：直接提取公因式x ，然后再利用平方差公式分解因式即可得出答案． x ﹣x 3=x （1﹣x 2） =x （1﹣x ）（1+x ）． 故选D ．小提示：本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式法是解题关键． 4、已知、为实数，且√a −12+ b 2+4＝4b ，则a 2015•b 2016的值是（ ） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣2答案：C分析：已知等式整理后，利用非负数的性质求出与的值，利用同底数幂的乘法及积的乘方运算法则变形后，代入计算即可求出值．已知等式整理得：√a −12+ (b −2)2＝0，∴a =12，b ＝2， 即ab ＝1，则原式＝(ab)2015•b故选：C．小提示：本题考查了实数的非负性，同底数幂的乘法，积的乘方，活用实数的非负性，确定字母的值，逆用同底数幂的乘法，积的乘方，进行巧妙的算式变形，是解题的关键．5、如图，在长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，纵向阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算空白部分的面积，其面积是（）A．bc−ab+ac+c2B．ab−bc−ac+c2C．a2+ab+bc−ac D．b2+bc+a2−ab答案：B分析：矩形面积减去阴影部分面积，求出空白部分面积即可．空白部分的面积为(a−c)(b−c)=ab−ac−bc+c2．故选B．小提示：此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6、小阳同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入m的值为2，则最后输出的结果y是（）A．2B．3C．4D．8答案：D分析：把m=2代入运算程序中计算，如小于或等于7则把其结果再代入运算程序中计算，如大于7则直接输出结果．解：当m=2时，=22-1=3＜7，当m=3时，m2-1=32-1=8＞7，则y=8．故选：D．小提示：此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，弄清题中的运算程序是解本题的关键．7、2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的计算结果的个位数字是（）A．8B．6C．2D．0答案：D分析：先将2变形为(3−1)，再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．解：(3−1)(3+1)(32+1)(34+1)…(316+1)=(32−1)(32+1)(34+1)…(316+1)=(34−1)(34+1)…(316+1)=332−1∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…∴3n的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现，∵32÷4=8，故332与34的个位数字相同即为1，∴332−1的个位数字为0，∴2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的个位数字是0．故选：D．小提示：本题考查了平方差公式的应用，能根据规律得出答案是解此题的关键．8、若x2+ax＝（x+1）2+b，则a，b的值为（）2A ．a ＝1，b ＝14B ．a ＝1，b ＝﹣14C ．a ＝2，b ＝12D ．a ＝0，b ＝﹣12 答案：B分析：根据完全平方公式把等式右边部分展开，再比较各项系数，即可求解． 解：∵x 2+ax ＝（x +12）2+b =x 2+x +14+b ，∴a =1，14+b =0，∴a ＝1，b ＝﹣14，故选B ．小提示：本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．9、如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a 的正方形卡片4张，边长为b 的正方形卡片1张，长，宽分别为a ，b 的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为( )A ．2a+bB ．4a+bC ．a+2bD ．a+3b 答案：A分析：4张边长为a 的正方形卡片的面积为4a 2，4张边长分别为a 、b 的矩形卡片的面积为4ab ，1张边长为b 的正方形卡片面积为b 2，9张卡片拼成一个正方形的总面积=4a 2+4ab+b 2=(2a+b)2，所以该正方形的边长为：2a+b ．设拼成后大正方形的边长为x ， ∴4a 2+4ab+b 2=x 2，∴(2a+b)2=x 2，∴该正方形的边长为：2a+b. 故选A.小提示：本题主要考查了完全平方公式的几何意义，利用完全平方公式分解因式后即可得出大正方形的边长． 10、下列计算正确的是（ ）A ．m +m =m 2B ．2(m −n )=2m −nC ．(m +2n)2=m 2+4n 2D ．(m +3)(m −3)=m 2−9 答案：D分析：根据合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式进行运算，即可一一判定． 解：A.m +m =2m ，故该选项错误，不符合题意； B.2(m −n )=2m −2n ，故该选项错误，不符合题意； C.(m +2n)2=m 2+4mn +4n 2，故该选项错误，不符合题意； D.(m +3)(m −3)=m 2−9，故该选项正确，符合题意； 故选：D ．小提示：本题考查了合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式，熟练掌握和运用各运算法则和公式是解决本题的关键． 填空题11、阅读下面材料：一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a+b+c ，abc ，a 2+b 2，…含有两个字母a ，b 的对称式的基本对称式是a+b 和ab ，像a 2+b 2，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b ，ab 表示，例如：a 2+b 2＝（a+b ）2﹣2ab ．请根据以上材料解决下列问题： （1）式子①a 2b 2②a 2﹣b 2③1a+1b中，属于对称式的是_______（填序号）；（2）已知（x+a ）（x+b ）＝x 2+mx+n ． ①若m =−2,n =12，求对称式ba +ab 的值； ②若n ＝﹣4，直接写出对称式a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值．答案：（1）①③；（2）①b a +ab ＝6；②a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值为172．分析：（1）根据对称式的定义进行判断；（2）①先得到a+b ＝﹣2，ab ＝12，再变形得到b a +ab ＝a 2+b 2ab ＝(a+b)2−2abab，然后利用整体代入的方法计算；②根据分式的性质变形得到a 4+1a 2+b 4+1b 2＝a 2+1a 2+b 2+1b 2，再利用完全平方公式变形得到（a+b ）2﹣2ab+(a+b)2−2aba 2b 2，所以原式=1716m 2+172，然后根据非负数的性质可确定a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值．解：（1）式子①a 2b 2②a 2﹣b 2③1a+1b中，属于对称式的是 ①③．故答案为①③；（2）∵x 2+（a+b ）x+ab ＝x 2+mx+n ∴a+b ＝m ，ab ＝n ． ①a+b ＝﹣2，ab ＝12，b a+ab ＝a 2+b 2ab＝(a+b)2−2abab＝(−2)2−2×1212＝6；②a 4+1a 2+b 4+1b 2＝a 2+1a 2+b 2+1b 2＝（a+b ）2﹣2ab+(a+b)2−2aba 2b 2＝m 2+8+m 2+816＝1716m 2+172， ∵1716m 2≥0， ∴a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值为172．小提示：本题主要考查完全平方公式，关键是根据题目所给的定义及完全平方公式进行求解即可．12、平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(m ，3)．若将点A 先向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到点B(1，n)，则m +n =_______． 答案：3分析：先写出点A 向下平移2个单位后的坐标，再写出向左平移1个单位后的坐标．即可求出m 、n ，最后代入m +n 即可．点A 向下平移2个单位后的坐标为(m ，3−2)，即(m ，1)．再向左平移1个单位后的坐标为(m −1，1)．∴{m−1=11=n ，即{m=2n=1．∴m+n=2+1=3．所以答案是：3．小提示：本题考查坐标的平移变换以及代数式求值．根据坐标的平移变换求出m、n的值是解答本题的关键．13、若a+b=1，则a2−b2+2b−2=________．答案：-1分析：将原式变形为(a+b)(a−b)+2b−2，再将a+b=1代入求值即可.解：a2−b2+2b−2=(a+b)(a−b)+2b−2将a+b=1代入，原式=a−b+2b−2=a+b−2=1-2=-1所以答案是：-1.小提示：本题考查了代数式求值，其中解题的关键是利用平方差公式将原式变形为(a+b)(a−b)+2b−2.14、已知a+b=4，a−b=2，则a2−b2的值为__________．答案：8分析：根据平方差公式直接计算即可求解．解：∵a+b=4，a−b=2，∴a2−b2=(a+b)(a−b)=4×2=8所以答案是：8小提示：本题考查了因式分解的应用，掌握平方差公式是解题的关键．15、若a2−b2=−116，a+b=−14，则a−b的值为______．答案：14分析：由平方差公式进行因式分解，再代入计算，即可得到答案．解：∵a2−b2=(a+b)(a−b)=−116，∵a+b=−14，∴a−b=−116÷(−14)=14．故答案是：14．小提示：本题考查了公式法因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．解答题16、分解因式：2x3−2x2y+8y−8x答案：2(x−y)(x−2)(x+2)分析：先分组，然后利用提公因式法和平方差公式因式分解即可．解：2x3−2x2y+8y−8x=2x2(x−y)+8(y−x)=2x2(x−y)−8(x−y)=2(x−y)(x2−4)=2(x−y)(x−2)(x+2)．小提示：此题考查的是因式分解，掌握利用分组分解法、提公因式法和公式法因式分解是解题关键．17、小邢同学在计算(x+a)(x+b)中的“b”看成了“6”，算的结果为x2+3x−18，而且小颖同学在计算(x+a)(x+b)时将“+a”看成了“−a”，算的结果为x2−x−12．(1)求出a、b的值；(2)计算出(x+a)(x+b)的正确结果，答案：(1)a＝-3，b＝-4(2)x2-7x+12分析：（1）根据题意得出（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2-x﹣12，得出6+a＝3，﹣a+b＝-1，求出a、b即可；（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可．（1）根据题意得：（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2−x−12，所以6+a＝3，﹣a+b＝-1，解得：a＝-3，b＝-4；（2）当a＝-3，b＝-4时，（x+a）（x+b）＝（x-3）（x-4）＝x2-7x+12．小提示：本题考查了多项式乘以多项式法则和解方程，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．18、我们知道形如x2+(a+b)x+ab的二次三项式可以分解因式为(x+a)(x+b)，所以x2+6x−7=x2+ [7+(−1)]x+7×(−1)=(x+7)[x+(−1)]=(x+7)(x−1)．但小白在学习中发现，对于x2+6x−7还可以使用以下方法分解因式．x2+6x−7=x2+6x+9−7−9=(x+3)2−16=(x+3)2−42=(x+3+4)(x+3−4)=(x+7)(x−1)．这种在二次三项式x2+6x−7中先加上9，使它与x2+6x的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式了．（1）请使用小白发现的方法把x2−8x+7分解因式；（2）填空：x2−10xy+9y2=x2−10xy+________+9y2−________=(x−5y)2−16y2=(x−5y)2−(________)2=[(x−5y)+________][(x−5y)−________]=(x−y)(x−________)；（3）请用两种不同方法分解因式x2+12mx−13m2．答案：（1）(x−1)(x−7)；（2）25y2；25y2；4y；4y；4y；9y；（3）(x+13m)(x−m)分析：（1）在x2−8x+7上加16减去16，仿照小白的解法解答；（2）在原多项式上加25y2再减去25y2，仿照小白的解法解答；（3）将−13m2分解为13m与（-m）的乘积，仿照例题解答；在原多项式上加36m2再减去36m2仿照小白的解法解答．（1）解：x2−8x+7=x2−8x+16+7−16=(x−4)2−9=(x−4)2−32=(x−4+3)(x−4−3)=(x−1)(x−7)；（2）解：x2−10xy+9y2=x2−10xy+25y2+9y2−25y2=(x−5y)2−16y2=(x−5y)2−(4y)2=[(x−5y)+4y][(x−5y)−4y]=（x-y）（x-9y）所以答案是：25y2；25y2；4y；4y；4y；9y；（3）解法1：原式=x2+[13m+(−m)]x+13m⋅(−m)=(x+13m)(x−m)．解法2：原式=x2+12mx+36m2−13m2−36m2=(x+6m)2−49m2=[(x+6m)+7m][(x+6m)−7m]=(x+13m)(x−m)．小提示：此题考查多项式的因式分解，读懂例题及小白的解法，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是解题的关键．。

八年级数学上册“第十四章整式的乘法与因式分解”必背知识点一、整式的乘法1. 单项式乘单项式：法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2. 单项式乘多项式：法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

3. 多项式乘多项式：法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

二、乘法公式1. 平方差公式：公式：$(a+b)(a-b) = a^2 b^2$应用：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

2. 完全平方公式：公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$(a-b)^2 = a^2 2ab + b^2$应用：两个数的和 （或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）这两个数积的2倍。

