高考专题复习—解析几何的题型与方法(精髓版)

一、解析几何题型分析：
1. 直线问题：主要考察直线的性质及其特征，如平行、垂直、中心弦定理等。

2. 圆形问题：主要考察圆形的性质及其特征，如圆心角定理、外切内接定理等。

3. 正多面体问题：主要考察正多面体的性质及其特征，如三角形内心定理、四面体最大最小化原理等。

4. 三角形问题：主要考察三角形的性质及其特征，如勾股定理、海伦-泰勒斯定理等。

5. 几何评价法问题: 主要是透过几何图型来评价各部分之间的大小或者数量上的差异,例如由于不同图彩之间存在一些明显差异,所以能够根据这些差异来作出正确判断或者作出正确估测。

二、解法收拾:
1. 第一步应该是将所有信息数字化,即将所有信息由文字表述方式数字化;
2. 第二步应该是根据所数字化后的信息来选用适合的几何方法;
3. 第三步应该是根据前两部中所使用方法来进行相应的代数或者几何运算;
4. 最后一步应该是核对并汇总前三部中所得到的信息,然后作出最合适书写样子上呈上。

高考专题：解析几何常规题型及方法一、高考风向分析：高考解析几何试题一般共有3--4题(1--2个选择题, 0--1个填空题, 1个解答题), 共计20多分, 考查的知识点约为20个左右，其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查。

选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线中的基础知识，大多概念性较强，小巧灵活，思维多于计算；而解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点及其综合运用,重在考察直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程，以向量为载体，立意新颖，要求学生综合运用所学代数、三角、几何的知识分析问题，解决问题。

二、本章节处理方法建议：纵观历年全国各省市文、理高考试卷，普遍有一个规律：占解几分值接近一半的填空、选择题难度不大，中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中；而占解几分值一 半偏上的解答题得分很不理想，其原因主要体现在以下几个方面：（1）解析几何是代数与 几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向 量等知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合 能力要求最高的内容之一（2）解析几何的计算量相对偏大（3）在大家的“拿可拿之分” 的理念下，大题的前三道成了兵家必争之地，而排放位置比较尴尬的第21题或22题（有 时20题）就成了很多人遗忘的角落，加之时间的限制，此题留白的现象比较普遍。

鉴于解几的特点，建议在复习中做好以下几个方面．1．由于高考中解几内容弹性很 大。

有容易题，有中难题。

因此在复习中基调为狠抓基础。

不能因为高考中的解几解答题 较难，就拼命地去搞难题，套新题，这样往往得不偿失；端正心态：不指望将所有的题攻 下，将时间用在巩固基础、对付“跳一跳便可够得到”的常规题上，这样复习，高考时就 能保证首先将选择、填空题拿下，然后对于大题的第一个小问争取得分，第二小题能拿几 分算几分。

三、高考核心考点1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等）2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等）3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等）4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算5、了解线性规划的意义及简单应用6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等）8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题四、常规题型及解题的技巧方法A:常规题型方面（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。

高考数学复习解析几何的题型及方法佚名知识整合高考中解析几何试题一样共有4题(2个选择题,1个填空题,1个解答题)，共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。

其命题一样紧扣课本，突出重点，全面考查。

选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。

解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的差不多知识和向量的差不多方法，这一点值得强化。

1。

能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程动身推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能依照已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了。

观看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有打算的先安排与幼儿生活接近的，能明白得的观看内容。

随机观看也是不可少的，是相当有味的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，小孩一边观看，一边提问，爱好专门浓。

我提供的观看对象，注意形象逼真，色彩鲜亮，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观看，保证每个幼儿看得到，看得清。

看得清才能说得正确。

在观看过程中指导。

我注意关心幼儿学习正确的观看方法，即按顺序观看和抓住事物的不同特点重点观看，观看与说话相结合，在观看中积存词汇，明白得词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观看雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么模样的，有的小孩说：乌云像大海的波浪。

有的小孩说“乌云跑得飞速。

”我加以确信说“这是乌云滚滚。

”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。

”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这确实是雷声隆隆。

”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得如何样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观看，让幼儿把握“倾盆大雨”那个词。

雨后，我又带幼儿观看晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。

解析几何题型及解题方法总结
题型：1、求曲线方程(类型确定、类型未定)；2、直线与圆锥曲线的
交点题目(含切线题目)；3、与曲线有关的最(极)值题目；4、与曲线有关
的几何证实(对称性或求对称曲线、平行、垂直)；5、探求曲线方程中几
何量及参数间的数目特征。

解题方法：
1、紧密结合代数知识解题：“求到两定点的距离之比等于常数的点
的轨迹”问题的求解过程中，取平面直角坐标系，使两定点的连线为x轴，且连线段的中点为原点，并设两定点的距离为2b，则两定点分别为M（b，0）N（-b，0），N（x，y）是轨迹上任意一点，常数为n，最终得到轨迹
方程（n2-1）（x2+y2）+2b（n2+1））x+b2（n2-1）=0。

2、充分利用几何图形性质简化解题过程：在对曲线轨迹方程求解的
过程中，通过几何条件，可以对轨迹的曲线类型进行判断，然后通过待定
系数法来求解。

3、用函数（变量）的观点来解决问题：对于解析几何问题而言，由
于线或点发生改变，从而导致图形中其他量的改变，这样类型的题目，往
往可以使用函数的观点来求解。

例如，在次全国高中数学竞赛题中，已知
抛物线y2=6x上的2个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且
1+2=4。

线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求AABC面积的最大值。

高考解析几何的题型及思路解析几何是必考的，常作为压轴题，特点是计算量大。

不过解几题其实很有规律性，解题思路并不难掌握，就是要用代数方法（方程、函数、不等式的思想和方法）研究几何问题，而数形结合思想（主要是利用定义或平面几何知识分析问题）是减少解几综合题计算量的主要手段。

常见的类型题有：（1）、求曲线（动点）的方程：若曲线类型已知，用待定系数法列方程组求解即可。

若给出了单个动点满足的条件，可先判断其是否符合某种曲线的定义，符合即可用待定系数求解，否则用直接法求解。

若条件有两个动点，一般用代入法求解；若条件有三个以上的动点，一般用参数法求解。

（2）求参数或曲线的特征量（如a、b、c、p、离心率、斜率、倾角、面积等）的值。

这类题要用到方程思想求解，即想办法把题目的条件（等量关系）转化为所求变量的方程（组）解之。

（3）求参数或几何量（如角、面积、斜率）的取值范围的问题。

主要是利不等式法或函数法求解。

其中判别式是列不等式的一个重要途径。

通常用韦达定理或题目给出的其它条件来列出变量间的等量关系，再把等量关系代入判别式消元化简解出相关参数的范围。

或利用韦达定理或其它等量关系建立变量间的关系式，把所求变量表示为其它变量的函数，利用求函数值域的方法确定变量的取值范围。

这个函数的定义域通常由判别式或其它条件确定。

（4）直（曲）线过定点问题：关键是求出直（曲）线的方程，当然这个方程必定含有一个参数。

求出方程后观察什么定点的坐标满足。

若观察不出，只要令参数取两个特殊值，然后把得到的两条具体的直（曲）线求交点即得所求定点。

（5）证明定值：证某个式子为定值，即是要求出这个式子的值是什么。

把条件转化为相关的方程（组），消去其中的参数即得。

（6）探索性（存在性）问题：通常转化为对方程根的存在性的讨论。

▲注意向量与解析几何的密切联系.由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，大量的解析几何问题都是以向量作为背景编拟的；▲判别式和韦达定理是解决以直线和圆锥曲线的位置关系为背景的综合问题的必用工具。

