矩阵的变换与应用

第３３卷第５期　２０１４年５月　绵阳师范学院学报　Ｖｏ１．３３　Ｎｏ．５　Ｍａｙ．，２０１４　

矩阵初等变换的一个应用　吴国磊，纪宏伟，陈　晨　（如皋高等师范学校数理与信息技术系，江苏如皋２２６５００）　摘要：本文利用矩阵的初等变换，给出求整数的最大公因数、最小公倍数以及求多项式的最大公因式、最小　公倍式的矩阵方法，并给出实例．　关键词：矩阵；初等变换；最大公因数　中图分类号：０１５１　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７２＿６１２ｘ（２０１４）０５－ｏ０１０　３　０　引言　在初等数论中，若想求两个整数口和ｂ的最大公因数（０，ｂ）、最小公倍数［ｏ，ｂ］，通常做法是利用辗转　相除法（长除法），先将两个整数化成标准分解式，然后再在此基础上写出口，ｂ的最大公因数、最小公倍数．　这种方法易于理解，但弊端也显而易见，就是当　和ｂ这两个数的绝对值较大时，要想对它们进行标准分解　是很困难的　．本文对此进行了探讨，并给出了一般方法．　１　主要结论　１．１　求两个整数的最大公因数和最小公倍数　裴蜀恒等式　若０，ｂ是任意两个不全为零的整数，则存在两个整数　和　，使得ｎｕ＋ｂ　＝（ｏ，６）．　定理ｌ［　ｉ．￣ａ，ｂ　ｅ　Ｚ，Ａ＝（　０存在整数矩阵Ｂ＝　且　＿１，使得　：ｍ　其中，　ｍ＝（口，ｂ），１１，＝［０，ｂ］．　证明：由裴蜀恒等式可知，存在　，使得　＋幻＝（口，６），令　，　，则　＋　＝０，　一…丽Ｏ，Ｕ＋　＝　－ｌ，　’６］测　ｍ＝眦＋　６，ｎ＝　ａ　ｂ＝　，　从而可以构造出一个整数矩阵Ｂ：ｆ“　１，并且使得当ＩＢＩ：１，　＝　）＝、…ａｖ＋ｂ６ｖ　由于矩阵Ａ左（右）乘一个可逆的整数矩阵，相当于对Ａ进行系列整数初等行（列）变换，因此由定理　１可得到求两个整数ａ，ｂ最大公因数和最小公倍数的矩阵求法：　构造矩阵Ａ＝（　：），对矩阵Ａ实行初等变换，把Ａ化成初等矩阵（　），则ｍ就为所求的最大公因　数，ｎ为最小公倍数．　『证毕］　