三、因式分解1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式。

2. 提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

3. 公式法：利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解。

注意：分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

四、十字相乘法十字相乘法主要用于二次项系数为1的二次多项式的因式分解。

方法：通过观察和尝试，将常数项分解为两个因数的乘积，并使得这两个因数与一次项系数的组合满足整式的乘法规则。

五、注意事项在进行整式乘法时，要注意系数的计算、字母的指数运算以及符号的处理。

在进行因式分解时，要注意分解的彻底性，即每一个因式都不能再进一步分解。

熟练掌握乘法公式和因式分解的方法，对于提高解题效率和准确率至关重要。

掌握这些知识点，将有助于学生更好地理解和应用整式的乘法与因式分解，提高代数运算能力和解题能力。

八年级数学整式的乘法与因式分解重难点归纳单选题1、若x2﹣4x+1＝0，则代数式﹣2x2+8x+1的值为（）A．0B．1C．2D．3答案：D解析：给条件的代数式求值问题，先观察代数式，把条件变成需要的形式，然后整体代入，计算即可．∵x2﹣4x+1＝0，∴x2﹣4x＝﹣1，∴﹣2x2+8x＝2，∴原式＝2+1＝3．故选择：D．小提示：本题考查代数式的值问题，关键是把条件变性后，整体代入，如果次数较高的代数式一般把条件高次的求出，然后用降次方法进行化简，在整体代入求值．2、计算(x+1)(x+2)的结果为( )A．x2+2B．x2+3x+2C．x2+3x+3D．x2+2x+2答案：B解析：解：原式=x2+2x+x+2=x2+3x+2.故选B.3、下列运算正确的是（）A．2a×3a2=5a2B．(a2)3=a2C．(a−b)2=a2−b2D．(ab2)2=a2b4答案：D解析：由单项式乘单项式、幂的乘方、完全平方公式、积的乘方，分别进行判断，即可得到答案．解：A.2a×3a2=6a3，此选项错误；B.(a2)3=a6，此选项错误；C.(a−b)2=a2−2ab+b2，此选项错误；D.(ab2)2=a2b4，此选项正确；故选D．小提示：本题考查了单项式乘单项式、幂的乘方、完全平方公式、积的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．4、下列各式因式分解正确的是( )A．a2+4ab+4b2=(a+4b)2B．2a2-4ab+9b2=(2a-3b)2C．3a2-12b2=3(a+4b)(a-4b)D．a(2a-b)+b(b-2a)=(a-b)(2a-b)答案：D解析：根据因式分解的定义：把一个多项式写成几个因式的积的形式进行判断即可．a2+4ab+4b2=(a+2b)2，故选项A不正确；2a2-4ab+9b2=(2a-3b)2不是因式分解，B不正确；3a2-12b2=3(a+2b)(a-2b)，故选项C不正确；a(2a-b)+b(b-2a)=(a-b)(2a-b)是因式分解，D正确，故选D．小提示：本题考查的是因式分解的概念，把一个多项式写成几个因式的积的形式叫做因式分解，在判断一个变形是否是因式分解时，看是否是积的形式即可．5、下列分解因式正确的是（）A．−x2+4x=−x(x+4)B．x2+xy+x=x(x+y)C．x(x−y)+y(y−x)=(x−y)2D．x2−4x+4=(x+2)(x−2)答案：C解析：根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底．A. −x2+4x=−x(x−4)，故A选项错误；B. x2+xy+x=x(x+y+1)，故B选项错误；C. x(x−y)+y(y−x)=(x−y)2，故C选项正确；D. x2−4x+4=（x-2）2，故D选项错误，故选C.小提示：本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底．6、下列运算正确．．的是（）A．x2⋅x4=x6B．(x2)4=x6C．x3+x3=2x6D．(−2x)3=−6x3答案：A解析：根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及合并同类项进行判断即可．A选项x2⋅x4=x6，选项正确，故符合题意；B选项(x2)4=x8，选项错误，故不符合题意；C选项x3+x3=2x3，选项错误，故不符合题意；D选项(−2x)3=−8x3，选项错误，故不符合题意．故选：A．小提示：本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及合并同类项，属于基础题，熟练掌握这些计算公式和方法是解决本题的关键．7、已知a＝2018x＋2018，b＝2018x＋2019，c＝2018x＋2020，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是()A．0B．1C．2D．3答案：D解析：[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]的形式，然后代入求解即可．把已知的式子化成12（2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc）原式=12[（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）+（b2-2bc+c2）]=12[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]=12×（1+4+1）=12=3，故选D.小提示：本题考查了因式分解的应用，代数式的求值，正确利用因式分解的方法把所求的式子进行变形是关键．8、已知3m=x，32n=y，m，n为正整数，则9m+2n=（）A．x2y2B．x2+y2C．2x+12y D．24xy答案：A解析：先逆用同底数幂的乘法法则将9m+2n变形为9m×92n，再利用幂的乘方运算法则将9m×92n变形为(3m)2×(32n)2即可计算．解：∵3m=x，32n=y，∴9m+2n=9m×92n=(32)m×(32)2n=32m×34n=(3m)2×(32n)2=x2y2；故选A．小提示：本题主要考查了同底数幂的乘法及幂的乘方，熟练运用同底数幂的乘法及幂的乘方的运算法则是解题的关键．填空题9、若4a−7与3a互为相反数，则a2−2a+1的值为____________答案：0解析：根据4a−7与3a互为相反数得到一个关于a的一元一次方程，求出a的值，代入a2−2a+1即可得出答案.∵4a−7与3a互为相反数∴4a-7+3a=0解得：a=1∴a2−2a+1=12−2×1+1=0故a2−2a+1的值为0.小提示：本题考查的是代数式求值，主要运用到的是知识点为相反数的性质和解一元一次方程.10、已知ab=a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）=_____．答案：2解析：将（a﹣1）（b﹣1）利用多项式乘多项式法则展开，然后将ab=a+b+1代入合并即可得．（a﹣1）（b﹣1）= ab﹣a﹣b+1，当ab=a+b+1时，原式=ab﹣a﹣b+1=a+b+1﹣a﹣b+1=2，故答案为2．小提示：本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及整体代入思想的运用．11、若xm＝6，xn＝2，则x2m﹣3n＝___．答案：94解析：依据同底数幂的除法法则以及幂的乘方法则，即可得到结论．解：∵x m=6，x n=2，∴x2m−3n=x2m÷x3n=（x m）2÷（x n）3=62÷23=36÷8=94，所以答案是：94．小提示：本题主要考查了同底数幂的除法法则以及幂的乘方法则，熟练掌握运算法则是解题关键．12、在等号右边填上“+”或“−”号，使等式成立：（1）x−y=________(y−x)；（2）−(x−y)=________(y−x)；（3）−a−b=________(a+b)；（4）−a+b=________(a−b)；（5）(x−y)2=________(y−x)2；（6）−(b−a)3=________(a−b)3．答案：−+−−++解析：（1）-（4）直接利用去括号或添括号法则分别判断得出答案；（5）（6）根据幂的意义即可得出答案．解：（1）x−y=−(y−x)；（2）−(x−y)=+(y−x)；（3）−a−b=−(a+b)；（4）−a+b=−(a−b)；（5）(x−y)2=+(y−x)2；（6）−(b−a)3=+(a−b)3．所以答案是：-；+；-；-；+；+．小提示：此题主要考查了去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反（添括号一样）；任何非零数的偶次幂符号都是正数，任何一对相反数的偶次幂值相等，奇次幂互为相反数．13、某班黑板是一个长方形，它的面积为6a2-9ab+3a，已知这个长方形的长为3a，则宽为__________．答案：2a-3b+1解析：根据长方形的面积公式可知：长×宽=面积，则宽=面积÷长，列式计算即可完成.由题意可得，长方形的宽为：（6a2-9ab+3a）÷3a=2a-3b+1．故答案为2a-3b+1．小提示：本题考查多项式除以单项式，熟练掌握长方形面积公式以及多项式除以单项式的运算法则是解题关键.解答题14、分解因式（1）2x2y2﹣4y3z；（2）4x2﹣16y2．答案：（1）2y2（x2﹣2yz）；（2）4（x+2y）（x﹣2y）．解析：（1）直接提取公因式2y2，即可分解因式；（2）首先提取公因式4，再利用平方差公式分解因式即可．解：（1）2x2y2﹣4y3z＝2y2（x2﹣2yz）；（2）4x2﹣16y2＝4（x2﹣4y2）＝4（x+2y）（x﹣2y）．小提示：本题主要考查因式分解，掌握提公因式法、公式法分解因式是解题的关键．15、阅读：已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2−b2c2=a4−b4，试判断△ABC的形状．答案：（1）③，忽略了a2−b2=0的情况；（2）见解析解析：（1）根据题意可直接进行求解；（2）由因式分解及勾股定理逆定理可直接进行求解．解：（1）由题意可得：从第③步开始错误，错的原因为：忽略了a2−b2=0的情况；故答案为③；忽略了a2−b2=0的情况；（2）正确的写法为：c2(a2−b2)＝(a2+b2)(a2−b2)c2(a2−b2)−(a2+b2)(a2−b2)＝0(a2−b2)[c2−(a2+b2)]＝0当a2−b2=0时，a=b；当a2−b2≠0时，a2+b2=c2；所以△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．小提示：本题主要考查勾股定理逆定理及因式分解，熟练掌握勾股定理逆定理及因式分解是解题的关键．。

一、整式的乘法1.几个常用公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²(a+b)(a-b)=a²-b²(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³2.整式的乘法法则：(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd加减混合运算：(a+b)(c-d) = ac - ad + bc - bd3.多项式的乘法：(a₁+a₂+...+aₙ)(b₁+b₂+...+bₙ)=a₁b₁+a₁b₂+...+a₁bₙ+a₂b₁+a₂b₂+...+a₂bₙ+...+aₙb₁+aₙb₂+...+aₙb ₙ4.整式的乘法性质：交换律：a·b=b·a结合律：(a·b)·c=a·(b·c)分配律：a·(b+c)=a·b+a·c5.整式的乘法应用：展开、计算、化简等二、因式分解1.因式分解的基本概念：将一个整式分解为两个或多个因式的乘积的过程。

2.因式分解的方法：a.公因式提取法：找出整个整式和各项中的公因式，并提取出来。

b.公式法：利用已知的一些公式对整式进行因式分解。

c.分组法：将整式中各项按一定的规则分组，然后在每组内部进行因式分解。

d.辗转相除法：若整式中存在因式公共因式，可以多次使用辗转相除法进行因式分解。

3.一些常见的因式分解公式：a.二次差平方公式：a²-b²=(a+b)(a-b)b. 平方差公式：a² + 2ab + b² = (a+b)²c. 平方和公式：a² - 2ab + b² = (a-b)²d. 三次和差公式：a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)、a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²)e. 四次和差公式：a⁴+b⁴ = (a²+b²)(a²-ab+b²)、a⁴-b⁴ = (a+b)(a-b)(a²+b²)4.因式分解的应用：简化计算、寻找整式的根、列立方程等。

