导数综合讲义(教师版)

题型清单目 录题型1 与导数有关的构造函数题型2 利用导数证明不等式题型3 利用导数研究不等式恒(能)成立问题题型4 利用导数研究函数零点问题2024高考数学课件　导数的综合运用讲解册题型1　与导数有关的构造函数抽象函数构造的常见类型已知的不等式中所含结构构造函数的方向xf '(x)-f(x)F(x)= ,F'(x)= xf '(x)+f(x)F(x)=xf(x),F'(x)=f(x)+xf '(x)f(x)+f '(x)F(x)=e x f(x),F'(x)=e x [f(x)+f '(x)]f(x)-f '(x)F(x)= ,F'(x)= xf '(x)+2f(x)F(x)=x 2f(x),F'(x)=x 2f '(x)+2xf(x)xf '(x)-2f(x)F(x)= ,F'(x)= f (x)x 2xf '(x)f (x)x -x f (x)e x f '(x)f (x)e -2f (x)x 3xf '(x)2f (x)x-例1 (2023湖南长沙校考测试,5)已知函数f(x)的导数为f '(x),且(x+1)f(x)+xf '(x)>0对x∈R恒成立,则下列函数在实数集内一定是增函数的为 ( )A.y=f(x)B.y=xf(x)C.y=e x f(x)D.y=x e x f(x) 解析设F(x)=x e x f(x),则F'(x)=(x+1)e x f(x)+x e x f '(x)=e x[(x+1)f(x)+xf '(x)].∵(x+1)f(x)+xf '(x)>0对x∈R恒成立,且e x>0,∴F'(x)>0,∴F(x)在R上递增,故选D. 答案D解题技巧可根据题意,对选项逐一验证,易得A,B,C不合题意.即练即清1.(2023江苏扬州校考测试,6)定义在 上的函数f (x ), f '(x )是它的导函数,且恒有f (x )<f '(x )tan x 成立,则 ( ) A. f > f B.f (1)<2f sin 1 C. f >f D. f <f 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭34π⎛⎫ ⎪⎝⎭23π⎛⎫ ⎪⎝⎭6π⎛⎫ ⎪⎝⎭26π⎛⎫ ⎪⎝⎭4π⎛⎫ ⎪⎝⎭36π⎛⎫ ⎪⎝⎭3π⎛⎫ ⎪⎝⎭D题型2　利用导数证明不等式1.常见不等式(大题使用需要证明)(1)e x ≥x +1,e x -1≥x ,e x ≥e x ,e -x≥1-x .(2)ln x ≤x -1(x >0),ln(x +1)≤x (x >-1),ln ≤ -1(x >0),ln x ≥1- (x >0).(3)e x ≥1+x + x 2(x ≥0),e x ≤1+x + x 2(x ≤0),ln x ≤ x (x >0).1x 1x 1x 12121e2.常用方法:作差(商)比较法,放缩法,凸凹反转法,指数找朋友法等.知识拓展1.凸凹反转法:首先对原不等式进行等价变形,然后根据变形后的不等式构造M(x)> N(x),转化为证M(x)min>N(x)max.2.指数找朋友法:在证明或处理含指数函数的不等式时,通常要将指数型的函数“结合”起来,即让指数型的部分乘或除以一个多项式,这样再对变形的函数求导后,无需考虑指数型部分的值,使得后续解方程或求值的范围更加简单.这种变形过程,我们称为“指数找朋友”.例2 (2023广东佛山二模,22改编)证明:e x -3x +2sin x -1≥0. 证明 指数找朋友法.欲证e x -3x +2sin x -1≥0,即证 -1≤0,令F (x )= -1,则F '(x )= ,(多项式除以指数型的形式,只考虑分子部分即可)令q (x )=2-3x +2sin x -2cos x ,则q '(x )=-3+2cos x +2sin x =2 sin -3<0,所以函数q (x )单调递减,且q (0)=0,所以当x <0时,F '(x )>0,当x >0时,F '(x )<0,所以函数F (x )在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,32sin 1e x x x -+32sin 1e x x x -+232sin 2cos ex x x x -+-24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭故F (x )≤F (0)=0,即 -1≤0,从而原不等式得证.32sin 1e x x x -+即练即清2.(2018课标Ⅲ文,21,12分)已知函数f (x )= .(1)求曲线y =f (x )在点(0,-1)处的切线方程;(2)证明:当a ≥1时, f (x )+e ≥0.21e x ax x +-解析 (1)f '(x )= ,则f '(0)=2.因此曲线y =f (x )在点(0,-1)处的切线方程是2x -y -1=0.(2)证明:f (x )+e= ,所以证明f (x )+e ≥0即证ax 2+x -1+e x +1≥0,因为e x ≥x +1,所以e x +1≥x +2,所以ax 2+x -1+e x +1≥ax 2+2x +1,即证ax 2+2x +1≥0,因为a ≥1,所以ax 2+2x +1≥x 2+2x +1=(x +1)2≥0.2(21)2ex ax a x -+-+211e ex x ax x ++-+故a ≥1时, f (x )+e ≥0.题型3　利用导数研究不等式恒(能)成立问题1.