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新课标全国卷导数整体把握之放缩法的应用
章建荣
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2018(000)017
【摘要】近年来，新课标全国卷中导数压轴题往往涉及函数不等式问题，函数载
体往往是指数、对数与其他函数综合或指数、对数并存的超越函数形式，难度很大，考生往往望而止步．放缩法是解决函数不等式问题的一把利器，“不等式放缩”频频出现，使得导数考查也变得越来越有韵味．现结合近几年全国卷导数题中典型放缩的实际应用进行探讨．
【总页数】2页(P4-5)
【作者】章建荣
【作者单位】江西省南昌市铁路第一中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.巧用放缩法破解导数题 [J], 朱小扣
2.从一道导数题的解法看放缩法的应用 [J], 汪家玲;
3.巧用放缩法破解导数题 [J], 朱小扣
4.有效利用切线放缩法破解函数与导数压轴题 [J], 潘敬贞
5.放缩法在导数大题中的应用归纳 [J], 王佳一;张元涛
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(高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1.⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>.将这些不等式简单变形如下： exx ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。
例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(⋅≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。
放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。
第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭， )ln 1x x<>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， （放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤≤-，()10x e x x<-<， （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++， 第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x=-，ln y x x =. 拓展阅读：为何高考中总是考这些超越函数呢？和x e xln 因为高考命题专家是大学老师，他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。
高中数学放缩法技巧全总结在高中数学学习中，放缩法是一种常用的解题技巧，尤其在不等式证明和极限计算中应用广泛。
掌握好放缩法的技巧，可以帮助我们更好地解决数学问题，提高解题效率。
下面，我将对高中数学放缩法的技巧进行全面总结，希望能够帮助大家更好地掌握这一技巧。
首先，放缩法的基本思想是通过构造一个比原来更容易处理的不等式或者关系式，从而简化原问题的解决过程。
在实际运用中，我们可以通过加减变形、乘除变形、配方等方式进行放缩，下面我们来看一些常用的放缩法技巧。
一、加减变形。
在不等式证明中，我们常常会遇到需要证明一个不等式成立的情况。
这时，我们可以通过在两边同时加上或者减去一个特定的数，来改变原不等式的形式，使得原不等式更容易证明。
例如，在证明数学归纳法中的不等式时，我们常常会通过加减变形来简化证明过程，这是一种常见的放缩法技巧。
二、乘除变形。
在极限计算中，我们常常需要通过放缩法来证明一个极限存在或者不存在。
这时，我们可以通过乘除变形，将原极限问题转化为一个更容易处理的形式。
例如，当我们需要证明一个函数的极限不存在时，可以通过乘除变形将原函数转化为一个更容易处理的形式，从而简化证明过程。
三、配方。
在解决数学问题中，有时我们需要通过配方来进行放缩。
例如，在证明三角函数不等式时，我们可以通过对不等式进行配方，将原不等式转化为一个更容易处理的形式。
这种放缩法技巧在解决三角函数不等式问题中应用广泛，可以帮助我们更好地解决这类问题。
总结起来，放缩法是高中数学学习中常用的解题技巧，通过加减变形、乘除变形、配方等方式进行放缩，可以帮助我们更好地解决数学问题，提高解题效率。
希望以上总结的放缩法技巧对大家有所帮助，能够在高中数学学习中更好地运用这一技巧，提高数学成绩。
导数大题中最常用的放缩大法相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1.⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>.将这些不等式简单变形如下： exx ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。