2022-2023学年人教版数学八年级上册章节考点精讲精练第14章《整式的乘法与因式分解》知识点01：幂的运算1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且).同底数幂相除，底数不变，指数相减.m n ，m n ，n a m n ，m n 知识互联网知识导航5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.细节剖析:公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.知识点02：整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.细节剖析:运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即：知识点03：乘法公式1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.细节剖析:在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相()010.a a =≠mc mb ma c b a m ++=++)(c b a m ,,,()()a b m n am an bm bn ++=+++()()()2x a x b x a b x ab ++=+++()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++22()()a b a b a b +-=-a b ，反项”的平方.2. 完全平方公式：；两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.细节剖析:公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.知识点04：因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 细节剖析:落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次.考点01：单项式乘多项式1．（2022秋•福州月考）若计算（3x 2+2ax +1）•（﹣3x ）﹣4x 2的结果中不含有x 2项，则a 的值为（ ） A ．2B ．0C ．﹣D ．﹣2．（2022秋•商水县月考）数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，李刚拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣4xy （3y ﹣2x ﹣3）＝﹣12xy 2□+12xy ，□的地方被墨水弄污了，你认为□内应填写（ ） A ．+8x 2yB ．﹣8x 2yC ．+8xyD ．﹣8xy 23．（2021秋•沐川县期末）已知A 是多项式，若A ×2xy ＝x 2y 2﹣2x 2y ﹣3xy 2，则A ＝ ．4．（2019秋•闵行区校级月考）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记本复习，发现一道题：﹣3xy （4y ﹣2x ﹣1）＝﹣12xy 2+6x 2y +□，□的地方被墨水弄污了，你认为□处应填写 ．()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-考点提优练5．（2021秋•廉江市期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：×（﹣xy）＝3x2y﹣xy2+xy（1）求所捂的多项式；（2）若x＝，y＝，求所捂多项式的值．考点02：多项式乘多项式6．（2022秋•铁西区校级月考）若（x+3）（2x﹣m）＝2x2+nx﹣15，则（）A．m＝﹣5，n＝1 B．m＝﹣5，n＝﹣1 C．m＝5，n＝1 D．m＝5，n＝﹣17．（2022春•雁塔区校级期中）已知（x2+ax）（x2﹣2x+b）的乘积中不含x3和x2项，那么b﹣a＝（）A．﹣2 B．2 C．0 D．48．（2022春•温州期中）用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为3a+2b，宽为a+b的长方形，需要B类卡片（）张．A．3 B．4 C．5 D．69．（2022春•通川区期末）已知（x﹣m）（x2﹣2x+n）展开后得到多项式为x3﹣（m+2）x2+x+5，则n2+4m2的值为．10．（2022春•和平区校级月考）已知4x＝10，25y＝10，则（x﹣2）（y﹣2）+3（xy﹣1）的值为．11．（2022春•雅安期末）已知x≠1．观察下列等式：（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2；（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4；…（1）猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+x n﹣1）＝；（2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25+26）＝；②（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+…+x2+x+1）＝．（3）判断2100+299+298+…+22+2+1的值的个位数是几？并说明你的理由．12．（2022春•全椒县期末）数学课上，老师用图1中的一张边长为a的正方形纸片A，1张边长为b的正方形纸片B和2张宽与长分别为a与b的长方形纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，观察图形并解答下列问题：（1）由图1和图2可以得到的等式为（用含a，b的等式表示）；（2）莉莉想用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需A，B，C三种纸片各多少张；（3）如图3，S1，S2分别表示边长为p，q的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，S1+S2＝20，p+q＝6．求图中阴影部分的面积．考点03：同底数幂的除法13．（2022秋•渝中区校级月考）下列运算正确的是（）A．（x3）2＝x5B．3x2+2x2＝5x4C．x8÷x2＝x6D．（2xy）2＝2x2y214．（2022秋•兰考县月考）下列运算不正确的是（）A．a2•a3＝a5B．a5÷a＝a4C．a4﹣2a4＝﹣a4D．（﹣a2）3＝﹣a515．（2021秋•淮阳区期末）已知25a•52b＝5b，4b÷4a＝4，则代数式a2+b2值是．16．（2022春•东台市期中）已知a﹣2b﹣3c＝2，则2a÷4b×的值是．17．（2021春•毕节市期中）（1）已知3×9m×27m＝311，求m的值．（2）已知2a＝3，4b＝5，8c＝5，求8a+c﹣2b的值．18．（2021春•海州区校级期中）尝试解决下列有关幂的问题：（1）若9×27x＝317，求x的值；（2）已知a x＝﹣2，a y＝3，求a3x﹣2y的值；（3）若x＝×25m+×5m+，y＝×25m+5m+1，请比较x与y的大小．考点04：完全平方公式19．（2022春•北碚区校级期中）设a＝x﹣2020，b＝x﹣2022，c＝x﹣2021，若a2+b2＝56，则c2＝（）A．27 B．24 C．22 D．2020．（2022秋•工业园区校级月考）若A＝x2+2x﹣6y，B＝﹣y2+4x﹣11，则A、B的大小关系为（）A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A＝B21．（2022春•汉寿县期末）若x+y＝3，xy＝﹣5，则（x﹣y）2＝．22．（2022春•莱西市期中）小淇将（2018x+2019）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小尧将（2019x﹣2018）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值为．23．（2022春•招远市期末）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．（1）请你检验这个等式的正确性；（2）若a＝2020，b＝2021，c＝2022，你能很快求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值吗？考点05：完全平方公式的几何背景24．（2022春•碑林区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为x，其中AI＝5，JC＝3，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分FJDI的面积为（）A．28 B．29 C．30 D．3125．（2022春•钱塘区期末）如图，边长为6的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为a，b（a＜6，b＜6）的长方形，若长方形的周长为16，面积为15.75，则图中阴影部分面积S1+S2+S3＝．26．（2022春•皇姑区校级期中）图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于；（2）观察图2写出三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系；（3）若mn＝﹣3，m﹣n＝5，则：①（m+n）2的值为；②m2+n2的值为；③m4+n4的值为．考点06：平方差公式27．（2022春•新城区校级期中）下列等式成立的是（）A．（﹣x﹣1）（﹣x﹣1）＝x2﹣2x+1B．（﹣x+1）（﹣x+1）＝﹣x2﹣2x+1C．（1+x）（﹣x+1）＝1﹣x2D．（﹣x+1）（﹣x﹣1）＝﹣x2﹣128．（2021秋•望城区期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：7＝7×1＝（4+3）×（4﹣3）＝42﹣32，7就是一个智慧数，8＝4×2＝（3+1）×（3﹣1）＝32﹣12，8也是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是（）A．2021 B．2022 C．2023 D．202429．（2022春•铁岭期中）若a2﹣b2＝﹣72，a﹣b＝12，则a+b的值为．30．（2021秋•如皋市期中）小丽在计算3×（4+1）×（42+1）时，把3写成（4﹣1）后，发现可以连续运用平方差公式进行计算．用类似方法计算：（1+）×（1+）×（1+）×（1+）+＝．31．（2022春•莲池区期末）阅读理解：我们知道，（a+b）2＝a2+2ab+b2，①（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，②①﹣②得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．所以．利用上面乘法公式的变形有时能简化计算，例如：．发现运用：根据阅读解答问题（1）利用上面乘法公式的变形填空：101×99＝（）2﹣（）2．（2）利用上面乘法公式的变形计算：9.2×10.8．（3）根据平方差公式可得：（m+2）（m﹣2）＝m2﹣22，请利用上面乘法公式的变形验证此等式成立．考点07：平方差公式的几何背景32．（2021秋•台江区期中）能够用如图中已有图形的面积说明的等式是（）A．a（a+4）＝a2+4a B．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 D．（a+2） 2＝a2+4a+433．（2020秋•丛台区期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是．34．（2019秋•奈曼旗期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将剩下的阴影部分沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2，这种变化可以用含字母a，b的等式表示为．35．（2022春•潍坊期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分拼成图2所示长方形．（1）上述操作能验证的等式是．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2﹣ab＝a（a﹣b）（2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝18，x﹣2y＝3，求x+2y．②计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×……×（1﹣）×（1﹣）．考点08：提公因式法与公式法的综合运用36．（2021春•滦州市期末）下列因式分解正确的是（）A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4）B．x2+2x+1＝x（x+2）+1C．3mx﹣6my＝3m（x﹣6y）D．x2y﹣y3＝y（x+y）（x﹣y）37．（2012春•揭西县校级期中）下列各式：①4x2﹣y2；②2x4+8x3y+8x2y2；③a2+2ab﹣b2；④x2+xy﹣6y2；⑤x2+2x+3其中不能分解因式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个38．（2022秋•岳麓区校级月考）把ab3﹣9ab分解因式的结果是．39．（2022•本溪模拟）把多项式ax2﹣4ay2分解因式的结果是．40．（2022春•江干区校级期中）（1）解方程组：．（2）因式分解①a2﹣6ab+9b2．②a2b﹣16b．考点09：因式分解-十字相乘法等41．（2022春•高新区校级期末）若多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式2x﹣3，则a的值为（）A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣542．（2019秋•天心区校级月考）把多项式（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8分解因式，正确的结果是（）A．（x﹣y+4）（x﹣y+2）B．（x﹣y﹣4）（x﹣y﹣2）C．（x﹣y﹣4）（x﹣y+2）D．（x﹣y+4）（x﹣y﹣2）43．（2022春•酒泉期末）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如：将式子x2+3x+2分解因式．分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2，所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）分解因式：x2+7x+12＝；（2）分解因式：（x2﹣3）2+（x2﹣3）﹣2；（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能的值是．44．（2021秋•顺城区期末）因式分解：（1）（a﹣b）2+4ab；（2）（m﹣4）（m+1）+3m．45．（2020秋•沂南县期末）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax+by+bx+ay，x2+2xy+y2﹣1分组分解法：解：原式＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）解：原式＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x﹣3解：原式＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：x2﹣6x﹣7．。

