第17讲灰色系统理

第十七讲灰色系统理论

本讲介绍一种在中国土生土长的系统理论——灰色系统理论为对付复杂性而制定的理论和技术。从灰箱到灰色系统

实施控制的命脉是掌握和利用信息。依据对系统有关信息的掌握情况，控制论把系统区分为黑箱、灰箱和白箱三类，建立了黑箱理论(基于传递函数和频率特性)和白箱理论(基于状态空间描述)，却没有相应的灰箱理论。被称为灰箱的对象一直被排除于控制科学的研究范围之外，这不能不说是控制科学的一个缺陷。20世纪70年代末以后，华中科技大学的控制论学者邓聚龙提出灰色性、灰色系统、灰色控制、灰色决策等概念，形成了一套独具特色的灰色系统理论，填补了这个空白。

确切地说，控制理论讲的黑箱，指的是能够获取有关对象外部精人和输出特性的信息，并且这些信息是完备的，至于系统内部状态的信息则完全不掌握。所谓白箱，指的是不仅掌握完备的输入和输出信息，而且掌握完备的状态信息。还有个未加言明的假设；不论黑箱或白箱，所掌握的信息都是确定的(至少有统计确定性)，信息既完备又确定的是白箱，信息虽然不完备(没有状态信息)但确定

但实际情形要比这复杂得多，现实世界中大量存在这样一类对象：或者输人和输出信息不完备，或者状态信息不完备，或者输入、输出、状态信息都不完备，运筹学、控制论提供的那一套方法无法应用。这就是所谓灰色现象或灰色问题．所谓灰色性有三种含义，其一指对象信息的不完备性，灰色现象就是贫信息现象，如警察破案时最初掌握的信息一般都很不完备。其二指对象信息的不确定性，如果周围人都说向阳红聪明好学，根据这一信息可以估计他有成为学者的可能，还不能作出肯定的预测，因为还存在机遇的把握、爱好和志向是否变化等不确定性。其三指两者兼而有之的情形，信息既不完备，又不确定。显然，灰色性也属于复杂性的一种表现形式，一种认识论意义上的复杂性，不能应用运筹学和控制论那种精确的定量化方法描述和处理。

基于对灰色性的上述界定，可以把一类具有灰色性的系统称为灰色系统，简称灰系统。如农业发展强烈依赖于获得土壤、气象、生态等方面的信息，但事实上人们所能获取的这类信息很难是完备而确定的，故农业属于灰色系统。又如，人体的身高、体重等外部参量和血压、体温等内部参量是已知的，但穴位的多少及其生物化学特性等不完全知道，即具有灰色性，故人体是灰色系统。这类系统广泛存在于现实世界中，特别是社会、经济、环境、人文等领域，跟人类的生产和生活休戚相关，系统科学不能长期置之不理。从哲学上讲，我们生活在一个灰色世界中，外部世界少不了灰色系统科学大学讲稿／240性，人的内心世界和思维过程中也少不了灰色性。灰色系统理论正是从这里找到自己的切人点。

可以说，灰色系统是把系统概念灰化的结果。所谓灰化，就是赋予概念内涵以信息不完备性、不确定性，或增加内涵的信息不完备性和不确定性。例如，皮球、玻璃球、乒乓球等都是含义确定的对象，没有灰色性，如果抽象为球状物，就具有了某种不确定性，即被灰化了，球状物就是一个灰色概念。系统科学的现有概念经过灰化处理，可以成批地得到相应的灰色概念，如灰色过程、灰色模型、灰色决策、灰色预测、灰色评估、灰色控制、灰色规划等，形成一套灰色系统理论。灰色性研究代表系统科学对付复杂性的又一途径。

邓聚龙1982年发表的噬灰色系统控制问题》一文，是灰色系统理论的起点。这之后，他相继出版了《灰色系统——经济·社会》(1985)、 《灰色控制系统》 (1985)、 《灰色系统基本方法》 (1987)、《灰色系统理论教程》(1990)等，奠定了灰色系统研究的理论基

