数的整除(整理)-课件

整除规则（原理，性质）各种被整除的数的特征（放在这里以备以后查阅方便）（1）被2整除的数的特征：一个整数的末位是偶数（0、2、4、6、8）的数能被2整除。

（2）被3整除的数的特征：一个整数的数字和能被3整除，则这个数能被3整除。

（3）被4整除的数的特征：一个整数的末尾两位数能被4整除则这个数能被4整除。

可以这样快速判断：最后两位数，要是十位是单数，个位就是2或6，要是十位是双数，个位就是0、4、8。

（4）被5整除的数的特征：一个整数的末位是0或者5的数能被5整除。

（5）被6整除的数的特征：一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

（6）被7整除的数的特征：“割减法”。

若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，这样，一次次下去，直到能清楚判断为止，如果差是7的倍数（包括0），则这个数能被7整除。

过程为：截尾、倍大、相减、验差。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

（7）被8整除的数的特征：一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

（8）被9整除的数的特征：一个整数的数字和能被9整除，则这个数能被9整除。

（9）被10整除的数的特征：一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。

（10）被11整除的数的特征：“奇偶位差法”。

一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差是11的倍数（包括0），则这个数能被11整除。

（隔位和相减）例如，判断491678能不能被11整除的过程如下：奇位数字的和9+6+8=23，偶位数位的和4+1+7=12。

23-12=11。

因此491678能被11整除。

（11）被12整除的数的特征：一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

（12）被13整除的数的特征：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，这样，一次次下去，直到能清楚判断为止，如果是13的倍数（包括0），则这个数能被13整除。

(1)数的整除数的整除（一）【知识精读】如果整数a除以整数b(b≠0)税金的商a/b就是整数,那么叫作a被b相乘.0能够被所有非零的整数相乘.一些数的整除特征除数2或54或253或9117,11,13能被整除的数的特征末位数能被2或5整除末两位数能被4或25整除各位上的数字和被3或9整除(如771，54324)奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除(如143,1859,1287,908270等)从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等)8或125末三位数能被8或125整除能被7整除的数的特征：①抹去个位数②乘以原个位数的2倍③其差能被7相乘。

如1001100－2＝98（能被7整除）又例如7007700－14＝686，68－12＝56（能够被7相乘）能够被11相乘的数的特征：①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除如1001100－1＝99（能11整除）又例如102851028－5＝1023102－3＝99（能够11相乘）【分类解析】基准1未知两个三位数328和2x9的和仍就是三位数5y7且能够被9相乘。

求x,y求解：x,y都就是0至9的整数，∵5y7能够被9相乘，∴y=6.∵328＋2x9＝567，∴x=3例2己知五位数1234x能被12整除，求x求解：∵五位数能够被12相乘，必然同时能够被3和4相乘，当1＋2＋3＋4＋x能够被3相乘时，x=2，5，8当末两位4x能够被4相乘时，x＝0，4，8∴x＝8基准3头序被11相乘且各位字都不相同的最轻五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，无法被11相乘，只调整末位数仍没用调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。

【空战演示】1分解质因数：（写成质因数为底的幂的b乘积）①593②1859③1287④3276⑤10101⑥102962若四位数987a能够被3相乘，那么a=_______________3若五位数12x34能够被11相乘，那么x＝__________-4当m=_________时，35m5能够被25相乘5当n=__________时，9610n能够被7相乘6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7能够被4相乘的最小四位数就是____________，能够被8相乘的最轻四位数就是_________88个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________9从1至100这100个自然数中，能够同时被2和3相乘的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。

数的整除知识点整理
一、基本概念和符号：
1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；
二、整除判断方法：
1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

6.能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

7.能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

三、整除的性质：
1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。

2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

第一讲 数的整除知识清单：1.1整数与整除的意义1、整数整数：正整数、零、负正整统称为整数。

零和正整数统称为自然数。

最大的负整数是–1，没有最小的负整数，最小的正整数是1，没有最大的正整数，没有最大的整数。

2、整除的意义整除：整数a 除以整数b （b ≠0），如果除得的商是整数而余数为零，我们就说数a 能被数b 整除或b 能整除a 。

确定整除的条件：（三整余零）1、除数、被除数都是整数；2、被除数除以除数，商是整数而且余数为零。

除尽：在整数或小数除法中，如果商是整数或有限小数，则叫做能够除尽。

除不尽：数a 除以数b （b ≠0），当所得的商是一个无限循环小数时，我们就说数b 除不尽数a ，或者说数a 不能被数b 除尽。

1.2 因数与倍数1、如果整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的因数（或a 的约数）。

倍数和因数是相互依存的。

2、因数和倍数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数是无限的，其中最小的倍数时它本身，没有最大的倍数；一个数既是它本身的因数，也是它本身的倍数。

1.3 能被2、5整除的数1、偶数：能被2 整除的整数是偶数；奇数：不能被2 整除的整数是奇数．2、通常奇数可以表示为2k+1(或2k-1)的形式，其中k 为整数，偶数可以表示为2k 的形式，其中k 是整数．3、正整数按照能否被2整除分为奇数和偶数2、能被2、5 、3、9整除的数的特征（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8 中的一个，那么这个数就能被2 整除。

（2）一个数的个位数字如果是0 或5，那么这个数就能被5 整除。

（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3 整除，那么这个数就能被3 整除。

（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。

（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。