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第四节 基本不等式： ab ≤a ＋b 2(a ，b ∈R ＋)基础回顾Ｋ一、算术平均数与几何平均数的概念若a>0，b>0，则a ，b 的算术平均数是a ＋b2，几何平均数是ab.二、常用的重要不等式和基本不等式1．若a ∈R ，则a 2≥0，||a ≥0(当且仅当a ＝0时，取等号)． 2．若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab(当且仅当a ＝b 时取等号)． 3．若a ，b ∈R ＋，则a ＋b ≥2ab(当且仅当a ＝b 时取等号)． 4．若a ，b ∈R ＋，则a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(当且仅当a ＝b 时取等号)．三、均值不等式(基本不等式)两个正数的均值不等式：若a ，b ∈R ＋，则a ＋b2≥ab(当且仅当a ＝b 时取等号)．变式： ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ＋)． 四、最值定理设x>0，y>0，由x ＋y ≥2xy ，有：(1)若积xy ＝P(定值)，则和x ＋y 最小值为2P ；(2)若和x ＋y ＝S(定值)，则积xy 最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫S 22.即积定和最小，和定积最大．运用最值定理求最值应满足的三个条件：“一正、二定、三相等”． 五、比较法的两种形式 一是作差，二是作商．基础自测1．若x ＋2y ＝4，则2x ＋4y 的最小值是(B ) A ．4 B ．8 C ．22 D ．42解析：因为2x ＋4y ≥22x ·22y ＝22x ＋2y ＝224＝8，当且仅当2x＝22y ，即x ＝2y ＝2时取等号，所以2x ＋4y 的最小值为8.2．下列结论中正确的是(B )A ．当x ＞0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2B ．当x ＞0时，x ＋1x ≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2D ．当0＜x ≤2时，x －1x无最大值3．若直线2ax －by ＋2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长，则1a ＋1b的最小值是4．4．当x>2时，不等式x ＋1x －2≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是(－∞，4]．解析：因为x＋1x－2≥a恒成立，所以a必须小于或等于x＋1x－2的最小值．因为x>2，所以x－2>0.所以x＋1x－2＝(x－2)＋1x－2＋2≥4，当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时等号成立．所以a≤4.高考方向1.以命题真假判断为载体，考查基本不等式成立的条件以及等号成立的条件，有时与不等式的性质结合在一起考查，一般以选择题的形式出现，难度不大.2.考查利用基本不等式求函数或代数式的最值，有时与不等式的恒成立问题相结合，多以选择题、填空题的形式出现，难度中等及以下.3.考查利用基本不等式解决实际应用中的最值问题，各种题型均有可能出现，难度中等.品味高考1．(2013·山东卷)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为(B ) A ．0 B ．1 C.94D ．3解析：由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1.故选B.2．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(B )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解析：记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f(x)，则f(x)＝800＋x8×x ×1x ＝800x ＋x8≥2800x ×x 8＝20，当且仅当800x ＝x8(x ＞0)，即x ＝80时，取最小值．故选B.高考测验1．已知向量a ＝(x ，2)，b ＝(1，y)，其中x ＞0，y ＞0.若a·b ＝4，则1x ＋2y的最小值为(C )A.32 B ．2 C.94D ．2 2 解析：∵a·b ＝4，∴x ＋2y ＝4，x ＞0，y ＞0，∴1x ＋2y ＝14(x ＋2y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y x ＋2x y ≥14⎝⎛⎭⎪⎫5＋22y x ·2x y ＝94. 当且仅当⎩⎨⎧x ＋2y ＝4，2y x ＝2x y，即x ＝y ＝43时，等号成立．2．已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋9y＝1，则2x ＋3y 的最小值为29＋66．解析：由题意可得，2x ＋3y ＝(2x ＋3y)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝3y x ＋18x y ＋29≥23y x ·18xy＋29＝29＋66， 当且仅当3y x ＝18x y ，结合1x ＋9y ＝1，解得x ＝2＋362，y ＝6＋9时取等号，故2x ＋3y 的最小值为29＋6 6.课时作业1．已知a>0，b>0，“a ＋b ＝2” 是“ab ≤1”的 (A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：由基本不等式可知，a ＋b ＝2⇒ab ≤1，但ab ≤1不能推出a ＋b ＝2.故选A.2．