转化策略一般有:(1)参数讨论法;(2)分离参数法;(3)先特殊、后一般法等.2.常用的转化方法:(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max;(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min;(3)a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min;(4)a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.3.双变量恒(能)成立问题的转化方法:(1)∀x1∈M,∃x2∈N, f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min;(2)∀x1∈M,∀x2∈N, f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max;(3)∃x1∈M,∃x2∈N, f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)min;(4)∃x1∈M,∀x2∈N, f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max.例3 (2024届江苏南京师大附中入学测试,8)已知函数f (x )=x +x ln x ,g (x )=kx -k ,若k ∈Z,且f (x )>g (x )对任意x >e 2恒成立,则k 的最大值为( )A.2 B.3 C.4 D.5 解析 f (x )>g (x ),即x +x ln x >kx -k 对任意x ∈(e 2,+∞)恒成立,所以k < ,即k < .令u (x )= ,x ∈(e 2,+∞),则u '(x )= .令h (x )=x -ln x -2,x ∈(e 2,+∞),h '(x )=1- = >0,ln 1x x x x +-min ln 1x x x x +⎛⎫ ⎪-⎝⎭ln 1x x x x +-2ln 2(1)x x x ---1x 1x x-所以h (x )在(e 2,+∞)上单调递增,所以h (x )>h (e 2)=e 2-4>0,可得u '(x )>0,所以u (x )在(e 2,+∞)上单调递增.所以u (x )>u (e 2)= =3+ ∈(3,4).又k ∈Z,所以k max =3.故选B.223e e 1-23e 1- 答案 B即练即清3.已知函数f (x )=ln x -a (x -1),a ∈R,x ∈[1,+∞),且f (x )≤ 恒成立,求a 的取值范围.ln 1x x +解析　参数讨论法.f (x )- = ,构造函数g (x )=x ln x -a (x 2-1)(x ≥1),g '(x )=ln x +1-2ax ,令F (x )=g '(x )=ln x +1-2ax ,F '(x )= .①若a ≤0,则F '(x )>0,g '(x )在[1,+∞)上单调递增,g '(x )≥g '(1)=1-2a >0,∴g (x )在[1,+∞)上单调递增,g (x )≥g (1)=0,ln 1x x +2ln (1)1x x a x x --+12ax x-从而f (x )- ≥0,不符合题意.②若0<a < ,当x ∈ 时,F '(x )>0,ln 1x x +1211,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭∴g '(x )在 上单调递增,从而g '(x )≥g '(1)=1-2a >0,∴g (x )在 上单调递增,g (x )≥g (1)=0,从而f (x )- ≥0,不符合题意.③若a ≥ ,则F '(x )≤0在[1,+∞)上恒成立,∴g '(x )在[1,+∞)上单调递减,g '(x )≤g '(1)=1-2a ≤0.11,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭11,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ln 1x x +12∴g (x )在[1,+∞)上单调递减,从而g (x )≤g (1)=0, f (x )- ≤0.ln 1x x +综上,a 的取值范围是 .1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭题型4　利用导数研究函数零点问题1.函数零点问题的常见类型:(1)判断或证明零点个数.常用的方法有:①直接根据函数零点存在定理判断;②将f(x)整理变形成f(x)=g(x)-h(x)的形式,通过y=g(x)的图象与y=h(x)的图象的交点个数确定函数的零点个数;③结合导数,求函数的单调性,从而判断函数零点个数.(2)已知零点个数求参数范围.(3)讨论或者证明零点所满足的分布特征.2.求函数的零点个数时,常用的转化方法:参数讨论法,分离参数法,数形结合法等.例4 (2022全国乙文,20,12分)已知函数f (x )=ax - -(a +1)ln x .