八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识汇总笔记单选题1、如下列试题，嘉淇的得分是（）姓名：嘉淇得分：将下列各式分解因式（每题20分，共计100分）①2xy−4xyz=2xy(1−2z)；②−3x−6x2=−3x(1−2x)；③a2+2a+1=a(a+2)；④m2−4n2= (m−2n)2；⑤−2x2+2y2=−2(x+y)(x−y)A．40分B．60分C．80分D．100分答案：A分析：根据提公因式法及公式法分解即可．①2xy−4xyz=2xy(1−2z)，故该项正确；②−3x−6x2=−3x(1+2x)，故该项错误；③a2+2a+1=(a+1)2，故该项错误；④m2−4n2=(m+2n)(m−2n)，故该项错误；⑤−2x2+2y2=−2(x+y)(x−y)，故该项正确；正确的有：①与⑤共2道题，得40分，故选：A．小提示：此题考查分解因式，将多项式写成整式乘积的形式，叫做将多项式分解因式，分解因式的方法：提公因式法、公式法，根据每道题的特点选择恰当的分解方法是解题的关键．2、分解因式4x2﹣y2的结果是（）A．（4x+y）（4x﹣y）B．4（x+y）（x﹣y）C．（2x+y）（2x﹣y）D．2（x+y）（x﹣y）答案：C分析：按照平方差公式进行因式分解即可.解：4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y）．故选：C．小提示：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．3、已知（x-m）（x+n）=x2-3x-4，则m-n的值为( )A．1B．-3C．-2D．3答案：D分析：把原式的左边利用多项式乘多项式展开，合并后与右边对照即可得到m-n的值．（x-m）（x+n）=x2+nx-mx-mn=x2+（n-m）x-mn，∵（x-m）（x+n）=x2-3x-4，∴n-m=-3，则m-n=3，故选D．小提示：此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握法则是解本题的关键．4、已知2n=a，3n=b，12n=c，那么a、b、c之间满足的等量关系是（）A．c=ab B．c=ab3C．c=a3b D．c=a2b答案：D分析：直接利用积的乘方、幂的乘方运算法则将原式变形得出答案．A选项：ab=2n⋅3n=6n≠12n，即c≠ab，A错误；B选项：ab3=2n⋅(3n)3=2n⋅33n=2n⋅27n=54n≠12n，即c≠ab3，B错误；C选项：a3b=(2n)3⋅3n=8n⋅3n=24n≠12n，即c≠a3b，C错误；D选项：a2b=(2n)2⋅3n=4n⋅3n=12n=c，D正确．故选：D．小提示：本题主要考查了积的乘方运算，幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．5、计算−a2⋅(a2)3的结果是（）A．a8B．－a8C．a7D．－a7答案：B分析：先根据幂的乘方运算法则化简，再根据同底数幂的乘法法则计算即可．解：-a2•（a2）3=-a2•a6=-a8．故选：B．小提示：本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．6、用简便方法计算，将99×101变形正确的是（）A．99×101=1002+12B．99×101=(100−1)2C．99×101=1002−12D．99×101=(100+1)2答案：C分析：根据平方差公式即可求解．99×101=（100-1）（100+1）=1002−12故选C．小提示：此题主要考查平方差公式，解题的关键是熟知平方差公式的应用．7、若a＝2020×2021+1，b＝20202﹣2020×2021+20212，在下列判断结果正确的是（）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．无法判断答案：B分析：根据完全平方公式的变形，将b化简，进而与a比较即可求解a＝2020×2021+1，b＝20202﹣2020×2021+20212＝（2020﹣2021）2+2020×2021＝2020×2021+1，故a＝b．故选：B．小提示：本题考查了完全平方公式的变形，掌握完全平方公式的变形是解题的关键．8、若x2＋2（k＋1）x＋4是完全平方式，则k的值为（）A．＋1B．﹣3C．﹣1或3D．1或﹣3答案：D分析：利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．解：∵x2+2(k+1)x+4是完全平方式，∴2(k +1)=±4，解得：k =1或-3，故D 正确．故选：D ．小提示：本题主要考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，注意积的2倍的符号，避免漏解．9、若2n+2n+2n+2n=2，则n=（ ）A ．﹣1B ．﹣2C ．0D ．14答案：A分析：利用乘法的意义得到4•2n =2，则2•2n =1，根据同底数幂的乘法得到21+n =1，然后根据零指数幂的意义得到1+n =0，从而解关于n 的方程即可．∵2n +2n +2n +2n =2， ∴4×2n=2， ∴2×2n=1， ∴21+n=1， ∴1+n=0，∴n=-1，故选A ．小提示：本题考查了乘法的意义以及同底数幂的乘法，熟知相关的定义以及运算法则是解题的关键.同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am •an =am +n（m ，n 是正整数）．10、已知10a =20，100b =50，则12a +b +32的值是（ ）A ．2B ．52C ．3D ．92 答案：C分析：根据同底数幂的乘法10a ⋅100b =103，可求a +2b =3再整体代入即可．解: ∵10a =20，100b =50，∴10a ⋅100b =10a+2b =20×50=1000=103，∴a +2b =3，∴12a +b +32=12(a +2b +3)=12(3+3)=3．故选：C ．小提示：本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法逆运算，代数式求值，掌握幂的乘方，同底数幂的乘法法则，与代数式值求法是解题关键．填空题11、若x +y =4，a ，b 互为倒数，则12(x +y)+5ab 的值是_________ 答案：7分析：根据a ，b 互为倒数，可得ab=1；然后把x +y =4，ab=1代入12(x +y)+5ab ，计算即可． 解：∵a ，b 互为倒数，∴ab=1，又∵x +y =4，∴12(x +y)+5ab=12×4+5×1=2+5=7．故答案为7．小提示：本题考查代数式求值、倒数的概念、整体代入的思想，解题的关键是要明确：互为倒数的两个数的乘积是1．12、定义|a c b d |为二阶行列式，规定它的运算法则为|a c b d |=ad －bc.则二阶行列式|x −3x −2 x −4x −3|的值为___. 答案：1由题意可得：|x −3x −2 x −4x −3| =(x −3)(x −3)−(x −4)(x −2)=x2−6x+9−(x2−6x+8)=1.故答案为1.13、若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+1）2﹣（b﹣1）2的值为_____．答案：12分析：对所求代数式运用平方差公式进行因式分解，然后整体代入求值．解：∵a+b＝4，a﹣b＝1，∴（a+1）2﹣（b﹣1）2＝（a+1+b﹣1）（a+1﹣b+1）＝（a+b）（a﹣b+2）＝4×（1+2）＝12．故答案是：12．小提示：本题考查了公式法分解因式，属于基础题，熟练掌握平方差公式的结构特征即可解答．14、已知x m=5,x n=3，则x2m+n=________．答案：75分析：利用同底数幂的乘法及幂的乘方运算法则对原式进行变形，然后代入计算即可．解：x2m+n=x2m⋅x n=(x m)2⋅x n∵x m=5,x n=3，∴原式=52×3=75，所以答案是：75．小提示：本题考查幂的运算，掌握同底数幂的乘法及幂的乘方运算法则是解题关键．15、如图所示：是一个运算程序示意图，若第一次输入1，则输出的结果是______________；答案：11分析：把x=1代入运算程序的y=6＜9，无法输出，再把x=2代入运算程序得y=11＞9，输出答案，问题得解．解：把x=1代入y=x2+2x+3得y=1+2+3=6＜9，无法输出，∴把x=1+1=2代入y=x2+2x+3得y=4+4+3=11＞9，输出答案．所以答案是：11小提示：本题考查了根据运算程序进行计算，理解运算程序是解题关键．解答题16、我们定义：三角形=a b⋅a c，五角星=z⋅(x m⋅y n)，（1）求的值；（2）若=4，求的值．答案：（1）27；（2）32分析：（1）根据定义运算规律计算即可；（2）根据定义三角形和五角星运算即可．解：（1）由题意有=3×32=27（2）∵=4∴3z×32y=4即32y+z=4∵=2×(81y×9z)=2×(32y+z)2=2×16=32小提示：本题主要考查新运算，读懂新运算，并运用是解题的关键．17、计算：(1)(−2a2b)3⋅(3b2−4a+6)；(2)(−2m)2⋅(14m2−5m−3)．答案：(1)−24a6b5+32a7b3−48a6b3(2)m4−20m3−12m2分析：（1）先算积的乘方和幂的乘方，再算单项式乘多项式即可；（2）先算积的乘方，再算单项式乘多项式即可．（1）(−2a2b)3⋅(3b2−4a+6)=-8a6b3⋅（3b2-4a+6）=-24a6b5+32a7b3-48a6b3；（2）(−2m)2⋅(14m2−5m−3)=4m2⋅(14m2−5m−3)=m4−20m3−12m2小提示：本题主要考查单项式乘多项式，积的乘方和幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．18、比较x2+1与2x的大小．（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：①当x＝1时，x2+1 2x；②当x＝0时，x2+1 2x；③当x＝﹣2时，x2+1 2x．（2）归纳：若x取任意实数，x2+1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．答案：（1）①=；②>；③>；（2）x2+1≥2x，理由见解析分析：（1）根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；（2）根据完全平方公式，可得答案．解：（1）①当x＝1时，x2+1＝2x；②当x＝0时，x2+1＞2x；③当x＝﹣2时，x2+1＞2x．所以答案是：＝；＞；＞．（2）x2+1≥2x．证明：∵x2+1﹣2x＝（x﹣1）2≥0，∴x2+1≥2x．小提示：本题考查了求代数式的值，有理数的大小比较，两个整式大小比较及证明，公式法因式分解、不完全归纳法，解题关键是理解根据“A-B”的符号比较“A、B”的大小．。

八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点归纳超级精简版单选题1、如果（x﹣2）（x+3）＝x2+mx+n，那么m，n的值分别是（）A．5，6B．1，﹣6C．﹣1，6D．5，﹣6答案：B分析：已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，再根据多项式相等的条件即可求出m与n的值．解：∵(x−2)(x+3)=x2+x−6=x2+mx+n，∴m=1，n=−6．故选：B．小提示：本题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式法则．2、已知（x－2021）2+（x－2023）2＝50，则（x－2022）2的值为（）A．24B．23C．22D．无法确定答案：A分析：先变形为[（x-2022）+1]2+[（x-2022）-1]2=50，然后利用完全平方公式展开即可得到（x-2022）2的值．解：∵（x-2021）2+（x-2023）2=50，∴[（x-2022）+1]2+[（x-2022）-1]2=50，∴（x-2022）2+2（x-2022）+1+（x-2022）2-2（x-2022）+1=50，∴（x-2022）2=24．故选：A．小提示：此题考查了完全平方公式的运用，解题的关键是能根据完全平方公式灵活变形．3、不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x−4y+7的值（）．A．可为任何实数B．不小于7C．不小于2D．可能为负数答案：C分析：要把代数式x2+y2+2x−4y+7进行拆分重组凑完全平方式，来判断其值的范围．具体如下：x 2+y 2+2x −4y +7＝（x 2＋2x ＋1）＋（y 2−4y ＋4）＋2＝（x ＋1）2＋（y−2）2＋2， ∵（x ＋1）2≥0，（y−2）2≥0， ∴（x ＋1）2＋（y−2）2＋2≥2， ∴x 2+y 2+2x −4y +7≥2．故选：C ．小提示：主要利用拆分重组的方法凑完全平方式，把未知数都凑成完全平方式，就能判断该代数式的值的范围．要求掌握完全平方公式，并会熟练运用．4、若M =√20212×20232+4044×2022−202243，则（ ）A ．M <−1B ．M =1C ．−1<M <1D ．M >1答案：B分析：根据完全平方公式化简根号内的算式，即可求解．解：∵ 20212×20232+4044×2022−20224=((2022+1)×(2022−1))2+2022×2×2022−(20222)2=(20222−1)2+2×2022×2022−(20222)2=20224−2×20222+1−(20222)2+2×20222=1,∴M =√13=1,故选:B.小提示：本题考查了求一个数的立方根，完全平方公式与平方差公式，正确的计算是解题的关键．5、计算（﹣4a 2+12a 3b ）÷（﹣4a 2）的结果是（ ）A ．1﹣3abB ．﹣3abC ．1+3abD ．﹣1﹣3ab答案：A分析：直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．（-4a 2+12a 3b ）÷（-4a 2）=1-3ab ．故选A ．小提示：此题主要考查了整式的除法，正确掌握运算法则是解题关键．6、分解因式4x2﹣y2的结果是（）A．（4x+y）（4x﹣y）B．4（x+y）（x﹣y）C．（2x+y）（2x﹣y）D．2（x+y）（x﹣y）答案：C分析：按照平方差公式进行因式分解即可.解：4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y）．故选：C．小提示：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．7、66是63的（）A．2倍B．36倍C．3倍D．216倍答案：D分析：把问题转化为同底数幂的除法计算即可．∵66÷63=63=216，故选D．小提示：本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．8、若（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），则b+c的值是（）A．﹣1B．0C．1D．2答案：D分析：先将等式的右边展开并移项到左边,然后再根据完全平方公式可以分解因式，即可得到b+c的值．解：∵（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），∴b2﹣2bc+c2＝4c﹣4﹣4bc+4b，∴（b2+2bc+c2）﹣4（b+c）+4＝0，∴（b+c）2﹣4（b+c）+4＝0，∴（b+c﹣2）2＝0，∴b+c＝2，故选：D．小提示：本题考查因式分解的应用，掌握运用完全平方公式进行因式分解是解答本题的关键.9、已知（x-m）（x+n）=x2-3x-4，则m-n的值为( )A．1B．-3C．-2D．3答案：D分析：把原式的左边利用多项式乘多项式展开，合并后与右边对照即可得到m-n的值．（x-m）（x+n）=x2+nx-mx-mn=x2+（n-m）x-mn，∵（x-m）（x+n）=x2-3x-4，∴n-m=-3，则m-n=3，故选D．小提示：此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握法则是解本题的关键．10、计算：(a⋅a3)2＝a2⋅(a3)2＝a2⋅a6＝a8，其中，第一步运算的依据是（）A．同底数幂的乘法法则B．幂的乘方法则C．乘法分配律D．积的乘方法则答案：D分析：根据题意可知，第一步运算的依据是积的乘方法则：积的乘方，等于每个因式乘方的积．解：计算：(a⋅a3)2＝a2⋅(a3)2＝a2⋅a6＝a8，其中，第一步运算的依据是积的乘方法则．故选：D．小提示：本题主要考查幂的运算，关键是熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．填空题11、已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示(0<m<0.5)，甲、乙的面积分别为S1，S2．则S1与S2的大小关系为：S1___________ S2；（用“＞”、“＜”、“=”填空）答案：＜分析：利用多项式乘多项式求出长方形的面积，两者作差，即可比较S 1与S 2的大小．解：由题意可知：S 1=(m +1)(m +7)=m 2+8m +7，S 2=(m +2)(m +4)=m 2+6m +8∴S 1−S 2=2m −1∵0<m <0.5，∴−1＜2m −1＜0，即S 1＜S 2．所以答案是：＜小提示：本题考查多项式乘多项式，以及不等式的性质，解题的关键是求出S 1−S 2=2m −1，并利用m 的取值范围确定S 1＜S 2．12、已知a 2−6a +√b −2=−9，且√c 3=−1，则3a −2b +c 的算术平方根是________．答案：2分析：先对已知等式进行变形，再利用偶次方和算术平方根的非负性求出a 、b 的值，然后利用立方根求出c 的值，最后代入求值，计算算术平方根即可得．a 2−6a +√b −2=−9，a 2−6a +9+√b −2=0，(a −3)2+√b −2=0，则{a −3=0b −2=0 ，解得{a =3b =2， 由√c 3=−1得：c =−1，则3a −2b +c 的算术平方根是√3a −2b +c =√3×3−2×2+(−1)=√4=2，所以答案是：2．小提示：本题考查了偶次方和算术平方根的非负性、算术平方根与立方根、完全平方公式，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．13、已知长方形的面积为4a 2-4b 2,如果它的一边长为a +b ，则它的周长为______．答案：10a -6b分析：直接利用提公因式法和公式法因式分解得到另一边长，进而得出答案．∵4a2−4b2=4(a2−b2)=4(a+b)(a−b)，长方形的一边长为a+b∴长方形的另一边长为4(a+b)=4a+4b∴该长方形的周长为：（4a-4b+a+b）×2=10a-6b，所以答案是：10a-6b小提示：本题主要考查因式分解，掌握利用公式分解因式是解题关键．14、计算：(a−b)3⋅(b−a)4=______．（结果用幂的形式表示）答案：(a−b)7##−(b−a)7分析：本题首先转化为同底数，然后根据同底数幂的乘法计算法则即可得出答案．(a−b)3⋅(b−a)4=(a−b)3⋅(a−b)4=(a−b)7所以答案是：(a−b)7小提示：本题主要考查的就是同底数幂的乘法计算法则，属于基础题型．互为相反数的两个数的偶数次幂相等是解决这个问题的关键．15、计算：（x+3）（x+5）＝_____．答案：x2+8x+15分析：根据多项式与多项式相乘的法则计算．解：（x+3）（x+5）＝x2+5x+3x+15＝x2+8x+15所以答案是：x2+8x+15．小提示：本题考查了多项式乘多项式．解题的关键在于熟练掌握多项式乘多项式的运算法则．解答题16、常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2−4y2−2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。