础。

第2节 灰色性的数学刻画

灰色系统理论尽管在精确性、严格性和数学化方面有所弱化，但它仍然致力于给系统以定量描述，力求通过建立和求解数学模型，得出量化的结论，而不是一种解释性系统理论。这就要求有一套刻画灰色性的数学工具，而现有数学不能满足这一要求。因此，建立灰色系统理论的前提之一是推广数学概念，建立一套处理灰色第17讲 灰色系统理论／241系统的数学方法。

模糊数学以模糊集合沦为基础，通过把现有数学的概念和方法模糊化，形成一套特有的概念体系，称为模糊数学。灰色系统理论没有相应的“灰色集合论”为基础，没有建立相应的“灰色数学”，但提出灰化概念，通过对现有数学概念的灰化处理，得出了一系列描述灰色性的数学概念。这里简略介绍其中的几个，以帮助读者领略灰色系统方法的实质。

1．灰数，记作9。可以从不同角度理解灰数。灰数是传统的非灰数(称为白数)概念经过灰化的结果。如1、2、1．3、2．1等都是精确的实数，没有灰色性；如果经过抽象把它们看成一个整体，代表属于1和2之间的数，就是一个灰数，这样的处理就是灰化。灰数是灰元(灰色元素)的数字表现，凡仅知其部分性质而不知其他性质的数，就是灰数。例如，一棵活树的重量只能估计一个大概范围，必定大于0，但上限不确知，树的重量就是灰数。灰数不是具体的数，而是指定变化范围的所有数的全体。存在不同类型的灰数，有下界而无上界的灰数，称为有下界灰数。如树的重量是一个有下界(下限为0)灰数。有上界而无下界的灰数，称为有上界灰数。如中国探月工程的投资不得超过航天事业的总资产，是一个有上界灰数。同时具有上下界的灰数，称为区间灰数。人的身高在。米到3米之间，海豹的重量在20公斤至25公斤之间，都是区间灰数。

2．灰平面，记作GP。灰平面指预测值工可能达到的范围。图 17—1是以预测值I和时间，为坐标轴表示的平面，工记预测值的上限，z记预测值的下限，丁记当下时刻，从丁时刻起，J的上、下限随，而变化，由灰数J的变化轨迹构成如图所示的灰平面。

田17—1 灰色平面

灰平面是灰色性造成的系统行为未来演变的上下限之间的平面区域，其演变随时间，的推移而扩大，呈现为喇叭形。

3．灰方程。把传统方程称为白方程，如：

白方程经过灰化就得到灰方程。或者说，含有灰色系数的方程，称为灰方程。如下式是一个含有灰系数9的一元一次灰色代数方程：

含有灰导数的方程，叫做灰色微分方程。更复杂的应是同时含有灰导数和灰系数的微分方程。

4．灰矩阵。把传统的矩阵称为白矩阵，白矩阵经过灰化就得到灰矩阵。或者说，一个

至少部分元素具有灰色性的矩阵，叫做灰矩阵，记作O(A)、9(B)等。例如，

9(A)中只有一个灰元素，下面的灰矩阵9(B)有两个灰元素。

一些灰矩阵全部由灰元素构成。得到灰特征值、灰秩等。

第3节 灰色预测、灰色决策、灰色控制

灰色系统理论的实际应用主要是解决灰色系统的预测、决策和控制问题。欲对灰色系统进行定量化的预测、决策或控制，首先要给系统建立灰色模型。

1.灰色系统建模。鉴于系统的信息不完备、不确定，灰色建模必须采取定性与定量相结合的方法论原则，找出表征系统特性的各个灰色因素和灰色量(指灰色数的命题化表达形式，一种在一定范围内变动的量)，理清其间的相互关系，最后用一定的数学形式 (灰色量之间的一组数学关系)表示出来，就是灰色模型，记作GM。

灰色系统建模通常分五步进行。第一步，明确待解决问题的目的、方向、因素、关系等，并用简练的语言描述出来，称为语言模型。“一个国家，两种制度”就是解决香港回归问题的语言模型。第二步是找出语言模型中所有显然的和潜在的因素，区分前因后果，一对因果关系代表一个环节，如图17—2所示；再把所有环节按照它们在系统中的关系连接成为一个总方框图，称为系统的网络模型，如图17—3为一个三环节网络模型。