科技信息　０高校讲坛０　ＳＣＩＥＮＣＥ＆ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ　ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ　２００８年第３６期　矩阵初等变换的应用　周松峰　（许昌学院数学科学学院河南许昌４６１０００）　【摘要】初等变换法是线性代数中最基本的方法之一。初等变换法是线性代数中最基本的方法。在解决线性问题时具有步骤简单、运算量　Ｊ、、易于掌握等优点。本文主要介绍了利用初等变换求伴随矩阵，标准正交基和几个多项式的最大公因式的三个应用。　【关键词】初等变换；伴随矩阵；标准正交基；最大公因式　１．概述　１．１矩阵的初等变换的定义　矩阵的初等变换指的是在数域Ｆ里的以下三种变换：　１）变换矩阵任意两行（列）的位置；　２）用一个非零数乘以矩阵的某一行（列）　３）用一个非零数乘以矩阵的某一行（列）后加到矩阵的另一行　（列）　初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换　矩阵初等变换的性质　１）矩阵的初等变换不改变矩阵的秩　２）矩阵的初等变换不改变行（列）向量组的线性相关性　２．利用初等变换求伴随矩阵　对于求伴随矩阵，普遍算法是利用代数余子式（即伴随矩阵的元　素）。对于ＮＸｎ矩阵Ａ，求其伴随矩阵　，实际上归结为计算ｎ２个ｎ一１　级行列式，随着矩阵阶数的增大，其计算量会迅速增大，利用矩阵的初　等变换，求伴随矩阵很容易，计算量相对较小。　由矩阵的初等变换理论知，若ｎ阶方阵Ａ可逆，则可通过对其进　初等变换　，　行初等变换求Ａ～，即（Ａ　Ｅ）—｝（Ｅ　Ａ　）据此由下面定理。　定理２・１设Ａ为ｎ阶可逆方阵，作ｎｘ２ｎ矩阵（　Ａ　Ｅ），用初　等变换将它的左边的一半化成Ｅ则右边的一半就是Ａ．。　。　证：由逆矩阵的求法可知，若Ａ可逆，则有　（　Ａ　Ｅ）　（Ｅ（　Ａ　（　Ａ－１＝ｌＡ　ＩＡ　，　１　、韧等变搀　（］ｒ打Ａ　Ｅ）——　（Ｅ　Ａ　），所以，结论成立　由定理知　ｆ４－２　２、　Ａ　＝８—４　２　１　＼－３　２—１／　利用矩阵的初等变换求伴随矩阵，当矩阵阶数很大时，其简便性　比利用伴随矩阵的定义的求法更为突出。　……………　Ｅ　３．利用初等变换求规范正交基　３．１初等列变换方法求规范正交基的依据　引理３．１．１设Ａ为ｍ￣ｎ矩阵，则ＡｒＡ是ｎ阶对称矩阵。　证：由矩阵的转置运算性质及对矩阵的定义，得（Ａ　Ａ）　＝　（Ａ　：　Ａ　．即Ａ　是１３阶对称矩阵。　引理３．１．２设Ａ为ｍＸｎ矩阵，Ａ　Ａ是正定矩阵的充要条件是ｒ（Ａ）＝　【ｌ　证：若ＡＴＡ是正定矩阵，则对任意ｎ维非零向量ｘ，有ＸＴ（ＡＴＡ）Ｘ＞０　即ｆＡＸ）ＴｆＡＸ）＞０因此，ＡＸ≠Ｏ即方程组ＡＸ＝Ｏ仅有零解，这样，由方程　组解的理论可知，　Ａ】＝ｎ　若ｒｆＡ）＝ｎ，则对任意ｎ维非零向量Ｘ，ＡＸ≠０因此，（ＡＸ）　（Ａｘ）＞０，　即ＸＴ（Ａ　Ａ）Ｘ＞Ｏ，由正定矩阵的定义，ＡＴＡ是正定矩阵。　定理３．１＿３设Ａ为ｍ￣ｎ矩阵，且ｒ（Ａ１＝ｎ，则存在可逆矩阵Ｐ使Ｂ＝　ＡＰ＝（１３。，　Ｌ，　的列向量是正交向量组。　证：因ｒｆＡ）＝ｎ由引理３．１．１与引理３．１．２知，ＡｌｒＡ是ｎ阶正定矩阵，　，ＡＴＡ、　作（ｍ＋ｎ）ｘｎ矩阵　／一ｌ，对其施行消法初等列变换，把ＡＴＡ化为下三角ｔ　２７２　髓即ｆ　Ａ）　（‘ＡＴＡＡＰ　Ｐ）　１３１　０｛Ｃ２　Ｌ　Ｌ　｝　ＡＰ　Ｌ　０　Ｌ　０　Ｌ　Ｉ　Ｌ　ｃ　其中ｃｉ＞Ｏ（ｉ＝１，２，Ｌ，ｎ），Ｐ是　（ｋ）（ｊ＞ｊ）形的初等矩阵之积，从而Ｐ是可　逆且主对角线元素为１的下三角形矩阵．因为ＡＴＡ是对称矩阵，所以　Ｐｒ（Ａ　）Ｐ是对称矩阵，由矩阵的乘法与初等变换的关系可知，用ＰＴ左　乘矩阵（ＡｒＡ）Ｐ时不改变主对角线上的元素．从而有　ｐＴ（ＡＴＡ）ｐ＝　。１　０　０　Ｃ２　Ｌ　Ｌ　０　Ｏ　Ｌ　０　Ｌ　０　Ｌ　Ｌ　Ｌ　ｅ　若令Ｂ＝ＡＰ＝（１３－，ｐ　Ｌ，ｐｎ）　则ＢｌｌＢ＝（ＰＡ）Ｔ（ＡＰ）＝Ｐｒ（ＡＴＡ）Ｐ＝　１　０　０。２　Ｌ　Ｌ　Ｏ　Ｏ　Ｌ　０　Ｌ　０　Ｌ　Ｌ　Ｌ　Ｃ　从而，（　＝｛　’ｌ　ｉ，即（　阢Ｌ＇　是正交向量组。　３．２用初等列变换法求规范正交基的方法　设　，，　：，Ｌ，ａｌ】）是Ｒｏ的～组基，由定理３．１．３，可得用初等列变换法　求规范正交基的方法如下：　１）求积ＡｌｒＡ　２）作ｚｎ×ｎ矩阵（　）　３）对矩阵（　）施行消法初等列变换，把ＡＴＡ化为下三角矩阵，　同时把Ａ化为Ｂ．ＩＫ：Ａ—ＴＡ）￣（‘ＡｒＡＰ）Ｐ）　。１　０　Ｃ２　Ｌ　Ｌ　ＡＰ　Ｌ　０　Ｌ　０　Ｌ　Ｌ　Ｌ　Ｃ　４）记Ｂ＝ＡＰ＝（１３。，ｐ　，Ｌ，　ｌ１），令∈＿＿——Ｉ＿＝－ｐ。（ｉ＝ｌ，２，Ｌ，ｎ），贝Ⅱ∈－，∈　，Ｌ，∈　是规　Ｖ　Ｃ，　范正交基。　该初等变换求规范正交基的方法比传统的施密特（ｓｃｈｍｉｄｔ）正交　化方法简化了运算，易记易用。ｅ　【参考文献】　ｆ１１北京大学数学系＿高等代数（第三版）．北京：高等教育出版社．２００３．　［２］张恭庆，林源渠，泛函分析讲义［Ｍ］．北京：北京大学出版社．１９９９．　ｒ３１张小红．高等代数专题研究选编［ＣＪ．西安：陕酉科学技术出版社．Ｉ９９２．　［４］熊廷煌．高等代数简明教程［Ｍ］．武汉：湖北教育出版社．１９８７．　［５］王文省，姚忠平．初等变换的思想方法及在高等代数中的应用［Ｊ］．聊城师范　学报（自然科学版）２００３．　［责任编辑：韩铭］