例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(⋅≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。
放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。
第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭， )ln 1x x<>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， （放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤≤-，()10x e x x<-<， （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++， 第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x=-，ln y x x =. 拓展阅读：为何高考中总是考这些超越函数呢？和x e x ln 因为高考命题专家是大学老师，他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。
放缩法在解答数列题中的应用技巧(十一种放缩方法全归纳)证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材.这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩.一、放缩技巧(1)1n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1(2)1C1n+1C2n=2(n+1)n(n-1)=1n(n-1)-1n(n+1)(3)T r+1=C r n⋅1n r=n!r!(n-r)!⋅1n r<1r!<1r(r-1)=1r-1-1r(r≥2)(4)1+1 nn<1+1+12×1+13×2+⋯+1n(n-1)<3(5)12n(2n-1)=12n-1-12n(6)1n+2<n+2-n(7)2(n+1-n)<1n<2(n-n-1)(8)22n+1-12n+3⋅12n=1(2n+1)⋅2n-1-1(2n+3)⋅2n(9)1k(n+1-k)=1n+1-k+1k1n+1,1n(n+1+k)=1k+11n-1n+1+k(10)n(n+1)!=1n!-1(n+1)!(11)1n<2(2n+1-2n-1)=222n+1+2n-1=2n+12+n-12(11)2n(2n-1)2=2n(2n-1)(2n-1)<2n(2n-1)(2n-2)=2n-1(2n-1)(2n-1-1)=12n-1-1-12n-1(n≥2)(12)1n3=1n⋅n2<1n(n-1)(n+1)=1n(n-1)-1n(n+1)⋅1n+1-n-1=1n-1-1n+1⋅n+1+n-12n <1n-1-1n+1(13)2n +1=2⋅2n=(3-1)⋅2n>3⇒3(2n-1)>2n⇒2n-1>2n 3⇒12n -1<2n3(14)k +2k !+(k +1)!+(k +2)!=1(k +1)!-1(k +2)!(15)1n (n +1)<n -n -1(n ≥2)(16)i 2+1-j 2+1i -j =i 2-j 2(i -j )(i 2+1+j 2+1)=i +j i 2+1+j 2+1<1二、经典试题解析(一)、经典试题01、裂项放缩1.(1)求∑nk =124k 2-1的值；(2)求证:∑nk =11k2<53.【分析】(1)根据裂项相消求和即可；(2)根据1n 2<1n 2-14放缩再求和即可【详解】(1)因为24n 2-1=2(2n -1)(2n +1)=12n -1-12n +1，所以∑nk =124k 2-1=11-13+13-15+...+12n -1-12n +1=2n2n +1(2)因为1n 2<1n 2-14=44n 2-1=212n -1-12n +1 ，所以∑nk =11k2≤1+213-15+⋯+12n -1-12n +1 <1+23=532.求证:1+132+152+⋯+1(2n -1)2>76-12(2n -1)(n ≥2).【分析】根据1(2n -1)2>1(2n -1)(2n +1)放缩后利用裂项相消求和即可【详解】因为1(2n -1)2>1(2n -1)(2n +1)=1212n -1-12n +1 ，(n ≥2)故∑nk =11(2k -1)2>1+1213-15+...+12n -1-12n +1 =1+1213-12n +1 =76-122n -1，故1+132+152+⋯+1(2n -1)2>76-12(2n -1)(n ≥2)3.求证:14+116+136+⋯+14n2<12-14n .【详解】由14+116+136+⋯+14n 2=141+122+⋯+1n 2<141+1-1n =12-14n 根据1n 2<1n ⋅n -1 得122+⋯+1n 2<1-12+12-13+⋯1n -1-1n =1-1n 所以141+122+⋯+1n2<141+1-1n =12-14n 4.