网络模型只反映定性关系。第三步是找出各个环节中因与果的具有灰色性的数量关系(如投入与产出关系、输人与输出关系等)，填入网络图中，得到系统的量化模型。第四步是模型的动态量化阶段，找出各环节前因后果的动态关系，建立系统的动态模型。最后一步是求解动态模型，分析模型解以了解系统发展态势，如果不满意，可以通过增加环节、改变参数、移动作用点等手段，改进系统，找出优化解。

2．灰色预测。人们从事生产劳动、下海经商、社会公益事业、服务业，以及军事、政治、外交活动，都要首先进行预测，包括短期的、中期的、长期的预测。其中所涉及的系统或多或少都具有灰色性，所需信息不完备或不确定，不能使用白色预测那一套(运筹学等通

行的精确方法)进行预测。以我国来年粮食生产的预测为例，就图17．1来看，就是依据丁年(代表今年)掌握的信息去预测，年的产量。中国幅员辽阔，土壤、气候等条件差异很大，历年的统计数据都带有灰色性，适宜作灰色预测。根据历史资料和经验确定来年产量的上下限，形成如图17．1所示的灰色平面，未来第，年的粮食产量应在此范围内。主要操作是建立灰色预测模型，求解和分析模型，画出预测曲线。一般来说，曲线接近上下限的预测可信度不高，接近中线的预测可信度高，曲线和中线的差值可作为预测的信赖度。

利用灰色模型对事物的时间分布、数值分布进行预测，所得结沦带有灰色性，故叫做灰色预测。灰色预测包括：对一般数据列发展变化的预测，称为数列预测；对发生在特定时区内的异常值的时间分布进行预测，称为灾变预测；对事件发展呈离乱的非单调波形的预测，称为波形预测；当系统涉及多个因子的发展变化时，按一定模式对其动态协调关系进行预测，称为系统预测。

3．灰色决策，决策可视为由事件(待决策的对象或问题)、对策(行动方案)和效果三个要素构成的系统，查明事件所要解决的问题，找出各种可行方案，分析计算各种对策的可能效果，从不同的可行方案中作出选择，这个操作过程和结果就是决策。灰色决策是在具有灰色性的诸多可行灰色方案中作出选择。具体步骤是：描述事件，建立决策模型，确定决策准则，求解模型、找出所有可行对策，计算其效果测度，作出优化选择。灰色系统理论提出一套定量化的分析计算方法，但灰色决策还需要发挥人的智慧，灵活机动地解决问题，不可完全依赖于数学和计算。

4．灰色控制。基于灰色控制思想、利用灰色模型设计和实施的控制，叫做灰色控制。当控制对象为经济、社会、人口等复杂系统时，控制量、状态量、输出量都或多或少具有灰色性，传统的控制理论和方法(灰色理论称之为白控制)不能有效解决问题，需要使用灰色控制的理论和方法。灰色控制论也使用状态矩阵、控制矩阵、观测矩阵等工具，但它们都存在灰元。基于对系统自身灰色性的深入考察，建立相应的灰色状态矩阵、灰色控制矩阵、灰色观测矩阵，依据它们分析系统动态品质与含灰元的参数矩阵的关系，了解系统动态特性如何改变，特别是怎样得到一个白色控制函数以改变系统品质，并控制系统的变化，这些就是灰色控制论要解决的基本问题。能观性、能控性、稳定性、过渡过程特性等也是灰色控制系统的基本品质特性。这些都是将白色控制理论灰化的结果。

灰色系统理论跟前面几种系统理论具有某些共同点；都是对付复杂性的一种理论方案，都对理论描述的精确性、严格性要求有所放松，都重视定性方法与定量方法相结合。从发表的著作看，邓聚龙的工作都属于技术科学层，是应用科学，对于深化系统思想和系统概念的贡献不大，不及前述几种理论。但作为一种解决具体问题的系统方法，灰色系统理论对于一类复杂系统的预测、决策和控制还是有效的，并且经受了实践的检验，应当继续前进。