高考专题：解析几何常规题型及方法一、高考风向分析：高考解析几何试题一般共有3--4题(1--2个选择题, 0--1个填空题, 1个解答题), 共计20多分, 考察的知识点约为20个左右，其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考察。

选择题和填空题考察直线, 圆, 圆锥曲线中的根底知识，大多概念性较强，小巧灵活，思维多于计算；而解答题重点考察圆锥曲线中的重要知识点及其综合运用,重在考察直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程，以向量为载体，立意新颖，要求学生综合运用所学代数、三角、几何的知识分析问题，解决问题。

二、本章节处理方法建议：纵观历年全国各省市文、理高考试卷，普遍有一个规律：占解几分值接近一半的填空、选择题难度不大，中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中；而占解几分值一 半偏上的解答题得分很不理想，其原因主要表达在以下几个方面：〔1〕解析几何是代数与几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向 量等知识，形成了轨迹、最值、对称、围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合 能力要求最高的容之一〔2〕解析几何的计算量相对偏大〔3〕在大家的"拿可拿之分〞 的理念下，大题的前三道成了兵家必争之地，而排放位置比拟为难的第21题或22题〔有 时20题〕就成了很多人遗忘的角落，加之时间的限制，此题留白的现象比拟普遍。

鉴于解几的特点，建议在复习中做好以下几个方面．1．由于高考中解几容弹性很 大。

有容易题，有中难题。

因此在复习中基调为狠抓根底。

不能因为高考中的解几解答题 较难，就拼命地去搞难题，套新题，这样往往得不偿失；端正心态：不指望将所有的题攻 下，将时间用在稳固根底、对付"跳一跳便可够得到〞的常规题上，这样复习，高考时就 能保证首先将选择、填空题拿下，然后对于大题的第一个小问争取得分，第二小题能拿几 分算几分。

三、高考核心考点1、准确理解根本概念〔如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等〕2、熟练掌握根本公式〔如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等〕3、熟练掌握求直线方程的方法〔如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等〕4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算5、了解线性规划的意义及简单应用6、熟悉圆锥曲线中根本量的计算7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法〔如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等〕8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题四、常规题型及解题的技巧方法A:常规题型方面〔1〕中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法〔点差法〕：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。