求证:12+1⋅32⋅4+1⋅3⋅52⋅4⋅6+⋯+1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n<2n +1-1【分析】利用分式放缩法证明出1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n<12n +1，进而利用数学归纳法证明13+15+⋯+12n +1<2n +1-1即可.【详解】由1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n 2<12⋅23⋅34⋯2n -12n ⋅2n 2n +1=12n +1，得1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n<12n +1，所以12+1⋅32⋅4+⋯+1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n <13+15+⋯+12n +1，要证12+1⋅32⋅4+⋯+1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n -1)2⋅4⋅6⋅⋯⋅2n <2n +1-1，只需证13+15+⋯+12n +1<2n +1-1，下面利用数学归纳法证明：当n =1时，左边=13，右边=3-1。
导数放缩法是一种在解决数学问题时常用的方法，其核心原理是利用切线进行放缩，可以看成一种局部线性化的思想。
以下是使用导数放缩法的一个例题：
例题：求函数f(x) = x^2 在区间[0, 2] 上的最大值和最小值。
解：首先，我们求出函数f(x) 的导数f'(x) = 2x。
然后，我们在区间[0, 2] 上找到所有使得f'(x) = 0 的点，即x = 0 和x = 2。
接下来，我们使用导数放缩法来估计函数在这些点之间的值。
我们选择一个点x = 1，它在0 和 2 之间，然后计算f(1) = 1。
然后，我们使用切线来估计函数在x = 1 附近的值。
切线的斜率是f'(1) = 2，切点是(1, 1)，所以切线方程是y = 2x - 1。
现在，我们可以使用切线来放缩函数在区间[0, 2] 上的值。
在区间[0, 1] 上，切线始终在函数下方，因此函数的最小值出现在x = 0，即f(0) = 0。
在区间[1, 2] 上，切线始终在函数上方，因此函数的最大值出现在x = 2，即f(2) = 4。
因此，函数f(x) = x^2 在区间[0, 2] 上的最小值是0，最大值是4。
以上是使用导数放缩法求解函数在给定区间上的最大值和最小值的一个例题。
通过求出函数的导数，找到使得导数为零的点，然后使用切线进行放缩，我们可以得到函数在给定区间上的最大值和最小值。
放缩法在解题中的应用在初中数学竞赛中，经常需要运用放缩法来求解一类问题，所谓放缩法，就是将代数式的某些部分适当地放大或缩小，从而得到相应的不等式，以达到解题的目的． 在使用放缩法解题时，要注意放和缩的“度”．本文举例说明放缩法在解题中的具体用法．一、利用已知数据的大小关系进行放缩 例1 若1111198019812001+++，则S 的整数部分是_______．(2001年山东省初中数学竞赛)分析 此题显然不宜先计算S 的值再求其整数部分．注意到S 中的有关数据满足111198019812001>>>，故可使用放缩法，先判断S 的值所处的范围，然后解决问题．所以S 的整数部分是90．例2 1615与1333的大小关系是1615_______1333．(填“>”，“<”或“＝”) (2002年第13届“希望杯”数学邀请赛初二第2试)注 本题使用作商法比较大小，在判断商3131315511⨯与1的大小时两次使用了放缩法．二、利用已知的不等条件进行放缩例3 已知两个整数a 、b ，满足0<b <a <10，且9aa b+是整数，那么，数对(a ，b )有_______个．(第19届江苏省初中数学竞赛初三第2试)①若9aa b+＝5，则4a ＝5b ．结合整数a 、b 满足0<b <a <10，故此时数对(a ，b )只能为(5，4)；②若9aa b+＝6，则a ＝2b ．结合整数a 、b 满足0<b <a < 10，故此时数对(a ，b )有4个，分别为(2，1)、(4，2)、(6，3)、(8，4)；③若9aa b+＝7，则2a ＝7b ．结合整数a 、b 满足0<b <a <10，故此时数对(a ，b )只能为(7，2)；④若9aa b+＝8，则a ＝8b ．结合整数a 、b 满足0<b <a <10，故此时数对(a ，b )只能为(8，1)．综上可知满足条件的数对(a ，b )有7个．注 本题解法中关键的一步是利用已知的不等条件0<b <a 对9aa b+进行放缩，从而得到了9a a b+的值所处的范围．例4 已知a 、b 、c εR ，且满足a >b >c ，a ＋a ＋c ＝0．那么，ca的取值范围是______．(2006年我爱数学初中生夏令营数学竞赛)解析 利用a >b >c 对a ＋b ＋c 进行三次不同的放缩： 0＝a ＋b ＋c<3a ，故a >0；0＝a ＋b ＋c<2a ＋c ，故ca >－2；0＝a ＋b ＋c>a ＋2c ，故c a <－12．所以c a 的取值范围是－2<c a <－12． 例5 设a 、b 是正整数，且满足56≤a ＋b ≤59，0.9<ab<0.91．