(1)当a =0时,求f (x )的最大值;(2)若f (x )恰有一个零点,求a 的取值范围.1x 解析 (1)当a =0时, f (x )=- -ln x (x >0),∴f '(x )= - (x >0),令 f '(x )=0,得x =1,x ∈(0,1)时, f '(x )>0,x ∈(1,+∞)时, f '(x )<0,∴f (x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.∴f (x )max =f (1)=-1.(2)f '(x )=a + - = .(i)当a ≤0时,ax -1≤0恒成立,∴0<x <1时, f '(x )>0, f (x )单调递增,x >1时, f '(x )<0, f (x )单调递减,1x 21x 1x 21x 1a x +2(1)(1)ax x x--∴f (x )max =f (1)=a -1<0.此时f (x )无零点,不合题意.(ii)当a >0时,令f '(x )=0,解得x =1或x = ,①当0<a <1时,1< ,∴1<x < 时, f '(x )<0, f (x )单调递减,0<x <1或x > 时, f '(x )>0, f (x )单调递增,∴f (x )在(0,1), 上单调递增,在 上单调递减, f (x )的极大值为f (1)=a -1<0,x →+∞时, f (x )>0,∴f (x )恰有1个零点.1a 1a 1a 1a1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭②当a =1时,1= , f (x )在(0,+∞)上单调递增, f (1)=0,符合题意.③当a >1时, <1, f (x )在 ,(1,+∞)上单调递增,在 上单调递减,f (x )的极小值为f (1)=a -1>0,x →0时, f (x )→-∞,∴f (x )恰有1个零点.综上所述,a >0.1a1a 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭即练即清4.(2023全国乙文,8,5分)函数f(x)=x3+ax+2存在3个零点,则a的取值范围是 ( )B A.(-∞,-2) B.(-∞,-3)C.(-4,-1)D.(-3,0)5.(2021新高考Ⅱ,22,12分)已知函数f (x )=(x -1)e x -ax 2+b .(1)讨论函数f (x )的单调性;(2)从下面两个条件中选一个,证明: f (x )有一个零点.① <a ≤ ,b >2a ;②0<a < ,b ≤2a .122e 212解析 (1)∵f (x )=(x -1)e x -ax 2+b ,∴f '(x )=x e x -2ax =x (e x-2a ).①当a ≤0时,e x-2a >0对任意x ∈R 恒成立,当x ∈(-∞,0)时, f '(x )<0,当x ∈(0,+∞)时, f '(x )>0.因此y =f (x )在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.②当a >0 时,令e x-2a =0⇒x =ln(2a ).(i)当0<a < 时,ln(2a )<0.y =f '(x )的大致图象如图1所示.12因此当x ∈(-∞,ln(2a ))∪(0,+∞)时, f '(x )>0,当x ∈(ln(2a ),0)时, f '(x )<0,所以f (x )在(-∞,ln(2a ))和(0,+∞)上单调递增,在(ln(2a ),0)上单调递减.(ii)当a = 时,ln(2a )=0,此时f '(x )≥0对任意x ∈R 恒成立,故f (x )在R 上单调递增.(iii)当a > 时,ln(2a )>0,y =f '(x )的大致图象如图2所示.1212因此,当x ∈(-∞,0)∪(ln(2a ),+∞)时, f '(x )>0,当x ∈(0,ln(2a ))时, f '(x )<0,所以f (x )在(-∞,0)和(ln(2a ),+∞)上单调递增,在(0,ln(2a ))上单调递减.(2)选①.证明:由(1)知, f (x )在(-∞,0)上单调递增,在(0,ln(2a ))上单调递减,在(ln(2a ),+∞)上单调递增,又f (0)=b -1>0,f = <0,所以f (x )在(-∞,0]上有唯一零点.b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1b a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭e ba -当x ∈(0,+∞)时,f (x )≥f (ln(2a ))=[ln(2a )-1]·2a -a [ln(2a )]2+b =a ln(2a )[2-ln(2a )]+b -2a >a ln(2a )[2-ln(2a )].因为 <a ≤ ,所以0<ln(2a )≤2,所以f (x )>0对任意x >0恒成立.综上, f (x )在R 上有唯一零点.选②.证明:由(1)知f (x )在(-∞,ln(2a ))上单调递增,在(ln(2a ),0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,122e 2f(0)=b-1<0,当x→+∞时, f(x)→+∞,所以一定存在x0∈(0,+∞),使得f(x0)=0.结合单调性知f(x)在[0,+∞)上有唯一零点.当x∈(-∞,0)时, f(x)≤f(ln(2a))=a ln(2a)·[2-ln(2a)]+b-2a<0,即f(x)<0对任意x<0恒成立.综上, f(x)在R上有唯一零点.。