2015届高三数学题型与方法专题七：解析几何1【基础知识梳理】班级： 姓名：［例1］已知直线1l 的斜率是33，直线2l 过坐标原点且倾斜角是1l 倾斜角的两倍，则直线2l 的方程为＿＿＿x y 3=.［例2］已知直线l 的方程为)0(,0≠=++ab c by ax 且l 不经过第二象限，则直线l 的倾斜角大小为（ B ）A 、arctana b ； B 、arctan(-a b )； C 、p +arctan a b ； D 、p -arctan a b. ［例3］与圆1)2()1(22=-+-y x 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有――（ B ）A 、2条；B 、3条；C 、4条；D 、5条. ［例4］过点)3,2(P 与坐标原点距离为2的直线方程是＿＿＿026125=+-y x 与2=x.［例5］直线21,l l 斜率相等是21//l l 的――――――――――――――――――（ D ） A 、充分不必要条件；B 、必要不充分条件；C 、充要条件；D 、既不充分又不必要条件.［例6］直线l 过点)3,2(P 与以)3,1(),2,3(--B A 为端点的线段AB 有公共点，则直线l 倾斜角的取值范围是＿＿＿＿＿＿.]43,2[πarctg . ［例7］将一张画有直角坐标系的图纸折叠使点)0,2(A 与点(0,6)B 重合，若点)0,3(C 与点D 重合，则点D 的坐标为 ＿；)528,51(D . ［例8］抛物线C 1：x y 22=关于直线02=+-y x 对称的抛物线为C 2，则C 2的焦点坐标为＿＿＿＿.)25,2(-. ［例9］已知点),(b a 是圆222r yx =+外的一点，则直线2r by ax =+与圆的位置关系是（ C ）A 、相离；B 、相切；C 、相交且不过圆心；D 、相交且过圆心. ［例10］若圆O ：222r y x =+上有且只有两点到直线01543:=-+y x l 的距离为2，则圆的半径r 的取值范围是＿＿＿＿.51<<r.［例11］二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是＿＿＿＿＿；04,0,022>-+=≠=AF E D B C A .［例12］已知圆C 被y 轴截得的弦长是2，被x 轴分成的两段弧长之比为3:1，求圆心C 的轨迹方程.1222=-x y . ［例13］直线l 过定点)0,4(M 与圆422=+yx 交于A 、B 两点，则弦AB 中点N 的轨迹方程为＿＿＿＿＿；4)2(22=+-y x （)10<≤x .［例14］直线l 过定点)0,4(M 与圆422=+y x 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，则△AOB 面积的最大值为＿＿＿＿＿＿＿；2.［例15］已知A 是圆064222=-+-+y ax y x 上任意一点，点A 关于直线012=++y x 的对称点也在圆上，那么实数a 的值为＿＿＿3＿＿.［例16］已知动圆C 与定圆M ：1)2(22=+-y x 相切，且与y 轴相切，则圆心C 的轨迹方程是＿＿；)21(62-=x y 与232()2y x =-.［例17］已知)3,0(M ，一动圆I 过点M 与圆N ：16)3(22=++y x 内切.（1）求动圆圆心I 的轨迹C 的方程；（2）经过点(2,0)Q 作直线l 交曲线C 于A 、B 两点，设+=，当四边形OAPB 的面积最大时，求直线l 的方程.（1）1422=+y x . （2）由OB OA OP +=知，四边形OAPB 是平行四边形.要使得四边形OAPB 面积最大，则△OAB 的面积最大，注意变化中的定值条件.△OAB 的面积是△AOQ 的面积与△BOQ 的面积之差.设A ),(),,(2211y x B y x ，则12||||||AOB S y y ∆=-.可在联立方程组时，消去变量x ，保留y .设直线l 的方程为2x my =+，由22221(41)1612042y x m y my x my ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩.由△=22(16)412(41)0m m -⨯⨯+>，得2430m ->. 由韦达定理得：1212221612,4141m y y y y m m +=-=++知021>y y .则12||||||AOBS y y ∆=-=||21y y-==.令243(0)m t t -=>，那么：2S ==≤=，当16tt =时等号成立.此时274m =，即所求的直线方程为42x y =±+. ［例18］已知复数z 满足4|2||2|=++-i z i z ，则z 对应点的轨迹是＿＿＿＿＿＿＿；以i 2与i 2-对应点为端点的线段.［例19］设P 是以21,F F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一点，若点P 满足：21,02121=∠=⋅F PF tg PF PF ，则椭圆的焦距与长轴的比值为―――――――――（ D ）A 、21； B 、32； C 、31； D 、35.［例20］一直线l 过椭圆12422=+y x 的左焦点，被椭圆截得的弦长为2，则直线l 的方程2-=x . ［例21］椭圆13422=+y x 上有2007个不同的点200721,,,P P P ，椭圆的右焦点为F ，数列)2007,,3,2,1|}({| =n FP n 是公差为d 的等差数列，则d 的取值范围是＿＿＿＿＿.]10031,0()0,10031[ -∈d . ［例22］已知点)0,2(),0,2(B A -，点C 在直线1=y 上满足BC AC ⊥，则以A 、B 为焦点过点C 的椭圆方程为＿＿＿.12622=+y x . ［例23］一双曲线C 以椭圆12422=+x x 的焦点为顶点，长轴顶点为焦点，则此双曲线的方程为＿＿＿.12222=-y x .［例24］一双曲线与1322=-y x 有共同渐近线且与椭圆1322=+y x 有共同焦点，则此双曲线的方程为＿＿＿＿＿＿＿＿；21322=-y x . ［例25］若关于x 的方程)2(12+=-x k x 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是＿＿＿.10<≤k .［例26］已知双曲线的方程为116922=-y x ，P 是双曲线上的一点，F 1、F 2分别是它的两个焦点，若7||1=PF ，则=||2PF ＿13；［例27］椭圆12622=+y x 和双曲线221x y a-=的公共焦点为21,F F ，P 是它们的一个公共点，则=∠21cos PF F ＿＿＿＿＿；31cos 21=∠PF F .［例28］双曲线)1(122>=-n y nx 的两焦点为P F F ,,21是此双曲线上的一点，且满足||||21PF PF +＝22+n ，则△21F PF 的面积为＿＿＿1＿＿＿＿＿.［例29］抛物线24x y =的焦点坐标是＿＿)161,0(＿＿＿；准线方程是＿＿161-=y ＿＿［例30］已知抛物线的焦点为)1,1(F ，对称轴为x y =，且过M （3,2），则此抛物线的准线方程为＿＿0105=±-+y x ＿； ［例31］直线l 过抛物线y x 42=的焦点与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 两点到x 轴的距离之和等于3，则这样的直线l 有（ B ）A 、1条；B 、2条；C 、3条；D 、不存在.［例32］直线l 过抛物线的焦点与抛物线交于A 、B 两点，O 是抛物线的顶点，则△ABO 的形状是（ C ） A 、直角三角形；B 、锐角三角形；C 、钝角三角形；D 、不确定与抛物线的开口大小有关. [例33]求证：过抛物线)0(22>=p px y 焦点的所有弦长的最小值是p 2.分析：本例的证明方法很多.设其焦点弦为AB ，),(),,(2211y x B y x A ，则由抛物线的定义知12||2AB x x p p p p =++≥==.当且仅当21x x =时等号成立.此时直线AB 与对称轴垂直.［例34］已知点M 是椭圆12222=+by a x 的一条不垂直于对称轴的弦AB 的中点，O 是坐标原点，设OM 、AB 的斜率分别为21,k k ，则21k k ⋅＝―――――――――――――（ C ）A 、22b a ；B 、22a b ；C 、22a b -；D 、22ba -.［例35］设直线l 过椭圆1422=+y x 的右焦点，与椭圆相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，当△OAB 的面积最大时，求直线l 的方程.分析：由题可设直线l ：3+=my x 代入椭圆方程中得：0132)4(22=-++my y m ，设),(),,(2211y x B y x A ，可得△OAB 的面积S=||23|)||(|232121y y y y -=+，可得：619)1(132)4(13244)4(1223222222222++++=++=+++=m m m m m m m S ，则当312=+m 时，S 有最大值为1.此时直线l 方程为：32+±=y x .［例36］设点P 为双曲线1422=-y x 上的动点，F 是它的左焦点，M 是线段PF 的中点，则点M 的轨迹方程是＿＿＿＿＿；14)25(22=--y x ［例37］已知椭圆的焦点是21,F F ，P 是椭圆上的一个动点.如果延长P F 1到Q ，使得||||2PF PQ =，那么动点Q 的轨迹是（ A ）A 、圆；B 、椭圆；C 、双曲线的一支；D 、抛物线.［例38］已知直线l 过点)1,1(M ，双曲线C ：1322=-y x .（1）若直线l 与双曲线有且仅有一个公共点，求直线l 的方程；（2）若直线与双曲线的右支有两个不同的交点，求直线l 斜率的取值范围； （3）是否存在直线l 使其与双曲线的有两个不同的交点A 、B ，且以AB 为直径的圆过坐标原点？若存在求出此直线的斜率，不存在说明理由.分析：（1）当直线l 与x 轴垂直时，直线1=x 满足题义.当直线l 与x 轴不垂直时，设直线方程为)1(1-=-x k y ，联立得方程：0)42()1(2)3(222=+-----k k x k k x k ---（*） 当032=-k时，方程（*）是一次方程，直线l 与双曲线有一个公共点，此时直线l 方程为)1(31-±=-x y .当032≠-k 时，由△02448=-=k ，得2=k ，所以满足题义的直线l 为：)1(31,012,1-±=-=--=x y y x x . （2）直线l 与双曲线的右支有两个不同的交点，则方程（*）有两不等的正根.由△k2448-=0>，知2<k 且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+-=⋅>--=+034203)1(22221221k k k x x k k k x x ，得23<<k 或3-<k . （3）若以AB 为直径的圆过坐标原点，则0=⋅，设),(),,(2211y x B y x A ，即02121=+y y x x .0)1())(1()1(221212=-++-++k x x k k x x k ， 0142=++k k ，32±-=k （满足)2<k［例39］倾角为3π的直线l 过抛物线x y 42=的焦点F 与抛物线交于A 、B 两点，点C 是抛物线准线上的动点.（1）△ABC 能否为正三角形？ （2）若△ABC 是钝角三角形，求点C 纵坐标的取值范围.分析：（1）直线l 方程为)1(3-=x y ，由x y 42=可得)332,31(),32,3(-B A .若△ABC 为正三角形，则3π=∠CAB ，由3π=∠AFx ，那么CA 与x 轴平行，此时4||=AC ，又3162313||=++=AB .与|AC|=|AB|矛盾，所以△ABC 不可能是下正三角形.（2）设),1(m C -，则}332,34{},32,4{m m --=-=，2)332(-=⋅m 不可以为负，所以ACB ∠不为钝角.若CAB ∠为钝角，则0<⋅，}338,38{=，则0)32(338332<-+m ，得3310>m.若角ABC ∠为钝角，则0<⋅且C 、B 、A 不共线.可得332-<m 且36-≠m . 综上知，C 点纵坐标的取值范围是),3310()332,36()36,(+∞----∞ . 2015届高三数学题型与方法专题七：解析几何2【典型题型方法】班级： 姓名：一、轨迹问题例1、如图，已知圆C ：2)1(-x ＋2y ＝2r （r ＞1），设M 为圆C 与x 轴左半轴的交点，过M 作圆C 的弦MN ，并使它的中点P 恰好落在y 轴上．（1）当r ＝2时，求满足条件的P 点的坐标； （2）当r ∈（1，＋∞）时，求N 的轨迹G 方程；（3）过点Q （0，2）的直线l 与（2）中轨迹G 相交于两个不同的点A ，B ，若CA --→CB --→⋅＞0，求直线l 的斜率的取值范围．解：（1）由已知得，当r ＝2时，可求得M 点的坐标为（－1，0）．设P （0，b ），则由MP CP k k ⋅＝－1，得：2b ＝1，所以b ＝±1，即点P 坐标为（0，±1）．（2）设N （x ，y ），由已知得，在圆方程中令y ＝0，得M 点的坐标为（1－r ，0）．由MP CP k k ⋅＝－1，得：r ＝2b ＋1．因为点P 为线段MN 的中点，所以x ＝r －1＝2b ，y ＝2b ，又x ＞1， 所以点N 的轨迹方程为：2y ＝4x （x ＞0）． （3）设直线l 的方程为：y ＝kx ＋2，M （1x ，1y ），N （2x ，2y ），⎩⎨⎧=+=xy kx y 422，消去y ，得：22x k ＋x k )44(-＋4＝0． ∵直线l 与抛物线2y ＝4x （x ＞0）相交于两个不同的点A ，B ， ∴△＝－32k ＋16＞0，得：k ＜21． 又因为CA --→CB --→⋅＞0，∴)1)(1(21--x x ＋21y y ＞0，⇒212)1(x x k +＋))(12(21x x k +-＋5＞0，2k ＋12k ＞0，∴k ＞0或k ＜－12． 综上可得：0＜k ＜21或k ＜－12．例2、如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点和上顶点分别为1F 、2F 、B ，我们称12F BF ∆为椭圆C的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为 椭圆的相似比.（1）已知椭圆221:14x C y +=和222:1164x y C +=，判断2C 与1C 是否相似，如果相似则求出2C 与1C 的相似比，若不相似请说明理由； （2）已知直线:1l y x =+,与椭圆1C 相似且半短轴长为b 的椭圆b C 的方程，在椭圆b C 上是否存在两点M 、N 关于直线l 对称，若存在，则求出函数()f b MN =的解析式.（3）根据与椭圆1C 相似且半短轴长为b 的椭圆b C 的方程，提出你认为有价值的相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；解：（1）椭圆2C 与1C 相似. 因为2C 的特征三角形是腰长为4，底边长为32的等腰三角形，而椭圆1C 的特征三角形是腰长为2，底边长为3的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为2:1（2）椭圆b C 的方程为：)0(142222>=+b by b x . 假定存在，则设M 、N 所在直线为y x t =-+，MN 中点为()00,x y .则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=142222b y bx tx y 0)(485222=-+-⇒b t xt x . 所以5,5420210t y t x x x ==+=.中点在直线1y x =+上，所以有35-=t .（3）椭圆b C 的方程为：)0(142222>=+b by b x . 两个相似椭圆之间的性质有：（1）两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方；（2）分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似，相似比即为椭圆的相似比；（3）两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合； （4）过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比.二、最值问题例3、已知椭圆,1ny m x 22=+常数m 、n +∈R 且m>n (1) 当m=25,n=21时,过椭圆左焦点F 的直线交椭圆于点P,与y 轴交于点Q, 若FP 2QF =,求直线PQ 的斜率；（2）过原点且斜率分别为k 和k -(1k ≥)的两条直线与椭圆,1ny m x 22=+的交点A 、B 、C 、D （按逆时针顺序排列，A 位于第一象限内），试用k 表示四边形ABCD 的面积S （3）求S 的最大值。