则b 2－a 2等于( )． (A) 171 (B)177 (C)180 (D)182 (2005年全国初中数学竞赛)解析 我们首先利用放缩法求出正整数b 的范围：由0.9<ab<0.91，知0.9b <a <0.91b ． ∴56≤a ＋b <0.91b ＋b ，0.9b ＋b <a ＋b ≤59．解得611293119119b <<．接着我们来确定正整数a 、b 的值：由611293119119b <<可知正整数b 的值为30或31．当b ＝30时，由0.9b <a <0.91b ，得27<a <27.3， 这样的正整数a 不存在； 当b ＝31时，由0.9b <a <0.91b ，得27.9<a <28.21， 所以正整数a ＝28.最后将a ＝28、b ＝31代入b 2－a 2，得 b 2－a 2＝177．故选B ． 三、构造不等条件进行放缩例6 已知正整数x 、y 、z 满足11115yz zx xy ++=，这样的数组(x ，y ，z)有_______组．分析 注意到方程11115yz zx xy ++=关于x 、y 、z 对称，故可以先求出那些满足x ≤y ≤z 的正整数组．解 我们分两步来求解本题：①首先求满足x ≤y ≤z 的正整数组(x ，y ，z)．使用放缩法可得2111135yz zx xy x=++≤，∴x 2≤15，x ．所以正整数x 共有3种可能，即x ＝1、2或3．若x＝1，则11115yz z y++=变形得(y－5)(z－5)＝30．易得正整数组(y，z)为(6，35)、(7，20)、(8，15)或(10，11)；若x＝2，则1111225yz z y++=变形得(2y－5)(2z－5)＝45．易得正整数组(y，z)为(3，25)、(4，10)或(5，7)；若x＝3，则1111335yz z y++=变形得(3y－5)(3z－5)＝70．易得正整数组(y，z)为(4，5)；综上所述，满足x≤y≤z的正整数组(x，y，z)共有8组．②最后来求所有的正整数组(x，y，z)．因为方程11115yz zx xy++=关于x、y、z对称，且①中求得的每一组(x，y，z)中的x、y、z的值互不相同，所以由①中每一数组均可以得到6个满足11115yz zx xy++=的数组(x，y，z)．故所有满足11115yz zx xy++=的正整数组(x，y，z)有48组．注由本题可以看出，当问题中的几个量所满足的条件具有对称性时，我们不妨先构造它们之间的大小关系．例7 已知p、q、21qp-、21qq-都是整数，且p>1，q>1．求p＋q的值．(2005年全国初中数学竞赛天津赛区初赛) 解析分两种情况来求解：①当p≥q>1时，21qp-≤21qq-<2．又21qp-是正整数，故21qp-，于是p＝2q－1．∴整数21qq-＝2(21)1qq--＝4－3q． 又q>1，∴整数q ＝3．将q ＝3代入p ＝2q －1得p ＝5． ∴p ＋g ＝8；②当q>p>1时，同样的方法可求得p ＝3，g ＝5． ∴p ＋g ＝8．综合①、②知，p ＋g ＝8．例8 将长度为20的铁丝围成三边长均为整数的三角形，那么，不全等的三角形的个数是( )．(A)5 (B)6 (C)8 (D)10(1998年北京市初二数学竞赛初赛)解析 不妨设三角形三边分别为a 、b 、c ，其中a ≥b ≥c ．由题意知 a ＋b ＋c ＝20，b ＋c >a ． 所以通过放缩可得： 20＝a ＋b ＋c>2a ，20＝a ＋b ＋c ≤3a ．∴623≤a <10． 从而整数a ＝7、8或9．当a ＝7时，b ＋c ＝13，符合条件的(b ，c)只能为(7，6)；当a ＝8时，b ＋c ＝12，符合条件的(b ，c)有(8，4)、(7，5)、(6，6)；当a ＝9时，b ＋c ＝11，符合条件的(b ，c)有(9，2)、(8，3)、(7，4)、(6，5)． 综上可知不全等的三角形的个数是1＋3＋4＝8，故选(C)． 四、利用有关不等关系的定理进行放缩 1．利用垂线段最短例9 如图1，在ABCD 中，AD ＝a ，CD ＝b ，过点B 分别作边AD 、CD 上的高h a 、h b ．已知h a ≥a ，h b ≥b ，对角线AC ＝20．则ABCD 的面积为_______．(2009年北京市初二数学竞赛)解析 由平行四边形的对边相等及垂线段最短可得 b ＝AB ≥h a ，a ＝BC ≥h b ． 又∵h a ≥a ，h b ≥b ， ∵b ≥h a ≥a ≥h b ≥b ，从而只能b ＝h a ＝a ＝h b ，这表明ABCD 是个正方形．由正方形ABCD 的对角线AC ＝20，可得ABCD 的面积为12×202＝200．2．利用平均值不等式 例10 如图2，AA 1、BB 1、CC 1交于点O ，且AA 1＝BB 1＝CC 1＝1，∠AOC 1＝∠BOA 1＝∠COB 1＝60°．求证：(1)S △AOC1＋S △BOA1+ S △COB1<4；(2) S △AOC1、S △BOA1、 S △COB1． (2005年全国初中数学联赛武汉CASIO 杯选拔赛)解析 (1)首先平移△BOA 1、△COB 1的位置，使分散的图形相对集中(如图2)．延长OA 到点E ，使得AE ＝A 1O ，延长OC 1到点D ，使得C 1D ＝CO ，联结DE ，易知△ODE 是正三角形．在DE 上取点F ，使得EF ＝OB ，联结AF 、C 1F ，则△FEA ≌△BOA 1，△C 1DF ≌ △COB 1．而S △ODE ，∴S △AOC1＋S △BOA1+ S △COB1<S △ODE ； (2)设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ．假设S △AOC1、S △BOA1、 S △COB1．由化简得a (1－c)>14． 同理有，b (1－a )> 14，c(1－b )> 14．三式相乘得ab c(1－a )(1－b )(1－c)>164①根据平均值不等式有同理0<b (1－b )≤14，0<c(1－c)≤14． 故ab c(1－a )(1－b )(1－c)≤164②①与②矛盾，因此假设不成立．即S △AOC1、S △BOA1、 S △COB1．注 平均值不等式：当a ≥0，b ≥0时，2a b+，等号当且仅当a ＝b 时成立．上面的解法中利用了平均值不等式的变形式ab ≤22a b +⎛⎫⎪⎝⎭．3．利用高斯函数的基本性质高斯函数[x ]就是表示不超过实数x 的最大整数，由规定直接可得其基本性质：对任一实数x 有x －1<[x ]≤x ．例11 [x ]表示不超过实数x 的最大整数．方程[2x ]＋[3x ]＝9x －74的所有实数解为_______．(2010年全国初中数学联赛武汉赛区预赛) 解析 根据高斯函数的性质知：经检验，x ＝－136和x ＝736是原方程的解． 注 本解法最后必须进行检验，这是因为开始使用放缩法得到的不等式，“放大”了x 的取值范围．。
高考数学压轴题放缩法技巧全总结（最强大）高考数学-压轴题-放缩法技巧全总结（最强大）变焦技术（高考数学备考资料）证明级数不等式由于其思维跨度大、建构性强，充满了思考和挑战。
它可以全面全面地测试学生的潜能和后续学习能力。
因此，它已成为高考最后一道题和各级各类竞赛题命题的优秀材料。
这类问题的解决策略往往是：多角度观察给定序列的通项结构，深入分析其特点，把握其规律，适当放大缩小；主要有以下膨胀和收缩技术：一、裂项放缩例1（1）请问？K1n24k2？124n2？11? n2n值；（2）验证：？1.五2k?1k3解析:(1)因为211，那么n212n 1.2（2n？1）（2n？1）2n？12n？12n？12n？1k？14k？14（2）因为n1111?251?,所以?1?1?2??11????2?2?2???k352n?12n?133??k?114n?1?2n?12n?1?n2?41奇巧积累:(1)1441?? 1.2.2.2.2N4N？1.2n？12n？1.R1r？中国？(2)121112cn?1cn(n?1)n(n?1)n(n?1)n(n?1)（3） t1n！11111 （r？2）rrr！（n？r）！nr！r（r？1）r？1rn（4）（1？1）n？1.1.1.1.氮气？13? 215?n(n?1)21?n?2?nn?2?2n?12n?3?211?n?1(2n?1)?2(2n?3)?2n(5)111? Nnnn2（2？1）2？12(6)21?1(7)2(n?1?n)?1?2(n?n?1)(8)n?n（9）111?111?11,????k(n?1?k)?n?1?kk?n?1n(n?1?k)k?1?nn?1?k?n11??(n?1)!n!(n?1)!(10)(11)1n？2（2n？1？2n？1）？222n？1.2n？1.N211? N22(11)(12)(13)(14)2n？111 （n？2）n2nnnnnnnnnn？1n？1n（2？1）（2？1）（2？1）（2？1）（2？2）（2？1）（2？1）2？12? 11n3？1n？n21111 n（n？1）（n？1）？n（n？1）？？n（n？1）？N1.N一1?n?1?n?1?1n?1?2n?n?111N1n？一2n12n?n?32?132n?1?2?2n?(3?1)?2n?3?3(2n?1)?2n?2n?1?k?211??k!?(k?1)!?(k?2)!(k?1) !(k?2)!1.NN1（n？2）n（n？1）（15）22(15)i?1?j?1?i2?j2(i?j)(i2?1?j2?1)i?j?i?ji2?1?j2?1?1例2（1）验证：1？11171? 2.（n？2）2262（2n？1）35（2n？1）（2）验证：1？1.1.1.1.12416364n24n（3）验证：1？1.3.1.3.5.1.3.5.（2n？1）？2n？1.一22?42?4?62?4?62nn(4)求证：2(n?1?1)?1?1?11?2(2n?1?1)23分析：（1）因为111?11?,所以2(2n?1)(2n?1)2?2n?12n?1?(2n?1)?(2i?1)i?1n12111111?1?(?)?1?(?)232n?1232n 1(2)11111(111)1(111)222416364n42n4n（3）首先证明1？3.5.（2n？1）？2.4.6.2n12n？1.重新连接1n?2?n?2?n进行裂项,最后就可以得到答案（4）首先，再次证明1n1n?2(n?1?n)?2n?1?n22,所以容易经过裂项得到2(n?1?1)?1?1?1123n从平均不平等性来看，很明显这是真的，2(2n12n1)2n12n1n211n22所以1?1?11?2(2n?1?1)23n例3.求证:6n1115？1.2.(n?1)(2n?1)49n31?n21??1?2?214n?12n?12n?1?2?n?414解析:一方面:因为,所以kk？1n1211？25? 11? 1.2.1.2n？12n？1.33? 35另一方面：1？1.1.1.1.1.1.249n2？33? 411n1n(n1)n1n1当n?3时,什么时候？2点，总结一下6n111n6n,当n?1时,?12?(n?1)(2n?1)49nn?1(n?1)(2n?1)6n111?12,（n？1）（2n？1）49n，6n1115?12?（n？1）（2n？1）49n3案例4（2022年国家第一卷）集合函数f（x）？十、xlnx。
放缩法在导数压轴题中的应用放缩法是一种重要的数学方法，尤其在证明不等式中经常用到。
近几年数列在高考中的难度要求降低，放缩法的应用重点也逐渐从证明数列不等式转移到导数压轴题中，尤其是在导数不等式证明中更是大放异彩。
下面举几个例子，以供参考。
例1：（2012年高考辽宁卷理科第21题（Ⅱ））设$f(x)=\ln(x+1)+\frac{9x}{x+6}$，证明：当$1<x<2$时，$f(x)<x+1-1$。
证明：由基本不等式，当$x>0$时，$2(x+1) \cdot 1 <(x+2)^2$，故$x+1<\frac{x^2+15x+2}{2(x+1)}$。
因此。
begin{align*}f(x)&=\ln(x+1)+\frac{9x}{x+6}\\ln(x+1)+\frac{x+1}{2}\\ln\sqrt{(x+1)^2}+\ln e^{\frac{x+1}{2}}\\ln(x+1)+1\\x+1-1end{align*}例2：（2013年新课标全国Ⅱ卷第21题（Ⅱ））已知函数$f(x)=e^{-\ln(x+m)}$，当$m \leq 2$时，证明$f(x)>x$。
例3：（2014年高考新课标Ⅰ卷理科第21题）设函数$f(x)=ae^{\ln x}+b$，曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程为$y=e(x-1)+2$。
I）求$a,b$；II）证明：$f(x)>1$。
例4：（2016年高考山东卷理科第20题（Ⅱ））已知$f(x)=a(x-\ln x)+\frac{2x-1}{2}$，当$a=1$时，证明$f(x)>f'(x)+\frac{3}{2x}$，对于任意的$x \in [1,2]$成立。
例5：（2016年高考新课标Ⅲ卷文科21题）设函数$f(x)=\ln x-x+1$。
I）证明当$x \in (1,+\infty)$时，$1<\frac{x-1}{\ln x}<x$；II）设$c>1$，证明当$x \in (0,1)$时，$1+(c-1)x>c$。
恰当采用放缩法 巧证导数不等式郑州市第四十四中学 苏明亮放缩法是高中数学中一种重要的数学方法，尤其在证明不等式中经常用到．由于近几年数列在高考中的难度要求降低，放缩法的应用重点也逐渐从证明数列不等式转移到导数压轴题中，尤其是在导数不等式证明中更是大放异彩.下面试举几例，以供大家参考． 一、利用基本不等式放缩，化曲为直例1（2012年高考辽宁卷理科第21题（Ⅱ））设()ln(1)1f x x =++.证明：当02x <<时，9()6xf x x <+.证明：由基本不等式，当0x >时，2x <+12x<+.()ln(1)1ln(1)2x f x x x ∴=+<++记9()ln(1)26x xh x x x =++-+， 则2221154(1536)'()12(6)2(1)(6)x x x h x x x x x +-=+-=++++. 当02x <<时，'()0h x <，所以()h x 在(0,2)内是减函数.故又由()(0)0h x h <=，所以9ln(1)26x x x x ++<+，即9ln(1)16xx x +<+， 故当02x <<时，9()6xf x x <+.评注：本题第(Ⅱ)问若直接构造函数9()()6xh x f x x =-+，对()h x 进行求导，由于'()h x 中既有根式又有分式，因此'()h x 的零点及相应区间上的符号很难确定，而通过对进行放缩处理，使问题得到解决.上面的解法中，难点在用基本不等式证明12x <+，亦即是将抛物线弧y =12xy =+，而该线段正是抛物线弧y =(0,1)处的切线，这种“化曲为直”的方法是我们用放缩法处理函数问题的常用方法. 二、利用单调性放缩，化动为静例2（2013年新课标全国Ⅱ卷第21题（Ⅱ））已知函数()ln()xf x e x m =-+.当2m ≤时，证明()0f x >.证法1：函数()f x 的定义域为(,)m -+∞，则1()1'()x xx m e f x e x m x m+-=-=++. 设()()1x g x x m e =+-，因为'()(1)0xg x x m e =++>， 所以()g x 在(,)m -+∞上单调递增. 又()10g m -=-<，2(2)212110mg m e--=->⨯->，故()0g x =在(,)m -+∞上有唯一实根0x .当0(,)x m x ∈-时，()0g x <，'()0f x <；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，'()0f x >，从而当0x x =时，()f x 取得最小值为0()f x .由方程()0g x =的根为0x ，得001x ex m=+，00ln()x m x +=-，故0000011()()2f x x x m m m x m x m=+=++-≥-++（当且仅当01x m +=取等号），又因为2m ≤时，所以0()0f x ≥. 