(1)若a ＝0，求f (x )的单调区间；
(2)若当x ≥0时，f (x )≥0，求a 的取值范围．
巩固作业
一、选择题
1．f (x )＝5x 2－2x 的单调增区间是( )
A ．(15
，＋∞) B ．(－∞，15) C ．(－15
，＋∞) D ．(－∞，－15) 2．函数f (x )＝x 3＋3x 2＋4x －a 的极值点的个数是( )
A ．2
B ．1
C ．0
D ．由a 确定 3．已知函数f (x )的导数为f ′(x )＝4x 3－4x ，且f (x )的图象过点(0，－5)，当函数f (x )取得
极大值－5时，x 的值应为( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．±1 4．若函数g (x )＝x 3－ax 2＋1在区间[1,2]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )
A ．a ≥3
B ．a >3 C.32
<a <3 D.32≤a ≤3 5．设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，f ′(x )为其导函数，如右图是函数y ＝x ·f ′(x )的图象的
一部分，则f (x )的极大值与极小值分别为( )
A ．f (1)与f (－1)
B ．f (－1)与f (1)
C ．f (2)与f (－2)
D ．f (－2)与f (2)
6．(2011·郑州第一次调研)设f (x )是定义在R 上的奇函数，g (x )是定义在R 上恒大于零的函数，且当
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导数的概念及运算【题集】1. 函数的平均变化率A. B. C. D.1.如图，函数在，两点间的平均变化率是（ ）．【答案】B 【解析】由图可知，，所以，所以函数在，两点间的平均变化率是．故选B ．【标注】【知识点】求平均变化率（1）（2）2.求下列函数在区间和上的平均变化率．．．【答案】（1）（2）在区间和上的平均变化率均为．在区间上的平均变化率，在区间上的平均变化率．【解析】（1）（2）在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为．在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为．【标注】【知识点】函数的平均变化率、瞬时速度与瞬时变化率【素养】数学运算A.B.C.D.3.在函数的图象上取一点及邻近一点，则等于（）．【答案】C【解析】，．【标注】【知识点】求平均变化率A. B. C. D.4.函数的图象如图，则函数在下列区间上平均变化率最大的是（）．【答案】C【解析】函数在区间上的平均变化率为，由函数图象可得，在区间上，，即函数在区间上的平均变化率小于；在区间、、上时，且相同，由图象可知函数在区间上的最大，所以函数在区间上的平均变化率最大．故选：．【标注】【知识点】求平均变化率2. 瞬时变化率与导数（1）（2）5.利用导数的定义求下列函数的导数．．．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）．从而，当时，，∴．∵∴，∴当时，，∴．【标注】【知识点】导数的定义A.B.C.D.6.若，则（ ）．【答案】D 【解析】．故选：．【标注】【知识点】导数的定义A. B. C. D.7.设是可导函数，且，则（）．【答案】C【解析】，故选 C．【标注】【知识点】导数的定义；导数的几何意义的实际应用；函数的极限A. B.C. D.8.若函数在区间内可导，且，则的值为（）．【答案】C【解析】因为在可导，所以，．【标注】【知识点】导数的定义；函数的平均变化率、瞬时速度与瞬时变化率3. 基本初等函数的导数A.B.C.D.9.下列求导数运算正确的是（）．【答案】C【解析】根据导数的四则运算以及基本初等函数运算法则，故有选项，故错误．选项，故错误．选项，故正确．选项，故错误．故选．【标注】【素养】数学运算【知识点】利用公式和四则运算法则求导A.B.C.D.10.下列导数运算错误的是（ ）．【答案】C 【解析】选项：．故选．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导11.如果函数，那么 ．【答案】【解析】由题意可知，∴，，∴．故答案为：．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导；计算任意角的三角函数值A. B.C.D.12.已知，则的值为（ ）．【答案】A 【解析】，【标注】【知识点】复合函数的求导法则4.导数的四则运算13.函数的导数是 ．【答案】【解析】，．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导A.B.C.D.14.函数在处的导数等于（ ）．【答案】A 【解析】∵，∴．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导15.的导数 ．【答案】【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导（1）16.求下列函数的导数：．（2）（3）（4）（5）（6）（7）．．．．．．【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）．．．．．．【解析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）．．．．先使用三角公式进行化简．∴．【标注】【素养】数学运算A. B. C. D.17.已知函数的导数为，且满足，则（）．【答案】C【解析】由函数，∴，∴当时，则有，解得．故选：．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导A. B. C. D.18.