人教版八年级数学上《整式的乘法与因式分解》知识清单，易错点，典型考点和训练点剖析一.知识快递拿到第一把山门的钥匙后，图图直奔二道山门而去．为了保证把二道山门的钥匙成功拿到手，图图决定走进易错点辩析厅，磨练自己的火眼金睛．二.易错点辨析2.1 忽视符号致错例1 分解因式：-a+3a错解：-a+3a =-a （1+2a ）分析：这里公因式有两部分组成，一部分是系数，提出的是-1，一部分是字母，提出的是字母a ，但是在提取的过程中，因为忽视3a 的系数符号，导致解答的错误．正解：-a+3a =-a （1-2a ）易错点2：对公示理解不准致错例2 下列计算正确的是（ ）Ａ．222)(y x y x +=+ B ．2222)(y xy x y x --=-C ．（x+2y ）（x-2y ）=222y x -）D ．2222)(y xy x y x +-=+- 错解：选A 或选B 或选C ．分析：A 所反映的公式是和的完全平方公式，展开后应该有三项，而给出的A 项只有两项，所以A 是错误的；B 所反映的公式是差的完全平方公式，展开后应该有三项，项数合理，但是y 的平方项系数确定错误，应该是加上2y ，所以选项B 是错误的；选项C 所反映的公式是平方差公式，结果应该是两数的平方差，2)2(y 应该是42y ，而不是22y ，所以选项C 是错误的．正解：选D ．易错点3：整体提出公因式时不能准确确定余数致错例3 分解因式：2a-4b+2错解：2a-4b+2=2（a-2b ）．分析：因式分解的实质是一种恒等变形，所以不论在形式上发生何种变化，有一点是不会改变的，这就是变形前后多项式的项数必须相同．其次，你可以利用乘法将右边回乘看看能否得到左边的多项式，如果能就说明分解是正确的，如果不能，就说明这样的分解是错误的． 最后要说明的是，当这一项被整体提取后，这个位置上余数是1，而不是0，一定要谨记． 正解：2a-4b+2=2（a-2b+1）．经过自己艰辛努力，图图顺利闯过了第二道山门．走出易错厅的图图，满怀信心，直奔考点直播室而去．三．考点直播室考点1 单项式乘单项式例1如果□×3ab=32a b ，则□内应填的代数式是（ ）A.abB.3abC.aD.3a分析：单项式乘单项式，要注意系数的变化，相同字母的指数的变化，单独出现的字母和指数的处理，这是解题的关键．解：选C ．考点2 探求完全平方公式展开式中某项的系数例2计算2)2(+x 的结果为2x +□x+4,则“□”中的数为（ ）A ．－2B ．2C ．－4D ．4分析：熟记完全平方公式的展开式是解题的关键．其次就是要灵活运用对应项相同的法则． 解：因为2)2(+x =2x +4x+4，所以2x +□x+4=2x +4x+4，比较对应项，得“□”中的数为4. 所以选择D ．考点3 先提取公因式后套用平方差公式分解因式例3分解因式：9a －a 2b ＝ ．分析：这里有公因式a ，所以先提出来，其次就是要将数字9写成23，从而在提后的多项式 中，生成用平方差公式的条件．解：9a －a 2b =a （9-2b ）==a （23-2b ）= a （3＋b （3－b ）．考点4 先提取公因式后套用完全平方公式分解因式例4.把代数式33x -62x y+3x 2y 分解因式，结果正确的是（ ）A ．x （3x+y ）（x-3yB ．3x （2x -2xy+2y ）C ．x 2)3(y x - D ．3x 2)(y x - 分析：先确定公因式：3x ；第二步提取公因式3x ，得到3x （2x -2xy+2y ），第三步将结果彻底化，就得到了3x 2)(y x -．解：选D ．考点5 先化简后求值例5.先化简，再求值：（a ＋2）(a －2)＋a (1－a )，其中a ＝5分析：解答时，同学们一定要按照题目的要求来作答，否则就很难得到高分的． 解：（a ＋2）(a －2)＋a (1－a )＝a 2－4＋a －a 2＝a －4，当a ＝5时，原式＝5－4＝1．成功闯过第三道山门的图图，心里非常的高兴，满怀胜利的喜悦直奔庄园的正殿而去，突然图图放慢了脚步，他担心自己一旦不成功，就会前功尽弃了，为了确保最终的胜利，于是图图悄悄钻进了训练大本营，让自己变得更坚强．四．训练大本营1. 分解因式2x 2 − 4x + 2的最终结果是（ ）A ．2x(x − 2)B ．2(x 2 − 2x + 1)C ．2(x − 1)2D ．(2x − 2)2 2. 当x=10，y=9时，代数式2x -2y 的值是 ．3. 化简:2)3(+a +a （2-a ）4. 先化简，再求值．()()212x x x ++-，其中12x =-．5.化简：22)()(y x y x --+参考答案：1. C2. 193.解:原式22692a a a a =+++-89a =+4. 解：原式=22212x x x x +++-=221x +， 当12x =-时，原式=21212⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭=12+1=32． 5.解：原式＝222222y xy x y xy x -+-++ ＝xy 4．图图凭借自己扎实的数学功底，将山庄仔仔细细探了清清楚楚，同学们要学习图图这种不怕困难的学习精神，努力学好数学．欲知图图意欲何往，请听赵老师下次安排．。

初中数学整式的乘除与因式分解知识点归纳一、整式的乘法：1.普通整式相乘：将每一项的系数相乘，同时将每一项的指数相加。

2.平方整式相乘：先将每一项平方，再将每一项相乘得到结果。

3.完全平方的平方差公式：(a-b)(a+b)=a²-b²。

4. 公式展开：通过公式展开可求两个或多个整式的乘积，例如(a+b)²=a²+2ab+b²。

二、整式的除法：1.整式相除的概念：整式A除以整式B，若存在整式C，使得B×C=A，那么C称为A除以B的商式。

2.用辗转相除法进行整式的除法计算。

三、因式分解：1.抽象公因式法：将多项式中的每一项提取出公因式，然后将剩下的部分合并。

2.公式法：运用一些常用的公式，如平方差公式、完全平方公式等进行因式分解。

3.分组法：将多项式中的项进行分组，使每一组都有一个公因式，然后进行合并。

4. 二次三项式的因式分解：对于二次三项式a²+2ab+b²或a²-2ab+b²，可以因式分解为(a±b)²。

5.因式定理和余式定理：若(x-a)是多项式P(x)的因式，则P(a)=0。

根据这一定理可以找到多项式的因式。

四、常见整式的因式分解：1.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。

2. 完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²，a²-2ab+b²=(a-b)²。

3. 符号"相反"公式：a²-2ab+b²=(b-a)²。

4. 三项平方公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)，a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。

5. 公因式公式：a²+ab=a(a+b)。

作品编号：782345167624791823987
学校：哇代古丰市然眉山镇村庄小学*
教师：周喻王*
班级：王者伍班*
第十四章整式的乘法与因式分解
14.1 整式的乘法
同底数幂的乘法：a m ·a n = a m + n（m、n都是正整数）
幂的乘方：(a m)n = a m n（m、n都是正整数）
积的乘方：(ab)n = a n b n（n为正整数）
同底数幂的除法：a m÷a n = a m - n（a ≠ 0 ，m、n都是正整数，并且m＞n）
零指数幂：a0 = 1（a ≠ 0 ）
单项式与单项式相乘，单项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘。

（利用运算律和上面的运算性质解答）
14.2 乘法公式
平方差公式：（a+b）（a-b）= a2 - b2
完全平方公式：（a+b）2 = a2 + 2ab + b2
（a-b）2 = a2 - 2ab + b2
添括号法则：a+b+c = a+(b+c) a-b-c = a - (b+c) 举例：a-b+c = a - (b-c)
14.3 因式分解（几个整式乘积的形式）
式子的变形：这个多项式的因式分解= 把这个多项式因式分解。

1、提公因式法（多项式各项有公因式）
2、公式法（3个乘法公式左右互换）
3、十字相乘法（补充）。

暑假预习人教版数学八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》知识梳理知识结构图：一、整式的有关概念1．整式整式是单项式与多项式的统称．2．单项式单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数．3．多项式几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．二、整数指数幂的运算1、同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

2、同底数幂除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

3、幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

4、积的乘方：积的乘方等于各因式乘方的积。

注：（1）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1；（2）任何一个不等于零的数的-p（p为正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数。

（3）科学记数法：或绝对值小于1的数可记成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个有效数字前面的零的个数（包括小数点前面的一个零）。

三、同类项与合并同类项1．所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项．2．把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．四、求代数式的值1．一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值．2．求代数式的值的基本步骤：(1)代入：一般情况下，先对代数式进行化简，再将数值代入；(2)计算：按代数式指明的运算关系计算出结果．五、整式的运算1．整式的加减(1)整式的加减实质就是合并同类项；(2)整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号．2．整式的乘除(1)整式的乘法①单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．②单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc．③多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb．(2)整式的除法①单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．②多项式除以单项式：(a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m.3．乘法公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(2)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.六、因式分解1．因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解．2．因式分解的方法(1)提公因式法公因式的确定：第一，确定系数(取各项整数系数的最大公约数)；第二，确定字母或因式底数(取各项的相同字母)；第三，确定字母或因式的指数(取各相同字母的最低次幂)．(2)运用公式法①运用平方差公式：．②运用完全平方公式：.(3)十字相乘: .3.分解因式的技巧：(1) 因式分解时，有公因式要先提公因式，然后考虑其他方法；(2）因式分解时，有时项数较多时，看看分组分解法是否更简洁.同步练习。

整式的乘除与因式分解基本知识点一、整式的乘除：1、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 例如：_______3=-a a ；________22=+a a ；________8253=+-+b a b a __________________210242333222=-++-+-x xy x y x xy xy y x2、同底数幂的乘法法则：a m ·a n =a m+n (m ，n 是正整数). 同底数幂相乘，底数不变，指数相加.例如：________3=⋅a a ；________32=⋅⋅a a a3、幂的乘方法则：(a m )n =a mn (m ，n 是正整数).幂的乘方，底数不变，指数相乘. 例如：_________)(32=a ；_________)(25=x ；()334)()(a a =4、积的乘方的法则：(a b)m =a m b m (m 是正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 例如：________)(3=ab ；________)2(32=-b a ；________)5(223=-b a 5、同底数幂的除法法则：a m ÷a n =a m-n (a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m ＞n). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 规定：10=a例如：________3=÷a a ；________210=÷a a ；________55=÷a a 6、单项式乘法法则y x 32⋅ )5)(2(22xy y x - )2()3(22xy xy -⋅ 2232)()(b a b a ⋅- 7、单项式除法法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.y x y x 2324÷ ()xy y x 6242-÷ ()()58103106⨯÷⨯8、单项式与多项式相乘的乘法法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.)(c b a m ++ )532(2+--y x x )25(32b ab a ab +--9、多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.)6)(2(-+x x )12)(32(+--y x y x ))((22b ab a b a +-+10、多项式除以单项式的除法法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.()x x xy ÷+56； ()()a ab a 4482-÷-()b a b a b a 232454520÷- c c b c a 2121222÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-11、整式乘法的平方差公式：(a +b)(a -b)=a 2-b 2.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.例如：（4a －1）（4a+1）=___________； （3a －2b ）（2b+3a ）=___________；()()11-+mn mn = ； =--+-)3)(3(x x ；12、整式乘法的完全平方公式：(a +b)2=a 2+2a b+b 2，(a -b)2=a 2-2a b+b 2.两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍. 例如：()____________522=+b a ； ()_______________32=-y x()_____________22=+-ab ； ()______________122=--m二、因式分解： 1、提公因式法：4y xy - 32x x + x 2+12x 3+4x )1()1(-+-a n a m 2、公式法.：（1）、平方差公式：))((22b a b a b a -+=-12-x 2294b a - 22)(16z y x +- 22)2()2(b a b a --+（2）、完全平方公式：222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+-442+-m m 2269y xy x ++ 924162++x x 36)(12)(2++-+b a b a3、分组分解法：1a b ab +++ ab －c ＋b －ac a 2－2ab ＋b 2－c 24、“十字相乘法”：即式子x 2+(p+q)x+pq 的因式分解. x 2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).x 2＋7x ＋6 （2）、x 2－5x －6 （3）、x 2－5x ＋6整式的乘法[同底数幂的乘法]a m ·a n =a m+n （m 、n 都是正整数） [幂的乘方](a m )n ＝a mn (m ，n 都是正整数) [积的乘方](ab)n ＝a n b n (n 是正整数) [单项式乘以单项式]单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同的字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． [单项式乘以多项式]单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． [多项式乘以多项式]多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．平方差公式[平方差公式] (a ＋b)(a －b)＝a 2－b 21. 公式的结构特征：⑴左边是两个二项式相乘，这两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数.⑵右边是这两个数的平方差，即完全相同的项与互为相反数的项的平方差（同号项2－异号项2）.2. 公式的应用：⑴公式中的字母a ，b 可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式，只要符合公式的结构特征，就可以用此公式进行计算.⑵公式中的a b22是不可颠倒的，注意是同号项的平方减去异号项的平方，还要注意字母的系数和指数.⑶为了避免错误，初学时，可将结果用“括号”的平方差表示，再往括号内填上这两个数.如：(a+b)( a - b)= a2 －b2↓↓↓↓↓↓计算：(1+2x)(1-2x)= ( 1 )2－( 2x )2 =1-4x2[完全平方公式]两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加（或减）它们的积的2倍.公式特征：左边是一个二项式的平方，右边是一个三项式（首平方，尾平方，二倍乘积在中央）．公式变形：(a+b)2=(a-b)2+4ab a2 + b2 = (a+b)2-2ab(a-b)2=(a+b)2-4ab a2 + b2 = (a-b)2+2ab(a+b)2- (a-b)2=4ab[公式的推广] (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac[同底数幂的除法]a m÷a n=a m-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)．a0=1(a≠0)任何非零数的零次幂是1.[单项式除以单项式]单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．[多项式除以单项式]多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．[因式分解]把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（或分解因式）. [提公因式法]ac ＋bc=（a ＋b ）c[公式法][十字相乘法]一、训练平台1.下列各式中，计算正确的是( ) ×27=28×22=210+26=27+26=2122.当x=23时，3(x+5)(x-3)-5(x-2)(x+3)的值等于( )239 D.239 3.已知x-y=3，x-z=21，则(y-z)2+5(y-z)+425的值等于( )A.425 B.25 254.设n 为正整数，若a 2n =5，则2a 6n -4的值为( )D.不能确定5.(a +b)(a -2b)= .6.(2a +2= .7.(a +4b)(m+n)= . 8.计算.(1)(2a -b 2)(b 2+2a )= ；(2)(5a -b)(-5a +b)= .9.分解因式. (1)1-4m+4m 2；(2)7x 3-7x.10.先化简，再求值.[(x-y)2+(x+y)(x-y)]÷2x ，其中x=3，y=. 二、探究平台1.分解因式(a -b)(a 2-a b+b 2)-a b(b-a )为( ) A.(a -b)(a 2+b 2)B.(a -b)2(a +b)C.(a -b)3(a -b)32.下列计算正确的是( ) ÷a 2=a 4(a ≠0) ÷a 4=a (a ≠0) ÷a 6=a 3(a ≠0)D.(a 2b)3=a 6b3.下列各题是在有理数范围内分解因式，结果正确的是( )=(-x+4)(-x-4) +x 3n =x n (2+x 3)41=41(1+2x)(1-2x) 4.分解因式：-a 2+4a b-4b 2= .5.如果x 2+2(m-3)x+25能用公式法分解因式，那么m 的值是 .6.(3x 3+3x)÷(x 2+1)= . . 8.计算.(1)12345678921234567890123456789112345678902⨯-；(2)20032002200220002002220022323-+-⨯-.9.分解因式.(1)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)； (2)x 4-81x 2y 2.10.112--x x +x(1+x1)，其中x=2-1.三、交流平台1.一条水渠其横断面为梯形，如图15－23所示，根据图中的长度求出横断面面积的代数式，并计算当a=2，b=时的面积.2.已知多项式x3+kx+6有一个因式x+3，当k为何值时，能分解成三个一次因式的积？并将它分解.3.如果x+y=0，试求x3+x2y+xy2+y3的值.4.试说明无论m，n为任何有理数，多项式4m2+12m+25+9n2-24n的值为非负数.第十六章分式知识点和典型例习题【知识网络】【思想方法】1．转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．2．建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．第一讲 分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b ca a a a±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac •=,b c b d bda d a c ac÷=•=4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m )n = a mn7.负指数幂: a -p =1p aa 0=1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2-b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）31+-x x （2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x-84为正；（2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义： （1）3||61-x（2）1)1(32++-x x （3）x111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5+--x x（2）562522+--x x x3．解下列不等式 （1）012||≤+-x x （2）03252>+++x x x（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）yx yx --+- （2）ba a ---（3）ba ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x，求yxy x yxy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出yx11+. 【例4】已知：21=-xx ，求221xx +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值. 练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数. （1）yx yx 5.008.02.003.0+-（2）b a ba 10141534.0-+ 2．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.3．已知：311=-b a ，求aab b bab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值. 5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---.（三）分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--； （3）22,21,1222--+--x x xx xx x ； （4）aa -+21,2题型二：约分【例2】约分： （1）322016xy y x -；（3）n m m n --22；（3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+； （3）mn mn m n m n n m ---+-+22；（4）112---a a a ；（5）874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--； （6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ； （7）)12()21444(222+-⋅--+--x x x x x x x 题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；（2）已知：432z y x ==，求22232zy x xzyz xy ++-+的值；（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a a a --的值.题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值. 练习：1．计算（1）)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ； （2）a b abb b a a ----222； （3）ba c cb ac b c b a c b a c b a ---++-+---++-232； （4）b a b b a ++-22；（5）)4)(4(ba abb a b a ab b a +-+-+-；（6）2121111x x x ++++-； （7）)2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1--+-----x x x x x x . 2．先化简后求值（1）1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a . （2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()(yxx y x y x xy y x ÷-⋅+÷-的值.3．已知：121)12)(1(45---=---x Bx A x x x ，试求A 、B 的值. 4．当a 为何整数时，代数式2805399++a a 的值是整数，并求出这个整数值. （四）、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：（1）3132)()(---⋅bc a （2）2322123)5()3(z xy z y x ---⋅（3）24253])()()()([b a b a b a b a +--+-- （4）6223)(])()[(--+⋅-⋅+y x y x y x题型二：化简求值题【例2】已知51=+-x x ，求（1）22-+x x 的值；（2）求44-+x x 的值. 题型三：科学记数法的计算【例3】计算：（1）223)102.8()103(--⨯⨯⨯；（2）3223)102()104(--⨯÷⨯. 练习：1．计算：（1）20082007024)25.0()31(|31|)51()5131(⋅-+-+-÷⋅-- （2）322231)()3(-----⋅n m n m （3）23232222)()3()()2(--⋅⋅ab b a b a ab（4）21222)]()(2[])()(4[----++-y x y x y x y x2．已知0152=+-x x ，求（1）1-+x x ，（2）22-+x x 的值.第二讲 分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程 （1）xx 311=-；（2）0132=--x x ；（3）114112=---+x x x ；（4）x x x x -+=++4535 提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根. 题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程 （1）4441=+++x x x x ； （2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示：（1）换元法，设y x x =+1；（2）裂项法，61167++=++x x x .【例3】解下列方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+)3(4111)2(3111)1(2111x z z y y x 题型三：求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值. 【例5】若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围. 提示：032>-=ax 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a . 题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于x 的方程)0(≠+=--d c dcx b a x 提示：（1）d c b a ,,,是已知数；（2）0≠+d c . 题型五：列分式方程解应用题练习：1．解下列方程： （1）021211=-++-x xx x ； （2）3423-=--x x x ； （3）22322=--+x x x ； （4）171372222--+=--+x x x x xx （5）2123524245--+=--x x x x（6）41215111+++=+++x x x x（7）6811792--+-+=--+-x x x x x x x x2．解关于x 的方程：（1）b x a 211+=)2(a b ≠；（2）)(11b a xbb x a a ≠+=+. 3．如果解关于x 的方程222-=+-x xx k 会产生增根，求k 的值.4．当k 为何值时，关于x 的方程1)2)(1(23++-=++x x kx x 的解为非负数. 5．已知关于x 的分式方程a x a =++112无解，试求a 的值. （二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下： 一、交叉相乘法例1．解方程：231+=x x 二、化归法例2．解方程：012112=---x x 三、左边通分法例3：解方程：87178=----xx x 四、分子对等法例4．解方程：)(11b a xb b x a a ≠+=+五、观察比较法例5．解方程：417425254=-+-x x x x六、分离常数法例6．解方程：87329821+++++=+++++x x x x x x x x七、分组通分法例7．解方程：41315121+++=+++x x x x（三）分式方程求待定字母值的方法例1．若分式方程xmx x -=--221无解，求m 的值。

同底数幂的乘法二、知识要点1、同底数幂的乘法法则: 33()a a -=-(m ，n 都是正数)是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要注意以下几点:（1） 法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a 可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；（2）指数是1时，不要误以为没有指数；（3） 不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；（4） 当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为m n p m n p a a a a++⋅⋅=（其中m 、n 、p 均为正数）；（5）公式还可以逆用：n m n m a a a⋅=+（m 、n 均为正整数） 2、幂的乘方与积的乘方（1）、幂的乘方法则：()m n mn a a=(m,n 都是正数)是幂的乘法法则为基础推导出来的,但两者不能混淆.（2）、 ()()(,)m n n m mn a a a m n ==都为正数.（3）、 底数有负号时,运算时要注意,底数是a 与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，如将3()a -化成22()a b + ⎩⎨⎧-=-).(),()(,为奇数时当为偶数时当一般地n a n a a n n n（4）、底数有时形式不同，但可以化成相同。

（5）、要注意区别2()ab 与2()a b +意义是不同的，不要误以为2()a b +＝22a b +（a 、b 均不为零）。

（6）、积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即()n n n（n为正整数）。

ab a b（7）、幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。

三、经验之谈：同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方这三个运算法则是整式乘法的基础，也是整式乘法的主要依据．所以要求每个学生都能得三个运算法则的数学表达式：（“m、n都为正整数）”和语言表述“同底数幂相乘，底数不变，指数相加，幂的乘方，底数不变，指数相乘，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方”搞清楚，并能正确运用．。

一、选择题1．将4个数a 、b 、c 、d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a c b d ，定义a c b d =ad －bc ．上述记号就叫做2阶行列式，若11x x +- 11x x -+=12，则x=( )． A ．2B ．3C ．4D ．6B解析：B【分析】 根据题中的新定义将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为x 的值．【详解】 解：根据题意化简11 11x x x x +--+=12，得（x+1）2-（x-1）2=12， 整理得：x 2+2x+1-（1-2x+x 2）-12=0，即4x=12，解得：x=3，故选：B ．【点睛】此题考查了整式的混合运算，属于新定义的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键． 2．已知代数式2366x x -+的值为9，则代数式226x x -+的值为（ ） A ．18B ．12C ．9D ．7D 解析：D【分析】将x 2﹣2x 当成一个整体，在第一个代数式中可求得x 2﹣2x ＝1，将其代入后面的代数式即能求得结果．【详解】解：∵3x 2﹣6x +6＝9，即3（x 2﹣2x ）＝3，∴x 2﹣2x ＝1，∴x 2﹣2x +6＝1+6＝7．故选：D ．【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是将x 2﹣2x 当成一个整体来对待．3．在下列的计算中正确的是（ ）A ．23a ab a b ⋅=；B ．()()2224a a a +-=+；C ．235x y xy +=；D ．()22369x x x -=++ A 解析：A【分析】根据单项式的乘法，平方差公式，完全平方公式，对各选项计算后利用排除法求解．【详解】A 、a 2•ab ＝a 3b ，正确；B 、应为（a ＋2）（a−2）＝a 2−4，故本选项错误；C 、2x 与3y 不是同类项不能合并；D 、应为（x−3）2＝x 2−6x ＋9，故本选项错误．故选：A ．【点睛】本题主要考查平方差公式，单项式的乘法法则，完全平方公式，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的不能合并．4．下列运算中，正确的个数是（ ）①2352x x x +=；②()326x x =；③03215⨯-=；④538--+= A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个A解析：A【分析】 ①根据同类项的定义判断计算；②根据幂的乘方公式计算；③利用零指数幂和有理数的混合运算法则计算；④根据同类项的定义判断计算.【详解】∵2x 与3x 不是同类项，无法合并，∴①是错误的；∵()326x x =，∴②是正确的； ∵032112-1=1⨯-=⨯，∴③是错误的； ∵53-5+3=-2--+=，∴④是错误的；综上所述，只有一个正确，故选：A.【点睛】本题考查了合并同类项，幂的乘方，零指数幂，绝对值，有理数的混合运算，熟练掌握公式及其运算法则是解题的关键.5．下列计算正确的是（ ）A ．（a +b ）（a ﹣2b ）＝a 2﹣2b 2B ．（a ﹣12）2＝a 2﹣14C ．﹣2a （3a ﹣1）＝﹣6a 2+aD ．（a ﹣2b ）2＝a 2﹣4ab +4b 2D 解析：D【分析】根据整式的乘法逐项判断即可求解．【详解】解：A. （a +b ）（a ﹣2b ）＝a 2﹣4b 2，原题计算错误，不合题意；B. （a ﹣12）2＝a 2﹣a +14，原题计算错误，不合题意；C. ﹣2a （3a ﹣1）＝﹣6a 2+2a ，原题计算错误，不合题意；D. （a ﹣2b ）2＝a 2﹣4ab +4b 2，计算正确，符合题意．故选：D【点睛】本题考查了单项式乘以多项式，平方差公式，完全平方式，熟练掌握单项式乘以多项式的法则、乘法公式是解题的关键．6．如图，从边长为21a +的正方形纸片中剪去一个边长为2a +的正方形(0)a >，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ）A ．233a -B ．233a +C ．221a a -+D ．2189a a ++ A解析：A【分析】 矩形的面积就是边长是21a +的正方形与边长是2a +的正方形的面积的差，列代数式进行化简即可．【详解】解：由题意可知，矩形的面积就是边长是21a +的正方形与边长是2a +的正方形的面积的差，∴S 矩形=()()22212a a +-+=2244144a a a a ++---=233a -．故选：A ．【点睛】本题考查了整式的运算，根据题意列出代数式，同时正确使用完全平方公式是解决本题的关键．7．数151025N =⨯是（ ）A ．10位数B ．11位数C ．12位数D ．13位数C 解析：C【分析】利用同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算，将原数改写变形即可得出结论．【详解】 ()1015105101051011252252253210 3.210N =⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯=⨯，∴N 是12位数，故选：C ．【点睛】本题考查同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算的应用，灵活运用基本运算法则对原式变形是解题关键．8．当2x =时，代数式31ax bx ++的值为6，则2x =-时，31ax bx ++的值为（ ） A ．6-B ．5-C ．4D ．4- D 解析：D【分析】根据已知把x=2代入得：8a+2b+1=6，变形得：-8a-2b=-5，再将x=-2代入这个代数式中，最后整体代入即可．【详解】解：当x=2时，代数式ax 3+bx+1的值为6，则8a+2b+1=6，即8a+2b=5，∴-8a-2b=-5，则当x=-2时，ax 3+bx+1=（-2）3a-2b+1=-8a-2b+1=-5+1=-4，故选：D ．【点睛】本题考查了求代数式的值，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．9．计算2019202040.753⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭的结果是（ ） A ．43 B ．43- C ．0.75 D ．-0.75D解析：D【分析】先将20200.75化为20193434⨯，再用幂的乘方的逆运算计算，再计算乘法即可得到答案． 【详解】2019202040.753⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭ =20192019343434⎛⎫⎛⎫⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=201934()3434⎡⎤⨯⎢⎥⎣⎦⨯- =(31)4-⨯=34-, 故选：D ．【点睛】此题考查有理数数的乘法运算，掌握幂的乘方的逆运算是解题的关键．10．下列运算正确的是（ ）A ．x 2·x 3=x 6B ．(x 3)2=x 6C ．(-3x)3=27x 3D ．x 4+x 5=x 9B解析：B【分析】根据幂的乘方与积的乘方的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，以及合并同类项的方法，逐项判断即可．【详解】∵x 2•x 3=x 5，∴选项A 不符合题意；∵（x 3）2＝x 6，∴选项B 符合题意；∵（−3x ）3＝−27x 3，∴选项C 不符合题意；∵x 4＋x 5≠x 9，∴选项D 不符合题意．故选：B ．【点睛】此题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，以及合并同类项的方法，要熟练掌握． 二、填空题11．已知2a －b ＋2＝0，则1－4a ＋2b 的值为______．5【分析】由得整体代入代数式求值【详解】解：∵∴∴原式故答案是：5【点睛】本题考查代数式求值解题的关键是掌握整体代入的思想解析：5【分析】由220a b -+=得22a b -=-，整体代入代数式求值．【详解】解：∵220a b -+=，∴22a b -=-，∴原式()()122122145a b =-+=-⨯-=+=．故答案是：5．【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入的思想．12．若2,3x y a a ==，则22x y a +=_______________________．36【分析】根据同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用计算即可【详解】解：∵∴=2²×3²=36故答案为36【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用熟记幂的运算性质是解答本题的关键解析：36【分析】根据同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用计算即可．【详解】解：∵2,3x y a a ==，∴222222().()x y x y x y a a a a a +=⋅==2²×3²=36，故答案为36．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用，熟记幂的运算性质是解答本题的关键． 13．如图所示，在这个运算程序当中，若开始输入的x 是2，则经过2021次输出的结果是________．4【分析】根据第一次输出的结果是1第二次输出的结果是6…总结出每次输出的结果的规律求出2021次输出的结果是多少即可【详解】解：把x=2代入得：2÷2=1把x=1代入得：1+5=6把x=6代入得：6解析：4【分析】根据第一次输出的结果是1，第二次输出的结果是6，…，总结出每次输出的结果的规律，求出2021次输出的结果是多少即可．【详解】解：把x=2代入得：2÷2=1，把x=1代入得：1+5=6，把x=6代入得：6÷2=3，把x=3代入得：3+5=8，把x=8代入得：8÷2=4，把x=4代入得：4÷2=2，把x=2代入得：2÷2=1，以此类推，∵2021÷6=336…5，∴经过2021次输出的结果是4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．14．数学家发明了一个魔术盒，当任意数对(,)a b 放入其中时，会得到一个新的数：(1)(2)a b --．例如：将数对(2,1)放入其中时，最后得到的数是________；（1）将数对(23,2)+放入其中，最后得到的数________；（2）现将数对(,0)m 放入其中，得到数n ，再将数对(,)n m 放入其中后，最后得到的数是________．（结果要化简）-1-2-2m2+5m-2【分析】根据题目中的新定义运算规则可分别计算出数对和放入其中后最后得到的数再由数对放入其中得到数计算出m 与n 的关系再计算数对即可得到结果【详解】解：由题意得：数对放入其中时解析：-1 -2 -2m 2+5m-2【分析】根据题目中的新定义运算规则，可分别计算出数对(2,1)和(23,2)+放入其中后，最后得到的数，再由数对(,0)m 放入其中，得到数n ，计算出m 与n 的关系，再计算数对(,)n m ，即可得到结果．【详解】解：由题意得：数对(2,1)放入其中时，最后得到的数是：（2-1）×（1-2）＝-1； 故答案为：-1；（1）将数对(23,2)+放入其中，最后得到的数是：（23+-1）（2-2）＝-2； 故答案为：-2；（2）根据数对(,0)m 放入其中得到数n ，可得：（m−1）×（0−2）＝n ， 则-2m+2＝n ， ∴将数对（n ，m ）放入其中后，最后得到的数是：（n−1）（m−2）＝（-2m+2−1）（m−2）＝（-2m+1）（m−2）＝-2m 2+5m-2．故答案为：-2m 2+5m-2．【点睛】此题主要考查了新定义下的实数运算，弄清题中的新定义运算规则、实数及多项式乘多项式的运算法则是解本题的关键．15．若（2x +1）5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a ，则a 2+a 4=____120【分析】令x=0可求得a=1；令x=1可求得a5a4a3a2a1a=243①；令x=-1可求得-a5a4-a3a2-a1a=-1②把①和②相加即可求出a2+a4的值【详解】解：解析：120【分析】 令x=0，可求得a=1；令x=1，可求得a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a=243①；令x=-1，可求得-a 5+a 4-a 3+a 2-a 1+a=-1②，把①和②相加即可求出a 2+a 4的值．【详解】解：当x=0时， a=1；当x=1时， a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a=243①，当x=-1时，-a 5+a 4-a 3+a 2-a 1+a=-1②，2a 4+2a 2+2a=242，∴a 2+a 4=120．故答案为：120．【点睛】本题考查了求代数式的值，正确代入特殊值是解答本题的关键．16．分解因式323a a -=____．【分析】提取公因式a2即可【详解】解：=故答案为：【点睛】本题考查了分解因式方法之一提取公因式正确提取公因式是解决本题的关键解析：2)(3a a -【分析】提取公因式a 2即可．【详解】解：323a a -，=2)(3a a -，故答案为：2)(3a a -．【点睛】本题考查了分解因式方法之一提取公因式，正确提取公因式是解决本题的关键． 17．已知23x y -=，则432x y --=________．3【分析】把看成一个整体原式可化为2（）-3整体代入即可【详解】解：原式=2（）-3=2×3-3=3故答案为：3【点睛】本题考查了求代数式的值把看成一个整体是解题的关键解析：3【分析】把2x y -看成一个整体，原式可化为2（2x y -）-3，整体代入即可．【详解】解：原式=2（2x y -）-3=2×3-3=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了求代数式的值，把2x y -看成一个整体是解题的关键．18．