⾼考专题复习—解析⼏何的题型与⽅法（精髓版）20XX 届⾼三数学题型与⽅法专题七：解析⼏何1【基础知识梳理】班级：姓名：［例1］已知直线1l 的斜率是33，直线2l 过坐标原点且倾斜⾓是1l 倾斜⾓的两倍，则直线2l 的⽅程为＿＿＿x y 3=.［例2］已知直线l 的⽅程为)0(,0≠=++ab c by ax 且l 不经过第⼆象限，则直线l 的倾斜⾓⼤⼩为（ B ）A 、arctana b ； B 、arctan(-a b )； C 、p +arctan a b ； D 、p -arctan a b. ［例3］与圆1)2()1(22=-+-y x 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有――（ B ）A 、2条；B 、3条；C 、4条；D 、5条. ［例4］过点)3,2(P 与坐标原点距离为2的直线⽅程是＿＿＿026125=+-y x 与2=x.［例5］直线21,l l 斜率相等是21//l l 的――――――――――――――――――（ D ） A 、充分不必要条件；B 、必要不充分条件；C 、充要条件；D 、既不充分⼜不必要条件. ［例6］直线l 过点)3,2(P 与以)3,1(),2,3(--B A 为端点的线段AB 有公共点，则直线l 倾斜⾓的取值范围是＿＿＿＿＿＿.]43,2[πarctg . ［例7］将⼀张画有直⾓坐标系的图纸折叠使点)0,2(A 与点(0,6)B 重合，若点)0,3(C 与点D 重合，则点D 的坐标为＿；)528,51(D . ［例8］抛物线C 1：x y 22=关于直线02=+-y x 对称的抛物线为C 2，则C 2的焦点坐标为＿＿＿＿.)25,2(-. ［例9］已知点),(b a 是圆222r yx =+外的⼀点，则直线2r by ax =+与圆的位置关系是（ C ）A 、相离；D 、相交且过圆⼼. ［例10］若圆O ：222r yx =+上有且只有两点到直线01543:=-+y x l 的距离为2，则圆的半径r 的取值范围是＿＿＿＿.51<.［例11］⼆次⽅程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表⽰圆的充要条件是＿＿＿＿＿；04,0,022>-+=≠=AF E D B C A .［例12］已知圆C 被y 轴截得的弦长是2，被x 轴分成的两段弧长之⽐为3:1，求圆⼼C 的轨迹⽅程.1222=-x y .［例13］直线l 过定点)0,4(M 与圆422=+yx 交于A 、B 两点，则弦AB 中点N 的轨迹⽅程为＿＿＿＿＿；4)2(22=+-y x （)10<≤x . ［例14］直线l 过定点)0,4(M 与圆422=+y x 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，则△AOB ⾯积的最⼤值为＿＿＿＿＿＿＿；2.［例15］已知A 是圆064222=-+-+y ax y x 上任意⼀点，点A 关于直线012=++y x 的对称点也在圆上，那么实数a 的值为＿＿＿3＿＿.［例16］已知动圆C 与定圆M ：1)2(22=+-y x 相切，且与y 轴相切，则圆⼼C 的轨迹⽅程是＿＿；)21(62-=x y 与232()2y x =-.［例17］已知)3,0(M ，⼀动圆I 过点M 与圆N ：16)3(22=++y x 内切.（1）求动圆圆⼼I 的轨迹C 的⽅程；（2）经过点(2,0)Q 作直线l 交曲线C 于A 、B 两点，设OB OA OP +=，当四边形OAPB 的⾯积最⼤时，求直线l 的⽅程.（1）14=+y x . （2）由+=知，四边形OAPB 是平⾏四边形.要使得四边形OAPB ⾯积最⼤，则△OAB 的⾯积最⼤，注意变化中的定值条件.△OAB 的⾯积是△AOQ 的⾯积与△BOQ 的⾯积之差.设A ),(),,(2211y x B y x ，则12||||||AOB S y y ?=-.可在联⽴⽅程组时，消去变量x ，保留y .设直线l 的⽅程为2x my =+，由22221(41)1612042y x m y my x my ?+=??+++=??=+?.由△=22(16)412(41)0m m -??+>，得2430m ->. 由韦达定理得：1212221612,4141m y y y y m m +=-=++知021>y y .则12||||||AOBS y y ?=-=||21y y-==.令243(0)m t t -=>，那么：2S ==≤=，当16t t =时等号成⽴.此时274m =，即所求的直线⽅程为42x y =±+.［例18］已知复数z 满⾜4|2||2|=++-i z i z ，则z 对应点的轨迹是＿＿＿＿＿＿＿；以i 2与i 2-对应点为端点的线段.［例19］设P 是以21,F F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的⼀点，若点P 满⾜：2121； B 、32； C 、31； D 、35.［例20］⼀直线l 过椭圆12422=+y x 的左焦点，被椭圆截得的弦长为2，则直线l 的⽅程2-=x .［例21］椭圆13422=+y x 上有2007个不同的点200721,,,P P P ，椭圆的右焦点为F ，数列)2007,,3,2,1|}({| =n FP n 是公差为d 的等差数列，则d 的取值范围是＿＿＿＿＿.]10031,0()0,10031[ -∈d .［例22］已知点)0,2(),0,2(B A -，点C 在直线1=y 上满⾜BC AC ⊥，则以A 、B 为焦点过点C 的椭圆⽅程为＿＿＿.12622=+y x . ［例23］⼀双曲线C 以椭圆12422=+x x 的焦点为顶点，长轴顶点为焦点，则此双曲线的⽅程为＿＿＿.12222=-y x . ［例24］⼀双曲线与1322=-y x 有共同渐近线且与椭圆1322=+y x 有共同焦点，则此双曲线的⽅程为＿＿＿＿＿＿＿＿；21322=-y x .［例25］若关于x 的⽅程)2(12+=-x k x 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是＿＿＿.10<≤k.［例26］已知双曲线的⽅程为116922=-y x ，P 是双曲线上的⼀点，F 1、F 2分别是它的两个焦点，若7||1=PF ，则=||2PF ＿13；［例27］椭圆12622=+y x 和双曲线221x y a-=的公共焦点为21,F F ，P 是它们的⼀个公共点，则=∠21cos PF F ＿＿＿＿＿；31>=-n y nx 的两焦点为P F F ,,21是此双曲线上的⼀点，且满⾜||||21PF PF +＝22+n ，则△21F PF 的⾯积为＿＿＿1＿＿＿＿＿.［例29］抛物线24x y =的焦点坐标是＿＿)161,0(＿＿＿；准线⽅程是＿＿161-=y ＿＿［例30］已知抛物线的焦点为)1,1(F ，对称轴为x y =，且过M （3,2），则此抛物线的准线⽅程为＿＿0105=±-+y x ＿；［例31］直线l 过抛物线y x 42=的焦点与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 两点到x 轴的距离之和等于3，则这样的直线l 有（ B ）A 、1条；B 、2条；C 、3条；D 、不存在.［例32］直线l 过抛物线的焦点与抛物线交于A 、B 两点，O 是抛物线的顶点，则△ABO 的形状是（ C ）A 、直⾓三⾓形；B 、锐⾓三⾓形；C 、钝⾓三⾓形；D 、不确定与抛物线的开⼝⼤⼩有关. [例33]求证：过抛物线)0(22>=p px y 焦点的所有弦长的最⼩值是p 2.分析：本例的证明⽅法很多.设其焦点弦为AB ，),(),,(2211y x B y x A ，则由抛物线的定义知12||2AB x x p p p p=++≥==.当且仅当21xx=时等号成⽴.此时直线AB与对称轴垂直.［例34］已知点M是椭圆12=+byax的⼀条不垂直于对称轴的弦AB的中点，O是坐标原点，设OM、AB的斜率分别为21,kk，则21kk?＝―――――――――――――（ C ）A、22ba；B、22ab；C、22ab-；D、22［例35］设直线l过椭圆1422=+yx的右焦点，与椭圆相交于A、B两点，O是坐标原点，当△OAB的⾯积最⼤时，求直线l的⽅程.分析：由题可设直线l：3+=myx代⼊椭圆⽅程中得：0132)4(22=-++myym，设),(),,(2211A，可得△OAB的⾯积S=| |23|)||(|232121yyyy-=+，可得：619)1(132)4()4 ( 12 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + + = + + = + + + = m m m m则当312=+m时，S有最⼤值为1.此时直线l⽅程为：32+±=yx.［例36］设点P为双曲线1422=-yx上的动点，F是它的左焦点，M是线段PF的中点，则点M的轨迹⽅程是＿＿＿＿＿；1 4)25(22=--yx［例37］已知椭圆的焦点是21,FF，P是椭圆上的⼀个动点.如果延长PFPQ=，那么动点Q的轨迹是（ A ）A、圆；B、椭圆；C、双曲线的⼀⽀；D、抛物线.［例38］已知直线l过点)1,1(M，双曲线C：1322=-yx.（1）若直线l与双曲线有且仅有⼀个公共点，求直线l的⽅程；（2）若直线与双曲线的右⽀有两个不同的交点，求直线l斜率的取值范围；（3）是否存在直线l使其与双曲线的有两个不同的交点A、B，且以AB为直径的圆过坐标原点？若存在求出此直线的斜率，不存在说明理由.分析：（1）当直线l与x轴垂直时，直线1=x满⾜题义.当直线l与x轴不垂直时，设直线⽅程为)1(1-=-xky，联⽴得⽅程：0)42()1(+-----kkxkkxk---（*）当032=-k时，⽅程（*）是⼀次⽅程，直线l与双曲线有⼀个公共点，此时直线l⽅程为)1(31-±=-xy.当032≠-k时，由△02448=-=k，得2=k，所以满⾜题义的直线l为：)1(3=-=--=xyyxx.（2）直线l与双曲线的右⽀有两个不同的交点，则⽅程（*）有两不等的正根.由△k2448-=0>，知2<k且>-+-=3423)1(22221221kkkxxkkkxx，得2 3<-<k02121=+y y x x .0)1())(1()1(221212=-++-++k x x k k x x k ， 0142=++k k ，32±-=k （满⾜)2［例39］倾⾓为3π的直线l 过抛物线x y 42=的焦点F 与抛物线交于A 、B 两点，点C 是抛物线准线上的动点.（1）△ABC 能否为正三⾓形？（2）若△ABC 是钝⾓三⾓形，求点C 纵坐标的取值范围.分析：（1）直线l ⽅程为)1(3-=x y ，由x y 42=可得)332,31(),32,3(-B A .若△ABC 为正三⾓形，则3π=∠CAB ，由3π=∠AFx ，那么CA 与x 轴平⾏，此时4||=AC ，⼜3162313||=++=AB .与|AC|=|AB|⽭盾，所以△ABC 不可能是下正三⾓形.（2）设),1(m C -，则}332,34{},32,4{m m --=-=，2)332(-=?m 不可以为负，所以ACB ∠不为钝⾓.若CAB ∠为钝⾓，则038{=BA ，则0)32(338332<-+m ，得3310>m . 若⾓ABC ∠为钝⾓，则032-310()332,36()36,(+∞----∞ .20XX 届⾼三数学题型与⽅法专题七：解析⼏何2【典型题型⽅法】班级：姓名：⼀、轨迹问题（2）当r ∈（1，＋∞）时，求N 的轨迹G ⽅程；（3）过点Q （0，2）的直线l 与（2）中轨迹G 相交于两个不同的点A ，B ，若CA --→CB --→＞0，求直线l 的斜率的取值范围．解：（1）由已知得，当r ＝2时，可求得M 点的坐标为（－1，0）．设P （0，b ），则由MP CP k k ?＝－1，得：2b ＝1，所以b ＝±1，即点P 坐标为（0，±1）．（2）设N （x ，y ），由已知得，在圆⽅程中令y ＝0，得M 点的坐标为（1－r ，0）．由MP CP k k ?＝－1，得：r ＝2b ＋1．因为点P 为线段MN 的中点，所以x ＝r －1＝2b ，y ＝2b ，⼜x ＞1，所以点N 的轨迹⽅程为：2y ＝4x （x ＞0）．（3）设直线l 的⽅程为：y ＝kx ＋2，M （1x ，1y ），N （2x ，2y ），=+=xy kx y 422，消去y ，得：22x k ＋x k )44(-＋4＝0．∵直线l 与抛物线2y ＝4x （x ＞0）相交于两个不同的点A ，B ，∴△＝－32k ＋16＞0，得：k ＜21．⼜因为CA --→CB --→＞0，∴)1)(1(21--x x ＋21y y ＞0，212)1(x x k +＋))(12(21x x k +-＋5＞0，2k ＋12k ＞0，∴k ＞0或k ＜－12．综上可得：0＜k ＜21或k ＜－12．例2、如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点和上顶点分别为1F 、2F 、B ，我们称12F BF ?为椭圆C 的特征三⾓形.如果两个椭圆的特征三⾓形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三⾓形的相似⽐即为椭圆的相似⽐.（1）已知椭圆221:14x C y +=和222:1164x y C +=，判断2C 与1C 是否相似，如果相似则求出2C 与1C 的相似⽐，若不相似请说明理由；（2）已知直线:1l y x =+,与椭圆1C 相似且半短轴长为b 的椭圆b C 的⽅程，在椭圆b C 上是否存在两点M 、N 关于直线l 对2，底边长为3的等腰三⾓形，因此两个等腰三⾓形相似，且相似⽐为2:1（2）椭圆b C 的⽅程为：)0(142222>=+b by b x . 假定存在，则设M 、N 所在直线为y x t =-+，MN 中点为()00,x y .则=++-=142222b y bx tx y 0)(485222=-+-?b t xt x . 所以5,5420210t y t x x x ==+=.中点在直线1y x =+上，所以有35-=t. 12x x -==12()f b MN x b ==-=> （3）椭圆b C 的⽅程为：)0(142222>=+b by b x . 两个相似椭圆之间的性质有：（1）两个相似椭圆的⾯积之⽐为相似⽐的平⽅；（2）分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似，相似⽐即为椭圆的相似⽐；（3）两个相似椭圆被同⼀条直线所截得的线段中点重合；（4）过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之⽐恰为椭圆的相似⽐.⼆、最值问题例3、已知椭圆,1ny m x 22=+常数m 、n +∈R 且m>n (1) 当m=25,n=21时,过椭圆左焦点F 的直线交椭圆于点P,与y 轴交于点Q, 若FP 2QF =,求直线PQ 的斜率；（2）过原点且斜率分别为k 和k -(1k ≥)的两条直线与椭圆,1ny m x 2解：（1）椭圆121y 25x 22=+，)0,2(F - ，设P )t ,0(Q ),y ,x (00 ()()00y ,2x FP ,t ,2QF +=--=，?=FP 2QF ??-=-=?=-+=-2t y 3x y 2t )2x (22000052142t k 5218t 121y 25x 2020±==?±=?=+ （2）根据椭圆的对称性知四边形ABCD 为矩形，设)0y ,0x )(y ,x (A 1111>> 设kx y :l =与椭圆⽅程,mn my nx 22=+nmk mnx mn x mk nx 21222+==+ )1k (nmk kmn4y x 4S kx y 21111≥+==?=（3）)1k (kn mk mn4S ≥+=,当1mn ,n m ,m n k k n mk <∴>== 时，即⼜[)上单调递增，在∞+∈+∴≥1k k n mk ,1k 0n m kn mk >+≥+? nm mn 4S 1k ,n m mn 4S max +==+≤∴时，当例4、已知直线L 1：y=kx+1与双曲线1y x :C 221=-的左⽀交于A 、B 两点，（1）求k 的取值范围；（2）直线L 经过点P （-2，0）及线段AB 的中点Q ，CD 是y 轴上的⼀条线段，对任意的直线L 都与线段CD ⽆公共点，试问CD 长的最⼤值是否存在，若存在，求出这个最⼤值；若不存在，请说明下由。

高三复习阶段如何备考数学解析几何题数学解析几何是高中数学中一个重要且难度较大的部分，对于广大高三学生来说，备考解析几何题是提高数学成绩的关键。

在高三复习阶段，如何备考数学解析几何题是一个需要认真思考和制定合适策略的问题。

本文将介绍一些备考数学解析几何题的方法和技巧，希望对广大高三学生有所帮助。

一、理清解析几何基本概念在备考数学解析几何题之前，首先要对解析几何的基本概念进行理解和掌握。

解析几何是通过代数方法研究几何问题的一门学科，需要对点、直线、平面、坐标系等基本概念有清晰的认识。

可以通过查阅教材、参考书或互联网资源来进行学习和总结，建立起扎实的基础。

二、掌握解析几何常用定理和公式在备考数学解析几何时，了解和记忆一些常用的定理和公式是非常重要的。

例如，直线的方程、两点间距离公式、两条直线的关系等。

可以利用复习资料和习题集进行有针对性的练习，加深对这些定理和公式的理解和记忆。

三、多做解析几何题并总结题型特点高三复习阶段，多做解析几何的相关题目是必不可少的。

在做题过程中，要注意总结题目的特点和解题方法。

可以将解析几何题型分成平面几何和空间几何两部分，分别进行钻研。

通过大量的练习，可以熟悉各种题型，掌握解析几何的解题技巧。

四、注重解析几何与其他数学知识的综合运用解析几何与代数、函数、三角等数学知识有密切关联，在备考过程中要注重解析几何与其他数学知识的综合运用能力。

可以通过做综合性的题目或者跨章节的大题来加强解析几何与其他数学知识之间的联系，提高解题的能力。

五、注意解题技巧和思维方法的培养解析几何是一门需要思维灵活的学科，解题过程中需要注意一些常用的解题技巧和思维方法。

例如，利用图形的对称性、利用坐标系进行变换等。

在备考过程中，可以参考一些解析几何解题技巧的书籍或者教材，培养自己的解题思维。

六、做好错题和习题的整理与总结在备考过程中，及时整理和总结做错的题目是非常必要的。

可以将做错的题目整理成错题集，进行详细的分析和解答。

2024高考数学解析几何知识点总结与题型分析随着时间的推移，我们离2024年的高考越来越近。

数学作为高考的一门重要科目，解析几何是其中的一个重点内容。

为了帮助同学们更好地复习解析几何，并在高考中取得好成绩，本文将对2024高考数学解析几何的知识点进行总结与题型分析。

1. 直线与平面1.1 直线的方程直线的一般方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。

根据直线的特点，我们可以将其方程转化为其他形式，如点斜式、两点式、截距式等，以便于解题。

1.2 平面的方程平面的一般方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D为常数。

类似于直线的情况，根据平面的性质，我们可以将其方程转化为点法式、截距式等形式。

2. 空间几何体2.1 球球是解析几何中的一个重要概念。

其方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2，其中(a, b, c)为球心坐标，r为半径长度。

2.2 圆锥曲线圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。

通过对几何体的方程进行适当的变化，可以得到不同类型的圆锥曲线方程。

掌握其特点和方程形式，对于解析几何的学习非常重要。

3. 空间几何关系3.1 直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系包括相交、平行、重合等情况。

根据两条直线的方程，我们可以通过求解方程组或直线的斜率等方式，判断它们之间的空间位置关系。

3.2 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系包括相交、平行、重合等情况。

根据直线的方程和平面的方程，我们可以通过代入求解或者检验点的方法，判断它们之间的位置关系。

4. 解析几何的常见题型4.1 直线与平面的交点求解给定直线和平面的方程，我们需要求解它们的交点。

通过将直线方程代入平面方程中，可以得到关于未知变量的方程组，进而求解出交点的具体坐标。

4.2 距离计算在解析几何中，我们常常需要计算点、直线或平面之间的距离。

对于给定的两点，我们可以利用距离公式进行计算；对于直线和平面，我们可以利用点到直线/平面的距离公式进行计算。

高考数学专题辅导解析几何的题型与方法解几四大热点：（一）解几的证明问题； （二）解几参数范围确定问题； （三）定值、最值问题； （四）轨迹问题与求曲线方程。

四大知识重组：（一）解几与向量组合； （二）解几与立几组合 （三）解几与数列组合； （四）解几与导数组合 重点考查知识点（一）直线与圆锥曲线； （二）各参数及其几何意义 常用数学思想与方法（1）函数方程思想； （2）等价转化； （3）分类讨论； （4）数形结合。

**（一）联系判别式和韦达定理；（二）注意运用定义解题； （三）注意平几与三角知识运用。

范例及其解法例1．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点)0)(0,(>c c F 的准线l 与x 轴相交于点A ，||2||FA OF =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。

(I) 求椭圆的方程及离心率；(II)若,0.=OQ OP 求直线PQ 的方程；(III)设)1(>=λλAQ AP ，过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ， 证明FQ FM λ-=。

（天津2004高考理科试题）解题分析：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

（重点注意：解几证明题的求解特色）(I)解：由题意，可设椭圆的方程为22221(2).x y a a b+=>由已知得2222,2().a c a c c c ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩解得 6, 2.a c ==所以椭圆的方程为22162x y +=，离心率63e = 。

4分 (II)解： 由(I)可得(3,0).A设直线PQ 的方程为(3).y k x =-由方程组22162(3)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得 2222(31)182760.k x k x k +-+-= 依题意 212(23)0,k ∆=->得66k << 设 1122(,),(,),P x y Q x y 则212218,31k x x k +=+ ① 2122276..31k x x k -=+ ② 由直线PQ 的方程得 1122(3),(3).y k x y k x =-=-于是2212121212(3)(3)[3()9].y y k x x k x x x x =--=-++ ③1212.0,0.OPOQ x x y y =∴+= ④ 。

高考解析几何解答题的类型与解决策略Ⅰ.求曲线的方程 1．曲线的形状已知 这类问题一般可用待定系数法解决。

例1 （1994年全国）已知直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。

若点A （-1，0）和点B （0，8）关于L 的对称点都在C 上，求直线L 和抛物线C 的方程。

分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。

设出它们的方程，L ：y=kx(k ≠0),C:y 2=2px(p>0).设A 、B 关于L 的对称点分别为A /、B /，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：A /（12,11222+-+-k k k k ），B /（1)1(8,116222+-+k k k k ）。

因为A /、B /均在抛物线上，代入，消去p ，得：k 2-k-1=0.解得：k=251+,p=552. 所以直线L 的方程为：y=251+x,抛物线C 的方程为y 2=554x. 例2 (1993年全国)在面积为1的△PMN 中，tanM=21,tanN=-2,建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过点P 的椭圆方程。

分析：此题虽然与例1一样都是求形状已知的曲线方程问题，但不同的是例1是在给定的坐标系下求曲线的标准方程，而此题需要自己建立坐标系。

为使方程简单，应以MN 所在直线为x 轴，以MN 的垂直平分线为y 轴。

这样就可设出椭圆的标准方程，其中有两个未知数。

1315422=+y x 2．曲线的形状未知-----求轨迹方程例3 （1994年全国）已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：x 2+y 2=1, 动点M 到圆C 的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ>0）,求动点M 的轨迹方程，并说明它是什么曲线。

分析：如图，设MN 切圆C 于点N ，则动点M 组成的集合是：P={M||MN|=λ|MQ|}，由平面几何知识可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，将M 点坐标代入，可得：(λ2-1)(x 2+y 2)-4λ2x+(1+4λ2)=0.当λ=1时它表示一条直线；当λ≠1时，它表示圆。

解析几何七种常规题型及方法常规题型及解题的技巧方法 A ：常规题型方面 一、一般弦长计算问题：例1、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x yl a b-=被椭圆C 截得的弦长为3e =,过椭圆C 2l 被椭圆C 截的弦长AB, ⑴求椭圆的方程；⑵弦AB 的长度。

思路分析：把直线2l 的方程代入椭圆方程,利用韦达定理和弦长公式求解.解析:⑴由1l 被椭圆C 截得的弦长为，得228a b +=，………①又e =，即2223c a =，所以223a b =………………………….②联立①②得226,2a b ==，所以所求的椭圆的方程为22162x y +=.⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ，∴2l 的方程为:)2y x -, 代入椭圆C 的方程,化简得,251860x x -+= 由韦达定理知，1212186,55x x x x +==从而12x x -==由弦长公式，得12AB x =-==，即弦AB 的长度为5点评：本题抓住1l 的特点简便地得出方程①，再根据e 得方程②，从而求得待定系数22,a b ，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时,常用韦达定理与弦长公式.二、中点弦长问题：具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）:设曲线上两点为(,)x y 11,(,)x y 22,代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。

过A （2,1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。

分析：设P x y 111(,),P x y 222(,)代入方程得x y 121221-=，x y 222221-=。

两式相减得()()()()x x x x y y y y 12121212120+--+-=.又设中点P(x,y ），将x x x 122+=,y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x yy y x x ---=·。

解析几何问题的题型与方法例1、椭圆22221(,0)x y a b a b+=>的两个焦点F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，且P F 1⊥F 1F 2,,| P F 1|=34,,| P F 2|=314.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若直线L 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心M 交椭圆于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线L的方程。

解法一：(Ⅰ)因为点P 在椭圆C 上，所以6221=+=PF PF a ，a=3. 在Rt △PF 1F 2中，,52212221=-=PF PF F F 故椭圆的半焦距c =5,从而b 2=a 2－c 2=4,所以椭圆C 的方程为4922y x +＝1. (Ⅱ)设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）、（x 2,y 2）. 由圆的方程为（x +2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l 的方程为 y =k (x +2)+1, 代入椭圆C 的方程得 （4+9k 2）x 2+(36k 2+18k )x +36k 2+36k －27=0.因为A ，B 关于点M 对称. 所以.29491822221-=++-=+kk k x x 解得98=k ， 所以直线l 的方程为,1)2(98++=x y 即8x -9y +25=0. (经检验，符合题意) 解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)已知圆的方程为（x +2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).由题意x 1≠x 2且,1492121=+yx① ,1492222=+yx②由①－②得.04))((9))((21212121=+-++-y y y y x x x x③因为A 、B 关于点M 对称，所以x 1+ x 2=－4, y 1+ y 2=2,代入③得2121x x y y --＝98，即直线l 的斜率为98， 所以直线l 的方程为y －1＝98（x+2），即8x －9y +25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.) 例2、 直线1:+=kx y l 与双曲线12:22=-y x C 的右支交于不同的两点A 、B .（I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.解：（I ）由方程组⎩⎨⎧=-+=12122y x kx y 消去y 得022)2(22=++-kx x k . 设),,(),,(2211y x B y x A 由题意，直线l 与双曲线C的右支交于不同两点，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-=>--=+>--=∆≠-∴0220220)2(8)2(02221221222k x x k k x x k k k ).2,2(--∈⇒k（II ）假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆恰好过)0,(c F ，则FB FA ⊥，0=⋅∴，))((2121=+--∴y y c x c x ，即)1)(1())((2121=+++--kx kx c x c x ，整理得01))(()1(221212=+++-++c x x c k x x k .将26=c 及22221--=+k k x x ，22221-=k x x 代入并化简可得066252=-+k k .解得566--=k 或566+-=k （舍去）. 故存在566--=k 满足题意. 例 3 设经过点),0(m Q 且倾斜角为4π的直线l 与椭圆4422=+y x 交于不同的两点A 、B ，O 为坐标原点.（I ）若QB AQ 23-=，求m 的值；（II ）当AOB ∆的面积最大时，求m 的值.解：（I ）直线l 的方程为m x y +=，由⎩⎨⎧=++=4422y x m x y 得0)1(48522=-++m mx x .由题意，0)1(80)8(22>--=∆m m ，∴55<<-m .设),,(),,(2211y x B y x A 则有5821mx x -=+①，5)1(4221-=m x x ②.由23-=可得，2123x x -=-③.由①②③联解可得291455±=m ，且满足0>∆.故m 的值为291455±. （II ）结合图形可知AOB ∆的面积21221124)(121x x x x m x x m S AOB -+⋅⋅=-⋅⋅=∆ 5)1(16)58(2122---⋅⋅=m m m )5(5222m m -= 24552m m +-=.易知当252=m 时，AOB S ∆取得最大值, 此时m 的值为210±. （注：求AOB S ∆的表达式时，题解中用的是图形的割补思想,若用点O 到直线AB 的距离2m d =及弦长122x x AB -=来处理,可得到同样的结果.）例4 已知椭圆1222=+y x .(I)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程;(II)过)1,2(N 的直线l 与椭圆相交，求被l 截得的弦的中点轨迹方程；(III)求过点)21,21(P 且被P 点平分的弦所在直线的方程.解：设弦的两端点为),(),,(2211y x B y x A ，中点为),(00y x M ，则有210212,2y y y x x x =+=+.由122121=+y x ，122222=+y x 两式作差得：1))((2))((12121212=+-++-y y y y x x x x ,00121212122)(2y x y y x x x x y y -=++-=--∴.即002y xk AB -=.①I ）设弦中点为),(y x M ，由①式，yx22-=，∴04=+y x .故所求的轨迹方程为04=+y x （在已知椭圆的内部）. （II ）不妨设l 交椭圆于A 、B ，弦中点为),(y x M .由①式，yxk k AB l 2-==，又∵12--==x y k k MN l ，122--=-∴x y y x .整理得,04222=--+y x y x 此即所求的轨迹方程. （III ）由①式，弦所在的直线的斜率21200-=-=y x k ，故其方程为)21(2121--=-x y ，即0342=-+y x .例5、设双曲线C ：线222x -y =1(a>0)与直l:x+y =1a相交于两个不同的点A 、B .（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围： （II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125=求a 的值. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得 （1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ① .120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率01,).2e a a e e e ==<<≠∴>≠+∞ 即离心率的取值范围为例6、已知双曲线12222=-by a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23（1）求双曲线的方程； （2）已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C ，D 且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值. 解：∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-b y a x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b c abb a ab d .故所求双曲线方程为 .1322=-y x（2）把33522=-+=y x kx y 代入中消去y ，整理得 07830)31(22=---kx x k . 设CD y x D y x C ),,(),,(2211的中点是),(00y x E ，则.11,315531152002002210k x y k k kx y k k x x x BE -=+=-=+=⋅-=+= ,000=++∴k ky x即7,0,03153115222=∴≠=+-+-k k k kk k k 又故所求k=±7. 例7、O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足||||AC AB ++=λ，[)∞∈＋，0λ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心分析：因为||||AB AC AB AC AB AC 、分别是与、同向的单位向量，由向量加法的平行四边形则知||||AB ACAB AC +是与∠ABC 的角平分线（射线）同向的一个向量，又()AB ACOP OA AP AB ACλ-==+，知P 点的轨迹是∠ABC 的角平分线，从而点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心。

高考专题：解析几何常规题型及方法一、高考风向分析：高考解析几何试题一般共有3--4题(1--2个选择题, 0--1个填空题, 1个解答题), 共计20多分, 考查的知识点约为20个左右，其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查。

选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线中的基础知识，大多概念性较强，小巧灵活，思维多于计算；而解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点及其综合运用,重在考察直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程，以向量为载体，立意新颖，要求学生综合运用所学代数、三角、几何的知识分析问题，解决问题。

二、本章节处理方法建议：纵观历年全国各省市文、理高考试卷，普遍有一个规律：占解几分值接近一半的填空、选择题难度不大，中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中；而占解几分值一 半偏上的解答题得分很不理想，其原因主要体现在以下几个方面：（1）解析几何是代数与 几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向 量等知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合 能力要求最高的内容之一（2）解析几何的计算量相对偏大（3）在大家的“拿可拿之分” 的理念下，大题的前三道成了兵家必争之地，而排放位置比较尴尬的第21题或22题（有 时20题）就成了很多人遗忘的角落，加之时间的限制，此题留白的现象比较普遍。

鉴于解几的特点，建议在复习中做好以下几个方面．1．由于高考中解几内容弹性很 大。

有容易题，有中难题。

因此在复习中基调为狠抓基础。

不能因为高考中的解几解答题 较难，就拼命地去搞难题，套新题，这样往往得不偿失；端正心态：不指望将所有的题攻 下，将时间用在巩固基础、对付“跳一跳便可够得到”的常规题上，这样复习，高考时就 能保证首先将选择、填空题拿下，然后对于大题的第一个小问争取得分，第二小题能拿几 分算几分。

三、高考核心考点1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等）2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等）3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等）4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算5、了解线性规划的意义及简单应用6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等）8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题四、常规题型及解题的技巧方法A:常规题型方面（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。