已知，则（）．【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴，∴．故选．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导A. B.C. D.19.已知函数的导函数为且满足，则（）．【答案】B【解析】，．故选．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导A. B. C. D.20.已知函数的导函数为，且满足，则（）．【答案】B 【解析】，令，即，解得．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导5. 复合函数求导法则（1）（2）（3）（4）（5）（6）21.求下列函数的导数．．．．．．．【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）．．．．．．【标注】【知识点】复合函数的求导法则；利用公式和四则运算法则求导（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）22.求下列函数的导数．．．．．．．．．（9）（10）．．【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）．．．．．．．．．．【解析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）略．略．略．略．略．略．略．略．略．略．【标注】【知识点】复合函数的求导法则；利用公式和四则运算法则求导23.已知函数，且，则的值为．【答案】【解析】，．【标注】【知识点】复合函数的求导法则A.B.C. D.24.已知函数，是函数的导函数，则函数的部分图象是（ ）．【答案】D 【解析】因为，所以，可知为奇函数，故排除，；又因为，，排除选，故选．【标注】【知识点】函数图象的识别问题；根据奇偶性确定图象；利用公式和四则运算法则求导6. 导数的几何意义A. B.C.D.25.曲线在点处的切线的斜率为（ ）．【答案】B【解析】∵，∴，∴．故选．【标注】【知识点】导数的几何意义A.B.C.D.26.设曲线在点处的切线斜率为，则点的坐标为（ ）．【答案】B【标注】【知识点】导数的几何意义；导数的几何意义的实际应用（1）（2）（3）27.导数等于切线斜率．如图，直线是曲线在处的切线，则．如图，曲线在点处的切线方程是， ．设是偶函数．若曲线在点处的切线的斜率为，则该曲线在点处的切线的斜率为 ．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）（2）（3）直线的斜率为，所以．时，，∵的斜率为，故，∴．由偶函数的图象关于轴对称知，在对称点处的切线也关于轴对称，故所求切线的斜率为．也可由特殊函数得到此题答案．【标注】【知识点】导数的几何意义的实际应用；已知切线方程求参数；导数的几何意义；斜率计算28.若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是．【答案】【解析】函数的定义域为，函数的导数为，直线的斜率，∵曲线上点处的切线平行与直线，∴，即，解得，此时，故点的坐标是，故答案为：．【标注】【知识点】求在某点处的切线方程；导数的几何意义29.曲线在点处的切线方程为．【答案】【解析】因为，所以，所以该切线方程为，即．故答案为：．【标注】【知识点】导数的几何意义A.B. C. D.30.曲线在点处的切线方程是（）．【答案】A【解析】，故，所以曲线在处的切线斜率为，切线方程为，化简整理得，故选．【标注】【知识点】求在某点处的切线方程31.已知函数，求过点的切线方程．【答案】和．【解析】，因为点在曲线上．①若点为切点，则此时切线斜率为，则切线方程为，即；②若点不是切点，则设切点为，有，切线方程满足，（*）整理得，因为点满足方程（*），则是方程的一个根，即，即，所以或（舍，因为切点不为），即，，则此时切线的方程为，即，综上所述，过点的切线方程为和．【标注】【知识点】求过某点的切线方程；求在某点处的切线方程；导数的几何意义A. B.C.或D.或32.过点的切线方程是( )．【答案】C【解析】设切点坐标为，，切线斜率，则，解得或，∴所求切线方程为或．【标注】【知识点】求过某点的切线方程；导数的几何意义（1）（2）33.已知曲线．求曲线在点处的切线方程．求曲线过点的切线方程．【答案】（1）（2）或【解析】方法一：方法二：（1）（2）∵，∴在点处的切线的斜率，∴曲线在点处的切线方程为，即．∵点在曲线上，且，∴在点处的切线的斜率为，∴曲线在点处的切线方程为，即．设曲线与过点的切线相切于点，则切线的斜率为，∴切线方程为，即，∵点在切线上，∴，即，∴，即，∴，解得或，故所求的切线方程为或．【标注】【知识点】求在某点处的切线方程；导数的几何意义；求过某点的切线方程34.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．【答案】【解析】方法一：方法二：设直线与曲线和曲线的切点分别为和．由导数的几何意义可得，即，由切点也在各自的曲线上，可得，解得，从而，则．由，得，由，得．设直线与曲线相切于点，则①，②，设直线与曲线相切于点，则③，④，由①得，代入②得，即⑤，由③得，代入④得，即⑥，⑤⑥得，，代入⑤得，故答案为．【标注】【知识点】求过某点的切线方程；导数的几何意义的实际应用；导数的几何意义35.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．【答案】【解析】设与曲线的切线，曲线的切点分别为，，∵，曲线，∴，，∴，①切线方程分别为，即为，或，即为，解得，②由①②解得，，可得：，则有，．故答案为：．【标注】【知识点】求过某点的切线方程；导数的几何意义。

