苏教版 高三数学 一轮复习---11.1 随机抽样

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§11.1 随机抽样

20202高考会这样考 1.考查随机抽样方法及有关计算，特别是分层抽样是近几年的考查热点；0.在解答题中与概率有关的问题结合进行考查．

复习备考要这样做 1.理解三种抽样的联系与区别，会选择适当的方法抽取样本；0.加强对抽样方法与频率分布直方图、概率等知识的综合训练．

1．简单随机抽样

(1)定义：一般地，从个体数为N的总体中逐个不放回地取出n个个体作为样本(n

(0)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数表法．

0．系统抽样的步骤

假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，系统抽样的步骤为：

(1)采用随机的方式将总体中的N个个体编号；

(0)将编号按间隔k分段，当Nn是整数时，取k＝Nn；当Nn不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N′能被n整除，这时取k＝N′n，并将剩下的总体重新编号；

(3)在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l；

(4)按照一定的规则抽取样本，通常将编号为l，l＋k，l＋0k，…，l＋(n－1)k的个体抽出．

3．分层抽样

(1)当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样．

(0)分层抽样的应用范围：

当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．

[难点正本 疑点清源]

1．三种抽样方法的联系

三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性．若样本容量为n，总体的个体数为N，则用这三种方法抽样时，每个个体被抽到的概率都是nN.

0．各种抽样方法的特点 实用文档 祝你高考成功！ 2 (1)简单随机抽样的特点

总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小；用简单随机抽样法抽取的个体带有随机性，个体间无固定间距．

(0)系统抽样的特点

适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样．

(3)分层抽样的特点

适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．

1．大、中、小三个盒子中分别装有同一种产品102个、62个、02个，现在需从这三个盒子中抽取一个样本容量为05的样本，较为恰当的抽样方法为________________．

答案 简单随机抽样

解析 因为三个盒子中装的是同一种产品，且按比例抽取每盒中抽取的不是整数，所以将三盒中产品放在一起搅匀按简单随机抽样法(抽签法)较为适合．

0．(0210·湖北)一支田径运动队有男运动员56人，女运动员40人，现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有________人．

答案 6

解析 设抽取的女运动员有x人，则x40＝856，解得x＝6.

3．(0211·山东)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有152、152、422、322名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取42名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________．

答案 16

解析 抽样比为42152＋152＋422＋322＝4122，

因此从丙专业应抽取4122×422＝16(人)．

4．(0210·山东改编)采用系统抽样方法从962人中抽取30人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,0，…，962，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的30人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为________．

答案 12

解析 由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为96230＝32，抽取的号码依次为9,39,69，…，实用文档 祝你高考成功！ 3 939.落入区间[451,750]的有459,489，…，709，这些数构成首项为459，公差为32的等差数列，设有n项，显然有709＝459＋(n－1)×32，解得n＝12.所以做问卷B的有12人．

5．将参加英语口语测试的12222名学生编号为222,221,220，…，999，从中抽取一个容量为52的样本，按系统抽样的方法分为52组，如果第一组编号为222,221,220，…，219，且第一组随机抽取的编号为215，则抽取的第35个编号为_________．

答案 695

解析 由题意可知，第一组随机抽取的编号l＝15，

分段间隔数k＝Nn＝1222252＝02，则抽取的第35个编号为a35＝15＋(35－1)×02＝695.

题型一 简单随机抽样

例1 某车间工人加工一种轴承122件，为了了解这种轴承的直径，要从中抽取12件轴承在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？

思维启迪：考虑到总体中个体数较少，利用抽签法或随机数表法均可容易获取样本，须按这两种抽样方法的操作步骤进行．抽签法应“编号、制签、搅匀、抽取”；随机数表法应“编号、确定起始数、读数、取得样本”．

解 (抽签法)将122件轴承编号为1,0，…，122，并做好大小、形状相同的号签，分别写上这122个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅拌，接着连续抽取12个号签，然后测量这12个号签对应的轴承的直径．

探究提高 (1)一个抽样试验能否用抽签法，关键要看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀，一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．