取等号的0()0f x ≥条件是01x m +=，001x e x m=+及2m =同时成立，这是不可能的，所以0()0f x >，故 ()0f x >.证法2：因ln y x =在定义域上是增函数，而2m ≤，所以ln(2)ln()x x m +≥+， 故只需证明当2m =时，()0f x >即可.当2m =时，1'()2xf x e x =-+在(2,)-+∞上单调递增. 又'(1)0,'(0)0f f -<>，故'()0f x =在(2,)-+∞上有唯一实根0x ，且0(1,0)x ∈-. 当0(2,)x x ∈-时，'()0f x <；当0(,)x x ∈+∞时，'()0f x >，从而当0x x =时，()f x 取得最小值.由'()0f x =得0012x ex =+，00ln(2)x x +=-， 故200000(1)1()()022x f x f x x x x +≥=+=>++.综上，当2m ≤时，()0f x >.评注：借助导数取值研究函数单调性是证明初等不等式的重要方法.证法1直接求导证明，由于其含有参数m ，因而在判断()g x 的零点和求()f x 取得最小值0()f x 显得较为麻烦；证法2利用对数函数ln y x =的单调性化动为静，证法显得简单明了.此外，本题也是处理函数隐零点问题的一个经典范例. 三、活用函数不等式放缩，化繁为简两个常用的函数不等式： 1xe x ≥+()x R ∈1(0)lnx x x ≤->两个常用的函数不等式源于高中教材（人教A 版选修2-2，32P ）的一组习题，曾多次出现在高考试题中，笔者曾就此问题写过专题文章[1].例3（2014年高考新课标Ⅰ卷理科第21题）设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)2y e x =-+.（I ）求,a b（II ）证明：()1f x >.分析：本题以曲线的切线为背景，考查导数的几何意义，用导数作工具研究函数的单调性，求函数最值以及不等式的证明.第（I ）问较容易，一般学生都能做出来，只需求出函数()f x 的导数，易得1,2a b ==.第（II ）问难度较大，主要考查考生运用导数知识证明不等式的能力及运算求解能力，是近年来高考压轴题的热点问题.本题第（II ）问证法较多，下面笔者利用函数不等式来进行证明.证明：由1xe x ≥+，得1x e x -≥，即x e ex ≥，故1x e ex-≥（当且仅当1x =时取等号） ① 又由1x ex -≥，得11x e x -≥，故11ex e ex -≤，两边取自然对数得1ln()1ex ex≥-， 即1ln 0x ex +≥（当且仅当1x e=时取等号） ②由于①、②式等号不能同时成立，两式相加得2ln x x e ex-+≥，两边同乘以xe ，得()1f x >. 评注：本题证明中利用函数不等式1xe x ≥+，并进行适当变形，结合不等式性质进行证明，从而避免了繁杂的计算，过程简洁自然，易于理解.例4（2016年高考山东卷理科第20题（Ⅱ））已知()221()ln ,x f x a x x a x -=-+∈R . 当1a =时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的[]1,2x ∈成立. 证明：()f x 的定义域为(0,)+∞，223322(2)(1)'()a ax x f x a x x x x --=--+=，1a =时， 22321122()'()ln (1)x f x f x x x x x x x --=-+---+ 23312ln 1x x x x x=-++--，[1,2]x ∈，由② 1lnx x ≤-得2323312312()'()ln 1f x f x x x x x x x x x -=-++--≥+-，[1,2]x ∈. 即只需证2331232x x x +->，[1,2]x ∈ 令23312()h x x x x =+-，[1,2]x ∈，则24326'()x x h x x --+=.设2()326x x x ϕ=--+，则()x ϕ在x ∈[1,2]单调递减， 因为(1)1,(2)10ϕϕ==-，所以在[1,2]上存在0x 使得0(1,)x x ∈时，0()0,(,2)x x x ϕ>∈时，()0x ϕ<， 所以函数()h x 在0(1,)x 上单调递增，在0(,2)x 上单调递减，由于3(1)2,(2)2h h ==，因此当x ∈[1,2]时，3()(2)2h x h =…，当且仅当2x =时取得等号， 所以3()'()(2)2f x f x h ->=，即3()'()2f x f x >+对于任意的[1,2]x ∈恒成立.评注：要证明233123()'()ln 12f x f x x x x x x -=-++-->，比较麻烦的是式子中有lnx ，如果能让它消失，问题势必会简单些，所以自然就想到了利用比较熟悉的函数不等式1lnx x ≤-进行放缩，方法自然，水到渠成.上述两个常用函数不等式的变式： 1()xex x R -≥-∈1(1)1x e x x -≤>-+ 111(0)ln x x x ≤-> ln 1(0)xx x x ≤-> 四、巧用已证不等式放缩，借水行舟例5（2016年高考新课标Ⅲ卷文科21题）设函数()ln 1f x x x =-+.