高中数学导数讲义完整版第一部分 导数的背景一、导入新课 1. 瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ (221gt s =,其中g 是重力加速度）.2. 切线的斜率问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.3. 边际成本问题3：设成本为C ，产量为q ，成本与产量的函数关系式为103)(2+=q q C ，我们来研究当q ＝50时，产量变化q ∆对成本的影响. 二、小结:瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率xy∆∆当x ∆趋近于0时的极限；边际成本是平均成本q C ∆∆当q ∆趋近于0时的极限.三、练习与作业：1. 某物体的运动方程为25)(t t s =（位移单位：m ，时间单位：s ）求它在t ＝2s 时的速度. 2. 判断曲线22x y =在点P （1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为522+=q C ，求当产量q ＝80时的边际成本. 4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系为2t h =，求t ＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度. 5. 判断曲线221x y =在（1，21）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为742+=q C ，求当产量q ＝30时的边际成本.第二部分 导数的概念一、新课：1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限(即xy∆∆无限趋近于某个常数)，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/。

2.2导数的概念及其几何意义（讲义+典型例题+小练）一．导数的定义：0000000()()()'()'|lim()()()'()'limx x x x f x x f x y f x x x f x y xf x x f x y f x f x y x=∆→∆→+∆-====∆+∆-===∆1.(1).函数在处的导数: (2).函数的导数:2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③取极限得导数：00'()lim x yf x x∆→∆=∆例1：1．设()()22lim2x f x f x x∆→+∆--∆=-∆，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线的倾斜角是（ ） A ．4π B ．3π C ．34π D ．23π 【答案】C 【分析】根据导数的概念可得()21f '=-，再利用导数的几何意义即可求解. 【详解】 因为()()()022lim222x f x f x f x∆→+∆--∆'==-∆，所以()21f '=-，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线斜率为1-，故所求切线的倾斜角为34π. 故选：C2．已知函数()y f x =在0x x =处的导数为1，则()()000lim 2x f x x f x x∆→+∆-=∆（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2【分析】由已知结合导数的定义即可直接求解. 【详解】解：因为函数()y f x =在0x x =处的导数为1， 则()()()()()0000000111limlim 2222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆.故选：B . 【点睛】本题考查导数的概念，涉及极限的性质，属于基础题．举一反三：1．设()f x 是可导函数，且()()000lim 2x f x x f x x∆→+∆-=-∆，则0()f x '=（ ）A ．2B ．1-C ．1D ．2-【答案】D 【分析】由导数的定义可得()()0000lim ()x f x f x f x x x∆→+-'=∆∆，即可得答案．【详解】 根据题意，()()0000lim()2x f x f x f x x x∆→∆+-'==-∆，故0()2f x '=-. 故选：D ． 【点睛】本题考查导数的定义，属于基础题． 2．若()02f x '=，则()()000lim2h f x h f x h→+-=______．【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的几何定义即可计算.()()()()()000000011limlim 1222h h f x h f x f x h f x f x h h →→+-+-'===．故答案为：1.二．导数的几何意义：函数()f x 在0x 处导数的几何意义，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率是()0k f x '=。