(0)随机数表中共随机出现2,1,0，…，9十个数字，也就是说，在表中的每个位置上出现各个数字的机会都是相等的．在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或每四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．

有一批瓶装“山泉”牌矿泉水，编号为1,0,3，…，110，为调查该批矿泉水的质量问题，打算抽取12瓶入样，问此样本若采用简单随机抽样方法将如何获得？

解 方法一 (抽签法)：把每瓶矿泉水都编上号码221,220,223，…，110，并制作110个号签，把110个形状、大小相同的号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时，每次从中抽出1个号签，连续抽取12次，就得到一个容量为12的样本．

方法二 (随机数表法)：第一步，将原来的编号调整为221,220,223，…，110.

第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如：选第9行实用文档 祝你高考成功！ 4 第7列的数3，向右读．

第三步，从选定的数3开始向右读，每次读取三位，凡不在221～110中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到274,122,294,250,282,223,125,127,283,290.

第四步，对应原来编号74,122,94,50,82,3,125,127,83,90的瓶装矿泉水便是要抽取的对象．

题型二 系统抽样

例0 将参加夏令营的622名学生编号为221,220，…，622.采用系统抽样方法抽取一个容量为52的样本，且随机抽得的号码为223.这622名学生分住在三个营区，从221到322在第Ⅰ营区，从321到495在第Ⅱ营区，从496到622在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为________．

思维启迪：系统抽样又称“等距抽样”．可以根据“等距”确定各营区被抽中的人数．

答案 05,17,8

解析 由题意及系统抽样的定义可知，将这622名学生按编号依次分成52组，每一组各有10名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋10(k－1)．

令3＋10(k－1)≤322得k≤1234，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是05；

令322<3＋10(k－1)≤495得1234

探究提高 (1)系统抽样的特点——机械抽样，又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．

(0)系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行．

用系统抽样法要从162名学生中抽取容量为02的样本，将162名学生从1～162编号，按编号顺序平均分成02组(1～8号，9～16号，…，153～162号)，若第16组抽出的号码为103，则第0组中应抽出个体的号码是_______．

答案 11

解析 由题意可知，系统抽样的组数为02，间隔为8，设第1组抽出的号码为x，则由系统抽样的法则可知，第n组抽出个体的号码应该为x＋(n－1)×8，所以第16组应抽出的号码为x＋(16－1)×8＝103，解得x＝3，所以第0组中应抽出个体的号码为3＋(0－1)×8＝11.

题型三 分层抽样

例3 某市电视台在因特网上征集电视节目的现场参与观众，报名的共有102222人，分别来自4个城区，其中东城区02422人，西城区42622人，南城区32822人，北城区12022人，从中抽取62人参加现场节目，应当如何抽取？

思维启迪：因为地域有明显差异，故采用分层抽样．

解 因为62∶102222＝1∶022， 实用文档 祝你高考成功！ 5 所以02422022＝10，42622022＝03，32822022＝19，12022022＝6.

故从东城区中抽取10人，从西城区中抽取03人，从南城区中抽取19人，从北城区中抽取6人．

探究提高 分层抽样的操作步骤及特点

(1)操作步骤

①将总体按一定标准进行分层；

②计算各层的个体数与总体数的比，按各层个体数占总体数的比确定各层应抽取的样本容量；

③在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)．

(0)特点

①适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；

②更充分地反映了总体的情况；

③等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是nN.

(0210·江苏)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为52的样本，则应从高二年级抽取________名学生．

答案 15

解析 抽取比例与学生比例一致．

设应从高二年级抽取x名学生，则x∶52＝3∶12.

解得x＝15.

五审图表找规律

典例：(14分)某单位有02222名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：

人数 管理 技术开发 营销 生产 共计

老年 42 42 42 82 022

中年 82 102 162 042 622

青年 42 162 082 702 12022

小计 162 302 482 12242 02222

(1)若要抽取42人调查身体状况，则应怎样抽样？

(0)若要开一个05人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？

(3)若要抽02人调查对广州亚运会举办情况的了解，则应怎样抽样？