（I ）证明当(1,)x ∈+∞时，11ln x x x-<<； （II ）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)xc x c +->.证明：（I ）易证当()1,x ∈+∞时，ln 1x x <-，11ln1x x <-，即11ln x x x-<<. （II ）由题设1c >，设()()11x g x c x c =+--，则()1ln xg x c c x =--，，令，()0g x =，，解得01lnln ln c c x c-=.当0x x <时，()'0g x >，()g x 单调递增；当0x x >时，()'0g x <，()g x 单调递减.由（I ）知，11ln c c c-<<，故001x <<，又(0)(1)0g g ==，故当01x <<时，()0g x >.所以当()0,1x ∈时，()11x c x c +->．评注：本题第（II ）问利用第（I ）中已证明的不等式11ln x x x -<<及01lnln ln c c x c-=巧妙地求出001x <<，进而利用()g x 在01x <<单调性及端点值(0)(1)0g g ==证明出()0g x >．利用已证不等式（或结论）服务后面问题的情况，在高考和模考试题中屡屡出现，这种解题中的“服务意识”不仅可以避开复杂的计算，往往也为解题思路指明了方向．下面再看一例：例6（2013年高考辽宁卷理科21题）已知函数()()()321,12cos .2xx f x x e g x ax x x -=+=+++ 当[]0,1x ∈时，（I ）证明：()111x f x x-≤≤+ ；（II ）确定a 的所有可能取值，使得()()f x g x ≥ 恒成立证明：（I ）证明：要证[]0,1x ∈时，()211,x x e x -+≥-只需证明()1(1)x x x e x e -+≥-． 记()()1(1)x x h x x e x e -=+--，则'()()x x h x x e e -=-．当(0,1)x ∈时，'()0h x >， 因此()h x 在[]0,1上是增函数，故()(0)=0h x h ≥．所以()1f x x ≥-，[]0,1x ∈．要证[]0,1x ∈时， ()2111x x e x-+≤+，只需证明1x e x ≥+． 综上，()111x f x x-≤≤+ （II ）解：()()()3321(12cos )112cos 22xx x f x g x x eax x x x ax x x --=+-+++≥-----2(12cos )2x x a x =-+++．设2()2cos 2x G x x =+，则'()2sin G x x x =-．记()2sin H x x x =-，则'()12cos H x x =-．当(0,1)x ∈时，'()0H x <，于是'()G x 在[]0,1上是减函数， 从而当(0,1)x ∈时，''()(0)0G x G <=，故()G x 在[]0,1上是减函数．于是()(0)2G x G ≤=，从而1()3a G x a ++≤+． 所以，当3a ≤-时，()()f x g x ≥ 在[]0,1上恒成立． 下面证明，当3a >-时，()()f x g x ≥ 在[]0,1上不恒成立．()()3112cos 12x f x g x ax x x x -≤----+32cos 12x x ax x x x -=---+21(2cos )12x x a x x =-++++，记211()2cos ()121x I x a x a G x x x =+++=++++，则''21()()(1)I x G x x -=++，当(0,1)x ∈时，'()0I x <，故()I x 在[]0,1上是减函数，于是()I x 在[]0,1上的值域[12cos1,a 3]a +++．因为当3a >-时，30a +>，所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0I x >，此时()()00f x g x <， 即()()f x g x ≥ 在[]0,1上不恒成立． 综上，实数a 的取值范围是(,3]-∞．评注：本题第二问是一道典型的恒成立求参问题，这类题目很容易让考生想到用分离参数的方法，但分离参数后利用高中所学知识无法解决（笔者研究发现不能解决的原因是分离参数后，出现了“0型”的式子，解决这类问题的有效方法就是高等数学中的洛必达法则）；若直接构造函数，里面涉及到指数函数、三角函数及高次函数，处理起来难度很大．本题解法中两次巧妙利用第一问的结论，通过分类讨论和假设反正，使问题得到解决．上述几道导数不等式都不是考查某个单一的初等函数，而是综合考查指数函数、对数函数（尤其与“x e”和“ln x”有关）、三角函数以及带根号的幂函数和其它函数综合在一起，如果直接求导或求函数零点较为困难，而通过上述放缩法处理，或化动为静或化曲为直或化繁为简或借水行舟，其实就是将这些难以处理的函数转化为较为简单的函数进行处理．由于放缩的尺度不好把握，因而放缩法是一种较难的解题技巧，在学习过程中要善于总结，积累一些常用的函数不等式和解题模式．参考文献1．苏明亮．两个重要不等式及其在高考中的应用[J]．高中数学教与学．2014（12）．2．苏明亮．合理构造函数巧解导数难题[J]．数学通讯．2015（6）．。