(2013·常州质检)已知f(x)＝x ＋1x－2(x<0)，则f(x)有(C )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4 解析：因为x<0，所以－x>0，所以x ＋1x －2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1－x －2≤－2（－x ）·1－x－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时，等号成立．3．(2013·长沙质检)若0<x<1，则当f(x)＝x(4－3x)取得最大值时，x 的值为(D )A.13B.12C.34D.23解析：因为0<x<1，所以f(x)＝x(4－3x)＝13·3x(4－3x)≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4－3x 22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时等号成立，故选D.4．设a ，b ，c ，d ∈R ，若a ，1，b 成等比数列，且c ，1，d 成等差数列，则下列不等式恒成立的是(D )A ．a ＋b ≤2cdB ．a ＋b ≥2cdC ．|a ＋b|≤2cdD ．|a ＋b|≥2cd 解析：∵ab ＝1>0， ∴a ，b 同号．∴|a ＋b|＝|a|＋|b|≥2|a||b|＝2. 又c ＋d ＝2，∴(c ＋d)2＝4，即c 2＋d 2＋2cd ＝4.∴4－2cd ＝c 2＋d 2≥2cd ，得2cd ≤2， ∴|a ＋b|≥2cd.故选D.5．已知函数f(x)＝2x 满足f(m)·f(n)＝2，则mn 的最大值为(B ) A.12 B.14 C.16 D.18解析：由已知得2m ·2n ＝2m ＋n ＝2，所以m ＋n ＝1，于是mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝14.故选B. 6．某工厂第一年年底的产量为p ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则有(C )A ．x ≥a ＋b 2B ．x ＝a ＋b2C ．x ≤a ＋b 2D ．x>a ＋b2解析：依题意得，该工厂第二年的产量为p(1＋a)，第三年的产量为p(1＋a)(1＋b)．又由于这两年的平均增长率为x ，则p(1＋x)2＝p(1＋a)·(1＋b)．于是(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋1＋b 22，所以1＋x ≤2＋a ＋b 2，即x ≤a ＋b2.故选C.7．已知x>0，y>0，2x ＋y ＝13，则1x ＋1y 的最小值是解析：1x ＋1y ＝6x ＋3y x ＋6x ＋3y y ＝9＋3y x ＋6xy ≥9＋218＝9＋6 2.8．若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞． 解析：∵x ＞0，∴x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，∴x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 9．已知a ＜b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b|的最小值为20． 解析：∵a ＜b ∈R ，且ab ＝50， ∴b ＝50a，∴|a ＋2b|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋100a ＝|a|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪100a ≥2|a|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪100a ＝20.当且仅当|a|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪100a 时取等号，故|a ＋2b|的最小值为20.10．已知a ＞b ＞0，且ab ＝1，求a 2＋b 2a －b 的最小值．解析：∵a ＝1，∴a 2＋b 2a －b ＝（a －b ）2＋2ab a －b ＝（a －b ）2＋2a －b ＝a －b ＋2a －b ， ∵a ＞b ＞0， ∴a －b ＞0，∴a 2＋b 2a －b ＝a －b ＋2a －b≥2（a －b ）·2a －b＝22，当且仅当⎩⎨⎧ab ＝1，a －b ＝2a －b ，即a ＝6＋22，b ＝6－22，取等号，∴当a ＝6＋22，b ＝6－22时，a 2＋b 2a －b 取得最小值2 2.11．围建一个面积为368 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口(如图所示)，已知旧墙的维修费用为180元/m ，新墙的造价为460元/m ，设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．解析：(1)因为利用的旧墙的长度为x 米，则以被利用的那部分旧墙为一边的矩形的另一边长的为368xm ，于是y ＝180x ＋460(x －2)＋460×2×368x ＝640x ＋232×82×10x－920＝640x＋338 560x－920(x>0)．(2)∵x>0，∴640x＋338 560x≥2640x·338 560x＝29 440.∴y＝640x＋338 560x－920≥29 440－920＝28 520，当且仅当640x＝338 560x，即x＝23时等号成立．∴当x＝23 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是28 520元．。
第四节 基本不等式【知识清单】1、如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立） 2、基本不等式： 如果0,>b a ，那么ab ba ≥+2（当且仅当b a =时，等号成立） （其中2ba +称为算术平均数，ab 称为几何平均数，因此也称均值不等式） 注：两个正数的算术平均数不小于其几何平均数。