若2x y a +=，2x y b -=，则22x y -的值为____________．【分析】应用平方差把多项式因式分解再整体代入即可【详解】解：把代入原式=故答案为：【点睛】本题考查了运用平方差公式因式分解和整体代入求值能够熟练运用平方差把多项式因式分解并整体代入求值是解题的关键解析：4ab ．【分析】应用平方差把多项式22x y -因式分解，再整体代入即可．解：22()()x y x y x y -=+-，把2x y a +=，2x y b -=代入，原式=224a b ab ⨯=，故答案为：4ab ．【点睛】本题考查了运用平方差公式因式分解和整体代入求值，能够熟练运用平方差把多项式因式分解并整体代入求值，是解题的关键．19．下列说法：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上依据的是“两点之间，线段最短”；②若2210m m +-=，则2425m m ++的值为7；③若a b >，则a 的倒数小于b 的倒数；④在直线上取A 、B 、C 三点，若5cm AB =，2cm BC =，则7cm AC =．其中正确的说法有________（填号即可）．②【分析】①用两个钉子可以把木条固定的依据是两点确定一条直线；②利用整体代换的思想可以求出代数式的值；③根据倒数的定义举出反例即可；④直线上ABC 三点的位置关系要画图分情况讨论【详解】①用两个钉子可解析：②【分析】①用两个钉子可以把木条固定的依据是“两点确定一条直线”；②利用“整体代换”的思想，可以求出代数式的值；③根据倒数的定义，举出反例即可；④直线上A 、B 、C 三点的位置关系，要画图，分情况讨论．【详解】①用两个钉子可以把木条固定的依据是“两点确定一条直线”，故①错误；②∵2210m m +-=，∴()2242522172077m m m m ++=+-+=⨯+=，故②正确；③∵a ＞b ，取a=1，b=－1， ∴11a =，11b=-，11a b >，故③错误； ④当点C 位于线段AB 上时，AC=AB －BC=5－2=3cm ；当点C 位于线段AB 的延长线上时，AC=AB+BC=5+2=7cm ，则AC 的长为3cm 或7cm ，故④错误；综上可知，答案为：②．【点睛】本题考查了两点确定一条直线、整体代换思想、求代数式的值、倒数的有关计算及数形结合法求线段的长度，综合性较强，需要学生熟练掌握相关的知识点．20．在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图：（a +b ）0＝1（a +b ）1＝a +b（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2（a +b ）3＝a 3+3a 2b +3ab 2+b 3这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a +b ）5＝__________，并说出第7排的第三个数是___．a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b515【分析】多项式乘方运算安全平方公式安全立方公式发现规律数字规律归纳即可【详解】解：（a+b ）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b解析：a 5+5a 4b +10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+b 5 15【分析】多项式乘方运算，安全平方公式，安全立方公式，发现规律，数字规律归纳即可，【详解】解：（a +b ）5＝a 5+5a 4b +10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+b 5；第7排的第三个数是15，故答案为：a 5+5a 4b +10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+b 5；15，【点睛】本题考查完全平方公式、完全立方公式，规律型：数字的变化类，掌握多项式乘法法则，和完全平方公式，观察式子的特征是解题关键，三、解答题21．计算下列各题：（12(2)-3125-9（2）（7）（37）2（22解析：（1）0；（2）2【分析】（1）根据平方根、立方根的意义进行计算即可；（2）利用平方差公式和实数的计算方法进行计算即可．【详解】解：（12(2)-3125-9＝2+（﹣5）+3＝0；（2）（3+7）（3﹣7）+2（2﹣2）＝32﹣（7）2+22﹣2＝9﹣7+22﹣2＝22．【点睛】本题考查了包含算术平方根、立方根、平方差公式的实数计算，熟练运用法则和公式是解决问题关键．22．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如下图是2021年1月份的日历，我们任意用一个22的方框框出4个数，将其中4个位置上的数两两交叉相乘，再用较大的数减去较小的数，你发现了什么规律？（1）图中方框框出的四个数，按照题目所说的计算规律，结果为______．（2）换一个位置试一下，是否有同样的规律？如果有，请你利用整式的运算对你发现的规律加以证明；如果没有，请说明理由．解析：（1）7；（2）有同样的规律，(a+1)(a+7)-a(a+8)=7，理由见解析【分析】（1）根据题意列出算式11×5-4×12，再进一步计算即可；（2）如换为3，4，10，11，按要求计算即可；设方框框出的四个数分别为a，a+1，a+7，a+8，列出算式(a+1)(a+7)-a(a+8)，再进一步计算即可得．【详解】（1）11×5-4×12=55-48=7，故答案为：7；（2）换为3，4，10，11，则10×4-3×11=40-33=7；设方框框出的四个数分别为a，a+1，a+7，a+8，则(a+1)(a+7)-a(a+8)=a2+7a+a+7-a2-8a=7．【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是根据题意列出算式，并熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．23．乘法公式的探究及应用．（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是_______（写成两数平方差的形式）；（2）图2是将图1中的阴影部分裁剪开，重新拼成的一个长方形，观察它的长和宽，其面积是______（写成多项式乘法的形式）．（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式_______．（用等式表示） （4）运用你所得到的公式，计算下列各题：①10.39.7⨯②(2)(2)m n p m n p +--+解析：（1）22a b -；（2）()()a b a b +-；（3）22()()a b a b a b +-=-；（4）①99.91；②22242m n np p -+-【分析】（1）利用正方形的面积公式就可求出；（2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积；（3）建立等式就可得出；（4）利用平方差公式就可方便简单的计算．【详解】解：（1）利用大正方形面积减去小正方形面积即可求出：22a b -，故填：22a b -；（2）它的宽是a ﹣b ，长是a+b ，面积是()()a b a b +-，故填：()()a b a b +-；（3）根据题意得出：22()()a b a b a b +-=-，故填：22()()a b a b a b +-=-；（4）①解：原式(100.3)(100.3)=+⨯- 22100.3=-1000.09=-99.91=；②解：原式[2()][2()]m n p m n p =+-⋅--22(2)()m n p =--22242m n np p =-+-．【点睛】此题主要考查了平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．对于有图形的题同学们注意利用数形结合求解更形象直观． 24．先化简，再求值：()()()2222(2)x y y x x y x y x --++---，其中1,22x y =-=． 解析：232+x xy ，54-. 【分析】利用平方差公式，和的完全平方公式，单项式乘以多项式法则化简，合并同类项后，代入求值即可.【详解】原式2222244 42x y x xy y xy x =-+++-+ 232x xy =+，当1,22x y =-=时， 原式2115322224⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了运用乘法公式进行化简，熟练运用公式，正确合并同类项是解题的关键. 25．（概念学习）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．例如222÷÷，记作2③，读作“2的圈3次方”；再例如(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-，记作()3-④，读作“3-的圈4次方”；一般地，把n a a a a a ÷÷÷⋅⋅⋅÷个（0a ≠，n 为大于等于2的整数）记作，读作“a 的圈n 次方”．（初步探究）（1）直接写出计算结果：7=③_______________，14⎛⎫-= ⎪⎝⎭⑤__________； （2）关于除方，下列说法错误的是____________；A ．任何非零数的圈2次方都等于1；B ．对于任何大于等于2的整数c ，； C ．89=⑨⑧；D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方211112222222222⎛⎫→=÷÷÷=⨯⨯⨯=→ ⎪⎝⎭④乘方幂的形式（1）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：(5)-=⑥___________；12⎛⎫= ⎪⎝⎭⑨___________；（2）将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式为____________；（3）将（m 为大于等于2的整数）写成幂的形式为_________． 解析：【初步探究】（1）17，64-；（2）C ；【深入思考】（1）415⎛⎫- ⎪⎝⎭，72；（2）21n a -⎛⎫⎪⎝⎭；（3）4m n a +-【分析】初步探究：（1）根据新定义的运算法则进行计算，即可得到答案；（2）根据新定义的运算法则进行判断，即可得到答案；深入思考：（1）由题目中的运算法则转换成幂的形式，即可得到答案；（2）把幂的形式转换为一般形式即可；（3）先把代数式进行化简，然后写成幂的形式即可．【详解】解：【初步探究】（1）177777=÷÷=③；111111()()()()()44444464⎛⎫-=-÷-÷-÷-÷-= ⎪⎭-⎝⑤；故答案为：17；64-；（2）由题意：A 、任何非零数的圈2次方都等于1；正确；B 、对于任何大于等于2的整数c ，；正确；C 、7188888888888=÷÷÷÷÷÷÷÷=⑨，619999999999=÷÷÷÷÷÷÷=⑧，∴89≠⑨⑧，则C 错误；D 、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；正确；故选：C ．【深入思考】（1）4111111(5)(5)()()()()()()555555-=-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=-⑥； 71122222222222⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭⑨； 故答案为：41()5-；72；（2）由（1）可知，根据乘方的运算法则，则将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式为：21n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭； 故答案为：21n a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）=224m n m n a a a --+-•=； 故答案为：4m n a +-．【点睛】本题考查了新定义的运算法则，幂的乘方，有理数的乘法和除法运算，解题的关键是熟练掌握新定义的运算法则、乘方的运算法则进行解题．26．因式分解：（1）2ax 2－4axy ＋2ay 2（2）x 2－2x －8解析：（1）22()a x y -；（2）(2)(4)x x +-．【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式因式分解；（2）先给原式变形用完全平方公式给前三项因式分解后，再利用平方差公式因式分解．【详解】解：（1）原式=22)2(2a x xy y -+=22()a x y -；（2）原式=2219x x -+-=22(1)3x --=(13)(13)x x -+--=(2)(4)x x +-．【点睛】本题考查综合运用提公因式法和公式法因式分解．一般因式分解时，有公因式先提取公因式，再看能否运用公式因式分解，有时还需变形后，分组因式分解．27．如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 在AB 边上，四边形EFGB 也是正方形，它的边长为()b a b >，连结AF ，CF ，AC ．（1）用含a 、b 的代数式表示GC =______；（2）若两个正方形的面积之和为60，即2260a b +=，又20ab =，图中线段GC 的长； （3）若8a =，AFC △的面积为S ，求S 的值．解析：（1）a+b ；（2）10；（3）32【分析】（1）可由图形直观的得出结论；（2）利用完全平方公式通过展开推导，再将数值代入计算可得；（3）通过面积计算可得，△AFC 的面积为12a 2即为32． 【详解】解：（1）∵GC ＝GB+BC ，∴GC ＝a+b ，故答案为：a+b ；（2）∵（a+b ）2＝a 2+b 2+2ab ＝60+20×2＝100，∴a+b ＝10，∴GC ＝10；（3）S △AFC ＝S △AFE +S ▱FGBE +S △ABC -S △FGC 22111()()222b a b b a b b a =-++-+ 22221111122222ab b b a b ab =-++-- 212a = 2182=⨯ 32=故答案为：32．【点睛】本题主要考查了完全平方公式运用，解题的关键是完全平方公式展开与合并．运用几何直观理解、通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释的知识点． 28．因式分解：（1）4x 2y ﹣4xy +y ；（2）9a 2﹣4（a +b ）2．解析：（1）y （2x ﹣1）2；（2）（5a +2b ）（a ﹣2b ）【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式；（2）先利用平方差公式分解，再化简即可．【详解】解：（1）4x2y﹣4xy+y＝y（4x2﹣4x+1）＝y（2x﹣1）2；（2）9a2﹣4（a+b）2＝[3a+2（a+b）][3a﹣2（a+b）]＝（5a+2b）（a﹣2b）．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．。