2.4导数的四则运算法则（讲义+典型例题+小练）一．和与差的导数法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).例1：1．若函数()12ln f x x x=-，()03f x '=，则0x =（ ）A ．1B ．2C ．13-或1D ．42．曲线31y x =+在点(1,)a -处的切线方程为（ ） A ．33y x =+B ．31yx C ．31y x =-- D ．33y x =--3．已知函数()()3sin 4,f x a x bx a R b R =++∈∈，()f x '为()f x 的导函数，则()()()()2014201420152015f f f f ''+-+--的值为__________.4．已知点M 是曲线3212313y x x x =-++上任意一点，求曲线在点M 处的斜率最小的切线方程．举一反三1．已知函数()sin cos 3f x x π=+，则6f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ） A ．3B ．32C ．312+ D ．312- 2．已知函数()()22323ln f x f x x x '=-+（()f x '是()f x 的导函数），则()1f =（ ）A ．21B ．20C ．16D ．113．已知函数()314,031ln ,01x x x f x x x x⎧-<⎪⎪=⎨⎪--<<⎪⎩，若()12f a '=，则实数a 的值为___________.4.求下列函数的导数．（1）33cos 243ln xy x x x =+-+ （2）n 1l y x x=+；二．乘法的导数法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号)例2：1．已知()f x '是函数()sin f x x x =的导函数，则2f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ）A ．0B ．1C ．2π D ．π2．函数()ln f x x x =的导函数是___________. 3．求下列函数的导数： (1)()3sin 6100S t t t =-+；(2)()532xf x x =+-； (3)()4cos g x x x =．举一反三1．下列图象中，有一个是函数()()3221113f x x ax a x =++-+（a ∈R ，且0a ≠）的导函数的图象，则()1f -=（ ）A ．13B ．13-C ．73D ．13-或532．已知函数()(21)e x f x x =+，()'f x 为()f x 的导函数，则(0)f '的值为（ ） A ．1 B ．3- C ．1- D ．33．求下列函数的导数： (1)2sin y x x =； (2)3ln x y x =； (3)2e x x y =.三．除法的导数法则3：2()'()()()'()[]'(()0)()[()]f x f xg x f x g x g x g x g x ⋅-⋅=≠ (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)例3：1．已知函数ln ()xf x x=，则()f x '=（ ） A ．21ln x x - B ．21ln x x + C ．ln 1x x+ D ．ln 1x x- 2．曲线211x y x -=+在11,2⎛⎫⎪⎝⎭处的切线斜率为（ ）A ．14B ．34C ．1D ．543．求1cos xy x=-的导数．举一反三 1．已知()sin xf x x=，那么函数在x ＝π处的瞬时变化率为（ ） A ．1π-B ．0C ．21π-D ．1π2．已知()xe f x x=，若()()000f x f x '+=，则0x 的值为________．2．设()55f =，()53f '=，()54g =，()51g '=，若()()2()f x h xg x +=，则()5h '＝________.4．求下列函数的导数： (1)()1sin g x x =； (2)()tan xf x x=； (3)()2ln u W u u=．巩固提升一、单选题1．下列导数运算正确的是（ ） A ．()22343x x '+=+B ．ππsin cos 66'⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．2ln 1ln x x x x '+⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．(2sin 3cos )2cos 3sin x x x x -=+'2．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2e ln f x xf x +'=，则()e f '=（ ）A ．1eB ．1-C ．1e-D ．e -3．已知一质点的运动方程为ln 3s t t =+，其中s 的单位为米，t 的单位为秒，则第1秒末的瞬时速度为（ ） A ．1m /s B ．2m /sC ．4m /sD ．7m /s 24．已知21()sin()42f x x x π=++，()'f x 为f （x ）的导函数，则()'f x 的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．5．曲线ln 1y x =+在(1,1)处的切线也为e x y a =+的切线，则=a （ ） A ．0B ．1C ．1-D ．26．函数()()()125y x x x x =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅-在0x =处的导数为（ ） A ．120 B ．120-C ．60D ．60-二、多选题7．设函数()()1sin cos 2x x f x =-的导函数为()f x '，则（ ） A ．()()sin f x f x x '+= B ．()()cos f x f x x '+= C ．()()sin f x f x x '-=D ．()()cos f x f x x '-=8．[多选]若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数()y f x =具有“T 性质”.则下列函数中具有“T 性质”的是（ ） A ．e x x y = B ．cos 1y x =+ C ．31y x =D ．2ln 2log y x=三、填空题9．已知函数()tan f x x x =+，则3f π⎛⎫⎪⎝⎭'的值是______.10．曲线2y x=在点()2,1处的切线与直线1y ax =+垂直，则实数=a __________． 四、解答题11．求下列函数的导数： (1)()32f x x =-；(2)()2265H t t t =-+-；(3)()3134g x x x=-； (4)()F u u u =；(5)()3e 2tan xu x x =+；(6)()2log tan f x x x =+；(7)()455e x G x x =+-.12．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()2(e)ln f x xf x +'=． (1)求(e)f '及(e)f 的值；(2)求()f x 在点2e x =处的切线方程．。