3、利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则（1）若积xy 是定值,p 则当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (记：积定和最小)．（2）若和y x +是定值,p ，则当且仅当y x =时，xy 有最大值是.42p (记：和定积最大)． 注①基本不等式主要是利用和积转化求最值。
②利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：01一正二定三相等．“一正”就是各项必须为正数；【例】 )0(41>+=x xx y 的最小值是________ 解析：141241=⋅≥+=x x x x y （当且仅当x x 41=即21=x 时，等号成立） 【例】若正数b a ,满足111=+b a ，则11614-+-b a 的最小值________ 解析：111=+b a 变形为ab b a =+；161642)1)(1(64211614=+--=--≥-+-b a ab b a b a 02“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； 【例】已知45<x ，则函数54124-+-=x x y 的最小值为______ 解析：,2)]54([1)]54([≥--+--x x （当且仅当41=x 时，等号成立）1541242)54(1)54(≤-+-⇒-≤-+-x x x x03“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．这是只能利用对勾函数结合单调性或导数解决。
第四节基本不等式1．了解基本不等式的证明过程． 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．考点一：基本不等式1．基本不等式如果a＞0，b＞0，那么，当且仅当a＝b时，等号成立．其中叫做a,b的算术平均数，叫做a,b的几何平均数。
1、基本不等式的变形（1)当且仅当a=b时取等号。
（2)时取等号。
（3)，当且仅当a=b时取等号。
（4)，当且仅当a=1时取等号；，当且仅当a=-1时取等号（5)（a,b同号），当且仅当a=b时取等号。
规律方法1．基本不等式成立的条件是a，b都是正数．在解题时，如果a，b 为负数，可提取负号，创造变量为正数的条件，再利用基本不等式解题．2．在运用基本不等式的变形时，注意一定要验证它们成立的条件是否满足．考点二：利用基本不等式求最值已知x,y都是正数，（1）若x+y=s（和为定值），则当x=y时，积xy取得最大值；（2）若xy=p（积为定值），则当x=y时，和x+y取得最小值利用基本不等式求最值的注意点利用基本不等式求最值时要注意：(1)基本不等式中涉及的各数(或式)均为正；(2)和或积为定值；(3)等号能否成立．即要满足“一正、二定、三相等”的条件．另外需注意变形公式的灵活运用及通过对原代数式或解析式的拆分来创造利用公式的条件．考向一：利用基本不等式求最值规律方法：不等式求最值常用的变形方法：（1）变符号：（2）拆项：（3）添项：（4）凑系数：（5）同除构造型。
考向二：条件最值问题反思总结利用基本不等式解决条件最值的关键是分析条件如何用，主要有两种思路(1)对条件使用基本不等式建立所求目标函数的不等式求解；(2)条件变形进行“1”的代换求目标函数最值．考向三：基本不等式的实际应用反思总结在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点(1)设变量时一般把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域；(3)在定义域内只需再利用基本不等式，求出函数的最值；(4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案．——利用基本不等式求解三元函数的最值策略近几年三元函数的最值逐渐成为高考的热点，主要考查考生的变形推理能力、构造能力、化归能力．求解时要注意以下二种策略的应用：一：消元化三元为二元后使用基本不等式；二、变形条件构造定值、直接使用基本不等式求最值。
第4节基本不等式
【选题明细表】
一、选择题
1.(2012年高考福建卷)下列不等式一定成立的是( C )
(A)lg>lg x(x>0)
(B)sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)
(C)x2+1≥2|x|(x∈R)
(D)>1(x∈R)
解析:对选项A,当x>0时,x2+-x=≥0,
∴lg≥lg x;
对选项B,当sin x<0时显然不成立;
对选项C,x2+1=|x|2+1≥2|x|,一定成立;
对选项D,∵x2+1≥1,
∴0<≤1.
故选C.
2.(2013安徽省示范高中高三模拟)“1<a<2”是“对任意的正数x,2x+≥2”的( A )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
解析:2x+≥2⇒2≥2⇒a≥.故选A.
3.(2013重庆市部分重点中学高三联考)已知p=a+(a>2),q=(x ∈R),则p,q的大小关系为( A )
(A)p≥q (B)p>q (C)p<q (D)p≤q
解析:p=a+=(a-2)++2≥2+2=4,当且仅当a=3时,取得等号;而由于
x2-2≥-2,故q=≤-2=4,故p≥q.故选A.
4.(2012年高考浙江卷)若正数x、y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是( C )
(A)(B)(C)5 (D)6
解析:由x+3y=5xy,得+=5(x>0,y>0),
则3x+4y=(3x+4y)
=
≥
=(13+12)=5.
当且仅当=,
即x=2y时,等号成立,
此时由
解得故选C.
5.(2013湖北省黄冈中学高三二模)设x,y∈R,a>1,b>1,若
a x=
b y=2,a2+b=4,则+的最大值为( B )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:由题意得:=log2a,=log2b,
+=2log2a+log2b=log2(a2b)≤log22=2,当且仅当b=a2时等号成立,故选B.
6.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.
为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( B )
(A)60件(B)80件(C)100件(D)120件
解析:若每批生产x件产品,
则每件产品的生产准备费用是元,存储费用是元,总的费用
y=+≥2=20,
当且仅当=时取等号,得x=80(件),故选B.
7.(2012年高考陕西卷)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和
b(a<b),其全程的平均时速为v,则( A )
(A)a<v<(B)v=
(C)<v< (D)v=
解析:设甲乙两地相距为s,
则v==.
由于a<b,∴+<,
∴v>a,
又+>2,
∴v<.
故a<v<,
故选A.
8.(2013山东师大附中高三三模)设a>0,b>0.若是3a与3b的等比中
项,则+的最小值是( C )
(A)2 (B)(C)4 (D)8
解析:由题意知3a×3b=()2,即3a+b=3,
所以a+b=1.
所以+=+=2++≥2+2
=4,
当且仅当=,即a=b=时,取等号,所以最小值为4.故选C.
二、填空题
9.(2013年高考四川卷)已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a= .
解析:因为x>0,a>0,
所以f(x)=4x+≥2=4,
当且仅当4x=,即a=4x2时取等号.
由题意可得a=4×32=36.
答案:36
10.已知直线ax-2by=2(a>0,b>0)过圆x2+y2-4x+2y+1=0的圆心,ab的最大值为.
解析:圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4,
所以圆心为(2,-1),
因为直线过圆心,
所以2a+2b=2,即a+b=1.
所以ab≤2=,当且仅当a=b=时取等号,
所以ab的最大值为.
答案:
11.(2013北京朝阳质检)某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器运转
年时,年平均利润最大,最大值是万元.
解析:每台机器运转x年的年平均利润为=18-x+,而x>0,故≤
18-2=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值
为8万元.
答案:5 8
12.(2013山师大附中高三第四次模拟)已知向量a=(x,-2),b=(y,1),其中x,y都是正实数,若a⊥b,则t=x+2y的最小值是.
解析:因为a⊥b,
所以a·b=(x,-2)·(y,1)=0,
即xy=2.
又t=x+2y≥2=4,当且仅当x=2y=2时,等号成立,
所以t=x+2y的最小值是4.
答案:4
13.(2013江西省百所重点高中诊断)已知二次函数f(x)=ax2+2x+c(x
∈R)的值域为[0,+∞),则+的最小值为.
解析:由题意知a>0,Δ=4-4ac=0得ac=1,
∴+=++(a+c)≥2+2=4,
当且仅当a=c时等号成立.
答案:4
三、解答题
14.已知函数f(x)=lg x,若x1,x2>0,判断[f(x1)+f(x2)]与f的大小,并加以证明.
解:[f(x1)+f(x2)]≤f.
证明如下:
∵f(x1)+f(x2)=lg x1+lg x2=lg(x1x2),
f=lg ,
且x1,x2>0,x1x2≤,
∴lg(x1x2)≤lg,
∴lg(x1x2)≤lg ,
即(lg x1+lg x2)≤lg .
∴[f(x1)+f(x2)]≤f,
当且仅当x1=x2时,等号成立.
15.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求
(1)xy的最小值;
(2)x+y的最小值.
解:(1)由2x+8y-xy=0,
得+=1,
又x>0,y>0,
则1=+≥2=,
得xy≥64,
当且仅当x=16,y=4时,等号成立. 所以xy的最小值为64.
(2)由2x+8y-xy=0,
得+=1,
则x+y=+·(x+y)
=10++
≥10+2
=18.
当且仅当x=12且y=6时等号成立,
∴x+y的最小值为18.
16.某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张,每批都购入x张(x是正整数),且每批均需付运费4元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入4张,则该月需用去运费和保管费共52元,现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.
(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x);
(2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.
解:(1)设题中比例系数为k,若每批购入x张书桌,
则共需分批,每批价值为20x元,
由题意得f(x)=·4+k·20x.
由x=4时,f(x)=52,
得k==.
∴f(x)=+4x(0<x≤36,x∈N*).
(2)由(1)知f(x)=+4x(0<x≤36,x∈N*),
∴f(x)≥2=48(元).
当且仅当=4x,
即x=6时,上式等号成立.
故只需每批购入6张书桌,可以使资金够用.。