矩阵的初等变换及应用

内容摘要：

矩阵是线性代数的重要研究对象。 矩阵初等变换是线性代

数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行 列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向 量间的线性关系。

一矩阵的概念

定义：由于 mx n 个数 aij (i=1 , 2,….,m; j=1 , 2,….,

n)排成的m行n列的数表，称为 m行n列，简称m x n矩 阵

二矩阵初等变换的概念

定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换

1. 初等行变换

矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换 ：

⑴ 交换矩阵的两行 佼换一两行,记作.);

(2) 以一个非零的数 '乘矩阵的某一行(第.行乘数卜，记作 …);

(3) 把矩阵的某一行的，倍加到另一行(第一行乘 '加到.行, 记为).

1.初等列变换

把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换

3，如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵 B,就称矩阵A

与矩阵B等价，记作A~B

矩阵之间的等价关系具有下列基本性质 ： ⑴反身性 ；

(2) 对称性若小丄,，则 ；

(3) 传递性 若丄丄,/,则」.

三矩阵初等变换的应用

1.利用初等变换化矩阵为标准形

定理：任意一个 mx n矩阵A，总可以经过初等变换把它

化为标准形

■

4 ■

■

1 F行二

0

■

■

< 泓1

2. 利用初等变换求逆矩阵

求n阶方阵的逆矩阵：即对 nx 2n矩阵(A| E)施行初等 行变换，当把左边的方阵 A变成单位矩阵E的同时，右 边的单位矩阵也就变成了方阵 A的逆矩阵AA(-1)

即(A|E)经过初等变换得到 (E|AA(-1))

这种计算格式也可以用来判断 A是否可逆，当我们将A化

为行阶梯形矩阵时，

若其中的非零行的个数等于 n时，则A可逆，否则A不可 逆。 设矩阵」可逆，则求解矩阵方程 丄「丄「等价于求矩阵

X=AAS,

为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法， 构造矩 阵J匚，对其施以初等行变换将矩阵 」化为单位矩阵.，则上 述初等行变换同时也将其中的单位矩阵 丄「化为二丁，即

鞍山师范学院

数学系 13届学生毕业设计（论文）开题报告

课题名称：浅谈矩阵的变换及其应用

学生姓名： 李露露

专 业：数学与应用数学

班 级：10级1班

学 号： 30

指导教师：裴银淑

2013年 12月 26日 一、 选题意义

1、 理论意义：

矩阵是数学中的一个重要内容，是线性代数核心。矩阵的变换是矩阵中一种十分重要的运算，它在解线性方程组求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到非常重要的作用。很多复杂、繁琐的问题经过变换都可以化为简单、易于解决的问题。因此，矩阵变换是研究代数问题的一个重要工具。

2、 现实意义：

矩阵变换在物理、力学、信号与信息处理、通信、电子、系统、控制、模式识别、土木、电机、航空航天等众多学科中式最富创造性和灵活性，并起着不可代替的作用。

二、 论文综述

1、 国内外有关研究的综述：

矩阵不仅是个数学学科，而且也是许多理工学科的重要数学工具，因此国内外有许多有关于矩阵的研究。英国数学家西尔维斯特首先使用了“矩阵”一词，他与矩阵论的创立者凯莱一起发展了行列式理论。1858年，凯莱发表了关于矩阵的第一篇论文《矩阵论的研究报告》。自此以后，国内外有了许多关于矩阵的研究。在张贤达所著的《矩阵分析与应用》一书中，就有关于矩阵变换的内容，在第一章中有关于矩阵初等变换的内容，并有初等变换在矩阵方程中的应用，在第四章中也提到了Householder变换和Givens旋转。美国著名的约翰斯.霍普金斯大学的RogerA.Horn和威廉姆和玛丽学院的CharlesR.Johnson联合编著的《矩阵分析》也有关于矩阵变换的内容，此书主要涉及的是矩阵变换的应用。国内外关于矩阵变换的研究都取得了很大的进展，为矩阵知识所涉及的各个领域都作出了巨大贡献。

2 、本人对以上综述的评价： 矩阵理论一直都是各个学科的基本数学工具，矩阵变换是矩阵理论的基础，近年来有许多关于矩阵变换的研究，这些研究将一些繁琐复杂的问题简单化，也极大地推进和丰富了电子信息、航空航天等领域的发展，同时促进了更多的数学家加入到研究矩阵变换的队伍中，这样就使得矩阵变换知识日渐完善，并应用到更多的领域中去。