高等数学教材辅导讲义第一章导数与微分一、导数的定义与运算法则在这一部分，我们将详细介绍导数的定义以及一些常见运算法则。

导数的定义：设函数 y=f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义，若极限存在，且该极限与 x0 的取值无关，我们称该极限为函数 f(x) 在点 x0 处的导数。

记为：f'(x0) 或 dy/dx |x=x0。

运算法则：1. 基本导数的四则运算法则2. 复合函数的导数3. 高阶导数......二、微分与微分近似在这一部分，我们将介绍微分的概念以及利用微分进行近似计算的方法。

微分的定义：设函数 y=f(x) 在点 x0 处可导，那么称dx=f'(x0) Δx 为函数 f(x) 在点x0 处的微分，记作 dy。

微分近似：对于函数 y=f(x) 在点 x0 处，若已知 f'(x0)，我们可以利用微分进行近似计算。

1. 微分的基本性质2. 一阶微分近似计算3. 高阶微分近似计算......第二章积分与定积分一、定积分的定义与性质在这一部分，我们将介绍定积分的定义以及相关的性质。

定积分的定义：设函数 y=f(x) 在区间 [a, b] 上有界，在该区间上的任意分割为 {x0, x1, ..., xn}，选取分割 {x0, x1, ..., xn} 中的任意样本点{ξ1, ξ2, ..., ξn}，当最大的分割长度max(Δxi)→0 时，若极限存在，且与样本点的选取无关，那么称该极限为函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分。

记为：∫[a,b] f(x)dx 或∫ab f(x)dx。

性质：1. 定积分的可加性2. 定积分的线性性质3. 定积分的性质与区间的变换......二、定积分的计算方法在这一部分，我们将介绍一些常见的定积分计算方法。

1. 分部积分法2. 第一类换元法3. 第二类换元法4. 牛顿-莱布尼茨公式......第三章无穷级数与幂级数一、无穷级数的概念与性质在这一部分，我们将介绍无穷级数的概念以及相关的性质。

2.7导数的应用（讲义+典型例题+小练）1. 基本方法：（1）函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y ＝f （x ）在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y ＝f （x ）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y ＝f （x ）为这个区间内的减函数.（2）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f （x ）的导数f ′（x ）. ②令f ′（x ）＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令f ′（x ）＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间.（3）判别f （x 0）是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值.（4）求函数f （x ）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数f ′（x ）. ②求方程f '（x ）＝0的根. ③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f '（x ）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f （x ）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f （x ）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f （x ）在这个根处无极值.2、基本思想：学习的目的，就是要会实际应用，本讲主要是培养学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力.解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数. 把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再化为常规问题，选择合适的数学方法求解.根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化区间，构造相应的函数关系，是这部分的主要技巧．知识当回归于生活，在现实生活中，有很多时候我们需要用到最大、最小。

导数一、基本概念 1. 导数的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数。

()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x xx ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(000002导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P 处的切线的斜率是，切线方程为3．基本常见函数的导数:①0;C '=（C 为常数） ②()1;nn x nx-'=③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();xxe e '=⑥()ln xxa a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=. 二、导数的运算 1.导数的四则运算：法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：).())((''x Cf x Cf =(C 为常数) 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦。